长江大学下学期高数期末考试试题及答案

一、 填空题(每题4分,共16分)

1.(4分) 级数1n n u ∞

=∑收敛的必要条件是 .

2. (4分) 交换二次积分的次序100(,)y

dy f x y dx ⎰⎰= .

3. (4分) 微分方程2442x y y y xe '''-+=的一个特解形式可以设为 .

4. (4分) 在极坐标系下的面积元素d σ= .

二、 选择题(每题4分,共16分)

1. (4分) 已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ).

A. (1,-1,2);

B. (-1,1,2);

C. (1,1,2);

D. (-1,-1,2).

2. (4分) 级数13

121(1)

n n n ∞-=-∑为（ ）.

A.绝对收敛;

B. 条件收敛;

C.发散;

D. 收敛性不确定.

3. (4分) 若∑是锥面222

x y z +=被平面0z =与1z =所截下的部分,则曲面积分22()x y dS ∑+=⎰⎰( ).

A.

1200d r rdr πθ⋅⎰⎰; B. 21200d r rdr πθ⋅⎰⎰;

C. 1200d r rdr πθ⋅⎰;

D.

21200d r rdr πθ⋅⎰. 4. (4分)

幂级数1(1)

n n n n ∞-=-∑的收敛半径为( ). A. 2;R = B.1;2R = C.3;R = D.1.3R =

三、 解答题(每题7分,共63分)

1．(7分) 设sin(),xy

z x y e =++求dz .

2． (7分) 计算三重积分,I xdxdydz Ω=⎰⎰⎰其中Ω为三个坐标面及平面

21x y z ++=所围成的闭区域.

3． (7分) 求(1)I y z dS ∑

=++⎰⎰,其中∑是平面5y z +=被圆柱面

2225x y +=截出的有限部分.

4． (7分) 求幂级数1(1)(1)n

n n x n ∞

=--∑的收敛域. 5． (7分) 将21()2f x x x

=--展开为麦克劳林级数. 6． (7分) 求曲线积分(sin )(cos 1)x x

L I e y y dx e y dy =-+-⎰,其中L 为22x y ax +=上从(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周.

7． (7分) 求微分方程24y xy x '+=在初始条件03x y ==下的特解.

8． (7分) 求曲面积分(1)(22)(33)I x dydz y dzdx z dxdy ∑

=+++++⎰⎰ ,

其中∑为曲面222

4x y z ++=的内侧.

9．(7分) 计算曲线积分()L I x y ds =+⎰,其中L 是以(0,0)O ,(1,0),(0,1)

A B 为顶点的三角形折线.

四、(5分) 试确定参数t 的值,使得在不含直线0y =上点的区域上,曲线积分

222222()()t t

C

x x y x x y I dx dy y y ++=-⎰与路径无关，其中C 是该区域上一条光滑曲线，并求出当C 从(1,1)A 到(0,2)B 时I 的值.

评 分 标 准

一、 1.lim 0;n n u →∞= 2.11

0(,);x dx f x y d y ⎰⎰

3.*222()x y x Ax Bx C e =++;

4..d rdrd σ=θ

二、 1. C; 2. A; 3.D. 4.D.

三、 1.解 c o s ()xy x z x y ye =++......................3 分

c o s ()xy

y z x

y xe =++ ......................3 分

[c o s ()][c o s ()x y x y d z x y y e d x x y x e d y =+++++......................7分 2.解 11122000x x y I dx dy xdz ---=⎰⎰

⎰......................3 分 11200(12)x xdx x y dy -=--⎰⎰......................5分

12301(2)4

x x x dx =-+⎰......................6分 148

=......................7分 3.解 :5z y ∑=-......................1分

22:25D x y +≤......................2分

(15D

I y y =++-⎰⎰ ......................4分

D

dxdy =......................6分

= ......................7分

4. 解 1R =............................................2分

当2x =时收敛...................... ......................4分 当0x =时发散......................6分

收敛域为(0,2]. ......................7分