微积分定积分的概念和性质

总 结
１．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法
分割 求和 取极限 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
取极限
精确值——定积分
１．定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用） ２．典型问题 估计积分值；不计算定积分比较积分大小； 求极限，
47
第五章 第一、二节
P141习题5-1 1.(3) P144习题5-2 2.(1),3.(1)
性质 3 (对区间的可加性 )
a f ( x) d x a f ( x) d x c
不论
b
c
b
f ( x) d x
a , b, c 的相对位置如何, 上式总成立.

性质 4
b
a
f ( i )x i f ( x)dx lim 0
i 1
n

b
a
1d x d x b a
设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上有界， 且只有有限个第一类间断点，
则 f ( x ) 在区间[ a , b ]上可积.
33
四、定积分的几何意义 y y f ( x)
A3 A1
面积：
c a
a
c
A2 O
d
b
由极限保号性：
x
A1 f ( x) d x,
dd
f ( x) d x 0, A ff((x ))d x , a c A x d x , 2 2 - cc b b f ( x ) d x 0. A3 f ( x) d x. d d
x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ， 在各小区间上任取
作乘积 f ( i )x i ( i 1,2,) 一点 i （ i [ xi 1, xi ] ），
并作和 S f ( i )x i ，
n i 1
记 max{x1 , x 2 , , x n }， 如果不论对[a , b ]
m(b a ) f ( x) d x M (b a ) .
a
44
b
性质 7 (积分中值定理)
若 f ( x) C ([a, b]), g ( x) R ([a, b]), 且 g ( x)
在 [a, b] 上保持符号不变, 则 [a, b] , 使得
a f ( x) g ( x) d x f ( )a g ( x) d x .
26
二、定积分的定义 定义 设函数 f ( x ) 在[a , b ]上有界， 在[a , b]中任意插入
若干个分点
(称点集{ xi }n 的一个划分 ). i 0 为区间[a , b] 把区间[ a , b ]分成 n 个小区间，各小区间的长度依次为
a x0 x1 x2 xn 1 xn b
主讲教师： 李晓沛
1
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分的概念
2
一.问题的提出
几何图形的面积
怎么求它的面积？
3
曲边梯形： 三边为直线，其中有两边相互 平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条 曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点 （这里不排除某直线缩成一点）.
4
y
设 f ( x) 0, f ( x ) C ([ a , b ]) .
i 1 n
（2）替代
si v ( i )t i
某时刻的速度
（4）取极限 max{t1 , t 2 ,, t n } 路程的精确值 s lim v ( i )t i
0 i 1
n
曲边梯形面积为 A l ( i ) x i
x cos x sin x cos x ( x tan x ) f ( x ) 2 0, x x2 f ( x ) 在[ , ]上单调下降, 故 4 2 2 2 m f () 2 , M f( ) , 2 4 2 sin x 2 2 2 dx , b a , 4 4 x 4 2 4 4 1 sin x 2 2 dx . 2 4 x 2 46
i 1
6
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
7
当分割无限加细, 即小区间的最大长度 max{x1 , x2 , xn } 趋近于零 ( 0) 时，就得到 曲边梯形面积的精确值
曲边梯形面积为
第二步：代替
i [ xi 1 , xi ], 则 小曲边梯形面积 :
y f ( x)
S i f ( i )xi . Si 与 i 的选择有关 .
对每个小曲边梯形
O
a x1
xi 1 xi
i
割
b
均作上述的代替
x
称为区间的一个分割T 第一步：分割 任意引入分点 a x0 x1 xi 1 xi xn1 xn b , 将 [a, b]分 成 n 个小区间[ xi 1 , xi ] (i 1,2, , n). 用 xi xi xi 1 表示第 i 个小区间的长度 .
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
25
（1）分划 T1 t 0 t1 t 2 t n1 t n T2
t i t i t i 1
部分路程值 （3）求和 s v ( i )t i
用直线 x xk (k 1,2, n 1) 把曲边梯形分为n个小曲边梯形
5
y
y f ( x)
如何求精确值？
O
a x1
xi 1 xi
b
x
第三步：求和
曲边梯形面积 : S Si f ( i )xi S1 .
n
n
S1 与分法 T 及点i 的选择有关.
i 1
S lim f ( i )xi
0
i 1
n
23
解决曲边梯形面积的思想方法是：
分割 — 代替 — 求和 — 取极限 .
曲边梯形面积为
S lim f ( i )xi
0
i 1
n
24
求变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度 v v ( t ) 是 时 间 间 隔 [T1 , T2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v ( t ) 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程.
a a
b
b
b
(2) 定积分 f ( x) d x 是一个极限值 (具体的数),
a
它与分法 T 及点 i 的选择无关, 只与f ( x) 及 区间 [a, b] 有关.
29
什么样的函 数可积？
32
三、存在定理 定理1 定理2
当函数 f ( x ) 在区间[a , b ]上连续时， 则 f ( x ) 在区间[a , b ]上可积.
c
d
f ( x) d x 0,
34
四、定积分的几何意义 y y f ( x)
A3 A1 a c A2 O
d
b
x

b
a
f ( x) d x 等于曲线 y f ( x) 与直线 x a, x b
及 x 轴所围成的几个曲边梯 形的面积的代数和 .
35
例
利用定积分的几何意义 计算 xd x
式中, 、 为常数 .
b
b
b
f ( i )x i f ( x)dx lim 可以推广至有限个可积函数的情形 . 0 i 1 a

b
n
性质 2
a f ( x )dx b
b
a
f ( x )dx .
说明 在下面的讨论中,假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
41
若 g ( x) 1 , 则
y
b
b
b
a f ( x) d x f ( )a d x
f ( )(b a ) .
b
y f ( x)
O
a

b x
45
sin x 例1 估计积分 x dx 的值. sin x 解 f ( x) , x [ 4 , 2] x
2 4
a f ( x) d x a g ( x) d x .
43
b
b
令h ( x ) f ( x ) g ( x )
推论 2
| f ( x) d x | | f ( x) | d x
a a b b
性质 6(估值定理)
设 M , m 分别为 f ( x) 在 [a, b] 上的最大, 最小值, 则
第五章 第三节
48
0
1
利用定积分的几何意义 计算 xd x
1
1
利用定积分的几何意义计算 2 x x 2 dx
11
2 1
36
第二节 定积分的性质 中值定理
补充规定:
当 a b 时， f ( x )dx 0 ；
a b
40
性质 1 (线性性质)
a [ f ( x) g ( x)]d x a f ( x) d x a g ( x) d x ,
积分变量 被积函数
被积表达式
b
n
积分和
积分下限
[a , b] 积分区间