2013年4月考试离散数学第二次作业
【自考真题10套】离散数学02324试题(2013年4月-2019年10月)
B. a *=b 2a + b
C. a *b= |a − b|
D. a *b= a − b
9.设 < G,* > 是群，是下列陈述不．正．确．的是
A.（ab）n = anbn
B.（a-1ba）n = a−1bna
C.（an）m = anm
D. anam = an+m
10. f ： X → Y，g ： Y → Z 是函数，则下列陈述正确的是
D.｛｛a｝｝⊆ X
6.设 A B=A ，则 A. A B=A C. B − A =∅
B. A B=B D. B ⊆ A
7.设 A =｛a,b｛, a,b｝｝，则其幂集 P（A4
D.8
8.在整数集 Z 上，下列定义的运算满足结合律的是
A. a *b = min{a,b}
B. A →（∃x）B(x) ⇔ (∃x)( A → B(x))
C.（∃x）A(x) → B ⇔ (∀x)( A(x) → B)
D. ¬（∃x）A(x) ⇔ (∀x)¬A(x)
4.设 A（x）： x 是鸟， B（x）： x 会飞，命题“没有不会飞的鸟”符号化为
A. ¬（∀x）( A(x) → B(x))
A. P → Q
B. ¬P ∧ ¬Q
C. ¬P ∨ ¬Q
2.下列命题公式为永真式的是
A.（P → Q）∨ Q
D. Q → P B. (P ∨ Q) → P
C. (P → Q) ∨ P
D. P ∨ (¬P ∧ Q)
3.下列等价式不．正．确．的是
A. (∃x)( A(x) ∧ B(x)) ⇔ (∃x) A(x) ∧ (∃x)B(x)
A.｛0｝是幺元 C.｛0，1｝是幺元
离散数学第二次作业题及答案.doc
第2次作业一、单项选择题(本大题共40分，共20小题，每小题2分)1.假设A={a, b, c, d},考虑子集S= {{a, b}, {b, c}, {d}},则下列选项正确的是()oA.S是A的覆盖B.S是A的划分C.s既不是划分也不是覆盖D.以上选项都不正确2.设h是群G上的一个同态，|G|二12,山(G)|二3,则|K| (K是h的核)二_________________ ()A.1B.2C.D.3.L23 ), 设G是连通(n,m)的平面图，有r个面，且每个面的次数至少为L( 则A.m>3n-6B.Hl <c.m+n-r=2D.m+r-n二24.如果小王和小张都不去，则小李去。
设P：小王去。
Q：小张去。
R：小李去。
则命题符号化为_________ oA.-I QA-i PVRB.(Q->P)ARC.(n PAn QLRD.(PAQ)-R5.没有不犯错误的人。
M(x)： x为人。
F (x) : x犯错误。
则命题可表示为()OA.(Vx) (M(x) F (x)B.(3x) (M(x) AF(x)C.(Vx) (M(x)AF(x))D.(3x) (M(x)-F(x)6.(1)燕子北冋，春天来了。
设P:燕了北回。
Q：春天來了。
则(1)可以表示为___________ oP->QQ-PC.UQD.P VQ7.命题公式(P->QA-i P)的类型是___________ 。
A.重言式B.矛盾式C.可满足式D.永真式6.一阶逻辑公式Vx(F(x, y)AG(y, z) )—VzF(z, y)是()前束范式封闭公式C.永真式D.永假式7.谓词公式(3x)P(x, y) A (Vx) (Q(x, z)-> Gx) (Vy)R(x, y, z)中的量词Vx 的辖域是()。
A.(Vx)(Q(x,z)->(3 x)( Vy)R(x,y ,z)B.Q(x, z)-> (Vy)R(x, y, z)C.Q (x, z) —(3x) (Vy) R (x, y, z)D.Q(x, z)8.关于半群的性质，下面说法不正确的是()A.若〈S,*>S且*在8上是封闭的，那么匸是一个半群，B<B, *>也是一个半群。
《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）及答案
《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）及答案第 1 页/共 4 页《离散数学》考试试卷（试卷库20卷）试题总分： 100 分考试时限：120 分钟、选择题（每题2分，共20分）1. 设论域为全总个体域，M(x)：x 是人，Mortal(x)：x 是要死的，则“人总是要死的”谓词公式表示为( )（A ）)()(x Mortal x M → （B ）)()(x Mortal x M ∧（C ）))()((x Mortal x M x →?（D ）))()((x Mortal x M x ∧?2. 判断下列命题哪个正确？( )（A ）若A∪B＝A∪C，则B ＝C （B ）{a,b}={b,a}（C ）P(A∩B)≠P(A)∩P (B)（P(S)表示S 的幂集）（D ）若A 为非空集，则A ≠A∪A 成立3. 集合},2{N n x x A n∈==对( )运算封闭（A ）乘法（B ）减法（C ）加法（D ）y x -4. 设≤><,N 是偏序格，其中N 是自然数集合，“≤”是普通的数间“小于等于”关系，则N b a ∈?,有=∨b a ( )（A ）a（B ）b（C ）min(a ，b)（D ） max(a ，b)5. 有向图D=，则41v v 到长度为2的通路有( )条（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36. 设无向图G 有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G 有( )个顶点（A ）10 （B ）4 （C ）8 （D ）127. 下面哪一种图不一定是树？（）（A ）无回路的连通图（B ）有n 个结点n-1条边的连通图（C ）每对结点间都有通路的图（D ）连通但删去一条边则不连通的图 8. 设P ：我将去镇上,Q ：我有时间。
命题“我将去镇上,仅当我有时间”符号化为（）（A ）P →Q （B ）Q →P （C ）P Q （D ）Q P ?∨? 9. 下列代数系统中,其中*是加法运算,（）不是群。
2013学年第二学期《离散数学》期末考试试卷(A卷)
大学期末考试试卷（A 卷）2013-2014学年第二学期 考试科目： 离散数学 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业(在下划线上填空. 在圆括号内填✓或✗. 笔字符✐表示用铅笔作图或在图上答题)一. 逻辑24分1. (8分)公式(p ∧q ) →(p ∨r )是重言式( ); {∨, ↔}是联结词完备集( ); ∀x ∃y (F (x ,y )∨G (x ,y ))是闭式( ); ∀xF (x ) → ∀yG (x , y )是前束范式()..2. (4分) (p →q ) ∨ (q →r )的成真赋值是______________________________________. 论域是人, F (x ): x 量小; G (x ): x 是君子, “量小非君子”符号化为______________________.3.(4分)用等值演算法证明(p → q ) ∧ (p → r ) ⇔ p → q ∧r .4. (4分)求(p ∨q ) ∨r 的主析取范式.5. (4分)前提: p→q, ⌝(q∧r), r, 结论: ⌝p. 构造推理的证明.序号公式依据(只填序号)①二. 关系24分1. (6分)设R={〈0,2〉,〈1,3〉,〈2,2〉,〈3,4〉}, 则R是函数( ), R是单射(), R是反对称的().2. (4分)设R= {〈a, a〉, 〈a, c〉, 〈d, e〉}, 则|r(R)|= ________ , dom R={________________}.3. (6分)设R= {〈a, a〉, 〈b, c〉, 〈d, e〉}, S= {〈a, b〉, 〈b, c〉, 〈c, b〉}. 画出R的关系图并求R S.3. (4分)写出集合A的划分{{1}, {2, 3}, {4}}}导出的等价关系R, 并写出A.4. (4分) 画出{2, 3, 12, 18}上的整除关系的哈斯图 , 并写出偏序集的极小元.三. 组合计数16分1. (2分) x1 + x2 + x3 = 13 (x1, x2, x3≥ 0)有________个整数解.2. (4分)有多少个十进制三位数的数字恰有一个8和一个9?3. (4分)把3只蓝球, 2只红球, 2只黄球排成一列, 黄球不相邻, 有多少种方法?4. (6分)运用二项式定理和微积分技巧证明11112111n n k n k k n ++=⎛⎫-=⎪-+⎝⎭∑.四. 图论36分1.(6分)图1的各图中, 割边最多的是________; 点色数最大的是________; 支配数最小的是________ (填相应字母).2.(8分)图2中的两个实心点之间有____条简单通路. 该图有____条简单回路, 它有____个点割集; 要使它成为哈密顿图, 至少要加有____条边.3.(4分)森林里有5棵树, 18片树叶, 其余顶点是2度或3度的. 森林里有几个3度分枝点?4.(4分)证明数列2, 3, 3, 5, 5, 6, 6不可简单图化.5. (4分)证明K 5不是平面图.图1图27. (6分)(a)画一个5阶自对偶图. (b)画一个6阶3正则的平面图.。
离散数学考试题及详细参考答案
离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
b)我今天进城，除非下雨。
c)仅当你走，我将留下。
2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。
（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。
（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。
（每小题2分，共4分）a)（A B）－C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)三、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。
（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠ 且B≠ ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。
离散数学第一第二次作业
第1部分命题逻辑一、单项选择题1．下列哪个语句是真命题（）。
(A) 我正在说谎(B) 如果1+2 = 3，则雪是黑色的(C)如果1+2 = 5，则雪是黑色的(D)上网了吗2．命题公式为()→→（）。
P Q P(A)重言式(B) 可满足式(C)矛盾式(D)等值式3．设命题公式P∧(Q→⌝P)，记作G，则使G的真值指派为1的P，Q 的取值是（）。
(A) (0,0) (B) (0,1) (C) (1,0) (D) (1,1)4．与命题公式P→（Q→R）等值的公式是（）。
(A)(P∨Q)→R (B)(P∧Q)→R (C)(P→Q)→R (D)P→(Q∨R)5．命题公式(P∧Q）→P是（）。
(A) 永真式(B) 永假式(C) 可满足式(D) 合取范式二、填空题1．P，Q为两个命题，当且仅当时，P Q∧的真值为1，当且仅当时，P Q∨的真值为0。
2．给定两个命题公式A，B，若时，则称A和B是等值的，记为A B⇔。
3．任意两个不同极小项的合取为式，全体极小项的析取式必为式。
4．设P：天下雨，Q：我们去郊游。
则⑴命题“如果天不下雨，我们就去郊游”可符号化为。
⑵命题“只有天不下雨，我们才去郊游”可符号化为。
⑶命题“我们去郊游，仅当天不下雨”可符号化为 。
5．设命题公式G ＝P ∧(⌝Q ∨R )，则使G 取真值为1的指派是 ， ， 。
6．已知命题公式为G ＝(⌝P ∧Q )→R ，则命题公式G 的析取范式是三、计算题1．将下列命题符号化：⑴ 李强不是不聪明，而是不用功；⑵ 如果天不下雨，我们就去郊游；⑶ 只有不下雨，我们才去郊游。
2．给出下列公式的真值表⑴ ()P Q R P Q R ∧→→∧∧⌝⑵ ()()()P Q Q R P R ⌝∨∧→→⌝∧⌝3．给P 和Q 指派真值1，给R 和S 指派真值0，试求出下列命题的真值：⑴ ()P Q R ∨∧ ⑵ ()()P R Q S →∧⌝→4．判断下列命题公式的类型：⑴()↔→⌝∨P Q P QP P Q R→∨∨⑵()()5．化简命题公式(()())→↔⌝→⌝∧。
离散数学试卷二试题与答案
试卷二试题与答案一、填空1、设P：你努力，Q：你失败。
2、“除非你努力，否则你将失败”的符号化为；3、“虽然你努力了，但还是失败了”的符号化为。
2、论域D={1，2}，指定谓词PP (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2)T T F F则公式),(xyyPx∃∀真值为。
3设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数xyxyxR∨<><=，则R= （列举法）。
R的关系矩阵M R=。
4、设A={1，2，3}，则A上既不是对称的又不是反对称的关系R= ；A上既是对称的又是反对称的关系R= 。
5、设代数系统<A，*>，其中A={a，b，c},则幺元是 a ；是否有幂等性没有；是否有对称性有。
6、4阶群必是群或群。
7、下面偏序格是分配格的是。
8、n个结点的无向完全图K n的边数为，欧拉图的充要条件是。
二、选择1、在下述公式中是重言式为（AD ）A．)()(QPQP∨→∧；B．))()(()(PQQPQP→∧→↔↔；C．QQP∧→⌝)(；D．)(QPP∨→。
* a b ca b c a b cb b cc c b2、命题公式)()(PQQP∨⌝→→⌝中极小项的个数为（D ），成真赋值的个数为（ D ）。
A．0；B．1；C．2；D．3 。
3、设}}2,1{},1{,{Φ=S，则S2有（ D ）个元素。
A．3；B．6；C．7；D．8 。
4、设}3,2,1{=S，定义SS⨯上的等价关系},,,,|,,,{cbdaSSdcSSbadcbaR+=+⨯>∈<⨯>∈<><><<=则由R产生的SS⨯上一个划分共有（）个分块。
A．4；B．5；C．6；D．9 。
5、设}3,2,1{=S，S上关系R的关系图为则R具有（ D ）性质。
A．自反性、对称性、传递性；B．反自反性、反对称性；C．反自反性、反对称性、传递性；D．自反性。
2013年9月份考试离散数学第二次作业
2013年9⽉份考试离散数学第⼆次作业2013年9⽉份考试离散数学第⼆次作业⼀、单项选择题（本⼤题共40分，共 20 ⼩题，每⼩题 2 分）1. 设S={1,2,3,4}，R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}，则R的性质是（） A. ⾃反、对称、传递的 B. ⾃反、对称、反对称的 C. 对称、反对称、传递的 D. 只有对称性2. 在下列命题中，为真的命题是（）A. 汉密顿图⼀定是欧拉图B. ⽆向完全图都是欧拉图C. 度数为奇数的结点个数为0个或2个的连通⽆向图G可以⼀笔画出D. 有割点的连通图是汉密顿图3. 设P：我去踢球，Q：明天下⾬，命题“如果我踢球，当且仅当明天不下⾬”的符号化表⽰为（）。
A. P→QB. Q→PC.D. P Q4. 设A为⼀集合，（P(A),）为有补格，P(A)中每个元素的补元（）。
A. 存在且唯⼀B. 不存在C. 存在且不唯⼀D. 可能存在5. 下图哪个能⼀笔画？（）A.B.C.D.6. 若X是Y的⼦集，则⼀定有（）。
A. X不属于Y B. X∈Y C. X真包含于Y D. X∩Y=X7. 若集合A的基数|A|=10，则其幂集的基数为（）A. 1024B. 100C. 20D. 128. 下⾯哪⼀个命题是命题“2是偶数或-3是负数”的否定？（）A. 2是偶数或-3不是负数B. 2是奇数或-3不是负数C. 2不是偶数且-3不是负数D. 2是奇数且-3不是负数9. 对于下⾯某个偏序集的哈斯图，其中集合{a,b,c,e}的最⼤元是（）A. cB.dC.eD.⽆10. 设G是n个顶点的⽆向简单图，则下列说法不正确的是（）。
A. 若G是树，则其边数等于n-1 B. 若G是欧拉图，则G中必有割边 C. 若G中有欧拉路，则G是连通图，且有零个或两个奇数度顶点 D. 若G中任意⼀对顶点的度数之和⼤于等于n-1,则G中有汉密顿路11. 在谓词演算中，P(a)是?xP(x)的有效结论，其理论根据是（）。
离散数学第2次作业参考答案
离散数学第二次作业参考答案学号： 姓名： 班级： 总分：1、 (每空5分，共30分)(1) 已知公式A 含有3个命题变项p , q , r ,并且它的成真赋值为000，011，110，那么命题公式A 的成假赋值为 001,010,100,101,111 ,主析取范式为 , 主合取范式为 M 1∧M 2∧M 4∧M 5∧M 7 。
(2) 已知公式A 含有3个命题变项，并且公式A 的主合取范式为134M M M ∧∧，那么公式A 的成真赋值为 000, 010,101,110,111 ，成假赋值为 001, 011, 100 ，公式A 的主析取范式为 。
2、(12分)用真值表法计算公式()p q r ⌝∨∧的主析取范式和主合取范式解：真值表为p q r p q ⌝∨ ()p q r ⌝∨∧0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 111主析取范式：137m m m ∨∨主合取范式：02456M M M M M ∧∧∧∧3、(14分)甲、乙、丙、丁4人中有且仅有2个人参加围棋比赛。
关于谁参加了比赛，下列判断都是正确的：(1) 甲和乙只有一人参加。
(2) 若丙参加，则丁必参加。
(3) 乙或者丁至多参加一人。
(4) 丁不参加，则甲也不会参加。
问：哪两个人参加了比赛。
解：其它解题方法，只要解释清楚，答案正确就给分① 设p : 甲参加，q :乙参加，r :丙参加，s :丁参加。
② 4个条件分别符号化为()()p q p q ⌝∧∨∧⌝，()r s →，()q s ⌝∨⌝，()s p ⌝→⌝ 根据题意可得公式[()()]()()()p q p q r s q s s p ⌝∧∨∧⌝∧→∧⌝∨⌝∧⌝→⌝ 该公式的成真赋值为可能可行的方案。
③经过演算可得[()()]()()()()()()()()p q p q r s q s s p p q p q r s q s p s ⌝∧∨∧⌝∧→∧⌝∨⌝∧⌝→⌝⇔⌝∨⌝∧∨∧⌝∨∧⌝∨⌝∧⌝∨④由于p 和q 有且仅有一个为1，因此公式的成真赋值只能是10XX 或者01XX 。
离散数学第二次作业
离散数学第二次作业一、图的概念、连通性与矩阵表示选择/填空题1、任何n个节点m条边的图G = (V,E) , 边数与顶点度数的关系是。
2、任一有向图中，度数为奇数的结点有( )个。
的边数为。
3、n阶完全图Kn4、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。
5、已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是．6、下面四组数能构成无向图的度数列的有( )。
A、 2,3,4,5,6,7；B、 1,2,2,3,4；C、 2,1,1,1,2；D、 3,3,5,6,0。
7、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。
(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 168、在有n个顶点的连通图中，其边数（）。
(1) 最多有n-1条 (2) 至少有n-1 条(3) 最多有n条 (4) 至少有n 条的补图为（）。
9、如右图相对于完全图K510、给定无向图G如下图所示，下面给出的结点集子集中，不是点割集的为（）．A．{b, d} B．{d}C．{a, c} D．{b, e}A 、；B 、；C 、；D 、。
综合题17、设G =<V ，E >，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1,v 3)，(v 2,v 3)，(v 2,v 4)，(v 3,v 4)，(v 3,v 5)，(v 4,v 5) }，试(1) 给出G 的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵； (3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形． 18、已知：D=<V,E>，V={1,2,3,4,5}，E={<1,2>,<1,4>,<2,3>,<3,4>,<3,5>,<5,1>}，求D 的邻接距阵A 和可达距阵P 。
19、无向图G 有12条边，G 中有6个3度结点，其余结点的度数均小于3，问G 中至少有多少个结点？20、 有向图G 如右图所示。
离散数学作业 (2)
离散数学作业布置第1次作业（P15）1.16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
解：（1）p∨(q∧r)=0∨(0∧1)=0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s)=（0↔1）∧(1∨1)=0∧1 =0（3）（﹁p∧﹁q∧r）↔(p∧q∧﹁r)=（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)=0(4)（r∧s）→(p∧q)=（0∧1）→(1∧0)=0→0=11.17 判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外只有6能被2整除，6才能被4整除。
”解：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。
1.19 用真值表判断下列公式的类型：（4）(p→q) →(﹁q→﹁p)（5）(p∧r) ↔ (﹁p∧﹁q)（6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)解：（4）p q p→q q p q→p (p→q)→( q→p)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式，最后一列全为1（5）公式类型为可满足式（方法如上例），最后一列至少有一个1（6）公式类型为永真式（方法如上例，最后一列全为1）。
第2次作业（P38）2.3 用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1) ﹁(p∧q→q)(2)(p→(p∨q))∨(p→r)(3)(p∨q)→(p∧r)解：(1) ﹁(p∧q→q) ⇔﹁(﹁(p∧q) ∨q) ⇔(p∧q) ∧﹁q⇔p∧(q ∧﹁q) ⇔ p∧0 ⇔0所以公式类型为矛盾式(2)（p→(p∨q)）∨(p→r) ⇔ (﹁p∨(p∨q))∨(﹁p∨r) ⇔﹁p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式(3) (p∨q) → (p∧r) ⇔￢(p∨q) ∨ (p∧r) ⇔ (￢p∧￢q) ∨(p∧r)易见, 是可满足式, 但不是重言式. 成真赋值为: 000,001, 101, 111P q r ￢p∧￢q p∧r (￢p∧￢q) ∨(p∧r)0 0 0 1 0 10 0 1 1 0 10 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 0 0 01 1 1 0 1 1所以公式类型为可满足式2.4 用等值演算法证明下面等值式：(2) ( (p→q)∧(p→r) ) ⇔ (p→(q∧r))(4)(p∧﹁q)∨(﹁p∧q) ⇔ (p∨q)∧﹁(p∧q)证明（2）(p→q)∧(p→r)⇔( ﹁p∨q)∧(﹁p∨r)⇔﹁p∨(q∧r))⇔p→(q∧r)（4）(p∧﹁q)∨(﹁p∧q) ⇔(p∨(﹁p∧q)) ∧(﹁q∨(﹁p∧q) )⇔ (p∨﹁p)∧(p∨q)∧(﹁q∨﹁p) ∧(﹁q∨q)⇔1∧(p∨q)∧(﹁p∨﹁q)∧1⇔ (p∨q)∧﹁(p∧q)第3次作业（P38）2.5 求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值:(1)( ￢p→q) →(￢q∨p)(2) (￢p→q) ∧q∧r(3)(p∨(q∧r)) →(p∨q∨r)(4) ￢(p→q) ∧q∧r解：(1)(￢p→q) →(￢q∨p)⇔￢(p∨q) ∨(￢q∨p)⇔￢p∧￢q ∨￢q ∨p⇔￢q ∨p (吸收律)⇔ (￢p∨p)∧￢q ∨p∧(￢q∨q)⇔￢p∧￢q∨p∧￢q ∨p∧￢q ∨p∧q⇔m0∨m2∨m2∨m3⇔m0∨m2∨m3成真赋值为00, 10, 11.(2) (￢p→q) ∧q∧r⇔ (p∨q) ∧q∧r⇔ (p∧q∧r) ∨q∧r⇔ (p∧q∧r) ∨(￢p ∨p) ∧q∧r⇔p∧q∧r∨￢p ∧q∧r∨p∧q∧r⇔m3∨m7成真赋值为011，111.(3) (p∨(q∧r)) →(p∨q∨r)⇔￢(p∨(q∧r)) ∨(p∨q∨r)⇔￢p∧￢(q∧r) ∨(p∨q∨r)⇔￢p∧(￢q∨￢r)∨(p∨q∨r)⇔￢p∧￢q∨￢p∧￢r∨p∨q∨r⇔￢p∧￢q∧(r∨￢r)∨￢p∧(q∨￢q)∧￢r∨p∧(q∨￢q) ∧(r∨￢r) ∨ (p∨￢p) ∧q∧(r∨￢r)∨(p∨￢p) ∧(q∨￢q) ∧r⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7, 为重言式.(4) ￢(p→q) ∧q∧r⇔￢(￢p∨q) ∧q∧r⇔ (p∧￢q) ∧q∧r⇔ p∧(￢q ∧q)∧r⇔0主析取范式为0, 无成真赋值, 为矛盾式.第4次作业（P38）2.6 求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值:(1) ￢(q→￢p) ∧￢p(2)(p∧q) ∨ (￢p∨r)(3)(p→(p∨q)) ∨r解：(1) ￢(q→￢p) ∧￢p⇔￢(￢q∨￢p) ∧￢p⇔q∧p ∧￢p⇔q∧0⇔0⇔M0∧M1∧M2∧M3这是矛盾式. 成假赋值为00, 01, 10, 11.(2)(p∧q) ∨ (￢p∨r)⇔(p∧q) ∨￢p∨r⇔(p∨￢p)∧(￢p ∨q)∨r⇔ (￢p ∨q)∨r⇔￢p ∨q∨r⇔M4, 成假赋值为100.(3)(p→(p∨q)) ∨r⇔(￢p∨(p∨q)) ∨r⇔(￢p∨p)∨q ∨r⇔1主合取范式为1, 为重言式.2.32 用消解原理证明下述公式是矛盾式:(1) (￢p∨q) ∧ (￢p∨r) ∧ (￢q∨￢r) ∧ (p∨￢r) ∧r(2) ￢((p∨q) ∧￢p→q)解：(1) (￢p∨q) ∧ (￢p∨r) ∧ (￢q∨￢r) ∧ (p∨￢r) ∧r第一次循环S0=Φ, S1=｛￢p∨q,￢p∨r,￢q∨￢r,p∨￢r,r｝, S2=Φ由￢p∨r, p∨￢r消解得到λ输出“no”，计算结束(2) ￢((p∨q) ∧￢p→q)⇔￢(￢((p∨q) ∧￢p) ∨q)⇔((p∨q) ∧￢p) ∧￢q⇔ (p∨q) ∧￢p ∧￢q第一次循环S0=Φ, S1=｛p∨q,￢p, ￢q｝, S2=Φ由p∨q,￢p消解得到q,由q, ￢q消解得到λ,输出“no”，计算结束2.33 用消解法判断下述公式是否可满足的:(1) p∧ (￢p∨￢q) ∧q(2) (p∨q) ∧(p∨￢q) ∧(￢p∨ r)解：(1) p∧ (￢p∨￢q) ∧q第一次循环S0=Φ, S1=｛p, ￢p∨￢q, q｝, S2=Φ由p, ￢p∨￢q消解得到￢q,由q, ￢q消解得到λ,输出“no”，计算结束(2) (p∨q) ∧(p∨￢q) ∧(￢p∨ r)第一次循环S0=Φ, S1=｛p∨q, p∨￢q, ￢p∨ r｝, S2=Φ由p∨q, p∨￢q消解得到p,由p∨q, ￢p∨ r消解得到q ∨r,由p∨￢q, ￢p∨ r消解得到￢q ∨r,由p, ￢p∨ r消解得到r,S2=｛p, q ∨r, ￢q ∨r, r｝第二次循环S0=｛p∨q, p∨￢q, ￢p∨ r｝, S1=｛p, q ∨r, ￢q ∨r, r｝, S2=Φ由p∨q, ￢q ∨r消解得到p∨r,由p∨￢q, q ∨r消解得到p∨r,由p∨￢q, q ∨r消解得到p∨r,由￢p∨ r, p 消解得到r,S2=｛p∨r｝第三次循环S0=｛p, q ∨r, ￢q ∨r, r｝, S1=｛p∨r｝, S2=ΦS2=Φ输出“yes”，计算结束3.6 判断下面推理是否正确. 先将简单命题符号化, 再写出前提, 结论, 推理的形式结构(以蕴涵式的形式给出)和判断过程(至少给出两种判断方法):(1)若今天是星期一, 则明天是星期三；今天是星期一. 所以明天是星期三.(2)若今天是星期一, 则明天是星期二；明天是星期二. 所以今天是星期一.(3)若今天是星期一, 则明天是星期三；明天不是星期三. 所以今天不是星期一.(4)若今天是星期一, 则明天是星期二；今天不是星期一. 所以明天不是星期二.(5)若今天是星期一, 则明天是星期二或星期三. 今天是星期一. 所以明天是星期二.(6)今天是星期一当且仅当明天是星期三；今天不是星期一. 所以明天不是星期三.设p: 今天是星期一, q: 明天是星期二, r: 明天是星期三.(1)推理的形式结构为(p→r) ∧p→r此形式结构为重言式, 即(p→r) ∧p⇒r所以推理正确.(2)推理的形式结构为(p→q) ∧q→p此形式结构不是重言式, 故推理不正确.(3)推理形式结构为(p→r) ∧￢r→￢p此形式结构为重言式, 即(p→r) ∧￢r⇒￢p故推理正确.(4)推理形式结构为(p→q) ∧￢p→￢q此形式结构不是重言式, 故推理不正确.(5)推理形式结构为(p→(q∨r) )∧p →q它不是重言式, 故推理不正确.(6)推理形式结构为(p↔r) ∧￢p→￢r此形式结构为重言式, 即(p↔r) ∧￢p⇒￢r故推理正确.推理是否正确, 可用多种方法证明. 证明的方法有真值表法, 等值演算法. 证明推理正确还可用构造证明法.下面用等值演算法和构造证明法证明(6)推理正确.1. 等值演算法(p↔r) ∧￢p→￢r⇔(p→r) ∧(r→p)∧￢p→￢r⇔￢((￢p∨r) ∧(￢r∨p)∧￢p) ∨￢r⇔￢(￢p∨r) ∨￢(￢r∨p) ∨p ∨￢r⇔(p∧￢r)∨(r∧￢p)∨p ∨￢r⇔ (r∧￢p)∨p ∨￢r 吸收律⇔ (r∧￢p)∨￢（￢p ∨r）德摩根律⇔1即(p↔r) ∧￢p⇒￢r故推理正确2.构造证明法前提: (p↔r), ￢p结论: ￢r证明:①p↔r 前提引入②(p→r) ∧(r→p) ①置换③r→p ②化简律④￢p 前提引入⑤￢r ③④拒取式所以, 推理正确.第7次作业（P53-54）3.15 在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理: (1)前提: p→(q→r), s→p, q结论: s→r(2)前提: (p∨q) →(r∧s), (s∨t) →u结论: p→u(1)证明:①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→(q→r) 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理(2)证明:①P 附加前提引入②p∨q ①附加③(p∨q) →(r∧s) 前提引入④r∧s ②③假言推理⑤S ④化简⑥s∨t ⑤附加⑦(s∨t) →u 前提引入⑧u ⑥⑦假言推理3.16 在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理:(1)前提: p→￢q, ￢r∨q, r∧￢s结论: ￢p(2)前提: p∨q, p→r, q→s结论: r∨s(1)证明:①P 结论否定引入②p→￢q 前提引入③￢q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ③④析取三段论⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简规则⑧￢r∧r ⑤⑦合取引入规则⑧为矛盾式, 由归谬法可知, 推理正确.(2)证明:①￢(r∨s) 结论否定引入②p∨q 前提引入③p→r 前提引入④q→s 前提引入⑤(p→r) ∧(q→s) ∧(p∨q) ②③④合取引入规则⑥r∨s ⑤构造性二难⑦(r∨s) ∧￢(r∨s) ④⑤合取引入规则⑦为矛盾式, 所以推理正确.第8次作业（P65-66）4.5 在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1)火车都比轮船快.(2)有的火车比有的汽车快.(3)不存在比所有火车都快的汽车.(4)“凡是汽车就比火车慢”是不对的.解：因为没指明个体域, 因而使用全总个体域(1) ∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y))其中, F(x): x 是火车, G(y): y 是轮船, H(x,y):x 比y 快.(2) ∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧H(x,y))其中, F(x): x 是火车, G(y): y 是汽车, H(x,y):x 比y 快.(3) ￢∃x(F(x) ∧∀y(G(y) →H(x,y)))或∀x(F(x) →∃y(G(y) ∧￢H(x,y)))其中, F(x): x 是汽车, G(y): y 是火车, H(x,y):x 比y 快.(4) ￢∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y))或∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧￢H(x,y) )其中, F(x): x 是汽车, G(y): y 是火车, H(x,y):x 比y 慢.4.9 给定解释I 如下:(a)个体域为实数集合R.(b)特定元素a=0.(c)特定函数-f(x,y)=x-y, x,y∈R.(d)谓词-F(x,y): x=y,-G(x,y): x<y, x,y∈R.给出下列公式在I 下的解释, 并指出它们的真值:(1) ∀x∀y(G(x,y) →￢F(x,y))(2) ∀x∀y(F(f(x,y),a) →G(x,y))(3) ∀x∀y(G(x,y) →￢F(f(x,y),a))(4) ∀x∀y(G(f(x,y),a) →F(x,y))解：(1) ∀x∀y(x<y→x≠y), 真值为1.(2) ∀x∀y((x-y=0) →(x<y)), 真值为0.(3) ∀x∀y((x<y) → (x-y≠0)), 真值为1.(4) ∀x∀y((x-y<0) → (x=y)), 真值为0.第9次作业（P79-80）5.5 给定解释I如下:(a) 个体域D={3,4}；(b)-f(x)：-f(3)=4,-f(4)=3；(c)-F(x,y)：-F(3,3)=-F(4,4)=0,-F(3,4)=-F(4,3)=1.试求下列公式在I下的真值:(1) ∀x∃yF(x,y)(2) ∃x∀yF(x,y)(3)∀x∀y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))解：(1)∀x∃yF(x,y)⇔ (F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4,4))⇔ (0∨1)∧(1∨0) ⇔ 1(2)∃x∀yF(x,y)⇔ (F(3,3)∧F(3,4))∨(F(4,3)∧F(4,4))⇔ (0∧1)∨(1∧0) ⇔ 0(3)∀x∀y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))⇔ (F(3,3)→F(f(3),f(3)))∧(F(4,3)→F(f(4),f(3)))∧(F(3,4)→F(f(3),f(4)))∧(F(4,4)→F(f(4),f(4)))⇔ (0→0)∧(1→1)∧(1→1)∧(0→0) ⇔15.12 求下列各式的前束范式.(1)∀xF(x)→∀yG(x, y)(3)∀xF(x, y) ↔∃xG(x, y)(5) ∃x1F(x1, x2)→(F(x1)→￢∃x2G(x1, x2)).解：前束范式不是唯一的.(1) ∀xF(x)→∀yG(x, y)⇔∃x (F(x)→∀yG(t, y))⇔∃x∀y(F(x)→G(t, y)).(3) ∀xF(x, y) ↔∃xG(x, y)⇔ (∀xF(x, y)→∃xG(x, y))∧(∃xG(x, y)→∀xF(x, y))⇔ (∀xF(x, y)→∃uG(u, y))∧(∃xG(x, y)→∀vF(v, y)) ⇔∃x∃u(F(x, y)→G(u, y))∧∀x∀v(G(x, y)→F(v, y))⇔∃x∃u(F(x, y)→G(u, y))∧∀w∀v(G(w, y)→F(v, y)) ⇔∃x∃u∀w∀v ((F(x, y)→G(u, y))∧(G(w, y)→F(v, y))) (5)∃x1F(x1, x2)→(F(x1)→￢∃x2G(x1, x2))⇔∃x1F(x1, x2)→(F(x1)→∀x2￢G(x1, x2))⇔∃x1F(x1, x2)→∀x2(F(x1)→￢G(x1, x2))⇔∃x1F(x1, x3)→∀x2(F(x4)→￢G(x4, x2))⇔∀x1(F(x1, x3)→∀x2(F(x4)→￢G(x4, x2)))⇔∀x1∀x2 (F(x1, x3)→(F(x4)→￢G(x4, x2)))第10次作业（P79-80）5.15 在自然推理系统F L中,构造下面推理的证明:(1) 前提: ∃xF(x) →∀y((F(y)∨G(y))→R(y)),∃xF(x) 结论:∃xR(x).(2) 前提:∀x(F(x)→(G(a)∧R(x))),∃xF(x)结论:∃x(F(x)∧R(x))(3) 前提:∀x(F(x)∨G(x)),￢∃xG(x)结论:∃xF(x)(4) 前提:∀x(F(x)∨G(x)),∀x(￢G(x)∨￢R(x)),∀xR(x)结论: ∃xF(x)(1)证明:①∃xF(x) →∀y((F(y)∨G(y))→R(y)) 前提引入②∃xF(x) 前提引入③∀y((F(y)∨G(y))→R(y)) ①②假言推理④(F(c)∨G(c))→R(c) ③全称量词消去规则⑤F(c) ①存在量词消去规则⑥F(c) ∨G(c) ⑤附加⑦R(c) ④⑥假言推理⑧∃xR(x) ⑦存在量词引入规则(2) 证明:①∃xF(x) 前提引入②F(c) ①存在量词消去规则③∀x(F(x)→(G(a)∧R(x))) 前提引入④F(c)→(G(a)∧R(c)) ④全称量词消去规则⑤G(a)∧R(c) ②④假言推理⑥R(c) ⑤化简⑦F(c)∧R(c) ②⑥合取引入⑧∃x(F(x)∧R(x)) ⑦存在量词引入规则(3) 证明:①￢∃xG(x) 前提引入②∀x￢G(x) ①置换③￢G(c) ②全称量词消去规则④∀x(F(x)∨G(x)) 前提引入⑤F(c)∨G(c) ④全称量词消去规则⑥F(c) ③⑤析取三段论⑦∃xF(x) ⑥存在量词引入规则(4) 证明:①∀x(F(x)∨G(x)) 前提引入②F(y)∨G(y) ①全称量词消去规则③∀x(￢G(x)∨￢R(x)) 前提引入④￢G(y) ∨￢R(y) ③全称量词消去规则⑤∀xR(x) 前提引入⑥R(y) ⑤全称量词消去规则⑦￢G(y) ④⑥析取三段论⑧F(y) ②⑦析取三段论⑥∃xF(x) ⑧存在量词引入规则第11次作业（P96）6.4. 设F 表示一年级大学生的集合, S 表示二年级大学生的集合, M表示数学专业学生的集合, R 表示计算机专业学生的集合, T表示听离散数学课学生的集合, G 表示星期一晚上参加音乐会的学生的集合, H 表示星期一晚上很迟才睡觉的学生的集合. 问下列各句子所对应的集合表达式分别是什么? 请从备选的答案中挑出来.(1)所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课.(2)这些且只有这些学离散数学课的学生或者星期一晚上去听音乐会的学生在星期一晚上很迟才睡觉.(3)听离散数学课的学生都没参加星期一晚上的音乐会.(4)这个音乐会只有大学一, 二年级的学生参加.(5)除去数学专业和计算机专业以外的二年级学生都去参加了音乐会.备选答案:①T⊆G∪H ②G∪H⊆T ③S∩R⊆T④H＝G∪T ⑤T∩G＝∅⑥F∪S⊆G⑦G⊆F∪S ⑧S-(R∪M) ⊆G ⑥G⊆S-(R∩M)解:(1) ③S∩R⊆T(2) ④H=G∪T(3) ⑤T∩G=∅(4) ⑦G⊆F∪S(5) ⑧S-(R∪M)⊆G6.5. 确定下列命题是否为真:(1) ∅⊆∅(2) ∅∈∅(3) ∅⊆{∅}(4)∅∈{∅}(5){a, b}⊆{a, b, c, {a, b, c}}(6){a, b}∈{a, b, c, {a, b }}(7){a, b}⊆{a, b, {{a, b}}}(8){a, b}∈{a, b, {{a, b}}}解:(1) 真(2)假(3) 真(4) 真(5) 真(6) 真(7) 真(8) 假第12次作业（P130-131）7.1. 已知A={∅,{∅}},求A×P(A).解:A×P(A)= {∅,{∅}}×{∅,{∅},{{∅}},{∅,{∅}}}={<∅, ∅>,<∅,{∅}>,<∅,{{∅}}>,<∅,{∅,{∅}}>,<{∅},∅>,<{∅},{∅}>,<{∅},{{∅}}>, <{∅},{∅,{∅}}>}7.7. 列出集合A={2, 3, 4}上的恒等关系I A, 全域关系E A, 小于或等于关系L A, 整除关系D A.解:I A={<2,2>,<3,3>,<4,4>}E A=A×A={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<4,2>,<4,3>,<4,4>}L A={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}D A={<2,2>,<2,4>,<3,3>,<4,4>}7.12.设A={0, 1, 2, 3}, R 是A 上的关系, 且R={〈0, 0〉, 〈0, 3〉, 〈2, 0〉, 〈2, 1〉, 〈2, 3〉, 〈3, 2〉}给出R 的关系矩阵和关系图.解:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010110100001001第13次作业（P131）7.13.设A = {〈1, 2〉, 〈2, 4〉, 〈3, 3〉}B = {〈1, 3〉, 〈2, 4〉, 〈4, 2〉}求A ∪B , A ∩B , dom A , dom(A ∪B ), ran A , ran B , ran(A ∩B ), fld(A −B ).解:A ∪B={〈1,2〉, 〈1,3〉, 〈2,4〉, 〈3,3〉, 〈4,2〉} A∩B={〈2,4〉} domA={1,2,3}dom(A ∪B)={1,2,3,4} ranA={2,3,4} ranB={3,4,2}ran(A∩B)={4}fld(A−B)={1,2,3}7.15.设A={〈∅,{∅,{∅}}〉,〈{∅},∅〉}求A −1,A 2,A 3,A ↾{∅},A[∅],A↾∅,A ↾{{∅}},A[{{∅}}].解:A −1={〈{∅,{∅}},∅〉,〈∅,{∅}〉},A 2={〈{∅},{∅,{∅}}〉},A 3=∅,A ↾{∅}={〈∅,{∅,{∅}}〉},A[∅]={∅,{∅}},A ↾∅=∅,A ↾{{∅}}={〈{∅},∅〉},A[{{∅}}]=∅7.16.设A={a,b,c,d}, R1,R2 为A 上的关系, 其中R 1={〈a,a〉,〈a,b〉,〈b,d〉}R 2={〈a,d〉,〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,b〉}求R 1○R 2, R 2○R 1,R 12,R 23.解:R 1○R 2={〈a,a〉,〈a,c〉,〈a,d〉},R 2○R 1={〈c,d〉},R 12={〈a,a〉,〈a,b〉,〈a,d〉},R 23={〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,b〉} 0 1 237.17.设A={a,b,c}, 试给出A 上两个不同的关系R 1和R 2,使得 R 12=R 1, R 23=R 2.解:R 1={〈a,a〉,〈b,b〉},R 2={〈b,c〉,〈c,b〉}第14次作业（P131-133）7.21. 设A={1，2，…,10},定义A 上的关系R={<x,y>|x,y ∈A ∧x+y=10}说明R 具有哪些性质并说明理由。
《离散数学》第二次作业
《离散数学》第二次作业校外学习中心： 专业： 姓名：学号：作业要求：1、离线作业主要用于引导学生自主学习，学生可根据自己的学习情况与需求自愿完成。
2、 不参加在线测查的，学习中心应将学生的离线作业邮寄到东北师大网络教学管理部批阅，具体时间见本学期院历（日期以当地交邮时间为准）。
3、离线作业必须由本人手写完成，如发现作业非本人手写，一律无效。
得 分一、单项选择题（每小题2分，共16分）1. 设G 是4阶群，则其子群的阶不能是下面的 C 。
A. 1B. 2C. 3D. 42. 数的加法在下列集合中 C 上是封闭的。
A ．{}1 , 0B ．{}1 1，-C ．{}Z b a b a ∈+ ,D ．{}是奇数x x3. 下列图形中为欧拉图的是 C 。
4. 下列代数系统* , G 中， D 不构成群。
A ．{}01 , 1=G ，*是模11乘法 B ．{}9 , 5 , 4 , 3 , 1=G ，*是模11乘法 C ．G 为有理数集，*是普通加法D ．G 为有理数集，*是普通乘法5. 设G 为有n 个顶点的简单图，则有 A 。
A ． ()n G ∆B ． ()n G ≤∆C ． ()n G ∆D ． ()n G ≥∆6．任意一个具有多个等幂元的半群 (若元素a 满足a a a =*，则称a 为等幂元)，该半群 A 。
A ．不能构成群B ．不一定能构成群C ．必能构成群D ．能构成交换群7．设I 是整数集合，下列集合中 D 关于数的加法和乘法构成整环。
A ．{}I n n ∈ 2B ．{}I n n ∈+ 12C ．{}I n n n ∈≥ , 0D ．I8．设集合{}3 , 2 , 1=A ，{}5 , 4 , 3 , 2=B ，{}16 , 8 , 4 , 2=C ，{}4 , 3 , 2 , 1=D ，又规定偏序关系“|”是集合上的“整除”关系，则下列偏序集中 C 能构成格。
A ．, A B ． , B C ． , CD ．, D二、填空题（每空2分，共18分）1. 当n 为 奇 数时，()3≥n K n 必为欧拉图。
离散数学第二次作业
第二次作业1、使用包含排斥原理求在1~10000之间（包括1和10000在内）不能被4、5、6整除的整数有多少个？（见书P107 24）解:|A|=[10000/4]=2500|B|=[10000/5]=2000|C|=[10000/6]=1666|A∩ B|=[1000/lcm(4,5)]=[10000/20]=500|A∩ C|=[1000/lcm(4,6)]=[10000/12]=833|B∩ C|=[1000/lcm(5,6)]=[10000/30]=333|A∩ B ∩ C|=[1000/lcm(4,5,6)]=[10000/60]=166|¯A ∩¯B ∩¯C|=|S|-(|A|+|B|+|C|)+(|A∩ B|+|A∩ C|+|B∩ C|)-|A∩ B ∩ C|=10000-(2500+2000+1666) +(500+833+333) -166=53342、证明下列集合恒等式：（见书P108 33）（1）A∩（B∪~A）= B∩A证对任意的X ,有X ∈A ∩(B ∪~A) ⇔x ∈A ∧X ∈(B ∪~A)⇔X ∈A ∧(X ∈B ∨X ∈~A)⇔X ∈A ∧(X ∈B ∨X ∉ A )⇔X ∈A ∧(X ∈B ∨⌝X ∈A )⇔X ∈A ∧X ∈B⇔A ∩B⇔B ∩A所以 A ∩(B ∪~A) = B∩（2）~（（~A∪~B）∩~A）=A证~((~A∪~B)∩~A) =(~A∪~B)∩~A双重否定律= ~A吸收律=A双重否定律3、设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>}B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}求A∪B，A∩B，domA，domB，dom（A∪B），ranA，ranB, ran(A∩B), fld(A-B) A ∪B={<1,2>,<2,4>,<3,3>, <1,3>,<4,2>}A ∩B={<2,4>}A-B={<1,2>, <3,3>, <1,3>, <4,2>}domA={1,2,3}domB={1,2,4}dom (A ∪B ) ={1,2,3,4}ranA={2,4,3}ranB={3,4,2}ran(A∩B)={4}fld(A-B)={1,2,3,4}4、设A={a,b,c,d}, R1, R2为A上的关系，其中R1={<a,a>,<a,b>,<b,d>}R2={<a,d>,<b,c>,<b,d>,<c,b>}求R1︒ R2，R2︒ R1，R12，R23 （见书P140 16）解: R1︒ R2={<a,d>,<a,c>,<a,d>}R2︒ R1={<c,d>}R12= R1︒R1{<a,a>,<a,b>,<a,d>}R22= R2︒ R2={<b,b>,<c,c>,<c,d>}R23= R2︒ R22={<b,c>,<c,b>,<b,d>}【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。
离散数学（第二版）课后习题答案详解（完整版）
离散数学（第⼆版）课后习题答案详解（完整版）习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题？在是命题的句⼦中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四⼤发明.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（2）5 是⽆理数.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（3）3 是素数或 4 是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为1.（4）2x+ <3 5 答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2 与3 是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（11）只有6 是偶数，3 才能是2 的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8 是偶数的充分必要条件是8 能被3 整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008 年元旦下⼤雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四⼤发明.（2）p: 是⽆理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π.（13）p:2008 年元旦下⼤雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5 是有理数.答：否定式：5 是⽆理数. p：5 是有理数.q：5 是⽆理数.其否定式q 的真值为1.（2）25 不是⽆理数.答：否定式：25 是有理数. p：25 不是⽆理数. q：25 是有理数. 其否定式q 的真值为1.（3）2.5 是⾃然数.答：否定式：2.5 不是⾃然数. p：2.5 是⾃然数. q：2.5 不是⾃然数. 其否定式q 的真值为1.（4）ln1 是整数.答：否定式：ln1 不是整数. p：ln1 是整数. q：ln1 不是整数. 其否定式q 的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 与5 都是素数答：p：2 是素数，q：5 是素数，符号化为p q∧，其真值为 1.（2）不但π是⽆理数，⽽且⾃然对数的底e 也是⽆理数.答：p：π是⽆理数，q：⾃然对数的底e 是⽆理数，符号化为p q∧，其真值为1.（3）虽然2 是最⼩的素数，但2 不是最⼩的⾃然数.答：p：2 是最⼩的素数，q：2 是最⼩的⾃然数，符号化为p q∧? ，其真值为1.（4）3 是偶素数.答：p：3 是素数，q：3 是偶数，符号化为p q∧，其真值为0.（5）4 既不是素数，也不是偶数.答：p：4 是素数，q：4 是偶数，符号化为? ∧?p q，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 或3 是偶数.（2）2 或4 是偶数.（3）3 或5 是偶数.（4）3 不是偶数或4 不是偶数.（5）3 不是素数或4 不是偶数.答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q∨，其真值为1.(2)符号化：p r∨，其真值为1.(3)符号化：r t∨，其真值为0.(4)符号化：? ∨?q s，其真值为1.(5)符号化：? ∨?r s，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答：p：⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果，q：⼩丽从筐⾥拿⼀个梨，符号化为: p q∨ .（2）这学期，刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答：p：刘晓⽉选学英语，q：刘晓⽉选学⽇语，符号化为: (? ∧∨∧?p q)(p q) .7.设p：王冬⽣于1971 年，q：王冬⽣于1972 年，说明命题“王冬⽣于1971 年或1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值., 就有；（1）只要, 则；, 才有；（3）只有, 才有；（4）除⾮, 否则；（5）除⾮（6）仅当.答:设p: , 则: ; 设q: , 则: .（1）；（2）；；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.（1）；（2）；（3）；（4）.答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.（1）若2+2=4,则地球是静⽌不动的；（2）若2+2=4,则地球是运动不⽌的；（3）若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存；（4）若地球上没有⽔,则是⽆理数.12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4 当且仅当3+3=6；（2）2+2=4 的充要条件是3+3 6；（3）2+2 4 与3+3=6 互为充要条件；（4）若2+2 4,则3+3 6,反之亦然.答:设p:2+2=4,q:3+3=6.（1）若今天是星期⼀,则明天是星期⼆；（2）只有今天是星期⼀,明天才是星期⼆；（3）今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆；（4）若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.（1）刘晓⽉跑得快,跳得⾼；（2）⽼王是⼭东⼈或者河北⼈；（3）因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服；（4）王欢与李乐组成⼀个⼩组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐；（8）如果天下⼤⾬,他就乘班车上班；（9）只有天下⼤⾬,他才乘班车上班；（10）除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2 与4 都是素数,这是不对的；（13）“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的.答:q：⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起. 求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q 真值为1，r 真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q 的真值为0,r,s 的真值为1 时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下⾯⼀段论述是否为真：“ 是⽆理数.并且,如果3 是⽆理数,则也是⽆理数.另外,只有6 能被2 整除,6 才能被4 整除.”解：p: 是⽆理数q: 3 是⽆理数r:是⽆理数s: 6 能被2 整除t：6 能被 4 整除符号化为: ，该式为重⾔式，所以论述为真。
离散数学作业答案
离散数学作业5离散数学图论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。
本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。
要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第15周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。
并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。
一、填空题1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是15． 2．设给定图G (如右由图所示)，则图G 的点割集是{f}．3．设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则G 的结点度数之和等于边数的两倍．4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且等于出度．5．设G=<V ，E >是具有n 个结点的简单图，若在G 中每一对结点度数之和大于等于n-1，则在G 中存在一条汉密尔顿路．6．若图G=<V ,E>中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为W ?|S|．7．设完全图K n 有n 个结点(n ?2)，m 条边，当n 为奇数时，K n 中存在欧拉回路．8．结点数v 与边数e 满足e=v -1关系的无向连通图就是树．9．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去 4条边后使之变成树．10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i =5．二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．如果图G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G 存在一条欧拉回路．． 错。
离散数学第二次作业
离散数学第二次作业班级姓名学号成绩一、图的概念、连通性与矩阵表示选择/填空题1、任何n个节点m条边的图G = (V,E) , 边数与顶点度数的关系是。
2、任一有向图中，度数为奇数的结点有( )个。
的边数为。
3、n阶完全图Kn4、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。
5、已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是．6、下面四组数能构成无向图的度数列的有( )。
A、 2,3,4,5,6,7；B、 1,2,2,3,4；C、 2,1,1,1,2；D、 3,3,5,6,0。
7、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。
(1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 168、在有n个顶点的连通图中，其边数（）。
(1) 最多有n-1条 (2) 至少有n-1 条(3) 最多有n条 (4) 至少有n 条的补图为（）。
9、如右图相对于完全图K510、给定无向图G如下图所示，下面给出的结点集子集中，不是点割集的为（）．A．{b, d} B．{d}C．{a, c} D．{b, e}11、图G 如右图所示，以下说法正确的是 ( ) ．A ．{(a , c )}是割边B ．{(a , c )}是边割集C ．{(b , c )}是边割集D ．{(a, c ) ,(b, c )}是边割集12、给定无向图G=<V, E>如下图所示，下面哪个边集不是其边割集（ ）。
A 、；B 、{<v1,v4>,<v4,v6>};C 、；D 、。
13、设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如下图所示，则下列结论成立的是( )．A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的14、下图 的邻接矩阵A=15、设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100000100，则G 的边数为( )． A ．5 B ．6 C ．3 D ．416、图 的邻接矩阵为( )。
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2013年4月考试离散数学第二次作业一、单项选择题（本大题共50分，共 25 小题，每小题 2 分）1. 下列语句中为命题的是（）A. 暮春三月，江南草长.B. 这是多么可爱的风景啊！C. 大家想做什么，就做什么，行吗？D. 请勿践踏草地！2. 2.设G是n个顶点的无向简单图，则下列说法不正确的是（）A. 若G是树，则其边数等于n-1B. 若G是欧拉图，则G中必有割边C. 若G中有欧拉路，则G是连通图，且有零个或两个奇度数顶点D. 若G中任意一对顶点的度数之和大于等于n-1，则G中有汉密尔顿路3. 集合|A|=3，|B|=2，则A B上不同的函数个数为（）。
A. 3+2个B. 32个C. 2*3个D. 23个4. 设A-B=φ，则以下正确的是（）。
A. A＝BB. A⊆BC. B⊆AD. 以上都不对5. 设R为实数集，函数f：R→R，f(x)=2x，则f是（）A. 满射函数B. 入射函数C. 双射函数D. 非入射非满射6. 设B={a,b,c},C={1,2,3,4}，以下哪个关系是从B到C的单射函数？（）A. f={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,7>}B. f={<1,7>,<2,6>,<4,8>,<1,9>,<5,10>}C. f={<1,7>,<2,7>,<4,9>,<3,8>}D. f={<1,10>,<5,9>,<3,6>,<4,6>,<2,8>}E.f={<1,7>,<5,10>,<2,6>,<4,8>,<3,9>}7. 下述*运算为实数集上的运算，其中可交换且可结合的运算是（）。
A. a*b=a+2b B. a*b=a+b-ab C. a*b=a D. a*b=|a+b|8. 在下列命题中，为真的命题是（）A. 汉密顿图一定是欧拉图B. 无向完全图都是欧拉图C. 度数为奇数的结点个数为0个或2个的连通无向图G可以一笔画出D. 有割点的连通图是汉密顿图9. 设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“只有小李努力学习，他才能取得好成绩”的符号化形式为（）。
A. B. C.D.10. 若个体域为整数集，下列公式中哪个值为真？（）A. ∀x y(x+y=0)B. y∀x(x+y=0)C. x∀y(x+y=0)D. ∀x∀y(x+y=0)11. 若X是Y的子集，则一定有（）。
A. X不属于Y B. X∈Y C. X真包含于Y D. X∩Y=X12. 下列各图是平面图的是（）。
A. B.C. D.13. 函数的复合满足（）A. 交换律B. 结合律C. 幂等律D. 分配律14. 设论域为整数集合，下列真值为真的公式为（）。
A.B. C. D.15. 设A={Φ}，B=P（P（A）），以下不正确的式子是（）。
A. {{Φ}，{{Φ}}，{Φ，{Φ}}}包含于BB. {{{Φ}}}包含于BC. {{Φ，{Φ}}}包含于BD. {{Φ}，{{Φ，{Φ}}}}包含于B16. 设有完全m叉树，其树叶数为t，分枝点数为i，则下列成立的是( )A. m=i+tB. t=i-1C. :(m-1)i=t-1D. (t-1)i=m-117. 所有使命题公式为真的赋值为（）。
A. 010，100，101，110，111B. 010，100，101，111C. 全体赋值D. 不存在18. 下面哪个命题是假命题？（）A. 如果2是偶数，那么一个公式的析取范式唯一B. 如果2是偶数，那么一个公式的析取范式不唯一C. 如果2是奇数，那么一个公式的析取范式唯一D. 如果2是奇数，那么一个公式的析取范式不唯一19. 下列关系矩阵所对应的关系有反自反性的是（）。
A. B.C. D.20. 以下叙述正确的是：（）。
A. Φ的幂集没有任何元素。
B. 整数集上关于加法运算的幺元是0。
C. 整数集上的任何元素x关于乘法运算均有逆元1/x。
D. 整数集上的关于乘法运算的幺元是0。
21. 结点数为奇数且所有结点的度数也为奇数的连通图必定是（）A. 欧拉图B. 汉密尔顿图C. 非平面图D. 不存在的22. 命题公式P→ Q∧ R的对偶式为？（）A. P →（ Q ∨R ）B. P ∧（ Q ∨R ）C. ⎤P ∨（ Q ∧R ）D. ⎤ P∧（Q∨ R）23. 设X={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，判定下面哪个是否是X的划分（）A. {{1,3,6}，{2,8}，{5,7,9}}B. {{1,5,7},{2,4,8,9},{3,5,6}}C. {{2,4,5,8},{1,9},{3,6,7}}D. {{1,2},{3,5},{4,6,8,9},{3,5}}24. 设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{i,-i,1,-1},•>是群，下列是G的子群是（）。
A.B. 〈{-1},•〉C. 〈{i},•〉D. 〈{-i},•〉25. 谓词公式∀x（P(x)∨(yR(y))→Q(x)中变元x是（）。
A. 自由变元B. 约束变元C. 既不是自由变元也不是约束变元D. 既是自由变元也是约束变元二、多项选择题（本大题共18分，共 6 小题，每小题 3 分）1. 以下叙述正确的是（）。
A. 的幂集没有任何元素B. 整数集上关于加法运算的幺元是0C. 整数集上关于乘法运算的幺元是1D. 整数集上的关于乘法运算的零元是02. 在下列命题中，为真的命题是（）A. 具有6个结点的无向完全图共有15条边。
B. 无向完全图都是欧拉图。
C. 度数为奇数的结点个数为0个或2个的连通无向图G可以一笔画出。
D. 有割点的连通图是汉密顿图。
3. 以下叙述正确的是（）。
A. 若A＝{φ,1,2}，则A的幂集有8个元素 B.朋友关系是等价关系 C. 具有5个顶点的完全图，需要删去6条边才能得到树D. 集合B = {{a},3,4,1}，E为全集，则φ{{a}}B E4. 设Z是整数集合，+是一般加法，则下述函数中哪些是群（Z，+）的自同态？（）A. f(x)=2xB. f(x)=1000xC. f(x)=|x|D. f(x)=05. 设偏序集<,≤> 的哈斯图如下所示，若A的子集B = {2,3,4},则元素为B的极大元为( )。
A. 5B. 6C. 3D. 46. 设T是一棵具有n个结点m条边（n2）的树，则T（）。
A. 连通 B. 包含有环 C. m=n-1 D. 至少有两个度为1的结点三、判断题（本大题共32分，共 16 小题，每小题 2 分）1. 同一谓词公式，指定不同的论域，其真值不一定相同。
（）2. 任何一棵非平凡树至少有两片树叶（）3. K5的点连通度为4，边连通度为4。
（）4. 任何合式公式的主析取范式都是唯一的（如果存在的话）（）。
5. “他打开箱子走了进来”。
是一个原子命题（）6. P(A)*P(B)＝P(A*B)A,B为任意集合（）7. 任意一个谓词公式都与一个前束范式等价。
（）8. A、B是集合，则命题A⊆B和B⊆A可能同时成立。
（）9. 能一笔画出的图一定是欧拉图。
（）10. 为矛盾式。
（）11. 若集合A上的二元关系R是对称的，R C一定是对称的。
（）12. 交换群必是循环群。
（）13. 不存在既有欧拉回路又有汉密尔顿回路的图。
（）14. 任何图中必有偶数个度数为奇数的结点。
（）15. 为重言式。
（）16. 设是一个代数系统，且集合A中元素的个数大于1。
如果该代数系统中存在幺元e和零元，则e。
（）答案：一、单项选择题（50分，共 25 题，每小题 2 分）1. A2. B3. D4. A5. B6. D7. B8. C9. A 10. A 11. D 12. A 13. B14. A 15. D 16. C 17. A 18. B 19. B 20. B 21. D 22. D 23. C 24. A 25.D二、多项选择题（18分，共 6 题，每小题 3 分）1. BCD2. AC3. ACD4. ABD5. CD6. ACD三、判断题（32分，共 16 题，每小题 2 分）1. √2. √3. √4. √5. ×6. ×7. √8. √9. × 10. √ 11. √ 12. × 13. × 14. √ 15. √ 16. √。