数学的魅力例子

四、“三角形三内角之和等于180度， 这个命题不好”
这句话是1978年数学大师陈省身先生在北京大学的 一次演讲中说的，后来又多次说过。 所以，这不是随便说的一句话。 陈先生并没有说“三角形三内角之和等于180度， 这个命题不对”，而是说“这个命题不好”。
三角形三内角之和 = 180 度 n 边形 n 内角之和 = ？ n 边形 n 内角之和 = 180 度 × ( n – 2 )
1968年挪威数学家奥雷证明了,不超过40个国家的 地图可以用四种颜色着色。 但是，他们都没有最终证明“四色猜想”。 直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前 人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。 到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台 IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于 证明了四色猜想。
拓展了人们对“证明”的理解
六、素数的奥秘
自然数是整个数学最重要的元素。 自然数中有一种特别基本又特别重要的数，称为“素 数”。 素数是大于1的自然数中，只能被自己和1整除的数； 大于1的自然数中不是素数的都称为“合数”； 1则既不是素数也不是合数。
由于在大于1的自然数中，素数的因子最少，所以素 数是特别简单的数。 又由于一切大于1的自然数都能够从素数通过乘法得 到，所以素数又是特别基本的数。 素数很早就被古希腊的数学家所研究。 2300多年前欧几里得的几何《原本》第9卷的定理 20，就给出了“素数有无穷多个”的漂亮证明。
第一章 概 述
第二节 数学的魅力
数学的魅力
你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可 能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然的美； 那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐一样和谐 ，像图画一样美丽，而且它在更深的层次上，揭示 自然界和人类社会内在的规律，用简洁的、漂亮的 定理和公式描述世界的本质。
合理的退让——不得已而求其次
加强命题的条件 或者减弱命题的结论
希伍德证明了“五色定理”
一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研 究,获得了一系列成果。 1920年弗兰克林证明了,对于不超过25个国家的地 图,四色猜想是正确的。 1926年雷诺兹将国家的数目提高到27个。 1936年弗兰克林将国家的数目提高到31个。
1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上 发表论文，宣布证明了“四色猜想”。 但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的 证明中有严重错误。
一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如 此困难，这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问 题的魅力。
实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小 并不重要,重要的是它们的相互位置。 下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从 数学上看,问题的实质在于地图的“拓扑结构”。
数学，有无穷的魅力！
一、渔网的几何规律
用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网 ，无论你织一片多大的网，它的结点数(V)，网眼数 (F)，边数(E)都必定适合下面的公式：
V + F– E = 1
多面体的欧拉公式 V + F– E =2
数学就有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变 得简明，把看起来混乱的事物理出规律。
这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时, 当地邮局特地制作了纪念邮戳"四色足够"(FOUR COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。
由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯 和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从 根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学 家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
二、大连至少有两个人头发根数一样多
“存在性命题” ：大连市一定存在两个头发根数一 样多的人。
对于存在性命题，通常有两类证明方法： 一类是构造源自文库的证明方法，即把需要证明存在的事 物构造出来，便完成了证明； 一类是纯存在性证明，并不具体给出存在的事物， 而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。
例如“任意两个正整数都存在最大公约数” 这个存 在性命题，我们可以用“辗转相除法”给出构造性 的证明，在证明最大公约数存在的同时，也给出了 求最大公约数的方法。(例：（210，1950）= 30 )
大连至少有两个人头发根数一样多
纯存在性证明 ： “抽屉原理” 证明“367个人中至少有两个人的生日是相同的” 证明“大连市一定存在两个头发根数一样多的人”
三、圆的魅力
车轮，是历史上最伟大的发明之一 圆，是平面图形中对称性最强的图形 周长与直径之比是一个常数 这个常数是无理数、超越数 面积相等的图形中圆的周长最短 规尺作图化圆为方不可做
n 边形 n 外角之和 = 360 度 不变量 （向量组的秩；矩阵的秩）
五、四色问题
四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于 1852年首先由一位英国大学生F．古色利提出。 他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具 有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色 就够了。
但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟 弗雷德里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰 出的英国数学家德·摩根，希望帮助给出证明。 德·摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少要 四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。
再例如“连续函数如果在两个端点反号，则中间一 定存在零点” 这个存在性命题，我们在教材中看到 的和在课堂上听到的，往往是纯存在性证明，证明 了零点的存在，但并不给出找到零点的方法。
大连至少有两个人头发根数一样多
构造性证明 ： 一个一个地去数天津市南开区中所有人的头发根
数，一定可以找到两个具体的人，不妨称之为张三 和李四，他们的头发根数一样多，便完成了证明。
但是，素数的有些规律，虽然表述出来很容易听懂 ，研究起来却出人意料地困难。（当然，素数的有些规
但德·摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给 了其他数学家,其中包括著名数学家哈密顿。 但这个问题当时没有引起数学家的重视。 直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番 思考后，认为这不是一个可以轻易解决的问题，并 于当年在《伦敦数学会文集》上发表了一篇《论地 图着色》的文章,才引起了更大的注意。