微分学的基本定理

微分学的基本定理

【费马（Fermat）定理】

若(i)函数)(x f 在0x 点得某一邻域),(0δx O 内有定义，并且在此邻域内恒有

)(x f )(0x f ≤，

或者)(x f )(0x f ≥；

（ii）函数)(x f 在0x 点可导，

则有

0)(0='x f 证明我们对)(x f 的情形给出假设证明.由于假设)(0x f '存在，按定义，也就是

+'f （0x ）=-'f （0x ）=f '(0x ),

另一方面，由于)(x f )(0x f ≤，所以对（δ+00,x x ）内的各点x ，有

≤--0

0)()(x f x f 0；而对（00,x x δ-）内的各点x ，有

0)()(0

0≥--x f x f .再由极限性质得

)(0x f '=+'f （0x ）=lim

0+→o x x ≤--00)()(x x x f x f 0，)(0x f '=-'f （0x ）=lim 0

-→o x x 0)()(00≥--x x x f x f .而)(0x f '是一个定数，因此它必须等于零，即)(0x f '=0.

对于)(x f )(0x f ≥的情形，也可相仿证明.

这个定理的几何意义是：如果曲线)(x f y =在0x 点具有极大值（也就是函数)(x f 在0x 点的值不小于)(x f 在0x 点近旁的其他点上的值）或者曲线)(x f y =在0x 点具有极小值（也就是函数)(x f 在0x 点的值不大于)(x f 在0x 点近旁的其他点上的值），并且曲线

)(x f y =在0x 点具有切线l ,那么，费马定理就表明了切线l 必为水平线.

【拉格朗日（Lagrange）中值定理】

这个定理也称为微分学的中值定理，它是微分学中的一个很重要的定理.

若函数)(x f 满足

（i）

在[]b a ,连续；（ii）在（b a ,）可导，

则在（b a ,）内至少存在一点ξ，使

)(ξf '=a

b a f b f --)()(.这个定理从几何图形上看是很明显的.画出[]b a ,上的一条曲线)(x f y =，连接A,B 两点，作弦AB，它的斜率是

=

ϕtan a b a f b f --)()(.下面对此定理给以证明.

证明不妨假设)(x f 在[]b a ,上不恒为常数.因为如果)(x f 恒为常数，则0)(='x f 在(b a ,)上处处成立，这时定理的结论是明显的.

由于)(x f 在[]b a ,连续，由闭区间连续函数的性质，)(x f 必在[]b a ,上达到其最大值M 和最小值m，我们分两种情形来证明.

(1)考虑特殊情形，)()(b f a f =.由于)(x f 不恒为常数，所以此时必有M >m,且M

和m 中至少有一个不等式.这时根据闭区间上连续函数的性质，在（b a ,）内至少有一点ξ，使得))(()(m f M f ==ξξ或者，于是对（b a ,）内任一点x ，必有

))

()()(()(ξξf x f f x f ≥≤或于是由费马定理，即得

0)(='ξf .

而此时0)()(=-a f b f ，这就证明了定理成立.

对于这样特殊情况的中值定理，也叫【罗尔（Rolle）定理】.

(2)考虑一般情形，)()(b f a f ≠.此时，作辅助函数[]

1

x a

b a f b f x f x ---=)()()()(ϕ由连续函数性质及导数运算法则，可知)(x ϕ在[]b a ,连续，且在（b a ,）可导，并且

)()()()(a a

b b af a bf b ϕϕ=--==.这就是说)(x ϕ满足上面的特殊情形，因此在（b a ,）内至少有一点ξ使

0)()()()(=---

'='a b a f b f f ξξϕ，即

a

b a f b f f --=')()()(ξ.这正是所证明的.定理结论的表达式也称中值公式或拉格朗日公式.它也经常用另一种形式表示，由于ξ是（b a ,）中的一个点，故可表示成)10)((<<++=θθξa b a ，于是定理的结论就可改成为在（0,1）中至少存在一个θ值，使

a b a f b f a b a f --=

-+')()())((θ，或

)))((()()(a b a b a f a f b f --+'=-θ.注意如果定理的条件不全满足，则其结论就不一定成立.例如函数x x f =)(在[]1,1-连续，但在(-1,1)不可导，容易知道在(-1,1)不存在这样的ξ，使0)(=ξf .

然而不能认为，如果定理的条件不全成立，那么一定没有适合定理结论的点ξ存在.事实上，可以很容易地举出例子在说明，即使定理的条件不全满足，但结论仍然可以成立.这就表明，定理的条件是充分的，但不是必要的.

作为拉格朗日中值定理的一个推广，还可以得到下面的定理.

【柯西中值定理】

若)(x f 与)(x g 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间（b a ,）内可导，并且0)(≠'x g ，则在（b a ,）内至少存在一点ξ，使

)

()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--.证明首先可以肯定)()(b g a g ≠，否则若)()(b g a g =，那么由拉格朗日中值定理，)(x g '在（b a ,）内存在零点，此与假设矛盾.

作辅助函数F(x)=))()(()

()()()()(a g x g a g b g a f b f x f ----,有F(a)=F(b),再运用拉格朗日中值定理，定理立即得证.

若去x x g =)(，则从定理3的结论立即得到拉格朗日中值定理.故拉格朗日中值定理是定理3的一个特例.【积分中值定理】

证明：设f(x)在上连续，且最大值为，最小值为，于是M x f m ≤≤)(。由积分不

等式的性质可得，即

由连续函数的介值定理可知，必定存在一点ε，使得

，即：