人教版八年级下册第十八章平行四边形 18.2 特殊的平行四边形同步练习题

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人教版八年级下册：18.2特殊的平行四边形同步练习卷含答案解析

人教版八年级下册：18.2特殊的平行四边形同步练习卷一．选择题（共10小题）1．下列性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．4个内角相等D．一条对角线平分一组对角2．如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°3．如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，则下列结论不一定正确的是（）A．B．BD＝CD C．D．4．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC 5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠AOB＝60°D．AC⊥BD6．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．157．如图，已知四边形ABCD是正方形，E是AB延长线上一点，且BE＝BD，则∠BDE的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°8．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．49．已知四边形ABCD是平行四边形，再从四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）①AB＝BC，②∠ABC＝90˚，③AC＝BD，④AC⊥BDA．选①②B．选①③C．选②③D．选②④10．如图，在正方形ABCD内，以BC为边作等边三角形BCM，连接AM并延长交CD于N，则下列结论不正确的是（）A．∠DAN＝15°B．∠CMN＝45°C．AM＝MN D．MN＝NC二．填空题（共8小题）11．工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是．12．如图，两张等宽的长方形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是．13．矩形ABCD中，要使矩形ABCD成为正方形还需满足的条件是（横线只需填一个你认为合适的条件即可）14．如图，已知菱形ABCD的面积为6cm2，BD的长为4cm，则AC的长为cm．15．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若BD＝8，则MN的长为．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝28°，D是AB的中点，则∠DCB＝度．17．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是（1，5），（4，1），点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为．18．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN，若AB＝9，BE＝6，则MN 的长为．三．解答题（共8小题）19．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．20．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE ∥AC，CE与DE交于点E．求证：四边形OCED是正方形．21．如图．在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，连结DE、DB、BF．（1）求证：DE＝BF；（2）若∠ADB＝90°，证明：四边形BFDE是菱形．22．已知：如图，平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC、DE，当∠B＝∠AEB＝45°时，求证四边形ACED是正方形．23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．24．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，①当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝cm时，四边形CEDF是菱形．25．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF ∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．26．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，故选项A、B不合题意；∵矩形的四个角都是直角，故选项C不合题意；∵矩形的一条对角线不一定平分一组对角；故D符合题意；故选：D．2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB，∠DAC＝∠1，∵∠D＝130°，∴∠DAB＝180°﹣130°＝50°，∴∠1＝∠DAB＝25°．故选：B．3．【解答】解：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则BD＝CD＝BC，故选项A、B、D不符合题意．若∠BAC＝90°时，AD＝BC才成立，否则不成立．故选项C符合题意．故选：C．4．【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；C．不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；D．平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠BAD＝∠ADC，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．故选：C．5．【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，A、∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠AOB＝60°，不能得出四边形ABCD是菱形；选项C不符合题意；D、∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．6．【解答】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，故选：B．7．【解答】解：∵BE＝DB，∴∠BDE＝∠E，∵∠DBA＝∠BDE+∠BED＝45°∴∠BDE＝×45°＝22.5°．故选：A．8．【解答】解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．9．【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意．D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：C．10．【解答】解：作MG⊥BC于G．∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝∠DAB＝°∠DCB＝90°∵△MBC是等边三角形，∴MB＝MC＝BC，∠MBC＝∠BMC＝60°，∵MG⊥BC，∴BG＝GC，∵AB∥MG∥CD，∴AM＝MN，∴∠ABM＝30°，∵BA＝BM，∴∠MAB＝∠BMA＝75°，∴∠DAN＝90°﹣75°＝15°，∠CMN＝180°﹣75°﹣60°＝45°，故A，B，C正确，故选：D．二．填空题（共8小题）11．【解答】解：用直角尺测量门框的三个角是否都是直角，如果都是直角，则四边形是矩形．故答案为：三个角是直角的四边形为矩形12．【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如图，∵两条纸条宽度相同，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又∵AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形；故答案为：菱形．13．【解答】解：添加的条件可以是AB＝BC．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形．故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．14．【解答】解：∵菱形ABCD的面积为6cm2，BD的长为4cm，∴×4×AC＝6，解得：AC＝3，故答案为：3．15．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AC，BD交于点O，BD＝8∴BD＝2BO，即2BO＝8．∴BO＝4．又∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN是△CBO的中位线，∴MN＝BO＝2．故答案是：2．16．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴∠ACD＝∠A＝28°，∴∠DCB＝90°﹣28°＝62°，故答案为：62．17．【解答】解：如图，当AB为对角线时，观察图象可知D（5，3）．当AB为矩形的边时，观察图象可知D2（﹣3，2），∴直线AD2的解析式为y＝x+，∴C1（0，），∵AC1＝BD1，∴D1（3，），综上所述，满足条件的点D的坐标为（5，3）或（﹣3，2）或（3，）．故答案为（5，3）或（﹣3，2）或（3，）．18．【解答】解：连接CF，∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝9，BE＝6，∴GF＝GB＝6，BC＝9，∴GC＝GB+BC＝6+9＝15，∴CF＝＝＝3．∵M、N分别是DC、DF的中点，∴MN＝＝．故答案为：．三．解答题（共8小题）19．【解答】证明；∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．20．【解答】证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∴OD＝OC，∠DOC＝90°，∴四边形CODE是正方形．21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，DC＝AB，∵E，F分别为边AB、CD的中点，∴DF＝CF＝DC，AE＝BE＝AB，∴DF＝BE，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE＝BF；（2）证明：由（1）得，四边形DEBF是平行四边形，∴DC＝AB，CD∥AB，∴DF∥EB，∵E，F分别为边AB、CD的中点，∴DF＝CF＝DC，AE＝BE＝AB，∴DF＝EB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵∠ADB＝90°，∴DE＝AB，∴DE＝EB，∴四边形DEBF是菱形．22．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠D＝∠OCE，∠DAO＝∠E．∵O是CD的中点，∴OC＝OD，在△AOD和△EOC中，，∴△AOD≌△EOC（AAS）；（2）∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE．又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠COE＝∠BAE＝90°．∴▱ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD．∴菱形ACED是正方形．23．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．24．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCD＝∠GCD，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，∴△CFG≌△EDG（ASA），∴FG＝EG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝6，∴BM＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，∵AE＝7，∴DE＝3＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：7；②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD＝10，AE＝4，∴DE＝6，∵CD＝6，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：4．25．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，∴AD∥BC．∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵AE＝4，AD＝5，∴AB＝5，BE＝3．∵AB＝BC＝5，∴CE＝8．∴AC＝4，∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝2．∴OE＝2．26．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BO，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．。

人教版八年级数学下册 18.1 ---18.2复习题(含答案)

人教版八年级数学18.1 平行四边形一、选择题1. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，以下说法错误的是()A. OE＝12DC B. OA＝OCC. ∠BOE＝∠OBAD. ∠OBE＝∠OCE2. 如图，在平行四边形ABCD中，5AD=，3AB=，AE平分BAD∠交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（）A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4如图DCEBA3. 如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B为()A. 66°B. 104°C. 114°4. 如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．215. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长是()A . 10B . 14C . 20D . 226. 点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB CD ∥，②AB CD =，③BC AD ∥，④BC AD =．这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（）种A ．3B ．4C ．5D ．67. 在平行四边形ABCD 中，点1A 、2A 、3A 、4A 和1C 、2C 、3C 、4C 分别为AB 和CD 的五等分点，点1B 、2B 和1D 、2D 分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD 面积为（）A ．2B ．35C ．53D ．158. 如图，D 是△ABC内一点，BD ⊥CD ，AD=7，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为A ．12B ．14C ．24D ．219.已知四边形的四条边长分别a b c d ，，，其a b ，对边，并且满足222222a b c d ab cd +++=+）A ．任意四边形B ．平行四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线垂直的四边形10.（2020·P 是面积为S 的ABCD 内任意一点，PAD ∆的面积为1S，PBC∆的面积为2S，则（）A.122SS S+> B.122SS S+<C.212SS S+= D.21S S+的大小与P点位置有关二、填空题11. 如图，在平行四边ABCD中，120A∠=︒，则D∠=︒．EAB C图图1DCBA如图，在平行四边形ABCD中，DB DC=，65A∠=︒，CE BD⊥于E，则BCE∠=︒．EEAB C图AB CD图2D13. 如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．14. （2020·凉山州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA＝1，△AOE的周长等于5，则平行四边形ABCD的周长等于．OE DCBA15. 如图，已知等边三角形的边长为10，P是ABC∆内一点，PD AC∥，PE AB PF BC∥，∥，点D E F，，分别在AB BC AC，，上，则PD PE PF++=P FEDCBA16. 如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为________．三、解答题17. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由.18. （2020·淮安）如图，在□ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF 相交于点O，且AO=CO．（1）求证∶△AOF≌△COE；（2）连接AE、CF，则四边形AECF_______________（填"是"或"不是"）平行四边形．19. 如图，在等腰ABC∆中，延长边AB 到点D ，延长边CA 到点E ，连接DE ，恰有AD BC CE DE ===．求证：100BAC ∠=︒．EDCB A20. 如图，在ABC ∆中，AB AC AD BC =⊥，于D ，点P 在BC 上， PE BC ⊥交BA 的延长线于E ，交AC KHF FABCD EPPE D C BA21. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，求证222222AC BD AB BC CD DA +=+++．DCBA人教版八年级数学 18.1 平行四边形培优训练-答案一、选择题1. 【答案】D 【解析】A 、B 、C 均正确，因为OB 不一定等于OC ，所以∠OBE 不一定等于∠OCE .2. 【答案】B3. 【答案】C 【解析】设∠ACD ＝x ，∠B ＝y ，则根据题意可列方程组⎩⎨⎧x ＋y ＋44°＝180°180°－y －（44°－x ）＝44°，解得y ＝114°.4. 【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°，又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6，由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°， ∴∠DAE=60°，∴△ADE 是等边三角形， ∴△ADE 的周长为6×3=18，故选C ．5. 【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .由AC ＋BD ＝16可得OA ＋OB ＝8，又∵AB ＝CD ＝6，∴△ABO 的周长为OA ＋OB ＋AB ＝8＋6＝14.6. 【答案】B7. 【答案】C8. 【答案】A【解析】∵BD ⊥CD ，BD=4，CD=3， ∴BC=2222=43BD CD ++=5，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点， ∴EH=FG=12BC ，EF=GH=12AD ， ∴四边形EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC ，又∵AD=7，∴四边形EFGH 的周长=7+5=12．故选A ．9. 【答案】B10. 【答案】C然后使分割后的图形与PAD∆的面积1S ，PBC ∆的面积2S 发生关联，然后求出其数量关系，如下图，过点P 作AD 的平行线，分别交ABCD 的边于点M 、N ：2111(21222)AMND MbCN AMND MbCN SS S S S S S =+++==.11. 【答案】60︒12. 【答案】25︒【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴65A DCB ∠=∠=︒ 又∵DB DC =∴65DBC DCB ∠=∠=︒，∴50CDB ∠=︒ 又∵CE BD ⊥，∴40ECD ∠=︒ ∴654025BCE ∠=︒-︒=︒．13. 【答案】AD ∥BC (答案不唯一) 【解析】根据平行四边形的判定，在已有AB ∥DC 的条件下，可再加另一组对边平行即可证得它是平行四边形，即加“AD ∥BC”．14. 【答案】16【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，AB ＝CD ，AD ＝BC ．∵OE ∥AB ，∴OE 是△ACD 的中位线．∴AE，OE．∵OA ＝1，△AOE 的周长等于5，∴AE ＋OE ＝4．∴AD ＋8ABCD 的周长＝16．故答案为16．15.16. 【答案】36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED ＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，∴∠F AE=∠CDE ， ∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，又∵∠FEA=∠CED ，∴△F AE ≌△CDE ，∴CD=F A ，又∵CD ∥AF ，∴四边形ACDF 是平行四边形. (2)BC=2CD.理由:∵CF 平分∠BCD ，∴∠DCE=45°， ∵∠CDE=90°，∴△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD=DE ，∵E 是AD 的中点，∴AD=2CD ， ∵AD=BC ，∴BC=2CD.18. 【答案】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠FAO=∠ECO ，中∴△AOF和△COE（ASA）．（2）由（1）△AOF和△COE，∴OF=OE，又∵OA=OC，∴四边形AEOF为平行四边形．19.20. 【答案】分析：加倍中线构造平行四边形，然后再通过等量线段证明原式成立。

特殊的平行四边形专题练习

第十八章平行四边形18.2 特殊的平行四边形1．矩形的定义：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做__________，也称为长方形．（2）矩形的定义有两个要素：①四边形是__________；②有一个角是__________．二者缺一不可．【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形．2．矩形的性质：（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．（2）矩形的性质可综述为：①矩形的对边__________； ②矩形的对角相等且四个角都是__________； ③矩形的对角线__________；④矩形是__________，对边中点所确定的直线是它的__________，矩形有__________对称轴．（3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等．3．直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于__________．【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线．4．矩形的判定：（1）有一个角是直角的__________是矩形；（2）有三个角是__________的四边形是矩形；（3）对角线__________的四边形是矩形．【注意】（1）判定矩形的常见思路有三个角是直角→矩形四边形对角线相等→矩形平行四边形有一个角是直角→矩形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩（2）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．（3）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．5．菱形的定义：（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做__________．菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形．（2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法．6．菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质．（2）菱形的四条边都__________．学-科网（3）菱形的两条对角线__________，并且每一条对角线__________一组对角．（4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴．【注意】菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等．（5）菱形的面积等于__________乘积的一半．7．菱形的判定：（1）一组邻边__________的平行四边形是菱形．（2）对角线__________的平行四边形是菱形．（3）四条边__________的四边形是菱形．（4）对角线__________的四边形是菱形．【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的．8．正方形的定义：（1）有一组邻边__________并且有一个角是__________的平行四边形叫做正方形．（2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）；②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）．（3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．9．正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地： ①正方形的四个角都是__________，四条边都__________；②正方形的两条对角线__________并且互相__________，每条对角线__________一组对角．（2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．10．正方形的判定：（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的__________是正方形；（3）有一个角是直角的__________是正方形；（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．一、矩形的性质1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，即：矩形＝平行四边形＋一个内角是直角．2．矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．【例1】如图，在矩形ABCD 中，1205BOC AB ︒∠==，，则BD 的长为A ．5B ．10C ．12D ．13二、矩形的判定1．定义法；2．对角线相等的平行四边形是矩形； 3．对角线平分且相等的四边形是矩形； 4．有三个角是直角的三角形是矩形．【例2】下列说法正确的是A ．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B ．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C ．对角线互相平分的四边形是矩形D ．对角互补的平行四边形是矩形三、直角三角形斜边中线的性质1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；2．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等； 3．在直角三角形中，如果遇到斜边的中点，可以考虑利用此性质，注意直角边上的中线不具备这一性质．【例3】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的中线长为 A ．52B ．6C ．13D ．132四、矩形中的折叠问题矩形折叠问题中，折叠前后的两个图形对应边相等，通常建立模型利用勾股定理进行求解．【例4】如图，长方形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为A ．1B ．32C ．43D ．2五、菱形的性质及应用1．菱形具有平行四边形的一切性质．2．菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．【例5】在菱形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且AM =AN =MN =AB ，则∠C 的度数为A ．120°B ．100°C ．80°D ．60°六、菱形的面积菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．【例6】已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是 A ．212cm B ．224cmC ．248cmD ．296cm七、菱形的判定菱形四种判定方法中，两种是以平行四边形为基础的，另两种是以四边形为基础的．【例7】如图，在四边形ABCD 中，AB =AD,CB =CD,E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF ．（1）求证：∠BAC =∠DAC ，∠AFD =∠CFE ；（2）若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形．八、正方形的性质正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．【例8】如图，正方形ABCD满足∠AEB=90°，AE=12，BE=16，则阴影部分的面积是A．400 B．192C．208 D．304九、正方形的判定1．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；2．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；3．对角线互相垂直的矩形是正方形；4．对角线相等的菱形是正方形．【例9】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC垂直平分线分别交BC，AB于D、E，过C作CF∥AB，交BC的垂直平分线于F，连接BF．（1）判定四边形BECF的形状，并证明；（2）当∠A满足什么条件时，四边形BECF是正方形？证明你的结论．1．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是 A ．对角线互相平分的四边形 B ．对角线互相垂直且平分的四边形 C ．对角线相等的四边形D ．对角线相等且互相垂直的四边形2．菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是 A ．6B ．8C ．12D ．243．在四边形中，能判定这个四边形是正方形的条件是 A ．对角线相等，对边平行且相等 B ．一组对边平行，一组对角相等C ．对角线互相平分且相等，对角线互相垂直D ．一组邻边相等，对角线互相平分4．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB =30°，AB =4，则OC =A ．5B ．4C ．3.5D ．35．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC 的度数是A ．18°B ．36°C ．45°D ．72°6．在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6 cm ，8 cm ，则下列结论不正确的是 A ．斜边长为10 cmB ．周长为25 cmC ．面积为24 cm 2D ．斜边上的中线长为5 cm7．在四边形ABCD 中，对角线，AC BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD ⊥C ．AB CD =D ．AB CD ∥8．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为A．158B．154C．152D．159．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8 cm，BD=6 cm，则菱形的高为A．485cm B．245cm C．125cm D．105cm10．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是A．30 B．24 C．18 D．611．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于A．60°B．55°C．45°D．30°12．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是A．75°B．60°C．54°D．67.5°13．如图，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，若AE平分∠BAD交边BC于点E，则线段EC的长度为_________．14．如图是一个平行四边形，当∠α的度数为________度时，两条对角线长度相等．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则△AEF的周长为________cm．16．如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为__________．17．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为__________．18．如图，等边三角形EBC在正方形ABCD内，连接DE，则ADE∠=__________．19．已知菱形ABCD中，对角线AC=16 cm，BD=12 cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．20．如图，已知四边形ABCD是正方形，延长BC到E，在CD上截取CF=CE，BF交DE于G，求证：BG ⊥DE．21．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点．（1）求证：△BED是等腰三角形：（2）当∠BCD=________°时，△BED是等边三角形．22．如图，四边形ABCD 中，90A ABC ∠=∠=︒，1AD =，3BC =，E 是边CD 的中点，连接BE 延长与AD 的延长线相交于点F ，连接CF ．（1）求证：四边形BDFC 是平行四边形．（2）已知CB CD =，求四边形BDFC 的面积．23．如图，在矩形ABCD 中，AD =12，AB =7，DF 平分∠ADC ，AF ⊥EF ．（1）求证：AF =EF ；（2）求EF 长．24．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）当AB ∶AD =__________时，四边形MENF 是正方形，并说明理由．25．如图，矩形ABCD 沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠等于A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°26．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别是AB 、AC 边的中点，若AB =8，AC =6，则△DEF 的周长为A ．12B ．13C ．14D ．1527．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，∠DHO =20°，则∠CAD 的度数是A ．20°B ．25°C ．30°D ．40°28．如图，以A 点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM ，AN 交于B ，C 两点，连接BC ，再分别以B ，C 为圆心，以相同长（大于12BC ）为半径作弧，两弧相交于点D ，连接AD ，BD ，CD ．则下列结论错误的是A ．AD 平分∠MANB ．AD 垂直平分BC C ．∠MBD =∠NCD D ．四边形ACDB 一定是菱形29．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC=2∶1，则线段CH的长是A．3 B．4 C．5 D．630．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为A．2B．22C．2+1 D．22+131．如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的中点，将△BCE沿CE翻折得到△FCE，连接AF．若∠EAF=75°，那么∠BCF的度数为__________．32．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为____________．33．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中正确结论的序号是____________．34．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°．（1）求证：DF+BE=EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积．36．（2018·浙江台州）下列命题正确的是A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形37．（2018·江苏淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是A．20 B．24 C．40 D．4838．（2018·山东烟台）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为A．7 B．6 C．5 D．439．（2018·四川内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为A．31°B．28°C．62°D．56°40．（2018·湖北宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥A B．EI ⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于A．1 B．12C．13D．1441．（2018·黑龙江牡丹江）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为A．6 B．5 C．4 D．342．（2018·广西贵港）如图，在菱形ABCD 中，AC =62，BD =6，E 是BC 边的中点，P ，M 分别是AC ，AB 上的动点，连接PE ，PM ，则PE +PM 的最小值是A ．6B ．33C ．26D ．4.543．（2018·湖南湘潭）如图，已知点E 、F 、G ．H 分别是菱形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH 是A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形44．（2018·浙江嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD ，下列作法中错误的是A ．B ．C ．D ．45．（2018·四川甘孜州）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点86O AC BD ==，，， OE AD ⊥于点E ，交BC 于点F ，则EF 的长为__________．46．（2018·辽宁锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为__________．47．（2018·四川攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为__________．48．（2018·辽宁葫芦岛）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为__________．49．（2018·四川广安）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．50．（2018·湖南郴州）如图，在ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC 于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．51．（2018·辽宁沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是__________．。

人教版八年级数学下册特殊的平行四边形同步练习(解析版)

人教版八年级数学下册特殊的平行四边形同步练习（解析版）同步练习参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直选D2．如图，矩形ABCD的对角线AC﹨BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A．4 B．8 C．10 D．12解：∵四边形ABCD为矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，∴OA=OB=OC=OD=2，∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形DECO为平行四边形，∵OD=OC，∴四边形DECO为菱形，∴OD=DE=EC=OC=2，则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，故选B3．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9解：设大正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故选D．4．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y=，∴点E坐标（3，）故选：B．5．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD ﹣DF解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．又∵DE=AD，∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；（B）∵∠ADF不一定等于30°，∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，∴AB=AF，故（C）正确；（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又∵BE=BC﹣EC，∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；故选B．6．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC 边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6解：设CH=x，则DH=EH=9﹣x，∵BE：EC=2：1，BC=9，∴CE=BC=3，∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4．故选（B）．7．下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形解：∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴选项A错误；∵有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，∴选项B错误；∵矩形的对角线相等，∴选项C正确；∵平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，∴选项D错误；故选：C．8．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）A．B．2C．+1 D．2+1解：∵正方形ABCD的面积为1，∴BC=CD==1，∠BCD=90°，∵E﹨F分别是BC﹨CD的中点，∴CE=BC=，CF=CD=，∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF=CE=，∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；故选：B．9．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD 上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．75解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．故选C．10．如图是由三个边长分别为6﹨9﹨x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6解：如图，∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，∴（6+9+x）×9﹣x•（9﹣x）=×（62+92+x2）﹣6×3，解得x=3，或x=6，故选D．二．填空题（共5小题）11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为30．解：∵在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD=30．故答案为：30．12．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为4或2．解：①如图，当AB=AD时满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），则AB=AD=4．②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，∵P2是AD的中点，∴BP2==，易证得BP1=BP2，又∵BP1=BC，∴=4∴AB=2．③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形．故答案为：4或2．13．有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为20和20．解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC时，设AB=AC=a，作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，∴BD=AB=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，∴BD=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．故答案为20或20．14．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC 的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为6．解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，∴AC=3，∵AE平分∠CAD，∴∠CAE=∠DAE，∵AD∥CE，∴∠DAE=∠E，∴∠CAE=∠E，∴CE=CA=3，∵FA⊥AE，∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，∴∠FAC=∠F，∴CF=AC=3，∴EF=CF+CE=3=6，故答案为：6．15．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…﹨则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是（21008，0）．解：∵正方形OA1B1C1边长为1，∴OB1=，∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边，∴OB2=2，∴B2点坐标为（0，2），同理可知OB3=2，∴B3点坐标为（﹣2，2），同理可知OB4=4，B4点坐标为（﹣4，0），B5点坐标为（﹣4，﹣4），B6点坐标为（0，﹣8），B7（8，﹣8），B8（16，0）B9（16，16），B10（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2016÷8=252∴B2016的纵横坐标符号与点B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是0，∴B2016的坐标为（21008，0）．故答案为：（21008，0）．三．解答题（共5小题）16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形ECBF是平行四边形；（2）当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．证明：（1）∵D，E分别为边AC，AB的中点，∴DE∥BC，即EF∥BC．又∵BF∥CE，∴四边形ECBF是平行四边形．（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，∴CB=AB，CE=AB．∴CB=CE．又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形，∴四边形ECBF是菱形．17．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC﹨AD分别相交于P﹨Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF，在△CFP和△AEQ中，，∴△CFP≌△AEQ（ASA），∴CP=AQ；（2）解：∵AD∥BC，∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP﹨△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE=BP=，∴EQ=PE+PQ=+2=3，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．18．如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE﹨CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）判断△CEF的形状，并说明理由．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠ABC=90°，∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，∴BE=BF，∴∠ABC﹣∠CBF=∠EBF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠CBE．在△ABF和△CBE中，有，∴△ABF≌△CBE（SAS）．（2）解：△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE=∠FEB=45°，∴∠AFB=180°﹣∠BFE=135°，又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB=∠AFB=135°，∴∠CEF=∠CEB﹣∠FEB=135°﹣45°=90°，∴△CEF是直角三角形．19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，并且∠A=∠D．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）点E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠1=2∠2，若CE=4，CF=5，求DF的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，又∠A=∠D，∴∠A=∠D=90°，∴平行四边形ABCD为矩形；（2）解：延长DA，CE交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，AD∥BC，∴∠GAE=90°，∠G=∠ECB，∵E是AB边的中点，∴AE=BE，在△AGE和△BCE中，，∴△AGE≌△BCE（AAS），∴AG=BC，若CE=4，CF=5，设DF=x，根据勾股定理得：CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，即52﹣x2=82﹣（5+x）2，解得：x=，即DF=．20．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE﹨EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE=EF．（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论：成立．（填“成立”或“不成立”）（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BCA=60°，∵E是线段AC的中点，∴∠CBE=∠ABE=30°，AE=CE，∵CF=AE，∴CE=CF，∴∠F=∠CEF=∠BCA=30°，∴∠CBE=∠F=30°，∴BE=EF；（2）解：结论成立；理由如下：过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∠BCD=120°，AB∥CD，∴∠ACD=60°，∠DCF=∠ABC=60°，∴∠ECF=120°，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=60°，又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，∴BG=CE，∠BGE=120°=∠ECF，又∵CF=AE，∴GE=CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．又∵EG∥BC，∴∠AGE=∠ABC=60°，又∵∠BAC=60°，∴△AGE是等边三角形，∴AG=AE=GE，∠AGE=60°，∴BG=CE，∠AGE=∠ECF，又∵CF=AE，∴GE=CF，在△BGE和△CEF中，，∴△BGE≌△ECF（SAS），∴BE=EF．。

人教版八年级下册 18.2 特殊的平行四边形同步练习

18.2 特殊的平行四边形总分：100分班级:__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________一、选择题（共10小题；共30分）1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以下说法错误的是( )A. ∠ABC=90∘B. AC=BDC. OA=OBD. OA=AD2. 能够判定一个四边形是矩形的条件是( )A. 对角线相等B. 对角线垂直C. 对角线互相平分且相等D. 对角线垂直且相等3. 如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是( )A. 四边形ABCD是平行四边形B. AC⊥BDC. △ABD是等边三角形D. ∠CAB=∠CAD4. 直角三角形中，两直角边长分别是12和5，则斜边上的中线长是( )A. 34B. 26C. 6.5D. 8.55. 已知平行四边形ABCD中，下列结论中不正确的是( )A. 当AB=BC时，它是菱形B. 当AC⊥BD时，它是菱形C. 当∠ABC=90∘时，它是矩形D. 当AC=BD时，它是正方形6. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A. 对角线互相平分B. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 每条对角线平分一组对角7. 在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则点A到对角线BD的距离为( )A. 125B. 2 C. 52D. 1358. 已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )A. ∠A=∠BB. ∠A=∠CC. AC=BDD. AB⊥BC9. 如图①，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形，如图②．乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形，如图③．根据两人的作法可判断( )A. 甲正确，乙错误B. 乙正确，甲错误C. 甲、乙均正确D. 甲、乙均错误10. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28∘，则∠OBC的度数为( )A. 28∘B. 52∘C. 62∘D. 72∘二、填空题（共6小题；共18分）11. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是．12. 如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3,0)，(−2,0)，点D在y轴上，则点C的坐标是．13. 如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB=10，则CE=．14. 如图，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为．15. 已知四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90∘，再从①AB＝BC，②AC=BD，③AC⊥BD三个条件中，选一个作为补充条件，使得四边形ABCD是正方形，则不能选择．（填序号）16. 如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PDA，△PAB，△PBC，△PCD，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4，给出如下结论：①S1+S2=S3+S4；②S2+S4=S1+S3；③若S3=2S1，则S4=2S2；④若S1=S2，则P点在矩形的对角线上．其中正确的结论的序号是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．三、解答题（共6小题；共52分）17. 如图，矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．18. 如图，正方形ABCD中，点E，F分别是CD，DA的中点．BE与CF相交于点P．（1）求证：BE⊥CF；（2）判断PA与AB的数量关系，并说明理由．19. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE=OF．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若BD=EF，连接DE，BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．20. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．21. 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求平行四边形ABCD的面积．22. 如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E，F分别在AC，BC上，且EF∥AB．（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D，F两点间的距离．答案第一部分1. D2. C3. C4. C5. D6. B7. A8. B 【解析】A．∠A=∠B，∠A+∠B=180∘，∴∠A=∠B=90∘，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B．∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C．AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D．AB⊥BC，∴∠B=90∘，可以判定这个平行四边形为矩形，正确．9. C10. C第二部分11. 2【解析】连接O1B，O1C，如图，∵∠BO1F+∠FO1C=90∘，∠FO1C+∠CO1G=90∘，∴∠BO1F=∠CO1G，∵四边形ABCD是正方形，∴∠O1BF=∠O1CG=45∘，BO1=CO1，在△O1BF和△O1CG中，{∠FO1B=∠CO1G, BO1=CO1,∠FBO1=∠GCO1,∴△O1BF≌△O1CG(ASA)，∴O1，O2两个正方形组成的阴影部分的面积是14S正方形，同理另外两个正方形组成的阴影部分的面积也是14S正方形，∴S阴影部分=12S正方形=2．12. (−5,4)13. 514. 1215. ②16. ②④【解析】过点P分别向AD，BC作垂线段，两个三角形的面积之和等于矩形面积的一半，同理，过点P分别向AB，CD作垂线段，两个三角形的面积之和等于矩形面积的一半．∴S1+S3=S2+S4．又∵S1=S2，∴S2+S3=S1+S4=12S矩形．所以成立的答案是②④．第三部分17. （1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，故AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，{AD=CE, AE=CD, DE=DE,∴△ADE≌△CED(SSS)．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF为等腰三角形．18. （1）因为点E，F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，所以EC=DF．在△BCE和△CDF中，{BC=CD,∠BCE=∠CDF, CE=DF,所以△BCE≌△CDF(SAS)，所以∠CBE=∠DCF．因为∠DCF+∠BCP=90∘，所以∠CBE+∠BCP=90∘，所以BE⊥FC．（2）延长CF，BA交于点M．因为FC⊥EB，所以∠BPM=90∘．因为在△CDF和△MAF中，{∠CFD=∠MFA, FD=FA,∠CDF=∠MAF,所以△CDF≌△MAF(ASA)，所以CD=AM．因为CD=AB，所以AB=AM．所以PA是直角△BPM斜边BM上的中线，所以AP=12MB．所以AP=AB．19. （1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，在△BOE和△DOF中，{OB=OD,∠BOE=∠DOF, OE=OF,∴△BOE≌△DOF(SAS)．（2）四边形EBFD是矩形；理由如下：如图所示：∵OB=OD，OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形，又∵BD=EF，∴四边形EBFD是矩形．20. （1）∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90∘，∴平行四边形AEBD是矩形．（2）当∠BAC=90∘时．理由：∵∠BAC=90∘，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．21. （1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB=∠AFD=90∘，在△AEB和△AFD中，{∠AEB=∠AFD, BE=DF,∠B=∠D,∴△AEB≌△AFD(ASA)，∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形．（2）如图，连接BD交AC于点O．∵由（1）知四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD，AO=OC=12AC=12×6=3，∵AB=5，AO=3，在Rt△AOB中，BO=√AB2−AO2=√52−32=4，∴BD=2BO=8，∴S平行四边形ABCD =12AC⋅BD=12×6×8=24．22. （1）∵△ABC与△CDE都是等边三角形，∴ED=CD，∴∠A=∠DCE=∠BCA=∠DEC=60∘，∴AB∥CD，DE∥CF．又∵EF∥AB，∴EF∥CD，∴四边形EFCD是菱形．（2）连接DF，与CE相交于点G．∵四边形EFCD是菱形，∴DF⊥EC．由CD=4，可知CG=2，∴DG=√42−22=2√3，∴DF=4√3．。

2020-2021学年人教版八年级数学下册18.2特殊的平行四边形练习(有答案)

第1页共10页特殊的平行四边形练习一、选择题1. 已知四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AD //BC ，下列判断中错误．．的是( ) A. 如果AB =CD ，AC ＝BD ，那么四边形ABCD 是矩形B. 如果AB //CD ，AC ＝BD ，那么四边形ABCD 是矩形C. 如果AD =BC ，AC ⊥BD ，那么四边形ABCD 是菱形D. 如果OA =OC ，AC ⊥BD ，那么四边形ABCD 是菱形2. 下列命题中是真命题的是( )A. 同位角相等B. 对角线相等的四边形是平行四边形C. 四条边相等的四边形是菱形D. 矩形的对角线一定互相垂直3. 如图，广场中心的菱形花坛ABCD 的周长是40米，∠A =60°，则A ，C 两点之间的距离为( )A. 5米B. 5√3米C. 10米D. 10√3米4. 如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于O ，若AC =8，BD =6，则菱形ABCD 的周长是( )A. 32B. 24C. 40D. 205. 如果点E ，F ，G ，H 分别是菱形ABCD 四边AB ，BC ，CD ，DA 上的中点，那么四边形EFGH 是( ).A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 以上都不是 6. 矩形具有而一般平行四边形不具有的特殊性质是( )A. 对边相等B. 对角线互相平分C. 对角线相等D. 对角相等7. 如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为( )A. ﹣4+4√2B. 4√2+4C. 8﹣4√2D. √2+18.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,AB=√3,AC=2,BD=4,则AE 的长为()A. √32B. 32C. √217D. 2√2179. 已知四边形ABCD和对角线AC,BD，顺次连接各边中点得四边形MNPQ，给出以下4个命题：①若所得四边形MNPQ为矩形，则AC⊥BD；②若所得四边形MNPQ为菱形，则AC= BD；③若所得四边形MNPQ为矩形，则∠BAD=90∘；④若所得四边形MNPQ为菱形，则AB =AD.以上命题中，正确的是( )A. ①②B. ③④C. ①③D. ①②③④10.如图,在平面直角坐标系中,▱OABC的顶点A的坐标为(-4,0),顶点B在第二象限,∠BAO=60°,BC交y轴于点D,BD∶DC=3∶1,若函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点C,则k的值为()A. √33B. √32C. 2√33D. √3二、填空题11. 把20 cm长的铁丝剪成两段后，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值是________.12. 如图，在△ABC中，AB =AC，将△ABC绕点C旋转180°，得到△FEC，连接AE,BF，当∠ACB=__________时，四边形ABFE是矩形.13. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，△AEF是等边三角形，如果AB=1，那么CE的长是________.三、解答题14.如图,四边形ABCD中,AC,BD相交于点O ,O是AC的中点,AD∥BC,AC=8,BD=6.(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;(2)若AC⊥BD,求▱ABCD的面积.15. 如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E，F分别在边CD，AB上.(1)若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长.第3页共10页16. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=1AC，连接2CE，OE，连接AE交OD于点F.(1)求证：OE=CD；(2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长.17.如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.18. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120∘，AB=4 cm，求矩形对角线AC的长.19. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE于F，求证：AF=CD.20. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F.求证：四边形AEDF是菱形.21. 如图，在四边形ABCD中，BE= DF，AC和EF互相平分于点O，∠B=90∘.求证：四边形ABCD是矩形.第5页共10页参考答案1. 【答案】A【解析】A:由AD//BC，AB=CD不能判定四边形是平行四边形，组成的四边形可能是等腰梯形，故A错；B:由AD//BC，AB//CD得四边形ABCD是平行四边形，由AC＝BD得对角线相等的平行四边形是矩形，B正确；C:由AD//BC，AB//CD得四边形ABCD是平行四边形，由AC⊥BD得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；D:由AD//BC得∠ADO=∠CBO，又AC⊥BD，得∠AOD=∠COB，OA=OC，∴△AOD≌△COB，∴AD=BC，四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，得对角线互相垂直的平行四边形是菱形.故选A.2. 【答案】C【解析】如图1，∠1与∠2是同位角，但不相等，故A错误；如图2，AC=BD，但四边形ABCD不是平行四边形，故B错误；四条边相等的四边形是菱形，正确，故C正确；如图4，矩形的对角线不一定垂直，故D错误.故选C.3. 【答案】D【解析】设AC与BD交于点O.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=40÷4=10米，∵∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=10米，OD=OB=5米，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OA=5√3米，∴AC=2OA=10√3米.故选D.4. 【答案】D【解析】已知菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=8，BD=6，由菱形对角线互相垂直平分，可得BO=OD=3，AO=OC=4，在△AOB中，根据勾股定理可得AB=5，菱形的四条边都相等，周长为20，故选D.第7页共10页5. 【答案】B 【解析】如图，连接AC ,BD ,∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD .而点E ，F ，G ，H 分别是菱形ABCD 四边的中点， ∴EF ∥AC ，EF =12AC ,GH ∥AC ，GH =12AC ，∴EF ∥GH ，EF =GH ，∴四边形EFGH 为平行四边形,∵EF ∥AC ，FG ∥BD ，AC ⊥BD ，∴∠EFG =90°，∴四边形EFGH 为矩形，故选B.6. 【答案】C 【解析】直接利用矩形的性质判断即可.7. 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D =90°，∠ACD =45°，AD =CD =2，则S △ACD =12AD ⋅CD =12×2×2=2，AC =√2AD =2√2，则EC =2√2−2， ∵△MEC 是等腰直角三角形，∴S △MEC =12ME ⋅EC =12(2√2−2)2=6﹣4√2， ∴阴影部分的面积=S △ACD ﹣S △MEC =2﹣(6﹣4√2)=4√2−4.故选A.8. 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形,∴OA =12AC =1,OB =12BD =2.在△AOB中,OA 2+AB 2=1+3=4=OB 2,∴∠OAB =90°,∴BC =√AB 2+AC 2=√(√3)2+22=√7. ∵AE ⊥BC ,∠OAB =90°,∴AB ·AC =BC ·AE ,∴AE =AB·ACBC=√3√7=2√217,故选D .9. 【答案】A 【解析】如图1，在矩形MNPQ 中，M ,N ,P ,Q 分别是各边的中点，∴∠QPN =90∘，PQ //AC //MN ，PN //BD //QM ，∴AC ⊥ BD ，但∠BAD ≠90∘，①正确，③不正确；如图2，∵四边形MNPQ 为菱形，M ,N ,P ,Q 分别是各边的中点，∴MQ =PQ =PN =MN ，∴AC =BD ，但AB ≠AD ，②正确，④不正确，故选A.10. 【答案】D【解析】因为BD︰DC=3︰1,OA=4,所以点C的横坐标为1,因为∠DCO=∠BAO=60°,∠ODC=90°,DC=1,所以点C的纵坐标为√3所以C(1,√3因为函数y=kx的图象经过点C,所以k=xy=√3,故选D.11. 【答案】252cm2【解析】铁丝剪成两段后，分别围成正方形，∴两个正方形边长之和为5.设其中一个正方形的边长为x cm，0<x<5,则另一个正方形的边长为(5-x)cm，则两个正方形的面积和为x2+(5−x)2=2(x−52)2+252，当x=52时，面积有最小值252cm2.12. 【答案】60∘【解析】∵AC=CF，BC=CE，∴四边形ABFE是平行四边形，要使▱ABFE是矩形，只需AF=BE，即AC=BC，∴AC=BC=AB，因此△ABC是正三角形，∴∠ACB=60∘，故应填60°.13. 【答案】√3−1【解析】在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°,△AEF是等边三角形，∴AE=AF,∴Rt△ABE≌Rt△ADF,∴BE=DF,∴CE=CF，设CE=CF=x，则BE=1-x,EF=AE=√2x,在Rt△ABE中，由AB²+BE²=AE²得1²+(1-x) ²=(√2x)²，解得x₁=√3−1,x₂=−√3−1(舍去)，∴CE长是√3−1.14.(1) 【答案】∵O是AC的中点,∴OA=OC,∵AD∥BC,∴∠ADO=∠CBO,在△AOD和△COB中,{∠ADO=∠CBO∠AOD=∠COBOA=OC,∴△AOD≌△COB(AAS),∴OD=OB,∴四边形ABCD是平行四边形.(2) 【答案】∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形.∴S菱形ABCD =12AC·BD=12×8×6=24.15.(1) 【答案】∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵DE=BF，∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形.(2) 【答案】∵四边形AFCE是菱形，∴AE=CE，设DE=x，则AE=√62+x2，CE=8-x，则√62+x2=8−x，解得：x=74，则菱形AFCE的边长为8−74=25 4，∴菱形AFCE周长为4×254=25.16.(1) 【答案】在菱形ABCD中，OC=12AC，AC⊥BD，∴DE=OC. ∵DE∥AC，∴四边形OCED是矩形，∴OE=CD.(2) 【答案】在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，AC=AB=2.∴在矩形OCED中，CE= OD=√AD2−AO2=√4−1=√3.在Rt△ACE中，AE=2+CE2=√3+4=√7.17.(1) 【答案】∵AD=2BC,E为AD的中点,∴DE=BC.∵AD∥BC,∴四边形BCDE为平行四边形.∵∠ABD=90°,AE=DE,∴BE=DE,∴四边形BCDE为菱形.(2) 【答案】∵AD∥BC,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴AB=BC=1.∵AD=2BC=2,∴∠ADB=30°.∴∠DAC=30°,∠ADC=60°,∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中,AD=2,CD=1,∴AC=√AD2-CD2=√22-12=√3.18. 【答案】在四边形ABCD中，OA=OB，∵∠AOD=120∘，∴∠AOB=60∘，∴△AOB为等边三角第9页共10页形.∵AB =4 cm，∴AC=2OA =2AB=8 cm.19. 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠ADE=∠DEC.∵AF⊥DE于F，∴∠AFD=∠C=90°.∵DE=DA，∴△ADF≌△DEC.∴AF=CD.20. 【答案】证明：∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°在△AEO和△AFO中{∠EAO=∠FAO AO=AO∠AOE=∠AOF，∴△AEO≌△AFO(ASA)，∴EO=FO.即EF,AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形.又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形.21. 【答案】连接AF，CE.∵AC和EF互相平分，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE =CF，AE // CF. 又∵BE=DF，∴AE+BE=CF+DF，即AB =CD，∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠B=90∘，∴四边形ABCD是矩形.。

人教版八年级数学下册同步提升训练18

18.2特殊的平行四边形》同步提升训练（附答案）1．如图，E是平行四边形ABCD边AD延长线上一点，且DE＝AD，连接BE、CE、BD．若AB＝BE，则四边形BCED是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点E，O，F．下列结论正确的个数有（）①四边形AFCE为菱形；②△ABF≌△CDE；③当F为BC中点时，∠ACD＝90°．A．0个B．1个C．2个D．3个3．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD 的面积为（）A．24B．24C．12D．124．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（）A．四条边相等，四个角相等B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相平分5．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°6．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE+PQ的值是（）A．B．3C．D．7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（）①当AB＝BC时，它是矩形②AC⊥BD时，它是菱形③当∠ABC＝90°时，它是菱形④当AC＝BD时，它是正方形A．①②B．②C．②④D．③④8．如图，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，DH⊥AB于点H，则BH的长为（）A．3B．C．2D．9．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（）A．1.5B．2C．4.8D．2.410．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE ＝15°，连接OE，则下面的结论：其中正确的结论有（）①△DOC是等边三角形；②△BOE是等腰三角形；③BC＝2AB；④∠AOE＝150°；⑤S△AOE＝S△COE．A．2 个B．3个C．4 个D．5个11．在正方形ABCD中，AB＝8，点P是正方形边上一点，若PD＝3AP，则AP的长为．12．在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分线BE交AD所在的直线于点E，若DE＝2，则AD的长为．13．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE ＝．14．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为边BC中点，P为正方形边上一点，且PB ＝AE，则PE的长为．15．在菱形ABCD中，∠BAD＝108°，AB的垂直平分线交AC于点N，点M为垂足，连接DN，则∠CDN的度数是．16．如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，AE的垂直平分线分别交AE、BC于H、G，若CG＝7，则GH的长为．17．已知菱形ABCD的面积是96，对角线AC是12，那么菱形ABCD的周长是．18．如图，正方形ABCD的边长为2，E为对角线AC上一点，且CE＝CB，点P为线段BE 上一动点，且PF⊥CE于F，PG⊥BC于G，则PG+PF的值为．19．如图，正方形ABCD的边长为5，AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，连接GH，则线段GH的长为．20．如图，已知正方形ABCD的边长为7，点E，F分别在AD、DC上，AE＝DF＝3，BE 与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．21．如图，在菱形ABCD中，BC＝3，BD＝2，点O是BD的中点，延长BD到点E，使得DE＝BD，连接CE，点M是CE的中点，则OM＝．22．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．（1）求证：▱ABCD是菱形．（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求AO的长．23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：∠DAC＝∠DCA；（2）求证：四边形ABCD是菱形；（3）若AB＝，BD＝2，求OE的长．24．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．25．如图，△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE 的延长线于F，且AF＝DC，连接CF．（1）如果AB＝AC，试猜想四边形ADCF的形状，并证明你的结论；（2）△ABC满足什么条件时四边形ADCF为正方形，并证明你的结论．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD 于点E，交CB于点F．（1）若∠B＝30°，AC＝4，求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明理由．27．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．28．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：①OC＝BC；②四边形ABCD是矩形；（2）若BC＝3，求DE的长．参考答案1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC，∴DE∥BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∴四边形BCED是平行四边形，∵AB＝BE，∴BE＝DC，∴▱BCED是矩形，故选：B．2．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠EAC＝∠FCA，∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠FCA＝∠ECA，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AFCE为平行四边形，∵EF垂直平分AC，∴平行四边形AFCE是菱形，①正确；∴AE＝CF，∴BF＝DE，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS），②正确；∵四边形AFCE是菱形，∴AF＝CF，∵F为BC的中点，∴BF＝CF，∴AF＝CF＝BC，∴∠BAC＝90°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝90°，③正确；正确的个数有3个，故选：D．3．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∵AE平分∠BAC，AE＝CE，∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，∴BC＝BE+CE＝6，∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；故选：C．4．解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分．故选：D．5．解：如图：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC∵DH⊥AB，∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，∴OH＝OD＝OB，∴∠HDO＝∠DHO，∵DH⊥CD，∴∠GDO+∠ODC＝90°，∵BD⊥AC，∴∠ODC+∠DCO＝90°，∴∠HDO＝∠DCO，∴∠DHO＝∠DCA，∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠DCA＝25°，∴∠DHO＝25°，故选：B．6．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB＝45°，∠B＝90°．∵PE⊥BC，PQ⊥AB，∴∠PQB＝∠PEB＝90°．∴∠PQB＝∠PEB＝∠B＝90°．∴四边形PQBE为矩形．∴PE＝BQ．∵PQ⊥AB，∠CAB＝45°，∴△P AQ为等腰三角形．∴PQ＝AQ．∴PE+PQ＝BQ+AQ＝AB＝3．故选：B．7．解：①若AB＝BC，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；②若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法正确；③若∠ABC＝90°，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；④若AC＝BD，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；故选：B．8．解：在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，∴AO＝CO＝AC＝，BO＝DO＝BD＝，∴AB＝＝＝3，∵DH×AB＝AC×BD，∴DH＝＝2，∴BH＝＝＝2，故选：C．9．解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，∴四边形BNPM是矩形，∴MN＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，即×8×6＝×10•BP，解得：BP＝4.8，即MN的最小值是4.8，故选：C．10．解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，∴OB＝BE，∴△BOE是等腰三角形，故②正确；∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°＝∠ACB，∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，BC＝AB，故③错误；∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故④错误；∵AO＝CO，∴S△AOE＝S△COE，故⑤正确；故选：B．二．填空题（共11小题）11．解：当点P在AD上时，∵PD＝3AP，PD+AP＝8，∴AP＝2，当点P在AB上时，∵PD2＝AP2+AD2，∴9AP2＝AP2+64，∴AP＝2，综上所述：AP＝2或2，故答案为2或2．12．解：如图1，当点E在AD上时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝3，∵DE＝2，∴AD＝AE+DE＝3+2＝5；如图2，当点E在AD的延长线上时，同理AE＝3，∴AD＝AE﹣DE＝3﹣2＝1．故答案为：5或1．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，AD∥BC，∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，∴∠E＝∠ACB＝22.5°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E＝22.5°．故答案为：22.5°．14．解：当点P在AD边上时，∵PB＝AE，点E为边BC中点，∴点P为边AD中点，∴PE＝AB＝2；当点P在CD边上时，∵PB＝AE，点E为边BC中点，∴点P为边CD中点，∴PE＝＝＝．所以PE的长为：2或．故答案为：2或．15．解：如图，连接BN，∵在菱形ABCD中，∠BAD＝108°，∴AD＝AB，∠ABC＝72°，∠CAB＝54°，∵AB的垂直平分线交AC于点N，∴AN＝NB，∴∠CAB＝∠ABN＝54°，∴∠CBN＝72°﹣54°＝18°，在△DCN和△BCN中，，∴△DCN≌△BCN（SAS），∴∠CDN＝∠CBN＝18°，故答案为：18°．16．解：如图，连接AG，GE，∵AE的垂直平分线分别交AE、BC于H、G，∴AG＝GE，AH＝HE，AH⊥HE，设AD＝CD＝BC＝AB＝2a，∵点E是CD的中点，∴CE＝DE＝a，∵AG2＝AB2+BG2，GE2＝EC2+GC2，∴4a2+（2a﹣7）2＝a2+49，∴a1＝4，a2＝0（舍去），∴EC＝DC＝4，AD＝8，∴GE＝＝＝，AE＝＝＝4，∴HE＝2，∴GH＝＝＝3，故答案为：3．17．解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝OD＝BD，AO＝OC＝AC＝6，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∴AC•BD＝96，∴BD＝16，∴BO＝8，∴AB＝＝＝10，∴菱形的周长＝4×10＝40．故答案为：40．18．解：连接CP，BD，交AC于M，∵四边形ABCD为正方形，BC＝2，∴BD⊥AC，垂足为M，BM＝MC＝BC＝，∵S△BCE＝CE•BM，S△PCE＝CE•PF，S△BCP＝BC•PG，S△BCE＝S△PCE+S△BCP，∴CE•BM＝CE•PF+BC•PG，∵BC＝CE，∴BM＝PF+PG，∴PG+PF＝．故答案为．19．解：如图，延长BG交CH于点E，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∵AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，AB＝5，∴AG2+BG2＝AB2，∴∠AGB＝∠CHD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝4，CE＝BG＝3，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝4﹣3＝1，同理可得HE＝1，在Rt△GHE中，GH＝＝＝，故答案为：．20．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝90°，∴∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，又∵BC＝CD＝7，DF＝3，∠C＝90°，∴CF＝4，∴BF＝＝＝，∴GH＝，故答案为：．21．解：连接OC，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝3，BO＝OD＝1，∴CO⊥BD，∴OC＝，∵DE＝BD＝2，在Rt△EOC中，CE＝，∵点M是CE的中点，∴OM＝，故答案为：．22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠ACB，∴AB＝CB，∴▱ABCD是菱形．（2）解：由（1）得：▱ABCD是菱形，∴BC＝AB＝5，AO＝CO，∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CBE，∵AE＝AF＝3，∴∠AFE＝∠AEF，又∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CBE＝∠CEB，∴CE＝BC＝5，∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，∴AO＝AC＝4．23．（1）证明：∵AB∥DC，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DAC＝∠DCA；（2）证明：∵∠DAC＝∠DCA，AB＝AD，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（3）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝2，∴OE＝OA＝2．24．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．25．解：（1）四边形ADCF为矩形，理由如下：∵AF＝DC，AF∥BC，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AF＝CD，又∵E为AD的中点，AF∥BD，∴AE＝DE，∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴BD＝AF，∴BD＝CD，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形AFCD为矩形；（2）当△ABC为等腰直角三角形时，四边形ADCF为正方形；理由：∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC中点，∴AD⊥BC，AD＝BC＝BD＝CD，∴平行四边形ADCF为矩形，∴矩形ADCF为正方形．26．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，∴CE＝AE，过点E作EH⊥AC于点H，∴CH＝AH∵AC＝4，∴CH＝2，∴CE＝；（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，在Rt△ACF与Rt△AGF中，，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴CE＝FG，∴四边形CEGF是菱形27．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在Rt△EQF和Rt△EPD中，，∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，∵EC＝2，∴AE＝CE，∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝2；（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，∠DEC＝45°+40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°，②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EFC＝∠EDC＝40°，综上所述，∠EFC＝130°或40°．28．（1）证明：①∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∵BO⊥CE，∴∠CFO＝∠CFB＝90°，在△OCF与△BCF中，，∴△OCF≌△BCF（ASA），∴OC＝BC；②∵点O是AC的中点，∴OA＝OC，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，在△OAD与△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OE⊥AC，∴∠EOC＝90°，在△OCE与△BCE中，，∴△OCE≌△BCE（SAS），∴∠EBC＝∠EOC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，∴OB＝OC，∵OC＝BC，∴OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠ECB＝OCB＝30°，∵∠EBC＝90°，∴EB＝EC，∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，∴EB＝，EC＝2，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴EC＝EA＝2，在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，∴DE＝＝＝．。

人教版数学八年级下册第18章 18.1---18.2期末同步练含答案

18.1平行四边形一．选择题1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）A．∠B＝∠BCF B．∠B＝∠F C．AC＝CF D．AD＝CF2．已知，一个平行四边形相邻两边的长分别是2和3，则它的周长是（）A．6B．7C．8D．103．▱ABCD中，∠B＝50°，则∠C＝（）A．40°B．50°C．130°D．140°4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO．添加下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠BDC B．∠BAD＝∠BCD C．AB＝CD D．AD＝BC5．已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOD是等边三角形，且AD＝1，则AB 等于（）A．2B．4C．2D．6．如图，平行四边形ABCD的周长是56cm，△ACD的周长是36cm，则AC的长为（）A．6cm B．12cm C．4cm D．8cm7．如图，在平行四边形ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝20，BD＝12，E、F分别是线段OD、OA的中点，则EF的长为（）A．3B．4C．5D．88．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿直线AB向右平移个单位长度得到△A'B'C'．若AB＝13，AC＝12，B'C'＝5，则平行四边形ACC'A'的面积为（）A．10B．14C．15D．309．如图，点D和点E分别是BC和BA的中点，已知AC＝4，则DE为（）A．1B．2C．4D．810．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，AE＝3，ED＝1，则ABCD的周长为（）A．10B．12C．14D．16二．填空题11．在▱ABCD中，∠C：∠D＝5：4，则∠B的度数为．12．如图，平行四边形ABCD中AB＝6cm，周长是28cm，则AD＝cm．13．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，▱ABCD的周长是50，△AOB与△BOC的周长的差是5，则BC＝．14．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，AD＝5，则BD的长为．15．如图，已知▱ABCD的顶点A的坐标为（0，4），顶点B、D分别在x轴和直线y＝﹣3上，则对角线AC的最小值是．三．解答题16．如图，在▱ABCD中，CM平分∠BCD交AD于点M．（1）若CD＝2，求DM的长；（2）若M是AD的中点，连结BM，求证：BM平分∠ABC．17．如图，等边△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC，连接DE，CD，EF．（1）求证：四边形DCFE是平行四边形；（2）若等边△ABC的边长为6，求EF的长．18．如图，E是▱ABCD的边AB的中点，连接CE并延长交DA的延长线于F，若BC＝8，求DF的长．19．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，连接BD，E是BC边上一点，连接AE交BD于点F．（1）如图1，连接AC，若AB＝AE＝6，BC：CE＝5：2，求△ACE的面积；（2）如图2，延长AE至点G，连接AG、DG，点H在BD上，且BF＝DH，AF＝AH，过A作AM⊥DG于点M．若∠ABG+∠ADG＝180°，求证：BG+GD＝AG．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE＝AC，A、∵∠B＝∠BCF，∴CF∥AB，即CF∥AD，∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；B、根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；C、根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；D、根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；故选：A．2．【解答】解：∵一个平行四边形相邻两边的长分别是2和3，∴它的周长＝2×（2+3）＝10，故选：D．3．【解答】解：∵▱ABCD中，∠B＝50°，∴AB∥CD，∴∠C＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，故选：C．4．【解答】解：添加∠ABD＝∠BDC，能判定四边形ABCD是平行四边形，理由如下：在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（AAS），∴OB＝OD，又∵AO＝CO，∴四边形ABCD是平行四边形；故选：A．5．【解答】解：∵△AOD是等边三角形，∴AD＝OA＝OD＝1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC，OD＝BD，∴AC＝BD＝2，∴四边形ABCD是矩形，在Rt△ABD中，AB＝＝＝，故选：D．6．【解答】解：∵▱ABCD的周长为56cm，∴AB+BC＝28cm，∵△ACD的周长是36cm，∴AC＝36﹣28＝8cm，故选：D．7．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝20，BD＝12，∴AO＝CO＝10，BO＝DO＝6，故AD＝，∵E、F分别是线段OD、OA的中点，∴EF是△ADO的中位线，∴EF∥AD，EF＝AD，则EF的长为：4．故选：B．8．【解答】解：如图所示，过C作CD⊥AB于D，由平移可得，B'C'＝BC＝5，∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∴AC×BC＝AB×CD，∴CD＝＝，∵△ABC沿直线AB向右平移个单位长度得到△A'B'C'，∴AA'＝，∴平行四边形ACC'A'的面积＝AA'×CD＝×＝15，故选：C．9．【解答】解：∵点D和点E分别是BC和BA的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝×4＝2，故选：B．10．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝3，∵DE＝1，∴AD＝BC＝4，∴平行四边形ABCD的周长是2（3+4）＝14．故选：C．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：在▱ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，∴∠C+∠D＝180°，∵∠C：∠D＝5：4，∴∠C＝100°，∠D＝80°，∴∠B＝80°．故答案为80°．12．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝6cm，AD＝BC，∵平行四边形ABCD的周长是28cm，∴AD+AB＝14cm，∴AD＝8cm；故答案为：8．13．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB＝CD，AD＝BC，∵△AOB与△BOC的周长的差是5，∴AB+OB+OA﹣（BC+OB+OC）＝AB﹣BC＝5①，∵▱ABCD的周长是50，∴AB+BC＝25②，∴由①②得：AB＝15，BC＝10，故答案为：10．14．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO＝DO，OA＝OC，BC＝AD＝5，∵AB⊥AC，AB＝3，∴AC＝＝4，∴OA＝2，∴BO＝＝，∴BD＝2BO＝2．故答案为：2．15．【解答】解：设点C坐标为（a，b），∵顶点B、D分别在x轴和直线y＝﹣3上，∴点B，点D的纵坐标分别为0，﹣3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC与BD互相平分，∴，∴b＝﹣7，∴点C在直线y＝﹣7上运动，∴当AC⊥直线y＝﹣7时，AC的长度有最小值，∴对角线AC的最小值＝4﹣（﹣7）＝11，故答案为：11．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCM＝∠DMC，∵CM平分∠BCD，∴∠BCM＝∠DCM，∴∠DMC＝∠DCM，∴DM＝DC＝2；（2）如图，延长BA，CM，交于点E，则∠AME＝∠DMC，∵BE∥CD，∴∠D＝∠EAM，∠E＝∠DCM，∵M是AD的中点，∴DM＝AM，∴△CDM≌△EAM（ASA），∴EM＝CM，∵CM平分∠BCD，∴∠BCM＝∠DCM，∴∠E＝∠BCM，∴BE＝BC，∴BM平分∠ABC．解法二：由（1）可得，CD＝MD，∵M是AD的中点，∴DM＝AM，又∵AB＝CD，∴AB＝AM，∴∠ABM＝∠AMB，∵AD∥BC，∴∠CBM＝∠AMB，∴∠ABM＝∠CBM，∴BM平分∠ABC．17．【解答】（1）证明：∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF，又∵DE∥CF，∴四边形DCFE是平行四边形．（2）解：由（1）得：四边形DCFE是平行四边形，∴EF＝DC．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝6，∵D为AB的中点，∴CD⊥AB，BD＝AB＝×6＝3，在Rt△BCD中，BC＝6，∴CD＝＝＝3，∴EF＝DC＝3．18．【解答】解：∵E是▱ABCD的边AB的中点，∴AE＝BE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB＝8，AD∥CB，∴∠F＝∠BCE，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（AAS），∴AF＝CB＝8，∴DF＝AD+AF＝16．19．【解答】解：（1）过A点作AM⊥BE于点M，∵AB＝AE＝6，∴BM＝ME＝，∵∠ABC＝60°，∴∠BAM＝30°，∴，∴，∵BC：CE＝5：2，∴CE＝，∴；（2）∵AF＝AH，∴∠AFH＝∠AHF，∴∠AFB＝∠AHD，∵BF＝DH，∴△ABF≌△ADH（SAS），∴AB＝AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ABC＝60°，∴∠BAD＝120°，将△ABG绕点A逆时针旋转120°，得△ADG′，则∠DAG′＝∠BAG，∠ADG′＝∠ABG，BG＝DG′，AG＝AG′，∵∠ABG+∠ADG＝180°，∴∠ADG′+∠ADG＝180°，∴G、D、G′三点共线，∴GG′＝GD+DG′＝DG+BG，∵∠GAD+∠DAG′＝∠GAD+∠BAG，∴∠GAG′＝∠BAD＝120°，∴∠AGG′＝∠AG′G＝30°，∵AM⊥GG′，∴GM＝G′M，AM＝，∴GM＝，∴，∴BG+GD＝AG．18．2特殊的平行四边形1．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是．2．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH 的面积是．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，D为AB的中点，则CD＝cm.4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件，使四边形ABCD为矩形．5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为．6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°7．如图，在矩形ABCD中(AD>AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF＝12ADC．AB＝AF D．BE＝AD－DF8．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是（）A．18°B．36°C．45°D．72°9．下列说法正确的是（）A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C．对角线互相平分的四边形是矩形D．对角互补的平行四边形是矩形10．能判断四边形是矩形的条件是（）A．两条对角线互相平分B．两条对角线相等C．两条对角线互相平分且相等D．两条对角线互相垂直11．以下条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°B．OA＝OB＝OC＝ODC．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BDD．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD12．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF 的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是（）A．2 3 B．3 3C．4 D．4 313．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF＝CD.14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.(1)求证：AE＝CF；(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．16．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接BD，DE，EC，DE交BC于点O.(1)求证：△ABD≌△BEC；(2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．参考答案1．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是8．2．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH 的面积是24．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，D为AB的中点，则CD＝5cm.4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件答案不唯一，如：AB∥CD，使四边形ABCD为矩形．5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为(B)A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°7．如图，在矩形ABCD 中(AD>AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是(B)A ．△AFD ≌△DCEB ．AF ＝12ADC ．AB ＝AFD ．BE ＝AD －DF8．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，则∠EAC 的度数是(C )A ．18°B ．36°C ．45°D ．72°9．下列说法正确的是(D )A ．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B ．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C ．对角线互相平分的四边形是矩形D ．对角互补的平行四边形是矩形 10．能判断四边形是矩形的条件是(C ) A ．两条对角线互相平分 B ．两条对角线相等C ．两条对角线互相平分且相等D ．两条对角线互相垂直11．以下条件不能判定四边形ABCD 是矩形的是(D ) A ．AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠A ＝90° B ．OA ＝OB ＝OC ＝ODC ．AB ＝CD ，AB ∥CD ，AC ＝BD D ．AB ＝CD ，AB ∥CD ，OA ＝OC ，OB ＝OD12．如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC ，AB 于点D ，F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A ＝30°，BC ＝2，AF ＝BF ，则四边形BCDE 的面积是(A)A ．2 3B ．3 3C ．4D ．4 313．已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，且BE ＝CF ，EF ⊥DF.求证：BF ＝CD.证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠B ＝∠C ＝90°. ∴∠BFE ＋∠BEF ＝90°.∵EF ⊥DF ，∴∠DFE ＝90°.∴∠BFE ＋∠CFD ＝90°. ∴∠BEF ＝∠CFD . 在△BEF 和△CFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BEF ＝∠CFD ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD (ASA)．∴BF ＝CD .14．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，BE ＝DF. (1)求证：AE ＝CF ；(2)若AB ＝6，∠COD ＝60°，求矩形ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∠ABC ＝90°. ∵BE ＝DF ，∴OE ＝OF . 在△AOE 和△COF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，OE ＝OF ，∴△AOE ≌△COF (SAS)． ∴AE ＝CF .(2)∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB . ∵∠AOB ＝∠COD ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形． ∴OA ＝AB ＝6.∴AC ＝2OA ＝12.在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝63， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝6×63＝36 3.15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，四边形ADBE 是平行四边形，求证：四边形ADBE 是矩形．解：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC. ∴∠ADB ＝90°.又∵四边形ADBE 是平行四边形， ∴四边形ADBE 是矩形．16．如图，将▱ABCD 的边AB 延长至点E ，使AB ＝BE ，连接BD ，DE ，EC ，DE 交BC 于点O.(1)求证：△ABD ≌△BEC ；(2)若∠BOD ＝2∠A ，求证：四边形BECD 是矩形．证明：(1)∵在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，AD ∥CB ， ∴∠A ＝∠EBC. 在△ABD 和△BEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BE ，∠A ＝∠EBC ，AD ＝BC ，∴△ABD ≌△BEC(SAS )．(2)∵在▱ABCD 中，AB ∥ CD ，且AB ＝BE ， BE ∥CD.∴四边形BECD 为平行四边形． ∴OB ＝12BC ，OE ＝12ED.∵∠BOD ＝2∠A ＝2∠EBC ，且∠BOD ＝∠EBC ＋∠BEO ，∴∠EBC ＝∠BEO.∴OB ＝OE.∴BC ＝ED. ∴四边形BECD 是矩形．。

人教版第二学期八年级数学18.2：特殊的平行四边形同步训练(含答案)

人教版2019-2020学年第二学期八年级数学第18章平行四边形18.2特殊的平行四边形同步训练☆选择题（请在下面的四个选项中将正确的答案选在括号里）1．如图，菱形ABCD 中，130D ∠=︒，则1∠=（）A ．30B ．25︒C ．20︒D ．15︒2．如图，在矩形ABCD 中，点E 在CD 上，连接,45,1,AE BE DAE CBE AD ∠=∠=︒=、则ABE △的周长等于( )A ．6．B ．C ．2D ．23．下列性质中，矩形不一定具有的是( )A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．4个内角相等D ．一条对角线平分一组对角4．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A ．15B ．14C ．13D ．3105．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为ABCD 的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则ABCD 的最小内角的度数为（）A ．20B ．30C ．45D ．606．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，AB =5，AC =6，过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，则△BDE 的面积为（）A ．12B ．18C ．24D ．327．如图，四边形ABCD 是菱形，8AC =，6DB =，DH AB ⊥于点H ．则DH =（）A ．6B ．245C ．485D ．58．如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2B．4C．8D．109．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）A．8 B．C．D．10、、、分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则下列说法：①若10．如图，点E F G H=，则四边形EFGH为矩形；②若AC BD⊥，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是AC BD平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4☆填空题11．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____时，平行四边形CDEB为菱形．12．己知菱形的两条对角线长分别是4和8，则菱形的面积为________．AC BD相交于点O．使得四边形ABCD成为菱形，需添加一个条件是13．在ABCD中，对角线,__________________．14．正方形ABCD的周长为20 cm，E为对角线BD上的一个动点，则矩形EFCG的周长为___________cm．15．如图，将长方形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处.若32AGE∠=，则GHC∠的等于_____．16．如图，在菱形ABCD中，tan∠A＝43，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，DFNC的值为_____．17．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=23+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．18．如图，已知在Rt△ABC中，AB＝AC＝3√2，在△ABC内作第1个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第2个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第3个内接正方形…，依次进行下去，则第2019个内接正方形的边长为_____．☆解答题19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形．（2）若AB=5，BD=8，求矩形AODE的周长．20．过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；（2）若CE=4，求AC的长．21．如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，AE=AB，连结AC、DE、CE．（1）求证：四边形ACDE为平行四边形．（2）若AB=AC，AD=4，CE=6，求四边形ACDE的面积．22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．24．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AB =2BD =，求OE 的长．25．已知正方形ABCD 与正方形CEFG ，M 是AF 的中点，连接DM ，EM ．（1）如图1，点E 在CD 上，点G 在BC 的延长线上，请判断DM ，EM 的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E 在DC 的延长线上，点G 在BC 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）将图1中的正方形CEFG 绕点C 旋转，使D ，E ，F 三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请画出图形，并直接写出MF 的长．26．如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边D E 上，连接AE 、GC ．（1）试猜想AE 与GC 有怎样的关系，并证明你的结论．（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图2，连接AE 和CG ．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．27．矩形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，P 为DE 上的一点（PE ＜PD ），PM ⊥PD ，PM 交AD 边于点M ．（1）若点F 是边CD 上一点，满足PF ⊥PN ，且点N 位于AD 边上，如图1所示．求证：①PN=PF ；②DF +DP ；（2）如图2所示，当点F 在CD 边的延长线上时，仍然满足PF ⊥PN ，此时点N 位于DA 边的延长线上，如图2所示；试问DF ，DN ，DP 有怎样的数量关系，并加以证明．28．某校初二数学兴趣小组活动时，碰到这样一道题：“已知正方形ABCD ，点,,,E F G H 分别在边,,,AB BC CD DA 上，若EG FH ⊥，则EG FH =”．经过思考，大家给出了以下两个方案：（甲）过点A 作//AM HF 交BC 于点M ，过点B 作//BN EG 交CD 于点N ；（乙）过点A 作//AM HF 交BC 于点M ，作//AN EG 交CD 的延长线于点N ；同学们顺利地解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索．（1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）；（2）如果把条件中的“EG FH ”改为“EG 与FH 的夹角为45”，并假设正方形ABCD 的边长为l ，FH （如图2），试求EG 的长度．参考答案1．B2．C3．D4．B5．B6．C7．B8．B9．D10．A11．612．1613．AC BD ⊥（答案不唯一）14．1015．10616．67． 17．①②④ 18．3×(12)201819．（1）略；（2）1420．（1）四边形ACED 是平行四边形；（2）21．(1)证明略；(2)12.22．（1）∠ABD=60°；（2）BE=1．23．解：（1）证明：∵点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ， ∴四边形AEBD 是平行四边形．∵AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC ．∴∠ADB=90°．∴平行四边形AEBD 是矩形．（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD 是正方形．理由如下：∵∠BAC=90°，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD=BD=CD ．∵由（1）得四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．24．（1）证明略；（2）2.25．（1）DM ⊥EM ，DM=EM ；（2）DM ⊥EM ，DM=EM ；（3）满足条件的MF． 26．（1） AE ⊥GC ，AE =GC ；（2）成立27．（1）略；（2）DN DF -=，证明略．28．（1）略；（2）EG ．。

初中数学人教版八年级下册第十八章平行四边形18.2 特殊的平行四边形-章节测试习题

章节测试题1.【题文】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=CD，点E在AD上，DE=BD，M、N分别是AB、CE的中点．（1）求证：△ADB≌△CDE；（2）求∠MDN的度数．【答案】见解析【分析】（1）由垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，根据已知条件即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠DCE，根据直角三角形的性质得到AM=DM，DN=CN，由等腰三角形的性质得到∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，等量代换得到∠ADM=∠CDN，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD与△CDE中，∵AD=CD，∠ADB=∠ADC，DB=DE，∴△ABD≌△CDE；（2）解：∵△ABD≌△CDE，∴∠BAD=∠DCE，∵M、N分别是AB、CE的中点，∴AM=DM，DN=CN，∴∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，∴∠ADM=∠CDN，∵∠CDN+∠ADN=90°，∴∠ADM+∠ADN=90°，∴∠MDN=90°．2.【题文】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG且EG⊥CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）成立，即EG=CG且EG⊥CG.【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥CG;【解答】解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴，同理，在Rt△DEF中，，∴CG=EG；（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG；连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点，如图所示：在△D AG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DC=DC，∴△DAG≌△DCG，∴AG=CG，在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，DG=FG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG，∴MG=NG，在矩形AENM中，AM=EN.，在Rt△AMG与Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴EG=CG，（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG且EG⊥CG。

人教版初中数学八年级下册《第18章平行四边形：18.2 特殊的平行四边形》同步练习卷2020.2

人教新版八年级下学期《18.2 特殊的平行四边形》2020年同步练习卷一．选择题（共33小题）1．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．60°2．在Rt△ABC中，若斜边AC＝，则AC边上的中线BD的长为（）A．1B．2C．D．3．如图，已知A（3，6）、B（0，n）（0＜n≤6），作AC⊥AB，交x轴于点C，M为BC的中点，若P（，0），则PM的最小值为（）A．3B．C．D．4．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中B点坐标是（8，2），D 点坐标是（0，2），点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（）A．2B．8C．8D．125．已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．∠ABC＝∠BAC 6．菱形的对角线不一定具有的性质是（）A．互相平分B．互相垂直C．每一条对角线平分一组对角D．相等7．如图，周长为28的菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，H为AD边中点，OH的长等于（）A．3.5B．4C．7D．148．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠AOB＝60°D．AC⊥BD9．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤10．如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，若两张纸条重叠部分为一个四边形（两纸条不互相重合），则这个四边形的周长的最大值是（）A．8B．10C．10.4D．1211．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC 的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF ＝CF；④∠EFC＝2∠CFD．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，AC、BD是菱形ABCD的对角线，E、F分别是边AB、AD的中点，连接EF，EO，FO，则下列结论错误的是（）A．EF＝DO B．EF⊥AOC．四边形EOF A是菱形D．四边形EBOF是菱形13．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．1514．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别为AD、CD上的动点，连接BE、BF、EF．若∠EBF＝60°，则（1）BE＝BF；（2）△BEF是等边三角形；（3）四边形EBFD面积是菱形面积的一半；（4）△DEF面积的最大值是．以上结论成立的是（）A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（2）（4）D．（1）（2）（3）（4）15．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．416．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，M为边BC上的一个动点，ME⊥AB，MF⊥AC，则EF的最小值为（）A．6B．6C．3D．317．下列说法错误的是（）A．矩形的对角线互相平分B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形D．矩形的对角线相等18．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．1B．1.3C．1.2D．1.519．如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG 的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF，下列说法不正确的是（）A．四边形CEDF是平行四边形B．当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形C．当∠AEC＝120°时，四边形CEDF是菱形D．当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O．AE垂直平分OB于点E，则AD的长为（）A．4B．3C．5D．521．在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC 交于点F，若AB＝7，3DF＝4FC，则BC的长为（）A．7﹣1B．4+2C．2+5D．4+322．如图，矩形ABCD中，AD＝4，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，CE＝3，则矩形ABCD的面积为（）A．B．C．12D．3223．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下而是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量其中三个角是否都为直角B．测量对角线是否相等C．测量两组对边是否分别相等D．测量对角线是否相互平分24．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件中能判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2 25．如图，在边长为2的正方形ABCD中，以BC为边作等边△BCM，连接AM并延长交CD于N，则CN的长为（）A．B．C．D．26．如图，将一个正方形剪去一个角后，∠1+∠2等于（）A．120°B．170°C．220°D．270°27．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（）A．45°B．15°C．10°D．125°28．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形29．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．则四边形AODE一定是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．不能确定30．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，在下列条件中，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD＝BC，∠BAD＝∠BCDC．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC D．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD31．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当∠ABC＝90°时，它是矩形B．当AB＝BC时，它是菱形C．当AC⊥BD时，它是菱形D．当AC＝BD时，它是正方形32．下列说法中，正确的有（）个．①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形．A．1B．2C．3D．433．如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD 面积为16，则DE的长为（）A．3B．2C．4D．8二．填空题（共9小题）34．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝3cm，则AB＝．35．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，BD．若∠EBD＝32°，则∠BCD的度数为度．36．如图，点P是线段AB上的一个点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，点M，N分别是对角线AC，BE的中点，连接MN，PM，PN，若∠DAP＝60°，AP2+3PB2＝2，则线段MN的长为．37．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为．38．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD边上且不与点A和点D重合，点O是对角线BD的中点，当△OED是等腰三角形时，AE的长为．39．如图，正方形ABCD的边长为2，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，则BE的长为．40．已知正方形ABCD的对角线长为8cm，则正方形ABCD的面积为cm2．41．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，若BD＝3，CD＝2．则△ABC的面积为．42．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，∠ABE＝45°，BC＝CD，若AE＝5，CE＝2，则BC的长度为．三．解答题（共8小题）43．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．44．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADB＝30°，BD＝12，求AD的长．45．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上任意一点，E是BC边上的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接BF，CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）如图2，若D为AB中点，求证：四边形CDBF是菱形；（3）若∠FDB＝30°，∠ABC＝45°，BE＝4，求的△BDE面积．46．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．47．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形DECO是矩形；（2）连接AE交BD于点F，当∠ADB＝30°，DE＝2时，求AF的长度．48．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）DF⊥AC，若∠ADF：∠FDC＝3：2，则∠BDF的度数是多少？49．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF ⊥AC于点F．求证：四边形CFDE是正方形．50．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF ∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AD＝AF；（2）填空：①当∠ACB＝°时，四边形ADCF为正方形；②连接DF，当∠ACB＝°时，四边形ABDF为菱形．人教新版八年级下学期《18.2 特殊的平行四边形》2020年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共33小题）1．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．60°【分析】先根据线段垂直平分线的性质及BE⊥AC得出△ABE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ABC的度数，由AB＝AC，AF⊥BC，可知BF＝CF，BF＝EF，再根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BF＝EF，∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，∴∠EFC＝∠BEF+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°．故选：C．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键，同时要熟悉直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．2．在Rt△ABC中，若斜边AC＝，则AC边上的中线BD的长为（）A．1B．2C．D．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵斜边AC＝，∴AC边上的中线BD的长＝AC＝，故选：D．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．如图，已知A（3，6）、B（0，n）（0＜n≤6），作AC⊥AB，交x轴于点C，M为BC的中点，若P（，0），则PM的最小值为（）A．3B．C．D．【分析】作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝6，由△AHB∽△CEA，得出比例式，推出AE＝2BH，设BH＝x，则AE＝2x，推出B（0，6﹣x），C（3+2x，0），由BM＝CM，推出M（，），得出PN＝ON﹣OP＝x，在Rt△PMN中，由勾股定理得出PM2＝PN2+MN2＝x2+（）2＝x2﹣3x+9＝（x﹣）2+，根据二次函数的性质得出PM2最小值为，即可得出结果．【解答】解：如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E，作MN⊥OC于N．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝6，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴＝，∴＝，∴AE＝2BH，设BH＝x，则AE＝2x，∴OC＝HE＝3+2x，OB＝6﹣x，∴B（0，6﹣x），C（3+2x，0）∵BM＝CM，∴M（，），∵P（，0），∴PN＝ON﹣OP＝﹣＝x，∴PM2＝PN2+MN2＝x2+（）2＝x2﹣3x+9＝（x﹣）2+，∴x＝时，PM2有最小值，最小值为，∴PM的最小值为＝．故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．4．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中B点坐标是（8，2），D 点坐标是（0，2），点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（）A．2B．8C．8D．12【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD＝2，求出DE＝4，AD＝2，即可得出答案．【解答】解：连接AC、BD交于点E，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），∴OD＝2，BD＝8，∴AE＝OD＝2，DE＝4，∴AD＝＝2，∴菱形的周长＝4AD＝8；故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．5．已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC，BD相交于点O．下列结论一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．∠ABC＝∠BAC 【分析】证出四边形ABCD是菱形，由菱形的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD；故选：A．【点评】本题考查了菱形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．6．菱形的对角线不一定具有的性质是（）A．互相平分B．互相垂直C．每一条对角线平分一组对角D．相等【分析】根据菱形的对角线性质，即可得出答案．【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，∴菱形的对角线不一定具有的性质是相等；故选：D．【点评】此题主要考查了菱形的对角线性质，熟记菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．7．如图，周长为28的菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，H为AD边中点，OH的长等于（）A．3.5B．4C．7D．14【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB＝OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH＝AB．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB＝28÷4＝7，OB＝OD，∵H为AD边中点，∴OH是△ABD的中位线，∴OH＝AB＝3.5．故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠AOB＝60°D．AC⊥BD【分析】由条件OA＝OC，OB＝OD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再由矩形和菱形的判定定理即可得出结论．【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，A、∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠AOB＝60°，不能得出四边形ABCD是菱形；选项C不符合题意；D、∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定；关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形．9．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②EG＝GF；③△EFG≌△GBE；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤【分析】根据平行四边形的性质可得OB＝BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断②错误，通过证四边形BGFE是平行四边形，可判断③正确，由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确，由∠BAC≠30°可判断⑤错误．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴BO＝DO＝BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥BC，又∵BD＝2AD，∴OB＝BC＝OD＝DA，且点E是OC中点，∴BE⊥AC，故①正确；∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，EF＝CD，∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，∴GE＝AB＝AG＝BG∴EG＝EF＝AG＝BG，无法证明GE＝GF，故②错误；∵BG＝EF，AB∥CD∥EF，∴四边形BGFE是平行四边形，∴GF＝BE，且BG＝EF，GE＝GE，∴△BGE≌△FEG（SSS）故③正确；∵EF∥CD∥AB，∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，∵AG＝GE，∴∠GAE＝∠AEG，∴∠AEG＝∠AEF，∴AE平分∠GEF，故④正确，若四边形BEFG是菱形∴BE＝BG＝AB，∴∠BAC＝30°与题意不符合故⑤错误，故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．10．如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，若两张纸条重叠部分为一个四边形（两纸条不互相重合），则这个四边形的周长的最大值是（）A．8B．10C．10.4D．12【分析】由矩形和菱形的性质可得AE＝EC，∠B＝90°，由勾股定理可求AE的长，即可求四边形AECF的周长．【解答】解：如图所示，此时菱形的周长最大，∵四边形AECF是菱形∴AE＝CF＝EC＝AF，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，∴AE2＝1+（5﹣AE）2，∴AE＝2.6∴菱形AECF的周长＝2.6×4＝10.4故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练运用勾股定理求线段的长度是本题的关键．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，点F、G分别是AD、BC 的中点，连接CF、EF、FG，下列结论：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③EF ＝CF；④∠EFC＝2∠CFD．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，由线段中点的定义得到AF＝AD，BG＝BC，于是得到四边形ABGF是平行四边形，根据平行线的性质得到CE⊥FG；故①正确；根据AD＝2AB，AD＝2AF，得到AB＝AF，于是得到四边形ABGF是菱形，故②正确；延长EF，交CD延长线于M，根据全等三角形的性质得到FE＝MF，∠AEF＝∠M，推出∠AEC＝∠ECD＝90°，根据直角三角形的性质得到FC＝EF＝FM，故③正确；得到∠FCD＝∠M，推出∠DCF＝∠DFC，于是得到∠EFC＝∠M+∠FCD＝2∠CFD；故④正确．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点F、G分别是AD、BC的中点，∴AF＝AD，BG＝BC，∴AF＝BG，∵AF∥BG，∴四边形ABGF是平行四边形，∴AB∥FG，∵CE⊥AB，∴CE⊥FG；故①正确；∵AD＝2AB，AD＝2AF，∴AB＝AF，∴四边形ABGF是菱形，故②正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F为AD中点，∴AF＝FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵FM＝EF，∴FC＝EF＝FM，故③正确；∴∠FCD＝∠M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∵AF＝DF，AD＝2AB，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，∴∠M＝∠FCD＝∠CFD，∵∠EFC＝∠M+∠FCD＝2∠CFD；故④正确，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．12．如图，AC、BD是菱形ABCD的对角线，E、F分别是边AB、AD的中点，连接EF，EO，FO，则下列结论错误的是（）A．EF＝DO B．EF⊥AOC．四边形EOF A是菱形D．四边形EBOF是菱形【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的性质进行解答即可．【解答】解：∵菱形ABCD，∴BO＝OD，BD⊥AC，∵E、F分别是边AB、AD的中点，∴2EF＝BD＝BO+OD，EF∥BD，∴EF＝DO，EF⊥AO，∵E是AB的中点，O是BD的中点，∴2EO＝AD，同理可得：2FO＝AB，∵AB＝AD，∴AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形EOF A是菱形，∵AB≠BD，∴四边形EBOF是平行四边形，不是菱形，故选：D．【点评】本题考查了三角形的中位线定理和菱形的性质，理解中位线定理和菱形的性质是关键．13．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．15【分析】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，得到AD＝CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO＝3，于是得到结论．【解答】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，故选：B．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．14．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别为AD、CD上的动点，连接BE、BF、EF．若∠EBF＝60°，则（1）BE＝BF；（2）△BEF是等边三角形；（3）四边形EBFD面积是菱形面积的一半；（4）△DEF面积的最大值是．以上结论成立的是（）A．（1）（2）B．（1）（2）（3）C．（1）（2）（4）D．（1）（2）（3）（4）【分析】证明△ABE≌△DBF，可得出BE＝BF，又∠EBF＝60°，可证出△BEF是等边三角形；由全等得出四边形EBFD面积＝S△BED+S△DBF＝S△ABE+S△BED＝S△ABD＝，则知（1）（2）（3）成立，设AE＝DF＝x，DE＝1﹣x，过点F作FH⊥AD 于点H，可求出FH，由面积公式表示出△DEF面积，利用二次函数的性质可求出面积的最大值为．【解答】解：（1）如图1，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°，∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD＝60°，∴∠A＝∠CDB，∵∠EBF＝60°，∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF，∴∠ABE＝∠DBF，在△ABE和△DBF中，，∴△ABE≌△DBF（AAS），∴BE＝BF，故（1）成立；（2）∵BE＝BF，∠EBF＝60°，∴△BEF是等边三角形；故（2）成立；（3）∵△ABE≌△DBF，∴S△ABE＝S△DBF，∴四边形EBFD面积＝S△BED+S△DBF＝S△ABE+S△BED＝S△ABD，∵，∴四边形EBFD面积是菱形面积的一半，故（3）成立；（4）设AE＝DF＝x，∴DE＝1﹣x，如图2，过点F作FH⊥AD于点H，∵∠ADF＝120°，∴∠FDH＝60°，∴∴＝，＝﹣，∴当x＝时，S有最大值为．故（4）成立；故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和等边三角形的判定，二次函数的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键．15．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．4【分析】根据勾股定理求得OD＝，然后根据矩形的性质得出CE＝OD＝．【解答】解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．16．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，M为边BC上的一个动点，ME⊥AB，MF⊥AC，则EF的最小值为（）A．6B．6C．3D．3【分析】根据已知得出四边形AEMF是矩形，得出EF＝AM，要使EF最小，只要AM最小即可，根据垂线段最短得出即可．【解答】解：∵∠BAC＝90°，ME⊥AB，MF⊥AC，∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEMF是矩形，∴EF＝AM，要使EF最小，只要AM最小即可，过A作AM⊥BC于M，此时AM最小，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AB＝6，∴AM＝AB＝3，即EF＝3故选：C．【点评】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题目比较好，难度适中．17．下列说法错误的是（）A．矩形的对角线互相平分B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形D．矩形的对角线相等【分析】根据矩形的性质和判定对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、矩形的对角线互相平分；正确；B、有一个角是直角的四边形是矩形；错误；C、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；正确；D、矩形的对角线相等；正确；故选：B．【点评】本题考查了矩形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．18．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF ⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．1B．1.3C．1.2D．1.5【分析】先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM 的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴∠EAF＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交点就是M点．∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP•BC＝AB•AC，∴AP•BC＝AB•AC．∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴5AP＝3×4，∴AP＝2.4，∴AM＝1.2；故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．19．如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG 的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF，下列说法不正确的是（）A．四边形CEDF是平行四边形B．当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形C．当∠AEC＝120°时，四边形CEDF是菱形D．当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形【分析】根据平行四边形的性质和菱形、矩形的判定判断即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，，∴△FCG≌△EDG（ASA）∴FG＝EG，∵CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形，正确；B、∵四边形CEDF是平行四边形，∵CE⊥AD，∴四边形CEDF是矩形，正确；C、∵四边形CEDF是平行四边形，∵∠AEC＝120°，∴∠CED＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，正确；D、当AE＝ED时，不能得出四边形CEDF是菱形，错误；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O．AE垂直平分OB于点E，则AD的长为（）A．4B．3C．5D．5【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝＝＝3；故选：B．【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．21．在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC 交于点F，若AB＝7，3DF＝4FC，则BC的长为（）A．7﹣1B．4+2C．2+5D．4+3【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG＝BC+CG进行计算即可．【解答】解：延长EF和BC，交于点G，∵3DF＝4FC，∴＝，∵矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE＝7，∴直角三角形ABE中，BE＝＝7，又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，∴∠BEG＝∠DEF，∵AD∥BC，∴∠G＝∠DEF，∴∠BEG＝∠G，∴BG＝BE＝7，∵∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，∴△EFD∽△GFC，∴＝，设CG＝3x，DE＝4x，则AD＝7+4x＝BC，∵BG＝BC+CG，∴7+4x+3x＝7，解得x＝﹣1，∴BC＝7+4x＝7+4﹣4＝3+4，故选：D．【点评】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．22．如图，矩形ABCD中，AD＝4，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，CE＝3，则矩形ABCD的面积为（）A．B．C．12D．32【分析】由矩形的性质得出OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝CE＝3，求出BE＝1，由勾股定理求出AB，即可得出答案．【解答】解：连接AE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，∵OE⊥AC，∴AE＝CE＝3，∴BE＝BC﹣CE＝1，∴AB＝＝＝2，∴矩形ABCD的面积＝AB×BC＝2×4＝8；故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AB是解题的关键．23．在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下而是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量其中三个角是否都为直角B．测量对角线是否相等C．测量两组对边是否分别相等D．测量对角线是否相互平分【分析】由矩形的判定定理和平行四边形的判定定理即可得出答案．【解答】解：A、测量其中三个角是否都为直角，能判定矩形；B、测量对角线是否相等，不能判定平行四边形；C、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；D、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；故选：A．【点评】本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的判定定理和平行四边形的判定定理是解题的关键．24．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加下列条件中能判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠ABC＝90°D．∠1＝∠2【分析】根据矩形的判定方法即可一一判断．【解答】解：A、∵AB＝BC，∴▱ABCD为菱形，错误；B、∵AC⊥BD，∴▱ABCD为菱形，错误；C、∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，正确；D、∵∠1＝∠2，∴▱ABCD为菱形，错误；故选：C．【点评】本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．25．如图，在边长为2的正方形ABCD中，以BC为边作等边△BCM，连接AM并延长交CD于N，则CN的长为（）A．B．C．D．【分析】作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，根据直角三角形的性质和勾股定理分别求出CN．【解答】解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，则BG＝GC，AB∥MG∥CD，∴AM＝MN，∵MH⊥CD，∠D＝90°，∴MH∥AD，∴NH＝HD，∵△MBC是等边三角形，∴MC＝BC＝2，由题意得，∠MCD＝30°，∴MH＝MC＝1，CH＝，DH＝CD﹣CH＝2﹣，HN＝DH＝2﹣CN＝CH﹣HN＝﹣（2﹣）＝2﹣2故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、熟记正方形的各种性质以及平行线的性质是解题的关键．26．如图，将一个正方形剪去一个角后，∠1+∠2等于（）A．120°B．170°C．220°D．270°【分析】根据三角形外角的性质可得∠1+∠2的度数＝三角形三个内角的和+∠A的度数，再根据三角形内角和定理和正方形的性质即可求解．【解答】解：∵∠1＝∠A+∠3，∠2＝∠A+∠4，∴∠1+∠2＝∠A+∠3+∠4+∠A＝180°+90°＝270°．故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质和三角形外角的性质和三角形内角和定理，解题的关键是得到∠1+∠2＝（∠A+∠3+∠4）+∠A．27．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（）A．45°B．15°C．10°D．125°【分析】由等边三角形的性质可得∠DAE＝60°，进而可得∠BAE＝150°，又因为AB ＝AE，结合等腰三角形的性质，易得∠AEB的大小，进而可求出∠BED的度数．【解答】解：∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE＝DE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAB＝90°，AD＝AB∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AE＝AB∴∠AEB＝30°÷2＝15°，∴∠BED＝60°﹣15°＝45°，故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出∠AEB的度数，难度适中．28．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理进行判断．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意．B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，比如筝形，故本选项不符合题意．C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故本选项符合题意．D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项符合题意．。

必刷提高题18.2 特殊的平行四边形(解析版)八年级数学下册同步必刷题闯关练(人教版)

2019-2020学年八年级数学下册同步必刷题闯关练（人教版）第十八章《平行四边形》18.2 特殊的平行四边形知识点1：直角三角形斜边上的中线【例1】（2020•浙江自主招生）已知直角三角形两条直角边上的中线长分别为9和12，则其斜边上的中线长为( )A ．15B ．15C ．35D ．3【解析】设两直角边长分别是2a 和2b ，则有：22(2)144a b +=，22(2)81a b +=，两式相加：2255225a b +=，2245a b ∴+=，2244180a b ∴+=，22(2)(2)180a b ∴+=，∴斜边18065==，∴其斜边上的中线长为35，故选：C ．【变式1-1】（2019春•成都期末）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，点D 是AB 的中点，2BC cm =，则CD = 2 cm ．【解析】Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC cm =，24AB BC cm ∴==，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，122CD AB cm ∴==，故答案为：2．【变式1-2】（2019秋•无锡期末）如图，Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，30ACB ∠=︒，D 是AB 上一点（不与A 、B 重合），DE BC ⊥于E ，若P 是CD 的中点，请判断PAE ∆的形状，并说明理由．【解析】PAE ∆的形状为等边三角形；理由如下：在Rt CAD ∆中，90CAD ∠=︒，P 是斜边CD 的中点，12PA PC CD ∴==， ACD PAC ∴∠=∠，2APD ACD PAC ACD ∴∠=∠+∠=∠，同理：在Rt CED ∆中，12PE PC CD ==，2DPE DCB ∠=∠， PA PE ∴=，即PAE ∆是等腰三角形，223060APE ACB ∴∠=∠=⨯︒=︒，PAE ∴∆是等边三角形．【变式1-3】（2019秋•江都区期中）如图，在ABC ∆中，CF AB ⊥于F ，BE AC ⊥于E ，M 为BC 的中点，10BC =，4EF =．（1）求MEF ∆的周长：（2）若50ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，求EMF ∠的度数．【解析】（1）CF AB ⊥，BE AC ⊥，M 为BC 的中点，152EM BC ∴==， 152FM BC ==， MEF ∴∆周长45514EF EM FM =++=++=；（2）BM FM =，50ABC ∠=︒，50MBF MFB ∴∠=∠=︒，18025080BMF ∴∠=︒-⨯︒=︒，CM EM =，60ACB ∠=︒，60MCE MEC ∴∠=∠=︒，18026060CME ∴∠==︒-⨯︒=︒，18040EMF BMF CME ∴∠=︒-∠-∠=︒．知识点2：菱形的性质【例2】（2020•锦江区模拟）如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且AE CF =，连接EF 交BD 于点O ，连接AO ．若25DBC ∠=︒，则OAD ∠的度数为( )A ．50︒B ．55︒C ．65︒D ．75︒【解析】如图，连接EC ，OC ，AF ．在菱形ABCD 中，EBC ADF ∠=∠，25ADB DBC ∠=∠=︒，AB CD =，BC DA =． AE CF =，AB AE CD CF ∴-=-，即BE DF =．在EBC ∆与FDA ∆中，BE DF EBC FDA BC DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．()EBC FDA SAS ∴∆≅∆EC AF ∴=．又AE CF =，∴四边形AECF 是平行四边形，EF ∴与AC 平分，∴在菱形ABCD 中，AO BD ⊥，90902565OAD ADB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．故选：C ．【变式2-1】（2019秋•龙泉驿区期末）如图，在菱形ABCD 中，45BAD ∠=︒，DE 是AB 边上的高，2BE =，则AB 的长是 422+ ．【解析】解，设AB x =，四边形ABCD 是菱形，AD AB x ∴==，DE 是AB 边上的高，90AED ∴∠=︒，45BAD ∠=︒，45BADADE ∴∠=∠=︒，2AE ED x ∴==-，由勾股定理得：22AD AE DE =+，222(2)(2)x x x ∴=-+-，解得：1422x =+2422x =-2BE =，2AB ∴>，422AB x ∴==+，故答案为：422+．【变式2-2】（2019秋•平房区期末）如图1，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，E 是AB 的中点，ED 平分BEC ∠交BC 于点D ，F 在DE 延长线上且AF AE =．（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）如图2，若四边形ACEF 是菱形，连接FC ，BF ，FC 与AB 交于点H ，连接DH ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等边三角形．【解析】（1）证明：90ACB ∠=︒，E 是BA 的中点，CE AE ∴=，AF AE =，AF CE ∴=， ED 平分BEC ∠，12∴∠=∠，AF AE =，3F ∴∠=∠，13∠=∠，2F ∴∠=∠，//CE AF ∴，又CE AF =，∴四边形ACEF 是平行四边形；（2）解：AFE ∆，AEC ∆，HDC ∆，CFB ∆．【变式2-3】（2019春•赣榆区期中）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作//DE AC 且12DE AC =，连接CE 、OE ，连接AE 交OD 于点F ．（1）求证：OE CD =；（2）若菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒．求AE 的长．【解析】（1）证明：在菱形ABCD 中，12OC AC =． DE OC ∴=． //DE AC ，∴四边形OCED 是平行四边形．AC BD ⊥，∴平行四边形OCED 是矩形．OE CD ∴=．（2）在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，2AC AB ∴==．∴在矩形OCED 中，223CE OD AD AO ==-．在Rt ACE ∆中，227AE AC CE =+=知识点3：菱形的判定【例3】（2020•枣阳市校级模拟）如图，在ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM DN =，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是菱形，这个条件是( )A ．12OM AC =B ．MB MO =C ．BD AC ⊥ D ．AMB CND ∠=∠ 【解析】证明：四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =对角线BD 上的两点M 、N 满足BM DN =，OB BM OD DN ∴-=-，即OM ON =，∴四边形AMCN 是平行四边形，BD AC ⊥，MN AC ∴⊥，∴四边形AMCN 是菱形．故选：C ．【变式3-1】（2018春•张店区期末）已知，如图，ABC ∆中，E 为AB 的中点，//DC AB ，且12DC AB =，请对ABC ∆添加一个条件： 2AB BC = ，使得四边形BCDE 成为菱形．【解析】添加一个条件：2AB BC =，可使得四边形BCDE 成为菱形．理由如下：12DC AB =，E 为AB 的中点， CD BE AE ∴==．又//DC AB ，∴四边形BCDE 是平行四边形，2AB BC =，BE BC ∴=，∴四边形BCDE 是菱形．故答案为：2AB BC =．【变式3-2】（2019•揭西县模拟）如图，在ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作//AG DB 交CB 的延长线于点．（1）求证：ADE CBF ∆≅∆；（2）若90G ∠=︒，求证：四边形DEBF 是菱形．【解析】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，AD BC =，A C ∠=∠，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，12AE AB ∴=，12CF CD =， AE CF ∴=，在ADE ∆和CBF ∆中，AD BC A C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADE CBF SAS ∴∆≅∆；（2）90G ∠=︒，//AG BD ，//AD BG ，∴四边形AGBD 是矩形，90ADB ∴∠=︒，在Rt ADB ∆中 E 为AB 的中点，AE BE DE ∴==，//DF BE ，DF BE =，∴四边形DEBF 是平行四边形，∴四边形DEBF 是菱形．【变式3-3】（2019春•襄汾县期末）在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在DE 上，且AF CE AE ==，（1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）当B ∠满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？并说明理由．【解析】（1）四边形ACEF 是平行四边形； DE 垂直平分BC ，D ∴为BC 的中点，ED BC ⊥，又AC BC ⊥，//ED AC ∴，E ∴为AB 中点，ED ∴是ABC ∆的中位线．BE AE ∴=，//FD AC ．BD CD ∴=，Rt ABC ∴∆中，CE 是斜边AB 的中线，CE AE AF ∴==．512F ∴∠=∠=∠=∠．FAE AEC ∴∠=∠．//AF EC ∴．又AF EC =，∴四边形ACEF 是平行四边形；（2）当30B ∠=︒时，四边形ACEF 为菱形；理由：90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，12AC AB ∴=，由（1）知12CE AB =， AC CE ∴= 又四边形ACEF 为平行四边形∴四边形ACEF 为菱形；知识点4：菱形的判定与性质【例4】（2019春•西湖区校级期中）如图，菱形ABCD 中，60BAD ∠=，AC 与BD 交于点O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD DE =，连结BE 分别交AC ，AD 于点F 、G ，连结OG ，则下列结论：①2OG AB =； ②与EGD ∆全等的三角形共有5个；③ABF ODGF S S ∆>四边形；④由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形，其中正确的是( )A ．①④B ．①③④C ．①②③D ．②③④ 【解析】四边形ABCD 是菱形，AB BC CD DA ∴===，//AB CD ，OA OC =，OB OD =，AC BD ⊥， BAG EDG ∴∠=∠，ABO BCO CDO AOD ∆≅∆≅∆≅∆，CD DE =，AB DE ∴=，在ABG ∆和DEG ∆中，BAG EDGAGB DGE AB DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABG DEG AAS ∴∆≅∆，AG DG ∴=，OG ∴是ACD ∆的中位线，1122OG CD AB ∴==，2OG AB ∴=，①正确；//AB CE ，AB DE =，∴四边形ABDE 是平行四边形，60BCD BAD ∠=∠=︒，ABD ∴∆、BCD ∆是等边三角形，AB BD AD ∴==，60ODC ∠=︒，OD AG ∴=，四边形ABDE 是菱形，④正确；AD BE ∴⊥，由菱形的性质得：()ABG DEG SAS ∆≅∆，()BDG DEG SAS ∆≅∆，在ABG ∆和DCO ∆中，60OD AGODC BAG AB DC=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABG DCO SAS ∴∆≅∆，()ABO DEG SAS ∴∆≅∆，()BCO DEG SAS ∆≅∆，()CDO DEG SAS ∆≅∆，()AOD DEG AAS ∆≅∆，()ABG DEG SAS ∆≅∆，()BDG DEG SAS ∆≅∆，∴②不正确；OB OD =，AG DG =，OG ∴是ABD ∆的中位线，//OG AB ∴，12OG AB =， ()GOD ABD ASA ∴∆∆∽，()ABF OGF ASA ∆∆∽，GOD ∴∆的面积14ABD =∆的面积，ABF ∆的面积OGF =∆的面积的4倍，:2:1AF OF =， AFG ∴∆的面积OGF =∆的面积的2倍，又GOD ∆的面积AOG =∆的面积BOG =∆的面积，ABF ODGF S S ∆∴=四边形；③不正确；正确的是①④．故选：A ．【变式4-1】（2018春•沈河区校级期中）如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ．过点A 作AE BC ⊥于E ，交BD 于G ，过点D 作DF BC ⊥于F ，过点G 作//GH BC ，交AC 于点H ，则下列结论：①BAE C ∠=∠；②::ABG EBG S S AB BE ∆∆=；③2ADF CDF ∠=∠；④四边形AGFD 是菱形；⑤CH DF =．其中正确的结论是 ①②④⑤ ．【解析】①90BAC ∠=︒，90BAE CAE ∴∠+∠=︒，AE BC ⊥，90C CAE ∴∠+∠=︒，BAE C ∴∠=∠，①正确；②作//AM BD 交CB 的延长线于M ，如图所示：则M CBD ∠=∠，BAM ABD ∠=∠， BD 平分ABC ∠，CBD ABD ∴∠=∠，M BAM ∴∠=∠，AB BM ∴=，//AM BD ，::AG GE BM BE ∴=，::AG GE AB BE ∴=，::ABG EBG S S AG GE ∆∆=，::ABG EBG S S AB BE ∆∆∴=；②正确；④AGD ABD BAE ∠=∠+∠，ADG CBD C ∠=∠+∠，BAE C ∠=∠，CBD ABD ∠=∠，AGD ADG ∴∠=∠，AG AD ∴=，90BAC ∠=︒，BD 平分ABC ∠．DF BC ⊥，AD DF ∴=，AG DF ∴=，AE BC ⊥，//AG DF ∴，∴四边形AGFD 是平行四边形，又AG AD =，∴四边形AGFD 是菱形；④正确； ⑤四边形AGFD 是菱形；AGD FGD ∴∠=∠，GF DF =，ADB FDB ∠=∠，AGB FGB ∴∠=∠，在ABG ∆和FBG ∆中，ABG FBGAGB FGB BG BG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABG FBG AAS ∴∆≅∆，BAE BFG ∴∠=∠，BAE C ∠=∠，BFG C ∴∠=∠，//GF CH ∴，//GH BC ，∴四边形GFCH 是平行四边形，GF CH ∴=，CH DF ∴=，⑤正确；③2ADF ADB ∠=∠，当30C ∠=︒，60CDF ∠=︒，则120ADF ∠=︒，2ADF CDF ∴∠=∠；③不正确；故答案为：①②④⑤．【变式4-2】（2020•新都区模拟）如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．（1）证明平行四边形ECFG 是菱形；（2）若120ABC ∠=︒，连结BG 、CG 、DG ，①求证：DGC BGE ∆≅∆；②求BDG ∠的度数；（3）若90ABC ∠=︒，8AB =，14AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长．【解析】（1）证明： AF 平分BAD ∠，BAF DAF ∴∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，//AB CD ，DAF CEF ∴∠=∠，BAF CFE ∠=∠，CEF CFE ∴∠=∠，CE CF ∴=，又四边形ECFG 是平行四边形，∴四边形ECFG 为菱形；（2）①四边形ABCD 是平行四边形，//AB DC ∴，AB DC =，//AD BC ，120ABC ∠=︒，60BCD ∴∠=︒，120BCF ∠=︒由（1）知，四边形CEGF 是菱形，CE GE ∴=，1602BCG BCF ∠=∠=︒，CG GE CE ∴==，120DCG ∠=︒，//EG DF ，120BEG DCG ∴∠=︒=∠， AE 是BAD ∠的平分线，DAE BAE ∴∠=∠，//AD BC ，DAE AEB ∴∠=∠，BAE AEB ∴∠=∠，AB BE ∴=，BE CD ∴=，()DGC BGE SAS ∴∆≅∆；②DGC BGE ∆≅∆，BG DG ∴=，BGE DGC ∠=∠，BGD CGE ∴∠=∠，CG GE CE ==，CEG ∴∆是等边三角形，60CGE ∴∠=︒，60BGD ∴∠=︒，BG DG =，BDG ∴∆是等边三角形，60BDG ∴∠=︒；（3）如图2中，连接BM ，MC ，90ABC ∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形，又由（1）可知四边形ECFG 为菱形，90ECF ∠=︒，∴四边形ECFG 为正方形．BAF DAF ∠=∠，BE AB DC ∴==， M 为EF 中点，45CEM ECM ∴∠=∠=︒，135BEM DCM ∴∠=∠=︒，在BME ∆和DMC ∆中，BE CDBEM DCM EM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BME DMC SAS ∴∆≅∆，MB MD ∴=，DMC BME ∠=∠．90BMD BME EMD DMC EMD ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，BMD ∴∆是等腰直角三角形．8AB =，14AD =，265BD ∴=2130DM ∴== 【变式4-3】（2019春•秦淮区期末）已知：如图，在ABCD 中，G 、H 分别是AD 、BC 的中点，E 、O 、F 分别是对角线BD 上的四等分点，顺次连接G 、E 、H 、F ．（1）求证：四边形GEHF 是平行四边形；（2）当ABCD 满足 AB BD ⊥ 条件时，四边形GEHF 是菱形；（3）若2BD AB =，①探究四边形GEHF 的形状，并说明理由；②当2AB =，120ABD ∠=︒时，直接写出四边形GEHF 的面积．【解析】（1）证明：连接AC ，如图1所示：四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =，BD ∴的中点在AC 上， E 、O 、F 分别是对角线BD 上的四等分点，E ∴、F 分别为OB 、OD 的中点，G 是AD 的中点，GF ∴为AOD ∆的中位线，//GF OA ∴，12GF OA =，同理：//EH OC ，12EH OC =，EH GF ∴=，//EH GF ，∴四边形GEHF 是平行四边形；（2）解：当ABCD 满足AB BD ⊥条件时，四边形GEHF 是菱形；理由如下：连接GH ，如图2所示：则AG BH =，//AG BH ，∴四边形ABHG 是平行四边形，//AB GH ∴，AB BD ⊥，GH BD ∴⊥，GH EF ∴⊥，∴四边形GEHF 是菱形；故答案为：AB BD ⊥；（3）解：①四边形GEHF 是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF 是平行四边形，GH AB ∴=，2BD AB =，12AB BD EF ∴==，GH EF ∴=，∴四边形GEHF 是矩形；②作AM BD ⊥于M ，GN BD ⊥于N ，如图3所示：则//AM GN ， G 是AD 的中点，GN ∴是ADM ∆的中位线，12GN AM ∴=，120ABD ∠=︒，60ABM ∴∠=︒，30BAM ∴∠=︒，112BM AB ∴==，33AM BM =3GN ∴=24BD AB ==，122EF BD ∴==，EFG ∴∆的面积1133222EF GN =⨯=⨯∴四边形GEHF 的面积2EFG =∆的面积3=．知识点5：矩形的性质【例5】（2020春•宜兴市校级月考）下列性质中，矩形不一定具有的是( ) A ．对角线相等 B ．对角线互相平分C ．4个内角相等D ．一条对角线平分一组对角【解析】矩形的对角线互相平分且相等，故选项A 、B 不合题意；矩形的四个角都是直角，故选项C 不合题意；矩形的一条对角线不一定平分一组对角；故D 符合题意；故选：D ．【变式5-1】（2020春•九龙坡区校级月考）如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，M 、N 分别为BC 、OC 的中点．若8BD =，则MN 的长为 2 ．【解析】如图，四边形ABCD 是矩形，AC ，BD 交于点O ，8BD = 2BD BO ∴=，即28BO =．4BO ∴=．又M 、N 分别为BC 、OC 的中点，MN ∴是CBO ∆的中位线，122MN BO ∴==．故答案是：2．【变式5-2】（2019•莘县一模）如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 上的点，AE CF =，对角线AC 平分ECF ∠．（1）求证：四边形AECF 为菱形．（2）已知4AB =，8BC =，求菱形AECF 的面积．【解析】证明：（1）四边形ABCD 是矩形//AE CF ∴AE CF =∴四边形AECF 是平行四边形 AC 平分ECF ∠ACF ACE ∴∠=∠//AE CFACF EAC ∴∠=∠EAC ACE ∴∠=∠AE CE ∴=∴四边形AECF 是菱形（2）设BF x =，则8FC x =-8AF FC x ∴==-在Rt ABF ∆中222AB BF AF +=222(8)4x x ∴-=+解得：3x =835FC ∴=-=S ∴菱形5420AECF FC AB ==⨯=【变式5-3】（2019秋•榕城区期中）如图长方形OABC 的位置如图所示，点B 的坐标为(8,4)，点P 从点C 出发向点O 移动，速度为每秒1个单位；点Q 同时从点O 出发向点A 移动，速度为每秒2个单位，设运动时间为(04)t t（1）填空：点A 的坐标为 (8,0) ，点C 的坐标为，点P 的坐标为．（用含t 的代数式表示）（2）当t 为何值时，P 、Q 两点与原点距离相等？（3）在点P 、Q 移动过程中，四边形OPBQ 的面积是否变化？说明理由．【解析】（1）由题意可知点A 的坐标为(8,0)，点C 的坐标为 (0,4)，点P 的坐标为(0,4)t -．（用含t 的代数式表示），故答案分别为(8,0)，(0,4)，(0,4)t -．（2）依题意可知：4OP t =-，2OQ t =，若OP OQ =，则有：42t t -= 解之得，43t =． ∴当43t =时，点P 和点Q 到原点的距离相等．（3）四边形OPBQ 的面积不变．理由如下：PCB ABQ OABC OPBQ S S S S ∆∆=--矩形四边形 113284(82)22t t =--- 324164t t =--+16=．∴四边形OPBQ 的面积不变．知识点6：矩形的判定【例6】（2020•闵行区一模）要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是( )A ．测量对角线是否相互平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量对角线是否互相垂直D ．测量其中三个角是否是直角【解析】三个角是直角的四边形是矩形，∴在下面四个拟定方案中，正确的方案是D ，故选：D ．【变式6-1】（2017春•苍溪县期末）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，4AB cm =，AD AB >，5CD cm =，点P 从点C 出发沿边CB 以每秒1cm 的速度向点B 运动， 3 秒后四边形ABPD 是矩形．【解析】当DP BC ⊥时，四边形ABPD 是矩形，此时：4AB DP ==，5CD =，在Rt DPC ∆中，2222543CP CD DP =--=，所以3秒后四边形ABPD 是矩形，故答案为：3【变式6-2】（2019春•宽城区校级期末）如图，在ABC ∆中，点O 是边AC 上一个点，过点O 作直线//MN BC 分别交ACB ∠、外角ACD ∠的平分线于点E 、F ．（1）若8CE =，6CF =，求OC 的长；（2）连接AE 、AF ．问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论．【解析】（1）证明：EF 交ACB ∠的平分线于点E ，交ACB ∠的外角平分线于点F ， OCE BCE ∴∠=∠，OCF DCF ∠=∠，//EF BC ，OEC BCE ∴∠=∠，OFC DCF ∠=∠，OEC OCE ∴∠=∠，OFC OCF ∠=∠，OE OC ∴=，OF OC =，OE OF ∴=；180OCE BCE OCF DCF ∠+∠+∠+∠=︒，90ECF ∴∠=︒，在Rt CEF ∆中，由勾股定理得：2210EF CE CF =+=，152OC OE EF ∴===；（2）当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：当O 为AC 的中点时，AO CO =，EO FO =，∴四边形AECF 是平行四边形，90ECF ∠=︒，∴平行四边形AECF 是矩形．【变式6-3】（2019秋•重庆月考）如图，在ABC ∆中，点O 是AC 边上的一动点，过O 作直线//MN BC ，设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F ．（1）求证：EO FO =；（2）当O 点运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．【解析】（1）证明：//MN BC ，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，BCE ACE OEC ∴∠=∠=∠，OCF FCD OFC ∠=∠=∠，OE OC ∴=，OC OF =，OE OF ∴=．（2）解：当O 运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形，AO CO =，OE OF =，∴四边形AECF 是平行四边形，12ECA ACF BCD ∠+∠=∠， 90ECF ∴∠=︒，∴四边形AECF 是矩形．知识点7：矩形的判定与性质【例7】（2019•红花岗区校级二模）如图，直角三角形ABC 中，2AC =，4BC =，P 为斜边AB 上一动点，PE BC ⊥，PF CA ⊥，则线段EF 长的最小值为( )A 5B ．2C 455D ．32【解析】连接PC ，如图所示：PE BC ⊥，PF CA ⊥，90PEC PFC C ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ECFP 是矩形，EF PC ∴=，∴当PC 最小时，EF 也最小，垂线段最短，∴当CP AB ⊥时，PC 最小，2AC =，4BC =，25AB ∴=，又当CP AB ⊥时，1122AC BC AB CP ⨯⨯=⨯⨯， 4525AC BC PC AB ⨯∴=== ∴线段EF 45．故选：C ．【变式7-1】（2019春•东湖区校级月考）如图，在矩形ABCD 中，4AB cm =，12AD cm =，点P 从点A 向点D 以每秒1cm 的速度运动，Q 以每秒4cm 的速度从点C 出发，在B 、C 两点之间做往返运动，两点同时出发，点P 到达点D 为止（同时点Q 也停止），这段时间内，当运动时间为 2.4s 或4s 或7.2s 时，P 、Q 、C 、D 四点组成矩形．【解析】根据已知可知：点Q 将4次到达B 点；在点Q 第一次到达点B 过程中，四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，若//PQ AB ，则四边形APQB 是平行四边形，AP BQ ∴=，设过了t 秒，//PQ AB ，则PA t =，124BQ t =-，124t t ∴=-，2.4()t s ∴=，在点Q 第二次到达点B 过程中，设过了t 秒，则PA t =，4(3)BQ t =-，解得：4()t s =，在点Q 第三次到达点B 过程中，设过了t 秒，则PA t =，124(6)BQ t =--，解得：7.2()t s =，在点Q 第四次到达点B 的过程中，无法构成矩形，故此舍去．故答案为：2.4s 或4s 或7.2s ；【变式7-2】（2019春•邵东县期末）如图，已知菱形ABCD 中，对角线ACBD 相交于点O ，过点C 作//CE BD ，过点D 作//DE AC ，CE 与DE 相交于点E ．（1）求证：四边形CODE 是矩形．（2）若5AB =，6AC =，求四边形CODE 的周长．【解析】（1）证明：//CE BD ，//DE AC ，∴四边形CODE 为平行四边形，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，∴平行四边形CODE 是矩形；（2）解：四边形ABCD 为菱形，116322AO OC AC ∴===⨯=，OD OB =，90AOB ∠=︒，在Rt AOB ∆中，由勾股定理得222BO AB AO =-，224BO AB AO ∴=-，4DO BO ∴==，∴四边形CODE 的周长2(34)14=⨯+=．【变式7-3】（2019•满洲里市一模）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AO CO =，BO DO =，且180ABC ADC ∠+∠=︒．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若:3:2ADF FDC ∠∠=，DF AC ⊥，求BDF ∠的度数．【解析】（1）证明：AO CO =，BO DO =，∴四边形ABCD 是平行四边形，ABC ADC ∴∠=∠，180ABC ADC ∠+∠=︒，90ABC ADC ∴∠=∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：90ADC ∠=︒，:3:2ADF FDC ∠∠=，36FDC ∴∠=︒，DF AC ⊥，903654DCO ∴∠=︒-︒=︒，四边形ABCD 是矩形，54ODC DCO ∴∠=∠=︒，18BDF ODC FDC ∴∠=∠-∠=︒．知识8：正方形的性质【例8】（2020•深圳模拟）在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 上的一动点，E 为AD 中点，PE 交CD 延长线于Q ，过E 作EF PQ ⊥交BC 的延长线于F ，则下列结论： ①APE DQE ∆≅∆；②PQ EF =；③当P 为AB 中点时，2CF =；④若H 为QC 的中点，当P 从A 移动到B 时，线段EH 扫过的面积为1，其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】①四边形ABCD 是正方形，AB BC CD AD ∴===，90A B ADC ∠=∠=∠=︒，90A EDQ ∴∠=∠=︒， E 为AD 中点，AE ED ∴=，在APE ∆和DQE ∆中，A EDQAE ED AEP DEQ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()APE DQE ASA ∴∆≅∆，故①正确；②作PG CD ⊥于G ，EM BC ⊥于M ，如图1所示：90PGQ EMF ∴∠=∠=︒，EF PQ ⊥，90PEF ∴∠=︒，90PEM MEF ∴∠+∠=︒，90GPE MEP ∠+∠=︒，GPE MEF ∴∠=∠，在EFM ∆和PQG ∆中，EMF PGQEM PG MEF GPQ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EFM PQG ASA ∴∆≅∆，EF PQ ∴=，故②正确；③连接QF ，如图2所示：则QF PF =，2222PB BF QC CF +=+，设CF x =，则2222(2)13x x ++=+，1x ∴=，故③错误；④如图3所示：当P 在A 点时，Q 与D 重合，QC 的中点H 在DC 的中点S 处，当P 运动到B 时，QC 的中点H 与D 重合，故EH 扫过的面积为ESD ∆的面积为12，故④错误；故选：B ．【变式8-1】（2019秋•蚌埠期末）如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且4CE AE =，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG EF ⊥，交CB 的延长线于点G ，若5AB =，2CF =，则线段BG 的长是 5 ．【解析】如图，作EH EC ⊥交CG 于H ．则90CEH ∠=︒，EG EF ⊥，90GEF ∴∠=︒，GEH FEC ∴∠=∠，四边形ABCD 是正方形，5AB =，90GCF BCD ∴∠=∠=︒，5BC AB ==，252AC AB =45ACB ∠=︒， 9045135ECF ∴∠=︒+︒=︒，CEH ∆是等腰直角三角形，EH EC ∴=，45EHC ∠=︒，135EHG ECF ∴∠=︒=∠，在HEG ∆和CEF ∆中，HEG CEF EH EC EHG ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()HEG CEF ASA ∴∆≅∆，2HG CF ∴==，4CE AE =，252AC ==42CE ∴=28CH CE ∴=，10CG HG CH ∴=+=，5BG CG BC ∴=-=；故答案为：5．【变式8-2】（2019秋•吉安县期末）如图，在正方形ABCD 中，等边AEF ∆的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上．（1）求证：ABE ADF ∆≅∆；（2）若等边AEF ∆的周长为6，求正方形ABCD 的边长．【解析】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，90B D ∠=∠=︒，AEF ∆是等边三角形，AE AF ∴=，在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，AB AD AE AF =⎧⎨=⎩， Rt ABE Rt ADF(HL)∴∆≅∆；（2）解：等边AEF ∆的周长是6，2AE EF AF ∴===，又Rt ABE Rt ADF ∆≅∆，BE DF ∴=，CE CF ∴=，90C ∠=︒，即ECF ∆是等腰直角三角形，由勾股定理得222CE CF EF +=，2EC ∴=设BE x =，则2AB x =，在Rt ABE ∆中，222AB BE AE +=，即22(2)4x x +=，解得126x -+=或226x --=， 26262AB -++∴== ∴正方形ABCD 26+．【变式8-3】（2019•红塔区三模）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且BE CF =，求证：（1）AE BF =；（2）AE BF ⊥．【解析】证明：（1）在正方形ABCD 中，AB BC =，ABE BCF ∠=∠，在ABE ∆和BCF ∆中，AB BC ABE BCFBE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE BCF SAS ∴∆≅∆，AE BF ∴=；（2）ABE BCF ∆≅∆，BAE CBF ∴∠=∠，90BAE ABF CBF ABF ABC ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，AE BF ∴⊥．知识点9：正方形的判定【例9】（2019春•南京月考）下列说法错误的是( ) A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D ．对角线相等且垂直的四边形是正方形【解析】①由平行四边形的判定可知A 正确；②由矩形的判定可知B 正确；③因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C 正确； ④D 选项中再加上一个条件：对角线互相平分，可证其是正方形，故D 错误；故选：D ．【变式9-1】（2018春•宿豫区期末）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ．要使四边形ABCD 是正方形，还需添加一组条件．下面给出了五组条件：①AB AD =，且AC BD =；②AB AD ⊥，且AC BD ⊥；③AB AD ⊥，且AB AD =；④AB BD =，且AB BD ⊥；⑤OB OC =，且OB OC ⊥．其中正确的是 ①②③⑤ （填写序号）．【解析】四边形ABCD 是平行四边形，AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形，又AC BD =，∴四边形ABCD 是正方形，①正确；四边形ABCD 是平行四边形，AB AD ⊥，∴四边形ABCD 是矩形，又AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是正方形，②正确；四边形ABCD 是平行四边形，AB AD ⊥，∴四边形ABCD 是矩形，又AB AD =，∴四边形ABCD 是正方形，③正确；④AB BD =，且AB BD ⊥，无法得出四边形ABCD 是正方形，故④错误；四边形ABCD 是平行四边形，OB OC =，∴四边形ABCD 是矩形，又OB OC ⊥，∴四边形ABCD 是正方形，⑤正确；故答案为：①②③⑤．【变式9-2】（2019春•番禺区期中）如图，以ABC ∆的三边为边分别作等边ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆（1）求证：EBF DFC ∆≅∆；（2）求证：四边形AEFD 是平行四边形；（3）①ABC ∆满足 AB AC = 时，四边形AEFD 是菱形．（无需证明）②ABC ∆满足时，四边形AEFD 是矩形．（无需证明）③ABC ∆满足时，四边形AEFD 是正方形．（无需证明）【解析】（1）ABE ∆、BCF ∆为等边三角形，AB BE AE ∴==，BC CF FB ==，60ABE CBF ∠=∠=︒，ABE ABF FBC ABF ∴∠-∠=∠-∠，即CBA FBE ∠=∠，在ABC ∆和EBF ∆中，AB EBCBA FBE BC BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC EBF SAS ∴∆≅∆，EF AC ∴=，又ADC ∆为等边三角形，CD AD AC ∴==，EF AD DC ∴==，同理可得ABC DFC ∆≅∆，DF AB AE DF ∴===，∴四边形AEFD 是平行四边形；FEA ADF ∴∠=∠，FEA AEB ADF ADC ∴∠+∠=∠+∠，即FEB CDF ∠=∠，在FEB ∆和CDF ∆中，EF DCFEB CDF EB FD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．()EBF DFC SAS ∴∆≅∆，（2）EBF DFC ∆≅∆，EB DF ∴=，EF DC =．ACD ∆和ABE ∆为等边三角形，AD DC ∴=，AE BE =，AD EF ∴=，AE DF =∴四边形AEFD 是平行四边形；（3）①若AB AC =，则平行四边形AEFD 是菱形；此时AE AB AC AD ===，即ABC ∆是等腰三角形；故ABC ∆满足AB AC =时，四边形AEFD 是菱形；②若150BAC ∠=︒，则平行四边形AEFD 是矩形；由（1）知四边形AEFD 是平行四边形，则90EAD ∠=︒时，可得平行四边形AEFD 是矩形， 360606090150BAC ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，即ABC ∆满足150BAC ∠=︒时，四边形AEFD 是矩形；③综合①②的结论知：当ABC ∆是顶角BAC ∠是150︒的等腰三角形时，四边形AEFD 是正方形．故答案是：①AB AC =；②150BAC ∠=︒；③AB AC =，150BAC ∠=︒．【变式9-3】（2017春•江津区期末）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，//DE AC ，//CE BD ，连接OE ．（1）求证：OE CD =；（2）探究：当ABC ∠等于多少度时，四边形OCED 是正方形？并证明你的结论．【解析】（1）证明：//DE AC ，//CE BD ，∴四边形OCED 是平行四边形，四边形ABCD 是菱形，90COD ∴∠=︒，AB BC CD AD ===，∴四边形OCED 是矩形，OE DC ∴=；（2）当90ABC ∠=︒时，四边形OCED 是正方形，理由如下：四边形ABCD 是菱形，90ABC ∠=︒，∴四边形ABCD 是正方形，DO CO ∴=，又四边形OCED 是矩形，∴四边形OCED 是正方形．知识点10：正方形的判定与性质【例10】（2018春•梁子湖区期中）如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，连接EF 交AD 于G ．有以下四个结论：①GA GD =；②AD EF ⊥；③当90BAC ∠=︒时，四边形AEDF 是正方形；④2222AE DF AF DE +=+．其中正确的是( )A ．②③B ．②④C ．①③④D ．②③④【解析】①根据已知条件不能推出GA GD =，∴①错误；②AD 是ABC ∆的角平分线，DE ，DF 分别是ABD ∆和ACD ∆的高，DE DF ∴=，90AED AFD ∠=∠=︒，在Rt AED ∆和Rt AFD ∆中，AD AD DE DF=⎧⎨=⎩，Rt AED Rt AFD(HL)∴∆≅∆，AE AF ∴=， AD 平分BAC ∠，AD EF ∴⊥，∴②正确；③90BAC ∠=︒，90AED AFD ∠=∠=︒，∴四边形AEDF 是矩形，AE AF =，∴四边形AEDF 是正方形，∴③正确；④AE AF =，DE DF =，2222AE DF AF DE ∴+=+，∴④正确；∴②③④正确，故选：D ．【变式10-1】（2019•湖北模拟）如图，在四边形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90D ∠=︒，45ABE ∠=︒，BC CD =，若5AE =，2CE =，则BC 的长度为 6 ．【解析】过点B 作BF AD ⊥于点F ，延长DF 使FG EC =，连接BG ，//AD BC ，90D ∠=︒，90C D ∴∠=∠=︒，BF AD ⊥∴四边形CDFB 是矩形BC CD =∴四边形CDFB 是正方形CD BC DF BF ∴===，90CBF C BFG ∠=︒=∠=∠，BC BF =，90BFG C ∠=∠=︒，CE FG =()BCE BFG SAS ∴∆≅∆BE BG ∴=，CBE FBG ∠=∠45ABE ∠=︒，45CBE ABF ∴∠+∠=︒，45ABF FBG ABG ∴∠+∠=︒=∠ABG ABE ∴∠=∠，且AB AB =，BE BG =()ABE ABG SAS ∴∆≅∆5AE AG ∴==，523AF AG FG ∴=-=-=在Rt ADE ∆中，222AE AD DE =+，2225(3)(2)DF DF ∴=-+-，6DF ∴=6BC ∴=故答案为：6【变式10-2】（2018春•平定县期末）如图，已知正方形ABCD ，P 是对角线AC 上任意一点，PM AD ⊥，PN AB ⊥，垂足分别为点M 和N ，PE PB ⊥交AD 于点E ．（1）求证：四边形MANP 是正方形；（2）求证：EM BN =．【解析】证明：（1）四边形ABCD 是正方形，90DAB ∴∠=︒，AC 平分DAB ∠，（1分）PM AD ⊥，PN AB ⊥，90PMA PNA ∴∠=∠=︒，∴四边形MANP 是矩形，（2分） AC 平分DAB ∠，PM AD ⊥，PN AB ⊥，PM PN ∴=，∴四边形MANP 是正方形；（4分）（2）四边形ABCD 是正方形，PM PN ∴=，90MPN ∠=︒，90EPB ∠=︒，90MPE EPN NPB EPN ∴∠+∠=∠+∠=︒，MPE NPB ∴∠=∠，（5分）在EPM ∆和BPN ∆中，90PMA PNB PM PNMPE NPB ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()EPM BPN ASA ∴∆≅∆，（6分）EM BN ∴=．（7分）【变式10-3】如图所示，有四个动点P ，Q ，E ，F 分别从正方形ABCD 的四个顶点出发，沿着AB ，BC ，CD ，DA 以同样速度向B ，C ，D ，A 各点移动．（1）试判断四边形PQEF 是否是正方形，并证明；（2）PE 是否总过某一定点，并说明理由．【解析】（1）在正方形ABCD 中，AP BQ CE DF ===，AB BC CD DA ===， BP QC ED FA ∴===．又90BAD B BCD D ∠=∠=∠=∠=︒，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！41 AFP BPQ CQE DEF ∴∆≅∆≅∆≅∆． FP PQ QE EF ∴===，APF PQB ∠=∠． ∴四边形PQEF 是菱形， 90FPQ ∠=︒，∴四边形PQEF 为正方形．（2）连接AC 交PE 于O ，AP 平行且等于EC ， ∴四边形APCE 为平行四边形． O 为对角线AC 的中点， ∴对角线PE 总过AC 的中点．。

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