极化恒等式在向量问题中的应用专题

极化恒等式在向量问题中的应用专题

阅读以下材料：

.

两倍等于两条邻边平方和的平方和

平行四边形的对角线的你能用向量方法证明：何模型。

示向量加法和减法的几引例：平行四边形是表,,b AD a AB ==证明：不妨设 ，，则b a DB b a A -=+=C ()222222C C b b a a b a A A +⋅+=+== （1）

()222222b b a a b a DB DB +⋅-=-== （2）

（1）（2）两式相加得：⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+22222222C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？

b a ⋅＝()()

⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的4

1. 即：[]

2241DB AC b a -=⋅（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢？ 因为AM AC 2=，所以224

1DB AM b a -=⋅（三角形模式） 例 1.(2012年浙江文15)在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则

AB AC ⋅=u u u r u u u r ____ .

解：因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得： 2241BC AM AC AB -=⋅=9-1004

1⨯= -16 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式。

M

图1 A B C

M

目标检测

.______1)132012(的值为边上的动点，则是点，的边长为已知正方形改编北京文DA DE AB E ABCD ⋅ .________O O 2.2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PB PA P ABC ⋅解：取AB 的中点D ，连结CD ,因为三角形ABC 为

正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，

且22==OD OC ，所以3=CD ，32=AB

（也可用正弦定理求AB ）

又由极化恒等式得：

34

1222-=-=⋅PD AB PD PB PA 因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，3||max =PD

当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，1||min =PD

所以]6,2[-∈⋅PB PA

【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。

目标检测

8

.6.3.2.)

(13

4)112010(2

2D C B A FP OP P y x F O 的最大值为则为椭圆上的任意一点，的中心和左焦点，点分别为椭圆和点若点福建文⋅=+

例3.（2013浙江理7）在ABC ∆中,0P 是边AB 上一定点，满足014

P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00

PB PC P B PC ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 。则( ) A . 90ABC ∠=o B . 90BAC ∠=o

C . AB AC =

D . AC BC =

目标检测 2

2.

2.2.1.)

(,0)()(2,)92008(D C B A c c b c a c b a 的最大值是则满足

，若向量个互相垂直的单位向量是平面内已知浙江理=-⋅-

课后检测

1.在ABC ∆中，60BAC ∠=o 若2AB =，BC =D 在线段AC 上运动，DA DB ⋅的

最小值

为

2.已知AB 是圆O 的直径,AB 长为2,C 是圆O 上异于,A B 的一点,P 是圆O 所在平面上

任意一点,则()

PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r 的最小值为（ ） A. 14- B. 13- C. 12

- D. 1- 3．在ABC ∆中，3AB =，4AC =，60BAC ∠=o ，若P 是ABC ∆所在平面内一点，且

2AP =，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值为

4． 若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2

221(0)x y a a

-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上任意一点则OP FP ⋅u u u r u u u r 的取值范围是 .

5．在Rt ABC ∆，2AC BC ==，已知点P 是ABC ∆内一点，则(PB +⋅的最小 值是 .

6.已知B A 、是单位圆上的两点，O 为圆心，且MN AOB o ,120=∠是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足)10()1(<<-+=λλλOB OA OC ，则⋅的取值范围是（ ）

A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21

B ．[)1,1-

C ．⎪⎭

⎫⎢⎣⎡-0,43 D ．[)0,1- 7. 正ABC ∆边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则⋅的取值范围是（ ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21 D. ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-21,21 8．在锐角ABC ∆中，已知3B π=，2AB AC -=u u u r u u u r ，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的取值范围是 ．