数学模型经典例题
数学建模例题
例1 怎样使饮料罐制造用材最省的问题．首先，把饮料罐假设为正圆柱体(实际上由于制造工艺等要求，它不可能正好是数学上的正圆柱体，但这样简化确实是近似的、合理的)．在这种简化下，我们就可以来明确变量和参数了，例如可以假设：V一罐装饮料的体积，r一半径，h一圆柱高，b一制罐铝材的厚度，l一制造中工艺上必须要求的折边长度。
上面的诸多因素中，我们先不考虑l这个因素．于是：由于易拉罐上底的强度必须要大一点，因而在制造上其厚度为罐的其他部分厚度的3倍．因而制罐用材的总面积A＝，每罐饮料的体积V是一样的，因而V可以看成是一个常数(参数)，解出A：代入A得：从而知道，用材最省的问题就是求半径r使A(r)达到最小。
A(r)的表达式就是一个数学模型。
可以用多种精确的或近似的方法求A(r)最小时相应的r。
从而求得例3 数据拟合模型在数学建模过程中，常常需要确定一个变量依存于另一个或更多的变量的关系，即函数。
但实际上确定函数的形式（线性形式、乘法形式、幂指形式或其它形式）时往往没有先验的依据。
只能在收集的实际数据的基础上对若干合乎理论的形式进行试验，从中选择一个最能拟合有关数据，即最有可能反映实际问题的函数形式，这就是统计学中的拟合回归方程问题。
“人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础。
有人口统计年鉴，可查的我国从1949年至1994年人口数据智料如下：年份1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994人口数(百万)541.67602.66672.09704.99806.71908.59975.421106.761176.74分析：（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。
（2）估计出这图象近似地可看做一条直线。
（3）用以下几种方法（之一）确定直线方程，并算出1999年人口数。
方法一：先选择能反映直线变化的两个点，如（1949，541.67），（1984，1034.75）二点确定一条直线，方程为N = 14.088 t – 26915.842代入t =1999,得N »12.46亿方法二：可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t = 1999代入，分别求出人口数，在取其算数平值。
初中数学模型大全及解析
初中数学模型大全及解析数学模型是数学知识在实际问题中的应用，是数学与实际问题结合的一种形式。
在中学阶段，数学模型应用较为广泛。
下面是初中数学模型大全及解析，供大家参考。
1. 等差数列模型等差数列是一组数，其中每一项与它的前一项的差值相等。
在实际问题中，等差数列模型可以用来描述增长、减少、变化等情况。
例题：某学校的学生人数从2015年到2019年的变化情况如下表所示，若学生人数呈等差数列增长，求2019年的学生人数。
| 年份 | 学生人数 ||------|----------|| 2015 | 1000 || 2016 | 1100 || 2017 | 1200 || 2018 | 1300 |解析：设2015年的学生人数为a，每年增加的人数为d，则有： a + 3d = 1200a + 4d = 1300解方程得a=900，d=100，故2019年的学生人数为a+4d=1300人。
2. 利润模型利润是企业经营的重要指标之一，它是指企业销售收入与成本之差。
利润模型可以用来计算企业的销售目标、成本控制等问题。
例题：某工厂生产一种产品，每件售价为100元，生产一件产品的成本为70元。
如果该工厂每月销售量为5000件，求该工厂每月的利润。
解析：每件产品的利润为100-70=30元，每月的销售收入为100×5000=500000元，每月的成本为70×5000=350000元，故该工厂每月的利润为500000-350000=150000元。
3. 百分数模型百分数模型常用于比例问题的解决。
在实际问题中，可以用百分数模型计算增减比例、税率、折扣等。
例题：某商场打折促销，打8折后，一件原价500元的商品现在售价为多少？解析：打8折即为原价的80%，故售价为500×80%=400元。
4. 平均数模型平均数模型可以用来求一组数据的平均值，常用于统计分析中。
例题：某班级10名学生的语文成绩为60、70、80、85、90、88、77、75、79、83，求该班级的平均分。
数学建模例题题
数学建模试题一、传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
要求：请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？二、线性规划模型—销售计划问题某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。
要求：若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型，并用软件求解。
【注】线性规划在MATLAB的库函数为：linprog。
语法为：x = linprog(f,A,b)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)例如：线性规划目标函数的系数：f = [-5; -4; -6]约束方程的系数及右端项：A = [1 -1 13 2 43 2 0];b = [20; 42; 30];lb = zeros(3,1);调用线性规划程序linprog求解，得：[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);x= 0.000015.00003.0000三、一阶常微分方程模型—人口模型与预测 下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。
数学建模经典例题
A题机组组合问题当前的科学技术还不能有效地存储电力，所以电力生产和消费在任何时刻都要相等，否则就会威胁电力系统安全运行。
又由于发电机组的物理特性限制，发电机组不能够随心所欲地发出需要的电力。
为了能够实时平衡变化剧烈的电力负荷，电力部门往往需要根据预测的未来电力负荷安排发电机组起停计划，在满足电力系统安全运行条件下，追求发电成本最小。
在没有电力负荷损耗以及一个小时之内的电力负荷和发电机出力均不变的前提下，假定所有发电机组的发电成本都是由3部分组成，它们是启动成本（Startup Cost），空载成本（No load cost）和增量成本（Incremental Cost）。
需要考虑的约束有：1．负荷平衡约束：任何小时，电力负荷之和必须等于发电机发电出力之和。
2．系统备用约束：处于运行状态的发电机的最大发电能力减去其出力称为该发电机的备用容量，处于停运状态的发电机的备用容量为0。
任何小时，发电机的备用容量之和必须大于系统备用要求。
3．输电线路传输容量约束：线路传输的电能必须在它的传输容量范围内。
4．发电机组出力范围约束：处于运行状态的发电机组的发电出力必须小于其最大发电能力（Pmax, MW）。
5．机组增出力约束（Ramp Up, MW/h）：发电机组在增加发电出力时，不能太快，有一个增加出力的速度上限，在一定时间内（通常是10分钟，为简单起见，本题取1个小时）不能超过额定范围。
6．机组降出力约束（Ramp Down, MW/h）：与机组增出力约束类似，发电机组在减少发电出力时也有一个减少出力的速度上限。
问题1：3母线系统有一个3母线系统，其中有2台机组、1个负荷和3条输电线路，已知4个小时的负荷和系统备用要求。
请求出这4个小时的最优机组组合计划。
最终结果应该包括总成本、各小时各机组的状态、各小时各机组的发电出力和各小时各机组提供的备用。
所有数据请见下面图及表格，“3BusData”目录中还有包含了本题所有表格数据的5个xml文件。
(完整版)初中常用数学模型
如图，如果AB ‖DE ，且C 为AE 中点，则有△ABC ≌△EDC 很好证的，当然十分实用，经常需要添加辅助线（例如延长）【例题1】（2014 深圳某模拟）【例题2】（2014 深圳）答案：1.32；2.D如图，若∠B=∠C=∠DEF=α（0<α≤90)则一定有△BDE与△CEF相似。
十分好证（外角和什么一大堆），并且也很实用。
经常在矩形里出题。
【例题1】（2009 太原）【例题2】（2006 河南）【例题3】（原创）答案：1. 2或3-24或25 2.(5453-，) 【3】巧造旋转模型在某些几何题中，往往有一些奇怪的结论，此时可以通过几何三大变换之一【旋转】求解。
巧造旋转往往要有一定的等量关系和特殊角度，如下题：通过观察可得∠ABC=∠C=45°，AB=AC 。
我们可以将△ACD 绕A 顺时针旋转90°得到△ABE ，使得AC 与AB 重合。
那么就有EB ⊥BC ，而在RT △AED 中，DE ²=2AD ²（等腰直角三角形） 所以BE ²+BD ²=DE ²，即BD ²+CD ²=2AD ²是不是赶脚很难想到？要学会判断，这种感觉是要练出来的！ 【例题1】（2014 武汉）【例题2】【例题3】（2014 菏泽改编）答案：1.41 2.9 3.(1.)2，(2.)直角三角形，旋转后证全等，证明略【4】等腰模型这是一个很基础的模型——什么样的结构会生成等腰三角形首先：平行+角平分线，如图，若AD‖BE，BC平分∠ABE，则AB=AC，很好证的，导角即可。
其次：垂直+角平分这个不难理解，因为等腰三角形三线合一。
这种模型很常用，常常需要做辅助线（延长之类）【例题1】（原创）AB‖CD【例题2】（原创）【例题3】（改编）1.112.33.延长CD交AB于M，利用中位线，证明略【5】倍长中线法常考，选填大证明都可能会用。
数学建模例题和答案
数学建模例题和答案
题目：
一个汽车公司拥有两个工厂，分别生产两种型号的汽车，A型和B型，每种型号的汽车都有一定的销售价格。
现在，该公司需要在两个工厂中生产A型和B型汽车，使得总收入最大。
答案：
1、建立数学模型
设A型汽车在第一个工厂生产的数量为x，在第二个工厂生产的数量为y，A型汽车的销售价格为a，B型汽车的销售价格为b，则该公司的总收入可以表示为：
总收入=ax+by
2、确定目标函数
由于题目要求使得总收入最大，因此可以将总收入作为目标函数，即：
最大化Z=ax+by
3、确定约束条件
由于两个工厂的生产能力有限，因此可以设置约束条件：
x+y≤M，其中M为两个工厂的总生产能力
4、求解
将上述模型转化为标准的数学规划模型：
最大化Z=ax+by
s.t. x+y≤M
x≥0,y≥0
由于该模型是一个线性规划模型，可以使用数学软件进行求解，得到最优解：
x=M，y=0
即在第一个工厂生产M件A型汽车，在第二个工厂不生产B型汽车，此时该公司的总收入最大，为Ma。
中学数学建模经典例题
中学数学建模经典例题中学数学建模经典例题包括：1.最大利润问题：某公司生产一种产品，每件成本为3元，售价为10元，年销售量为10万件。
为了扩大销售量，公司计划通过广告宣传来增加销售量。
经调查发现，广告费用与年销售量之间的关系可以近似地用函数y=−0.2x+10来表示，其中x为广告费用（单位：万元）。
问：广告费用为多少时，公司可获得最大年利润？2.最小费用问题：某公司需要将货物从甲地运往乙地，由于路途遥远，需要采用飞机、火车、汽车三种运输方式来完成。
运输方式的费用分别为x万元、y万元、z万元。
三种运输方式的单程运输能力分别为10万吨、15万吨、5万吨，而货物的总重量为35万吨。
为确保运输过程顺利进行，单程运输能力不能超过总重量。
请为该公司设计一个总费用最少的运输方案，并求出最少的总费用。
3.最小路径问题：某城市有若干个居民小区，每个小区有一定数量的居民。
为了方便居民出行，市政府计划修建地铁连接这些小区。
已知任意两个小区之间的距离可以近似地用欧几里得距离来表示，而修建地铁的费用与小区之间的距离成正比。
问：市政府应该如何规划地铁线路，使得总费用最低？4.人口预测问题：某城市的人口数量在过去几年里呈现出指数增长的趋势。
已知该城市的人口数量在过去的几年中每年以10%的速度增长，并且目前该城市的人口数量为50万。
我们要预测未来5年该城市的人口数量。
5.资源分配问题：某公司拥有一定的资源，需要将其分配给若干个项目以获得最大的收益。
每个项目的收益与分配到的资源数量成正比，而不同项目之间的收益增加率是不同的。
问：公司应该如何分配资源，使得总收益最大？这些例题涵盖了中学数学建模的多个方面，包括函数模型、最优化问题、线性规划等。
通过这些例题的解答，可以帮助学生提高数学建模的能力和解题技巧。
12345模型的经典例题
12345模型的经典例题12345模型是一种常见的数学模型，其基本思想是将一个问题分成五个步骤，分别是：问题描述、建立假设、分析模型、解决问题、检验结果。
下面是一道经典的12345模型例题：某公司生产两种产品，产品A和产品B，它们的生产成本分别是每个单位120元和150元。
市场需求量为每天2000个单位。
在市场需求满足的情况下，为了获得最大的利润，应该生产多少个产品A和多少个产品B？1. 问题描述：该公司需要在市场需求满足的情况下，生产最大利润的产品A和产品B的数量。
2. 建立假设：假设产品A和产品B的售价相同，都为每个单位200元。
假设市场需求量为每天2000个单位。
3. 分析模型：设产品A和产品B分别生产a个和b个，利润可表示为：利润 = 总收入 - 总成本总收入 = 200(a+b)总成本 = 120a + 150b利润 = 80a + 50b4. 解决问题：为了获得最大利润，需要求出利润函数的极值。
可以将利润函数对a和b求偏导数，得到：利润/a = 80利润/b = 50因此，利润函数在a和b的取值都为0时取得最小值，而在其他取值时取得极值。
由于生产的产品数量必须是非负整数，利润函数的极值点只能取整数值。
可以通过求解利润函数的整数线性规划问题，得到最大利润对应的生产量。
5. 检验结果：假设生产a=800个产品A和b=1200个产品B，总收入为320000元，总成本为228000元，利润为92000元。
如果生产其他数量的产品A和产品B，利润都不会超过92000元。
因此，生产a=800个产品A和b=1200个产品B是获得最大利润的最佳方案。
数学建模简单例题
数学建模简单例题
近年来，数学建模迅速发展，成为数学教育的重要组成部分。
不仅如此，数学建模也在实际应用中扮演着重要角色。
以下是举出的一些简单例题，介绍如何应用数学建模解决实际问题。
例1：汽车路线优化
假设有A、B、C三个城市，从A到B需要经历200公里，从B到C需要经历300公里。
同时，存在有限路段，要求尽可能明确最短路径。
此时，可以建立一个图，将A、B、C三个城市看作三个顶点，再建立若干边，表示每条路径的距离，再使用迪杰斯特拉算法，计算出最短路径。
例2：工厂设备调配
假想一家公司有3台生产设备，每台设备有不同的生产能力和每日最大生产量，要求给出每天各台设备的最优配置，以达到每日最大生产量。
给定三台设备的生产能力和每日最大生产量，建立这个问题的数学模型，可以采用最短路径算法的思想，建立一张图，把每台设备看成一个顶点，再建立若干边，表示每台设备的最大生产能力，最后根据路径的长度，计算出各台设备的最优配置。
以上是两个简单的数学建模例题，为了解决具体实际问题，数学建模不仅仅可以使用上述算法，还可以使用线性规划、最优化、反问题等方法来解决实际问题。
本文就介绍了数学建模的一些基础原理，
并举出了几个例子，希望能对读者有所帮助。
初中数学几大模型及例题
初中数学几大模型及例题初中数学中的几大模型包括：将军饮马模型、胡不归模型、费马点模型、共线点模型和角平分线模型。
以下是对这些模型的简单介绍和相关例题：1. 将军饮马模型：此模型涉及直线上的两个点A和B，以及另一点C。
在此情况下，AC和CB的长度和最短的问题可以视为将军到饮马的地点所需要走的距离。
2. 例题：在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于D，且BD=2，CD=3，那么AD的最小值是多少？3. 胡不归模型：此模型涉及到一个点A和两条射线l1和l2。
在A点到l1和l2的距离不同的情况下，求A点到l1和l2的最短距离。
4. 例题：已知点A（3，4），直线l1：x=1，直线l2：y=4。
求A点到l1和l2的最短距离。
5. 费马点模型：此模型涉及三个点A、B和C，以及三角形ABC的费马点P。
费马点是三角形内到三边的距离之和最小的点。
6. 例题：在锐角三角形ABC中，P是AB上的一个动点，求AP+BP+CP的最小值。
7. 共线点模型：此模型涉及到一个点和两条直线。
在此情况下，需要确定该点是否在给定的两条直线上。
8. 例题：已知点A（1，2）和直线l1：x+2y=0，判断A是否在l1上。
9. 角平分线模型：此模型涉及到一个角的平分线。
在此情况下，需要确定角平分线的性质及其应用。
例题：+ 已知等腰三角形ABC的角平分线AD交BC于D，且AD=3，BD=4，CD=5，求三角形的面积。
以上是初中数学中的几大模型及相关的例题。
这些模型是数学问题解决的关键工具，掌握它们有助于更好地理解和应用数学知识。
数学建模典型例题
数学建模典型例题The document was prepared on January 2, 2021一、人体重变化某人的食量是10467焦/天,最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天.每天的体育运动消耗热量大约是69焦/千克天乘以他的体重千克.假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效,而1千克脂肪含热量41868焦.试研究此人体重随时间变化的规律.一、问题分析人体重Wt随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的,假设人体重随时间的变化是连续变化过程,因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程.二、模型假设1、以脂肪形式贮存的热量100%有效2、当补充能量多于消耗能量时,多余能量以脂肪形式贮存3、假设体重的变化是一个连续函数4、初始体重为W三、模型建立假设在△t时间内：体重的变化量为Wt+△t-Wt；身体一天内的热量的剩余为Wt将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量；转换成微分方程为：dWt+△t-Wt=Wtdt；四、模型求解d5429-69W/5429-69W=-69dt/41686W0=W解得：e-69t/416865429-69W=5429-69W即：Wt=5429/69-5429-69W/5429e-69t/41686当t趋于无穷时,w=81;二、投资策略模型一、问题重述一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案.5年后,它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输.在策划下一个5年计划时,这家公司评估在年i的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车,将有净成本a ij二、问题分析本问题是寻找成本最低的投资策略,可视为寻找最短路径问题.因此可利用图论法分析,用Dijkstra算法找出最短路径,即为最低成本的投资策略.三、条件假设除购入价折旧以及运营和维护成本外无其他费用；四、模型建立二511 7 三 64166 13 8四一 912 8 1120五10六运用Dijikstra算法1 2 3 4 5 60 4 6 9 12 206 9 12 209 12 2012 2020可发现,在第二次运算后,数据再无变化,可见最小路径已经出现即在第一年买进200辆,在第三年全部卖出,第三年再买进200第六年全部卖出.三、飞机与防空炮的最优策略一、问题重述：红方攻击蓝方一目标,红方有2架飞机,蓝方有四门防空炮,红方只要有一架飞机突破蓝方的防卫则红方胜.其中共有四个区域,红方可以其中任意一个接近目标,蓝方可以任意布置防空炮,但一门炮只能防守一个区域,其射中概率为1.那么双方各采取什么策略 二、问题分析该问题显然是红方与蓝方的博弈问题,因此可以用博弈论模型来分析本问题. 1、对策参与者为两方红蓝两方2、红军有两种行动方案,即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动.蓝军有三种防御方案,即四个区域非别布置防空炮记为1-1-1-1、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个记为2-1-1-0、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有记为2-2-0-0.显然是不需要在某个区域布置3个防空炮的.三、问题假设：（1） 红蓝双方均不知道对方的策略.（2） 蓝方可以在一个区域内布置3,4门大炮,但是大炮数量大于飞机的数量,而一门大炮已经可以击落一架飞机,因而这种方案不可取.（3） 红方有两种方案,一是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标,另一种是让两架飞机通过同一区域去攻击目标.（4） 假设蓝方四门大炮以及红方的两架飞机均派上用场,且双方必须同时作出决策.四、模型建立A= 1 0B= 0 1 没有鞍点,故用混合策略模型解决本问题设蓝方采取行动i 的概率为 xii=1,2,3,红方采取行动j 的概率为yjj=1,2,则蓝方与红方策略集分别为：S1=｛x=x1,x2,x30< xi<1,∑xi=1｝, S2=｛y=y1,y20< yi<1,∑yi=1｝. 五、模型求解下列线性规划问题的解就是蓝军的最优混合策略x Max v10x1+x 2+x 3 >v1 x 1+x 2+x 3 >v1 x 1+x 2+x 3 =1xi<=1下列线性规划问题的解就是红军的最优混合策略y Min v2 y 2 <v2 y 1+y 2 <v2 y 1+ y 2 <v2 y 1+y 2= 1 yi<=1四、雷达计量保障人员分配开展雷达装备计量保障工作中,合理分配计量保障人员是提高计量保障效能的关键.所谓合理分配是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配到不同的工作岗位上,并且使得所有人员能够发挥出最大的军事效益.现某雷达团共部署12种型号共16部雷达,部署情况及计量保障任务分区情说明：1．保障任务分区域进行保障；2．B 、H 、L 型雷达分为两个保障任务,分别为B 1、B 2、H 1、H 2、L 1、L 2,其它雷达为一个保障任务；3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务； 4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务； 5．每个保障人员只能保障一个任务； 6．每个保障任务只由一个保障人员完成.雷达的重要性由其性能和所担负的作战任务共同决定,即使同一型号的雷达在不同区域其重要性也可能不同.各雷达的重要性如下表所示表中下标表示雷达该雷达团修理所现在有10名待分配计量保障人员,他们针对不同保障任务的计量保障能力量化指标如下表所示：问题：如何给该团三个营分配计量保障人员,使他们发挥最大军事效益一、问题分析：该问题是人员指派问题,目的是得到最大效益.根据保障能力测试与雷达重要性定义出效益矩阵,用0—1整数规划方法来求解,得到最大效益矩阵.二、模型假设1．保障任务分区域进行保障；2．B、H、L型雷达分为两个保障任务,分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2,其它雷达为一个保障任务；3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务；4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务；5．每个保障人员只能保障一个任务；6．每个保障任务只由一个保障人员完成.三、模型建立根据题目列出保障人员能力量化指标矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=007.09.03.08.04.002.05.03.06.08.08.06.08.03.07.02.06.07.03.07.03.04.06.07.08.07.05.06.03.05.05.07.04.02.02.01.02.02.0001.02.02.02.06.01.006.04.02.08.05.03.03.06.03.0003.03.04.03.002.0004.09.05.02.01.08.08.08.08.06.08.08.008.06.07.08.06.08.005.07.03.03.03.03.07.07.05.03.003.06.03.07.06.07.08.05.02.02.07.02.02.05.08.06.02.002.05.005.05.0007.05.04.03.04.04.004.07.04.06.04.0000009.005.05.05.05.05.005.05.05.05.05.05.0005.005.09.08.07.0006.04.04.03.09.07.06.07.08.04.07.003.08.0A 根据题目,设保障任务的重要性向量),...,,(21i b b b B =,bi 表示第i 个任务的重要性.列出保障任务重要性向量：[]7.07.06.08.09.07.06.09.09.07.08.07.07.07.08.09.09.08.0=B 我们用二者的乘积表示效益矩阵： T *=B A R .我们设元素rij 表示第i 个人完成j 件事的效益,Xij 表示第i 个人去保障第j 件任务,如果是,其值为1,否则为0.利用这一个矩阵和0-1规划,我们就可以列出方程：∑=<=ni ij x 11,m<=nmodel: sets: M/1..10/; N/1..18/:a; allowedM,N:b,r,x; endsets data:a= ; b= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; enddatamax=sumallowedi,j:xi,jri,j;forMi:forNj:ri,j=ajbi,j;forMi:sumNj:xi,j=1;forNj:sumMi:xi,j<=1;forMi:forNj:binxi,j;End解得最大效益为,分配方案为：第5、7、8号保障人员分配到区域1,其中8号承担A型,5、7号承担B1,B2型；第1、2、3、4、9号保障人员分配到区域2,其中第9号保障人员承担F型2号G型,1、3号承担H1,H2型,4号I型；第6、10号保障人员分配到区域3,6号F型、10号J型.。
手拉手数学模型例题
手拉手数学模型例题
以下是一个手拉手数学模型的例题：
某公司决定生产一种新产品，起始投资为100,000元。
该产品的每单位售价为500元，每单位成本为200元。
每个月的固定成本为10,000元。
现在假设该公司每个月能够销售x个单位
的产品。
根据这些信息，我们可以建立以下数学模型：
1. 收入模型：每个月的总收入为售价乘以销售单位数，即R(x) = 500x。
2. 成本模型：每个月的总成本包括单位成本和固定成本，即
C(x) = 200x + 10,000。
3. 利润模型：每个月的利润等于总收入减去总成本，即P(x) = R(x) - C(x) = 500x - (200x + 10,000)。
通过这个模型，可以计算不同销售单位数下的利润。
例如，如果每个月销售1000个单位的产品，那么利润为P(1000) =
500*1000 - (200*1000 + 10,000) = 100,000元。
这个模型可以帮助公司确定在不同销售单位数下的利润情况，从而制定销售策略和预测盈亏情况。
数学建模例题及解析
例1差分方程一资金的时间价值问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起每家人家都希望有一套（甚至一栋）属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。
先看一下下面的广告（这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告），任何人看了这则广告都会产生许多疑问，且不谈广告中没有谈住房而积、设施等等，人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢？银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付1200元呢？是怎样算出来的？因为人们都知道，若知道了房价（一次付款买房的价格），如果自己只能支付一部分款，那就要把其余的款项通过借贷方式来解决，只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按吋还清贷款了，从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。
现在我们来进行数学建模。
由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。
a. 明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的：需要借多少钱，用月。
记；月利率（贷款通常按复利计）用R记；每月还多少钱用x记；借期记为N个月。
b. 建立变量之间的明确的数学关系。
若用月树己第k个月时尚欠的款数，则一个月后（加上利息后）欠款^+1= 〔1+氏〕虫£, 不过我们又还了x元所以总的欠款为弘 1 = 〔1+去〕/宀k 二0, 1, 2, 3,而一开始的借款为°。
.所以我们的数学模型可表述如下4上+] = （1+氏）上=0, 1, 2, 3,局己知（不妨假设缶为己知）（1）c. （1）的求解。
由+ Ai-x =(1十去〕[(1十尺)血=(1 + Q %-A[〔1+氏)+1] 易卸A h = (1+A)^0-J[ (1+去)(1+R)r'2+...+ (1+去)+1]=Cl + 2?) % -気〔1 十R) "-!]故厶=5 - y) (1 + Q J专这就是虫上'I R之间的显式关系。
d・针对广告中的情形我们来看（1）和（2）中哪些量是已知的。
初中数学全部几何模型汇总+附例题精编
专题一 平行线的五大类拐点模型模型一 铅笔头模型1例题1 （1）如图，若CD AB //，此时，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明【解析】如图，过点E 作AB l //得证360=∠+∠+∠E D B（2）反之，如图，若360=∠+∠+∠E D B ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明【解析】如图，过点E 作AB l //得证CD l //则CD AB // 【总结】①辅助线：过拐点作平行线②若CD AB //，则360=∠+∠+∠E D B ③若360=∠+∠+∠E D B ，则CD AB //例题2 如图，两直线CD AB ,平行，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠654321【解析】如图，过F 作AB l //1，过G 作12//l l ，过H 作23//l l ，过I 作34//l l 得证900654321=∠+∠+∠+∠+∠+∠【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②)1(180121-=∠+∠+⋅⋅⋅+∠+∠-n A A A A n n【2-n 个拐点】例题3 （1）如图，若CD AB //，则E D B ∠=∠+∠，你能说明为什么吗？【解析】如图，过点E 作AB l //得证E D B ∠=∠+∠（2）在图中，CD AB //，G E ∠+∠与D F B ∠+∠+∠又有何关系？【解析】如图，过点E 作AB l //1，过点F 作AB l //2，过点G 作AB l //3得证G E ∠+∠=D F B ∠+∠+∠（3）在图中，若CD AB //，又得到什么结论？【解析】同理可得n n E E E D F F F B ∠++∠+∠=∠+∠++∠+∠+∠- 21121 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和例题4 如图所示，已知CD AB //，BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠，求证：)(21C A E ∠+∠=∠【解析】①方法一：锯齿模型【锯齿ABEDC 】如图，过点E 作AB EF //+转化思想得证 ②方法二：8字模型（详解见第2讲） 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③转化思想例题5 如图，已知CD AB //，EAB EAF ∠=∠41，ECD ECF ∠=∠41，求证： AEC AFC ∠=∠43【解析】锯齿BAECD +锯齿BA F CD ；过点E 作AB GE //，过点F 作CD HF //+方程思想【βα,表示角度】得证 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③方程思想例题6 如图，CD AB //，61=∠BED ，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则=∠DFB （ ）A.149 B .5.149 C .150 D .5.150【解析】锯齿CD F BA +铅笔头CDEBA ；得证B 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②铅笔头模型：角之和=180×（拐点个数+1）微信公众号：数学三剑客 ③锯齿模型：所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和例题7 如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点（不含边界），设21,θθ=∠=∠PBA PAD ，43,θθ=∠=∠PDC PCB ，若 50,80=∠=∠CPD APB ，则（ ）A .30)()(3241=+-+θθθθB .40)()(3142=+-+θθθθ C .70)()(4321=+-+θθθθD .180)()(4321=+++θθθθ【解析】锯齿ADPCB +锯齿DAPBC ；得证A 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和例题8 如图，若CD AB //，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明【解析】如图，过点E 作AB l //得证B E D ∠=∠+∠ 臭脚模型基础（汇总）【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线例题9 如图，直线CD AB //，50,30,90,30=∠=∠=∠=∠CNP HMN FGH EFA ，则GHM ∠的大小是【解析】①方法一：如图，过点H 作AB QH //则有铅笔头A F GH Q+臭脚Q HMNC 得证40=∠GHM ②方法二：锯齿B F GHMND 得证40=∠GHM 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型七 蛇型基础例题10 如图，若D C B CD AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明【解析】过点C 作AB l //得证180=∠-∠+∠D C B 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型八 蜗牛模型基础例题11 如图，若D C B DE AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明【解析】过点C 作AB l //得证180=∠+∠+∠D C B【总结】辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线专题二 飞镖模型和8字模型模型一 角的飞镖模型1结论：C B A BDC ∠+∠+∠=∠【解析】①方法一：延长BD 交AC 于点E 得证 ②方法二：延长CD 交AB 于点F 得证③方法三：延长AD 到在其延长方向上任取一点为点G 得证 【总结】利用三角形外角的性质证明模型二 角的8字模型1结论：D C B A ∠+∠=∠+∠【解析】①方法一：三角形内角和得证②方法二：三角形外角【BOD ∠】的性质得证 【总结】①利用三角形内角和等于180 ②利用三角形外角的性质证明模型三 角的飞镖模型和8字模型2例题1 如图，则=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A【解析】①方法一：飞镖ACD 得证180=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A ②方法二：8字BECD 得证 180=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A例题2 如图，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A【解析】飞镖AB F+飞镖DEC 得证210=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A例题3 如图，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A【解析】8字模型得证360=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A例题4 如图，求=∠+∠+∠+∠D C B A【解析】连接BD 得飞镖BAD +飞镖DBC 得证 220=∠+∠+∠+∠D C B A例题5 如图，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠H G F E D C B A【解析】飞镖EHB +飞镖F AC 得证360=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠H G F E D C B A模型四 边的飞镖模型1结论：CD BD AC AB +>+【解析】延长BD 交AC 于点E +三角形三边关系+同号不等式【大的放左边，小的放在右边】模型五 边的8字模型1结论：BC AD CD AB +<+【解析】三角形三边关系+同号不等式【大的放在右边，小的放在左边】 【总结】①三角形两边之和大于第三边模型六 边的飞镖模型和8字模型2例题6 如图，点P 为ABC ∆内一点，试说明AB PC PB PA AC BC AB <++<++)(21AC BC ++【解析】三角形三边关系+边的飞镖模型可证例题7 如图，BD AC ,是四边形ABCD 的对角线，且BD AC ,相交于点O ，求证：AD CD BC AB BD AC AD CD BC AB +++<+<+++)(21【解析】边的8字模型+三角形三边关系可证专题三 三垂直全等模型模型一 K 型三垂直1例题1 如图，DE AE DE AE BC CD BC AB =⊥⊥⊥,,,，求证：BC CD AB =+【解析】易证模型二 K 型三垂直2例题2 如图，等腰90,=∠∆AOB OAB Rt ，斜边AB 交y 轴正半轴于点C ，若)1,3(A ，则点C 的坐标为【解析】K 型三垂直模型+一次函数可得点C 坐标为)25,0(例题3 如图，在EF B ABC Rt ,90,=∠∆是AC 的垂直平分线，且CE EF =，D 是AB 的中点，21tan =A ，若15+=+DE EF ，求DEF ∆的面积【解析】21例题4 如图，在矩形ABCD 中，E AD AB ,12,6==为边AB 上一点，Q P AE ,,2=分别为边BC AD ,上的两点，且45=∠PEQ ，若EPQ ∆为等腰三角形，则AP 的长为【解析】10（该图为PQ EQ =）或6（PQ PE =图略）或224+（EQ EP =）模型三 L 型三垂直1例题5 如图，CE BE CE AD BC AC ACB ⊥⊥==∠,,,90，垂足分别是点1,3,,==BE AD E D ，则DE 的长是（ ）A .23B .2C .22D .10【解析】B模型四 L 型三垂直2例题6 如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点D ，过C A ,分别作直线l 的垂线，垂足分别为F E ,，若a CF a AE ==,4，则正方形ABCD 的面积为【解析】217a例题7 如图，以ABC Rt ∆的斜边AC 为边，在ABC ∆同侧作正方形AEDC ，O 为对角线交点，连接BO ，若22,4==BO AB ，则正方形的面积是【解析】80例题8 如图，在ABC ∆中，BD CD BD CD AB BC AC ACB 3,,52,,90=⊥===∠，则ABD ∆的面积是【解析】①方法一：L 型三垂直+整体减空白 ②方法二：L 型三垂直+面积公式③方法三：铅垂高求面积法【½×（水平高×铅锤高）】 ④方法四：和角模型模型五 十字型三垂直1【解析】垂直⇔相等模型六 十字型三垂直2例题9 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点F E ,分别在边BC AB ,上，且1==BF AE ，则=OC【解析】512例题10 如图，在等腰ABC Rt ∆中，90=∠ACB ，点D 为BC 边上的中点，AD CE ⊥，分别交AD AB ,于点F E ,，连接DE ，求证：BDE ADC ∠=∠【解析】易证专题四 角平分线四大模型角平分线的定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个叫分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边距离相等角平分线的判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上模型一 双垂直模型1角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等例题1 已知：43,21∠=∠∠=∠，求证：AP 平分BAC ∠【解析】易证例题2 已知：如图，在四边形中，CD AD AB BC =>,，BD 平分ABC ∠，求证：BAD ∠180=∠+C【解析】①方法一：双垂模型 ②方法二：双等模型例题3 如图，正方形ABCD 的边长为4，DAC ∠的平分线交DC 于点E ，若点Q P ,分别是AD 和AE 上的动点，则PQ DQ +的最小值是【解析】①方法一：双垂模型②方法二：双等模型【将军饮马+垂线段最短】 答案：22有垂直于角平分线的线，果断延长，就会得到一个等腰三角形例题4 如图，在ABC ∆中，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足为D ，求证：C ∠+∠=∠12【解析】易证例题5 如图，在ABC ∆中，AC AB BAC ==∠,90，BE 平分ABC ∠，BE CE ⊥，求证：BD CE 21=【解析】易证例题6 如图，AD CD AC AB CAD BAD ⊥>∠=∠,,于点D ，H 是BC 的中点，求证：)(21AC AB DH -=【解析】易证例题7 如图所示，OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，C 为OP 上一点，连接AC ，在射线ON 上截取OA OB =，连接BC ，易证：BOC AOC ∆≅∆例题8 如图所示，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是内角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，求证：AB AC PB PC -<-【解析】易证例题9 在ABC ∆中，108,=∠=A AC AB ，BD 平分ABC ∠，求证：=BC CD AB +【解析】①方法一：双等模型 ②方法二：截长补短例题10 如图，梯形ABCD 中，BC AD //，点E 在CD 上，且AE 平分BAD ∠，BE 平分ABC ∠，求证：BC AB AD -=【解析】①方法一：双等模型+截长 ②方法二：双平模型+补短角平分线、平行线、等腰三角形，三个条件，知二推一例题11 如图，在ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的角平分线相交于点F ，过F 作BC DE //，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若9=+CE BD ，则线段DE 之长为【解析】9例题12 如图，在ABC ∆中，CD BD ,分别平分ABC ∠和ACB ∠，AC FD AB ED //,//，如果cm BC 6=，则DEF ∆的周长【解析】cm 6例题13 如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，点F E ,分别在AD BD ,上，AB EF //，且CD DE =，求证：AC EF =【解析】双平模型+类倍长中线法（延长FD 于点G 使得DG FD =，连接CG ；延长AD 于点G 使得DG AD =，连接EG ）∠的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，例题14 如图，在矩形ABCD中，BAD∠的度数点G是EF的中点，求BDG【解析】①方法一：双平模型+手拉手模型【G点+反推法】②方法二：双平模型+隐形圆模型【共斜边】专题五 截长补短模型截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略。
小学数学常见几何模型典型例题及解题思路
小学数学常见几何模型典型例题及解题思路（ 1 ）巧求面积常用方法：直接求；整体减空白；不规则转规则（平移、旋转等）；模型（鸟头、蝴蝶、漏斗等模型）；差不变1、ABCG 是边长为 12 厘米的正方形，右上角是一个边长为 6 厘米的正方形 FGDE，求阴影部分的面积。
答案： 72F EA HDI GB C思路： 1）直接求，但是阴影部分的三角形和四边形面积都无法直接求；2 ）整体减空白。
关键在于如何找到整体，发现梯形 BCEF可求，且空白分别两个矩形面积的一半。
2、在长方形 ABCD 中，BE=5 ，EC=4 ，CF=4 ，FD=1 。
△AEF 的面积是多少？答案： 20A DFB E C思路： 1）直接求，无法直接求；2）由于知道了各个边的数据，因此空白部分的面积都可求3、如图所示的长方形中，E、F 分别是 AD 和 DC 的中点。
（1）如果已知 AB=10 厘米， BC=6 厘米，那么阴影部分面积是多少平方厘米？答案：22.5（2）如果已知长方形 ABCD 的面积是 64 平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？答案：24D F CEA B思路（ 1）直接求，无法直接求； 2 ）已经知道了各个边的数据，因此可以求出空白的位置；3）也可以利用鸟头模型4、正方形 ABCD 边长是 6 厘米，△AFD（甲）是正方形的一部分，△CEF（乙）的面积比△AFD（甲）大 6 平方厘米。
请问 CE 的长是多少厘米。
答案： 8A DFB C E思路：差不变5、把长为 15 厘米，宽为 12 厘米的长方形，分割成 4 个三角形，其面积分别为 S1 、S2 、S3 、S4 ，且 S1=S 2=S 3 +S 4。
求 S4。
答案： 10AS1DS2 S3FS4B E C思路：求 S4 需要知道 FC 和 EC 的长度； FC 不能直接求，但是 DF可求，DF 可以由三分之一矩形面积S1÷AD ×2 得到，同理 EC 也求。
小学数学常见几何模型典型例题及解题思路
小学数学常见几何模型典型例题及解题思路1巧求面积常用方法：直接求；整体减空白；不规则转规则平移、旋转等；模型鸟头、蝴蝶、漏斗等模型；差不变1、ABCG是边长为12厘米的正方形,右上角是一个边长为6厘米的正方形FGDE,求阴影部分的面积;答案：72思路：1直接求,但是阴影部分的三角形和四边形面积都无法直接求；2整体减空白;关键在于如何找到整体,发现梯形BCEF可求,且空白分别两个矩形面积的一半;2、在长方形ABCD中,BE=5,EC=4,CF=4,FD=1;△AEF的面积是多少答案：20思路：1直接求,无法直接求；2由于知道了各个边的数据,因此空白部分的面积都可求3、如图所示的长方形中,E、F分别是AD和DC的中点;（1）如果已知AB=10厘米,BC=6厘米,那么阴影部分面积是多少平方厘米答案：（2）如果已知长方形ABCD的面积是64平方厘米,那么阴影部分的面积是多少平方厘米答案：24思路1直接求,无法直接求；2已经知道了各个边的数据,因此可以求出空白的位置；3也可以利用鸟头模型4、正方形ABCD边长是6厘米,△AFD甲是正方形的一部分,△CEF乙的面积比△AFD甲大6平方厘米;请问CE的长是多少厘米;答案：8 思路：差不变5、把长为15厘米,宽为12厘米的长方形,分割成4个三角形,其面积分别为S1、S2、S3、S4,且S1=S2=S3+S4;求S4;答案：10思路：求S4需要知道FC和EC的长度；FC不能直接求,但是DF可求,DF可以由三分之一矩形面积S1÷AD×2得到,同理EC也求;最后一句三角形面积公式得到结果;6、长方形ABCD内的阴影部分面积之和为70,AB=8,AD=15;求四边形EFGO的面积;答案10;思路：看到长方形和平行四边形,只要有对角线,就知道里面四个三角形面积相等;然后依据常规思路可以得到答案;思路2：从整体看,四边形EFGO的面积=△AFC的面积+△BFD的面积-空白部分的面积;而△ACF的面积+△BFD的面积=长方形面积的一半,即60;空白部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积,即120-70=50 ;所以四边形的面积EFGO的面积为60-50=10;比例模型1、如图,AD=DB,AE=EF=FC;已知阴影部分面积为5平方厘米,△ABC的面积是多少平方厘米答案30平方厘米;思路：由阴影面积求整个三角形的面积,因此需要构造已知三角的面积和其它三角形的面积比例关系,而题目中已经给了边的比,因此依据等高模型或者鸟头模型即可得到答案;2、△ABC的面积是180平方厘米,D是BC的中点,AD的长是AE 的3倍,EF的长是BF的3倍,那么△AEF的面积是多少平方厘米答案平方厘米思路：仅仅告诉三角形面积和边的关系,需要依据比例关系进行构造各个三角形之间的关系,从而得出答案3、在四边形ABCD中,E,F为AB的三等分点,G,H为CD的三等分点;四边形EFHG的面积占总面积的几分之几答案是1/3思路：仅仅告诉边的关系,求四边形之间的关系,需要首先考虑如何分解为三角形,然后再依次求解;4、在四边形ABCD中,ED：EF：FC=3:2:1,BG：GH：AH=3:2:1,已知四边形ABCD的面积等于4,则四边形EHGF的面积是多少答案4/35、在△ABC中,已知△ADE、△DCE、△BCD的面积分别是89,28,26,那么三角形DBE的面积是多少答案178/9思路：需要记住反向分解三角形,从而求面积;6、在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D六个点,并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE、△DEF的面积都等于1,则△DCF的面积等于多少答案3/47、四边形ABCD的面积是1,M、N是对角线AC的三等分点,P、Q是对角线BD的三等分点,求阴影部分的面积答案1/9一半模型比例模型---共高模型一半模型蝴蝶模型漏斗,金字塔鸟头模型燕尾模型风筝模型切记梯形的一半模型沿着中线变化切记任意四边形的一半模型1、在梯形ABCD中,AB与CD平行,点E、F分别是AD和BC的中点;△AMB的面积是3平方厘米,△DNC的面积是7平方厘米;1△AMB和△DNC的面积和等于四边形EMFN的面积；2阴影部分的面积是多少平方厘米;思路：一种应用重叠=未覆盖思路：将各个三角形标记,应用两个一半模型=整体梯形2、任意四边形ABCD,E、F、G、H分别为各边的中点;证明四边形EFGH的面积为四边形ABCD面积的一半;3、四边形ABCD中,E、F、G、H分别是各边的中点;求阴影部分与四边形PQRS的面积比;答案相等思路：依次应用一半模型和重叠等于未覆盖;证明需要分别连接BD 和AC;4、已知M、N分别为梯形两腰的中点,E、F为M、N上任意两点;已知梯形ABCD的面积是30平方厘米,求阴影部分的面积;答案：155、已知梯形ABCD的面积是160,点E为AB的中点,DF：FC=3:5;阴影部分的面积为多少;答案：30鸟头模型1、已知△ABC面积为1,延长AB至D,使BD=AB；延长BC至E,使CE=2BC,延长CA至F,使AF=3AC;求△DEF的面积;答案：18 思路：依次使用鸟头模型,别忘了最终还需要加上△ABC的面积; 2、在平行四边形ABCD中,BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD,平行四边形的面积是2,四边形EFGH的面积是多少答案：36 3、四边形EFGH的面积是66平方米,EA=AB,CB=BF,DC=CG,HD=DA,求四边形ABCD的面积答案：4、将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延伸两倍至点E、F、G、H,若四边形ABCD的面积为5,则四边形EFGH的面积是多少答案：60思路：依次使用两类不同鸟头模型,别忘了最终还需要减去一个四边形ABCD的面积;5、在三角形ABC中,延长AB至D,使BD=AB,延长BC至E,使CE=1/2BC,F是AC的中点,若三角形ABC的面积是2,则三角形DEF的面积是多少答案：思路：分割所求三角形,分别应用比例模型和鸟头模型;6、△ABC中,延长BA到D,使DA=AB,延长CA到E,使EA=2AC,延长CB到F,使FB=3BC,如果△ABC的面积是1,那么△DEF的面积是多少答案：7思路：△ABC和△EFC是鸟头模型,从而求出四边形ABEF的面积,△ABC 和△AED是鸟头模型,从而求出△AED面积,从而解题小技巧：1,答案为52、总面积为52,其中两个分别为6,7,另外两个分别是多少答案18,213、在△ABC中,已知M,N分别在AC、BC上,BM与AN相交于点O;若△AOM,△ABO和△BON的面积分别是3,2,1,则△MNC的面积是多少答案;风筝模型求出△MON=；△ANM：△MNC=△ABM：△BMC3+：x=3+2:1++x。
小学数学五大经典几何图形模型及解题思路精讲
小学数学五大经典几何图形模型及解题思路精讲1、等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积之比等于底之比；（3）两个三角形底相等，面积在之比等于高之比；（4）在一组平行线之间的等积变形。
【例题】如图，三角形A B C的面积是24，D、E、F分别是B C、A C、A D的中点，求三角形DE F的面积。
2、鸟头（共角）定理模型（1）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；（2）共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
【例题】如图在△A B C中，D在B A的延长线上，E在AC上，且A B：A D=5：2，AE：E C=3：2，△A D E的面积为12平方厘米，求△ABC的面积。
3、蝴蝶模型（1）梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S2=S4（因为S△ABC= S△DBC，所以S△ABC－S△OBC= S△DBC－S△OBC）S1：S3=a2：b2②S1：S3：S2：S4= a2：b2：ab：ab③梯形S的对应份数为（a+b）2。
（2）任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）①S1：S2=S4：S3或者S1×S3=S4×S2；②AO：OC=（S1+S2）：（S4+S3）蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例题】如图，己知正方形AB C D的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，G为B F的中点，求三角形BD G的面积。
4、相似模型（1）相似三角形：形状相同，大小不相等的两个三角形相似。
（2）寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）相似三角形性质①相似三角形的一切对应线段（对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
胡不归数学模型例题
胡不归数学模型例题1.骑车追赶问题：假设A、B两人在同一条路上骑车，A在路的起点处开始骑，速度为10km/h，B从距起点20km的地方开始骑车，速度为20km/h。
问B需要多长时间才能追上A？解析：设B追上A的时间为t，则A骑车的路程为10t，B骑车的路程为20+(20t-10t)=10t+20。
因为A、B在同一地点相遇，所以他们骑车的路程相等，即10t=10t+20。
解得t=2小时，即B需要2小时才能追上A。
2. 投资问题：小明想要将10000元投资到两个项目中，分别是A、B。
假设A的年收益率为8%，B的年收益率为12%，且两个项目的收益率互相独立。
小明想要使得投资后的总收益最大，请问他应将资金分配到A、B两个项目中的比例是多少？解析：设小明将资金分配到A、B两个项目中的比例分别为x、y，则x+y=1。
投资到A项目中的资金为10000x，年收益为0.08×10000x=800x；投资到B项目中的资金为10000y，年收益为0.12×10000y=1200y。
小明的总收益为800x+1200y。
为了使得总收益最大，需要求出x、y的最优值。
根据求导法可得：(800x+1200y)/x=800，(800x+1200y)/y=1200令两式分别为0，可得x=0.6，y=0.4。
因此，小明应将资金分配到A、B两个项目中的比例为6:4，即投资6000元到A项目中，投资4000元到B项目中。
3. 流水线调度问题：一条流水线上有3个加工工序，分别为A、B、C。
每道工序的加工时间分别为2小时、1小时、3小时。
每个工序上分别有5台、3台、2台加工设备。
假设工场每天有24小时可用于生产，问如何安排加工顺序和加工数量，才能使产量最大？解析：设A、B、C三个工序的加工数量分别为x、y、z，则由题意可知：2x+1y+3z≤24又因为每道工序的加工设备有限，所以有：x≤5，y≤3，z≤2为了使产量最大，需要求出满足上述约束条件下的最优解。
数学模型经典例题
一、把椅子往地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地放稳了，就四脚连线成长方形的情形建模并加以说明。
（15分） 解：一、模型假设：1. 椅子四只脚一样长，椅脚与地面的接触可以看作一个点，四脚连线呈长方形。
2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，地面可以看成一张光滑曲面。
3. 地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
（3分） 二、建立模型：以初始位置的中位线为坐标轴建立直角坐标系，用θ表示椅子绕中心O 旋转的角度，椅子的位置可以用θ确定：()f θ记为A 、B 两点与地面的距离之和 ()g θ记为C 、D 两点与地面的距离之和由假设3可得，()f θ、()g θ中至少有一个为0。
由假设2知()f θ、()g θ是θ的连续函数。
（3分） 问题归结为：已知()f θ和()g θ是θ的连续函数，对任意θ，()()0f g θθ=，且设()()00,00g f =>。
证明存在0θ， 使得()()000f g θθ== （3分） 三、模型求解： 令()()()h f θθθ=－g 若()()000f g =，结论成立若()()000f g 、不同时为，不妨设()()00,00g f =>，椅子旋转()180π或后，AB 与CD 互换，即()()0,0g f ππ>=，则()(0)0,0h h π><。
（3分）由f g 和的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，必存在()000θθπ<<使000()0,()()h f g θθθ==即。
最后，因为00()()0f g θθ=，所以00()()0f g θθ==。
（3分）图 5二、给出7支队参加比赛的循环比赛赛程安排，要求各参赛队的每两场比赛之间的休息场次尽可能均衡，并列出表格说明。
解：设(1,2,7)i A i =表示7支参赛队。
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一、把椅子往地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地放稳了，就四脚连线成长方形的情形建模并加以说明。
（15分） 解：一、模型假设：1. 椅子四只脚一样长，椅脚与地面的接触可以看作一个点，四脚连线呈长方形。
2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，地面可以看成一张光滑曲面。
3. 地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。
（3分） 二、建立模型：以初始位置的中位线为坐标轴建立直角坐标系，用θ表示椅子绕中心O 旋转的角度，椅子的位置可以用θ确定：()f θ记为A 、B 两点与地面的距离之和 ()g θ记为C 、D 两点与地面的距离之和由假设3可得，()f θ、()g θ中至少有一个为0。
由假设2知()f θ、()g θ是θ的连续函数。
（3分） 问题归结为：已知()f θ和()g θ是θ的连续函数，对任意θ，()()0f g θθ=，且设()()00,00g f =>。
证明存在0θ， 使得()()000f g θθ== （3分） 三、模型求解： 令()()()h f θθθ=－g 若()()000f g =，结论成立若()()000f g 、不同时为，不妨设()()00,00g f =>，椅子旋转()180π或后，AB 与CD 互换，即()()0,0g f ππ>=，则()(0)0,0h h π><。
（3分）由f g 和的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，必存在()000θθπ<<使000()0,()()h f g θθθ==即。
最后，因为00()()0f g θθ=，所以00()()0f g θθ==。
（3分）图 5二、给出7支队参加比赛的循环比赛赛程安排，要求各参赛队的每两场比赛之间的休息场次尽可能均衡，并列出表格说明。
解：设(1,2,7)i A i =表示7支参赛队。
根据单循环赛的要求，得到7支队的比赛总场次为：27762121C ⨯==⨯（场），总轮次为7轮，且每一轮都有一支队轮空。
具体如下： （2分）1A 23A A 45A A 67A A 12A A 34A A 56A A 7A 1A 35A A 27A A 46A A 13A A 52A A 74A A 6A 1A 57A A 36A A 24A A 15A A 73A A 62A A 4A （4分）场队 队 次 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 休息场次 休息总场次 A1 1 8 18 15 11 4 2+3+2+3+2 12 A2 1 5 21 9 17 13 3+3+3+3+3 15 A3 852 12 20 162+2+3+3+3 13 A4 18 21 2 6 14 10 3+3+3+3+2 14 A5 15 9 12 63 192+2+2+2+3 11 A6 11 17 20 14 3 7 3+3+2+2+2 12 A74 13 16 10 19 72+2+2+2+210 （4分）从以上的表格可以看出各参赛队的每两场比赛之间的休息场次是比较均匀的。
（2分） 三、假设人口的增长服从这样的规律:t 时刻的人口为()x t ,t 时刻的单位时间的增量与()m x x t -成正比(其中的m x 为最大人口容量),试建立模型求解并作出解的图形. 解：由t 时刻的单位时间的增量与()m x x t -成正比，即有()m x r x x =-( )m r x 其中比例系数为固有增长率,为最大人口容量。
（3分）令0(0)x x =得到0(),(0)m dx x r x x x x dt ==-= （2分）解得图10()rt m m x x x x e -=-- （3分）其图象为图1 （2分）四、学校共500名学生，其中118人住在A 宿舍，167人住在B 宿舍，215人住在C 宿舍，学生们要组织一个由20人组成的委员会，使用下述方法分配各宿舍的委员数（1）按比例分配方法； （2）Q 值法。
如果委员人数由20人增至21人，各宿舍的委员人数将如何变化？由上表可知，依惯例法，20人时，三个宿舍分别为5人，7人，8人；21人时为5人，7人，9人。
（5分）Q 值法分配：20人时先A 宿舍4人，B 宿舍6人，C 宿舍8人，剩下2个名额根据Q 值法：第19个名额222118167215696,664,642456789Q Q Q ======⨯⨯⨯A B C有Q Q Q >>A B C则应当把第19个名额分给A 宿舍。
（4分） 第20个名额211846456Q '==⨯A ，其他Q 值不变。
有Q Q Q '>>B C A，则应当把第20个名额分给B 宿舍。
即三个宿舍分别为5人，7人，8人。
（2分）21人时先A 宿舍4人，B 宿舍7人，C 宿舍9人，剩下1个名额根据Q 值法：222118167215696,498,5134578910Q Q Q ======⨯⨯⨯A B C有Q Q Q >>A C B则应当把最后1个名额分给A 宿舍。
即三个宿舍分别为5人，7人，9人。
（4分） 五、长l 、吃水深度h 的船以速度v 航行，若不考虑风的影响，那么航船受的阻力f 除依赖于船的诸变量,,l h v 以外，还与水的参数——密度ρ、粘性系数μ，以及重力加速度g 有关，其中粘性系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度（即vv x∂∆=∂）和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘性系数。
用量刚分析方法给出阻力f 与这些物理量之间的关系。
解：一、有关的物理量为船长l ，吃水深度h ，船速v ，阻力f ，水的密度ρ，粘性系数μ和重力加速度g 。
二、各物理量的量纲（2分）123211[],[],[],[],[],[],[]l L h L v LT f LMT L M g LT vf S L MT xρμμ------======∂=⇒=∂ （2分） 三、关系式(),,,,,,0f l h v g ϕρμ= 由此得到量纲矩阵A111131110001102001012L A MT f l h v gρμ--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪----⎝⎭ ()3R A ⇒= （4分）得到A 的4个基本解()()()()12340110000010200101011101202100T TT Ty y y y ⎧=-⎪⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=---⎪⎩ （4分）()11221322141234,,,0,lh lv g lv fl v ππρμπρπππππ------⎧=⎪=⎪⇒⎨=⎪⎪=⎩Φ=Φ为未定函数（*） 由（*）式可得()()222241234123,,,,,,f l v l v ρπρπππππππ==ψ=ψψ其中为未定函数。
3分) 六、建立不允许缺货的存储模型：设生产能力无限，一次性的订货费为1c 元，每天每吨货物的储存费为2c 元，每天货物的需要量为r ，确定最佳订货周期*T 和每次订货量*Q 。
解：由已知可得：不允许缺货的存储模型，一个周期内的总费用()C T 为()C T ＝订货费＋储存费 (3分)t 时刻的储存量()q t 为(),q t Q rt Q Q rT =-=其中为总的储存量,且从而一个周期内总的储存量为01()2T q t dt QT =⎰ （3分） 则总费用为2121211()22C T c c QT c c rT =+=+ （3分）于是每天的平均费用()C T 是1212()()22c c rT C T C T c c r T T ==+≥ （3分） 当且仅当12122,2c c rT c T T c r ==即时，()C T 才能取到最小值，此时 122c r Q c = 所以，最佳订货周期*122c T c r= （3分）图2七、建立不允许缺货的生产销售模型。
设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k r >。
在每一个生产周期内，开始的一段（00t T ≤≤）一边生产一边销售，后来一段时间()0T t T ≤≤只销售不生产，画出贮存量()q t 的图形。
设每次生产的开工费为1c 元，单位时间每件产品的储存费为2c 元，试以每天费用最小为原则确定最佳周期。
讨论kr 和r k ≈的情况。
解：由右图可知：00();0()();k r t t T q t b r t T T t T -≤≤⎧=⎨--≤≤⎩ 其中0()b k r T =- 总的贮存量Q 为0011()()22TQ q t dt bT k r T T ===-⎰ （3分）则每一个周期内每天平均费用c 为212100()()1()22c c c k r c T c c k r T T T T T T -⎡⎤==+-=+⎢⎥⎣⎦（3分） 而00r kT rT T T k =⇒=1212()2()2c c r k r c c r k r c T T kk--⇒=+≥当且仅当1212(-)22(-)c c r k r c k T T T k c r k r ==时，即时，每天费用最省，即最佳周期为*122(-)c kT c r k r =（3分）① 当kr 时，得*112222,c k c k r k T c rk c r -≈≈=则 （1分） ② 当r k ≈时，得*1220,()c kk r T c r k r -→=→∞-则 （1分）图4k-rr图: (4分)八、某公司有三个工厂生产某种商品并运往四个调拨站。
工厂1，2，3每月分别生产12、17、11批商品，而每一个调拨站每月均需接受10批商品。
各厂至各调拨站的运输距离（公里）如下表所示。
已知每批商品的运费为100元加上每公里0.50元。
问应如何调运使总运费最少？解：设ij x 表示从第i 个工厂每月运往第j 个调拨站的批量，目标是获得总运费最小的调运方案。
根据假设条件，各工厂到各调拨站每批商品的运费可总结为下表：根据单位运费可得目标函数的解析表达式为111213142122232431323334500750300450650800400600400700500550z x x x x x x x x x x x x =+++++++++++（3分）综合可得其规划模型为111213142122232431323334500750300450650800400600400700500550Min z x x x x x x x x x x x x =+++++++++++s.t . 1112131421222324313233343112171110,1,2,3,41,2,3;1,2,3,4ij i ij x x x x x x x x x x x x x j x j =⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎪+++=⎨⎪⎪==⎪⎪===⎩∑非负整数，i （8分，每个约束1分）。