厦门大学第十届(2013)景润杯数学竞赛试卷答案(经管)

1. (15分)求下列极限（每小题5分，共15分）

（1） n

n

n n

n n n ln )ln 2ln (lim +-∞

→ 解：321ln ln ln ln )

ln 21()ln 1(lim )ln 21ln 1(lim )ln 2ln (lim --∞→∞→∞→==+-=+-=+-e e e n

n n n n n n n n n n n n n n

n n n n

n n n n ( 2）2

3

202

arctan )1(sin lim 2

2

t e dy y dx t t t

x

t --→⎰⎰+

π； 解：2

322

2

320

2

arctan )1(sin lim arctan )1(sin lim

2

2

2

t

e

dxdy y t

e

dy

y dx t D t t t t

x t -=--

→-

→⎰⎰

⎰⎰+

+

π

π

7

sin lim

2

2sin lim

2

7

2023

2

002

0ππ

π

-

=-

=-=⎰

⎰⎰+

+

→→t dy

y y t t dx

y dy t t t

y

t .

（3）y x x y

e R

D x

R d d arctan lim ⎰⎰-+∞

→，其中R D 是由12,0,-===x R

y y R x

所围成.

解：由于函数x

y

e x arctan

-在R D 上连续，由积分中值定理得 ,arctan 4d d arctan d d arctan ξ

ηξηξξ

---==⎰⎰⎰⎰e R y x e y x x y e R

R

D D x 其中R D ∈),(ηξ，即10,2

≤≤≤≤ηξR R ，于是当+∞→R 时，

0arctan 4d d arctan |d d arctan |2→≤=---⎰⎰⎰⎰ξ

ηξηξ

R D D x e R y x e y x x y e R

R

， 所以0d d arctan lim =⎰⎰-+∞

→y x x

y

e R

D x

R .

厦门大学第十届景润杯数学竞赛试卷

＿＿＿＿＿＿学院＿＿＿年级＿＿＿＿＿＿专业

竞赛时间 2013.06.22 （经管卷）

2. (10分) 设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且)1()0(2f f =，试证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使得)()()1(ξξξf f ='+。 解：构造辅助函数x x f x +=Φ1)()(，显然)(x Φ在]1,0[上连续，在)1,0(内

可导，且 ())0(01)0(0f f =+=Φ, ())0(2)0(211)1(1f f f ==+=Φ，因此

)(x Φ在]1,0[上满足罗尔定理的条件，则由罗尔定理知，存在)1,0(∈ξ使得0)(=Φ'ξ,即0)

1()()()1()(2

=+-'+=

Φ'ξξξξξf f ，因0)1(2

≠+ξ，故有)()()1(ξξξf f ='+. 证毕.

3、(10分) 计算定积分 3

2

22||3d x x x -+-⎰.

解：3

2

3

2

2

2

222|(2||3)|d |(2||3)|d |(2||3)|d x x x x x x x x x --+-=+-++-⎰⎰⎰

2

3

2

20

2

2|(23)|d |(23)|d x x x x x x =+-++-⎰⎰

123

20

1

2

2|(3)(1)|d 2|(3)(1)|d (23)d x x x x x x x x x =+-++-++-⎰⎰⎰

123

20

1

2

2(3)(1)d 2(3)(1)d (23)d x x x x x x x x x =-+-++-++-⎰⎰⎰

493

=

. 4．(10分) 设x x g x x f αα+=+=1)(,)1()(，),1(+∞-∈x ,其中α为任意实数,试就α的不同取值范围，讨论)()(x g x f 和的大小关系. 解法1：对于函数α)1()(x x f +=，

1)1()(-+='ααx x f ，2)1)(1()(-+-=''αααx x f

(I)

当,0<α或1>α时，0)(>''x f ，)(x f 是严格的下凸函数，而

x x g α+=1)(是曲线)(x f y =在点)1,0(处的切线，而严格下凸函数

的切线总是位于曲线的下方。因此有)()(x g x f ≥，即x x αα+≥+1)1(. (II) 当10<<α时，0)(<''x f ，)(x f 是严格的上凸函数，再由上 凸函数的性质（切线总在曲线的上方），即有)()(x g x f ≤，所以

x x αα+≤+1)1(.

不论何种情况，当且仅当0=x 时，)()(x g x f ≡。 解法2：设辅助函数),1(,1)1()(+∞-∈--+=x x x x F αα 显然]1)1[()(1-+='-ααx x F ，且0)0(=F (i)

若0<α或1>α时，

当)01(，-∈x 时，0)0()()(0)(=≥↓⇒⇒<'F x F x F x F ; 当)0(∞+∈，x 时，0)0()()(0)(=≥↑⇒⇒>'F x F x F x F , 所以 0)(≥x F ，即x x αα+≥+1)1(. (ii) 若10<<α时，

当)01(，-∈x 时，0)0()()(0)(=≤↑⇒⇒>'F x F x F x F ; 当)0(∞+∈，x 时，0)0()()(0)(=≤↓⇒⇒<'F x F x F x F , 所以当10<≤α时，有0)(≤x F ，即x x αα+≤+1)1(. 当且仅当0=x 时，等式成立即)()(x g x f ≡。

5、(10分) 求y x y xy x y x f +-+-=2),(22在全平面上的最大值和最小值。

解法1：令,0

12022⎩⎨⎧=+-==--=x y f y x f y x 解得唯一的驻点)01

(，. 2)0,1(,1)0,1(,02)01(==-==>==yy xy xx f C f B f A ，

02>-=∆B AC ,故)01

(，是极小值点，极小值为1)01(-=，f . 又有)sin cos 2()cos sin 1()sin ,cos (2θθρθθρθρθρ---=f