2.2 基本不等式

[解] 设隔墙的长度为 x m，总造价的函数为 y 元，则隔墙 造价为 2x×248＝496x 元，池底造价为 200×80＝16 000 元，
四周围墙造价为2x＋2×20x0×400＝800×x＋20x0元． 因此，总造价为 y＝496x＋800x＋20x0＋16 000(x>0) ＝1 296x＋160x000＋16 000≥2 1 296x·160x000＋16 000 ＝28 800＋16 000＝44 800. 当 1 296x＝160x000，即 x＝1090时，等号成立．这时，污水 池的长为 18 m.故当污水池的长为 18 m，宽为1090 m 时，总造 价最低，最低为 44 800 元．
[做一做]
1．(多选)下列结论正确的是
()
A．对于任意 a，b∈R ，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2 ab均成立
B．若 a，b 同号，则ba＋ab≥2 C．若 a>0，b>0，则 ab≤a＋2 b恒成立 D．若 a>0，b>0，且 a≠b，则 a＋b>2 ab 答案：BD
2．不等式(x－2y)＋x－12y≥2 成立的前提条件为________． 解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正， 所以 x－2y>0，即 x>2y. 答案：x>2y
2．2 基本不等式
新课程标准 1.掌握基本不等式 ab≤a＋2 b(a>0，b>0，当 且仅当 a＝b 时等号成立). 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单 的最大值或最小值问题.
核心素养 逻辑推理 数学建模
[问题导入]
预习课本 P44～46，思考并回答下列问题 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？ 3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？
答案：B
利用基本不等式解应用题
[例 3] (链接教材 P47 例 4)某工厂拟建一座平面图为矩形且 面积为 200 m2 的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四 周围墙建造单价为 400 元/m，中间两道隔墙建造单价为 248 元 /m，池底建造单价为 80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．试 设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
x＝12时，x(1－x)取得最大值14.
答案：14
1 2
[名师点津]
1．不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab的比较 (1)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋2 b≥ ab成立的条件是不同 的．前者要求 a，b 是实数即可，而后者要求 a，b 都是正实数(实 际上后者只要 a≥0，b≥0 即可)． (2)两个不等式 a2＋b2≥2ab 和a＋2 b≥ ab都是带有等号的不 等式，都是“当且仅当 a＝b 时，等号成立”．
所以 x＋x－4 2＝x－2＋x－4 2＋2≥2 x－2·x－4 2＋2＝6， 当且仅当 x－2＝x－4 2，即 x＝4 时，等号成立． 所以 x＋x－4 2的最小值为 6.
(2)因为 0<x<12，所以 1－2x>0，所以12x(1－2x)＝14×2x×(1－2x)≤14
2x＋21－2x2＝14×14＝116，当且仅当 2x＝1－2x，即当 x＝14时，等
将上述三式相加得2ab＋2ab＋3ac＋3ac＋23bc＋23bc≥6(当且仅当 a ＝2b＝3c 时等号成立)， ∴2ab＋2ab－1＋3ac＋3ac－1＋23bc＋23bc－1≥3(当且仅当 a＝2b ＝3c 时等号成立)， 即2b＋a3c－a＋a＋32cb－2b＋a＋23bc－3c≥3(当且仅当 a＝2b＝3c 时等号成立).
2．某货轮匀速行驶在相距 300 海里的甲、乙两地间运输货物， 运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时 的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为 0.5)， 其他费用为每小时 800 元，且该货轮的最大航行速度为 50 海里/时． (1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本 y(元)表示为航行 速度 x(海里/时)的函数； (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的 航行速度行驶？
故当货轮的航行速度为 40 海里/时时，能使该货轮从甲地到乙地
的运输成本最少．
基本不等式的拓广应用 阅读下列材料． 二元基本不等式：设 a，b 为正数，则a＋2 b≥ ab，当且仅当 a ＝b 时等式成立． 证明：因为(a＋b)2－4ab＝(a－b)2≥0，所以(a＋b)2≥4ab， 从而得a＋2 b≥ ab，当且仅当 a＝b 时等式成立． 三元基本不等式：设 a，b，c 为正数，则a＋3b＋c≥3 abc， 当且仅当 a＝b＝c 时等式成立．
(1)a＋b≥2 ab；
(2)ab≤
a＋b 2
2≤
a2＋b2 2
(其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等
号成立)．
利用基本不等式证明不等式
[例1] 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：
1a－11b－11c－1≥8. [证明] 因为 a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，所以1a－1
2．应用基本不等式求最值的原则 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等” 的原则，即： (1)一正：符合基本不等式a＋2 b≥ ab成立的前提条件，a>0， b>0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．
3．基本不等式的常见变形
＝1－a a＝b＋a c≥2 abc，同理1b－1≥2 bac，1c－1≥2 cab.上述三个
不 等 式 两 边 均 为 正 ， 分 别 相 乘 ， 得 1a－1 1b－1 1c－1
≥2
bc 2 a·
ac 2 b·
cab＝8.当且仅当
a＝b＝c＝13时，等号成立．
[母题探究] (变设问)在本例条件下，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：因为 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1， 所以1a＋1b＋1c ＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
(2)并——分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先 对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出 最值． (3)配——配式配系数 有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题 设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后 可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式 中的各项之和为定值．
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等 式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求 问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时 注意使用； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基 本不等式模型再使用．
知识点二 基本不等式与最值 已知 x，y 都是正数，则 (1)如果积 xy 等于定值 P(积为定值)，那么当 x＝y 时，和
x＋y 有最小值 2 P ； (2)如果和 x＋y 等于定值 S(和为定值)，那么当 x＝y 时，
积 xy 有最大值 14S2 ．
[想一想]
x＋1x的最小值是 2 吗？ 提示：当 x>0 时，x＋1x的最小值是 2. 当 x<0 时，x＋1x没有最小值．
1．(一题两空)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台 机器生产的产品可获得的总利润 y(单位：万元)与机器运转时间
x(单位：年)的关系为 y＝－x2＋18x－25(x∈N *)，则当每台机器
运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为xy＝18－x＋2x5，且 x>0，故xy≤18－2 25＝8，当且仅当 x＝5 时等号成立，此时年 平均利润最大，最大值为 8 万元． 答案：5 8
证明：设 d 为正数，由二元基本不等式，
得a＋b＋4 c＋d＝12a＋2 b＋c＋2 d≥
ab＋ 2
cd≥4 abcd，当
且仅当 a＝b＝c＝d 时，等式成立．
令 d＝a＋3b＋c，即 a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得
解：(1)由题意，每小时的燃料费用为 0.5x2 元，从甲地到乙地所
用的时间为30x0小时，
则 y＝0.5x2·30x0＋800·30x0＝150x＋1 6x00(0<x≤50)．
(2)由(1)得
y＝150x＋1
6x00≥300
x·1 6x00＝12 000，
当且仅当 x＝1 6x00，即 x＝40 时取等号．
号成立，所以12x(1－2x)的最大值为116.
(3)因为 x＞0，y＞0，x＋4y＝1，
所以1x＋1y＝x＋x4y＋x＋y4y＝5＋4xy＋xy≥5＋2 4xy·xy＝9，
当且仅当4xy＝xy，即 x＝13，y＝16时取等号．
[答案]
(1)6
1 (2)16
(3)9
利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积” 为定值．常见的变形方法有拆、并、配． (1)拆——裂项拆项 对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分 离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式 进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．
[跟踪训练]
已知 a，b，c 均为正实数， 求证：2b＋a3c－a＋a＋32cb－2b＋ a＋23bc－3c≥3. 证明：∵a，b，c 均为正实数， ∴2ab＋2ab≥2(当且仅当 a＝2b 时等号成立)， 3ac＋3ac≥2(当且仅当 a＝3c 时等号成立)， 23bc＋23bc≥2(当且仅当 2b＝3c 时等号成立)，
[跟踪训练]
已知 x>0，y>0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16
B．25
C．9
D．36
解析：因为 x>0，y>0，且 x＋y＝8，所以(1＋x)·(1＋y)＝1＋x ＋y＋xy＝9＋xy≤9＋x＋2 y2＝9＋42＝25，因此当且仅当 x＝ y＝4 时等号成立，(1＋x)(1＋y)取最大值 25.
求实际问题中最值的解题 4 步骤 (1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式； (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑 基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函 数的单调性； (4)正确写出答案．
[跟踪训练]
[新知初探]
知识点一 重要不等式与基本不等式 1．重要不等式 ∀a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 2．基本不等式 如果 a>0，b>0，有 ab≤a＋2 b，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 其中，a＋2 b叫做正数 a，b 的算术平均数， ab叫做正数 a，b
[做一做]
1．如果 a>0，那么 a＋1a＋2 的最小值是________． 解析：因为 a>0，所以 a＋1a＋2≥2 a·1a＋2＝2＋2＝4. 答案：4
2．已知 0<x<1，则 x(1－x)的最大值为________，此时 x＝
________． 解析：因为 0<x<1，所以 1－x>0，所以 x(1－x)≤x＋（21－x） 2＝122＝14，当且仅当 x＝1－x，即 x＝12时“＝”成立，即当
的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何
平均数．
[想一想]
1．基本不等式中的 a，b 只能是具体的某个数吗？ 提示：a，b 既可以是具体的某个数，也可以是代数式．
2．基本不等式成立的条件“a，b>0”能省略吗？请举例说明． 提示：不能，如－3＋2 －4≥ －3×－4是不成立的．
利用基本不等式求最值 [例 2] (链接教材 P48 习题 T2)(1)已知 x>2，则 x＋x－4 2的最 小值为________． (2)若 0<x<12，则12x(1－2x)的最大值是________． (3)若 x＞0，y＞0，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________． [解析] (1)因为 x>2，所以 x－2>0，