2.2 基本不等式

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《2.2基本不等式》优秀教案教学设计

《2.2基本不等式》优秀教案教学设计

2.2基本不等式教材分析:“基本不等式”是必修1的重点内容,它是在系统学习了不等关系和不等式性质,掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究,同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫,起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想,有利于培养学生良好的思维品质.教学目标 【知识与技能】1.学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;2.2a b+≤;会应用此不等式求某些函数的最值;能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式; 【情感、态度与价值观】通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣.教学重难点 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程; 【教学难点】 1.基本不等式2a bab +≤等号成立条件; 2.利用基本不等式2a bab +≤求最大值、最小值. 教学过程 1.课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式:一般地,,有a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时,等号成立特别地,如果a >0,b >0,我们用,分别代替上式中的a ,b ,可得①当且仅当a =b 时,等号成立.通常称不等式(1)为基本不等式(basicinequality ).其中,叫做正数a ,b 的算术平均数,叫做正数a ,b 的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考:上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式,能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢?下面我们来分析一下. 2.讲授新课1)2a bab +≤特别的,如果a >0,b >0,我们用分别代替a 、b ,可得2a b ab +≥,(a>0,b>0)2a bab +≤2)2a bab +≤用分析法证明: 要证2a b ab +≥(1)只要证a +b ≥(2)要证(2),只要证a +b -≥0(3) 要证(3),只要证(-)2≥0(4)显然,(4)是成立的.当且仅当a =b 时,(4)中的等号成立. 探究1:在右图中,AB 是圆的直径,点C 是AB 上的一点,AC =a ,BC =b .过点C 作垂直于AB 的弦DE ,连接AD 、BD .你能利用这个图形得2a bab +≤的几何解释吗? 易证Rt △A CD ∽Rt △D CB ,那么CD 2=CA ·CB即CD =ab .这个圆的半径为2b a +,显然,它大于或等于CD ,即ab b a ≥+2,其中当且仅当点C 与圆心重合,即a =b 时,等号成立. 因此:基本不等式2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述:1.如果把2b a +看作是正数a 、b 的等差中项,ab 看作是正数a 、b 的等比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中,我们称2b a +为a 、b 的算术平均数,称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导,学生自主探究得到结论并证明,锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力. 例1已知x >0,求x +的最小值.分析:求x +的最小值,就是要求一个y 0(=x 0+),使x >0,都有x +≥y .观察x +,发现x=1.联系基本不等式,可以利用正数x 和的算术平均数与几何平均数的关系得到y 0=2. 解:因为x >0,所以x +=2当且仅当x =,即x 2=1,x =1时,等号成立,因此所求的最小值为2.在本题的解答中,我们不仅明确了x>0,有x+≥2,而且给出了“当且仅当x=,即=1,x=1时,等号成立”,这是为了说明2是x+(x>0)的一个取值,想一想,当y0<2时,x+=y0成立吗?这时能说y.是x+(x>0)的最小值吗?例2已知x,y都是正数,求证:(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值;(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值.证明:因为x,y都是正数,所以.(1)当积xy等于定值P时,,所以,当且仅当x=y时,上式等号成立.于是,当x=y时,和x+y有最小值.(2)当和x+y等于定值S时,,所以,当且仅当x=y时,上式等号成立.于是,当x=y时,积xy有最大值例3(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短?最短篱笆的长度是多少?(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?分析:(1)矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积,于是问题转化为:矩形的邻边之积为定值,边长多大时周长最短.(2)矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍,于是问题转化为:矩形的邻边之和为定值,边长多大时面积最大.解:设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm,ym,篱笆的长度为2(x+y)m.(1)由已知得xy=100.由,可得x+y≥2=20,所以2(x+y)≥40,当且仅当x=y=10时,上式等号成立因此,当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时,所用篱笆最短,最短篱笆的长度为40m.(2)由已知得2(x+y)=36,矩形菜园的面积为xym2.由,可得xy≤81,当且仅当x=y=9时,上式等号成立.因此,当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时,菜园的面积最大,最大面积是81m2.例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m2,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?分析:贮水池呈长方体形,它的高是3m,池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了,那么水池的总造价也就确定了.因此,应当考察池底的边长取什么值时,水池的总造价最低.解:设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm,ym,水池的总造价为2元.根据题意,有z =150×+120(2×3x +2×3y )=240000+720(x +y ).由容积为4800m 3,可得3xy =4800,因此xy =1600.所以z ≥240000+720×2,当x =y =40时,上式等号成立,此时z =297600.所以,将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低,最低总造价是297600元. 【设计意图】例题讲解,学以致用. 3.随堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数,求证:(a +b )(b +c )(c +a )≥8abc 分析:对于此类题目,选择定理:ab b a ≥+2(a >0,b >0)灵活变形,可求得结果.解:∵a ,b ,c 都是正数 ∴a +b ≥2>0 b +c ≥2>0c+a≥2>0∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2·2·2=8abc即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.【设计意图】讲练结合,熟悉新知.4.课时小结本节课,我们学习了重要不等式a2+b2≥2ab;两正数a、b 的算术平均数(),几何平均数()及它们的关系().它们成立的条件不同,前者只要求a、b都是实数,而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题:ab≤,ab ≤()2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值,是值得重视的一种方法,但在具体求解时,应注意考查下列三个条件:(1)函数的解析式中,各项均为正数;(2)函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值;(3)函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等.。

2.2 基本不等式

2.2 基本不等式

C.
������2 + 2 +
1 的最小值为
������2+2
2
D.y=2-3x-4������≥2-4 3(x>0)
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三 随堂演练
课堂篇 探究学习
解析:从基本不等式成立的条件入手,对每个选项判断.A 选项, 只有当 x>0 时,不等式才成立,A 错误;B 选项,因为 ab>0,所以������������>0,������������>0, 由基本不等式知 B 正确;C 选项,若最小值为 2,需( ������2 + 2)2=1,得 x2=-1,无实数解,不正确;D 选项,y=2- 3x+4������ ≤2-4 3,不正确.
4x=1������(x>0),即当 x=12时,等号成立. 答案:12
4.
������ +
4 的最小值等于
����� + 4������≥2
x=4 时取最小值.
������·4������=4,当且仅当 ������ = 4������,即
提示:①AB 表示圆的直径;②������+2������表示线段 OD;③ ������������对应线段 CD; ④圆的半径大于或等于 CD,即������+2������ ≥ ������������.基本不等式的几何意义是 “半径不小于半弦”.
一二
课前篇 自主预习
2.填空
我们称不等式 ������������ ≤ ������+2������为基本不等式,其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时,等号成立.
答案:B 反思感悟 应用基本不等式时要注意以下三点 (1)各项或各因式均为正; (2)和或积为定值; (3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.

2.2 基本不等式(答案版)

2.2 基本不等式(答案版)

知识点一:基本不等式1. 如果,00>>b a ,有2b a ab +≤,当且仅当a=b 时,等号成立。

其中,2b a +叫做正数a,b 的算术平均数,ab 叫做a,b 的几何平均数。

2. 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

知识点二:应用基本不等式求最值1. 已知x,y 都是正数,则:(1)如果积xy 等于定值P ,那么当x=y 时,和x+y 有最小值P 2。

(2)如果和x+y 等于定值S ,那么当x=y 时,积xy 有最大值241S 。

一、选择题1.若1a >,则11a a +-的最小值是 ( C ) A .1 B .2 C .3 D .4【答案】C 【解析】1a >则10a ->,()1111311a a a a +=-++≥--,当2a =时取“=”,所以正确选项为C 2. 若0<a <b ,则下列不等式中成立的是( B ) A .a <b <√ab <a+b 2 B .a <√ab <a+b 2<b C .a <√ab <b <a+b 2 D .√ab <a <a+b 2<b 答案:B 解析:若取a =2,b =8,则√ab =4,a+b 2=5,所以a <√ab <a+b 2<b.3.已知25≥x ,则()24524x x f x x -+=-有( D )基本不等式同步练习A .最大值54B .最小值54C .最大值1D .最小值1【答案】D 【解析】2245(2)1111()(2)2(1242(2)222x x x f x x x x x x -+-+⎡⎤===-+⨯=⎢⎥---⎣⎦当且仅当122x x -=-即3x =时取等号,故选:D . 4.函数233(1)1x x y x x ++=>-+的最小值为 ( ) A .3 B .2 C .1D .1- 【答案】A 【解析】1x >-,则10x +>,()()()22111331113111x x x x y x x x x ++++++===+++≥+++,当0x =时取“=”,所以正确选项为A .5. 已知a ,0b >,且满足21a ab +=,则3a b +的最小值为( )A B C .D .【答案】C 【解析】∵21a ab +=,∵1b a a =-.即11332a b a a a a a +=+-=+≥=当且仅当2a =时取等号.∵3ab +的最小值为选:C 6. 已知实数,x y 满足22 455--=x xy y ,则222x y +的最小值为( )A .53B .103C .109 D .4【答案】B 【解析】设222x y m +=,则222x m y =-,22 455x xy y --=,22455xy x y ∴=--,则()222221655x y x y =--,()()222216257y m y m y -=--, 42281(3070)(5)0y m y m --+-=,设2y t =,则2281(3070)(5)0t m t m --+-=,22(3070)481(5)0m m ∴∆=--⨯-,解得103m ≥,∴222x y +的最小值为103.故选:B 7.将一根铁丝切割成三段,做一个面积为22m ,形状为直角三角形的框架,在下列4种长度的铁丝中,选用最合理共用且浪费最少的是( )A .6.5mB .6.8mC .7mD .7.2m【答案】C 【解析】设直角三角形的框架的两条直角边为x ,y (x >0,y >0)则xy =4,此时三角形框架的周长C 为:x +y =x +y∵x +y ≥24∵C =x +y 故用7米的铁丝最合适.故选C .二、填空题1. 若0<a<b,且a+b=1,则12,a,b,2ab,a 2+b 2的大小顺序为a<2ab<12<a 2+b 2<b .解析:因为0<a <b ,a +b =1,所以a <12<b , ① 2ab <a 2+b 2, ②下面寻找②中数值在①中的位置.因为a 2+b 2>2(a+b 2)2=12,a 2+b 2=a ·a +b 2<a ·b +b 2=(1-b )b +b 2=b ,所以12<a 2+b 2<b. 又因为2ab <2(a+b 2)2=12,2ab >2×12a =a ,所以a <2ab <12.所以a <2ab <12<a 2+b 2<b. 2. 已知函数()4(0,0)a f x x x a x=+>>在3x =时取得最小值,则a =________. 【答案】36【解析】因为()4(0,0)a f x x x a x=+>>,所以,当且仅当即,由题意,解得3.已知0,0a b >>,122a b+=,则a b +的最小值为_______________;1的替换,()1121213332222b a a b a b a b a b a b ⎛+⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,当2b a a b =即1222a b +==时等号成立,所以答案为32+. 4.设1x <-,求()()521x x y x ++=+的最大值 . 【答案】1【解析】∵1x <-,∵10x +<∵()10x -+>所以()()()()225215147104151111x x x x x x y x x x x x ++++++++====+++++++ ()41551(1)x x ⎡⎤=--+++≤-=⎢⎥-+⎣⎦ 当且仅当2(1)4x +=,即3x =-时等号成立,所以()()521x x y x ++=+的最大值为1三、解答题1. 已知x>0,y>0,且 x+2y+xy=30,求xy 的取值范围.解:因为x >0,y >0,所以30=x +2y +xy ≥2√2xy +xy ,当且仅当x =2y ,即x =6,y =3时,等号成立.所以xy +2√2√xy -30≤0.令t =√xy ,则t >0,t 2+2√2t -30≤0,(t +5√2)(t -3√2)≤0,所以-5√2≤t ≤3√2.又因为t >0,所以0<√xy ≤3√2,所以0<xy ≤18.2. 已知c b a ,,均为正数c b a ,,不全相等.求证:c b a cab b ac a bc ++>++ 解析:证明 ∵0,0,0>>>c b a ∵a bc +bac ≥ab abc 22=c 2 b ac +cab ≥bc bc a 22=a 2a bc +cab ≥ac acb 22=2b. 当且仅当a=b=c 时上式等号均成立,又c b a ,,不全相等,故上述等号至少有一个不成立.∵c b a cab b ac a bc ++>++. 3. 已知a ,b 都是正数,求证:114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】∵0,0a b >>,∵由均值不等式得12a a +≥=,12b b +≥=. 由不等式的性质,得114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当1a =且1b =时,等号成立.4. 已知a ,b ,c 均为正数,求证:a a c b -+32+b b c a 223-++cc b a 332-+≥3. 解析:证明 ∵a ,b ,c 均为正数, ∵a b 2+ba 2≥2(当且仅当a=2b 时等号成立), ac 3+ca 3≥2(当且仅当a=3c 时等号成立),bc 23+cb 32≥2(当且仅当2b=3c 时等号成立), 以上三式相加,得a b 2+b a 2+a c 3+c a 3+b c 23+cb 32≥6(当且仅当a=2b=3c 时等号成立), ∵(a b 2+b a 2-1)+(a c 3+c a 3-1)+(b c 23+cb 32-1)≥3(当且仅当a=2b=3c 时等号成立), 即a a c b -+32+b b c a 223-++cc b a 332-+≥3. (当且仅当a=2b=3c 时等号成立).5. 如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜园的长为xm ,宽为ym . (1)若菜园面积为272m ,则,x y 为何值时,可使所用篱笆总长最小?(2)若使用的篱笆总长度为30m ,求12x y+的最小值.【解析】∵1)由已知可得72xy =,而篱笆总长为2x y +∵又因为224x y +≥=∵当且仅当2x y =,即12,6x y ==时等号成立.所以菜园的长x 为12m ,宽y 为6m 时,可使所用篱笆总长最小.∵2)由已知得230x y +=∵ 又因为()12222559y x x y x y x y ⎛⎫+++=++≥+= ⎪⎝⎭∵所以12310x y +≥∵ 当且仅当x y =,即10,10x y ==时等号成立.所以12x y +的最小值是310.。

2.2基本不等式(第二课时)课件(人教版)

2.2基本不等式(第二课时)课件(人教版)
x 3
x2 x 2
[变式2]若x 0, 则
的最小值是_______ .
x 1
2
x2 x 2
x ( x 1) 2
2
解:

x
x 1
x 1
x 1
( x 1)
2
1 2 2 1
x 1
2
,
x 1
即x 2 1时等号成立 .
当且仅当 x 1
2m
8n
2m
1
1
=8+ +
+ 1,当且仅当 =
,即 m = , n = 时,等号成立,
m
n
m
n
2
4
4
n+2
所以 +
的最小值为17.
m
n
典型例题:常数代换法求最值
例6
若x, y 0且4 x y xy,
16
(1) xy的最小值是_______
9
(2) x y的最小值是______
.
析 : (1)4 x y 2 4 xy , 即xy 4 xy , xy 16.
证明 ∵ > , > , > ,且 + + = ,


∴ +


=+

+



=+
=
++

+
++





+ + + +




2.2 基本不等式(课件)

2.2 基本不等式(课件)

数学 必修 第一册 A
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
方法二:由2x+3y=2 得,3x+2y=2xy, ∵x>0,y>0,∴3x+2y≥2 6xy,等号在 3x=2y 时成立,
∴2xy≥2 6xy,∴xy≥6.
3x=2y 由2x+3y=2
,得yx==32 .
∴xy 的最小值为 6.
数学 必修 第一册 A
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
探究二 利用基本不等式求最值
已知 x>0,y>0,且1x+9y=1,求 x+y 的最小值. 解 方法一:(1 的代换)∵1x+9y=1,∴x+y=(x+y)·1x+9y=10+yx+9yx. ∵x>0,y>0,∴yx+9yx≥2 yx·9yx=6. 当且仅当yx=9yx,即 y=3x 时,取等号. 又1x+9y=1,∴x=4,y=12,∴x+y≥16. ∴当 x=4,y=12 时,x+y 取最小值 16.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式
知识点2 应用基本不等式求最值
已知x,y都是正数,则 (1)如果积xy等于定值P,那么当____x_=__y_____时,和x+y有最小值__2___P_____. (2) 如 果 和 x + y 等 于 定 值 S , 那 么 当 ___x_=__y______ 时 , 积 xy 有 最 大 值 ___14_S_2_______. [微思考] 利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件?若求和(积)的最值时,一般要确 定哪个量为定值? 提示:三个条件是:一正,二定,三相等.求和的最小值,要确定积为定值; 求积的最大值,要确定和为定值.
数学 必修 第一册 A

2.2基本不等式

2.2基本不等式

a>0,b>0
a=b
例1
2
x y s
结论 1.已知 x, y 是正数,若 x y s(和为定值)
,则 xy

4
2
s2
所以 xy 有最大值

4
结论 2.已知 x, y 是正数,若 xy P(积为定值)
,则 x y 2 xy 2 P ,
所以 x
解:(1)∵ < 2,
∴ − 2<0,2 − >0.
4
4
∴ + −2 = −[(2 − ) + 2−] + 2
4
≤ −2 (2 − )(2−) + 2 = −2,
4
当且仅当2 − = 2− ,得 = 0或 = 4(舍去),即 = 0,“=”成立.
4
∴ + −2的最大值为−2.
x
1
例2 已知x >0,求 x 的最小值.
x
解:因为x 0
1
1
所以x 2 x 2
x
x
一正
二定
1
当且仅当x ,即x 1时, 等号成立,因此所求最小值为2
x
三相等
12
变式2 若 x 0,求 y 3 x
的最小值
x
练习:
x 0
f ( x) x
4 .
[变式2] (3 x)( x 5) (5 x 3)的最大值是______
暗含和定:(3-x)+(x+5)=8
例题讲解——利用基本不等式求最值 积定和最小
2 3 .
[例1]若xy 3且x, y 0, 则x y的最小值是______

2.2基本不等式(第1课时)课件(人教版)

2.2基本不等式(第1课时)课件(人教版)

立.当且仅当 = 时,等号成立.把这个过程倒过来,就是证明的过程.
新知:基本不等式的理解
1、对公式
+


+


≥ 的理解.
(1)成立的条件是不同的:前者只要求, 都是实数,而后者要求, 都是正数;
(2)取等号“=” 的条件在形式上是相同的,都是“当且仅当 = 时取等号”.
2 + 2 ⩾ 2 ,③
①+②+③得;
2 2 + 2 2 + 2 2 ⩾ 2 + 2 + 2 .
∴ 2 + 2 + 2 ⩾ + +
(当且仅当 = = 等号成立).
典型例题
题型三:利用基本不等式证明不等式
【对点训练6】利用基本不等式证明:已知 , , 都是正数,求证: + + + ≥ 8
A . 因 为 , 为 正实 数, 所以 +


≥2
C . 因 为 < 0, 所以 4 + ≥ 2
4

⋅ =4




D . 因 为 , ∈ R , < 0,所 以 +







=−

B . 因 为 > 3, 所以 4 + ≥ 2
=2




+ −

【解析】∵ , , 都是正数,
∴ + ≥ 2 > 0 (当且仅当 = 时取等号);
+ ≥ 2 > 0 (当且仅当 = 时取等号);

2.2 基本不等式(精讲)(解析版)

2.2 基本不等式(精讲)(解析版)

x

y
满足
1 y
3 x
5
,则
3x
4
y
的最小值
是( )
24
A.
5
【答案】C
28
B.
5
C.5
D.25
【解析】 正数 x , y 满足 1 3 5 ,则 yx
3x
4y
1 5
(3x
4 y)(
1 y
3) x
1 5
13
3x y
12 y x
1 5
13
3
2
x y
4y x
5
,当且仅当
x
2
y
1
时取等
号.3x 4 y 的最小值是 5.故选:C.
思维导图
2.2 基本不等式
常见考法
考点一 公式的直接运用
【例 1】(1)(2020·全国高一课时练习)若 0 a 1 ,则 a 1 2a 的最大值是
2
1
A.
8
1
B.
4
1
C.
2
D.1
(2)(2020·全国高一课时练习)已知
x
1 ,求函数
y
x
1
的最小值是
x 1
A.4
B.3
C.2
D.1
() ()
【答案】(1)A(2)D
C
2.(2020·上海高一开学考试)已知 x 2 ,函数 y
x
4
2
x
的最小值是(

A.5
B.4
C.8
D.6
【答案】D
【解析】因为该函数的单调性较难求,所以可以考虑用不等式来求最小值,

2.2 基本不等式(重难点突破)解析版 2023-2024学年高一数学重难点突破

2.2 基本不等式(重难点突破)解析版 2023-2024学年高一数学重难点突破

2.2 基本不等式【基本不等式(或)均值不等式】知识点一:基本不等式1.对公式222a b ab +≥及2a b+≥的理解.(1)成立的条件是不同的:前者只要求,a b 都是实数,而后者要求,a b 都是正数;(2)取等号“=” 的条件在形式上是相同的,都是“当且仅当a b =时取等号”.2a b+≤的证明方法一:几何面积法如图,在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形.方法二:代数法∵2222()0a b ab a b +-=-≥,当a b ≠时,2()0a b ->;当a b =时,2()0a b -=.所以22()2a b ab +≥,(当且仅当a b =时取等号“=”).2a b+≤的几何意义如图,AB 是圆的直径,点C 是AB 上的一点,AC a =,BC b =,过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ,连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆,那么2CD CA CB =⋅,即CD =.这个圆的半径为2a b +,它大于或等于CD ,即2a b+≥其中当且仅当点C 与圆心重合,即a b =时,等号成立.知识点诠释:在数学中,我们称2a b+为,a b 的算术平均数,称,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2a b+≤求最大(小)值在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等.① 一正:函数的解析式中,各项均为正数;② 二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值;③ 三取等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值.【基本不等式的变形与拓展】1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+;(2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”).2.(1)若00a ,b >>,则ab ba ≥+2;(2)若00a ,b >>,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”);(3)若00a ,b >>,则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”).3.若0x >,则12x x +≥(当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x+≤-(当且仅当1x =-时取“=”);若0x ≠,则12x x+≥,即12x x +≥或12x x +≤-(当且仅当b a =时取“=”).4.若0>ab ,则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”);若0ab ≠,则2a b b a +≥,即2a b b a +≥或2a bb a +≤-(当且仅当b a =时取“=”).5.一个重要的不等式链:2112a b a b+≤≤≤+.6.函数()()0,0bf x ax a b x=+>>图象及性质(1)函数()0)(>+=b a xbax x f 、图象如右图所示:(2)函数()0)(>+=b a xbax x f 、性质:①值域:(),⎡-∞-+∞⎣;②单调递增区间:,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭;单调递减区间:0,,0⎛⎡⎫- ⎪⎢ ⎪⎝⎣⎭.7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”;(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”;(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.重难点突破(一) 基本不等式的简单应用重难点突破(二) 利用基本不等式求最值例2.(1)、(2022·陕西·榆林市第十中学高一期末)函数()4111y x x x =++>-+的最小值为______.【答案】4【解析】【分析】利用基本不等式直接求解即可【详解】因为1x >-,所以10x +>,所以4141y x x =++≥=+,当且仅当411x x +=+,即1x =时取等号,所以()4111y x x x =++>-+的最小值为4,故答案为:4【变式训练2-2】.(2023·山东烟台·统考三模)(多选题)已知0,0a b >>且42a b +=,则( )【变式训练3-1】、(2022·四川资阳·高一期末)已知正实数x ,y 满足111x y +=,则4x y +最小值为______.【答案】9【解析】【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.【详解】正数x ,y 满足:111x y+=,∴()11444559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭,当且仅当4y x x y =,即2x y =,233x y ==,时 “=”成立,故答案为:9.重难点突破(四) 不等式的证明技巧与综合处理技巧重难点突破(五) 均值不等式在实际问题中的应用【答案】()800f x ⎛=⨯ ⎝价为36000元.重难点突破(六) 挑战满分(压轴题)【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质的应用,同时考查转化思想和计算能力.。

2.2基本不等式

2.2基本不等式

2
ab
AC = DC E DC BC
Rt△ACD∽Rt△DCB,
DC2 BC AC ab
几何意义:半径不小于弦长的一半
例1 若 x 0,求 y x 1 的最小值. x
例2.已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 14S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
我们把
ab 2
叫做正数a,b的算术平均数,
ab 叫做正数a,b的几何平均数;
代数意义:两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数.
探究几何意义
D
ab
A
a OC b
如图,AB是圆的直径,C是 AB上与A、B不重合的一点,
A于aCA=Ba2的,CB弦b=Db≥ ,E过,点连CA作Da垂,Bb直D,
B 则OD=a__b,CD=____
简称为: 1、积定和最小,和定积最大;
例2.已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 14S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
利用基本不等式 a b ab求函数的最值时需要同时 满足以下三个条件:2
2.2基本不等式:
ab a b 2
D
a2 b2
b
G
F
A
aH E
D
C
A
a
C b E(FGH)
B
B
重要不等式: 一般地,对于任意实数a、b,我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时,等号成立. 适用范围: a,b∈R

第二章 2.2 第一课时 基本不等式

第二章 2.2 第一课时 基本不等式

ab=4,a+2 b=5,所以 a<
a+b ab< 2 <b.
答案 B
规律方法 利用基本不等式比较实数大小的注意事项 1.利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积). 2.利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a>0,b>0.
x2+2 【训练1】 比较大小: x2+1 ________2(填“>”“<”“≥”或“≤”).
解析 由于 a2+1-a=a-122+34>0,故①恒成立;
由于a+1ab+1b=ab+a1b+ba+ab≥2
ab·a1b+2
ba·ab=4.当且仅当abab==aba,1b,即
a=b=1 时,“=”成立,故②恒成立;
由于(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥2+2 成立,故③恒成立;
1 A.2
B.a2+b2
C.2ab
D.a
解析 a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2·a+2 b2=12.
a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴a2+b2≥2ab.
∵0<a<b 且 a+b=1,∴a<12.∴a2+b2 最大.
答案 B
3.若 x>0,则 x+1x________2(填“=”,“≥”,“≤”,“>”,“<”).
证明 ∵a,b 均为正实数,∴a12+b12≥a2b,∵a2b+ab≥2 2,∴a12+b12+ab≥2 2(当 且仅当 a=b 时取等号).
1.通过学习基本不等式培养数学抽象素养,通过运用基本不等式进行证明提升数 学运算及逻辑推理素养.
2.两个不等式 a2+b2≥2ab 与a+2 b≥ ab都是带有等号的不等式,对于“当且仅 当…时,取‘=’”这句话的含义要有正确的理解.一方面:当 a=b 时,a+2 b= ab;另一方面:当a+2 b= ab时,也有 a=b.

高一数学2.2基本不等式笔记

高一数学2.2基本不等式笔记

高一数学2.2基本不等式笔记一、基本不等式的内容。

1. 定义。

- 对于任意实数a,b,有a^2+b^2≥slant2ab,当且仅当a = b时,等号成立。

- 证明:(a - b)^2=a^2-2ab + b^2≥slant0,移项可得a^2+b^2≥slant2ab。

2. 基本不等式√(ab)≤slant(a + b)/(2)(a>0,b>0)- 当且仅当a = b时,等号成立。

- 证明:- 因为(√(a)-√(b))^2=a - 2√(ab)+b≥slant0(a>0,b>0)。

- 移项可得a + b≥slant2√(ab),即√(ab)≤slant(a + b)/(2)。

二、基本不等式的几何解释。

1. 对于a^2+b^2≥slant2ab- 设直角三角形的两条直角边为a和b,则斜边为√(a^2)+b^{2}。

- 根据直角三角形的面积,S=(1)/(2)ab,同时S≤slant(1)/(2)×frac{a^2+b^2}{2}(当且仅当a = b时取等号),这就从几何角度解释了a^2+b^2≥slant2ab。

2. 对于√(ab)≤slant(a + b)/(2)(a>0,b>0)- 设a,b为正数,以a + b为长的线段AB,点C将AB分成AC=a,CB = b。

- 以AB为直径作半圆,过点C作CD⊥ AB交半圆于点D,则CD=√(ab),半径r=(a + b)/(2)。

- 由图形可知CD≤slant r,即√(ab)≤slant(a + b)/(2),当且仅当a = b时,C为AB中点,等号成立。

三、基本不等式的应用。

1. 求最值。

- 已知x>0,y>0,若xy = P(定值),则x + y≥slant2√(xy)=2√(P),当且仅当x = y=√(P)时,x + y取得最小值2√(P)。

- 若x + y = S(定值),则xy≤slant((x + y)/(2))^2=frac{S^2}{4},当且仅当x = y=(S)/(2)时,xy取得最大值frac{S^2}{4}。

2.2 基本不等式

2.2 基本不等式

2.要制作一个体积为9 m3,高为1 m的有盖长方体容器,已知该容器的底面造价 是每平方米10元,侧面造价是每平方米5元,盖的总造价为100元,问:该容 器的长为多少时,容器的总造价最低?总造价最低为多少元? 解:设该长方体容器的长为 x m,则宽为9x m, 设该容器的总造价为 y 元,
则 y=9×10+2x+9x×1×5+100=190+10x+9x,因为 x+9x≥2 x·9x= 6,当且仅当 x=9x,即 x=3 时取“=”,所以 ymin=250. 故该容器的长为 3 米时,容器的总造价最低,总造价最低为 250 元.
提醒:注意使实际问题有意义的变量的取值范围.
【对点练清】 1.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的
总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x- 25(x∈N*),则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是 ________万元. 解析:每台机器运转 x 年的年平均利润为xy=18-x+2x5,且 x>0,故xy≤18 -2 25=8,当且仅当 x=5 时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为 8 万元. 答案:5 8
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求 的式子运用适当的拆项、添项、配凑、变形等方法创设应用基本不等式的条 件.具体可归纳为三句话:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应 凑出定和或定积;三不等,一般用函数的图象或性质.
[典例 2] (1)已知 x>2,求 x+x-4 2的最小值;
()
A.x≥2y
B.x>2y
C.x≤2y
D.x<2y
解析:∵不等式成立的前提条件是各项均为正,∴x-2y>0,即 x>2y. 故选 B.

2.2基本不等式

2.2基本不等式
只要证:(_a_-__b)2 0
显然上式成立.
新课
重要定不理等式1:对于任意实数 a, b ,我们有
a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立
基本定不理若 等式2a:
若0, ba
00,,则b a
0,则 b a2abab
a
2
b
ab
2
当且仅当当且a仅 当 b时a取 等 b时号取等号
推广:ab a b
例3:某工厂要建造一个长方体形无盖贮 水池,其容积为4800m3,深为3m,如果池 底每平方米的造价为150元,池壁每平 方米的造价为120元,怎样设计水池能
解 答解 答解 答解 答解 答 :当 ::当 :当 ::解 答设 将 最设 将 最设 将 最:当 :使且 根 :当 :Z且 根 Z且 根 Z设 将 最 :当 :设 将 最 底 ==水 低 =底 ==水 低 ===低 底 水 =且 根 设 将 最 Z且 根 仅 据 22总Z1仅 据 221仅 据 221底 ==水 低 且 根 =Z底 水 低 ==面 44池 总 =5面 44池 总 544总 面 池 5仅 据 22底 ==水 低 1=仅 据 220题 00当 1造0题 00当0题 00当面 44池 总 仅 据 2251的 00的 造 面 池 总 445的 00的 造00造 的 的0题 00当 面 44池 总 5意 0040题 00当意 004意 004价的 00的 造 0题 当 的 的 造 00长 00地 价 8X长 00地 价 8X300价 长 地 8意 004的 的 造 X3意 004,++03=,++0=,++0长 00地 价 8意 4=最X0长 地 价 008有 为 77面 是X30有 为 77面 是301有 77是 为 面,++0长 00地 价 81=X22,++01=223+2260+有 为 77面 是 ,++6=0+00设 有 为 面 是 77X低6x2100设 X1x200设 10X2210有 为 77面 是 x20221(+096(1+209(600设 222X092x2设 002计 X01+x2Xm70计 620?1Xm7计 00(00设 XXm70 9x2(2160 9+,(2260 最+,(计 (26+,(Xm79计 1成 02宽 00Xm71成 02宽 021成 1 2计 宽 061 2X+,Xm76(0610X+,6(× 0X66× 1成 0低宽 066× 边 =+,1成 02(X宽 06为 边 =元 102X为 边 =元 100XX61成 为 元 00宽 X046× 2000461× 30406边 =3X06X00为 0边 =3长 元 总0× X00为 =长 元 xY060=长 xY004边 ==XxY,为 04)元 3,20)+=3,20)0+=长 0420=+为 =长 xY3为 =90造xY2为 9,204)长 9,224=)+=xY2724+=× 27为 × ,238)7X为 × 93822X+=469382X4446价4为 44X06=274X09× =22070X03× =03804X0300380X0Y423607004Y× 4600y04YmX038=0Xy0mX0==0是04y06m3=0=0400.3=)的 00=0XY.=)的 00=40Y.的 )0y4300m00y4=00m1=Y=01=00==.01)的 0y0=+多m.)的 02正 +64=2正 +640=时 正 2X.6=)的 071时 X=471时 004X4700+0402正 =+2610方 2正 0少260时 0方 X027+时 0方 ,X0042正 70,60040,0时 0X等 2700方 0等 420方 0形 0等,0形 ?20m,0形02方 0m0020m等 0,0等 ,号 00形 ,号 0形 +,号 2时 m等 +2水 时 m+0水 形 时70水2,号 7m,号 7成+0成 时 2x+成 水 时 总 2x,号水 池 总 2x7池 +总时 70池水 成 0立 成 02x7立 1总 2x立 1造 池 总 成 1总 (造 池0总 (2x造 6总 0总 (6立 池x6X立 1xX010造 xX总 (0造 价 立总 (0造 +价 61造 +价 06造 造 +x0X总 (x0YX06Y0价 Yx造 +X价 最)造 +价 0最)价 0最价 )价 Y造 +Y0最)Y低 价 最)为 低 价为 低最 为)价低X为 低 ,为 ,Z,低 Z为 Z元,元,元ZZ,元 Z元元

2.2基本不等式

2.2基本不等式
思考:如何证明基本不等式?
课堂探究
基本不等式:
a +b
ab ≤
(a > 0, b > 0,当且仅当a = b时,等号成立)
2
证明:a b ab a b 2 ab
2
2
a b


2


2
2 a b
作差法
2
a b

2
0 (当且仅当a
ab
ab
所以,如果 a 0, b 0 ,那么
2
巩固训练
5. 已知直角三角形的面积等于50 cm2,当两条直角边的
长度各为多少时,两条直角边的和最小? 最小值是多少?
解:
设两直角边长分别为a , b,则有ab 100.
由基本不等式,可得a b 2 ab 20,
当且仅当a b=10时,上式等号成立,
∴当两直角边的长度都为10cm时,两直角边和最小,且最小值 20.
3. 做一个体积为32 m3,高为2 m的长方体纸盒,当底面
的边长取什么值时,用纸最少?
解: 设长方体的底面相邻两条边长分别为x m, y m,则有
2xy=32,即xy=16. 根据题意,有
S表面积 2( xy 2 x 2 y ) 32 2( x y )
32 2 xy 40.
第二章 一元二次函数、方
程和不等式
2.2 基本不等式
复习导入
问题:我们知道,乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么是
否也有一些不等式,它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的
重要作用呢?
重要不等式: 一般地,∀ a,b∈R,有
a2+b2≥2ab

2.2基本不等式课件(人教版)

2.2基本不等式课件(人教版)

1
取得最小值?最小值是多少?
2

≠ 0,也就是 ≠ 0,
1
1
2
+ 2 ≥ 2 ∙ 2,


1
2
+ 2 ≥ 2.

1
2
当 = ±1时, + 2 取得最小值2.
2

15
巩固练习
人教A版必修第一册
4.已知−1 ≤ ≤ 1,求1 − 2 的最大值。
解:当 = ±1时,1 − 2 = 0.
(2)如果和 + 等于定值,那么当 =
1 2
时,积有最大值 .
4
证明:因为, 都是正数,所以
+
≥ .
2
+

(1)当积等于定值时,

,所以
(2)当和 + 等于定值时,
2 ≤ 2 ,所以
+ ≥12 2 ,
≤ ,
当且仅当 = 时,上式等号成立。于是,当
= 时,和 + 有
4
当且仅当.= 时,上式等号成立。于是,当 = 时,积有最
最小值2
1 2
大值 .
4
11
课堂小结
人教A版必修第一册
基本不等式:
• 基本不等式
• 求最大值和最小值
12
巩固练习
人教A版必修第一册
1.已知, ∈ ,求证 ≤
证明:
因为∀, ∈ , −
2.已知函数 =
A.2
B.4
2 2
8
+ 2 , 则函数的最小值为(
+1
C.6

D.8
Hale Waihona Puke 18课堂小测3.已知0 <

2.2《基本不等式》教学设计

2.2《基本不等式》教学设计

人教A版高中数学必修第一册《基本不等式》(第一课时)单位:山东省单县第五中学姓名:陈洪飞时间:2019年9月2.2基本不等式(第一课时)教材:人民教育出版社A版必修第一册课题:2.2基本不等式(一)一、教学目标1.通过一个探究实例,引导学生从几何图形中获得基本不等式,了解基本不等式的几何背景,体会数形结合的思想;2.进一步提炼、完善基本不等式,并从代数角度给出不等式的证明,组织学生分析证明方法,加深对基本不等式的认识,提高逻辑推理论证能力;3.结合课本的探究图形,引导学生进一步探究基本不等式的几何解释,强化数形结合的思想;4.借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题,通过三个探究引导学生领会运用基本不等式2ba ab +≤的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值中的作用,锻炼学生的交流合作探究能力,体会方法与策略.以上教学目标结合了教学实际,将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节.二、教学重点和难点重点:1、应用数形结合的思想理解基本不等式,并从不同角度探索不等式2ba ab +≤的证明过;2、熟练掌握基本不等式求代数式的最值;难点:在几何背景下抽象出基本不等式,并理解基本不等式.三、教学过程:1、动手操作,几何引入先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形,再用这两个三角形拼接构造出一个矩形(两边分别等于两个直角三角形的直角边,多余部分折叠).假设两个正方形的面积分别为a 和b (b a ≥),考察两个直角三角形的面积与矩形的面积,你能发现一个不等式吗?抽象出不等式. 通过学生动手操作,探索发现:2ba ab +≤接着让学生探讨取等号的条件,及a 、b 的取值范围;得出结论,展示课题内容.根据上述几何背景,初步形成不等式结论:0,0>>∀b a 有2b a ab +≤(当且仅当a=b 时等号成立) 深化认识: 称ab 为a 、b 的几何平均数;称2b a +为a 、b 的算术平均数 基本不等式2b a ab +≤又可叙述为: 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。

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[解] 设隔墙的长度为 x m,总造价的函数为 y 元,则隔墙 造价为 2x×248=496x 元,池底造价为 200×80=16 000 元,
四周围墙造价为2x+2×20x0×400=800×x+20x0元. 因此,总造价为 y=496x+800x+20x0+16 000(x>0) =1 296x+160x000+16 000≥2 1 296x·160x000+16 000 =28 800+16 000=44 800. 当 1 296x=160x000,即 x=1090时,等号成立.这时,污水 池的长为 18 m.故当污水池的长为 18 m,宽为1090 m 时,总造 价最低,最低为 44 800 元.
[做一做]
1.(多选)下列结论正确的是
()
A.对于任意 a,b∈R ,a2+b2≥2ab,a+b≥2 ab均成立
B.若 a,b 同号,则ba+ab≥2 C.若 a>0,b>0,则 ab≤a+2 b恒成立 D.若 a>0,b>0,且 a≠b,则 a+b>2 ab 答案:BD
2.不等式(x-2y)+x-12y≥2 成立的前提条件为________. 解析:因为不等式成立的前提条件是各项均为正, 所以 x-2y>0,即 x>2y. 答案:x>2y
2.2 基本不等式
新课程标准 1.掌握基本不等式 ab≤a+2 b(a>0,b>0,当 且仅当 a=b 时等号成立). 2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单 的最大值或最小值问题.
核心素养 逻辑推理 数学建模
[问题导入]
预习课本 P44~46,思考并回答下列问题 1.基本不等式的内容是什么? 2.基本不等式成立的条件是什么? 3.利用基本不等式求最值时,应注意哪些问题?
答案:B
利用基本不等式解应用题
[例 3] (链接教材 P47 例 4)某工厂拟建一座平面图为矩形且 面积为 200 m2 的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四 周围墙建造单价为 400 元/m,中间两道隔墙建造单价为 248 元 /m,池底建造单价为 80 元/m2,水池所有墙的厚度忽略不计.试 设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.
x=12时,x(1-x)取得最大值14.
答案:14
1 2
[名师点津]
1.不等式 a2+b2≥2ab 与a+2 b≥ ab的比较 (1)两个不等式 a2+b2≥2ab 与a+2 b≥ ab成立的条件是不同 的.前者要求 a,b 是实数即可,而后者要求 a,b 都是正实数(实 际上后者只要 a≥0,b≥0 即可). (2)两个不等式 a2+b2≥2ab 和a+2 b≥ ab都是带有等号的不 等式,都是“当且仅当 a=b 时,等号成立”.
所以 x+x-4 2=x-2+x-4 2+2≥2 x-2·x-4 2+2=6, 当且仅当 x-2=x-4 2,即 x=4 时,等号成立. 所以 x+x-4 2的最小值为 6.
(2)因为 0<x<12,所以 1-2x>0,所以12x(1-2x)=14×2x×(1-2x)≤14
2x+21-2x2=14×14=116,当且仅当 2x=1-2x,即当 x=14时,等
将上述三式相加得2ab+2ab+3ac+3ac+23bc+23bc≥6(当且仅当 a =2b=3c 时等号成立), ∴2ab+2ab-1+3ac+3ac-1+23bc+23bc-1≥3(当且仅当 a=2b =3c 时等号成立), 即2b+a3c-a+a+32cb-2b+a+23bc-3c≥3(当且仅当 a=2b=3c 时等号成立).
2.某货轮匀速行驶在相距 300 海里的甲、乙两地间运输货物, 运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时 的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为 0.5), 其他费用为每小时 800 元,且该货轮的最大航行速度为 50 海里/时. (1)请将该货轮从甲地到乙地的运输成本 y(元)表示为航行 速度 x(海里/时)的函数; (2)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的 航行速度行驶?
故当货轮的航行速度为 40 海里/时时,能使该货轮从甲地到乙地
的运输成本最少.
基本不等式的拓广应用 阅读下列材料. 二元基本不等式:设 a,b 为正数,则a+2 b≥ ab,当且仅当 a =b 时等式成立. 证明:因为(a+b)2-4ab=(a-b)2≥0,所以(a+b)2≥4ab, 从而得a+2 b≥ ab,当且仅当 a=b 时等式成立. 三元基本不等式:设 a,b,c 为正数,则a+3b+c≥3 abc, 当且仅当 a=b=c 时等式成立.
(1)a+b≥2 ab;
(2)ab≤
a+b 2
2≤
a2+b2 2
(其中a>0,b>0,当且仅当a=b时等
号成立).
利用基本不等式证明不等式
[例1] 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.求证:
1a-11b-11c-1≥8. [证明] 因为 a,b,c∈(0,+∞),a+b+c=1,所以1a-1
2.应用基本不等式求最值的原则 利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等” 的原则,即: (1)一正:符合基本不等式a+2 b≥ ab成立的前提条件,a>0, b>0; (2)二定:化不等式的一边为定值; (3)三相等:必须存在取“=”号的条件,即“=”号成立. 以上三点缺一不可.
3.基本不等式的常见变形
=1-a a=b+a c≥2 abc,同理1b-1≥2 bac,1c-1≥2 cab.上述三个
不 等 式 两 边 均 为 正 , 分 别 相 乘 , 得 1a-1 1b-1 1c-1
≥2
bc 2 a·
ac 2 b·
cab=8.当且仅当
a=b=c=13时,等号成立.
[母题探究] (变设问)在本例条件下,求证:1a+1b+1c≥9. 证明:因为 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1, 所以1a+1b+1c =a+ab+c+a+bb+c+a+cb+c =3+ba+ab+ac+ac+bc+bc≥3+2+2+2=9. 当且仅当 a=b=c=13时,等号成立.
(2)并——分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式;或分组后先 对一组应用基本不等式,再在组与组之间应用基本不等式得出 最值. (3)配——配式配系数 有时为了挖掘出“积”或“和”为定值,常常需要根据题 设条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后 可以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使积式 中的各项之和为定值.
利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等 式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求 问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”. (2)注意事项: ①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立; ②累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时 注意使用; ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,构成基 本不等式模型再使用.
知识点二 基本不等式与最值 已知 x,y 都是正数,则 (1)如果积 xy 等于定值 P(积为定值),那么当 x=y 时,和
x+y 有最小值 2 P ; (2)如果和 x+y 等于定值 S(和为定值),那么当 x=y 时,
积 xy 有最大值 14S2 .
[想一想]
x+1x的最小值是 2 吗? 提示:当 x>0 时,x+1x的最小值是 2. 当 x<0 时,x+1x没有最小值.
1.(一题两空)某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台 机器生产的产品可获得的总利润 y(单位:万元)与机器运转时间
x(单位:年)的关系为 y=-x2+18x-25(x∈N *),则当每台机器
运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元. 解析:每台机器运转 x 年的年平均利润为xy=18-x+2x5,且 x>0,故xy≤18-2 25=8,当且仅当 x=5 时等号成立,此时年 平均利润最大,最大值为 8 万元. 答案:5 8
证明:设 d 为正数,由二元基本不等式,
得a+b+4 c+d=12a+2 b+c+2 d≥
ab+ 2
cd≥4 abcd,当
且仅当 a=b=c=d 时,等式成立.
令 d=a+3b+c,即 a+b+c=3d,代入上述不等式,得
解:(1)由题意,每小时的燃料费用为 0.5x2 元,从甲地到乙地所
用的时间为30x0小时,
则 y=0.5x2·30x0+800·30x0=150x+1 6x00(0<x≤50).
(2)由(1)得
y=150x+1
6x00≥300
x·1 6x00=12 000,
当且仅当 x=1 6x00,即 x=40 时取等号.
号成立,所以12x(1-2x)的最大值为116.
(3)因为 x>0,y>0,x+4y=1,
所以1x+1y=x+x4y+x+y4y=5+4xy+xy≥5+2 4xy·xy=9,
当且仅当4xy=xy,即 x=13,y=16时取等号.
[答案]
(1)6
1 (2)16
(3)9
利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式,通过恒等变形及配凑,使“和”或“积” 为定值.常见的变形方法有拆、并、配. (1)拆——裂项拆项 对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分 离成整式与“真分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式 进行拆项,为应用基本不等式凑定积创造条件.
[跟踪训练]
已知 a,b,c 均为正实数, 求证:2b+a3c-a+a+32cb-2b+ a+23bc-3c≥3. 证明:∵a,b,c 均为正实数, ∴2ab+2ab≥2(当且仅当 a=2b 时等号成立), 3ac+3ac≥2(当且仅当 a=3c 时等号成立), 23bc+23bc≥2(当且仅当 2b=3c 时等号成立),
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