随机信号分析资料报告习题

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随机信号分析课后习题答案

1第一次作业：练习一之1、2、3题1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。

求随机变量的数学期望和方差。

解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。

解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。

（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F2解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。

随机信号分析(第3版)习题及答案

1. 有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。

第二批有500个零件，其中40%是次品。

第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。

我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。

（1）问所选零件为次品的概率是多少？（2）发现次品后，它来自第二批的概率是多少？解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。

()()()()123414P B P B P B P B ====()()()()12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D B P D B P D B P D B ========()11110.050.40.10.10.16254444P D =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，()()()2220.250.40.6150.1625P B P D B P B D P D ⨯===2. 设随机试验X求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。

解：()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-3. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。

解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩4.求：（1）X 与的联合分布函数与密度函数；（2）与的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。

（北P181,T3）解：（1）()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1F x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =+++-+-++-+--()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1f x y x y x y x y x y x y x y δδδδδδ=+++-+-++-+--（2） X 的分布律为()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++=Y 的分布律为()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35P Y P Y P Y =-=+===+===+= （3）Z XY =的分布律为()()()()()()()()()()111,10.080001,00.400.320.72111,10.20P Z P XY P X Y P Z P XY P X P X Y P Z P XY P X Y =-==-===-======+===+======== （4）因为()()()00.4010.600.6010.1500.5010.350.20E X E Y =⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯=()()10.0800.7210.200.12E XY =-⨯+⨯+⨯=则()()()()ov ,0.120.600.200C X Y E XY E X E Y =-=-⨯=X 与Y 的相关系数0XY ρ=，可见它们无关。

随机信号分析2习题(供参考)

2.1 由下式定义的两电平二进制过程X(t)=A or – A,(n-1)T<t<nT 式中电平A 或-A 以等概率独立出现，T 为正常数，以及n=0,正负1,正负2,正负3……（1）、画出一个样变函数的草图；（2）、它属于哪一类随机过程？（3）、求一、二维概率密度函数。

（1）（2）所以是确定的。

（3）2.2 设有下列离散随机过程：X （t ）=CC 为随机变量，可能取值为1，2，3，其出现的概率分别为0.6，0.3，0.1（1）是确定性随机过程？（2 ）求任意时刻X(t)的一维概密。

解：（1）是（2） 1X(t)2,p(x,t)0.6(1)0.3(2)0.(3)3x x x δδδ⎧⎪==-+-+-⎨⎪⎩2.3 已知随机过程X(t)为 00),t (Xcos )t (X ωω=是标准高斯随机变量是常熟X ,，求X （t ）的一维概率密度。

解：发22x x cos(t)(,)(,)())cos(t)2cos (t)d x p x t F x t p dx ωωω'==- 2.4 利用投掷一枚硬币的实验定义随机过程为X(t)=cos πt,出现正面，2t ，出现反面，假设出现正面和反面的概论各位1/2，试确定X(t)的一维分布函数Fx(x;1/2), Fx(x;1),以及二维发布函数Fx(x1,x2;1/2,1).解： x1 x2X ：（t=1/2） 0 1Y (t=1) 1 22.5 随机过程X(t)由四条样本函数组成，如图题 2.6，出现的概论分别为p(§1)=1/8,p(§2)=1/4,p(§3)=3/8,p(§4)=1/4,求E[X(t1)],E[X(t2)],E[X(t1)X(t2)]及联合概率密度函数px(x1,x2;t1,t2)。

解：2.6 随机过程X(t)由如题 2.6图所示的三条样本函数曲线组成，并以等概率出现，试求E[X(2)], E[X(6)], E[X(2)X(6)], Fx(x;2),Fx(x;6),Fx(x1,x2;2,6).解：()A or A A A k -=-=∑∞-∞=,;nT t h )t (X k kX1 x2 x3T1=2 3 4 6E[X(2)]=313)643(31=++ E[X(6)]=314)752(31=++ E[X(2) X(6)]=155(3x54x76x2)33++= [])6x ()4x ()3x (31)x,2(f -+-+-=δδδ2．7随机过程X(t)由三条样本函数构成，cost )3,t (X sint;)2,t (X ;1)1,t (X ===ξξξ ,并以等概率出现，求E （X(t)）,和 R(t1,t2)解：2.8 已知随机过程X(t) 的均值为m(t), 协方差函数为C(t1,t2), 又知f(t)是确定的时间函数，试求随机过程Y(t)=X(t)+f(t)的均值及协方差。

随机信号分析习题

第十章随机过程的基本概念1、利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程出现正面与反面的概率相等。

求：的一维分布函数和，的二维分布函数。

解：以随机变量Y记抛掷硬币的实验结果，则且<1）、当时，若，则；若，则。

于是类似可得<2）、当时，若，则；若，则。

于是2、设随机过程是。

随机变量，概率分布列为求；<1）、一维分布函数和； <2）、二维分布函数。

解：<1）因为，可取值为, ,<将A 代入即得），而,,. 所以因为.只能取0值,故(2>、因为，由所以3、设随机过程，其中与是相互独立的随机变量，均服从标准正态分布。

求的一维和二维分布。

解：因为对任意固定的是正态随机变量，故所以，服从正态分布，从而也是随机过程的一维分布。

其次，对任意固定的，则依维正态随机向量的性质，服从二维正态分布，且所以，二维分布是数学期望向量为<0，0），协方差矩阵为的二维正态分布。

4、设随机过程，其中为常数，是服从标准正态分布的随机变量。

求的一维分布函数和协方差函数。

解：故的一维分布函数为。

协方差函数是随机过程在任意两个时刻和的状态和的二阶中心混合矩其中故其中5、已知随机过程的均值函数和协方差函数是普通函数。

求随机过程的均值函数和协方差函数。

解因为是普通函数，有，故6、设有随机过程和任一实数，定义随机过程证明：和分别是的一维和二维分布函数。

解：设的一维和二维概率密度分别为和，则若考虑到对任意的是离散型随机变量，则有7、随机相位正弦波其中是正常数。

是在内均匀分布的随机变量。

求的概率密度函数、均值函数、方差函数和相关函数。

b5E2RGbCAP解：因为的概率密度函数为所以：1）、依特征函数的定义，有：<1）故由积分的性质，若是周期为的周期函数，则故 <2）比较<1）和<2）式得，的概率密度函数为2）、由定义，得3）、令，则，得8、设有两个随机过程与，其中为常数，为上均匀分布的随机变量。

随机信号分析习题答案(部分)

1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。

解：第①问利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数解：第①问 ()112f xd x k ∞-∞==⎰ 第②问{}()()()211221x x P x X x F x F xfx d x<≤=-=⎰ 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。

{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。

设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。

随机信号分析报告(常建平李海林)习题问题详解解析汇报

1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)的概率； ③随机变量X 的概率密度。

解：第①问利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)的概率 ③随机变量X 的分布函数解：第①问 ()112f x dx k ∞-∞==⎰ 第②问 {}()()()211221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=⎰随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。

设每辆汽车在一天出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。

随机信号分析资料报告习题

随机信号分析资料报告习题随机信号分析习题一1. 设函数≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。

并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。

2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+?≥≥=?，求{}10,10<<<<="">3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ??++-=)52(21ex p 1),(22y xy x y x f XY π 求：（1）边沿密度)(x f X ，)(y f Y（2）条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3()Y g X X X ==-。

（1）求Y 的可能取值（2）确定Y 的分布。

（3）求][Y E 。

5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为：)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1）X 与Y 不相关时的所有A 值。

（2）X 与Y 统计独立时所有A 值。

6. 二维随机变量（X ，Y ）满足：sin cos ==Y X为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ，Y 的独立性与相关性。

7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ，求2bX Y =的概率密度)(y f 。

8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X=+?=? 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。

随机信号分析(常建平李海林)习题答案解析

y
y
0
1
1
e
e
y
3
2
1
0
else
1-17 已知随机变量 X,Y 的联合分布律为
P X m,Y n
m ne 5
32
, m,n 0,1,2,
m! n!
***
求： ① 边缘分布律
***
P X m (m 0,1,2, ) 和
②条件分布律 P X m |Y
和 n
PY
n|X
m？
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P Y n (n 0,1,2,
0.0001 ，若每天有 1000 辆汽车进
出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于
2 的概率是多少？
二项分布
n=1
- 分布 (0 1)
n
,p 0,np=
泊松分布
n
成立， 0 不成立
,p q
高斯分布
实际计算中，只需满足
，二项分布就趋近于泊松分布 n 10 p 0.1
ke PX k ＝
k!
＝ np
汽车站出事故的次数不小于
X
3
6
7
求： ①X 的分布函数
P 0.2 0.1 0.7 ② 随机变量 Y 3X 1 的分布律
1-15 已知随机变量 X 服从标准高斯分布。求：①随机变量 Z X 的概率密度？的概率密度？ ② 随机变量
分析 : ① f Y (y)
h '(y)
f X h( y)
② f Y ( y) | h' 1 (y) | f X [h 1 ( y)]
第③问
fx Fx
1x 2e
0 x
1x
e 2
0 x

随机信号分析(第3版)习题及答案

1. 2. 3. 4. 5.6.有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。

第二批有500个零件，其中40%是次品。

第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。

我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。

()()()()123414P B P B P B P B ====()()()()12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D B P D B P D B P D B ========()11110.050.40.10.10.16254444P D =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，()()()()2220.250.40.6150.1625P B P D B P B D P D ⨯===7. 8.9. 设随机试验X 的分布律为求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。

解：()()()()0.210.520.33f x x x xδδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-10.11. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。

解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩12.13.14.X Y求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。

随机信号分析第3版习题及答案word资料18页

题2.18解：由定义得：又因为
设
X(t1)
t1
2
8
8cos(1/ 2)
8cos1
X
X(t2)
，t
t2
，μ
2
，C
8cos(1/ 2)
8
8cos(1/ 2)
X(t3)
t3
2
8cos1
8cos(1/ 2)
8
密度和特征函数XYu,v。
题2.19
Cov(X,Y)33
DXDY2 510
是，
(X，Y)的概率密度函数为其特征函数为
(2)EY E(E(Y X)) Ea X a a/2 3a
2 2 4
8.设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目N服从泊松分布。进舱后每个粒子造成损坏的概率为p，彼此独立。求：造成损坏的粒子平均数目。(北P101,T10)
解：每个粒子是否造成损坏用Xi表示
N
造成损坏的粒子数YXi，于是
i1
可合理地认为N和Xi是独立的，于是
3.7解：
3.6两个统计独立的平稳随机过程X(t)和Y(t)，其均值都为0，自相关函数分别为RX( ) e，RY( ) cos2，试求：
(1)Z(t) X(t) Y (t)的自相关函数；
(2)W(t) X (t) Y (t)的自相关函数；
3)互相关函数RZW( )。
3.9解：
3.7广义平稳随机过程Y(t)的自相关函数矩阵如下，试确定矩阵中带下划线的空白处元素的值。
(3)X(v) E ejv X1 2X2 3X31(v)2(2v)3(3v)
(4)X(v) E ejv2X1 X2 4X310ejv101(2v)2(v)3(4v)
10.随机变量X具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值、均方值与方差。

随机信号分析基础第二章习题

FX (x; 2) PX (2) x
x
p(x)dx
1
x
0
3
FX (x1, x2; 2, 6) P{X (2) x1, X (6) x2}; P{(X (2) x1 X (6) x2};
用表格来表示所求的联合分布：
x1
x2
x2 2
x1 3
0
3 x1 4 4 x1 6
CX (t1,t2 ) E[{X (t1) mX (t1)}{ X (t2 ) mX (t2 )}]
随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数
RXY (t1,t2) E[X (t1)Y (t2)]
互协方差函数
CXY (t1,t2 ) E[{X (t1) mX (t1)}{Y (t2 ) mY (t2 )}]
RX (t1,t2) E[X (t1)X (t2)]
E[a2 cos(0t1 ) cos(0t2 )]
a2 2
E[cos(0
(t1
t2
))
cos(0t1
0t2
2)]
a2 2
cos[0 (t1
t2 )]
0
a2 cos
2
其中 t1 t2
2.11 解：
E[X (t)] E[Acos(0t )]
E{[X (t1) mX (t1)][X (t2) mX (t2)]}
CX (t1, t2 )
2.9 解：（1）直接由定义可得：
E[X (t)] E[Acos(0t) Bsin(0t)] E[A]cos(0t) E[B]sin(0t)
0
（2）由自相关函数的定义： RX (t1,t2) E[X (t1)X (t2)]
x,
2)
1 3

随机信号分析CH6习题及答案

6.1 复随机过程0()()j t Z t e ω+Φ=，式中0ω为常数，Φ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。

求：（1）[()()]E Z t Z t τ*+和[()()]E Z t Z t τ+；（2）信号的功率谱。

解：(1) 0()()j t Z t eω+Φ=[][]0000()2200()cos sin 11cos sin 220j t j t j j tj t E Z t E e E e e E j e d d eωωωππωππ+ΦΦ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦=Φ+Φ⎡⎤=Φ⋅Φ+Φ⋅Φ⎢⎥⎣⎦=⎰⎰()0000[()][][()()]j t j t j j Z E Z t Z t E e e E e e R ωτωωτωτττ++Φ-+Φ*⎡⎤+=⎣⎦⎡⎤===⎣⎦[][][][][]000000[()][](2)2(2)2(2)2(2)[()()]cos 2sin 21cos 2sin 220j t j t j t j t j j t j t E Z t Z t E e e E e e E e e E j e j d ωτωωτωτωτπωττπ++Φ+Φ++Φ+Φ++⎡⎤+=⎣⎦⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦⎡⎤=Φ+Φ⎣⎦=Φ+ΦΦ=⎰ (2) 00()[()][]2()j Z Z S F R F e ωτωτπδωω===-6.2 6.36.4 已知()a t 的频谱为实函数()A ω，假定ωω>∆时，()0A ω=，且满足0ωω∆，试比较：（1） 0()cos a t t ω和0(12)()exp()a t j t ω的傅立叶变换。

（2） 0()sin a t t ω和0(2)()exp()j a t j t ω-的傅立叶变换。

（3）0()cos a t t ω和0()sin a t t ω的傅立叶变换。

解：由傅立叶变换的定义可以得到：（1）000001()cos [()()]211()()22FTj t FTa t t A A a t e A ωωωωωωωω←−→-++←−→- ()000()()cos ()sin j t a t e a t t ja t tωωω=+0()j ta t eω是0()cos a t t ω的解析信号01()2j t a t e ω的傅立叶变换是0()cos a t t ω的傅立叶变换的正频率部分。

随机信号分析习题4

随机信号分析习题四：1. 已知平稳过程()X t 的相关函数如下，试求它的功率谱密度(1) 0()cos ,0a X R ew a τττ-=>(2) 0001,()0,X T T R T ττττ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩2. 设()X t 为一个随机电报波过程，它的一个样本函数如图所示。

已知在任一时刻波形取A +和A -的概率相同，在时间间隔τ内波形变号的次数n 服从参数为λ的泊松分布()(,)!n P n e n λτλττ-=(1) 求()X t 的自相关函数； (2) 求()X t 的功率谱密度函数。

3. 已知平稳过程()X t 和()Y t 的功率谱密度为2424()109X w S w w w +=++242()32Y w S w w w =++求()X t 和()Y t 的自相关函数和均方值。

4. 若()X t 是平稳随机过程，如图所示证明过程()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X S w S w wT =+5. 设()S w 是一个平稳过程的功率谱密度函数，证明22()d S w dw 不可能是平稳过程的功率谱密度函数。

6. 设随机过程()cos()X t a t =Ω+Θ，其中a 为常量，Ω和Θ为相互独立的随机变量，且Θ均匀分布于(0,2)π，Ω的一维概率密度为偶函数，即()()a a f w f w =-，求证()X t 的功率谱密度为2()()X a S w a f w π=7. 设()X t 和()Y t 是联合平稳的。

试证明{}{}Re ()Re ()XY YX S w S w = {}{}Im ()Im ()XY YX S w S w =-8. 给定一个随机过程0()cos()X t A w t =+Θ式中，A 和0w 为常数，Θ为均匀分布于(0,2)π的随机变量（1）求()X t 的平均功率；（2）求()X t 的功率谱密度。

9. 若平稳过程()X t 的功率谱密度为()X S w ，又有0()()cos Y t aX t w t =式中，a 为常数，求功率谱密度()Y S w 。

随机信号分析习题.doc

随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。

并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。

2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩，求{}10,10<<<<Y X P 。

3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21ex p 1),(22y xy x y x f XY π 求：（1）边沿密度)(x f X ，)(y f Y（2）条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3()Y g X X X ==-。

（1）求Y 的可能取值（2）确定Y 的分布。

（3）求][Y E 。

5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为：)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1）X 与Y 不相关时的所有A 值。

（2）X 与Y 统计独立时所有A 值。

6. 二维随机变量（X ，Y ）满足：ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ，Y 的独立性与相关性。

7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ，求2bX Y =的概率密度)(y f 。

8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。

随机信号分析2习题(供参考)

2.1 由下式定义的两电平二进制过程X(t)=A or – A,(n-1)T<t<nT 式中电平A 或-A 以等概率独立出现，T 为正常数，以及n=0,正负1,正负2,正负3…… （1）、画出一个样变函数的草图；（2）、它属于哪一类随机过程？（3）、求一、二维概率密度函数。

（1）（2）所以是确定的。

（3）2.2 设有下列离散随机过程：X （t ）=CC 为随机变量，可能取值为1，2，3，其出现的概率分别为0.6，0.3，0.1 （1）是确定性随机过程？（2 ）求任意时刻X(t)的一维概密。

解： )2x (ex p 21p(x )2-=π xcos(t)F(x,t)P{X(t)x}P{Xcos(t)x}xxP{X }p()d ()cos(t)cos(t)t t ωωωω-∞=≤=≤=≤==Φ⎰发22xxcos(t)(,)(,)())cos(t)2cos (t)dx p x t F x t p dx ωωω'==-202xx )2cos t ω=-()A or A A A k -=-=∑∞-∞=,;nT t h )t (X k k ()()[]()()()()[]A x A x A -x A -x 0.5t p(x,A x A -x 0.5t p(x,2121+++=++=δδδδδδ））2x1-exp()2⎫-⎪⎭2.4 利用投掷一枚硬币的实验定义随机过程为X(t)=cosπt,出现正面，2t，出现反面，假设出现正面和反面的概论各位1/2，试确定X(t)的一维分布函数Fx(x;1/2), Fx(x;1),以及二维发布函数Fx(x1,x2;1/2,1).解：x1 x2X：（t=1/2）0 1Y (t=1) 1 2[]1f(x,1/2)(x)(x1)2δδ=+-[]1F(x,1/2)(x)(x1)2U U=+-[]1f(x,1)(x-1)(x2)2δδ=+-[]1F(x,1)(x-1)(x2)2U U=+-[]1F(x1,x2,1/2,1)(x)(x-1)(x-1)(x2)2U U U U=+-[]1F(x1,x2,1/2,1)(x2+1)(x1-1)(x1)(x22)2U U U U=+-2.5随机过程X(t)由四条样本函数组成，如图题 2.6，出现的概论分别为p(§1)=1/8,p(§2)=1/4,p(§3)=3/8,p(§4)=1/4,求E[X(t1)],E[X(t2)],E[X(t1)X(t2)]及联合概率密度函数px(x1,x2;t1,t2)。

随机信号分析报告基础作业题

第一章1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。

如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。

如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？解：()0.3P A = ()0.2P B = ()0.1P C = ()0.4P D =E －迟到，由已知可得(|)0.25(|)0.4(|)0.1(|)0P E A P E B P E C P E D ==== 全概率公式： ()()()()(P E P E AP E B P E C P E D=+++ 贝叶斯公式：()(|)()0.075(|)0.455()()0.165(|)()0.08(|)0.485()0.165(|)()0.01(|)0.06()0.165(|)()(|)0()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ⋅====⋅===⋅===⋅==综上：坐轮船3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为2222,0()0,0X x x X x e x f x x σσ-⎧⎪>=⎨⎪<⎩式中，常数0X σ>，求期望()E X 和方差()D X 。

考察：已知()x f x ，如何求()E X 和()D X ？222222()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dxD XE X m X m f x dxD XE X E X E X x f x dx∞-∞∞-∞∞-∞=⋅=-=-=-⇒=⋅⎰⎰⎰6、已知随机变量X 与Y ，有1,3,()4,()16,0XY EX EY D X D Y ρ=====，令3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。