数学模型经典例题

一、把椅子往地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地放稳了，就四脚连线成长方形的情形建模并加以说明。（15分） 解：一、模型假设：

1. 椅子四只脚一样长，椅脚与地面的接触可以看作一个点，四脚连线呈长方形。

2. 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，地面可以看成一张光滑曲面。

3. 地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。 （3分） 二、建立模型：

以初始位置的中位线为坐标轴建立直角坐标系，用θ表示椅子绕中心O 旋转的角度，椅子的位置可以用θ确定：

()f θ记为A 、B 两点与地面的距离之和 ()g θ记为C 、D 两点与地面的距离之和

由假设3可得，()f θ、()g θ中至少有一个为0。 由假设2知()f θ、()g θ是θ的连续函数。 （3分） 问题归结为：

已知()f θ和()g θ是θ的连续函数，对任意θ，

()()0f g θθ=，且设()()00,00g f =>。证明存在0θ， 使得()()000f g θθ== （3分） 三、模型求解： 令()()()h f θθθ=－g 若()()000f g =，结论成立

若()()000f g 、不同时为，不妨设()()00,00g f =>，椅子旋转()180π或后，AB 与CD 互换，即()()0,0g f ππ>=，则()(0)0,0h h π><。 （3分）

由f g 和的连续性知h 也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在

()000θθπ<<使000()0,()()h f g θθθ==即。

最后，因为00()()0f g θθ=，所以00()()0f g θθ==。 （3分）

图 5

二、给出7支队参加比赛的循环比赛赛程安排，要求各参赛队的每两场比赛之间的休息场次尽可能均衡，并列出表格说明。 解：设(1,2,

7)i A i =表示7支参赛队。

根据单循环赛的要求，得到7支队的比赛总场次为：2776

2121

C ⨯==⨯（场）

，总轮次为7轮，且每一轮都有一支队轮空。具体如下： （2分）

1A 23A A 45A A 67A A 12A A 34A A 56A A 7

A 1A 35A A 27A A 46A A 13A A 52A A 74A A 6

A 1A 57A A 36A A 24A A 15A A 73A A 62A A 4

A （4分）

场队 队 次 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 休息场次 休息总场次 A1 1 8 18 15 11 4 2+3+2+3+2 12 A2 1 5 21 9 17 13 3+3+3+3+3 15 A3 8

5

2 12 20 16

2+2+3+3+3 13 A4 18 21 2 6 14 10 3+3+3+3+2 14 A5 15 9 12 6

3 19

2+2+2+2+3 11 A6 11 17 20 14 3 7 3+3+2+2+2 12 A7

4 13 16 10 19 7

2+2+2+2+2

10 （4分）

从以上的表格可以看出各参赛队的每两场比赛之间的休息场次是比较均匀的。（2分） 三、假设人口的增长服从这样的规律:t 时刻的人口为()x t ,t 时刻的单位时间的增量与()m x x t -成正比(其中的m x 为最大人口容量),试建立模型求解并作出解的图形. 解：由t 时刻的单位时间的增量与()m x x t -成正比，即有()m x r x x =-

( )m r x 其中比例系数为固有增长率,为最大人口容量。（3分）

令0(0)x x =

得到

0(),(0)m dx x r x x x x dt ==-= （2分）

解得

图1

0()rt m m x x x x e -=-- （3分）

其图象为图1 （2分）

四、学校共500名学生，其中118人住在A 宿舍，167人住在B 宿舍，215人住在C 宿舍，学生们要组织一个由20人组成的委员会，使用下述方法分配各宿舍的委员数

（1）按比例分配方法； （2）Q 值法。

如果委员人数由20人增至21人，各宿舍的委员人数将如何变化？

由上表可知，依惯例法，20人时，三个宿舍分别为5人，7人，8人；21人时为5人，7人，9人。 （5分）

Q 值法分配：20人时先A 宿舍4人，B 宿舍6人，C 宿舍8人，剩下2个名额根据Q 值法：

第19个名额

222

118167215696,664,642456789

Q Q Q ======⨯⨯⨯A B C

有Q Q Q >>A B C

则应当把第19个名额分给A 宿舍。 （4分） 第20个名额

211846456

Q '==⨯A ，其他Q 值不变。有Q Q Q '>>B C A

，则应当把第20个名额分给B 宿舍。即三个宿舍分别为5人，7人，8人。 （2分）

21人时先A 宿舍4人，B 宿舍7人，C 宿舍9人，剩下1个名额根据Q 值法：

222

118167215696,498,5134578910

Q Q Q ======⨯⨯⨯A B C

有Q Q Q >>A C B

则应当把最后1个名额分给A 宿舍。即三个宿舍分别为5人，7人，9人。（4分） 五、长l 、吃水深度h 的船以速度v 航行，若不考虑风的影响，那么航船受的阻力f 除依赖于船的诸变量,,l h v 以外，还与水的参数——密度ρ、粘性系数μ，以及重力加速度g 有关，其中粘性系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度（即

v

v x

∂∆=

∂）和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘性系数。用量刚分析方法给出阻力f 与这些物理量之间的关系。

解：一、有关的物理量为船长l ，吃水深度h ，船速v ，阻力f ，水的密度ρ，

粘性系数μ和重力加速度g 。 二、各物理量的量纲（2分）

123211

[],[],[],[],[],[],

[]l L h L v LT f LMT L M g LT v

f S L MT x

ρμμ------======∂=⇒=∂ （2分） 三、关系式

(),,,,,,0f l h v g ϕρμ= 由此得到量纲矩阵A

111131110001102001012L A M

T f l h v g

ρμ--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪----⎝⎭ ()3R A ⇒= （4分）

得到A 的4个基本解

()()

()

()

123401100000102001010111012

02100T T

T T

y y y y ⎧=-⎪⎪=-⎪⎨

=-⎪⎪=---⎪⎩ （4分）