2018年高考理科数学新课标全国2卷 逐题解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．1+2i1-2i=( ) A ．- 45 - 35iB ．- 45 + 35iC ．- 35 - 45iD ．- 35 + 45i解析：选D2．已知集合A={(x,y)|x 2+y 2≤3,x ∈Z,y ∈Z }，则A 中元素的个数为 ( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 解析：选A 问题为确定圆面内整点个数 3．函数f(x)= e x-e-xx2的图像大致为 ( )解析：选B f(x)为奇函数，排除A,x>0,f(x)>0,排除D,取x=2,f(2)= e 2-e-24>1,故选B4．已知向量a ，b 满足|a|=1，a ·b=-1，则a ·(2a-b)= ( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0解析：选B a ·(2a-b)=2a 2-a ·b=2+1=35．双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y=±2xB ．y=±3xC ．y=±22x D ．y=±32x 解析：选A e= 3 c 2=3a 2b=2a6．在ΔABC 中，cos C 2=55，BC=1，AC=5，则AB= ( )A ．4 2B ．30C ．29D ．2 5解析：选A cosC=2cos 2C 2 -1= - 35AB 2=AC 2+BC 2-2AB ·BC ·cosC=32 AB=4 27．为计算S=1- 12 + 13 - 14 +……+ 199 - 1100，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．i=i+1B ．i=i+2C ．i=i+3D ．i=i+4 解析：选B 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A ．112B ．114C ．115D ．118解析：选C 不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个其和为30的为7+23，11+19，13+17，共3种情形，所求概率为P=3C 102=1159．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1=3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A ．15B ．56C ．55D ．22解析：选C 建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。

10．若f(x)=cosx-sinx 在[-a,a]是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π解析：选A f(x)= 2cos(x+π4),依据f(x)=cosx 与f(x)= 2cos(x+π4)的图象关系知a 的最大值为π4。

11．已知f(x)是定义域为(-∞,+ ∞)的奇函数，满足f(1-x)= f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( )A ．-50B ．0C ．2D ．50解析：选C 由f(1-x)= f(1+x)得f(x+2)=-f(x),所以f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0; f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=212．已知F 1，F 2是椭圆C: x 2a 2＋y 2b 2＝1（a>b>0）的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，ΔP F 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P=1200，则C 的离心率为( ) A ．23B ．12C ．13D ．14解析：选D AP 的方程为y=36(x+a),∵ΔP F 1F 2为等腰三角形 ∴|F 2P|=| F 1F 2|=2c, 过P 作PH ⊥x 轴，则∠PF 2H=600, ∴|F 2H|=c,|PH|=3c, ∴P(2c, 3c),代入AP 方程得4c=a 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________． 解析：y=2x14．若x,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x+2y-5≥0x-2y+3≥0 x-5≤0 ,则z=x+y 的最大值为__________．解析：915．已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0，则sin(α+β)=__________． 解析：- 12两式平方相加可得16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若ΔSAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．解析：设圆锥底面圆半径为r,依题SA=2r, 又SA ，SB 所成角的正弦值为158,则12×2r 2×158=515 ∴r 2=40, S=π×r ×2r=40 2三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1=-7，S 3=-15． （1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并求S n 的最小值． 解：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3 a 1+3d=-15,由a 1=-7得d=2. 所以{a n }的通项公式为a n =2n-9.（2）由（1）得S n =n 2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时, S n 取得最小值,最小值为−16. 18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,…,17）建立模型①：y ^=-30.4+13.5t ；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,…,7）建立模型②：y ^=99+17.5t ． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^=-30.4+13.5×19=226.1 (亿元).利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^=99+17.5×9=256.5 (亿元).（2）利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ^=-30.4+13.5t 上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19．（12分）设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k>0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|=8． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解：（1）由题意得F(1,0)，l 的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y=k(x-1)y 2=4x 得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0.Δ=16k 2+16>0，故x 1+x 2=2k 2+4k2.所以|AB|= x 1+x 2+2=2k 2+4k2+2=8 ，解得k=-1（舍去），k=1.因此l 的方程为y=x-1.（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y-2=-(x-3)，即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0,y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0=-x 0+5(x 0+1)2=(y 0-x 0+1)22+16解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=3y 0=2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0=11y 0=-6因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.20．（12分）如图，在三棱锥P-ABC 中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M-PA-C 为300，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．PAOCBM解：（1）因为AP=CP=AC=4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP=2 3. 连结OB.因为AB=BC=22AC ，所以ΔABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB=12AC=2.由OP 2+OB 2=PB 2知OP ⊥OB.由OP ⊥OB,OP ⊥AC 知OP ⊥平面ABC.（2）如图，以O 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,23),AP → =(0,0,23) 取平面PAC 的法向量OB →=(2,0,0).设M(a,2-a,0)(0<a ≤2)，则AM →=(a,4-a,0).设平面PAM 的法向量为n=(x,y,z).则⎩⎨⎧2y+23z=0ax+(4-a)y=0，可取n=(3(a-4), 3a,-a)，所以cos<OB→,n>=23(a-4)23(a-4)2+3a 2+a2.由已知得|cos<OB →,n>|=32. ∴23|(a-4)|23(a-4)2+3a 2+a2==32 解得a=-4（舍去），a=43. 所以n=(-833,433,- 43).又PC →=(0,2,-23)，所以cos<PC→,n>=34. 所以PC 与平面PAN 所成角的正弦值为34. 21．（12分）已知函数f(x)=e x -ax 2．（1）若a=1，证明：当x ≥0时，f(x)≥1； （2）若f(x)在(0,+∞)只有一个零点，求a ．【解析】（1）当a=1时，f(x)≥1等价于(x 2+1)e -x-1≤0．设函数g(x) (x 2+1)e -x -1，则g ′(x)=-(x-1)2e -x．当x ≠1时，g ′(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减．而g(0)=0，故当x ≥0时，g(x)≤0，即f(x)≥1．（2）设函数h(x)=1-ax 2e -x．f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点． （i ）当a ≤时，h(x)>0，h(x)没有零点；（ii ）当a>0时，h ′(x)=ax(x-2) e -x．当x ∈(0,2)时，h ′(x)<0；当x ∈(2,+∞)时，h ′(x)>0． 所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增． 故h(2)=1-4ae2是h(x)在[0,+∞)的最小值． ①若h(2)>0，即a<e24，h(x)在(0,+∞)没有零点；②若h(2)=0，即a=e24，h(x)在(0,+∞)只有一个零点；③若h(2)<0，即a>e24，由于h(0)=1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，由（1）知，当x>0时，e x=x 2，所以h(4a)=1-16a 3(e 2a )2>1-16a 3(2a)4=1- 1a>0故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,+∞)有两个零点． 综上，f(x)在(0,+∞)只有一个零点时，a=e24．（二）选考题：共10分。