直线与平面垂直的判定定理公开课
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高中数学《直线与平面垂直的判定》公开课优秀教
提供提问的机会和时间
教师应该合理安排课堂时间，给学生提供提问的 机会和时间，让学生能够充分表达自己的想法和 疑惑。
对学生的问题进行认真回应
教师应该对学生的问题进行认真回应，不回避、 不敷衍，让学生能够感受到自己的问题得到了重 视和关注。
针对学生的问题进行解答和指导
清晰明确地解答问题
教师在解答学生问题时，应该清晰明确地表达自己的想法和思路，让学生能够听懂、理解 。
过程与方法
情感态度与价值观
培养学生严谨、认真的学习态度，体 会数学中的转化思想和数形结合思想 ，感受数学的美。
通过直观感知、操作确认、思辨论证 等过程，培养学生的空间想象能力、 推理论证能力和解决问题的能力。
教学内容与安排
引入新课
通过生活中的实例和已 学过的知识，引出直线
与平面垂直的概念。
新课学习
讲解直线与平面垂直的 定义、判定定理及其证 明，引导学生理解并掌
握相关知识。
课堂练习
通过具体题目，让学生 运用所学知识解决问题
，巩固所学内容。
课堂小结
总结本节课所学内容， 强调重点和难点，引导 学生思考并加深对所学
知识的理解。
教学方法和手段
教学方法
采用启发式教学法和探究式教学 法，引导学生主动思考、积极探 究。
利用直线与平面垂直的性质解题的例题
例题5
已知直线$l$与平面$alpha$垂直，且直线$m subset alpha$ ，求证：直线$l$与直线$m$垂直。
例题6
在长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，已知点$E, F, G, H$分 别是棱$AB, BC, CD, DA$的中点，求证：四边形$EFGH$是 矩形。
课后作业
教师应该合理安排课堂时间，给学生提供提问的 机会和时间，让学生能够充分表达自己的想法和 疑惑。
对学生的问题进行认真回应
教师应该对学生的问题进行认真回应，不回避、 不敷衍，让学生能够感受到自己的问题得到了重 视和关注。
针对学生的问题进行解答和指导
清晰明确地解答问题
教师在解答学生问题时，应该清晰明确地表达自己的想法和思路，让学生能够听懂、理解 。
过程与方法
情感态度与价值观
培养学生严谨、认真的学习态度，体 会数学中的转化思想和数形结合思想 ，感受数学的美。
通过直观感知、操作确认、思辨论证 等过程，培养学生的空间想象能力、 推理论证能力和解决问题的能力。
教学内容与安排
引入新课
通过生活中的实例和已 学过的知识，引出直线
与平面垂直的概念。
新课学习
讲解直线与平面垂直的 定义、判定定理及其证 明，引导学生理解并掌
握相关知识。
课堂练习
通过具体题目，让学生 运用所学知识解决问题
，巩固所学内容。
课堂小结
总结本节课所学内容， 强调重点和难点，引导 学生思考并加深对所学
知识的理解。
教学方法和手段
教学方法
采用启发式教学法和探究式教学 法，引导学生主动思考、积极探 究。
利用直线与平面垂直的性质解题的例题
例题5
已知直线$l$与平面$alpha$垂直，且直线$m subset alpha$ ，求证：直线$l$与直线$m$垂直。
例题6
在长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，已知点$E, F, G, H$分 别是棱$AB, BC, CD, DA$的中点，求证：四边形$EFGH$是 矩形。
课后作业
直线与平面垂直的判定公开课优质课课件
直线与平面垂直的判定公开课优质 课课件
目录
• 引言 • 直线与平面垂直的定义与性质 • 判定方法及其应用场景 • 典型例题分析与解答 • 课堂互动环节 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景与目标
课程背景
介绍直线与平面垂直的基本概念， 以及其在几何学、工程学等领域的 应用。
课程目标
通过本课程的学习，使学生掌握直 线与平面垂直的判定方法，理解其 几何意义，并能够在实际问题中加 以应用。
符号表示
如果直线 $l$ 与平面 $alpha$ 垂直， 记作 $l perp alpha$。
直线与平面垂直的性质
性质一
如果一条直线与一个平面 垂直，那么这条直线上的 任意一点到这个平面的距 离都是相等的。
性质二
如果两条直线都与同一个 平面垂直，那么这两条直 线平行。
性质三
如果一条直线与一个平面 垂直，那么过这条直线的 任意平面都与这个平面垂 直。
典型例题解析 回顾课程中的典型例题，通过解析例题的解题思 路和步骤，加深对直线与平面垂直判定的理解。
学生学习成果展示
学生优秀作业展示
选取部分学生的优秀作业进行展 示，让学生互相学习、借鉴优秀
的解题思路和方法。
学生课堂表现评价
对学生在课堂上的表现进行评价， 肯定学生的积极参与和进步，鼓励 学生继续努力。
05
课堂互动环节
学生提问与讨论
学生可以提出关于直线与平面垂 直的定义、性质、判定方法等方
面的问题。
学生可以就直线与平面垂直在实 际生活中的应用进行讨论，例如
建筑、工程等领域中的实例。
学生可以分享自己对于直线与平 面垂直的理解和学习心得，促进
课堂交流和互动。
目录
• 引言 • 直线与平面垂直的定义与性质 • 判定方法及其应用场景 • 典型例题分析与解答 • 课堂互动环节 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景与目标
课程背景
介绍直线与平面垂直的基本概念， 以及其在几何学、工程学等领域的 应用。
课程目标
通过本课程的学习，使学生掌握直 线与平面垂直的判定方法，理解其 几何意义，并能够在实际问题中加 以应用。
符号表示
如果直线 $l$ 与平面 $alpha$ 垂直， 记作 $l perp alpha$。
直线与平面垂直的性质
性质一
如果一条直线与一个平面 垂直，那么这条直线上的 任意一点到这个平面的距 离都是相等的。
性质二
如果两条直线都与同一个 平面垂直，那么这两条直 线平行。
性质三
如果一条直线与一个平面 垂直，那么过这条直线的 任意平面都与这个平面垂 直。
典型例题解析 回顾课程中的典型例题，通过解析例题的解题思 路和步骤，加深对直线与平面垂直判定的理解。
学生学习成果展示
学生优秀作业展示
选取部分学生的优秀作业进行展 示，让学生互相学习、借鉴优秀
的解题思路和方法。
学生课堂表现评价
对学生在课堂上的表现进行评价， 肯定学生的积极参与和进步，鼓励 学生继续努力。
05
课堂互动环节
学生提问与讨论
学生可以提出关于直线与平面垂 直的定义、性质、判定方法等方
面的问题。
学生可以就直线与平面垂直在实 际生活中的应用进行讨论，例如
建筑、工程等领域中的实例。
学生可以分享自己对于直线与平 面垂直的理解和学习心得，促进
课堂交流和互动。
直线与平面垂直的判定公开课课件
(1) 平面有两条直线 (2) 这两条直线要相交 (3) 平面外的直线要与这两条直线都垂直 你能根据刚才的分析归纳出直线与平面垂 直判定定理吗
二、 直线与平面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平面垂直。 一相交两垂直
m n m n lm ln
A
D
B
C
1.直线与平面垂直的定义，垂线、垂面、垂足的概念。
2.直线与平面垂直的判定：（三种方法）
（1）用定义：如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，
就说直线 l 与平面α互相垂直。
（2）用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两相交直线都垂直，则该 直线与此平面垂直。
（3）利用例5的结论：
（是）
15
探索新知： 利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基 本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.
l l m, 任意 m .
但是，直接考察直线与平面内所有直线都 垂直是不可能的，这就有必要去寻找比定义法 更简捷、更可行的直线与平面垂直的方法!
探索新知：
顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将 翻折后的纸片竖起放置在桌面上（ BD、DC与桌面接触） 1.折痕AD与桌面垂直吗？ 2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
A
C
做一 请同学们拿出一块三角形纸片， 做 想一 我们一起做一个试验：过三角形的 想
A
D
B
D
C
B
探索新知： 2.如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
A
C
A
D
B
D
C
B
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面 垂直．
直线与平面垂直的判定(公开课) ppt课件
3、如图，PA⊥平面ABC，BC⊥AC， 写出图中所有的 直角三角形。
A
D
B
C
第1题图
第2题图
PPT课件
第3题图
20
PPT课件
21
PPT课件
10
直线和平面垂直的判定定理：
文字语言：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：
垂直 l a
图形语言：
内
l b a
l
b
相交 a b A
判定定理
线线垂直
线面垂直
性质
PPT课件
l
b
Aa
11
四：典型例题
例1 如图，已知 a // b, a ，求证 b .
形所在的平面。(×)
(3)、若一条直线与一个梯形的两腰垂直， 则这条直线垂直于梯形所在的平面。
(√ )
PPT课件
14
三、判定定理的应用
例2 如图,已知P是菱形ABCD所在平面外一
点,且PA=PC.求证:AC 平面PBD.
证明:设AC BD O ，连O为AC的中点
10
10
8
PPT课件
6O 6 B A
18
课后思考（P79 B组2）
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求证： B1D A1C1B
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
PPT课件
19
六:布置作业
1、如图，在三棱锥A-BCD中，AD ⊥ BD，AD ⊥ DC， 求证：AD ⊥ BC。
2、已知PA⊥平面ABC，AB是⊙ 的直径，C是圆上的任一点， 求证：PC⊥BC ．
A
D
B
C
第1题图
第2题图
PPT课件
第3题图
20
PPT课件
21
PPT课件
10
直线和平面垂直的判定定理：
文字语言：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：
垂直 l a
图形语言：
内
l b a
l
b
相交 a b A
判定定理
线线垂直
线面垂直
性质
PPT课件
l
b
Aa
11
四：典型例题
例1 如图，已知 a // b, a ，求证 b .
形所在的平面。(×)
(3)、若一条直线与一个梯形的两腰垂直， 则这条直线垂直于梯形所在的平面。
(√ )
PPT课件
14
三、判定定理的应用
例2 如图,已知P是菱形ABCD所在平面外一
点,且PA=PC.求证:AC 平面PBD.
证明:设AC BD O ，连O为AC的中点
10
10
8
PPT课件
6O 6 B A
18
课后思考（P79 B组2）
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
求证： B1D A1C1B
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
PPT课件
19
六:布置作业
1、如图，在三棱锥A-BCD中，AD ⊥ BD，AD ⊥ DC， 求证：AD ⊥ BC。
2、已知PA⊥平面ABC，AB是⊙ 的直径，C是圆上的任一点， 求证：PC⊥BC ．
直线与平面垂直的判定定理公开课
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
(1)折痕AD与桌面垂直吗？
(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面肯定垂直？ (3)翻折前AD BC ，翻折后垂直关系还成立吗？
(4)通过上面的活动，你能得出直线与平面垂直的一个判 定方法吗
公开课课件：必修二2.3.1直线与平面垂直的判定课件
C 是圆周上不同于A、B的一点,且PA AC, PA AB.
求证：（1）PA BC；
（2）BC 平
C
变式：
如图，圆O所在平面为 ，AB是圆O 的一条直径，
C 是圆周上不同于A、B的一点,且PA AC, PA AB. 求证：PC BC（ΔPBC为直角三角形）.
P
O
问题2：
你能给出线面垂直的定
C
义吗？
C′
α
B
B′
C
剖析概念，深化理解：
直线与平面垂直的定义： 如果一条直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂
直，我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直。记作：l
垂足
α
l
平面 的垂线
P
直线 l 的垂面
图形语言和符号语言：
l
P
a
简记：线线垂直
线面垂直
深入理解“线面垂直的定义”
C
点A翻折纸片呢？
归纳：
A
BD
C
当且仅当折痕 是 BC 边上的高时（不过顶点A翻折 时，折痕与BC垂直时），折痕所在直线与桌面所在平
面 垂直．
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
直线与平面垂直的判定定理：
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交 直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
公开课课件直线与平面垂直的判定(公开课)-2024鲜版
如果一条直线垂直于一个平面的两条相交直线，那么这条直线所在的平面垂直于 这个平面。
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面。
2024/3/27
13
性质定理的应用例
在建筑设计中，常常需要判断建筑物的 立柱是否与地面垂直。这时可以利用直 线与平面垂直的性质定理，通过测量立 柱与地面上的两条相交直线的夹角来判
2024/3/27
17
解析法
2024/3/27
点法式
利用点法式方程，通过求解直线 与平面的交点并判断该点是否满 足平面方程来判定。
一般式
利用一般式方程，通过联立直线 与平面的方程并求解来判断是否 存在解来判定。
18
各种方法的比较和选择
传统几何法具有直观性强的优点，但证明过程较为繁琐；向量法具有计算简便的优点，但需要掌握向 量知识；解析法具有普适性强的优点，但计算量较大。
02
符号语言表示为：$a perp b, a perp c, b cap c = A Rightarrow a perp alpha$。
8
直线与平面垂直的判定定理二
如果一条直线垂直于一个平面内的一 条直线，且这条直线在平面外，则这 条直线与这个平面垂直。
符号语言表示为：$a perp l, l subset alpha, a nsubseteq alpha Rightarrow a perp alpha$。
点到地面的垂线。
14
04
判定方法详解及示例
2024/3/27
15
传统几何法
01
02
03
定义法
利用直线与平面垂直的定 义，通过证明直线与平面 内任意两条相交直线都垂 直来判定。
直线、平面垂直的判定及其性质市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
以立体几何旳定义、公理和定理为出发点， 认识和了解空间中线面垂直旳有关性质与鉴定定 理.
1. 直线与平面垂直
2.直线和平面所成旳角 3.二面角旳有关概念
4.平面与平面垂直
[思索探究] 垂直于同一平面旳两平面是否平行？
提醒：垂直于同一平面旳两平面可能平行，也可能相交.
1.直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β旳位置关系是 ( )
[思绪点拨]
[课堂笔记] (1)证明：因为E、F、G分别是AB、AC、 AP旳中点， 所以EF∥BC，GF∥CP. 因为EF，GF⊄平面PCB. 所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB. 又EF∩GF＝F， 所以平面GFE∥平面PCB.
(2)∵BC⊥PC，BC⊥CA，且PC∩AC＝C， ∴BC⊥平面PAC. 过点C作CH⊥PA于H点， 连结HB，则易证HB⊥PA， ∴∠BHC即为二面角B－AP－C旳平面角.
＝
要使PM最小，只需CM最小，此时CM⊥AB，
∴CM＝
＝2 ，∴PM旳最小值为2 .
答案：2
5.如图，平面ABC⊥平面BDC，
∠BAC＝∠BDC＝90°，且
AB＝AC＝a，则AD＝
.
解析：取BC中点E，连结ED、AE，
∵AB＝AC，∴AE⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BDC，
∴AE⊥平面BCD.
∴AE⊥ED.
1.证明平面与平面垂直旳措施主要有： (1)利用定义证明.只需鉴定两平面所成旳二面角为直二面角
即可. (2)利用鉴定定理.在审题时，要注意直观判断哪条直线可能
是垂线，充分利用等腰三角形底边旳中线垂直于底边， 勾股定理等结论.
2.有关三种垂直关系旳转化可结合下图记忆.
(2023·江苏高考)如图，在 三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别 是A1B、A1C旳中点，点D在B1C1上， A1D⊥B1C.求证： (1)EF∥平面ABC； (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
1. 直线与平面垂直
2.直线和平面所成旳角 3.二面角旳有关概念
4.平面与平面垂直
[思索探究] 垂直于同一平面旳两平面是否平行？
提醒：垂直于同一平面旳两平面可能平行，也可能相交.
1.直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β旳位置关系是 ( )
[思绪点拨]
[课堂笔记] (1)证明：因为E、F、G分别是AB、AC、 AP旳中点， 所以EF∥BC，GF∥CP. 因为EF，GF⊄平面PCB. 所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB. 又EF∩GF＝F， 所以平面GFE∥平面PCB.
(2)∵BC⊥PC，BC⊥CA，且PC∩AC＝C， ∴BC⊥平面PAC. 过点C作CH⊥PA于H点， 连结HB，则易证HB⊥PA， ∴∠BHC即为二面角B－AP－C旳平面角.
＝
要使PM最小，只需CM最小，此时CM⊥AB，
∴CM＝
＝2 ，∴PM旳最小值为2 .
答案：2
5.如图，平面ABC⊥平面BDC，
∠BAC＝∠BDC＝90°，且
AB＝AC＝a，则AD＝
.
解析：取BC中点E，连结ED、AE，
∵AB＝AC，∴AE⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BDC，
∴AE⊥平面BCD.
∴AE⊥ED.
1.证明平面与平面垂直旳措施主要有： (1)利用定义证明.只需鉴定两平面所成旳二面角为直二面角
即可. (2)利用鉴定定理.在审题时，要注意直观判断哪条直线可能
是垂线，充分利用等腰三角形底边旳中线垂直于底边， 勾股定理等结论.
2.有关三种垂直关系旳转化可结合下图记忆.
(2023·江苏高考)如图，在 三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别 是A1B、A1C旳中点，点D在B1C1上， A1D⊥B1C.求证： (1)EF∥平面ABC； (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
线面垂直的判定定理(公开课)课件
习题
01
02
03
04
B. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的两条相交直
线都垂直，则线面垂直。
C. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的无数条直线
都垂直，则线面垂直。
D. 若直线a在平面α外，且直 线a与平面α内的两条平行直
线都垂直，则线面垂直。
填空题：若直线a与平面β内 的两条直线分别平行和垂直，
情况二
如果一条直线与平面内的 两条平行直线都垂直，那 么这条直线与这个平面垂 直。
情况三
如果一条直线与平面内的 无数条直线都垂直，那么 这条直线与这个平面垂直 。
线面垂直在几何问题中的应用
应用一
在几何问题中，线面垂直可以用来证明某些几何图形的性质，例如三角形的高线、矩形的对角线等。
应用二
线面垂直可以用来解决一些几何问题，例如求点到平面的距离、求两平面之间的夹角等。
本节课的难点解析
如何理解线面垂直的概念及其几何意 义
运用判定定理解决复杂问题的策略和 方法
判定定理证明中的逻辑推理和数学表 达
下节课预告
线面平行的判定定理及其应用 平行线的性质和判定方法总结
几何问题中线面平行与垂直的综合应用
THANK YOU
判定定理的证明实例
实例一
假设有一个正方体，我们知道它的一个顶点A所在的直线a与顶点B、C所在的平 面β都垂直，那么我们可以应用线面垂直的判定定理证明直线a与平面β垂直。
实例二
假设有一个长方体，我们知道它的一个顶点A所在的直线a与顶点B、C、D所在的 平面β都垂直，那么我们同样可以应用线面垂直的判定定理证明直线a与平面β垂 直。
线面垂直的判定定理(公开课)课件
直线与平面垂直的判定公开课优质ppt课件
1
2
3
2.3.1直线与平面垂直的判定
学习目标
1. 掌握直线与平面垂直的定义． 2. 掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证 明直线与平面垂直．
合作探究
（1）旗杆所在的直线与影子
模拟旗杆在太阳的照射下影子的变（所化2在，）直旗探线杆究位l 直置与地关线系面是上什任么意？一
与平面垂直时，该直线与此平面内直条线不的过关旗系杆底部B的直线B1C1
的位置关系又是什么？
B
B1
C
C1
探究结论
⊥ α 内任意一条直线
B
B1
C
C1
直线与平面垂直的定义：
如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，
我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α。
平面 的
l
垂线
直线l的 垂面
P
图形语言：
即学即练
（1）判断下列语句是否正确：（若不正确请举反
例）
b
①如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面
任一点，求证：
平面 是⊙ 的直径， 上的
思考：图中有几个直 角三角形?由此你认 为三棱锥中最多有几
个直角三角形？
20
内所有的直线都垂直。
（）
a
②如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那
么它与平面垂直。
（)
③
则 垂直。
（）
9
（2） 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中， 与直线AA'垂直的平面有 平面ABCD和平面A';B'C'D' 与平面ABCD垂直的直线有 AA',BB',CC'和DD' ；
2
3
2.3.1直线与平面垂直的判定
学习目标
1. 掌握直线与平面垂直的定义． 2. 掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证 明直线与平面垂直．
合作探究
（1）旗杆所在的直线与影子
模拟旗杆在太阳的照射下影子的变（所化2在，）直旗探线杆究位l 直置与地关线系面是上什任么意？一
与平面垂直时，该直线与此平面内直条线不的过关旗系杆底部B的直线B1C1
的位置关系又是什么？
B
B1
C
C1
探究结论
⊥ α 内任意一条直线
B
B1
C
C1
直线与平面垂直的定义：
如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，
我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作：l ⊥α。
平面 的
l
垂线
直线l的 垂面
P
图形语言：
即学即练
（1）判断下列语句是否正确：（若不正确请举反
例）
b
①如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面
任一点，求证：
平面 是⊙ 的直径， 上的
思考：图中有几个直 角三角形?由此你认 为三棱锥中最多有几
个直角三角形？
20
内所有的直线都垂直。
（）
a
②如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那
么它与平面垂直。
（)
③
则 垂直。
（）
9
（2） 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中， 与直线AA'垂直的平面有 平面ABCD和平面A';B'C'D' 与平面ABCD垂直的直线有 AA',BB',CC'和DD' ；
直线与平面垂直的判定公开课ppt课件
证明两平面垂直
如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。
证明点到平面的距离
利用直线与平面垂直的性质，可以方便地求解点到平面的距离。
在空间几何中的应用
三维坐标系中的垂直关系
在空间直角坐标系中，直线与坐标平面垂直时，其方向向量与平 面法向量平行。
空间图形的垂直关系
在空间几何中，可以利用直线与平面垂直的性质来描述和证明空间 图形之间的垂直关系。
空间向量的垂直关系
当两个空间向量的点积为零时，这两个向量垂直。利用这一性质， 可以判断直线与平面是否垂直。
在实际问题中的应用
建筑设计中的垂直关系
在建筑设计中，需要保证建筑物的某些部分与地面或其他部分保持垂直，这时可以利用直线 与平面垂直的性质进行计算和设计。
工程测量中的垂直关系
在工程测量中，经常需要测量某一点到某一平面的垂直距离，这时可以利用直线与平面垂直 的性质进行精确的测量。
03
直线与平面垂直的判定定理
Chapter
判定定理一：直线与平面内两条相交直线垂直
在平面内画出两条相交的直线， 再画出一条与这两条直线都垂直 的直线，表示这条直线与平面垂 直。
在几何题目中，经常需要利用这 个定理来证明直线与平面的垂直 关系。
定理内容 图形表示 证明方法 应用举例
如果一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直 线与这个平面垂直。
可以通过反证法或者利用向量的 性质进行证明。
判定定理二：直线与平面内无数条直线垂直
定理内容
如果一条直线与一个平面内的无 数条直线都垂直，那么这条直线 与这个平面垂直。
注意事项
这个定理中的“无数条”直线必 须是互相平行的，否则定理不成 立。
如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。
证明点到平面的距离
利用直线与平面垂直的性质，可以方便地求解点到平面的距离。
在空间几何中的应用
三维坐标系中的垂直关系
在空间直角坐标系中，直线与坐标平面垂直时，其方向向量与平 面法向量平行。
空间图形的垂直关系
在空间几何中，可以利用直线与平面垂直的性质来描述和证明空间 图形之间的垂直关系。
空间向量的垂直关系
当两个空间向量的点积为零时，这两个向量垂直。利用这一性质， 可以判断直线与平面是否垂直。
在实际问题中的应用
建筑设计中的垂直关系
在建筑设计中，需要保证建筑物的某些部分与地面或其他部分保持垂直，这时可以利用直线 与平面垂直的性质进行计算和设计。
工程测量中的垂直关系
在工程测量中，经常需要测量某一点到某一平面的垂直距离，这时可以利用直线与平面垂直 的性质进行精确的测量。
03
直线与平面垂直的判定定理
Chapter
判定定理一：直线与平面内两条相交直线垂直
在平面内画出两条相交的直线， 再画出一条与这两条直线都垂直 的直线，表示这条直线与平面垂 直。
在几何题目中，经常需要利用这 个定理来证明直线与平面的垂直 关系。
定理内容 图形表示 证明方法 应用举例
如果一条直线与一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直 线与这个平面垂直。
可以通过反证法或者利用向量的 性质进行证明。
判定定理二：直线与平面内无数条直线垂直
定理内容
如果一条直线与一个平面内的无 数条直线都垂直，那么这条直线 与这个平面垂直。
注意事项
这个定理中的“无数条”直线必 须是互相平行的，否则定理不成 立。
2.3.1高二数学直线与平面垂直的判定 公开课一等奖课件
三、直线与平面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 ,那 么该直线与此平面垂直．
a
la
b
abA
l
证明 PA PC , 点 O是 AC 的中点 PO AC 又 PB PD ,点 O是 BD 的中点 PO BD 又 AC BD O PO 平面 ABCD
作用：
l
b
青 春 风 采
(高|考 )总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
北京大学光华管理学 院
北京市文科状元 阳光女孩 - -何
来自北京二中 , (高|考 )成绩672分 ,还 有20分加分 . "何旋给人最||深的印象就 是她的笑声 ,远远的就能听见她的笑声 . 〞班主任吴京梅说 ,何旋是个阳光女孩 . "她是学校的摄影记者 ,非常外向 ,如果 加上20分的加分 ,她的成绩应该是692 . 〞吴老师说 ,何旋考出好成绩的秘诀是心 态好 . "她很自信 ,也很有爱心 .考试结 束后 ,她还问我怎么给遥远地区的学校捐 书〞 .
?直线与平面垂直的判定?
我们热爱祖国, 我们热爱五星红旗!
旗杆与地面垂直
科学技术是第|一生产 力
杭州湾跨海大桥的桥墩与水面垂直
引入新课 一条直线与一个平面垂直的意义是什么 ?
α
P A 旗杆AB所在直线与地面内 任意一条过点B的直线垂 直．
与地面内任意一条不过点B
B
的直线B1C1也垂直．
直线垂直于平面内的
空间问题
平面问题
1. 判断题：
（√）
（× ）
2、如图 ,空间中直线L和三角形的两边 AC,BC同时垂直 ,那么这条直线和三角形 的第三边AB的位置关系是〔B 〕
直线与平面垂直的判定优秀公开课
射影的概念
一个点在一条直线上的射影是该 点向这条直线所作的垂线的垂足
。
三垂线定理
如果平面内的一条直线与这个平面 的一条斜线的射影垂直，那么它也 与这条斜线垂直。
应用举例
利用三垂线定理，可以判断直线与 平面、平面与平面是否垂直，也可 以解决一些与垂直有关的实际问题 。
06
课程总结与展望
课程重点回顾
02
垂线段是连接点和直线上任意一 点的线段中最短的，具有唯一性 和确定性。
性质二：直线在平面上的投影为一点
当直线与平面垂直时，直线在平面上 的投影是一个点，这个点就是直线与 平面的交点。
投影点具有积聚性，即直线上的所有 点在平面上的投影都重合于这一点。
性质三：直线与平面所成角为直角
当直线与平面垂直时，它们所成的角是直角，即角度为90度 。
判定定理二：方向向量法
如果直线的方向向量与平面的法 向量平行，那么直线与平面垂直
。
如果直线的方向向量与平面的一 个非零向量正交，那么直线与平
面垂直。
如果直线的方向向量与平面内两 个不共线的向量都正交，那么直
线与平面垂直。
判定定理三：斜率法
如果直线的斜率不存在（即直线垂直于x轴），且直线过平面内一点，那么直线与平 面垂直。
课程目标
明确本节课的教学目标，即学生 能够理解和掌握直线与平面垂直 的判定方法，并能够在实际问题 中加以应用。
直线与平面垂直的定义
01
02
03
定义
当一条直线与一个平面内 的任意两条相交直线都垂 直时，称这条直线与该平 面垂直。
符号表示
若直线$l$与平面$alpha$ 垂直，则记作$l perp alpha$。
性质
相关主题
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一条直线垂直于一平面内的所有直线
这条直线垂直该平面
反过来：
一直线垂直一平面
这条直线垂直于该平面内的所有直线
练习
判断下列语句是否正确：（若不正确请举反例）
1.如果一条直线与一个平面垂直，那么它与平面
内所有的直线都垂直.
（）
2.如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那 么它与平面垂直.
（)
b
a
思考：根据直线与平面的垂直的定义是否把 平面中的直线一一找出，才能证明直线与平 面垂直？能否有更简单的做法得到直线和平 面垂直？
2、与直线AB垂直的平面有_ 平面A_1ADD1 平面B1_BCC1
D1 A1
C1 B1
D A
C B
例题讲解：
如图，在三棱锥V-ABC,VA=VC,AB=BC，O为 AC的中点
V
求证:(1) AC⊥平面VOB.
(2) AC⊥VB.
.O
C
A
B 提示：找AC中点O,连接VD,BD
变变式式：练习
⑴若E、F分别是AB、BC 的
l
m
o
E
A B C
通过上面的实例，你认为该如何定义直线与 一个平面垂直？
直线与平面垂直的定义：
如果一条直线 l 垂直于平面α 内的任意一条直线， 我们就说直线 l 与平面 α 互相垂直。
记作： l
平面 的垂线
l
垂足
P
α
直线 l 的垂面
直线与平面垂直的画法：源自lPlP
水平平面：
竖直平面
由定义知：
中点，试判断EF与平面VOB 的位置关系．
A
V
O
C
E
F
B
⑵ 在⑴的条件下，有人说“VB⊥AC，
VB⊥EF， VB⊥平面ABC”，对吗？
本课小结
1、线面垂直的定义 l 垂直于 内的任意一条直线 l
2、线面垂直的判定定理
3、线面垂直中
(1)由线面垂直得到线线垂直； (2)由线线垂直得到线面垂直；
新源八中 赵金才
复习回顾：
1.直线与平面之间的有哪些位置关系？
2.你能表示直线与平面相交的图形吗？ 能用数学语言表示吗？
3.在日常生活中,哪种线面相交情形最特殊呢？
日常生活中的线面垂直实例
生活中直线和平面不垂直现象
怎么样才算直线与平面垂直？结合旗杆与它 在地面的影子的实例回答下列问题 问问题题123：：阳随旗光着杆下太所直 阳在立 的的于 移直地 动线面 ，与的 旗它旗 杆在杆 所地所在面在的上的直任直线何线与一 与它条它在不在地过地面旗面上杆上的底的影部影子的子 之直之 间线间 的的的 位位位 置置置 是关关 否系系发如如生何何变？？化？
探究活动：请同学们拿出一块三角形的纸片，做以
下试验： 过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折
后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.
(1)折痕AD与桌面垂直吗？
(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面肯定垂直？
(3)翻折前AD BC ，翻折后垂直关系还成立吗？
(4)通过上面的活动，你能得出直线与平面垂直的一个判 定方法吗
直线与平面垂直判定定理
判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面垂直．
la
l
l b a
l
b
b
Aa
a b A
“平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
作用：判定直线与平面垂直．
练习
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，
1、与平面ABCD垂直的直线有 AA1、BB1、CC1、_D_D。1