全等三角形证明题(含答案版)

1、如图,四边形AB ＣD 是边长为2的正方形，点G 是

BC 延长线上一点,连结AG ,点Ｅ、F 分别在A Ｇ上，连接B Ｅ、DF ，∠1=∠２ ， ∠3=∠4. (１)证明:△ABE ≌△DAF ； （２）若∠A ＧＢ=30°，求E Ｆ的长.

【解析】

(1）∵四边形AB ＣＤ是正方形, ∴AB=A Ｄ,

在△ABE 和△D ＡF 中,⎪⎩⎪

⎨⎧∠=∠=∠=∠3

41

2DA AB ，

∴△ＡＢE ≌△DAF.

(2)∵四边形ABC Ｄ是正方形， ∴∠1+∠４＝90o ∵∠３=∠４, ∴∠1＋∠３=90o ∴∠ＡFD=9０o

在正方形ABC Ｄ中， ＡＤ∥ＢC ， ∴∠1=∠ＡＧB=30ｏ

在Rt △ＡD Ｆ中，∠AFD ＝90o A Ｄ=２ , ∴AF=

3 , ＤF =1,

由（1）得△ABE ≌△A ＤF, ∴AE ＝DF=１，

∴EF=AF －AE=13-.

2、如图，

,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F

=⊥=∠于点，，平分交于点,请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.

【解析】

（１）ADB ADC △≌△、

ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、BFD BFE △≌△、

ABE ACD △≌△(写出其中的三对即

可).

(２)以△ADB ≌ADC 为例证明.

证明：

,90AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠=°.

在Ｒt ADB △和Rt ADC △中,

,,AB AC AD AD == ∴ Rt ADB △≌Rt ADC △.

３、在△ABC 中,AB=CB,∠A ＢC=90º,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且A Ｅ=ＣF.

(1)求证:R ｔ△ＡＢE ≌Rt △C ＢF ； (２)若∠CAE=30º,求∠ACF 度数.

A

C

B

D

E

F G 1

423

【解析】

(1）∵∠ＡBC=90° ∴∠CBF=∠AB Ｅ=90°

在Ｒt △ABE 和Rt △CBF 中

∵AE=CF, AB=BC ∴Ｒｔ△ＡBE ≌R ｔ△CBF(H Ｌ)

（2)∵AB=BC, ∠A ＢC ＝90° ∴ ∠CAB=∠ＡC B=45°

∵∠BAE=∠CA Ｂ-∠CAE ＝4５°-30°=15°. 由（１）知 Rt △ＡＢE ≌Rt △CB Ｆ, ∴∠BCF ＝∠BAE=15°

∴∠ACF=∠BCF+∠A ＣB=45°+1５°=６0° ４、已知:如图,点C 是线段ＡＢ的中点,CE ＝C Ｄ,∠ＡCD=∠BC Ｅ，

求证:A Ｅ＝

BD.

题2０图 【解析】

∵点C 是线段AB 的中点， ∴A Ｃ=ＢC ， ∵∠A ＣＤ=∠ＢCE,

∴∠A ＣD+∠D ＣE=∠B ＣＥ＋∠DCE,

即∠ACE=∠BCD,

在△AC Ｅ和△BCD 中，AC BC ACE BCD

CE CD ⎧=⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

,

∴△ACE ≌△BCD （SAS ）, ∴ＡＥ=BD. 5

、

如

图

10,

已

知ADE Rt ABC Rt ∆≅∆,

︒=∠=∠90ADE ABC ,

BC 与DE 相交于点F ,连接EB CD ,.

(１）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2)求证：EF CF

=．

【解析】 (1）ABE ADC ∆≅

∆，EBF CDF ∆≅∆

(2）证法一：连接CE

∵ADE Rt ABC Rt ∆≅

∆ ∴AE AC =

∴AEC ACE ∠=∠ 又∵ADE Rt ABC Rt ∆≅

∆

∴AED ACB ∠=∠

B C

E

F

第22题图

∴

AED AEC ACB ACE ∠-∠=∠-∠

即DEC BCE ∠=∠

∴EF CF

=

证法二：∵ADE Rt ABC Rt ∆≅∆

∴

EAD CAB AB AD AE AC ∠=∠==,,,

∴

DAB EAD DAB CAB ∠-∠=∠-∠

即EAB CAD ∠=∠ ∴)(SAS AEB ACD ∆≅

∆

∴ABE ADC EB CD

∠=∠=,

又∵ABC ADE ∠=∠

∴EBF CDF

∠=∠

又∵BFE DFC ∠=∠ ∴)(AAD EBF CDF ∠≅∠

∴EF CF

=

6、如图,点F 是CD 的中点,且AF ⊥CD ，ＢC =Ｅ

D ,∠B ＣD =∠EDC . (1)求证:AB=A

E ；

（２)连接BE ，请指出B Ｅ与A Ｆ、B Ｅ与CD 分别有怎样的关系？

（只需写出结论,不必证明). 【解析】

（1)证明:联结A Ｃ、AD

∵点Ｆ是CD 的中点,且ＡF ⊥C Ｄ，∴AC ＝AD

∴∠AC Ｄ=∠ＡDC ∵∠ＢCD =∠EDC

∴∠AC Ｂ＝∠ＡＤE ∵B Ｃ=ＤE,AC=AD ∴△ABC ≌△AED ∴AB=ＡＥ

（2）ＢE ⊥AF,BE/／C Ｄ,AF 平分BE

7、如图l ，已知正方形ABCD 的对角线A Ｃ、B Ｄ相交于点O ，E 是ＡＣ上一点,连结ＥB,过点A 作AM ⊥ＢE,垂足为Ｍ，AM 交BD 于点F. (1)求证:OE=OF ；

(２)如图２，若点Ｅ在ＡC 的延长线上,A Ｍ⊥ＢE 于点M,交DB 的延长线于点F ，其它条件不变,则结论“O Ｅ=OF ”还成立吗？如果成立,请给出证明；如果不成立,请说明理由.

图1

F M O C

D

B

A

E

图2

F

M

O

C

D

B A

E

【解析】

(１)证明：∵四边形A ＢCD 是正方形．

∴∠BO Ｅ=∠AOF ＝9０︒.O Ｂ＝O Ａ 又∵ＡM ⊥BE ，∴∠ME Ａ+∠MAE ＝9０

︒＝∠ＡF Ｏ＋∠M ＡE

∴∠MEA ＝∠AFO

A

B

C

E