微分方程及其定解条件、等效积分.ppt
积分变换与微分方程PPT课件
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Out[4]={{y→InterpolatingFunction[{{0.,1.}},<>]}} 利用图形观察
In[5]:= Plot[Evaluate[y[x]/.NDSolve[{y'[x]==y[x],
第七讲 积分变换与微分方程
• 积分变换
➢ 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换函数
函数名称
意义
LaplaceTransform[expr,t,s]
对expr的拉普拉斯变换
InverseLaplaceTransform[expr,s,t]
对expr的拉普拉斯逆变换
LaplaceTransform[expr,{t1,t2,…},{s1,s2,…}] 对expr的多维拉普拉斯变换
In[9]:=DSolve[{y՛՛[x]+y՛[x]-2y[x]==0,y[0]==4, y՛[0]==1},y[x],x]
Out[9]={{y[x] → e-2 x (1+3e3x)}}
• 求方程x2y՛՛-2xy՛+2y=3x满足条件y[1]=m, y՛[1]=n的特解
Mathematica命令为
1 F eitd
2
1 F eitd
2
F eitd
1 F e2itd
2
b
2 1n
F
eibt dt
例如 默认情况下的傅立叶变换为
In[4]:=FourierTransform[t^2 Exp[-t^2],t,s]
s2
e4
2 s2
Out[4]= 4 2
以下是纯数学的傅立叶变换
12-1常微分方程27页PPT

所有解=通解+不能包含在通解内的所有特解。
例 验证函 yc数 oasxsianx为微分方程 ya2y0 (a0为常 )。数
解
y a sa i n a x ca o ,x s
③牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式, 会将Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解
④掌握全微分方程的解法
⑤会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程
⑥掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟 练地应用特征根法、待定系数法求解二阶 常系数线性方程
引例:
例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点
M(x, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.
d x x2 dt
dd2xy2bddxycysinx
dx2
x2
t3
dt
一阶 二阶 一阶
线性方程、非线性方程
若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次的,
且系数只与自变量Hale Waihona Puke 关(与未知函数及其导数无关),则称
该方程为线性方程,否则,称之为非线性方程。
d x x2 dt
一阶 非线性
dd2xy2bddxycysinx
dx2
dt
x2
t3
二阶 线性 一阶 非线性
齐次方程、非齐次方程
在方程中,不含未知函数及其导数的项,称为自由项。 自由项为零的方程,称为齐次方程。 自由项不为零的方程,称为非齐次方程。
d x x2 dt
一阶齐次非线性方程
dd2xy2bddxycysinx 二阶非齐次线性方程
全版微分方程.ppt
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积分得 C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
.精品课件.
24
C( x) Q( x) e P( x)dxdx C,
故一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y
C(
x)e
P(
x )dx
[ Q( x)e P( x)dxdx C]e P( x)dx
第六章 微 分 方 程
6.1 微分方程的基本概念 6.2 一阶微分方程 6.3 可降阶的二阶微分方程 6.4 二阶线性微分方程 6.5 微分方程的应用举例
.精品课件.
1
6.1 微分方程的基本概念
定义 把联系自变量、未知函数、未知函数的
导数或微分的方程称为微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x ,
x
微分方程的解为 sin y ln x C. x
.精品课件.
19
例 4 求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
xy
.
解
dy dx
2 y2 xy x2 xy y2
2
y 2
y
1
x y
x y 2
,
x x
令u y , x
即 y xu,
则 dy u x du ,
dx
dx
x
x
定义 形 如 dy f ( y ) 的微分方程称为齐次方程 .
dx
x
.精品课件.
17
解法: 对齐次方程dy f ( y ) , dx x
令 u y x
,
即 y xu, dy u x du ,
dx
微分方程解的概念和定解条件

微分方程解的概念和定解条件(),y x I n ϕ=设函数在区间上有阶连微分方程的解续导数I 如果在区间上,()()(,,,,)0n x F x y y y I ϕ'= 则称函数是微分方程在区间上的解.0'≡()(,(),(),,()) n F x x x x ϕϕϕ,()(,,,,)0n F x y y y '= 将其代入微分方程中,这样的解称作微分方程若微分方程的解中含有任意微分常数方程的通解,且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同,的通解.6.y x ''=二阶微分方程例131y x C =+显然是方程的解,但是不是(1)通解呢?312y x C C =++那是不(2)是通解呢?312y x C C =++3123y x C x C =++()312.x C C C C =+=+,其中是方程的通解.微分方程的通解不一定是该方程注:的全部解.2.yy xy '=例一阶微分方程20y y ≠方程等式两边解时,同除以当得2y x C =+同时不定积分得 ,是原方程的通解.2y x '=,0y =但显然 也是原方程的解.确定微分方程通解中任意常数值的定解条件或初条件称为始条件.不含有任何任意常数的解称为微分微方分方程的特解程的特解.000,.a t s v v ===设质点以匀加速度作直线运动,且时,例3().s t s s t =求质点的运动位移与时间的关系由二阶导数的解物理意义知202(0)0,(0).d s a s s v dt '=== ,且2121()2s t at C t C =++解得通解为 将定解条件带入:2(0)00s C =⇒=1010()(0).s t at C s v C v ''=+=⇒= ,201().2s t at v t =+故特解为2(60()4)y x y x x y x x ''=→函数是方程的解,且当时 ,是例的通过两次不定积分解可得方程通解为312y x C x C =++().y x 高阶无穷小量,求的表达式31220lim 0.x x C x C x→++=由题意,20,C =故3211200lim lim 0.x x x C x x C x x →→++==故10,C =故3.y x =从而21220(0,53)x x y y y y C e C e -'''+-==+方程的通解为,若例是解由题意(0)3(0)0y y ''==,()().y x y x 的拐点 ,求的表达式123,C C +=即 124, 1.C C ==-解得 24.x x y e e -=-从而1240.C C +=总结本讲主要介绍了微分方程通解的概念和常见的定解条件的形式.。
第三章 积分变换法解定解问题PPT课件

取 f x 上的一段 l x l 为 g x ,将g x 延拓
为以 2 l 为周期的函数后进行付里叶级数展开,然后
取 l ,即得 f x 的付里叶级数展开式
8
结果:
ω为参量
fxA cosxdBsinxd
0
0
非周期函数 f x 实数形式的付里叶积分
A1 fcosd ,B1 fsind
25
函数 f t ,当 t 0 时 f (t) 0
f(p)L [f(t)]f(t)eptdt 0
称为函数 f ( t ) 的拉普拉斯变换,简称拉氏变换(或称为
像函数
f(t) L 1 f(p ) 2 1 π i ii f(p )ep td p , (t 0 )
f t 称为原函数
② 导数 FfxiF,F fx i2F
③ 积分 Fxx0 fdi 1F
④ 相似 Ff ax1aFa
13
⑤ 延迟 F fxx0 e ix0F
⑥ 位移 F eix 0fx F 0
⑦ 卷积 F f 1 x F 1 ,F f2 x F 2
定义卷积 f1xf2xf1f2xd F f1 x f2 x 2F 1 F 2
3
特别是对于无界或半无界的定界问题,用积分变换来 求解,最合适不过了.(注明:无界或半无界的定界问题 也可以用行波法求解)
用积分变换求解定解问题的步骤为:
第一:根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当
的积分变换;
对于自变量在 (, ) 内变化的定解问题
(如无界域的坐标变量) 常采用傅氏变换,而自变量在
L utt= pL ut-u tx,0ppLuux,0 p 2 u
u xx
p2 a2
u
高等数学 常微分方程PPT课件

【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
第4页/共35页
微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
[提示](1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
第17页/共35页
【例3】 识别下列一阶微分方程的类型,并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx
微分方程及其定解条件、等效积分共58页

45、自己的饭量自己知道。——苏联
41、学问是异常珍贵的东西,从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间,才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话,只需要教育; 而要挑战别人所说的话,则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
微分方程及其定解条件、等效积分
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律,就难以成功。
3、道德行为训练,不是通过语言影响 ,而是 让儿童 练习良 好道德 行为, 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4Байду номын сангаас学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体,养 成儿童 自觉的 纪律性 ,这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
高等数学-第七章 微分方程ppt课件

练习: 求方程 dy ex y 的通解. dx
解法 1 分离变量 e ydy exdx
积分
ey ex C
即
(exC)ey1 0 ( C < 0 )
解法 2 令u x y, 则u 1 y
故有
u 1 eu
积分
1
d
u eu
x
C
(1 eu ) eu 1 eu
du
u ln (1 eu ) x C
解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy 2x
①
dx
y x1 2
②
由 ① 得 y 2x dx x2 C (C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
引例2. 列车在平直路上以 20 m s 的速度行驶, 制动时
获得加速度 a 0.4 m s2 , 求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
已知
d2 dt
s
2
0.4 d
s
s t0 0 , d t
t
0 20
由前一式两次积分, 可得 s 0.2 t 2 C1 t C2
利用后两式可得
C1 20, C2 0
因此所求运动规律为 s 0.2 t 2 20 t
ln y x3 ln C
y Cex3
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
x ydx ( x2 1) dy 0
例2. 解初值问题 y(0) 1
解: 分离变量得
dy y
1
x x
2
dx
两边积分得 ln y ln 1 ln C x2 1
《微分方程 》课件

需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时,需要选择合适的代换变量,使得微 分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的 技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子,将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子,将微分方程转化为积 分方程,从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定 形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换,简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换,将微分方程转化为 更简单的形式,从而简化求解过程。这种方法适用于具有 特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程,通过引入新的变量 代换,可以将高阶微分方程转化为更简单的形式,从而简 化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性 求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a(常数)时,方程 简化为 y'' + ay = f(x),其解法与二阶线性微分 方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性 微分方程。
《微分方程》PPT课件
目 录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的方程,通过微分来描述函 数的变化率。
常微分方程总结 PPT

8
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 )
线性无关概念.
23
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定义: 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如, 在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类
偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F ( x, y, y,, y ( n ) ) 0
或
y ( n ) f ( x, y, y,, y ( n 1) ) ( n 阶显式微分方程)
y p( x) y q( x) y f ( x) ,
y
( n) ( n 1)
为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
a1 ( x) y an 1 ( x) y an ( x) y f ( x) f ( x) 0 时, 称为非齐次方程 ;
f ( x) 0 时, 称为齐次方程.
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx
微分方程ppt

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分 方 程
z z xy z2 x y
zx 5z4 0
常微分方程
偏微分方程
高数常微分方程-微分方程及初等积分法PPT共77页

51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法, 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现,法律就是这样 一种的 网,触 犯法律 的人, 小的可 以穿网 而过, 大的可 以破网 而出, 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏,庇 护着我 们大家 ;它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
拉
60、生活的道路一旦选定,就要ຫໍສະໝຸດ 敢地 走到底 ,决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活,而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次,但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许,为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处, 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
数学建模--微分、积分和微分方程PPT课件
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缉私舰的运动轨迹是怎样的?是否 能够追上走私船?
如果能追上,需要用多长时间?
2021精选ppt
22
应用、思考和练习(追击问题)
y M0
M(x, y)
d
S0
S
2021精选ppt
x
23
应用、思考和练习(追击问题)
d2x d y2
r
(
1(dd
x)2)/ y
(1)定义法,取近似和的极限。
高等数学中不是重点内容 但数值积分的各种算法却是基于定义建立的
(2)用不定积分计算定积分。
不定积分是求导的逆运算, 而定积分是连续变量的求和(曲边梯形的面积) 表面上看是两个完全不同的概念, 通过牛顿-莱布尼兹公式联系在一起,
(3)解微分方程计算定积分
2021精选ppt
drawnow
end2021精选ppt来自29电影动画制作(zxy7_3)
moviein、 getframe、movie指令
x=-8:0.5:8; [XX,YY]=meshgrid(x);
r=sqrt(XX.^2+YY.^2)+eps;
Z=sin(r)./r;
surf(Z); %画出祯
theAxes=axis; %保存坐标值,使得所有帧都在同
例:求极限:
limsin(xs) in(3x) x0 sin(x)
syms x a
I1=limit(‘(sin(x)-sin(3*x))/sin(x)’,x,0) 运行结果
2021精选ppt
12
符号微积分(求导)
diff(f,‘var’,n) 求 f 对变量var 的n阶导数 缺省n时为求一阶导数 缺省变量'var' 时,默认变量为x 可用来求单变量函数导数 多变量函数的偏导数 还可以求抽象函数的导数
高数常微分方程-微分方程及初等积分法共77页PPT

•
6、黄金时代是在我们的前面,而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性,但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法,不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧,便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为,请 记住, 除了在 脑海中 ,恐惧 无处藏 身。-- 戴尔. 卡耐基 。
39、勿问成功的秘诀为何,且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔,思而不学则殆。——孔子
谢谢!
36、自己的鞋子,自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个走得很慢,但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
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u x
0, t
k0u
0, t
t
T
u x
l,t
k1u
l,t
t
这个边界条件的物理意义是,弦的端点固定在两个 弹性支撑上,两个弹性支撑的弹性系数为:k0,k1
以上是弦振动的数学模型,是由微分方程与相应的定 解条件(初值条件,边值条件)共同组成的,这一样 问题又称为混合初边问题。定解条件中只有初值条件 的问题称为初值问题。定解条件中只有边值条件的, 称为边值问题。
2u t 2
a2
2u x2
f
这个方程的形式和双曲线方程的形式很类似
x2 y2 a2 b2 c
这类的方程又称为双曲型微分方程
再看第二个方程,现在加上物体均匀,为了几何上更 直观这个方程可以,我们写出一维的情况
c
T t
k
2T x2
f0
这个方程形式和抛物线方程形式类似
y ax2 c
这类方程又称为抛物型微分方程弦振动问题来说
给定弦的两个端点的运动规律,一般来说边界条件有
三种:
第一种给定弦端点的位移
u 0,t g1 t
u
l,
t
g2
t
第二种给定位移梯度的端点值 位移的梯度表示弦线的挠度
u x
0,
t
t
u x
l,
t
t
第三种边界条件是端点的位移和速度的线性组合是 一个已知函数,对于弦振动
这里所说的弦的振动是弦的微小横振动,一定长度 的、柔软、均匀的弦,两端拉紧,在垂直于弦线的外力下 做微小横振动,弦的运动发生在同一平面内,弦的各点位 移与平衡位置垂直
弦的长度l,线密度为 ,弦的张力为T
O
u x, t
x
弦振动的微分方程为:
2u t 2
a2
2u x2
f
a2 T / f是垂直于平衡位置的外力
x
k
T x
y
k
T y
z
k
T z
f0
0
假定物体是均匀的,那么这个方程可以进一步简化
2T 2T 2T g x2 y2 z2
这个方程又称为泊松(Poisson)方程
再进一步,如果均匀物体中没有热源,稳态热传导方程
为
2T x2
2T y 2
2T z 2
0
这就是我们熟悉的拉普拉斯方程(Laplace)
以上给出的是泊松方程和拉普拉斯方程在笛卡尔坐标系 下的形式,下面给出它们的算子形式,它们在其它坐标 也成立系
泊松方程
T 2T g
拉普拉斯方程 T 2T 0
其中,在笛卡尔坐标系下:
i j k 称为哈密顿(Hamilton)算子 x y z
2
2 x2
2 y 2
2 z 2
称为拉普拉斯算子
这个微分方程虽然描述了弦振动时各点的运动状态, 但单纯依靠这个微分方程,我们还不能唯一确定弦的 振动,必须给出定解条件,定解条件主要有两种,一 种是初始时刻弦的运动状态,称为初始条件:
初始时刻各点的位移 u x,0 x 0 x l 初始时刻各点的速度 u x,0 x 0 x l
有限元方法特别适合求解椭圆微分方程或方程组。
现在来总结一下边界条件,我们看到,在以上的三个 典型问题的微分方程中,给定的边界条件都有三种:
第一种是给定待求函数在边界处的数值,这种边界条件 称为第一边界条件、Direchlet边界条件、强制边界条件
第二种是给定待求函数在边界处梯度或方向导数,这种 边界条件称为第二边界条件、Neumann边界条件
下面来看第二个典型问题:热传导问题
三维非定常热传导问题的微分方程为:
c
T t
x
k
T x
y
k
T y
z
k
T z
f0
c 物体的比热容
物体的密度
k 物体的热传导系数
f0 物体内部热源强度
与弦振动问题类似,要想确定物体内部的温度场,除 了上面那个微分方程以外,还需要定解条件,定解条 件也包括两种:初值条件和边值条件 初值条件,是初始时刻物体的温度场
从上面的算子表达式,再回忆我们学过的高等数学的 知识,哈密顿算子运算的结果,是一个标量场的梯度 是一个向量场,而反过来说,如果一个向量场是一个 标量场的梯度,这个向量场称为有势场,这个标量场 称为有势场的位势场或位势函数
在定常热传导问题中,温度场的梯度为
T T i T j T k x y z
最后再看位势方程,为了几何直观,我们写成二维的
情况
2T x2
2T y 2
g
这个方程形式和椭圆方程形式类似
x2 a2
y2 b2
1
这类方程又称为椭圆型微分方程
微分方程主要就分为这三个类型:抛物型;双曲型;椭 圆型
请大家注意,我们并不是要讨论三种类型的微分方程的 准确定义。准确的定义,大家可以参考数学物理方程的 有关书籍和资料
n
T n
hT
x,
y,
z
现在我们来回顾一下刚才介绍的几个微分方程
2u t 2
a2
2u x2
f
c
T t
x
k
T x
y
k
T y
z
k
T z
f0
2T x2
2T y 2
2T z 2
g
2T x2
2T y 2
2T z 2
0
第一个微分方程,方程两边微分的最高阶数都是2,如 果做移项整理
Tt0 x, y, z
边值条件也有三种
第一种:给定边界的温度 T x, y, z
第二种:给定边界的热流量 T x, y, z,t
n
第三种:给定边界的热流量和温度线性组合
T n
hT
x,
y,
z
T n
T
n
T x
nx
T y
ny
T z
nz
下面来看第三个典型问题:位势方程
在三维热传导问题中,如果温度不随时间变化,即 定常热传导,三维热传导方程可以写为
这一部分里,我们将看到以下内容
几个典型物理问题及其数学描述(微分方程和定解条 件)
微分方程的类型 微分方程的边界条件 微分方程及其边界条件的等效积分原理
几个典型的问题
弦振动问题的微分方程及定解条件 传热问题的微分方程及定解条件 位势方程及定解条件
弦是一种抽象模型,工程实际中,可以模拟绳锁、 电缆等结构,如远距离输电线路、一些桥梁的悬索、拉 锁等;几何上可以用一条线段(不一定是直线段)来表 示弦。
也就是说,这个向量场是温度场的梯度,是一个有势场 而温度场是这个有势场的位势场或位势函数,这就是泊 松方程和拉普拉斯方程称为位势方程的原因
现在我们来看位势方程的定解条件。由于待求变量与 时间无关,不需要初值条件因此位势方程的定解条件 类似三维热传导方程的三种边界条件,
T x, y, z
T x, y, z,t