例谈二次方程整数解问题的解法

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二次方程的解法

二次方程的解法二次方程是一种常见的代数方程，它的一般形式可以表示为：ax^2 + bx + c = 0。

其中，a、b、c为实数，且a不等于0。

解二次方程意味着找到满足方程的x的值。

本文将详细介绍二次方程的几种解法。

一、配方法解二次方程配方法是一种常见而实用的解二次方程的方法。

首先，根据二次方程的一般形式，我们将方程变形为：（x + m)^2 = n，在此式中，m、n均为已知数。

配方法的基本步骤如下：步骤一：将二次项的系数整理为1。

如果二次项的系数不为1，我们可以通过约分的方式将其化简为1，例如，若二次项的系数为4，则可将方程除以4，使二次项系数化简为1。

步骤二：将方程左侧平方后，与右侧的常数项进行匹配合并，即将两个方程乘法展开后进行合并整理，将其变为一个完整的平方式。

步骤三：利用二次项系数的平方与平方根的性质，将方程进行转化。

即，以x + m为一个整体，通过将方程两端开方，消去平方项，得到新的方程。

步骤四：解方程，得到x的值。

通常情况下，解方程后会得到两个解，一个为正解，一个为负解。

二、因式分解解二次方程因式分解是解二次方程的另一种常用方法，通常适用于二次方程可分解成两个一次因式的情况。

其基本思路是将二次方程转化为两个一次方程，并求解这两个一次方程。

因式分解的基本步骤如下：步骤一：将二次方程的三个项分拆为两个因式相乘的形式。

例如，若方程为x^2 + bx + c = 0，则我们需要找到两个因式，使其相乘等于c。

步骤二：将方程转化为两个一次方程并解之。

将上一步中所找到的两个因式相等于零，分别得到两个一次方程，然后解这两个一次方程，得到x的值。

三、求根公式解二次方程求根公式也是解二次方程的一种常见方法，它可以通过已知二次方程的系数直接计算出方程的根。

求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，±表示两个相反的符号，它们对应于二次方程的两个不同解。

通过代入方程的系数，将求根公式中的值代入，即可得到二次方程的解。

一元二次方程整数根问题的解法技巧

7 7
时,
1 2
7 ( 舍去). 故所有正数 a 的和是: 1 +
①
+
2 (x + 6) ≥ 1, 解得 - 4 ≤ x ≤ 2. 取 x 的整数 (x + 2) 2 值为 x = - 4, - 3, - 1, 0, 1, 2, 分别代入 ①, 得 a 的整
26;
= [ a (a + 2) ] 2 是完全平方式, 则原方程可用十字相乘
当 2m + 1 = 49 时, m = 24, 方程两根分别为 38,
52.
法因式分解为: [ ax -
《数学教学通讯》 2005 年 9 月 ( 下半月) ( 总第 238 期) ③ 令 ∃ = p t + q = n 2 ( 或 ( 2n + 1) 2 ) , 由此求出 t 后代入原方程, 先求出两根, 再求参数. 例 5 ( 1991 年南昌市初中数学竞赛题) 已知 a 为整数, 方程 x + ( 2a + 1) x + a = 0 有整数根 x 1、 x 2,
6 (k + 1) = 1.
解得 k = 8, 或 k = 46. 分别代入
41 130 ,2或 , - 17. 9 9
原方程可解得方程的有理根为 -
∴ x 1 = - n2, x 2 = ∴
4 4
(n + 1) 2 ,
4
x2 1
-
x2 2
=
4
(- n2) 2
-
三、利用一元二次方程根与系数的关系求解
= k (k + 2) ,
2
k- 1 = 1k
1
k
( 因 k 为实数, 此时不能推出 k = 1, - 1) ・・ ② - ① 消去参数 k , 得 x 1 x 2 - x 1 - x 2 = 2,

一元二次方程整数解问题

一元二次方程整数解问题
对于“一元二次方程整数解问题”，我们首先一起来理解这个问题。

一元二次方程是数学中一种基础的方程形式，形如ax²+bx+c=0，其中a，b，c为已知数，x为未知数。

而整数解，则是指这个方程的解为整数。

给定一元二次方程ax²+bx+c=0，要求其整数解，我们需要先判断此方程是否有解。

这需要用到判别式Δ=b²-4ac。

如果Δ大于等于0，方程才有解。

得出两个根分别为x1=(-b+sqrt(Δ))/2a和x2=(-b-sqrt(Δ))/2a。

然后我们需要判断这两个根是否为整数。

即判断sqrt(Δ)是否为2a的倍数。

如果是，那么这两个解就为整数解。

例如，对于一元二次方程2x²-3x-2=0，首先计算判别式Δ=(-3)²-(4*2*-2)=25，然后求解得到两个根为x1=(3+sqrt(25))/2*2=5/2和x2=(3-sqrt(25))/2*2=-1/2。

可以看到这两个解都不是整数，所以这个方程没有整数解。

再例如，对于一元二次方程x²-5x+6=0，首先计算判别式Δ=(-5)²-(4*1*6)=1，然后求解得到两个根为x1=(5+sqrt(1))/2=3和x2=(5-sqrt(1))/2=2。

可以看到这两个解都是整数，所以这个方程的整数解为3和2。

通过以上的分析，你应该对一元二次方程整数解问题有所理解了。

若方程有解并且根为整数，则该方程有整数解；若没有解或者虽有解但解不为整数，则该方程没有整数解。

这就是一元二次方程整数解问题的全部内容。

与一元二次方程整数根相关题的解法

、
设｜／２＝显然ｍ应为奇数，ｍ＝ｋ１ｋ整数）则有６／７ｍ，＇，２令２＋（为，
１／７（Ｉ１即｜／－７４舭＋１简得：ｎ＝（＋）６，＝２＋），６，２＝ｋ＋／２２ｉ｝／２．化４２７ｋｋ１．
：２２／，得到的ｍ＋ ± 、
值都是正整数，以ｍ可取１４９１、５３、９所、、、６２、６４．
三、用求根公式、别式及完全平方数末位数字的特征利判例３ｎ正整数，证：＋ｎ＋７０有正整数根．是求８ｘ２＝没
例２已知ｍ是满足不等式１ ≤ｍ≤５的正整数，关于的一元０
二次方程（２）＋ — ｚ的两个根都是正整数，ｍ的值．一ｚ（ｍ）＝ｚ求分析：方程有整数根知，别式的值为完全平方数，利用由判再１ ≤ｍ≤５就可以求出ｍ的值．０
分析明根的判别式不是完全平方数即可．：证
２４证明：由求根公式有 —８＋Ｎ６ｎ：－ｎ／
— —
—
－
４ｘ２７
—
—
一
：
一
４ ± ／２２一ｎＮ＇－７．￣ｎ
下面说明｜ｎ－７是完全平方数．６２２不
等式的左边是奇数，边是偶数，盾．右矛

二次函数整数解问题

二次函数整数解问题说到二次函数，大家脑海中是不是立刻闪现出那个经典的抛物线呢？没错，二次函数就是那种形状像飞镖的曲线，虽然看上去简单，但它背后可藏着不少有趣的故事。

今天咱们就来聊聊二次函数里的整数解，听上去有点高大上，其实没那么复杂，咱们轻松愉快地聊一聊！想象一下，如果你在做一道数学题，突然被一个二次方程难住了，心里那个郁闷啊，简直像吃了个酸梅一样。

但如果我告诉你，这个方程的整数解其实就像找宝藏一样，哇，瞬间觉得有趣多了吧！二次方程通常是这种形式：ax² + bx + c = 0，听起来有点拗口，其实每个字母都代表着一个数字。

只要找到合适的整数，让整个方程成立，就像解开了一个谜团，真是让人心里乐开了花！咱们先来个简单的例子。

假如方程是x² 5x + 6 = 0，这可真是个“好朋友”，因为它的解非常友好。

你看看，这个方程能化简成 (x 2)(x 3) = 0，这样一来，x就变成了2或3。

你说，这不是“福无双至，祸不单行”嘛！整数解来了，大家欢喜得不得了，简直像过年一样热闹。

但如果方程一旦复杂起来，比如x² + x + 1 = 0，这就有点让人抓狂了。

因为你会发现，试遍了所有的整数，似乎都没有能让方程成立的。

这时候，心里就得琢磨，难道是遇到了“高不可攀”的挑战？其实这时候就得接受现实，承认这方程没有整数解，毕竟数学就是这样，既有甜蜜的果实，也有无法触及的云端。

不过，整数解不仅仅是个数字游戏，它还和很多现实生活中的问题有关。

想想那些装修、设计、建房子的小伙伴们，他们常常需要用到这些知识来确保每一寸空间都用得恰到好处。

比如，想把一个花园设计得美美的，得确保种植的花草能搭配得当，这就需要用到二次函数来计算曲线、面积等等。

瞧，这不就是“实用至上”吗？咱们平时在打游戏时，也有很多情况下需要用到二次函数。

比如，想要设计一个飞行的轨迹，或是规划一次完美的弓箭发射，都是需要用到这些数学知识的。

一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点

一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点，也是近几个全国初中数学竞赛考试的一个热点。

对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解。

实际上，经常要用到根的判别式、完全平方数的特征和数整除性的性质，以及这几种方法的结合来解题。

下面举几个常见的例子：例1，当 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根。

解法1：首先，m2-1≠0，m≠±1。

Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3。

用求根公式可得由于x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6；m+1=1，2，3，4，6，12，解得m=2。

这时x1=6，x2=4。

解法2 ：首先，m2-1≠0，m≠±1。

设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有m2=4，9，25才有可能，即m=±2，±3，±5。

经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根。

归纳：解法1先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题；解法2利用韦达定理，得到两个整数，再利用整数的整除性质求解。

例2，已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值。

分析：“至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根。

我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来。

解：因为a≠0，所以所以所以只要a是3或5的约数即可，即a=1，3，5。

例3，设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值。

例谈二次方程整数解问题的解法

例谈方程整数解问题的解法易永彪（新星学校浙江苍南 325800）在各级各类数学竞赛和高中自主招生考试中,二次方程整数解问题备受关注.它将古老的整数理论与传统的初中数学知识相结合,涉及知识面宽、范围广,往往需要灵活地运用相关概念、性质、方法和技巧,综合性强,对学生的能力有较高的要求.本文将对方程整数解问题解法与基本策略作一探索,旨在抛砖引玉.1 分解求根,整除性质例1、方程42242250n nm m m -++++=的正整数解有（） A 、1组 B 、2组 C 、4组 D 、无穷多组（2009年温州中学自主招生试题）分析：原方程可化为42(24)(25)0nnm m -+-+=,可得22[(25)](1)0nm m -++=,∵210m +>,∴225nm =+, 可知m 为奇数,不妨设21m k =+（k 为自然数）, 代入整理得：2212n k k -+-=.因为2k 与k 的奇偶性相同,所以21k k +-是奇数,不能被偶数整除, 故22n -只能为1.∴2n =,3m =,原方程只有1组正整数解,选A.例2、已知方程2222(38)213150a x a a x a a --+-+=(0a ≠)至少有一个整数根,求整数a的值.分析：∵2222(38)213150a x a a x a a --+-+=(0a ≠)∴[(5)][(23)]0ax a ax a ----= ∴1551a x a a -==-,22332a x a a-==-, ∵方程至少有一个整数根,a 为整数, ∴1a =,3,5,1-,3-,5-.评注：分析方程的形式特征,采用因式分解、求根公式等方法求得方程的根,再结合整除性质、奇偶性等进行解题.2 从∆入手,引入参数例3、已知p 为质数,使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数,求出p 的所有可能值.（上海市振宇杯初中数学竞赛题）分析：因为已知整系数二次方程有整数根,所以2244(51)4(51)p p p p ∆=---=+ 为完全平方数,从而,51p +为完全平方数.可设251p k +=.注意到2p ≥,故4k ≥,且k 为整数.于是(1)(1)5k k p +-=,那么1k +与1k -中至少有一个是5的倍数,即51k a =±（a 为正整数）, ∴2251(51)25101p a a a +=±=±+,∴(52)p a a =±, 由p 为质数,521a ±>,知1a =, ∴3p =或7,当3p =时,已知方程变成2670x x --=,解得11x =-,27x =；当7p =时,已知方程变成214130x x -+=,解得11x =,213x =. 所以3p =或7.评注：因为整系数二次方程有整数根,所以∆必为完全平方数.通过恰当设元、引入参数,利用因式分解、数论等方法,便可求得待定字母的值.3 韦达定理,消去参数例4、求使关于x 的方程2(1)10kx k x k +++-=的根都是整数的k 值. 分析：当0k =时,1x =符合题意；当0k ≠时,设方程2(1)10kx k x k +++-=的两根为1x 、2x （12x x ≤）, ∴12111k x x k k ++=-=-- ①, 12111k x x k k-==- ②, 由①-②得：12122x x x x +-=-,∴12(1)(1)3x x --=∴121113x x -=⎧⎨-=⎩,121311x x -=-⎧⎨-=-⎩, ∴1224x x =⎧⎨=⎩,1220x x =-⎧⎨=⎩,∴117k =-,21k =.综上所述,满足题意的k 值为10k =,217k =-,31k =. 例5、已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程2x ax b ++=的两个根都大1,求a b c ++的值. （2011年全国初中数学竞赛试题）分析：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，,其中αβ，为整数,且α≤β,则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，,由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，,两式相加得2210αβαβ+++=,即(2)(2)3αβ++=,所以2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，, 故3a b c ++=-或29.评注：从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程,借助因数分解、因式分解求解.4 变更主元,反客为主例6、若关于x 的方程22(3)(13)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根,求非负整数a 的值. 分析：当0a =时,6130x --=,136x =-不合题意, ∴0a ≠, ∵22(3)(13)0ax a x a +-+-= ∴2(1)613x a x +=+ ∴26131(1)x a x +=≥+ ∴24120x x --≤ ∴26x -≤≤ ∵x 为整数,1x ≠-,∴2,0,1,2,3,4,5,6x =-, 把x 分别代入求得a 的值,且a 为非负整数,∴1a =,13.评注：当方程中参数的次数较低时,可以利用变更主元的方法,促使主元与辅元、常量与变量的相互转化.当然,解题时应认真分析题意,根据题目的形式特征,选择合适的解题切入点,灵活应用上述基本方法,定能做到得心应手、左右逢源.。

二次方程的解法

二次方程作为数学中的重要概念之一，是解决特定类型方程的一种方法。

它的一般形式是：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c代表实数常量，a ≠ 0。

而解如何求呢？接下来让我们一起探讨二次方程的解法。

首先，我们可以利用配方法来解二次方程。

对于一般二次方程ax² + bx + c = 0，当系数a不等于1时，我们可以通过配方，将方程转化为一个完全平方得以解答。

具体步骤如下：1.将方程左右两边凑齐成一个完全平方。

2.将方程左边进行平方运算，得到x² + 2ax + a²。

3.将方程右边加上一个适当的常数，使得方程两边平衡。

这个常数需要等于左边的常数项的一半，也就是常数项b的一半，即(x + a)² - a² + c。

4.将方程两边进行平移和相减，然后再开平方即可得到x。

接下来，我们可以尝试计算一个实例，来进一步加深对配方法的理解。

例如，我们要解方程2x² + 7x - 3 = 0。

根据配方法，我们可以将方程转化为(x + a)² - a² + c = (x + a)² - a² + (-3)。

我们需要找到一个常数a，使得a的平方等于常数项3的相反数。

在本例中，我们可以取a = 3。

将a带入方程，得到(x + 3)² - 3² + (-3) = 0。

化简方程，得到(x + 3)² - 12 = 0。

继续化简方程，我们得到(x + 3)² = 12。

接下来，我们可以对方程两边开平方，得到x + 3 = ±√12。

继续计算，我们可以得到x = -3 ±√12。

因此，给定方程2x² + 7x - 3 = 0的解为x = -3 ±√12。

除了配方法外，我们还可以使用因式分解法来解二次方程。

因式分解法是通过将方程变为两个一次方程的乘积形式进行求解。

一元二次方程的整数根问题讲解

一元二次方程的整数根问题讲解资料编号:202209071101对于含参一元二次方程,我们经常会遇到整数根的问题.这类问题的解决,往往要借助公式法或因式分解法,用参数表示出方程的两个实数根（或表示出其中一个实数根）,然后对结果进行变形处理,并作出讨论.得出参数的值之后,需要进行检验,看参数的值是否符合题意.例1. 已知关于x 的一元二次方程()0222=++-x m mx .（1）证明:不论m 为何值,方程总有实数根;（2）m 为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?分析:（1）要证明一元二次方程总有实数根,只需证明总有△≥0即可,注意△≥0是要证明的结论,不是证明的条件;（2）利用公式法或因式分解法,用参数表示出方程的根,然后对结果进行变形或作出讨论.得出参数的值后需要进行检验.（1）证明:()[]m m 822-+-=∆()22244-=+-=m m m ∵()22-m ≥0∴△≥0∴不论m 为何值,方程总有实数根;（2）解:()0222=++-x m mx ()m m m m m m x 2222222-±+=-±+=∴mm m m x m m m m m x 2222,12222221=+-+===-++= ∵m 为整数,21,x x 为正整数∴1=m 或2=m由题意可知:12≠m,∴2≠m ∴1=m .点评（1）也可利用因式分解的方法求解方程,如下:由题意可知:0≠m()0222=++-x m mx()()()()02101210222=--=---=+--mx x x x mx x mx mx∴01=-x 或02=-mx ∴mx x 2,121==. （2）若把题目改为“已知关于x 的方程()0222=++-x m mx .”结果又将如何? 例2. 已知关于x 的一元二次方程05242=+--m x x 有两个不相等的实数根.（1）求实数m 的取值范围;（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数m 的值.分析:（1）根据方程有两个不相等的实数根,即0>∆,建立关于参数m 的不等式求解;（2）这里对参数m 的要求比较苛刻,有三点:①m 的值是整数;②保证方程的两个根符号相同;③保证方程的两个根都是整数.注意,最后要对求出的m 的值进行检验.解:（1）由题意可得:()()025442>---=∆m 解之得:21>m ; （2）由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧>->02521m m 解之得:2521<<m ∵m 为整数∴1=m 或2=m .当1=m 时,0342=+-x x ,解之得:3,121==x x ,符合题意;当2=m 时,0142=+-x x ,解之得:32,3221-=+=x x ,不符合题意,舍去. 综上所述,整数m 的值为1.例3. 已知关于x 的一元二次方程()01222=+++-k k x k x .（1）求证:无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）如果方程的两个实数根为21,x x ,且k 与21x x 都为整数,求k 所有可能的值. 分析:（1）只需证明无论k 取何值,都有0>∆即可;（2）由求根公式或因式分解的方法,求出方程的两个实数根,分别作为21,x x ,共有两种表示结果,分两种情况讨论.（1）证明:()[]()k k k +-+-=∆22412 ()01441222>=--+=k k k ∴无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）解:()01222=+++-k k x k x21122112±+=±+=k k x ∴k k x k k x =-+=+=++=2112,1211221或1,21+==k x k x 当k x k x =+=21,1时,k k k x x 11121+=+= ∵k 与21x x 都为整数 ∴1-=k 或1=k ;当1,21+==k x k x 时,111111121+-=+-+=+=k k k k k x x ∵k 与21x x 都为整数 ∴0=k 或2-=k .综上所述,1-=k 或1=k 或0=k 或2-=k . 例4. 关于x 的一元二次方程()01212=++--m mx x m .（1）求出方程的根;（2）m 为何整数时,此方程的两个根都为正整数? 解:（1）由题意可知:01≠-m ,1≠m . ()()()()()11122212114222-±=-±=--+--±=m m m m m m m m m x ∴111,1121=--=-+=m m x m m x ; （2）∵m 为整数,21,x x 为正整数121121111-+=-+-=-+=m m m m m x ∴11=-m 或21=-m∴2=m 或3=m .。

一元二次方程整数根问题的题与解法

一元二次方程整数根问题解题探析福建漳平市官田中学（364412）李阿明一元二次方程整数根问题是初中数学竞赛常见的题型。

它的解答方法在一些杂志上有了介绍，但大部分没有总结出规律性解法。

学生在解答这类问题时，仍然要走很多的弯路，甚至茫然不知所措，无从思考。

本文将常见的一元二次方程整数根问题的解法进行归类，并做具体的解题指导，供同学们参考。

一、观察已知的方程的两根能否先求出。

若能先求出根（当然这里能求出的是含有字母系数的根），再根据整数的特点，确定字母系数的取值。

例1 已知方程（a 2 – 1）x 2 – 2(5a+1)x +24 =0有两个不相等的负整数根根，则整数a =解析：在a 2 – 1≠ 0条件下，可求得方程的两个根x 1 = ，x 2 = ；由x 1是负整数可得a 的可能值为：- 2，-3，-5；由x 2是负整数可得a 的可能值为：- 1，-2，-5；取相同的a 值- 2、- 5，即为所求。

评注：原方程的两根可以先求出（用a 表示），利用整除的性质，确定出所有的a 的可能值。

14+a 16-a二、利用一元二次方程有整数根的必要条件是根的判别式为完全平方数，确定字母系数的取值（范围）。

例2 已知方程x2 + kx – k + 1 = 0(k为整数)有两个不相等的整数根，刚k =解析：依题意可知∆ = k2 + 4k - 4是完全平方数，不妨设该平方数为t2,则k2 + 4k – 4= t2, (k + t +2)(k+2 -t) = 8(k + t +2)与(k+2 -t)同奇偶且8是偶数，所以有：解得k = 1 或– 5经检验：k = 1 或– 5满足题目的要求。

评注：此题的关键在于设根的判别式为t2（t为整数），然后利用整数整数=整数，列举出所有的可能的因数积，从而巧妙求出k的值。

三、利用根与系数的关系，转化为整数积的形式，讨论字母系数的可能取值。

例3 求所有有理数r,使得方程rx2 + (r+1)x + r – 1= 0的所有根为整数。

二次函数与整数根的问题

整数根问题把传统的方程知识与古老的整数理论相结合; 不但涉及解方程、根的判别式等知识，而且又关联着整除、奇数与偶数的性质等整数知识. 整数根也是研究初中数学中的“数”与“形”关联问题的一个非常奇妙的“桥梁”；通过对整数根的探索，能提高学生利用方程建立数学模型来解决问题的能力和综合运用知识的能力.
a 1 2 x2 1 a 1 a 1
利用整除性求解
①从求根入手：若根可用有理式表示，则求出根，结合整除求解；
a 1 = 1, 2
例2
当 m 是什么整数时，关于 x 的
2
一元二次方程 mx 4 x 4 0 与
x2 4mx 4m2 4m 5 0
④巧选主元：当方程中参数次数较低时，选择参数为主元求解;
例 1 已知关于 x 的二次方程
2 a 1 x 2x a 1 0
的根都是整
数，求符合条件的整数 a.

a 1
4a
2
判别式为完全平方，可求根
a 1 x1 1, x2 a 1
转化为分解分式
方程整数根
小专题---有理根、整数根问题（不深入）
解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本方法有： ①从求根入手：若根可用有理式表示，则求出根，结合整除求解； ②运用判别式：在二次方程有解的前提下运用判别式求出参数或根的取值范围，通过枚举讨论、不等分析求解；或利用奇偶性求解 ③ 利用韦达定理的关系：有韦达定理得到含参数的关系式，消元参数，利用因数分解、因式分解解含两根的不定方程
整数，求 m.
4 2m 1
判别式非完全平方式，不求根．结合已知列不等式
9 2 m 1 81.

二次不定方程的一些初等解法

二次不定方程的一些初等解法
求解二元一次不定方程一般利用下面定义定理分成以下步骤求整数。

第一步：判断是否有解。

(用定理1)
第二步：找出方程一组特解(x0,y0).一般对于系数较小时可试根得到。

如果系数较大，可用辗转相除法来求。

第三步：写出不定方程通解式。

(用定理二).
例1.求3x+21y=118的整数解。

解：由于3与21的最大公约数(3,21)=3,而118不能被3整除，故方程无整数解。

例2.求3x+21y=117的正整数解。

解：去除x,y系数的最大公约数：x+7y=39
因x系数为1较小，试根，显然x=39,y=0是一组解(特解)。

因此，方程的通解为：x=39-7t,y=t.
要使解为正整数，t只能取为1，2，3，4，5.代入后就能得到相应的5组解。

例3.求119x-38y=887的整数解。

解：因系数较大，用辗转相除法求解。

(119,38)=(38*3+5,38)=(5,38)=1,故方程有整数解。

方程变形为：5x+38(3x-y)=887=38*23+13;5x+38(3x-y-23)=13.
若令x1=x,y1=3x-y-23,那么上面方程变为：5x1+38y1=13
又38=5*7+3，13=5*2+3，将方程变形为：5(x1+7y1-2)+3y1=3
再令x2=x1+7y1-2,y2=y1,则5x2+3y2=3.
这个方程系数已很小，容易观察或试根得：x2=0,y2=1是一个特解，往回代得，x1=-5,y1=1,进而x=-5,y=-39.
最后写出通解式：x=38t-5,y=119t-39,t为任意整数。

一元二次方程的整数根问题的解题策略分析

一元二次方程的整数根问题的解题策略分析摘要：一元二次方程的整数根问题是初中数学竞赛常见的题型，由于这类问题涵盖了整数的性质，一元二次方程的相关知识，并且融合了许多数学思想方法而备受命题者的青睐，然而笔者发现，许多学生在解答这类问题时，仍然没有系统的思考方法，还要走很多的弯路，有时对题目甚至无从下手。

本文将常见的一元二次方程整数根问题的解法进行了整理，现分类讲解如下。

关键词：一元二次方程整数根整除根与系数关系一、利用一元二次方程两根的因式分解形式求解例1、当m是什么整数时，关于x的一元二次方程x2-mx-2m2-4=0的根为整数。

分析与解：由原方程得：x2-mx-2m2-4=4，分解因式，得(x+m)(x-2m)=4由于x、m均为整数，所以x+m、x-2m也为整数，故它们的取值有如下可能：解得，当m=0时，x=±2；当m=1时，x1=3,x2=-2；当m=-1时，x1=-3,x2=2；综上所述：当m=0、-1、1时，原方程的根为整数。

说明：当一元二次方程的根与参数都为整数时，可以利用因式分解将一元二次方程ax2+bx+c=zh整数（a≠0）化为a（x-x1）(x-x2)=整数（a≠0）的形式后再利用整除的性质求解。

二、利用一元二次方程根的判别式求解例2、m是何整数时，关于x的一元二次方程(m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根。

分析与解：由题意可知，m2-1≠0，即m≠±1，△=36（m-3）2，发现△是一个完全平方式，即方程的两根是可以表示为两个有理式：再利用整除性，要使得x1,x2都是正整数，则m-1=1、6、2、3；m+1=1、12、2、6、3、4，即可解得m=2、3，又考虑到方程是两个不相等的实数根，所以m≠3，综上所述：m=2。

说明：当判别式△是一个完全平方式或完全平方数时，即一元二次方程的根可以用有理式表示，则可直接求出方程的两根，再结合整除的性质进行求解；例3、当m是何整数时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数。

初中数学什么是一元二次方程的整数解

初中数学什么是一元二次方程的整数解一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b 和c是已知的实数常数，且a ≠ 0。

整数解是指能够使方程成立的整数值，即满足方程的x 值为整数。

要确定一元二次方程的整数解，我们可以使用以下方法：1. 因式分解法-如果一元二次方程可以被因式分解为(x - m)(x - n) = 0的形式，其中m和n都是整数，那么方程的整数解就是m和n。

-例如，方程x² - 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，所以方程的整数解是2和3。

2. 求根公式法-如果一元二次方程无法通过因式分解来求解，我们可以使用求根公式来计算方程的解。

-一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。

-在使用求根公式时，我们需要保证判别式D（即b² - 4ac）是完全平方数，这样才能得到实数解，其中a、b和c都是整数。

-如果判别式D是完全平方数，那么方程的解可以通过求根公式计算得到，并且解是整数解。

-例如，方程x² - 7x + 10 = 0，判别式D = (-7)² - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9，9是完全平方数。

-通过求根公式计算得到x = (7 ± √9) / 2 = (7 ± 3) / 2，所以方程的两个解分别是5和2，都是整数。

3. 综合判断-除了以上两种方法，我们还可以综合使用因式分解和求根公式的思想来判断方程是否有整数解。

-如果方程无法通过因式分解且判别式D不是完全平方数，那么方程没有整数解。

-例如，方程x² - 6x + 8 = 0，无法因式分解，判别式D = (-6)² - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4，4不是完全平方数。

一元二次方程整数根问题

一元二次方程整数根问题整数根问题是指求解方程中的根为整数的问题。

对于一元二次方程，其解可以通过求根公式得到，即：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)要使方程的解为整数，那么√(b^2 - 4ac) 必须是一个整数，并且分子(-b ± √(b^2 - 4ac))能够被2a整除。

现在我们来讨论一元二次方程整数根问题的求解方法。

首先，我们需要判断方程是否有整数解。

根据韦达定理，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个根x1和x2的和等于-b/a，两个根的乘积等于c/a。

因此，如果b^2 - 4ac是一个完全平方数，并且b也能够被2a整除，那么方程就存在整数解。

接下来，我们需要找出满足上述条件的完全平方数以及能够整除b的2a的因子。

对于完全平方数的判断，一种常见的方法是通过试除法，即从1开始逐个尝试将数字平方，并与b^2 - 4ac进行比较。

如果找到一个平方数等于b^2 - 4ac，则方程存在整数解；否则，方程不存在整数解。

对于能够整除b的2a的因子的查找，我们可以通过因式分解的方式来获取对应的因子。

具体步骤如下：1.判断方程是否有整数解：- 计算判别式D = b^2 - 4ac；-判断D是否为完全平方数：（此处省略使用试除法判断完全平方数的具体步骤）；-判断b是否能够被2a整除；2.若方程有整数解，则寻找满足条件的解：-进行因式分解：将2a进行因式分解，找出所有的因子；-判断每个因子能否整除b；-若能整除b，则代入一元二次方程并计算解；通过上述步骤，我们可以找到一元二次方程的整数根。

需要注意的是，在实际求解过程中，可能会遇到以下情况：-判别式D不是一个完全平方数；-方程的系数a和b的范围较大；-存在复数解或实数解而非整数解；对于D不是完全平方数的情况，方程不存在整数解。

此时，我们可以考虑使用其他方法，如试除法、辗转相除法等寻找方程的实数或复数解。

解多项式方程的常见方法与技巧

解多项式方程的常见方法与技巧多项式方程是以未知数的幂指数递减排列的代数方程，广泛应用于数学和科学领域。

解多项式方程是数学中重要的任务之一。

本文将介绍解多项式方程的常见方法与技巧，并提供详细的步骤和示例以帮助读者更好地理解和应用这些方法。

一、整数解法整数解法是解决多项式方程中整数解的方法之一。

其思路是通过整除、因式分解等方式找到方程的整数解。

下面通过一个简单的例子来说明该方法的应用：例1：解方程2x^2 - 3x - 2 = 0这是一个二次方程，我们首先考虑整数解，根据因式分解的思路，我们将方程进行因式分解：2x^2 - 3x - 2 = (2x + 1)(x - 2) = 0由此可得到两个因式：2x + 1 = 0 和 x - 2 = 0。

令2x + 1 = 0，解得x = -1/2；令x - 2 = 0，解得x = 2。

因此方程的整数解为x = -1/2和x = 2。

二、有理数解法有理数解法是解决多项式方程中有理数解的方法之一。

其核心思想是通过有理根定理找到方程的有理数解。

有理根定理表明，如果一个多项式方程有有理数解p/q（p和q互质），那么p是方程常数项的因子，q是方程最高次项系数的因子。

例2：解方程x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0首先，根据有理根定理，我们可以列出所有可能的有理数解，即将方程的常数项和最高次项的因子进行排列组合。

在本例中，最高次项的因子是1，常数项的因子是1和2。

因此可能的有理数解为±1, ±2。

我们可以通过试除法得到方程的有理数解。

试除1，计算结果为0；试除-1，计算结果也为0。

试除2，计算结果为0。

因此方程的有理数解为x = 1和x = -2。

三、二次方程的解法二次方程是多项式方程中最常见的形式之一，解二次方程有多种方法，如因式分解法、配方法和求根公式等。

以下将介绍其中两种常用的解法：1. 因式分解法通过将二次方程进行因式分解，将其转化为两个一次方程相乘的形式。

二次方程的整数解问题

１分离整数法
或二元一次不定方程，而求出原方程的整数解，从
例２满足１９＋ｍ９８＝１９＋ｎ（９７０＜ｍ＜ｎ＜１９）９８的整数对（ｎ共有多少个．。ｍ，）
（９８年全国数学竞赛试题）１９分析利用平方差公式可将ｍ，ｎ降为一次式，ｍ＋ｎ即
分析
把ｍ用含ｎ的代数式表示，分离其整数部分并
因为ｎ＋ｎ—ｍ均为正整数，以ｍ，所
（简称分离整系数法）再结合整除知识，，求出ｍ的最大值．
解由８＋ｎ＝ｍ９ｍｎ＋，得６可
９ｎ一６
ｍ
ｉ，】４ｉｍ５４ｒ７７ｍｌ７ｎ＝ × ｒ＝× ＋＋臧ｎ＿；一７
毒
．
③ 当ｎ＞ｂ＞ｃ时，ｎ＝ｎ＋１ｂ＝ｎｃ＝ｎ一１于是设，，，
（１＝（ｎ）即ｎ３ｎ＋）ｎ２一１，一ｎ一１，式无整数解．＝０此
综上所述，只存在唯一一个三角形，３边长为４５６其，，是连续正整数，且其中一个内角为另一个内角的２倍．
又可分为如下几种局部情况：
ｑ当ｎ＞＞ｂ时，ｎ＝ｎ＋１ｃ＝ｎｂ＝ｎ一１由ｎ）ｃ设，，，＝
ｂｂ）（（＋ｃ得ｎ＋１＝（）ｎ一１（ｎ一１，得ｎ＝，时，）２）解５此ｎ＝
６，ｃ＝５，ｂ＝４．
（）１当一个三角形有一个内角为另一个内角的２倍时，
（００年新加坡数学竞赛试题）２０

二次方程的整数解洋葱数学

二次方程的整数解洋葱数学
摘要：
一、二次方程整数解的概念
1.二次方程的定义
2.整数解的意义
二、二次方程整数解的求解方法
1.因式分解法
2.完全平方公式法
3.直接开平方法
三、二次方程整数解的实际应用
1.洋葱数学中的二次方程整数解问题
2.二次方程整数解在实际生活中的应用
正文：
二次方程的整数解是指二次方程的解为整数。

二次方程是形如
ax+bx+c=0 的方程，其中a、b、c 为已知实数，且a≠0。

整数解是指方程的解为整数，而非分数或无理数。

求解二次方程的整数解在数学领域有着广泛的应用，例如在洋葱数学中，二次方程整数解的相关知识是学习中的重点和难点。

求解二次方程的整数解有多种方法，常用的有因式分解法、完全平方公式法和直接开平方法。

因式分解法是将二次方程转化为两个一次方程相乘的形式，从而求得整数解。

完全平方公式法是利用完全平方公式将二次方程转化为
一个平方项和一个常数项相加的形式，从而求得整数解。

直接开平方法是利用开平方法直接求解二次方程的整数解。

二次方程的整数解在实际生活中也有广泛的应用。

例如，在洋葱数学中，二次方程整数解问题常常出现在几何、代数等各个领域。

通过求解二次方程的整数解，可以帮助我们更好地理解这些领域的知识，并将其应用于实际问题中。

此外，二次方程整数解在物理学、工程学等领域也有着重要的应用价值。

总之，二次方程的整数解是数学中的一个重要概念，掌握其求解方法及实际应用对于学习数学和解决实际问题具有十分重要的意义。

例谈二次方程整数解问题的解法

二次方程的解法

一元二次方程整数根问题的解法技巧

一元二次方程整数解问题

与一元二次方程整数根相关题的解法

二次函数整数解问题

一元二次方程的整数解问题是初中数学竞赛中的一个重要知识点

例谈二次方程整数解问题的解法

二次方程的解法

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一元二次方程整数根问题的题与解法

二次函数与整数根的问题

二次不定方程的一些初等解法

一元二次方程的整数根问题的解题策略分析

初中数学 什么是一元二次方程的整数解

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