关于条件极值的若干解法
求极值的若干方法
求极值的若干方法1 序言一般来说函数的极值可以分为无条件极值和条件极值两类．无条件极值问题即是函数中的自变量只受定义域约束的极值问题；而条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外还受其它条件限制的极值问题．下面我们给出极值的定义定义1)136](1[P 设函数f 在点0P 的某邻域0()U P 内有定义，若对于任何点0()P U P ∈，成立不等式0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥），则称函数f 在点0P 取得极大（或极小)值，点0P 称为f 的极大（或极小）值点．极大值、极小值统称为极值．极大值点、极小值点统称为极值点．2 求解一元函数无条件极值的常用方法2.1 导数法 定理１)142](2[P设f 在点0x 连续，在某邻域0(;)oU x δ内可导．(i)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≤，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≥，则f 在点0x 取得极小值．(ii)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≥，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≤，则f 在点0x 取得极大值．由此我们可以推出当0(;)ox U x δ∈时，若()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 不取极值．定理２)142](2[P 设f 在0x 的某邻域0(;)U x δ内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且()0f x '=，()0f x ''≠．(i)若0()0f x ''<，则f 在0x 取得极大值． (ii)若0()0f x ''>，则f 在0x 取得极小值．对于一般的函数我们既可以利用定理１，也可以利用定理２，但对于有不可导点的函数只能用定理１．例1 求函数2()(1)f x x x =-的极值．解 显然f 在01x =±，处不可导，23()(31)sgn()f x x x x '=-- 其中01x ≠±（，）令()0f x '=，得33±=x ，且f 在01x =±，处导数不存在．当(,1)x ∈-∞-时()0f x '<，()f x 单调减小；当(1,3x ∈--时()0f x '≥，()f x 单调增加；当[,0)3x ∈-时()0f x '≤，()f x 单调减小；当3x ∈时()0f x '≥，()f x 单调增加；当x ∈时()0f x '≤，()f x 单调减小；当(1,)x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调增加， 所以由定理１可以得到()f x 在33±=x 处取得极大值932，在01x =±，处取得极小值0． 若用定理２则有3()6sgn()f x x x x ''=- 其中01x ≠±（，），当x =()0f x ''=-<；当x =，()0f x ''=-<，由此只能判断出f 在33±=x 处取得极大值，而无法判断在不可导点01x =±，处是否取得极值． 定理２表明若函数()f x 在稳定点0x 处的二阶导数()0f x ''≠，则稳定点0x 一定是函数()f x 的极值点，但如果遇到()0f x ''=时应用定理２无法判别，这时需借助更高阶的导数来判别．定理３)143](2[P 设f 在0x 某邻域内存在直到1n -阶导函数，在0x 处n 阶可导，且()0()0(1,2,1)k f x k n ==-，()0()0n f x ≠，则(i)当n 为偶数时，f 在0x 取得极值，且当()0()0n f x <时取极大值，()0()0n f x >时取极小值． (ii)当n 为奇数时，f 在0x 处不取极值．例2 求函数43()(1)f x x x =+的极值．解 由于32()(1)(74)f x x x x '=++，因此40,1,7x =--是函数()f x 的三个稳定点． f 的二阶导数为22()6(1)(782)f x x x x x ''=+++，由此得，(0)(1)0f f ''''=-=及4()07f ''-<．所以()f x 在47x =-处取得极大值．求f 的三阶导数32()6(3560304)f x x x x x '''=+++，有(0)0f '''=，(1)0f '''->．由于3n =为奇数，由定理３知函数f 在1x =-处不取极值， 再求f 的四阶导数(4)32()24(3545151)f x x x x =+++，有(4)(0)0f >．因为4n =为偶数，故f 在0x =处取得极小值．综上所述，(0)0f =为极小值， 434436912()()()777823543f -==为极大值．2.2 对某些复杂函数求极值的特殊方法对某些比较复杂（比如含根号）的函数，求导数、稳定点比较困难，计算容易出错，这时我们可以利用()f x 与()nf x 有相同的极值点（极值的类型可能不同）这一特点，把复杂的函数转化为一般函数再求解．推论1[3](36)P 设0x 为()f x 的极大（小）值点，则有：１）如果()0f x ≥，则()f x 与()nf x 有相同的极值点和极值． ２）如果()0f x ≤，则()f x 与21()n f x +仍有相同的极值点，但()f x 与2()n f x 的极值的类型恰恰相反，即0x 为2()nfx 的极小（大）值点．例 3 求函数(8)y x =-解 因为 5104(8)(1)y x x =-+，所以59410393()10(8)(1)4(8)(1)2(8)(1)(711)y x x x x x x x '=-++-+=-+-．令0)(5='y ,得11-=x ，82=x ，7113=x ， 故当11(,1)(,8)7x ∈-∞-⋃ 时，5()0y '<，5y 单调减，当11(1,)(8,)7x ∈-⋃+∞时，5()0y '>，5y单调增，所以5y 在1x =-，8x =处取得极小值0，在117x =处取得极大值1044518()()77．根据推论1得y 在1x =-和8x =处取得极小值0，在117x =处取得极大值4254518()()77．若直接用对函数求导的方法可得4125542(8)(1)(8)(1)5y x x x x -'=-++-+21542(8)(1)(8)5(1)x x x x -++-=+ 显然导数较复杂，求稳定点比较困难，且有不可导点，直接求导数容易出错．由上述方法可知稳定点，导数不存在的点是连续函数可能的极值点，此外函数可能的极值点还能是第一类间断点．我们假设()f x 在0x 的某邻域00(,)x x δδ-+内有定义，0x 是()f x 的第一类间断点，根据极值的定义可得到()f x 在0x 处求极值的两个推论[4](11)P ．推论２ 如果000()lim ()x x f x f x →->且000()lim ()x x f x f x →+> 则()f x 在点0x 处取得极大值)(0x f ．推论３ 如果当00(,)x x x δ∈-时，()f x 单调增加，当00(,)x x x δ∈+时，()f x 单调减少，且000()lim ()x x f x f x →-≥、000()lim x x f x →+≥则在点0x 处取得极大值0()f x ．类似地可以推出极小值．例4 求函数3,()3,x x f x x ⎧=⎨+⎩ .0,0≤>x x 的极值．解 当0x >时，33()()3(1)xxf x x x Inx ''==+， 令()0f x '=得稳定点1x e=， 当10x e<<时，()0f x '<；当1x e >时，()0f x '>，故()f x 在1x e=处取极小值311()()e f e e =．又当0x <时()10f x '=>，()f x 单调增加； 当10x e<<时3()3(1)0xf x x Inx '=+<，()f x 单调减少，且0lim ()3(0)x f x f -→==，00213lim3lim11300lim ()lim 1(0)x x Inx x xInx xx x x f x e e ee f ++→→++-→→=====<．所以()f x 在0x =有极大值(0)3f =．3 求解二元函数无条件极值常用的方法3.1 利用判别式求极值定理４)138137](1[P P - 设二元函数f 在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内具有二阶连续偏导数，且0P 是f 的稳定点，则有如下判别式：（i ）当0()0xx f P >，20()()0xx yy xy f f f P ->时，f 在点0P 取得极小值； (ii)当0()0xx f P <，20()()0xx yy xy f f f P ->时，f 在点0P 取得极大值；(iii)当20()()0xx yy xy f f f P -<时，f 在点0P 不能取得极值； （iv ）当20()()0xx yy xy f f f P -=时，不能肯定f 在点0P 是否取得极值．这是对二元函数求极值比较实用的方法，但在用这个方法时需要注意一些问题．1）20()()0xx yy xy f f f P -=时，可能有极值也可能没有极值，需要另作讨论．例如函数46(,)f x y x y =+与46(,)g x y x y =-，容易验证这两个函数都以点(0,0)为稳定点，且在点(0,0)处都满足2()(0,0)0xx yy xy f f f -=，但(,)f x y 在点(0,0)处取极小值，而(,)g x y 在点(0,0)处不取极值．2）如果函数在个别点的偏导数不存在，这些点显然不是稳定点，但也可能是极值点，因此我们在讨论函数的极值问题时，对这些点也应当考虑．例如函数z =(0,0)的偏导数不存在，但是该函数在点(0,0)点却具有极小值．一般在高等数学教材中，对像这样的二元函数并没有明确给出在偏导数不存在处求极值的方法，他们只是根据初等数学中函数图像的性质推断出在该点能否取极值．对此我参考对特殊一元函数求极值的方法推导出了对特殊二元函数求极值的一般解法．3.2 二元函数在偏导数不存在处求极值的特殊方法 命题1 设00(,)x y 为(,)f x y 的极大（小）值点，则有：1）21(,)n f x y +与(,)f x y 有相同的极值点和极值类型，即00(,)x y 也为21(,)n f x y +的极大（小）值点；2）当(,)0f x y ≥时，2(,)nfx y 与(,)f x y 有相同的极值点和极值类型，即00(,)x y 为2(,)nf x y 的极大（小）值点；当(,)0f x y <时，2(,)nf x y 与(,)f x y 仍有相同的极值点，但它们的极值类型恰恰相反，即00(,)x y 为2(,)nf x y 的极小（大）值点．下证结论1）, 2），1）证 由极值的定义知，若00(,)x y 是(,)f x y 的极大（小）值点，则对于00(,)x y 的某一邻域内的任一点(,)x y 都有00(,)(,)f x y f x y ≤（或00(,)(,)f x y f x y ≥），故有212100(,)(,)n n f x y f x y ++≤（或212100(,)(,)n n f x y f x y ++≥）．反之，若212100(,)(,)n n fx y f x y ++≤（或212100(,)(,)n n f x y f x y ++≥），则有00(,)(,)f x y f x y ≤（或00(,)(,)f x y f x y ≥），即21(,)n fx y +与(,)f x y 有相同的极值点和极值类型． ２）当(,)0f x y ≥时，结论很明显，证略．下证当(,)0f x y <时，证 不妨设00(,)x y 是(,)f x y 的极大值点，则对00(,)x y 的某邻域内有00(,)(,)f x y f x y ≤， 所以有212100(,)(,)n n f x y f x y --≤，由于(,)0f x y <，故21210000(,)(,)(,)(,)n n f x y f x y f x y f x y --≥，即2200(,)(,)n nf x y f x y ≥．所以00(,)x y 是(,)f x y 的极小值点．例5 求函数1122222222()(1)x y z x y a b=+-- (0)a b <<的极值．分析：直接对z 求偏导，则有22222211[1()]x x x y z --+=，22222112[1()]y y y x z -+-=，显然计算相当麻烦，且(0,0)点为函数z 的不可导点，但也可能是函数的极值点，故直接求导不可取，这时可利用命题１来求解．解 令2222222()(1)x y f z x y a b==+-- (0)a b <<，需先对函数f 求偏导，令22222222222112[1()]0,1122[1()]0.x y x f x y a a by f y x a b b ⎧=--+=⎪⎪⎨⎪=-+-=⎪⎩解得稳定点(0,0)，(0,，(， 又2222121122()xx x A f y a a b ==--+，22114()xy B f xy a b==-+，22222111222()xy y C f x a b b==-+-，因为在点(0,0)有20AC B ->，且有0A >，故点(0,0)为函数f 的极小值点；在点(0,有20AC B ->，且有0A <，故点(0,为函数f 的极大值点；而在点(有20AC B -<，故函数f在点(不取极值． 又因为0z ≥，从而由命题１可得函数z 在点(0,0)取得极小值0，在点(0,取得极大值2b．4 求解隐函数无条件极值的常用方法4.1 利用显函数极值问题的相应结论 定理５[5](26)P 设函数12(,,,,)n f x x x y 具有一阶、二阶连续偏导数，且12(,,,,)0y n f x x x y ≠，则由方程12(,,,,)0n f x x x y =所确定的n 元函数12(,,,)n y y x x x =在点000012(,,,)n P x x x 取得极值的必要条件是：000012(,,,)0i x n f x x x y =(1,2,,)i n =其中00012(,,,)0n f x x x y =．若记00012000012(,,,)(,,,)i j x x n ij y nf x x x y h f x x x y =-(,1,2,,)i j n =，0()()ij n n H P h ⨯=．那么，当0()H P 为正定矩阵时，12(,,,)n y y x x x =在0P 处取得极小值；当0()H P 为负定矩阵时，12(,,,)n y y x x x =在0P 处取得极大值；当0()H P 为不定矩阵时，12(,,,)n y y x x x =在0P 处不取得极值．例6 求由方程2222222440x y z xy x y z +++---+=所确定的函数(,)z z x y =的极值． 解 令222(,)222244f x y x y z xy x y z =+++---+，解方程组2224220,2220,2222440.x y f x y f y x f x y z xy x y z ⎧=+-=⎪=+-=⎨⎪=+++---+=⎩解得稳定点为1(0,1,1)P ，2(0,1,3)P ，进而可得4xx f =，2xy f =，2yy f =，1()2z f P =-，2()2z f P =，所以121()11H P ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，221()11H P --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，显然1()H P 为正定矩阵，2()H P 为负定矩阵．由定理５可知函数(,)z z x y =在点1(0,1)P 处取得极小值1，在点2(0,1)P 处取得极大值3． 4.2 利用拉格朗日乘数法[6](167)P这种方法是把原方程中的隐函数设为目标函数，把原方程设为约束条件，将隐函数极值问题转化为求条件极值的问题．例7 求由方程22222880x y z xz z +++-+=所确定的隐函数(,)z z x y =的极值． 解 取目标函数(,,)f x y z z =，约束条件为原方程，作辅助函数222(,,,)(2288)L x y z z x y z xz z λλ=++++-+，令222480,40,1820,22880.x yz L x z L y L x z L x y z xz z λλλλλλλ=+=⎧⎪==⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-+=⎩ 解得1115λ=-，2115λ=，稳定点1168(,0,)77P -，2(2,0,1)P -， 又4xx L λ=，0xy L =，4yy L λ=，由于22160xx yy xy f f f λ-=>(0)λ≠，故所求之点1168(,0,)77P -，2(2,0,1)P -均为极值点，且当0λ<时为极大值点，当0λ>时为极小值点．由此得所求函数(,)z z x y =的极大值为87-，极小值为1．同样例1也可以用这种方法求解．5 求解条件极值的常用方法5.1 代入法化为无条件极值问题这种方法一般是从条件方程（以二元条件极值为例）(,)0x y ϕ=中解出显函数()y y x =代入(,())z x y x =中化为无条件极值问题，从而使问题简化．例8 求函数22(,)f x y x y =+在条件10x y +-=下的极值．解 由10x y +-=，得1y x =-， ⑴ 将⑴代入(,)f x y ，得222(1)221f x x x x =+-=-+，由二次函数的顶点式可知当12x =时，f 取得极小值12．显然用这种方法比拉格朗日乘数法更简洁，但在求解过程中要注意几个问题：1）这种方法适合用于比较简单的、含自变量较少函数，一般不超过三个；2）对有些约束条件较复杂、不易从约束条件中解出显函数的函数，这时不适合用代入法求解； 3）在求解过程中如果不注意代入的条件则可能导致不完整甚至错误的答案[7](42)P ．例如求解原点到曲面22()1x y z -+=的最短距离．用代入法求解时，如果将221()z x y =--代入222u x y z =++得2221()12u x y x y xy =++--=+，由20,20.x y u y u x ==⎧⎪⎨==⎪⎩得可能的极值点为1(0,0,1)P 与2(0,0,1)P -，此时1P ，2P 到原点的距离均为1，而曲面22()1x y z -+=存在到原点的距离比1小的点，比如11(,,0)22P -就是这样的点，因此用代入法求解时，这样的最短距离不存在．而用拉格朗日乘数法求解时，则可得到二个可能的极值点分别是311(,,0)22P -与411(,,0)22P -，且从几何图形不难看出3P ，4P正是两个最值点，最短距离为2．原因是求222u x y z =++在约束条件22()1x y z -+=的最值时，x 与y 的取值范围必须满足1x y -≤，而将221()z x y =--代入222u x y z =++后得12u xy =+，x 与y 的取值范围都已是),(+∞-∞．5.2 利用拉格朗日乘数法用拉格朗日乘数法可求解含更多自变量的条件极值且无需解出显函数，其方法简捷．但其不足之处是所求的点只是可能的极值点，在解题过程中通常是根据问题的实际情况来推测．若想要确定该点是否是极值点及在该点的极值类型则需要根据拉格朗日函数L 的二阶微分符号来判断．定理６[8](257258)P P - 设0P 是拉格朗日函数L 的稳定点，则1） 若20()0d L P >，则函数f 在0P 取条件极小； 2） 若20()0d L P <，则函数f 在0P 取条件极大．例9 求函数222212341234(,,,)f x x x x x x x x =+++在条件411(0,1,2,3,4)k kk k a xa k ==>=∑下的极值．解 设拉格朗日函数为42222123412341(,,,)(1)k kk L x x x x x x x x a xλ==++++-∑，对L 求偏导并令它们都等于0，则有1233411223444120,20,20,20,10.x x x x k k k L x a L x a L x a L x a a x λλλλ=⎧⎪=+=⎪⎪=+=⎪⎪=+=⎨⎪=+=⎪⎪⎪-=⎪⎩∑解得421(1,2,3,4)ii kk a x i a===∑，4212kk aλ==-∑，又当4212kk aλ==-∑时，222142()0d L d x d x =++>，所以当421(1,2,3,4)ii kk a x i a===∑时，f 取得极小值，极小值为4211kk a=∑．5.3 运用梯度法求条件极值将梯度法用于求条件极值问题，方程组11212112(,,,)(,,,),(,,,)0,(1,2,,1).n n i i n i i n gradf x x x grad x x x x x x i n λϕϕ-=⎧=⎪⎨⎪==-⎩∑的解就是所求极值问题的可能极值点[9](35)P ．例10[9](35)P 试求n 个正数，其和为定值l 的条件下，什么时候乘积最大，并证明2121()n n x x x x n ≤+++．证 本题的实质是求1212(,,,)n n y f x x x x x x ==在条件12n x x x l +++=下的最大值问题．根据本文定理，列出下列方程组，求解可能的极值点121212()(),.n n n grad x x x grad x x x l x x x l λ=+++-⎧⎨+++=⎩进一步求解得{}{}231312112,,,1,1,,1,.n n n n x x x x x x x x x x x x l λ-=⎧⎪⎨+++=⎪⎩容易得到12n lx x x n ====，根据题意，则,,,l lln n n（）是唯一的极大值点,也是最大值点．所以 12(,,,)nn l f x x x n ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2121()n n x x x x n≤+++．5.4 利用球面坐标求条件极值利用空间坐标点M 的直角坐标(,,)x y z 与球面坐标(,,)γϕθ之间的关系，应用这一变换可求解含平方和（或可化为含平方和）运算的条件极值问题[10](96)P ．例11[10](96)P 求函数222u x y z =++在条件22()1x y z --=下的极值．解 利用球面坐标法，由目标函数222u x yz =++，可设cos ,sin ,x y z ϕθϕθϕ===，代入约束条件可得21sin (2sin 2)12uϕθ=--≤ (当13,24ϕπθπ==时取等号)，于是12u ≥，故所求极小值为12u =． 利用球面坐标求解条件极值问题其解法优于代入法、乘数法，且解法简洁，省去了对极值充分性的考虑，比一般的方法省事许多，同时所获得极大（小）值就是最大（小）值．6 极值与最值的联系与区别及最值应用在日常生活、工程技术与生产实践中，我们常会遇到这样的问题：在一定的条件下，怎样才能使产品最多而用料最省，成本最低而利润最大等，这些问题通常都归结为数学中的最值问题．下面我们给出最值的定义[12](80)P ．定义2 设函数f 在区域D 上连续，如果存在D 中的点0P ，1P 使得0()f P M =，1()f P m =，且对于任意的点P D ∈都有()m f P M ≤≤，则称M 为f 在D 上的最大值，m 为f 在D 上的最小值，0P 称为最大值点，1P 称为最小值点．最大值与最小值统称为最值，最大值点与最小值点统称为最值点．最值和极值在某种程度上有相似点，也有不同点，了解了极值与最值的关系有助于求解函数的最值．极值与最值的区别和联系：1）极值是函数在某点的局部性质，而最值是函数在区域的整体性质； 2）在给定的区域上极值可能有多个，而最大（小）值最多各有一个； 3）在区间内部最值一定是函数在某个区域的极值，极值未必是最值； 4）极值点不能是边界点，最值点可以为边界点；5）如果函数的最值在某个区域内取得，该点一定是极值点；6）在整个区域上极小值可能大于极大值，而最小值一定不大于最大值．所以要求函数在区域上的最大（小）值，只要比较函数在所有稳定点、不可导点和区域的边界点上的函数值，就能从中找出函数在该区域上的最大值与最小值． 通常在求闭区域上的多元函数的最值时，都按下列步骤进行． 第一步：在区域内部求出函数的所有稳定点和偏导数不存在的点； 第二步：计算在这些点处的函数值及函数在区域边界上的函数值； 第三步：比较上述所求值的大小，最大（小）者为最大（小）值．在实际问题中，根据对问题的分析知函数的最值存在，而函数在区域内部只有一个稳定点，则函数在该点的值就是所求的最大（小）值．例12)176](7[P 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求价格分别是11182P Q =-，2212P Q =-（单位：万元／吨），1Q ，2Q 分别表示该产品在两个市场的销售量（单位：吨），则该企业生产这种产品的总成本是25C Q =+，其中12Q Q Q =+．（１）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润．（２）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化，并比较两种价格策略下的总利润的大小．解 （１）根据题意，总利润函数为1122(25)L PQ P Q Q =+-+221212216105Q Q Q Q =--++-， 令12124160,2100.Q Q L Q L Q =-+=⎧⎪⎨=-+=⎪⎩解得14Q =，25Q =，则有110P =(万元/t)，27P =(万元/t) ．因稳定点(4,5)唯一，且该实际问题一定存在最大值，故最大值必在稳定点处达到，最大利润为22245164105552L =-⨯-+⨯+⨯-=（万元）． （２）若实行价格无差别策略，则12P P =，于是有1226Q Q -=， 构造拉格朗日函数22121212216105(26)F Q Q Q Q Q Q λ=--++-+--，令12121241620,2100,260.Q Q F Q F Q F Q Q λλλ=-++=⎧⎪=-+-=⎨⎪=--=⎩解得15Q =，24Q =，2λ=，则得128P P ==， 最大利润为22254165104549L =-⨯-+⨯+⨯-=（万元）． 由上述结果知，企业实行差别定价所得总利润要大于统一价格的总利润．参考文献：[1] 华东师范大学数学系编．数学分析下册[M]．高等教育出版社，2002[2] 华东师范大学数学系编．数学分析上册[M]．高等教育出版社，2002 [3] 孟赵玲，许燕．函数极值的两个简单求法[J]．北京印刷学院学报，2005，09 [4] 王金金，任春丽．函数在间断点处的极值问题[J]．高等数学研究，2006，03 [5] 单国莉．矩阵的正定性和隐函数的极值[J]．高等数学研究，2004，12 [6] 李心灿，宋瑞霞，旭辉．高等数学专题十二讲[M]．化学工业出版社，2001 [7] 莫国良．关于用代人法求条件极值的一点注记[J]．高等数学研究，2004，06 [8] 邓东皋，尹小玲．数学分析简明教程[M]．高等教育出版社，1999[9] 肖翔，伯生．用梯度法求条件极值[J]．上海工程技术大学教育研究，2006，01 [10] 李德新．球面坐标解一类条件极值问题[J]．高等数学研究，2005，09[11] 吉艳霞．函数极值问题的方法探讨[J]．运城学院学报，2006，08[12]Stanley J.Farlow and Gray M.Haggaryd．Caculus and its Applications[M]．New York: McGraw-Hill Publishing Company，1990。
多元函数条件极值的几种求解方法
多元函数条件极值的几种求解方法摘要本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。
介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。
关键词极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式1前言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。
函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。
微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。
有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。
同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。
举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。
还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局才能让这些公共基础建设的利远大于弊。
一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益。
求极值的若干方法
求极值的若干方法求解函数的极值是数学分析中重要的问题之一、找出函数的极值可以帮助我们确定函数的最大值或最小值，并且有助于解决各种实际问题。
本文将介绍常见的求解极值的若干方法。
一、导数法（一阶导数法、二阶导数法）导数是函数在其中一点的变化率，求导数的过程可以帮助我们确定函数的增减性，从而找出函数的极值点。
常见的导数法包括一阶导数法和二阶导数法。
1.一阶导数法：首先求函数的一阶导函数，然后将导函数等于零，解出方程得到函数的临界点，再将临界点代入函数，找出对应的函数值，最终从函数值中找出最大值或最小值。
2.二阶导数法：首先求函数的二阶导函数，然后将二阶导函数等于零，解出方程得到函数的拐点，再将拐点代入函数，找出对应的函数值，最终从函数值中找出最大值或最小值。
二阶导数法可以帮助我们判断函数的临界点是极值点还是拐点。
二、边界法（最大最小值定理）边界法是基于最大最小值定理求解函数极值的方法。
最大最小值定理指出，在闭区间内的连续函数中，最大值和最小值一定存在。
因此，我们可以通过求解函数在闭区间端点和临界点处的函数值，找出函数的最大值或最小值。
三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是用于求解带约束条件的极值问题的方法。
在求解极值问题时，如果还存在一些约束条件，可以引入拉格朗日乘数，通过构建拉格朗日函数，将约束条件加入目标函数中，然后求解拉格朗日函数的极值点。
最终，通过求解得到的极值点，再进行函数值的比较，找出最大值或最小值。
四、二分法二分法是一种在有序列表中查找特定元素的方法，也可以用于求解函数的极值。
二分法的基本思想是通过将区间一分为二，然后比较中间点与两侧点的大小关系，逐步缩小范围，最终找出函数的极值点。
二分法的效率较高，适用于一些连续单调函数。
五、牛顿法牛顿法是一种用于求解多项式函数的根的方法，也可以用于求解函数的极值。
牛顿法的基本思想是通过构建一个逼近曲线，以曲线与函数的交点为新的逼近值。
然后不断迭代逼近，最终找到函数的极值点。
高考数学中的函数极值问题解决技巧
高考数学中的函数极值问题解决技巧在高考数学中，函数极值问题是一个必考的重点内容，也是让考生们感到较为困难的一部分。
函数极值问题一般分为两种，一种是求最大值或最小值，另一种是证明函数存在极值。
以下将从方法和技巧两方面进行讲解。
一、方法1. 消元法对于一些复杂的函数，我们需要通过消元的方式将其转化为更为简单的形式。
如对于$f(x)=\sqrt{3x^2-x+1}$，我们可以将其化为$f(x)=\sqrt{3(x-\frac{1}{6})^2+\frac{11}{36}}$，从而可以更方便地求得极值。
2. 导数法导数法是解决函数极值问题的主要方法。
对于函数$y=f(x)$，其导数为$f'(x)$，则当$f'(x)=0$时，$f(x)$存在极值。
当$f'(x)>0$时，$f(x)$为增函数，当$f'(x)<0$时，$f(x)$为减函数。
3. 辅助线法辅助线法是求函数极值的重要方法之一。
当函数比较复杂时，我们可以通过引入一些辅助线，使函数化为更为简单的形式，从而容易求得其极值。
二、技巧1. 利用对称性对于一些具有对称性的函数，我们可以通过利用其对称性来简化计算，如对于函数$f(x)=\frac{x^3-3x}{x^2+1}$，由于其为奇函数，即满足$f(-x)=-f(x)$，故其存在对称轴$x=0$，从而极值点必在$x=0$处出现。
2. 限制范围当函数存在定义域限制时，我们可以通过限制其范围来简化计算，如对于函数$f(x)=\frac{x}{x+1}$，由于其定义域为$x>-1$，故当$x\rightarrow+\infty$时，$f(x)\rightarrow1$；当$x\rightarrow-1$时，$f(x)\rightarrow-\infty$，从而可得$f(x)$的最小值为-1/2。
3. 利用不等式当函数比较复杂时，我们可以通过利用一些常用的不等式来简化计算，如对于函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，当$x\geq0$时，$f(x)\geq0$，故其最小值必在$x=0$处。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
成一个无盖的方盒，问截去多少方能使盒子容积最大？
解：设截的小正方形边长为 x，则做成方盒容积为 y=(x-2a) x（0≤x≤a/2）
于是问题就归结为求函数在区间内极值问题。运用引理可知在 x=a/6 是盒子容积
最大。
五、利用平面几何图形求最值
例 11 求函数
的最小值。
分析：本题要求无理函数最值。用代数方法比较困难，若将函数表达变形为； 则函数表达式显现为坐标平面上
条件求出自变量的范围，最终将问题为一元二次函数区间内最值问题。但这样解
决此题，计算量较大。我们仔细分析约束条件，将约束条件可以整理为
，它表示以 x、y 为坐标的动点必须在椭圆
内或边界。而函数 f(x、y)=x－3y 可以约束区域内有点在
直线上的情况下，直线系中哪条直线在 y 轴截距最大或最小。显然在与椭圆相切
y x 3
y x3
x o
根据图像我们可以判断：当 x=0,
；当 x=3,
,对此类型问题的
思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图
像来求解极值，那么过程就非常复杂。那么是否有更简单的方法呢？经过对问题
的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图
就转化为在图像上找一点使得该点的横纵坐标之和最大或最小。此后就可采用椭
圆的参数方程解决。 例 5 若 2x+4y=1 求 x2+y2 的最小值 分析 函数 f(x、y)= x2+y2 我们理解为点（x、y）到原点的距离的平方，而
动点（x、y）在直线 2x+4y=1 上移动，那么我们就将问题转化为在直线上找一点，
于：能深刻理解函数解析式的内涵，且计算简单。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。
因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。
下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。
一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。
我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数的极值。
很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。
例1设－2≤x≤3，求函数的最值。
解：若将函数示为分段函数形式。
作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,；当x=3,,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。
那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。
经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、、=8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。
=max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝,=min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。
运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。
1.转化为求直线斜率的最值。
例2求函数的最值分析函数解析式非我们常见的函数模型。
通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin 、－cos ）两点直线的斜率。
而动点B的轨迹是y xo 3+=x y 3+-=x y 13+-=x y 13-=x y圆x2+y2=1。
因此我们就将问题转化为了求定点（3、2）与圆x2+y2=10上一点连线的斜率的最大值与最小值。
高考复习专题四—求极值的六种方法(解析版)
微讲座(四)——求极值的六种方法从近几年高考物理试题来看，考查极值问题的频率越来越高，由于这类试题既能考查考生对知识的理解能力、推理能力，又能考查应用数学知识解决问题的能力，因此必将受到高考命题者的青睐．下面介绍极值问题的六种求解方法．一、临界条件法对物理情景和物理过程进行分析，利用临界条件和关系建立方程组求解，这是高中物理中最常用的方法．某高速公路同一直线车道上有同向匀速行驶的轿车和货车，其速度大小分别为v 1＝30 m/s ，v 2＝10 m/s ，轿车在与货车距离x 0＝25 m 时才发现前方有货车，此时轿车只是立即刹车，两车可视为质点．试通过计算分析回答下列问题：(1)若轿车刹车时货车以v 2匀速行驶，要使两车不相撞，轿车刹车的加速度大小至少为多少？(2)若该轿车刹车的最大加速度为a 1＝6 m/s 2，轿车在刹车的同时给货车发信号，货车司机经t 0＝2 s 收到信号并立即以加速度大小a 2＝2 m/s 2加速前进，两车会不会相撞？[解析] (1)两车恰好不相撞的条件是轿车追上货车时两车速度相等，即 v 1－at 1＝v 2①v 1t 1－12at 21＝v 2t 1＋x 0②联立①②代入数据解得：a ＝8 m/s 2. (2)假设经过时间t 后，两车的速度相等 即v 1－a 1t ＝v 2＋a 2(t －t 0)此时轿车前进的距离x 1＝v 1t －12a 1t 2货车前进的距离x 2＝v 2t 0＋v 2(t －t 0)＋12a 2(t －t 0)2代入数据解得：x 1＝63 m ，x 2＝31 m 因为：x 1－x 2＝32 m>x 0，两车会相撞． [答案] (1)8 m/s 2 (2)会相撞 二、二次函数极值法 对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a ＞0时，y 有最小值y min ＝4ac －b 24a，当a ＜0时，y 有最大值y max ＝4ac －b 24a.也可以采取配方法求解．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a ＝3 m/s 2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v 自＝6 m/s 的速度匀速驶来，从旁边超过汽车．试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？[解析] 设汽车在追上自行车之前经过时间t 两车相距最远，则 自行车的位移：x 自＝v 自t汽车的位移：x 汽＝12at 2则t 时刻两车的距离Δx ＝v 自t －12at 2代入数据得：Δx ＝－32t 2＋6t当t ＝－62×⎝⎛⎭⎫－32 s ＝2 s 时，Δx 有最大值Δx max ＝0－624×⎝⎛⎭⎫－32 m ＝6 m对Δx ＝－32t 2＋6t 也可以用配方法求解：Δx ＝6－32(t －2)2显然，当t ＝2 s 时，Δx 最大为6 m. (说明：此题也可用临界法求解) [答案] 见解析 三、三角函数法某些物理量之间存在着三角函数关系，可根据三角函数知识求解极值．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33.重力加速度g 取10 m/s 2.(1)求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小；(2)拉力F 与斜面的夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？[解析] (1)设物块加速度的大小为a ，到达B 点时速度的大小为v ，由运动学公式得：L ＝v 0t ＋12at 2①v ＝v 0＋at ②联立①②式，代入数据解得：a ＝3 m/s 2，v ＝8 m/s.(2)设物块所受支持力为F N ，所受摩擦力为F f ，拉力与斜面之间的夹角为α，受力分析如图所示，由牛顿第二定律得：F cos α－mg sin θ－F f ＝ma ③F sin α＋F N －mg cos θ＝0④ 又F f ＝μF N ⑤联立③④⑤解得：F ＝mg （sin θ＋μcos θ）＋macos α＋μsin α⑥由数学知识得：cos α＋33sin α＝233sin(60°＋α)⑦ 由⑥⑦式可知对应的F 最小值与斜面的夹角α＝30°⑧ 联立⑥⑧式，代入数据得F 的最小值为：F min ＝1335N. [答案] (1)3 m/s 2 8 m/s(2)夹角为30°时，拉力最小，为1335N四、图解法此种方法一般适用于求矢量极值问题，如动态平衡问题，运动的合成问题，都是应用点到直线的距离最短求最小值．质量为m 的物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，用图解法求维持物体做匀速运动的最小拉力．[解析] 由F fF N ＝μ知，不论F f 、F N 为何值，其比值恒定由图知F fF N＝μ＝tan α，即F ′的方向是确定的．由平衡条件推论可知：mg 、F ′、F 构成闭合三角形．显然，当F ⊥F ′时，F 最小．F min ＝mg sin α＝mg tan α1＋tan 2 α＝μmg1＋μ2.(说明：此题也可用三角函数法求解．) 物体受力分析如图． 由平衡条件得：F ·cos θ＝F f ①F ·sin θ＋F N ＝mg ② 又F f ＝μF N ③联立①②③得：F ＝μmgcos θ＋μsin θ令sin α＝11＋μ2，cos α＝μ1＋μ2 则F ＝μmg1＋μ2 sin （α＋θ）当sin(α＋θ)＝1时，F min ＝μmg1＋μ2.[答案] μmg1＋μ2五、均值不等式法任意两个正整数a 、b ，若a ＋b ＝恒量，当a ＝b 时，其乘积a ·b 最大；若a ·b ＝恒量，当a ＝b 时，其和a ＋b 最小．在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H 的平台上A 点由静止出发，沿着动摩擦因数为μ的滑道向下运动到B 点后水平滑出，最后落在水池中．设滑道的水平距离为L ，B 点的高度h 可由运动员自由调节(取g ＝10 m/s 2)．(1)求运动员到达B 点的速度与高度h 的关系．(2)运动员要达到最大水平运动距离，B 点的高度h 应调为多大？对应的最大水平距离x max 为多少？(3)若图中H ＝4 m ，L ＝5 m ，动摩擦因数μ＝0.2，则水平运动距离要达到7 m ，h 值应为多少？[解析] (1)设斜面长度为L 1，斜面倾角为α，根据动能定理得mg (H －h )－μmgL 1cos α＝12m v 20①即mg (H －h )＝μmgL ＋12m v 20②v 0＝2g （H －h －μL ）.③ (2)根据平抛运动公式 x ＝v 0t ④ h ＝12gt 2⑤ 由③④⑤式得x ＝2（H －μL －h ）h ⑥由⑥式可得，当h ＝12(H －μL )时水平距离最大x max ＝L ＋H －μL .(3)在⑥式中令x ＝2 m ，H ＝4 m ，L ＝5 m ，μ＝0.2 则可得到－h 2＋3 h －1＝0 求得h 1＝3＋52m ＝2.62 m ；h 2＝3－52m ＝0.38 m.[答案] 见解析 六、判别式法一元二次方程的判别式Δ＝b 2－4ac ≥0时有实数根，取等号时为极值，在列出的方程数少于未知量个数时，求解极值问题常用这种方法．(原创题)如图所示，顶角为2θ的光滑绝缘圆锥，置于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B ，现有质量为m ，带电量为－q 的小球，沿圆锥面在水平面内做圆周运动，求小球做圆周运动的最小半径．[解析] 小球受力如图，设小球做圆周运动的速率为v ，轨道半径为R . 由牛顿第二定律得：水平方向：q v B －F N cos θ＝m v 2R竖直方向：F N sin θ－mg ＝0 两式联立得：m v 2R－q v B ＋mg cot θ＝0 因为速率v 为实数，故Δ≥0 即(qB )2－4⎝⎛⎭⎫m R mg cot θ≥0 解得：R ≥4m 2g cot θq 2B 2故最小半径为：R min ＝4m 2g cot θq 2B 2.[答案] 4m 2g cot θq 2B 21.(单选)(2016·广州模拟)如图所示，船在A 处开出后沿直线AB 到达对岸，若AB 与河岸成37°角，水流速度为4 m/s ，则船从A 点开出的最小速度为( )A ．2 m/sB ．2.4 m/sC ．3 m/sD ．3.5 m/s 解析：选B.AB 方向为合速度方向，由图可知，当v 船⊥AB 时最小，即v 船＝v 水·sin 37°＝2.4 m/s ，B 正确．2．(单选)如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A 点处放置一光滑的木板AB ，B 端刚好在斜面上．木板与竖直方向AC 所成角度为α，一小物块自A 端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系应为( )A ．α＝θB ．α＝θ2C ．α＝θ3D ．α＝2θ解析：选B.如图所示，在竖直线AC 上选取一点O ，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A 点，且与斜面相切于D 点．由等时圆知识可知，由A 沿木板滑到D 所用时间比由A 到达斜面上其他各点所用时间都短．将木板下端与D 点重合即可，而∠COD ＝θ，则α＝θ2.3．(2016·宝鸡检测)如图所示，质量为m 的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F 的水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：(1)物体与斜面间的动摩擦因数； (2)这一临界角θ0的大小．解析：(1)斜面倾角为30°时，物体恰能匀速下滑，满足 mg sin 30°＝μmg cos 30° 解得μ＝33.(2)设斜面倾角为α，受力情况如图，由匀速直线运动的条件： F cos α＝mg sin α＋F f F N ＝mg cos α＋F sin α F f ＝μF N解得：F ＝mg sin α＋μmg cos αcos α－μsin α当cos α－μsin α＝0，即cot α＝μ时，F →∞ 即“不论水平恒力F 多大”，都不能使物体沿斜面向上滑行，此时，临界角θ0＝α＝60°. 答案：(1)33(2)60°4．如图所示，质量为m ＝0.1 kg 的小球C 和两根细绳相连，两绳分别固定在细杆的A 、B 两点，其中AC 绳长l A ＝2 m ，当两绳都拉直时，AC 、BC 两绳和细杆的夹角分别为θ1＝30°、θ2＝45°，g ＝10 m/s 2.问：细杆转动的角速度大小在什么范围内，AC 、BC 两绳始终张紧？解析：设两细绳都拉直时，AC 、BC 绳的拉力分别为F TA 、F TB ，由牛顿第二定律可知： 当BC 绳中恰无拉力时，F T A sin θ1＝mω21l A sin θ1① F TA cos θ1＝mg ②由①②解得ω1＝1033rad/s. 当AC 绳中恰无拉力时，F TB sin θ2＝mω22l A sin θ1③ F TB cos θ2＝mg ④ 由③④解得ω2＝10 rad/s.所以，两绳始终有张力时细杆转动的角速度的范围是 1033rad/s ＜ω＜10 rad/s. 答案： 1033rad/s ＜ω＜10 rad/s 5.(原创题)一人在距公路垂直距离为h 的B 点(垂足为A )，公路上有一辆以速度v 1匀速行驶的汽车向A 点行驶，当汽车距A 点距离为L 时，人立即匀速跑向公路拦截汽车，求人能拦截住汽车的最小速度．解析：法一：设人以速度v 2沿图示方向恰好在C 点拦住汽车，用时为t .则L ＋h tan α＝v 1t ① hcos α＝v 2t ② 联立①②两式得：v 2＝h v 1L cos α＋h sin α＝h v 1L 2＋h 2⎝ ⎛⎭⎪⎫L L 2＋h 2cos α＋h L 2＋h 2sin α由数学知识知：v 2min ＝h v 1L 2＋h 2 .法二：选取汽车为参照物．人正对汽车运动即可拦住汽车，即人的合速度方向指向汽车．其中一分速度大小为v 1，另一分速度为v 2，当v 2与合速度v 垂直时，v 2最小，由相似三角形知识可得：v 2v 1＝h L 2＋h2 v 2＝h v 1L 2＋h 2 .答案：h v 1L 2＋h 26．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d 后落地，如图所示．已知握绳的手离地面高度为d ，手与球之间的绳长为34d ，重力加速度为g .忽略手的运动半径和空气阻力．(1)求绳断时球的速度大小v 1和球落地时的速度大小v 2. (2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？解析：(1)设绳断后球飞行时间为t ，由平抛运动规律，有竖直方向14d ＝12gt 2，水平方向d ＝v 1t解得v 1＝2gd .由机械能守恒定律有12m v 22＝12m v 21＋mg ⎝⎛⎭⎫d －34d 得v 2＝52gd . (2)设绳能承受的最大拉力大小为F T ，这也是球受到绳的最大拉力大小，即球运动到最低点时球所受到的拉力．球做圆周运动的半径为R ＝34d由圆周运动向心力公式，有F T －mg ＝m v 21R得F T ＝113mg .(3)设绳长为l ，绳断时球的速度大小为v 3，绳承受的最大拉力不变，有F T －mg ＝m v 23l 得v 3＝83gl 绳断后球做平抛运动，竖直位移为d －l ，水平位移为x ，时间为t 1，竖直方向有d －l ＝12gt 21，水平方向x ＝v 3t 1 得x ＝4l （d －l ）3当l ＝d 2时，x 有最大值，x max ＝233d .答案：见解析 7．(原创题)如图所示，电动势为E 、内阻为r 的电源给一可变电阻供电，已知可变电阻变化范围为0～R m ，且R m >r .当R 为何值时功率最大，最大功率为多少？解析：设可变电阻为R ，则I ＝ER ＋rP ＝I 2R ＝E 2（R ＋r ）2·R ①法一：(配方法)P ＝E 2（R －r ）2R ＋4r显然，当R ＝r 时，功率最大，P max ＝E 24r.法二：(判别式法)将①式整理成关于R 的二次方程 PR 2＋(2Pr －E 2)R ＋Pr 2＝0 由于R 为实数，故Δ≥0 即(2Pr －E 2)2－4P 2r 2≥0 解得：P ≤E 24r最大值为P max ＝E 24r ，代入①式得R ＝r .答案：见解析 8.质量分别为M 、m 的斜面体A 、B 叠放在光滑水平面上，斜面体倾角为α，两者之间的动摩擦因数为μ(μ＜tan α)，今用水平外力F 推B ，使两者不发生滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求F 的取值范围．(已知：m ＝3 kg ，M ＝8 kg ，μ＝0.5，α＝37°.)解析：B 恰好不向下滑动时，所需F 最小，此时B 受到最大静摩擦力沿斜面向上．如图甲所示．设两者共同的加速度为a 1，对整体有： F min ＝(M ＋m )a 1 对B 有：F min ＋F f1cos α－F N1sin α＝ma 1 F f1sin α＋F N1cos α＝mg F f1＝μ·F N1联立以上各式解得：F min ＝m （M ＋m ）（sin α－μcos α）M （cos α＋μsin α）g ＝7.5 N甲乙B恰好不上滑时所需F最大，此时B受最大静摩擦力沿斜面向下．如图乙所示．设共同加速度为a2，对整体有：F max＝(M＋m)a2对B有：F max－F f2cos α－F N2sin α＝ma2F N2cos α＝mg＋F f2sin αF f2＝μF N2联立以上各式解得：F max＝m（M＋m）（sin α＋μcos α）M（cos α－μsin α）g＝82.5 N故取值范围为7.5 N≤F≤82.5 N.答案：7.5 N≤F≤82.5 N。
函数条件极值的若干求法
在数学中，函数条件极值是指在满足特定条件的情况下函数取得的最大值或最小值。
下面是求解函数条件极值的一些常用方法:
1.利用函数的导数求解: 如果函数的导数为零，并且这个点处于单峰或单谷的位置，
那么这个点就是函数的条件极值。
2.利用函数的二阶导数求解: 如果函数的二阶导数的符号在满足特定条件的情况下发
生变化，那么这个点就是函数的条件极值。
3.利用函数的单调性求解: 如果函数在满足特定条件的情况下单调递增或单调递减，
那么函数在这段区间内的端点就是函数的条件极值。
4.利用函数的图像求解: 在满足特定条件的情况下，函数的图像可能存在拐点或者分
界线，这些点就是函数的条件极值。
5.利用数值方法求解: 可以通过暴力枚举或者递归搜索的方法来求解函数的条件极值。
常见的函数条件极值包括函数的极大值、极小值、局部极大值、局部极小值等。
求解函数条件极值时，需要特别注意的是，函数的条件极值不一定是函数的全局极值，也就是说，函数的条件极值可能只是函数在某一特定区间内的极值，而不是整个函数的极值。
此外，在求解函数条件极值时，还需要特别注意条件的具体内容，因为条件的不同会导致函数的条件极值也不同。
例如，如果条件是函数在某一特定区间内单调递增，那么函数在这个区间内的端点就是函数的条件极值；如果条件是函数的导数为零，那么函数的拐点就是函数的条件极值。
为了求解函数条件极值，需要结合函数的性质和条件的具体内容，并运用相应的数学方法来求解。
(整理)求极值与最值的方法
求极值与最值的方法1 引言在当前的数学教育中，求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置，由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。
下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。
2 求函数极值的方法极值定义：设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点x 0()x x ≠，均有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数()f x 的一个极大值；同样如果对此邻域内任一点x 0()x x ≠，均有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数()f x 的一个极小值。
函数的极大值与极小值统称为函数的极值。
使函数取得极值的点0x ，称为极值点。
2.1 求导法判别方法一：设()f x 在点0x 连续，在点0x 的某一空心邻域内可导。
当 x 由小增大经过0x 时，如果：(1)'()f x 由正变负，那么0x 是极大值点； (2)'()f x 由负变正，那么0x 是极小值点； (3)'()f x 不变号，那么0x 不是极值点。
判别方法二：设()f x 在点0x 处具有二阶导数,且'()0f x =,''()0f x =。
(1)如果''()0f x <，则()f x 在点0x 取得极大值；(2)如果''()0f x >，则()f x 在点0x 取得极小值。
判别方法三：设()f x 在点0x 有n 阶导数，且0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n0)(0)(≠x fn ，则：（1）当为偶数时，)(x f 在0x 取极值，有0)(0)(<x f n 时，)(x f 在0x 取极大值，若0)(0)(>x fn 时，)(x f 在0x 取极小值。
最新毕业论文《多元函数条件极值的解法与应用》
多元函数条件极值的解法与应用数学与计算机科学系 信息与计算科学专业118632007049 罗永滨 指导教师：陈丽华【摘要】 多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法、二次方程判别式符号法、梯度法、数形结合法等方法在解多元函数条件极值问题上的运用，以及探讨多元函数条件极值在证明不等式、物理学、生产销售等问题上的应用. 【关键词】 极值；条件极值；拉格朗日乘数法；梯度法；应用1.引言多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，它不仅在理论上有重要的应用，而且在其它学科及有关实际问题中有着广泛的应用，于是如何判定与求解多元函数条件极值就成为许多学者研究的问题，虽然以前也有不少学者研究过，但多数还只是理论上的研究，实际利用方面的研究较少.如文[1]讨论了方向导数法在求解多元函数条件极值上应用，文[2]讨论了柯西不等式在求解一些特殊的多元函数条件极值问题时的应用.本文首先对多元函数条件极值的解题方法进行了归纳与总结，通过具体实例对各种解法进行分析类比，从中可以看到不同的条件极值问题可以有不同的解题方法，其中最常用的是拉格朗日乘数法，但对有些问题若能用一些特殊解法可以更简单.面对不同的极值问题如何采用最佳的解决方法是快速解题的关键.文章最后讨论了如何通过条件极值解决不等式证明、物理学、生产销售等实际应用问题.2.简单介绍多元函数极值与条件极值的有关概念2.1函数的极值定义2.1.1设n (2)n ≥元函数[3]12(,,)n z f x x x =在点00012(,,,)n x x x 的某个邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于00012(,,,)n x x x 的点12(,,)n x x x 都有0001212(,,)(,,,)n n f x x x f x x x <(或0001212(,,)(,,,)n n f x x x f x x x >)，则称函数在点00012(,,,)n x x x 有极大值(或极小值)00012(,,,)n f x x x .极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.2.2函数的条件极值定义 2.2.1[3]函数12(,,,)n z f x x x =在m 个约束条件12(,,,)0i n x x x ϕ= (1,2,,;)i m m n =<下的极值称为条件极值.3. 多元函数普通极值存在的条件定理3.1（必要条件）若n (2)n ≥元函数12(,,,)n z f x x x =在点00012(,,,)n x x x 存在偏导数，且在该点取得极值，则有0012(,,,)0i x n f x x x = (1,2,,)i n =备注：使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点.定理3.2[3]（充分条件）设n (2)n >元函数12(,,,)n f x x x 在00012(,,,)n x x x 附近具有二阶连续偏导数，且00012(,,,)n x x x 为12(,,,)n z f x x x =的驻点.那么当二次型00012,1()(,,,)i j nx x n i j i j g fx x x ζζζ==∑正定时，00012(,,,)n f x x x 为极小值；当()g ζ负定时，00012(,,,)n f x x x 为极大值；当()g ζ不定时，00012(,,,)n f x x x 不是极值.记00012(,,,)i j ij x x n a f x x x =，并记11121321222312k k k kk a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 它称为f 的k 阶Hesse 矩阵.对于二次型()g ζ正负定的判断有如下定理：定理3.3[3]若det 0k A > (1,2,,)k n =，则二次型()g ζ是正定的，此时00012(,,,)n f x x x 为极小值；若(1)det 0k k A -> (1,2,,)k n =，则二次型()g ζ是负定的，此时00012(,,,)n f x x x 为极大值.特殊地，当2n =时，有如下推论：推论 3.1若二元函数00(,)(,)z f x y x y =在点的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数，且0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==令 000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ===则 ①当20AC B ->时，0,0,A A <⎧⎨>⎩取极大值取极小值.②当20AC B -<时，没有极值.③当20AC B -=时，不能确定，需另行讨论.4．介绍多元函数条件极值的若干解法4.1代入消元法通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果，将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单的条件极值问题，这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解，有些条件极值很难化为无条件极值来解决.例4.1.1求函数(,,)f x y z xyz =在0x y z -+=条件下的极值. 解 由0x y z -+= 解得，2z x y =-+将上式代入函数(,,)f x y z ，得 g(x,y)=xy(2-x+y)解方程组 22'2y 20220x yg xy y g x xy x ⎧=-+=⎪⎨'=+-=⎪⎩ 得驻点 1222P P =33（0，0），（，-） 2xx y ''=-g ，222xy g x y ''=-+，2yy g x ''=在点1P 处，0,2,0A B C ===22=0240AC B ∆-=-=-<，所以1P 不是极值点从而函数(,,)f x y z 在相应点(0,0,2)处无极值；在点2P 处，44,2,33A B C === 224424()03333AC B ∆=-=⨯⨯-=>，又403A =>，所以2P 为极小值点因而，函数(,,)f x y z 在相应点222(,,)333-处有极小值极小值为2228(,,)33327f -=-.4.2拉格朗日乘数法[3]拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.求目标函数12(,,)n f x x x 在条件函数12(,,)0,(1,2,,,)k n x x x k m m n ϕ==≤组限制下的极值，若12(,,)n f x x x 及12(,,)k n x x x ϕ有连续的偏导数，且Jacobi 矩阵111122221212n n m m m n x x x x x x J x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭的秩为m ，则可以用拉格朗日乘数法求极值.首先，构造拉格朗日函数12112121(,,,,,,)(,,)(,,)mn m n k k n k L x x x f x x x x x x λλλϕ==-∑然后，解方程组0,1,2,,0,,2,ikLi n x L k i m λ∂⎧==⎪∂⎪⎨∂⎪==⎪∂⎩从此方程组中解出驻点的坐标00012(,,)i n P x x x (1,2,,)i k =，所得驻点是函数极值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值.定理4.2.1（充分条件） 设点000012(,,,)n x x x x =及m 个常数12,,,m λλλ满足方程组 100mi i i k k k lL fx x x ϕλϕ=∂∂∂⎧=-=⎪∂∂∂⎨⎪=⎩∑ (1,2,,;1,2,,)k n l m ==，则当方阵 20,12(,,,)m k l n nLx x x λλλ⨯⎛⎫∂ ⎪∂∂⎝⎭为正定（负定）矩阵时，0x 为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此0()f x 为满足约束条件的条件极小（大）值.例4.2.1求椭球2222221x y z a b c++=在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积.解 此椭球在点000(,,)P x y z 处的切平面为000000222222()()()0x y z x x y y z z a b c-+-+-=化简,得0002221x y z x y z a b c ++= 此平面在三个坐标轴上的截距分别为：222000,,a b c x y z则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 2220006a b c V x y z =由题意可知，体积存在最小值，要使V 最小，则需000x y z 最大；即求目标函数(,,)f x y z xyz =在条件2222221x y z a b c++=下的最大值，其中0,0,0x y z >>>，拉格朗日函数为222222(,,,)(1)x y z L x y z xyz a b cλλ=-++-由 22222222220;20;20;1L x yz x a L y xz yb L z xy zc x y z ab c λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎪⎪++=⎪⎩解得x y z ===min 2V V ==说明：以上介绍的两种方法为解多元函数条件极值的常用方法，但在实际解题过程中，我们还可以根据多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题，如标准量代换法、不等式法、二次方程判别式法、梯度法、数形结合法.4.3 标准量代换法求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量. 例4.3.1[4]设x y z a ++=,求222u x y z =++的最小值.解 取33x y z a++= 为标准量, 令 ,33a ax y αβ=-=-,则 3az αβ=++(,αβ为任意实数),从而有 222()()()333a a a u αβαβ=-+-+++2222223a αβαβ=+++ 22222()33a a αβαβ=++++≥ 等号当且仅当0αβ==, 即3ax y z ===时成立， 所以u 的最小值为23a .4.4 不等式法[4]4.4.1利用均值不等式12na a a n+++≤，这里0,1,2k a k n ≥=，且等号成立的充分条件是12n a a a ===.例4.4.1.1 已知11112x y z ++=，(0,0,0)x y z >>>，求(,,)222f x y z x y z =++的极小值. 解0,0,0,x y z >>>(,,)222f x y z x y z ∴=++14()2x y z =++ 1114()()x y z xy z=++++ 4(3)x y y z x z y x z y z x=++++++ 4(3222)36≥+++=当且仅当6x y z ===时，等号成立. 4.4.2利用柯西不等式柯西不等式：对于任意实数12,,,n a a a 和12,,n b b b ，总有 21122()n n a b a b a b +++≤2222221212()()n n a a a b b b ++++++ ,i i a R b R ∈∈,当且仅当实数12,,,n a a a 与1,2,n b b b 对应成比例时，等号成立.运用柯西不等式，主要是把目标函数适当变形，进而“配、凑”成柯西不等式的左边或者右边的形式，最终求得极大值或极小值. 例4.4.2.1已知222(2)(1)(4)9x y z -+++-=，求(,,)22f x y z x y z =-+的最值. 解 首先将 (,,)22f x y z x y z =-+ 变形为(,,)f x y z =2(2)2(1)(4)10x y z --++-+；再设 (,,)2(2)2(1)(4)g x y z x y z =--++-， 于是，根据柯西不等式及已知条件，有[]22(2)2(1)(4)x y z --++-≤2222222(2)1(2)(1)(4)81x y z ⎡⎤⎡⎤+-+⨯-+++-=⎣⎦⎣⎦即： 92(2)2(1)(4)9x y z -≤--++-≤当且仅当 222214221(2)(1)(4)9x y z k x y z -+-⎧===⎪-⎨⎪-+++-=⎩时，等号成立；即当 1435k x y z =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩时，max (,,)9g x y z =；当 1013k x y z =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩时，min (,,)9g x y z =-，所以，max (,,)19f x y z =，min (,,)1f x y z =.4.5 二次方程判别式符号法例4.5.1[5]若2221x y z ++=,试求22f x y z =-+的极值.解 因为 1(2)2y x z f =+-, 代入 2221x y z ++= 得2221(2)104x x z f z ++-+-=即 2225(42)(844)0x z f x z f zf +-++--= (1) 这个关于x 的二次方程要有实数解, 必须222(42)20(844)0z f z f zf ∆=--+--≥即 224950f zf z -+-≤ 解关于f 的二次不等式,得:2211z f z z ≤≤-≤≤显然,求函数f 的极值, 相当于求211f z z ≤-≤≤ (2)或211f z z ≥-≤≤ (3)的极值.由(2)得 229450z fz f -+-= (4) 这个关于z 的二次方程要有实数解,必须221636(5)0f f ∆=--≥,即 290f -≥解此关于f 的二次不等式,得 33f -≤≤. 所以 max 3f =,min 3f =-. 把 3f =代入(4),得23z = 再把3f =,23z =代入(1),得13x =, 最后把3f =,23z =,13x =代入1(2)2y x z f =+-,得23y =-.所以,当13x =,23y =-,23z =时,函数f 达到极大值3.同理可得,当13x =,23y =,23z =-时,函数f 达到极小值-3.也可以从(3)作类似讨论得出f 的极大值3和极小值-3.4.6 梯度法[6]用梯度法求目标函数12(,,)n f x x x 在条件函数时12(,,,)0i n x x x ϕ=(1,2,,,)i m m n =≤组限制下的极值，方程组1212112(,,,)(,,,)(,,,)0,(1,2,,)mn i i n i i n gradf x x x grad x x x x x x i m λϕϕ=⎧=⎪⎨⎪==⎩∑的解,就是所求极值问题的可能极值点. 其中gradf 表示目标函数12(,,)n f x x x 的梯度向量12(,,,)nf ffx x x ∂∂∂∂∂∂， i grad ϕ表示条件函数12(,,,)i n x x x ϕ的梯度向量12(,,,)i iinx x x ϕϕϕ∂∂∂∂∂∂ 例4.6.1 从斜边之长为l 的一切直角三角形中,求最大周长的直角三角形. 解:设两条直角边为,x y ,本题的实质是求(,)f x y x y l =++在条件222x y l +=下的极值问题.根据梯度法,列出方程组 222222()()grad x y l grad x y l x y lλ⎧++=+-⎪⎨+=⎪⎩ 进一步求解得 {}{}2221,12,2x y x y lλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩容易解出2x y ==根据题意,22⎪⎝⎭是唯一的极大值点,也是最大值点. 所以，当两条直角边都为2时,直角三角形的周长最大. 4.7 数形结合法数形结合法是根据目标函数的几何意义，如直线的截距，点到直线的距离，圆的半径等几何性质决定目标的条件极值.例4.7.1 设2219x xy y ++=，求22x y +的最值.解法一 数形结合法[7]解 设,,x u v y u v =+=-则222319x xy y u v ++=+=，即2222119(19)()3+= 22222()x y u v +=+表示坐标原点到椭圆上的点的距离的平方的2倍显然最大值为长轴的长38，最小值为383解法二 消元法解 设 cos x r θ=，sin y r θ=，则 2221(1sin 2)192x xy y r θ++=+= 2221911sin 22x y r θ+==+故当sin 21θ=，即193x y ==时，22383x y +=达到最小值.当sin 21θ=-，即19x y =-=±时，2238x y +=达到最大值. 解法三 均值不等式法解 （1）若0,0,x y >>注意到 222x y xy +≤当且仅当x y =时等号成立因此：222222019192x y x xy y x y +=++-≤++-， 当且仅当x y =时等号成立 即223()192x y +≥ 故 22383x y +≥，此时x y ==（2）若0,0x y ><，设y u =-，则问题变为2219x xu u -+=求22x u +的最值由于222x u xu +≤，所以2222222222x u x u x xu u x u ++-+≥-+= 因此22222()38x u x xu u +≤-+= 即最大值为38（3）若0,0x y <<，做变换,x u y v =-=-，则问题转化为（1） （4）若0,0x y <>，则问题转化为（2） 解法四 拉格朗日乘数法解 设 2222(,,)(19)F x y x y x xy y λλ=++++-令 222(2)02(2)0190Fx x y x Fy y x y Fx xy y λλλ⎧∂=++=⎪∂⎪∂⎪=++=⎨∂⎪⎪∂=++-=⎪∂⎩ 则 22x y =若 x y =，则2319x =，x y ==此时 22383x y +=； 若 x y =-，则219x =，x y =-=或x y =-=此时2238x y +=从该题可以看出，用拉格朗日乘数法和均值不等式法解题过程都比较繁琐，但通过数形结合法和消元法法都可以简捷地求得结果.所以在解条件极值问题时，我们可以先分析题目的特点再选择最合适的解题方法，从而提高解题效率. 5. 多元函数条件极值在理论和实际中的应用举例多元函数条件极值在不等式证明、物理、生产销售、证券投资分析、多元统计分析学里判别分析和主成分分析等问题上都有广泛的应用.由于本人其余学科知识和时间上的限制，不能很好地展开条件极值在证券投资分析和多元统计分析上的应用问题，具体内容可以参考文献[8]和文献[9]，下面只讨论条件极值在不等式证明、物理学、生产销售上的应用.5.1 不等式证明例5.1.1证明不等式：ln 0,(1,0)y e x x x xy x y +--≥≥≥.证 令(,)ln y f x y e x x x xy =+--，则只需证明函数(,)f x y 在区域{(,)|1,0}D x y x y =≥≥上存在最小值0，对于1x ≥，令(,)0y y f x y e x =-=，得ln y x =，且当0ln y x ≤<时，(,)0y f x y <当ln y x >时，(,)0y f x y >.由一元函数取极值的第一充分判断法，ln y x =为最小值点，即在曲线ln y x =上(,)f x y 取得最小值，最小值ln (,ln )ln ln 0x f x x e x x x x x =+--=.故在D 上(,)0f x y ≥，即ln 0y e x x x xy +--≥.5.2 物理学中光的折射定律证明例5.2.1设定点A 和B 位于以平面分开的不同光介质中，从A 点射出的光线折射后到达B 点，已知光在两介质中的传播速度分别为1v ，2v ，求需时最短的传播方式.解 设A 到平面的距离为a ，B 到平面的距离为b ，（如图）， CD d =，光线从A 点射到M 点所需时间为1cos a v α， 光线从M 点射到B 点所需时间为2cos b v β 且CM MD d +=，即tan tan a b d αβ+=问题转化为函数12(,)cos cos a b f v v αβαβ=+在条件 tan tan b d αβ+=下的最小值. 作拉格朗日函数112(,,)(tan tan )cos cos a b L a b d v v αβλλαβαβ=+++- 令 112211222sin 0,cos cos sin 0,cos cos tan tan 0.a a L v b b L v L a b d αβλαλααβλββαβ⎧'=+=⎪⎪⎪'=+=⎨⎪⎪'=+-=⎪⎩由此解得112sin sin v v αβλ-==，即光线的入射角与折射角应满足： 12sin sin v v αβ=（光的折射定律）时光线传播时间最短. 5.3 生产销售在生产和销售商品的过程中，销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增加，但同时也使消费者的购买欲望下降，造成销售量下降，导致厂家消减产量.但在规模生产中，单位商品的生产成本是随着产量的增加而降低的，因此销售量、成本与售价是相互影响的.厂家要选择合理的销售价格才能获得最大利润.5.3.1 用条件极值得出生产成本最小化方案例5.3.1.1[10]设生产某产品需要原料A 和B ，它们的单价分别为10元、15元，用x 单位原料A 和y 单位原料B 可生产22208x xy y -+-单位的该产品，现要以最低成本生产112单位的该产品，问需要多少原料A 和B ？【分析】由题意可知，成本函数(,)1015C x y x y =+.该问题是求成本函数在条件22208112x xy y -+-=下的条件极值问题，利用拉格朗日常数法计算.解 令22(,)1015(208112),F x y x y x xy y λ=++-+-- 解方程组 2210220015162002081120f x y x f y x yx xy y λλλλ∂⎧=-+=⎪∂⎪∂⎪=-+=⎨∂⎪⎪-+--=⎪⎩2,2()4,y y x ⇒==-⇒=舍去这是实际应用问题，所以当原料A 和B 的用量分别为4单位，2单位时，成本最低.5.3.2利用条件极值得出利润最大化方案例5.3.2.1[10]为销售产品作两种方式广告宣传，当宣传费分别为,x y 时，销售量是200100510x y S x y =+++，若销售产品所得利润是销量的15减去广告费，现要使用广告费25万元，应如何分配使广告产生的利润最大，最大利润是多少？解 依题意，利润函数为 1402025255510x y S x yπ=-=+-++ 且 25x y += 设 402025(25)510x y F x y x yλ=+-++-++ 令 222000(5)2000(10)25x y F x F y x y λλ⎧'=+=⎪+⎪⎪'=+=⎨+⎪⎪+=⎪⎩得 15100.5x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩依题设，存在最大利润，又驻点唯一，因此两广告分别投入15万元和10万元利润最大.例5.3.2.2[3] 一家电视机厂在对某种型号电视机的销售价格决策时面对如下数据：（1）根据市场调查，当地对该种电视机的年需求量为100万台；（2）去年该厂共售出10万台，每台售价为4000元；（3）仅生产1台电视机的成本为4000元；但在批量生产后，生产1万台时成本降低为每台3000元. 问：在生产方式不变的情况下，每年的最优销售价格是多少？数学模型建立如下：设这种电视机的总销售量为x ，每台生产成本为c ，销售价格为v ，那么厂家的利润为 (,,)()u c v x v c x =-根据市场预测，销售量与销售价格之间有下面的关系：,0,0,av x Me M α-=>>这里M 为市场的最大需求量，α是价格系数（这个公式也反映出，售价越高，销售量越少）.同时，生产部门对每台电视机的成本有如下测算：00ln ,,,0,c c k x c k x =->这里0c 是只生产1台电视机时的成本，k 是规模系数（这也反映出，产量越大即销售量越大，成本越低）.于是，问题化为求利润函数 (,,)()u c v x v c x =-在约束条件 0ln avx Me c c k x-⎧=⎨=-⎩ 下的极值问题.作Lagrange 函数0(,,,,)()()(ln ),av L c v x v c x x Mec c k x λμλμ-=-----+就得到最优化条件 00,(1)0,(2)0,(3)0,(4)ln 0.(5)c av v x av L x L x M e k L v c x x Me c c k x μλαλμ--=--=⎧⎪=-=⎪⎪⎪=---=⎨⎪⎪-=⎪-+=⎪⎩ 由方程组中第二和第四式得到=1λα，即1=λα将第四式代入第五式得到 0(ln )c c k M v α=--再由第一式知 x μ=-.将所得的这三个式子代入方程组中第三式，得到 01((ln ))0,v c k M v k αα----+=由此解得最优价格为 0*1ln 1c k M k v k αα-+-=-。
求条件极值的方法
求条件极值的方法
嘿，朋友们！今天咱就来聊聊求条件极值的方法，这可真是个超级有趣的玩意儿啊！比如说，你想给家人烤个蛋糕，你肯定希望在有限的材料下烤出最美味的蛋糕，这其实就是在求条件极值呀！
咱们先来说说拉格朗日乘数法，这就好比是你在黑暗中找到了一盏明灯！比如你在安排一次旅行，你有预算限制，又想去尽可能多的好玩的地方。
这时候拉格朗日乘数法就派上用场啦！就像有了个魔法棒，能帮你在各种条件约束下找到最佳安排。
“哎呀，要是没有拉格朗日乘数法，这可咋整啊！”
还有就是代入消元法，这简单直接得很呢！就好像你在整理乱糟糟的房间，把一些东西归类整理好，一下子就清楚了。
比如说你要做一个手工，各种材料有限，你通过代入消元法就能明确知道该怎么用这些材料做出最棒的手工。
“哇塞，代入消元法可真是太好用啦！”
另外呢，几何法也不能小瞧呀！就如同你欣赏一幅美丽的画，能从整体上去理解和感受。
就假设你在设计一个花园，通过几何法，你可以根据场地的大小和形状，来规划最合理最美观的布局。
“嘿，这几何法还真是有它独特的魅力！”
其实求条件极值的方法就像我们生活中的各种小技巧，能帮我们在各种限制下找到最优解。
无论是做蛋糕、旅行安排还是其他的事情，它们都能让我们变得更聪明、更能干。
所以啊，咱们可得好好掌握这些方法，让它们为我们的生活增添乐趣和便利。
别再犹豫啦，赶紧去试试吧，你会发现原来世界可以这么精彩！。
多元函数条件极值的几种求解方法
多元函数条件极值的几种求解方法*齐新社 包敬民 杨东升(西安通信学院数理教研室 西安 710106)摘要 研究多元函数的条件极值问题.针对稳定点的各种不同情形,结合具体实例,给出判断条件极值中稳定点是否取得极值的几种方法.关键词 高阶微分;条件极值;拉格朗日乘数法;稳定点.中图分类号 O172多元函数条件极植的求解,一般是利用拉格朗日乘数法,而问题的难点在于求得稳定点后,如何判断函数究竟在该点是否取得了极值,尤其当稳定点不唯一时难度更大.本文就针对多元函数的条件极值问题总结了几种方法供大家借鉴.1 借助多元函数取得极值的充分条件来判断例1 求函数f (x ,y ,z )=xy z 在条件1x +1y +1z =1r(x ,y ,z ,r >0)下的极值.解 设拉格朗日函数为L (x ,y ,z ,K )=xy z +K (1x +1y +1z -1r),对L 求偏导数并令它们都等于零,则有L x =yz -K x 2=0,L y =zx -K y 2=0,L z =xy -K z2=0,L K =1x+1y +1z -1r =0.易得函数L 的稳定点为x =y =z =3r,K =(3r )4,为了判断f (3r ,3r ,3r )=(3r )3是否为所求极值,我们可以把条件1x +1y +1z =1r看作隐函数z =z (x ,y )(满足隐函数存在定理的条件),并把目标函数f (x ,y ,z )=x y z (x ,y )=F(x ,y )看作函数f =x y z 与z =z (x ,y)的复合函数.这样就可以应用极值充分条件来作出判断.为此计算如下:z x =-z 2x 2, z y =-z 2y2, F x =yz -yz 2x , F y =xz -xz 2y,F xx=2yz 3x 3, F xy =z -z 2y -z 2x +2z 3xy , F yy =2xz 3y 3.当x =y =z =3r 时,54高等数学研究ST U DI ES IN COL L EGE M A T H EM A T ICS V ol.12,N o.2M a r.,2009*收稿日期:2008-04-29.F xx =6r =F yy , F xy =3r , F xx F yy -F 2xy =36r 2-9r 2=27r 2>0,由此可见所求的稳定点为极小值点.评价 当约束条件的方程个数超过一个时,这种方法的使用受到了限制.2 借助二阶微分在稳定点处的符号来判断例2 求函数u =x -2y +2z 在条件x 2+y 2+z 2=1下的极值.解 设拉格朗日函数为L (x ,y ,z ,K )=x -2y +2z +K (x 2+y 2+z 2-1),对L 求偏导数并令它们都等于零,则有L x =2K x +1=0,L y =2K y -2=, L z =2K z +2=0, L K =x 2+y 2+z 2-1.可得P 1(-13,23,-23),K 1=32或者P 2(13,-23,23),K 2=-32,下面借助于二阶微分判断稳定点是否是极值点.先对函数L 求一阶微分d L (x ,y ,z )=d x -2d y +2d z +2K x d x +2K y d y +2K z d z ,二阶微分为d 2L (x ,y ,z )=2K [(d x )2+(d y )2+(d z )2],其符号完全由K 确定,在P 1点,K 1=32>0,故d 2L(x ,y,z )>0,所以P 1为极小值点,对应的极小值为u =-3;在P 2点,K 2=-32<0,故d 2L(x ,y,z )<0,所以P 2为极大值点,对应的极大值为u =3.评价 这种方法具有较强的通用性,但需要熟练掌握高阶微分的知识,在求二阶微分时,特别要注意变量x 和d x 是相互独立的,d x 在第二次微分时相当于常量.3 借助于一些基本不等式来判断例3 求函数f (x ,y,z,t)=x +y +z +t 在条件xyz t =c 4下的极值,其中x,y,z ,t >0,c >0.解 由基本不等式可知,当n 个正数的乘积一定时,这n 个正数的和必有最小值f (x ,y ,z ,t)=x +y +z +t \44xy z t ,当且仅当这n 个正数相等时取到极小值,即函数f (x ,y ,z ,t)=x +y +z +t 在点(c,c,c,c)处取得最小值也是极小值f (c,c,c,c)=4c.评价 这种方法对满足基本不等式结构的特定题目才能起到良好的效果.4 借助于闭区域上连续函数的性质来判断例4 求函数f (x ,y ,z )=xy z 在条件x 2+y 2+z 2=1,x +y +z =0下的极值.解 设拉格朗日函数为L (x ,y ,z ,K ,L )=xy z +K (x 2+y 2+z 2-1)+L (x +y +z ),解方程组L =0,L =0,L =0,z 2-1=0,=0,55第12卷第2期齐新社,包敬民,杨东升:多元函数条件极值的几种求解方法可得六个可能的条件极值点P1(16,16,-26),P2(16,-26,16),P3(-26,16,16),P4(-16,-16,26),P5(-16,26,-16),P6(26,-16,-16),又f(x,y,z)=xy z在有界闭集{(x,y,z)|x2+y2+z2=1,x+y+z=0}上连续,故函数必有最值且最值只可能在这六个可能的极值点处达到,因此函数的极(最)小值为f(P1)=f(P2)=f(P3)=-1 36,极(最)大值为f(P4)=f(P5)=f(P6)=136.评价利用了闭区域上连续函数的性质巧妙的解决了极值判定问题.5将条件极值化为无条件极值借助一元函数求极值的方法加以判断例5求函数f(x,y,z)=xy z在条件x+y=1及x-y+z2=1下的极值.解由两个条件可得x=2-z 22,y=z22,将其带入目标函数f(x,y,z)=xy z中消去变量x和y可得4f(z)=2z3-z5,两边求导可得4f c(z)=6z2-5z4,可得稳定点z1=0,z2=65,z3=-65,由于f d(0)=0,而fÊ(0)=12X0,即z1点的奇数阶导数不为零,所以z1不是函数的极值点;又显然4f d(65)=-1265<0,故函数在z2=65处取得极大值:f(65)=62565;而4f d(-65)=1265>0,故函数z3=-65处取得极小值:f(-65)=-62565.评价将多元函数的极值问题转化为我们熟知的一元函数极值问题使问题变得简单,缺陷在于有些条件极值很难化为无条件极值来解决.总之,条件极值的判断问题是比较复杂的,只有通过一定经验的积累才能很好的把握此类问题的求解方法.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].2版.北京:高等教育出版社.1991.[2]复旦大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社.1978.56高等数学研究2009年3月。
求函数极值的若干方法
求函数极值的若干方法函数极值是数学分析中非常基础和重要的概念之一，研究函数的极值有助于我们了解函数的性质和行为。
在实际应用中，函数的极值问题也具有广泛的应用，比如优化问题、最优化问题等。
下面我将介绍一些常用的方法来求解函数的极值。
1.导数法：导数法是求解函数极值的最常用方法之一、对于定义在开区间上的函数，极值点一定是函数的驻点，也就是导数为零或不存在的点。
因此，我们可以通过求函数的导数来找到极值点。
具体的步骤如下：a.求取函数的导数。
b.令导数等于零，并解方程得到可能的极值点。
c.比较函数在极值点和区间端点处的函数值，找到函数的最大值和最小值。
2.高阶导数法：导数法能够找到函数的驻点，但并不能保证驻点就是极值点。
通过计算函数的高阶导数，我们可以进一步判断驻点的类型，从而确定是否为极值点。
具体步骤如下：a.求取函数的导数。
b.计算导数的导数，即求高阶导数。
c.令高阶导数等于零，并解方程得到可能的极值点。
d.比较函数在极值点和区间端点处的函数值，找到函数的最大值和最小值。
3.二次型理论：对于定义在闭区间上的函数，我们可以通过二次型理论来求解极值点。
a.分别求取函数在区间端点和驻点处的函数值。
b.比较函数值，找到函数的最大值和最小值。
4.单峰函数的分段法：对于单峰函数，即在一些区间上具有唯一的极值点的函数，我们可以通过分段法来求解极值点。
具体步骤如下：a.将函数的定义域分为若干个小区间。
b.求取每个小区间内的驻点，并比较函数值。
c.找到最大值和最小值，即为函数的极值点。
5.约束条件法：对于有约束条件的函数极值问题，我们可以使用拉格朗日乘子法来求解。
具体步骤如下：a.构建拉格朗日函数。
b.求取拉格朗日函数的极值点。
c.比较极值点对应的函数值，找到函数的最大值和最小值。
除了以上方法，还有一些特殊函数的求解方法，如三角函数、指数函数、对数函数等。
对于这些特殊函数，我们可以通过函数的性质和特点来求解极值点。
总结起来，求解函数极值的方法多种多样，不同的函数和问题需要选择不同的方法来求解。
多元函数条件极值的几种求解方法概述
多元函数条件极值的几种求解方法摘要本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。
介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。
关键词极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式1前言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。
函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。
微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。
有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。
同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。
举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。
还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局才能让这些公共基础建设的利远大于弊。
一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益。
关于条件极值的若干种解法
关于条件极值的若干种解法摘要：条件极值在高等数学中占有重要的地位，可以方便解决一些实际的应用问题.本文介绍几种常见条件极值的解法，由于拉格朗日乘数法是应用比较广泛的一种解法，故本文着重介绍该解法.关键词：条件极值拉格朗日乘数柯西不等式Several species of Conditional Extreme Value MethodAbstract:Conditional extreme value in higher mathematics occupies the important position, can go tothe lavatory to solve some practical application problems. This paper introduces several common conditional extreme value solutions, including Lagrange multiplier method is applied popular a kind of solution, this paper will be introduced emphaticallyKey word: Conditional extreme value Lagrange multiplier method cauchy inequality一．引论众所周知，条件极值是高等数学一个重要的知识点，也是高等数学的基础和核心，它在高等数学中有广泛的应用，而且在实际生活中有很大的应用价值.今天人们更加注重科学决策，因为条件极值可以用于揭示了成本最小化、利润最大化等问题的经济意义,所以研究条件极值具有重要意义，本文给出几种常见的解法，分别是利用拉格朗日乘数法，柯西不等式，利用二次函数的极值来求条件极值.二、方法介绍grange乘数法在许多极值问题，其极值点还受到y各自不同的限制，例如，要在斜边之长为L的直角三角形中，求周长为最大的直角三角形.首先，我们设直角三角形的两条直角边长分别为1x 和2x ，则周长l x x S ++=21，其中)0,0(21l x l x <<<<.观察发现，上述周长函数的自变量不仅要符合定义域条件)0,0(21>>x x ,而且还保证满足斜边取值为l 和等式22221l x x =+，则这类具有约束条件的极值问题就是条件极值问题.条件极值的一般形式为：目标函数：=J 12(,,,)n f x x x ○1..t s ()n m x x x x x x x x x x x x n m nm n n <⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====-0),,,(0),,,(0),,,(0),,,(21211212211 ϕϕϕϕ ○2 一般情况下，在遇到y 这类问题时，可以把条件极值化为无条件极值来求解.但在很多情况下，要从约束条件下解出m 个变量并不容易.此时我们就可以利用Lagrange 乘数法，它可以用于直接寻求条件极值，而不必先把问题转化为无条件极值.下面我们就来介绍Lagrange 乘数法.对于前面提到的由○1、○2两式所表示的条件极值问题，引进辅助函数∑=+=mi n i i n m n x x x x x x f x x x L 121212121),,,(),,,(),,,,,,,( ϕλλλλ，其中i λ为辅助变量.设()()()()为002010,,,n x x x p 目标函数在条件(2)下的极值点，..t s ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧======0,,, 0,,,0,,,0,,,,,,0,,,,,,0,,,,,,0020100201002012102012102012102012121n n n m x m x m X x x x L x x x L x x x L x x L x x L x x L mn λλλλλλλλλλλλ ○3 这样就把条件极值问题○1、○2转化为○3这种无条件极值问题，这种方法称为拉格朗日乘数法，其中L 称为Lagrange 函数，i λ称为Lagrange 乘数.这个结论可由以下定理推导得出.定理：设在约束条件○2下，求函数○1的极值问题，其中f 与()m k k ,,3,2,1 =ϕ有连续的一阶偏导数.若()()()()002010,,,nx x x p L L 是上述问题的极值点，且Jacobian 矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂n m m n nx x x x x x ϕϕϕϕϕϕ 1212111 的秩为m. 则存在m 个常数m λλλ,,,21 ，使得()m n x x x λλλ,,,,,2121 为Lagrange 函数的稳定点，即()m n x x x λλλ,,,,,2121 为○3中n+m 个方程的解.例1:用Lagrange 乘数法求开头提到的直角三角形的问题.解：此时n=2,m=1.设直角三角形的两直角边长分别为1x 和2x ，则周长为l x x S ++=21 )0,0(21l x l x <<<<.于是,转化为在22221l x x =+下求S 的条件极值问题,这时拉格朗日函数可以表示为()()222212121,l x x l x x x x L -++++=λ.对L 求偏导数,并令它们都等于0.则有)3()2()1(021021222212211⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=lx x x Lx x Lx λλ 由(1)、(2)解得λ2121-==x x . 代入（3）得l x x l 22,2221==-= λ. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛l l 22,22 是唯一的驻点. 由题意可知,该三角形必存在,所以最大周长的直角三角形为等腰三角形.注:对于条件极值的应用问题,我们一般从问题的实际意义出发，可以推出最大值和最小值存在,即在解实际问题时，往往在该点处的函数值就是要求的最大（或最小）值.由于拉格朗日函数只有一个驻点,故可以判定所需求的最大值或最小值即在驻点处,用不着判断它是最大值还是最小值.2.Cauchy 求条件极值首先，我们给出以下关于柯西不等式的定理.定理：对于任意实数n a a a a ,,,,321 和n c c c c ,,,,321 有()222222121211221n n n n a a a c c c a c a c a c ++++++≥+++ 其中等号当且仅当()n i kc a i i ,,3,2,1L L ==时才成立，我们就把(1)称式为Cauchy 不等式.应用2:若d cz by ax =++，求解222z y x f ++=的极值. 解： ()()2222222222221z y x c b a cb a z y x f ++++++=++=. 由Cauchy 不等式得：上式()222222221cb a d cz by axc b a ++=++++≥ 其中等号成立，当且仅当kz c ky b kx a ===,,，即zcy b x a ==时. 由⎪⎩⎪⎨⎧===++)2()1(z cy b x a d cz by ax 由（2）得()3,y acxz a bx == 把（3）代入（1）得： 222c b a adx ++= (4)把（4）代入（3）得：222222,cb a cdz c b a bd y ++=++=. 函数f 有极小值2222mincb a d f ++=. 3、利用二次函数的极值求条件极值求定义在开区间（a,b ）上的二次函数()02≠++=p r qx px y 的极值. 分析如下：1).当p>0时，若,2b p q a <-<则当p q x 2-=时，有极小值：p q r 42-=； 2).当p<0时，若;2b p q a <-<则当p q x 2-=时，有极大值：pq r 42-=. 可以用于求解某些条件极值问题.应用3：若1=+y x ，试求yx f 11+=的极值. 解：由1=+y x 得x y -=1，代入f 得221411111⎪⎭⎫⎝⎛--=-+=x x x f 由于分母()()41,412141max 2=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x x ϕϕ，所以当 21==y x ，函数4min =f 三、结论本文我们采用了Lagrange 乘数法、Cauchy 不等式、二次函数法求条件极值，事实上求解有关条件极值问题灵活性很大,并没有固定的模式，一般无规律可循,因为问题的形式一般不同，所以，在学习的过程中，要灵活应用上述的三种方法，既要多加训练，还要归纳总结，更要切实掌握.参考文献:[1].陈纪修,於崇华,金路.数学分析[M].高等教育出版社，2003 [2].邓东皋，尹小玲.数学分析简明教程[M].高等教育出版社,2002 [3].华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社,1981 [4].刘玉琏.数学分析讲义[M].高等教育出版社,2004 [5].王延源.条件极值的初等解法[J].临沂师范学院学报,2000 [6].燕列雅.条件极值的解法[J].南阳理工学院学报,2002 [7].吴炯坼.数学专业英语[M].高等教育出版社,2005[8].吴洁.关于条件极值的若干讨论[J].中国民航学院学报,2003 [9].同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社,2007 [10].浙江海洋学院信息学院.条件极值大学数学学报[J]，2004。
求极值与最值的方法
求极值与最值的方法1 引言在当前的数学教育中，求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置，由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。
下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。
2 求函数极值的方法极值定义：设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点x 0()x x ≠，均有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数错误!未找到引用源。
的一个极大值；同样如果对此邻域内任一点x 0()x x ≠，均有错误!未找到引用源。
，则称0()f x 是函数错误!未找到引用源。
的一个极小值。
函数的极大值与极小值统称为函数的极值。
使函数取得极值的点0x ，称为极值点。
2.1 求导法判别方法一：设()f x 在点0x 连续，在点错误!未找到引用源。
的某一空心邻域内可导。
当 x 由小增大经过错误!未找到引用源。
时，如果：(1)'()f x 由正变负，那么0x 是极大值点；(2)错误!未找到引用源。
由负变正，那么0x 是极小值点； (3)错误!未找到引用源。
不变号，那么0x 不是极值点。
判别方法二：设()f x 在点0x 处具有二阶导数,且'()0f x =,''()0f x =。
(1)如果''()0f x <，则()f x 在点0x 取得极大值；(2)如果''()0f x >，则()f x 在点0x 取得极小值。
判别方法三：设()f x 在点0x 有n 阶导数，且0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n0)(0)(≠x fn ，则：（1）当为偶数时，)(x f 在0x 取极值，有0)(0)(<x f n 时，)(x f 在0x 取极大值，若0)(0)(>x fn 时，)(x f 在0x 取极小值。
浅谈高中数学中条件极值的求解方法(县二等奖)
浅谈高中数学中条件极值的求解方法摘 要：条件极值问题是含附加条件问题的一个重要内容，在数学及其他领域中都有着比较广泛的应用．本文介绍了运用消元法、不等式法来求解高中数学中条件极值问题．关键词：条件极值，不等式，柯西不等式含附加条件的问题是比较常见的数学问题，它不仅在数学、物理等自然学科中有着广泛的应用，而且在实际生活中也有许多问题可以转化成此类数学问题．因此，对于含附加条件的数学问题的求解也就显得尤为重要．含附加条件的数学问题包括条件不等式、条件等式、条件极值和条件期望等等．本文主要对含条件极值的数学问题的求解方法进行探究．一、消元法利用消元法求解条件极值问题，就是运用已有的条件，通过消元法，把条件极值问题转化为无条件极值问题或转化为一些初等函数问题，从而求出极值．（一）降维求极法降维求极法是直接利用条件极值问题中的约束条件，通过消元，将()n x x x f y ,,,21 =满足条件()12,,,0k n x x x ϕ= ()1,2,,,k m m n =< 的条件极值问题降为n m -维函数的无条件极值问题，再运用无条件极值的解法，求出目标函数极值．例1 要设计一个容量为V 的长方体开口水箱，试问水箱的长、宽、高各是多少时，其表面积最小？分析 设水箱的长、宽、高分别为x y z 、、，依据表面积公式，问题转化为确定函数()()xy yz xz z y x S ++=2,,在约束条件0x >，0y >，0z >，V xyz =下的最小值．解 设水箱的长、宽、高分别为x y z 、、，则表面积为()()xy yz xz z y x S ++=2,,．由题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求()0,0,0>>>z y x ，而且还要满足条件V xyz = (1)由条件（1）可解出xy V z /=，并代入函数()z y x S ,,中，得到()xy x y V xy V y x S y x F +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=112,,,． 则问题转化为无条件极值问题，运用无条件极值的解法，由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=020222y V x F x V y F y x ， 得F 的稳定点()332,2V V P ，由于()3022V P F xx =，()00=P F xy ，()3022V P F yy =，()()()0243202>=-V P FF F xyyy xx ．因此F 在0P 取得极小值()3233432,2V V V F=，即最小面积为3243V S =.（二）三角代换法对于某些条件极值问题，可利用三角代换消元，从而借助于三角函数运算求出极值．代换时，首先要从函数式中变数的允许值去考虑选取哪些三角函数(或三角函数式)，再从解题的需要选择适当的代换．例2 求222x y xy μ=-+在有界区域221x y +≤上的最大值与最小值．分析 首先目标函数在221x y +<区域内可转化为无条件极值问题，利用无条件极值的解法，求出在此区域内的极值，再考虑区域边界221x y +=，根据三角代换，把目标函数转化为24πμθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在约束条件πθ20<≤下的最小值问题．解 当221x y +<时，令220220xyx y y x μμ'=+=⎧⎪⎨'=-+=⎪⎩，解得0x y ==，故其驻点为()0,0，此驻点在221x y +<内唯一，故有极值()0,00μ=．当221x y +=时， 令⎩⎨⎧==θθcos sin y x （θ为参数，πθ20<≤）则22cos sin 2sin cos cos 2sin 224πμθθθθθθθ⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭．当 8πθ=时，μ有最大值，最大值为max μ=；当 58θπ=时，μ有最小值，最小值为min μ=．综上所述，max μmin μ=．（三）数形结合法数形结合法是根据目标函数的几何意义，如直线的截距、点到直线的距离、圆的半例3 试求抛物线2y x =到直线:20l x y --=分析 点(),x y 到直线l 的距离为()),f x y x y ==- 抛物线2y x =到直线l 的最短距离，则问题转化为确定函数(),f x y 在条件2y x =解 如图1可知，抛物线上的点(),x y 到直线l 的距离为()),f x y x y ==-令t x y =-即过点(),x y 作平行于l 的直线：0x y t --=． 从图像可以看出当直线与抛物线相切时，(),f x y 最小．=由0x y t --=，2y x = ，消去x 得()22210y t y t +-+=， 令()222140t t ∆=--=，有14t =．则12x =，14y =．因此点11,24⎛⎫⎪⎝⎭到直线l 的距离最近，最短距离为()111,224f ⎫=-=⎪⎭二、不等式法不等式法求条件极值是根据约束条件对目标函数进行适当的放缩，从而求出条件极值．（一）均值不等式法若0i a ≥()1,2,,,1i n n => ，则有均值不等式12n a a a n+++≥当且仅当n a a a === 21等号成立．例4 求周长为定值p 2的一类凸四边形的面积的最大值． 分析 设凸四边形的边长分别为,,,a b c d ，两个内对角为αβ、，则面积()1sin sin 2S ab cd αβ=+，这样问题转化为 求S 在条件+++=2a b c d p 下的极值．解 凸四边形的边长分别为,,,a b c d ，其面积为S ,两个内对角为βα,（图2），则βαs i n s i n 2cd ab S += （2） 又由余弦定理， 22222cos 2cos a b ab c d cd αβ+-=+- 故()22221c o s c o s 2a b c da b c d αβ+--=- （3）()()2223+，得αβa bcd图222222224⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++d c b a S ()βα+-+=cos 22222abcd d c b a ， 这就有()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+≤2222222241d c b a cd ab S ()()()()d p c p b p a p ----=．由均值不等式44242p a p b p c p d p S -+-+-+-⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，当πβα=+，且d p c p b p a p -=-=-=-时，2max2p S ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （二）柯西不等式法对于任意两组数12,,,n a a a 和12,,,n b b b ，则有柯西不等式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⋅∑∑∑===n i i i ni i n i i b a b a （4）当且仅当1212n na a ab b b === 时，上式等号成立． 例5 求三维欧氏空间3R 的一点()c b a ,,到平面0=+++D Cz By Ax 的最小距离. 分析 设平面上任意一点是()z y x ,,，依据两点间的距离公式，问题转化为函数()()()222c z b y a x r -+-+-=在约束条件0=+++D Cz By Ax 的最小值．注意到()()()222c z b y a x r -+-+-=与()()()2222c z b y a x r -+-+-=同时具有最小值，为了问题讨论的方便，故考虑()()()2222c z b y a x r -+-+-=在条件0=+++D Cz By Ax 下的极值．解 设平面上任意一点是()z y x ,,，由题意可得，()()()()D Cc Bb Aa c z C b y B a x A +++-=-+-+-再由柯西不等式可得：()()()()()()()2222222A x a B y b C z c A B C x a y b z c ⎡⎤-+-+-≤++-+-+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 因此 ()()()()22222222CB A D Cc Bb Aa c z b t a x r+++++≥-+-+-=． 当且仅当A B Cx a y b z c==---，等号成立， 即点()c b a ,,到平面0=+++D Cz By Ax 的最小距离为222CB A D Cc Bb Aa +++++．（三）排序不等式法对于任意两组数12,,,n a a a 和12,,,n b b b ，分别有12n a a a ≤≤≤ ，n b b b ≤≤≤ 21，设n i i i ,,,21 与n j j j ,,,21 是n ,,2,1 的任意两个数列，则有排序不等式n n j i j i b a b a b a b a n n ++≤++ 1111， （5） 1111b a b a b a b a n n j i j i n n ++≥++ ． （6）例 6 一台机床加工n 个零件，若加工每个零件的时间各不相同，问按照怎样的次序加工才能使总等待的时间最短？分析 设加工这n 个零件的时间为n t t t ,,,21 ，且n t t t <<< 21为约束条件，而加工第k 个零件的时间为,1,2,,k k n λ= ，则总等待时间为()121n n n λλλ+-++ ，即为目标函数．解 设加工这n 个零件的时间为n t t t ,,,21 ，且不妨设n t t t <<< 21，按照加工的次序加工第k 个零件的时间为,1,2,,k k n λ= ，则总等待时间为()()11212n λλλλλλ+++++++()121n n n λλλ=+-++ .由于12,,,n λλλ 是n t t t ,,,21 的任一个排列，于是按排列不等式，有()()n n t t n nt n n ++-+≥++-+ 212111λλλ．因此，按照加工每个零件所用时间的由小到大的次序加工，才能使总等待时间最短.结束语：本文着重介绍了高中数学中条件极值的求解方法．其中降维消极法主要解决比较简单的体积极值问题；三角代换法、不等式法则是对约束条件的变形转化，从而求出目标函数.参考文献：[1] 余元希,田万海,毛宏德.初等代数研究(下)[M].北京:高等教育出版社,2008:416-418. [2] 戴振强.柯西不等式的应用[J].牡丹江教育学院学报,2006,(3)：48.[3] 华东师范大学数学系.数学分析(下) [M]. 北京：高等教育出版社，2007: 166.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
指导教师：葛新同
姓名：杨林 班级：应用数学2班 学好：200940510646
Company Logo
摘要：条件极值在高等数学中占有重要的地位， 可以方便解决一些实际的应用问题.本文介绍几种 常见条件极值的解法，由于拉格朗日乘数法是应 用比较广泛的一种解法，故本文着重介绍该解法.
关键词：条件极值 拉格朗日乘数 柯西不等式
Company Logo
一．引论
众所周知，条件极值是高等数学一个重要的知识 点，也是高等数学的基础和核心，它在高等数学 中有广泛的应用，而且在实际生活中有很大的应 用价值.今天人们更加注重科学决策，因为条件极 值可以用于揭示了成本最小化、利润最大化等问 题的经济意义,所以研究条件极值具有重要意义， 本文给出几种常见的解法，分别是利用拉格朗日 乘数法，柯西不等式，利用二次函数的极值来求 条件极值.
Company Logo
Company Logo
总结
经过本次论文的写作，我学到了许多东西，也积 累了不少的经验，但是，由于学生能力不足，加 之时间和精力有限，在许多内容表述上，存在不 足之处，借此答辩机会，万分恳切的希望各位老 师能够提出宝贵的意见
Company Logo
致谢 大学本科的学习生活即将结束。在此，我 要感谢所有曾经教导过我的老师和关心过 我的同学，他们在我成长过程中给予了我 很大的帮助。本文能够顺利完成，要特别 感谢我的指导老师葛新同老师，感谢各位 系的老师的关心和帮助。 最后向所有关心和帮助过我的人表示真心 的感谢。
2
Coபைடு நூலகம்pany Logo
三、结论
本文我们采用了Lagrange乘数法、Cauchy不 等式、二次函数法求条件极值，事实上求解有关 条件极值问题灵活性很大,并没有固定的模式，一 般无规律可循,因为问题的形式一般不同，所以， 在学习的过程中，要灵活应用上述的三种方法， 既要多加训练，还要归纳总结，更要切实掌握.
Company Logo
二、方法介绍
1. Lagrange乘数法
2.Cauchy求条件极值
3、利用二次函数的极值求条件极值
Company Logo
1. Lagrange乘数法 注:对于条件极值的应用问题,我们一般从问 题的实际意义出发，可以推出最大值和最 小值存在,即在解实际问题时，往往在该点 处的函数值就是要求的最大（或最小）值. 由于拉格朗日函数只有一个驻点,故可以判 定所需求的最大值或最小值即在驻点处,用 不着判断它是最大值还是最小值.
Company Logo
2.Cauchy求条件极值
首先，我们给出以下关于柯西不等式的定理. 定理：对于任意实数和有 其中等号当且仅当时才成立，我们就把(1)称式为 Cauchy不等式.
Company Logo
3、利用二次函数的极值求条件极值
求定义在开区间（a,b）上的二次函数 y px qx r p 0 的极值. 分析如下： q q x a b, 2 p ，有极小值； 1).当p>0时，若 当 2p q a b; 2).当p<0时，若 当 x 2qp ，有极大值. 2p 可以用于求解某些条件极值问题