《二次根式》知识点归纳和题型归类

二次根式知识点归纳和题型归类

一、知识框图

二.知识要点梳理

知识点一、二次根式的主要性质：

1.；

2.；

3.；

4.积的算术平方根的性质：；

5. 商的算术平方根的性质：.

6.若，则.知识点二、二次根式的运算

1．二次根式的乘除运算

(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.

(2) 注意每一步运算的算理；

(3) 乘法公式的推广：

(4)注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．

2．二次根式的加减运算需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

3．二次根式的混合运算

(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；

(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.

(3)二次根式运算结果应化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数或小数．

4.简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：

○1因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．

○2因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：

三.典型题训练

一. 利用二次根式的双重非负性0

≥

a（a≥0），

1.下列各式中一定是二次根式的是（）。A、3

-；B、x；C、1

2+

x；D、1

-

x

2.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

（1）（2）

1

2

1

+

-

x

（3）

4

5

+

+

x

x

（4）

（5）(6). （7）若1

)1

(-

=

-x

x

x

x，则x的取值范围是

（8）若

1

3

1

3

+

+

=

+

+

x

x

x

x，则x的取值范围是。

3.若1

3-

m有意义，则m能取的最小整数值是；

若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________．

1

2

1

3

-

+

-

x

x

4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。

5.

若2004a a -=，则2

2004a -=_____________； 若433+-+-=

x x y ，则=+y x

6．设m 、n 满足3

2

9922-+-+-=

m m m n ，则mn = 。

7．若m

=m 的值．

8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442

-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 9.已知ABC △的三边a b c ，，

满足22|1022a b a ++=+，则ABC △为（ ） 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10<

C 、2

D 、2≤m

二．利用二次根式的性质（2a =|a |） 1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ）

A.x ≤0

B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0 2.．已知a

A 、x 为任意实数

B 、1≤x ≤4

C 、x ≥1

D 、x ≤4

4.已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=

5. 当-3

6、化简)0(||2

<<--y x x y x 的结果是（ ） A ．x y 2- B ．y C ．y x -2 D ．y - 7、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值范围是（ ）。 A 、0=a ； B 、1=a ； C 、0=a 或1； D 、1≤a

8、化简2

1)2(---x x 的结果为（ ） A 、x -2； B 、2-x ；C 、2--

x D 、x --2

三．二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0），即||2a a =以

及混合运算法则） （一）化简与求值

1.把下列各式化成最简二次根式：（1）833 （2）224041- （3）2

255m （4）224y x x +

2.下列哪些是同类二次根式：（1）75，

271，12，2，501，3，10

1；

（2）,533c b a 323c b a ，

4

c ab ，a bc a

3.计算下列各题：

（1）6)33(27-⋅ （2）49123a ab ⋅； （3）a c c b b a 53654⋅

⋅ （4）24

18

2

（5）－545321÷ （6）)(23522c

ab c b a -÷

4.计算（1）25051122183133++-- （2）)25

4414()31

91(3323y

y x x

y y x x +-+

5．已知10182

22

=++x x x

x

，则x 等于（ ）

A ．4

B ．±2

C ．2

D ．±4

6.

2

11+＋

321+＋

4

31+＋…＋

100

991

+