基本初等函数的凸性及其应用
凸函数的性质及其应用
即 证f在 （上x)≥式α中（分x－别x２)令+f（xx＝２) x １ ， x ＝ （∨x３得x∈ ［ ａ ， ｂ ］ ) f （ x x ３３) －－ xf （２ x ２ ) ≥ α ≥ f （ xx ２ ２) －－ fx （１ x １) ，
３ 、应用举例：
例 １：用凸函数方法证明 ｙｏｕｎｇｅｒ 不等式：x a y a ≤α x＋ β y(x，
由于f ２（ x )+f ２（ ｙ ）≥２f（ x ）f（ y ） ，故（Ｄ）式成立，结论得证。 另：设 f （ x )=e－２x＞０ 为 Ｒ 上的凸函数，但 f（ １x ） =e－２x 仍为凸函数 定理 ６：若 f （ x )为区间 Ｉ 上的凸函数，对∨ x ∈ Ｉ，且 x 为 Ｉ 的 内点，则单侧导数f （ ＇－x )，f ＋＇（ x ) 皆存在，且 f ＇－（ x )≤ f ＇＋（ x ) (∨x ∈Ｉ) 推论：若f （x)为区间 Ｉ 上的凸函数，则f（ x ）在区间 Ｉ的内点连续．
仅当对∨ x１，x２，…，xn ∈ Ｉ ，有 n f （ ∑ i＝ １ n x i ）≤n １ ∑ i＝ n１ f （x１） 推论 １：若 f （x ）在区间 Ｉ 上为凸函数，则对 Ｉ 上∨ x１＜x２＜x３，有
f （xx２）２－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－xf （２ x ２） 注：若 f （x ）在 Ｉ 上连续，则上述定义 １，２，３ 等价
的凸函数，反之不真。
证明：要证 f（ 1 x ） 为Ｉ上的凸函数，即证∨x１，x２∈Ｒ，λ∈
（０，１ ）有
１ f （λx１＋（１－λ）x２）
≤ f （ λx １） ＋
１－λ f （x２）
………
凸函数的性质与应用
凸函数的性质与应用数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，4350021.引言凸函数是数学分析中的一个重要概念,它涉及了许多数学命题的讨论证明和应用,而且在现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用.关于凸函数,虽然很多书籍都做了相应的介绍,但多是从不同的角度出发来进行不同的定义和应用.在高等数学中,利用导数讨论函数的性态时,经常遇到一类特殊函数—凸函数,由于凸函数具有一些特殊性质,利用这些性质可非常简单地证明一些初等不等式、函数不等式和积分不等式. 凸函数是一类重要的函数,在不等式的研究中尤为重要.本文通过凸函数的定义、性质的描述,主要研究其在不等式证明中的应用,举例说明解题思路与证明方法,并且证明了几个常见的重要不等式及高次函数的凸性猜想. 函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握函数在区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确地描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析.2. 凸函数的有关概念2.1凸函数的定义、定理及其几何意义定义 若函数()f x 对于区间(),a b 内的任意12,x x 以及()0,1,λ∈恒有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称()f x 为区间(),a b 上的凸函数.其几何意义为:凸函数曲线()y f x =上任意两点()()11,,x f x ()()22,x f x 间的割线总在曲线之上.定理1 若函数()f x 在区间(),a b 内连续,对于区间(),a b 内的任意12,x x 恒有12121[][()()]22x x f f x f x +≤+， 则称()f x 为区间(),a b 上的凸函数.其几何意义为:凸函数曲线()y f x =上任意两点()()11,,x f x ()()22,x f x 间割线的中点总在曲线上.定理2 若函数()f x 在区间(),a b 内可微,且对于区间(),a b 内的任意x 及0x ,恒有00()()()f x f x f x x '≥+-，则称()f x 为区间(),a b 上的凸函数.其几何意义为:凸函数曲线()y f x =上任一点处的切线,总在曲线之下. 注 若将定义1,2,3中的≤“”改为<“”则称()f x 为(),a b 上的严格凸函数. 2.2 凸函数定义与定理之间的等价性条件2.2.1 定义1与定理1的等价性证 定义1⇒定理1:显然,只要取12λ=即可由定义1推得定理1.定理1⇒定义1:我们首先推证()f x 对于任意的12,x x (),a b ∈及有理数()0,1λ∈,不等式1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，成立.事实上,对于此有理数λ,总可表示为有穷二进位小数,即121121122220.2n n n nn na a a a a a a ---++=，其中0,1(1,2,,1);1i n a i n a ==-=或由于1λ-也是有理数,故也可以表示为有穷的二进位小数,即1λ-=121121122220.2n n n nn nb b b b b b b ---++=， 其中()1,1,2,,1;i i b a i n =-=-1,n b =这是因为()11λλ+-=的缘故,因此111212[]()()i i f a x b x a f x b f x +≤+(1,2,,1)i n =-，所以12[(1)]f x x λλ+-12112112112112222222[]22n n n n n nn n nna a a ab b b b f x x ------++++=+21212121111212112222()(22[]2n n n n n nn n a a a b b b a x b x x x f ------+++++=2121212111121211222211[()]()2222n n n nn n n n a a a b b b f a x b x f x x ------++≤+++2121212111121211222211[()()]()2222n n n n n n n n a a a b b b a f x b f x f x x ------++≤+++121112212221111[()()][()()]()2222n n n a x b x a f x b f x a f x b f x f -+≤++++11122122122111[()()][()()][()()]222n n na f xb f x a f x b f x a f x b f x ≤+++++12112112112112222222()()22n n n n n n n n n na a a ab b b b f x f x ------++++=+12()(1)().f x f x λλ=+-下面再推证()f x 对λ为无理数时定义1也成立.事实上,对任意无里数()0,1,λ∈{}(0,1),n λ⊂存在有理数列12(),(1)n n n n x x λλλλ→→∞+-→所以，12(1)()x x n λλ+-→∞,由于()f x 在(),a b 内连续,所以1212121212[(1)][lim (1)]lim [(1)]lim[()(1)()]()(1)()n n x n n n n x x f x x f x x f x x f x f x f x f x λλλλλλλλλλ→∞→∞→∞+-=+-=+-≤+-=+-综上即知,定义1与定理1等价.2.2.2 定义1与定理2的等价条件证 定义1⇒定理2:对(),a b 内任意的0x 及x ,若0,x x <则取0h >,使00,x x h x <+<由推论1得0000()()()()].f x h f x f x f x h x x +-+≤-上式中令0,h →由于()f x 可微,所以有0()f x '00()(),f x f x x x +≤-即00()()()f x f x f x x '≥+-.若0,x x <则取0h >,使00,,x x x x h x <<+<同理可证.2.2.3 定理2与定义1的等价条件对于区间(),a b 内的任意12,x x (不妨设12x x <)以及()0,1,λ∈令()121x x x λλ=+-,则12,x x x << ()()1121,x x x x λ-=-- 2x x -= ()()211,x x λ--由泰勒(Taylor)公式,我们有111222()()()()()()()()f x f x f x x f x f x f x x θθ''=+-=+-及其中1122x x x θθ<<<<,于是12()(1)()f x f x λλ+-12[(1)]f x x λλ=+-+2121(1)()[()()]x x f f λλθθ''---.再由单调性知21()()f f θθ''≥,所以12()(1)()f x f x λλ+-≥ 12[(1)]f x x λλ+-,即12[(1)]f x x λλ+-≤12()(1)()f x f x λλ+-.所以在一定条件下，定义1与定理3等价.3. 凸函数的有关结论 3.1 凸函数的运算性质性质1 若()f x 为区间I 上的凸函数, k 为非负实数,则()kf x 也为区间I 上的凸函数.性质2 若()(),f x g x 均为区间I 上的凸函数,则()f x + ()g x 也为区间I 上的凸函数.推论 若()(),f x g x 均为区间I 上的凸函数,12,k k 为非负实数,则()()12f x k g x +k 也为区间I 上的凸函数.性质3 若()f x 为区间I 上的凸函数,()g x 为J 上的凸增函数,且()f I J ⊂,则g f ⋅为区间I 上的凸函数.性质4 若()(),f x g x 均为区间I 上的凸函数,则()F x =()(){}max ,f x g x 也是区间I 上的凸函数.上述性质很容易证明，故在此省略.3.2 凸函数的其他性质引理 f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点12x x x <<，总有32212132()()()()f x f x f x f x x x x x +-≤--. ()1证 [必要性]记3231,x x x x λ-=-则213(1).x x x λλ=+- 由f 的凸性知道()21313[(1)]()(1)()f x f x x f x f x λλλλ=+-≤+-=3221133131()()x x x xf x f x x x x x --+--.从而有()()312321213()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+-,即()()()322212321213()()()()()x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+-.整理后即得()1式.[充分性]在I 上任取两点1313,,(),x x x x <在[13,x x ]上任取一点213(1)x x x λλ=+- ()0,1,λ∈即3231.x x x x λ-=-由必要性的推导逆过程，即可证明 1313[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.故f 为I 上的凸函数.同理可证，f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点12,x x x <<总有313221213132()()()()()()]]f x f x f x f x f x f x x x x x x x -+-≤≤---.性质1 设f 为区间I 上的严格凸函数,若有0x 是()f x 的极小值点,则0x 是()f x 在I 上唯一的极小值点.证明 若()f x 有异于0x 的另一极小值点1x I ∈ ,不妨设()()10f x f x ≤ 由于()f x 是在I 上的严格凸函数, 故对于任意的()0,1λ∈,都有()01010[(1)]()(1)()f x x f x f x f x λλλλ+-<+-≤.于是,任意的0δ>,1,只要充分接近时总有()0010(1),x x x U x λλδ=+-∈.但是,()0()f x f x ≤,这与1x 是()f x 的极小值点的条件矛盾,从而0x 是()f x 在I 上唯一的极小值点.性质2 设()f x 为(),a b 内的凸函数,有()f x 在I 的任一内闭区间()(),,a b αβ<上满足Lipschitz 条件.证明 要证明()f x 在(),αβ上满足Lipschitz 条件,即要证明:0,L ∃>使得()12,,x x αβ∀∈有1212()()f x f x L x x -≤-. ()2()()()(),,,,,,a b h h a b αβαβ⊂-+⊂因为，故可取充分小使得因此，()12,,x x αβ∀∈，12,x x <32x x h =+取，根据定义有32212132()()()()f x f x f x f x M mx x x x h+--≤≤--,(其中,M m 分别表示()f x 在(),h h αβ-+的上、下界)从而2121()()M mf x f x x x h--≤-, ()3 若1232,,x x x x h >=-可取由定义有32211223()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--,从而32211223()()()()f x f x f x f x M m x x x x h---≤≤--.由此也可推出()3式.若12x x =，则()2显然成立.这就证明了()3式显然对于一切()12,,x x αβ∈都成立，因此()3式当12,x x 互换位置也应成立，故有2121()()M mf x f x x x h--≤-. 令M mL h-=,则原命题成立.性质3 设()f x 是(),a b 上的凸函数,则()f x 在(),a b 上处处存在左、右导数,且左导数小于、等于右导数.证明 ()()()00,,,x a b U x a b δ∀∈∃⊂.记()()00()(),,f x f x F x x a b x x +=∈-，()121200,x x x x x x δ<∈-任意且，，，有引理得()()1020121020()()()()f x f x f x f x F x F x x x x x ++=≤=--.()F x 在()00x x δ-，上单调递增;再在0x 右方任取一定点()00,x x λλδ∈+，，由引理得: ()()()12F F F x x λ≤≤所以()F x 在()00x x δ-，上单调递增且有上界, 故由单调有界原理: 极限()0lim x x F x -→存在，即0()f x +'存在; 任意102x x x <<由定义3有()()1020121020()()()()f x f x f x f x F x F x x x x x ++=≤=--.令1020,x x x x -+→→,则()f x 在0x 的左导数小于等于()f x 在0x 的右导数.性质4 设()f x 为(),a b 内可导凸函数,证明()0,x a b ∈ 为()f x 的极小值的充要条件是0()0f x '=.证明 [必要性]已知函数()f x 在0x 可导,且取得极小值,则0()0f x '=(极值的必要条件).[充分性] (),x a b ∀∈，0,x x ≠有00()()().f x f x x x ≥+-因为0()0f x '=，故(),,x a b ∀∈都有0()(),f x f x ≥所以0x 为()f x 的极小值点.定理1 设f 为区间I 上的可导函数，则下列论断互相等价；1) f 为I 上的凸函数, 2) f '为I 上的增函数, 3) 对I 上的任意两点12,,x x 有()21121()()()f x f x f x x x '≥+-. ()*证明 1)2)→ 任取I 上的两点1212,x x x x <（）及充分小的正数,h 由于1122,x h x x x h -<<<+根据的凸性及引理有11212212()()()()()()f x f x h f x f x f x h f x h x x h---+-≤≤-.有f 是可导函数，令0h +→时可得211212()()()()f x f x f x f x x x -''≤≤-.所以f '为I 上的递增函数.2)3)→ 在以1212,()x x x x <为端点的区间上，应用拉格朗日中值定理和f '递增条件，有()()2121121()()()()f x f x f x x f x x x ξ''-=-≥-,移项后即得()*式成立，且当12x x >仍可得到相同结论3)1)→ 设以12,x x 为I 上的任意两点，312(1)x x x λλ=+-，由3)并利用131223211)()x x x x x x x x λλ-=---=-与（）,()()133133312()()()()(1)()f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+--,()233233321()()()()()f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+-（）,分别用λ和1λ-乘上列两式并相加，便得()()12312(1)()()(1)f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-,从而为I 上的凸函数.推论1 设()f x 为区间I 上的二阶可导函数,则()f x 为凸函数.()0,f x x I ''⇔≥∈.推论2 设()f x 为区间I 上的可微凸函数,则有0x I ∈是()f x 的极小值点.()00.f x ''⇔=定理2 设()f x 在(),a b 上连续,则()f x 是(),a b 上的凸函数的充要条件是:对任意含于(),a b 的闭区间[],,x h x h -+都有1()()2hhf x f x t dt h -≤+⎰. 证明 必要性：()()()()1,2t h f x f x t f x t ∀≤≤-++，故 ()()()()12[]2hhhhhf x f x t f x t f x t dt --≤-++≤+⎰⎰.充分性:假定存在12,x x <使()()1212122x x f f x f x +⎛⎫>+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ 作辅助函数()()()()11,x f x k x x f x ϕ=---其中2121()()f x f x k x x +=-则120,2x x ϕ+⎛⎫> ⎪⎝⎭因此[]()()[][]12012,max 0,0,,,,x x x x h x h x h x x ϕϕ=>=-+⊂取()()000t h x x t ϕϕ≤-+≥当时，且不恒为0，因此()()002hhh x xt dt ϕϕ->+⎰.再由()x ϕ的定义推出: ()002()hhf xt hf x dt -+>⎰ 这与条件矛盾, 故定理2得证.定理3 若()f x 为(),a b 内的凸函数,(),,i x a b ∈ 1,2,,,i n =则()111.ni ni i i x f f x n n ==⎛⎫⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 证明 对12,2n x ==不等式是显然的,设对1n -不等式成立. 因为1212111,1nn n x x x x x x n x nn n n-++++++-=⋅+- 这里()()1211,,,,,1n n x x x n a b x a b n n λ-+++-=∈∈- 由题得()()111111.1n n i i n i i n i i x x n f f f x f x n n n nn ===⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪≤+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 4.凸函数的一些应用4.1应用凸函数性质证明不等式在初等数学及数学分析的课程中,对于不等式的证明是一个重要内容.有时利用凸 函数的理论,证明一些不等式,将会更加简单.下面用例题加以说明.例1 求证:对任意实数,,a b 有()21.2a ba bee e +≤+ 证明 设()()(),0,,x f x e f x x ''=≥∈-∞+∞则故()xf x e =(),-∞+∞为上的凸函数.从而对121,,2x a x b λ===有定义 12121[][()()]22x x f f x f x +≤+.即得()212a ba bee e +≤+. 注：该题构造函数，运用凸函数的定义很容易就导出.例2 设01,01,x a <<<<则有()()1111.aax x x -+-<-证明 设()()()()11101aaf x x x x -=+-<<.那么()()()()()()111111,aaa a f x a x x x ax ---'=-+-++-()()()()()()1111111aaaa f x a a x x a a x x ----''=--+---+()()()()1121111a aa a a a x x a a x x ------+--+()()()()()()12112111111aa a a a a a x x x x x x x x -----⎡⎤=--+-++++-+⎣⎦()()()()()()1212111111.a a aa a a x x a a x x ------=--+-=-+-于是 ,当01,01x a <<<<时,()0,f x ''>由严格凸函数的定义,其中12,1,0,x x x λ===得()()()()()110110,f x f x x x f x f =⋅+-⋅<⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦即()()1111.aax x x -+-<-注：该题运用了定理1及推论1的结论.例3 在ABC 中，证明sin sin sin 2A B C ++≤()()()()sin ,0,,sin 0,0,f x x x f x x x ππ''=-∈=>∈证明 令由应用2得()()()33f A f B f C A B C F ++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,即sin sin sin sin3A B CA B C ++++≤s i n ,3π≤=所以sinA+sinB+sinC 2注：该题运用了定理3的结论.例4设12n a a a 、、均为正数，且121n a a a +++=.求证：()2222212121111.n n na a a a a a n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭证 因为()2,f x x =()()()22,20,f x x f x f x x ''==>=由于得是凸函数，有凸函数的性质，有22212122121221211111111111.n n n nn a a a a a a a a a a a a n n n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++++++ ⎪⎪≥⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()4 由柯西不等式：222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑得1212111111()1n n a a a a a a ⎛⎫+++=+++⋅ ⎪⎝⎭()12122111(),n na a a a a a n =++++++≥212111()nn a a a ∴+++≥，由()4即得 ()2222212121111n n n a a a a a a n+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.4.2关于凸函数的某些猜想猜想1 三次函数不是(),-∞+∞上的凸函数. 证 设()3232103,0.x x a x a x a a f a +++≠= 显然，()f x 在(),-∞+∞上可导，且()232123x x a x a f a ++'=,因为30,a ≠故()f x '在(),-∞+∞上不单调，所以不是凸函数.猜想2 试给出四次的函数在定义域上是凸函数的一个充分条件. 设()432432104,0,x x x a x a x a a f a a ++++≠=因为四次的在定义域上二次同样可导，且()324321432x x x a x a f a a +++'=, ()24321262x x x a f a a ++''=.根据3..1的推论1可知,下式()423420.64120a a a a >⎧⎪⎨-⋅⋅≤⎪⎩ 则该四次函数在(),-∞+∞是凸函数. 化简得① 423420.380a a a a >⎧⎨-⋅≤⎩② 423420.380a a a a <⎧⎨-⋅≤⎩ 则该四次函数在(),-∞+∞不是凸函数.③ 423420.380a a a a >⎧⎨-⋅>⎩设()24321262x x x a f a a ++''=与x 轴的两交点分别是()1212,,x x x x <则()x f 在()()12,,,x x -∞+∞内分别为凸函数，在()12,x x 内不是凸函数.④ 423420.380a a a a <⎧⎨-⋅>⎩同理设()x f ''与x 轴的两交点分别是()1212,,x x x x <则()x f 在()12,x x 内为凸函数，其他区间不是凸函数.猜想3 5次函数在实数范围内是否有为凸函数的？设5次函数的表达式为()54325432105,0,x x x x a x a x a a f a a a +++++≠= 显然该是在实数范围内二次可导.()432543215432,x x x x a x a f a a a ++++'= ()325432201262.x x x x a f a a a +++''=现在需要找出二次导数在实数范围内是否恒大于等于0. 我们设()()325432201262,x f x x x x a g a a a ''=+++=()2154360246.x x x g a a a =++'下面分情况讨论：()524530,2446060a a a a >⎧⎪⎨-⋅⋅≤⎪⎩ 即()0x g ≥'在R 上恒成立.则()x g 在R 上单调递增，此时5a 为某一定值，但是总,x R ∃∈使得()0,x g <即x R ∃∈使()0f x ''<成立.同四次的理一样，其他3种情况更不可能为凸函数. 所以五次函数在R 上不是凸函数.以此类推，高次函数()11100,,n n n n n f x a x a x a x a a --=+++≠5n 时，该函数在实数范围内不是凸函数.5.小结本文通过凸函数的定义、性质的描述,主要研究其在不等式证明中的应用,举例说明解题思路与证明方法,并且证明了几个常见的重要不等式及高次函数的凸性猜想.函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握函数在区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确地描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析.致谢经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，在这里首先要感谢我的指导老师柴国庆教授.柴老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文的每个阶段，从初次选题到查阅资料，论文初稿的确定和修改，中期检查，后期详细设计等整个过程中都给予了我悉心的指导，还不惜把自己的研究成果让我参考、借鉴，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩柴老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！参考文献[1]数学分析上第三版.华东师范大学数学系编.北京.高等教育出版社，2001,148-154.[2]李惜雯.数学分析例题解析及难点注释（上册）.西安.西安交通大学出版社，2004.1,265-269.[3]林源渠方企勤.数学分析解题指南.北京.北京大学大学出版社，2003.11.84-87.[4]大学数学名师导学丛书.北京.中国水利水电出版社，2004208-212..[5]花树忠.邯郸市职工大学基础教学部.邯郸，056001.[6]李世杰.衢州市教育局.浙江.衢州，324002.[7]宋小军.西华师范大学数学与信息学院.四川文理学院学报.2010年5期.[8]陈迪红.长沙铁道学院学报.第12卷.第3期.1994年9月.[9]曹良干.阜阳师范学院学报.总22期.[10]陈太道.琼州大学.数学系.临沂师范学院学报第24卷，第3期.[11]李宗铎.湖南教育学院学报长沙大学.第18卷第2期.。
1凸函数性质及其应用论文
凸函数性质及其应用摘要本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给出了凸函数的几种重要性质，最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用.关键词凸函数的积分性质。
凸函数的不等式Abstract In this article，first we listseveral kind of definitionsfor convex functions，then we give several important properties of convex functions 。
finally we discuss the application of convex functions in differential calculus , integral calculus, and the proof of inequality.Keywords integral properties of convex functions。
inequality of convex functions凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域.本文先给出凸函数的几种等价定义,然后列出重要的相关性质,最后给出在微分学、积分学、以及在证明不等式中应用.1 凸函数的定义及其相互关系定义1设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当:,有上式中“”改成“<”则是严格凸函数的定义.定义2设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当:有定义3设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当：,有定义4在区间I上有定义,当且仅当曲线的切线恒保持在曲线以下,则成为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线为严格凸的.引理1定义2与定义3等价.引理2若连续,则定义1，2，3等价.2 凸函数的性质定理1设在区间I上有定义,则以下条件等价<其中各不等式要求对任意,保持成立）：<i）在I上为凸函数 <1）<ii） <2）(iii> <3）(iv> <4）推论1若在区间I上为凸函数，则I上任意三点，有.推论2若在区间I上的凸函数，则过的弦的斜率是x 的增函数<若为严格凸的,则严格增）.推论3若是区间I上的凸函数，则I上任意四点s<t<u<v有.推论4若是区间I上的凸函数，则对I上的任一内点x,单侧导数皆存在，皆为增函数，且这里表示的全体内点组成之集合.<若为严格凸的，则与为严格递增的）.证明因为内点,故使得,从而<利用推论2）,.再由推论2所述,当递增时,也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且(x>=.同理,在此式中，令时,可知存在,且.最后由推论3中的不等式重新取相应的极限,可知与皆为增函数.推论5若在区间I上为凸的，则在任一内点上连续.事实上由推论4知与存在，所以在处左右都连续.定理2设函数在区间上有定义，则为凸函数的充要条件是：，使得,有.证明<必要性）因为凸函数，由上面的推论4知，存在且. 由此任取一则时有.因,所以对任一:恒有.(充分性>设是区间I上的任意三点，由已知条件,由此令和，可以得到,由定理1可知为凸的.定理3设在区间I上有导数，则在I上为凸函数的充要条件是递增.证明<充分性）,不妨设及记，则,或 (1>因为 (1>式等价于(2>应用定理，使得，但,.故<2）式左端=按已知条件递增，得知,从而上式0,(2>式获证.<必要性）由定理1的推论4,在内为递增的，因存在，故亦在内为递增的，若I有右端点b,按照已知条件f在b点有左导数，易知:同理，若I有左端点a,则即在I上为递增的.推论若在区间I上有二阶导数，则在I上为凸函数的充要条件是：定理4<不等式）若为上的凸函数，则,，有.证明应用数学归纳法.当时，由定义1命题显然成立.设时命题成立,即对任何与都有现设及<i=1,2,…k+1）,.令i=1,2,…,k,则.由数学归纳法假设可推得==即对任何正整数,上述不等式成立.推论设在区间I上是凸函数,则对于任意的和都有.3 凸函数的应用3.1在微分学中的应用我们讨论了凸函数的有界性，左右函数极限和性质.例1设函数在区间I上为凸函数，试证：在I上的任一闭子区间上有界.证明设为任一闭子区间:①<证明在上有上界）取.因为凸函数,所以其中. 故在上有上界；②<证明在上有下界）记为的中点，则，有关于的对称点，因为凸函数，所以,从而，即为在上的下界.例2设为区间内的凸函数，试证：在I上的任一内闭区间上满足条件.证明要证明在区间上满足条件，即要证明：使得有(1>因为，故可取充分小，使得与此若取.由凸性，<其中分别表示在上的上下界）,从而(2>若可取由的凸性，有，从而由此可得(2>式成立.若，则<2）式明显成立.这就证明了<2）式对一切皆成立.因此<2）式当与互换位置也成立，故有，令则<1）式也获证.例3设为区间内的凸函数,并且有界,试证极限与存在.证明设时为内任意三点，根据的凸性,当x递增时也递增.又因为,根据单调有界原理,有极限,从而亦存在.3.2凸函数的积分性质将凸性与函数的连续性<甚至单侧连续性）、单调性等联系起来,应用到积分学中可以得到许多好的结论,我们举例如下:例4设为区间上连续的凸函数.试证:，有.证明令则,(1> 同理，令，亦有从而,(2> 注意与关于中点对称.因为是凸函数, 故由<2）式得 . 另外,由<1）式,应用的凸性.例5设是上的凸函数,求证：<1）为上的凸函数.证明为上的凸函数,因此它在内连续,在上有界.由此知积分(1>有意义.,令时<2）恒有[因(2>]=<因的凸性）所以是上的凸函数.例6设函数在上递增,试证函数为凸函数.证明因递增,积分有意义.且故由定理1知为凸函数.例7设为上的凸函数,证明有<1）证明因为凸函数, 由定理1推论4，存在且递增<当）.故(1>中的积分有意义.对任作一分划有参看定理2，我们有于是由.(1>式知.将分划无限分细,令同理有3.3利用凸函数的性质证明不等式利用凸函数证明不等式已经有了许多结果,我们所做的就是由定理4证明了不等式，并且利用不等式证明了几个复杂的不等式.例8设证明证明因为函数在区间上是凸函数，由凸函数的性质，即定理 4 有因为不可能同时相等，从而有例9设函数是区间上的凸函数，对于则证明因为,则由定理1中<4）式，有即令,对上式两边求和，有即例10设及则有不等式成立：当且仅当与成正比例时等号成立.证明取=，，因为，所以在上为凸函数,由定理4得:即，亦即令则有，于是有令，则有当与成正比例时，即 (为正常数，>当与不成正比例时，不全相等，又因为在为严格凸函数，故严格不等式成立.例11设和是两组正数，.证明 .证明要证原不等式即要证明.令,则因为，所以为凹函数，由不等式即得所证.例12证明：.证明设，则因为<用不等式）所以因为不等式中等号成立的条件是均为常数,而，这实际上是不可能的，所以上式中的等号不成立.例13证明不等式，其中均为正数.证明设,由可见在时为严格凸函数.由不等式有,从而.即又因, 所以.例14应用不等式证明：设，有证明取函数,.因为是区间上严格凹函数，则对及1.，则上式等号成立。
凸函数的性质和应用
( 1 ) f 为 I上的凸函数 ( 2 ) f’ 为 I上的递增函数 ( 3 ) 对 I 上的任意两点 x0 , x, 恒有 f ( x ) Ε f ( x0 ) + f ’( x0 ) ( x - x0 )
推论 1:设 f是区间 I上的二阶可导函数 , 则有 f在 I上 为凸函数 Ζ f" ( x) Ε 0 x ∈ I 推论 2:设 f是区间 I上可微凸函数 ,
调递增 。 要证此定理 , 我们先来做一些预备工作 。 引理 1:设 f在 ( a, b) 是凸函数 , 则 f在 ( a, b) 处处存在 左、 右导数 , 且左导数小于 、 等于右导数
) < ( a, b) 记作 F ( x ) 证明 : Π x0 ∈ ( a, b) , ϖ ∪ ( x0 ,δ
16720768200505002303凸函数是一类非常重要的函数在数学规划中有着广泛的应用考虑到凸函数与连续性可导性之间的联系以及凸函数在不等式证明方面的作用和意义为此本文提出凸函数的两种定义并讨论它们之间的等价性以及凸函数的三种等价结论还有凸函数的几何意义和凸函数的线性复合性等等良好的结论不仅如此我们还将凸函数的定义推广到着名的詹森不等式并讨论了詹森不等式在证明一些平均不等式方面的应用
( a, b) 上连续并且除了至多可数个点外 , f ’ 处处存在 , 且单
定理 1:如果定义 2 中区间 I = [ a, b ] 且 f ( x ) 都是连 续函数 , 则定义 1 和定义 2 是等价的 定理 2: f为 I上的凸函数 , 其充要条件是对一切 x1 , x2 ,
x3 ∈ I, ( x1 < x2 < x3 ) 恒有 f ( x2 ) - f ( x1 ) x2 - x1 f ( x3 ) - f ( x1 ) x3 - x1 f ( x3 ) - f ( x2 ) x3 - x2
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是一类在数学中非常重要的函数，它具有很多重要的性质，并且在不等式证明中有着广泛的应用。
在本文中，我将介绍凸函数的性质，并给出一些在不等式证明中的具体应用。
一、凸函数的定义：对于定义在区间上的函数，如果对于区间上的任意两个点和以及任意实数，都有那么我们称函数是凸函数。
如果上式中的等号只在时成立，那么我们称函数是严格凸函数。
二、凸函数的性质：1.凸函数的一阶导数是非递减的。
2.凸函数的二阶导数是非负的。
3.函数的局部极小值点是凸函数。
4.凸函数的和、乘积以及复合仍然是凸函数。
三、凸函数在不等式证明中的应用：凸函数具有很多重要的性质，这些性质使得凸函数在不等式证明中有着广泛的应用。
下面是一些具体的应用示例：1.利用凸函数判断不等式的方向：考虑不等式f(x)≥g(x)如果函数和是凸函数，且在区间上有，那么可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b2.利用凸函数证明不等式：有时候，我们需要证明一个不等式，其中和可能是一些函数或者表达式。
如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，以及在边界处有，那么我们就可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b从而证明原始的不等式。
3.利用凸函数确定不等式的最优解：在一些优化问题中，我们需要求解一个约束条件下的最优解。
如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，且在边界处有，那么我们就可以确定约束条件的最优解。
4.利用凸函数证明柯西不等式：对于实数集和，柯西不等式指的是(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)其中和是任意实数。
我们可以通过构造一些凸函数的性质，如二次函数，来证明柯西不等式。
在不等式证明中，凸函数是一个非常重要的工具。
它的性质使得我们可以利用它来判断不等式的方向，证明不等式，确定不等式的最优解，甚至证明柯西不等式等等。
初等函数的性质及其应用
初等函数的性质及其应用初等函数是数学中常见的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
初等函数的性质和应用广泛，不仅在数学领域有重要作用，还在物理、工程、经济等领域有广泛的应用。
本文将从初等函数的定义、性质和应用三个方面进行探讨。
一、初等函数的定义和性质初等函数的定义相对简单，可以通过有限次的加、减、乘、除、幂运算和开方运算得到。
常数函数是最简单的初等函数，它的函数值在定义域内始终保持不变。
幂函数是由一个变量的常数次幂构成，指数函数则是以常数为底的幂函数。
对数函数是指数函数的反函数，它的定义域为正实数集合。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的定义域是全体实数。
反三角函数是三角函数的反函数，它们的定义域根据具体函数而定。
初等函数具有一些共同的性质。
首先，初等函数在其定义域内是连续的，可以通过极限运算来求解其函数值。
其次，初等函数在其定义域内是可导的，可以通过导数运算来研究函数的变化趋势。
再次，初等函数的图像具有一定的对称性，如正弦函数和余弦函数的图像关于y轴对称，正切函数的图像关于原点对称。
此外，初等函数之间还存在一些特殊的关系，如指数函数和对数函数是互为反函数，正弦函数和余弦函数是互为相互关系。
二、初等函数的应用初等函数在数学领域有广泛的应用。
首先，它们可以用来描述和研究各种变化的规律。
例如，指数函数可以用来描述人口增长、物质衰变等指数增长或衰减的现象；正弦函数和余弦函数可以用来描述周期性变化的现象，如天体运动、电流变化等。
其次，初等函数可以用来求解各种数学问题。
例如，通过对数函数的运算，可以将复杂的乘法和除法运算转化为简单的加法和减法运算，从而简化计算过程。
再次，初等函数的导数可以用来研究函数的变化趋势和极值点，为优化问题的求解提供了数学工具。
除了在数学领域，初等函数还在其他学科和领域有广泛的应用。
在物理学中，初等函数可以用来描述和研究各种物理现象，如运动、力学、电磁学等。
凸函数的性质与应用
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凸函数的性质及其应用 毕业论文
凸函数的性质及其应用摘要凸函数是一类重要的函数，在数学规划中有着广泛的应用，本文给出了凸函数的三种等价定义，并讨论了凸函数的有关性质，以及它在不等式方面的相关应用。
[关键词]凸函数等价定义性质应用最优化Nature and Application of Convex FunctionAbstractConvex function is an important function and it has a wide application in mathematic programming. This essay gives three kinds of equal definitions of convex function and discusses some relative nature of it. And it also discusses some relative applications on inequality[Key wards] Convex function The definition of equivalence nature applicationOptimization目录绪论 (1)1凸函数的概念与等价定义 (1)1.1凸函数的概念 (1)1.2凸函数的等价定义 (2)2凸函数的简单性质 (3)3凸函数的判定定理 (5)4关于凸函数的几个重要不等式 (7)4.1Jensen不等式 (7)4.2Hadamard不等式 (10)5 凸函数的应用 (11)5.1 凸函数在证明不等式中的应用 (11)般凸函数和凸集 (13)广义凸函数求极小的问题 (14)5.4广义凸函数求极大的问题 (16)结束语 (19)致谢 (19)参考文献 (20)绪论凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域,函数凸性是数学分析中的一个重要概念,它在判定函数的极值、研究函数的图象以及证明不等式诸方面都有广泛的应用.凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。
凸函数的性质及其应用1
f(x)+f(y) 2
≥f(
x+y 2
)
即，-
arctanx+arctany 2
≥-
arctan(
x+y 2
)
即
2arctan(
x+y 2
)≥arctanx+arctany
例（2）：已知：xi∈(π,2π),i=1,2,…n
求证：sinx1+sinx2+…+sinxn ≥ x1+x2+…+xn
n
n
证明：设 f(x)=sinx 因为 f''(x)=- sinx 由性质 7，f(x)在(π,2π)为凸
＞f(
x+y 2
)
证明 设 f(t)=tlnt(t＞0)
∴f'(t)=1+lnt f''(t)= 1 (t＞0) t
∴f(t)在(0,+∞)上是严格凸函数,
∴
对坌x,y＞0
且
x≠y，有：f(x)+2f(y)
＞f(
x+y 2
)
即：xlnx+2ylny
＞ x+y 2
ln
x+y 2
即：xlnx+ylny＞(x+y)ln
凸函数的应用领域非常广泛，特别是在不等式的证明中，运用
它解题显得巧妙、简练。通过以上例题可以看出，利用凸函数的性质
证明有关不等式，可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证
明比较容易，证明过程简单的问题，关键是寻找合适的凸函数，若不
能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等
式的目的。
凸函数的应用
凸函数的应用在许多数学问题的证明过程中，我们经常遇到一些有关于不等式的证明，所以我们可以学会着去运用凸函数来证明，因为凸函数的性质和判定方法可以很大程度化简化证明.通过例举出的例子可以得出，运用凸函数的性质证明来证明与之相关的不等式，则可让一些难度比较大的和不容易证明的不等式得以求证出结果.所以要学会用凸函数来解决一些不等式的问题，这样才能让发挥数学这门学科的优势，和凸函数的存在意义，更能方便我们的学习和生活. 凸函数在不等式的应用凸函数的性质证明初等不等式（例）证明：当,0x y >且x y ≠时，有()2x yy x y x +>+㏑x+y㏑㏑.思路：将不等式()2x y y x y x +>+㏑x+y㏑㏑变形，即两边同时乘以12，得新式222y x y x x y++>㏑x+y㏑㏑，因此我们可以构造辅助函数()()ln 0f s s s s =>，则可证出()()222fx fy x y x yln +++>. 证：设()()ln 0f s s s s =>∴ ()'1ln f s s =+ ()()''10f s s s=> ∴()f s 在区间()0,+∞是凸函数∴对 ,0x y ∀>且 x y ≠，得 ()()22f x f y x y f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭ 所以得222y x y x x y++>㏑x+y㏑㏑即()2x yy x y x +>+㏑x+y㏑㏑1. 凸函数的性质证明函数不等式（例）证明：对任何非负实数,x y 有2arctan arctan arctan 2x y x y +⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭证：设()()arctan ,0,f s s s =-∈+∞，()()''22201sfs s =>+，()0,s ∈+∞，则()f s 在()0,+∞上是凸函数，由凸函数性质知，对任何的非负实数,x y 有()()22f x f y x y f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，既arctan arctan arctan 22x y x y ++⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭ 所以2arctan arctan arctan 2x y x y +⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭. 2. 凸函数的性质证明积分不等式（例）证明：()f x 在[],a b 上可积且()n f x N ≤≤，()t ϕ是在[],n N 上的连续凸函数，则()()11bbaafx dx f x dx b ab aϕϕ⎛⎫≤⎪--⎝⎭⎰⎰证：设(),s k s f f a b a k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(),1s k x b a k =-由于()t ϕ是凸函数，故有()()()1212......k k kk k k kk f f f f f f k kϕϕϕϕ++++++≤① 由定积分的定义知在①中令k →∞时 使得()()11bbaa fx dx f x dx b ab aϕϕ⎛⎫≤⎪--⎝⎭⎰⎰.（Jensen ）不等式琴生不等式是一个十分重要凸函数的性质，因为每一个凸函数都可以满足琴声不等式性质，于是琴生不等式是重要方法对于研究不等式来说.定理：假设函数()f x 是区间I 上的凸函数，则存在i x I ∀∈并且()01,2,...,i p i n >=，总有()1111nn ni i i i i i i i p f p x p f x ===⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭∑∑∑.（例）若()0,01,2,...,1ni i i ix q i n q >>==∑求证：12121122......n q q qn n n x x x q x q x q x ≤+++证：因为对所有的,0i i x >，可以令ln i i y x =，所以有()()exp ln exp iyi i i i i x q x q y ==又因为(),tf t e x R =∈是凸函数所以有()()121211111...exp exp n n n nn nq q q n i i i i i i i i i ii i i i i x x x q y f q y q f y q y q x =====⎛⎫⎛⎫==≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑.注：①当212'112,k kn q q x x x y k k=====时， 则存在'11k kxy x y k k=+. ②当()11,2,...,i q i n n==时，有12...nx x x n+++≤.（Holder ）不等式赫尔德不等式是数学分析的重要内容，不等式的命名来自奥图.赫尔德.This inequality clearly s hows the relationship between LP spaces. There are many Hölder's inequality, and of course there are also proofs of convex functions. 定理：假设0,0,1i i a b i n >>≤≤，则存在 11111pqpqnnni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 其中1p >，并且111p q+=. （例）证明存在n 个正数，这些数倒数的算术平均值大于或等于这些数的算术平均值的倒数.证：假设函数()()10f x x x =<<+∞，因此()()()'''2312,0f x f x x x x =-=<<+∞所以()1fx x =在()0,+∞上是凸函数，在Jensen 不等式中取1,1,2,...,i p i nn== 则得到12121111......nn n x x x n x x x ⎛⎫≤+++ ⎪+++⎝⎭ 既121211111......n n x x x n x x x n⎛⎫≤+++ ⎪+++⎝⎭.凸函数在极值的应用根据常识的数学知识我们可以得知，一个连续函数如果是有界的，那么在这个区间内一定有max 和min.但是对于函数来说max 和min 可能是在区间上的随机处.又因为对于凸函数，它的max(min)具有一些特征性质。
凸函数的性质及其应用
ｓ 对 ｘ∈ Ｉ ． ｔ 奄
， ≥ ｏ（ ∽ ｔ 卜 ） ｔ
定义 １ ：设 ｆ ） 区间 Ｊ 在 上有 定 义 ， ） Ｊ 成为 凸函数 当 ， 在 上 且仅 当对 Ｖ ｘ，ｘ ∈Ｉ 一 ２ ，Ｖ Ａ∈（， 有 ， Ａ ＋１ ０１ ） （ 。（一Ａ） ） Ａ， ｘ） ≤ ２ （ Ｉ ＋
推论 １ ：若 ｆ ） 区间 Ｊ 为 凸 函数 ，则对 Ｊ Ｖｘ ， ， 在 上 上 Ｉ ＜ 有
ｆ ２ ｓ 。 ｆ ３厂 。 ） ） ） ） ３ － ． ： ，ｆ ）
总有 ，∽ ≥ 仅
） ０ 。
２ ） —了 ■一 每—了 ■一 每 —了 丁一
，（ Ａ ｊ ）≤ Ａ ｆ（ ） ，
厂 ≥仅 一 ∽ ‘
）
（ Ｖ ｘ∈［．】 ａｂ）
≥ 仅 ≥—
在上 式 中分 令 ： ， ： 得 —ｘ （ ） ｆ ３ ｆｘ （） ， －
即 证 。
ｆｘ） （ ） （ ｘ ２ ｆ １ －
，
。 ‘
（ 分 性 ）对 充 使 得
．
＜ ，＜ ∈ ａｂ， 由题 设 ，对 ‘ ，存 在 ｏ， ［，】 ｔ
注 ：若 ｆ（ 在 Ｊ 连续 ，则上 述 定 义 １ ，３ 价 ｘ） 上 ，２ 等 ２ 性 质 、 定理 １ ：若 ｆ ） 区间 Ｊ 为 凸 函数 ，对 Ｖ ｋ≠ ０则 ： ｉ 在 ｘ 上 ， ｋ０时 ， ㈣ 在 区间 上为 凸 函数 ＞ ｋ０ ， 切 在 区问 上为 凹 函数 ＜时 定理 ２ ：若 ） ） 区间 Ｊ 为 凸函数 ，对 Ｖｋ， ∈Ｒ ，ｇ 在 上 ｌ ， ｋ ｋ ０ ２０ ， ｌ ，＞ 时 ＞ｋ ） ， ） ， 的凸函数 ｇ 为 上 ｋ ０ ０ ，七 ）七 ｌ， 时 ＜ ＜ ＋ ） Ｊ 的凹 函数 为 上 注 ： 定 理 ２中的 ． ， ， 有一 个 为零 时 ，即为定 理 １ 定理 ３ ：若ｆ（） ） 区间 Ｊ 为 凸函数 ，则 ｍ ｘ ｘ ， ） ｘ ，ｇ 在 上 ａ￣（） ｝ ｇ 为 Ｊ 的 凸函 数 上 定理 ４ Ｊｎｅ 不 等式 ） Ｖ Ａ ≥ ０ （ ＝ １ ，…ｎ 且 ：（ｅｓｎ 对 ， ｉ ，２ ） Ａ ＝ ，则 对 Ｖｘ ∈， ＝ ，２ １ ，ｉ１ ，…ｎ 。有
函数凹凸性方面应用
§6.5 微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用教学目标: 掌握讨论函数的凹凸性和方法.教学要求: 弄清函数凸性的概念,掌握函数凸性的几个等价论断,会求曲线的拐点,能应用函数的凸性证明某些有关的命题.教学重点: 利用导数研究函数的凸性教学难点: 利用凸性证明相关命题教学方法: 系统讲授法＋演例如题教学过程:引言上面已经讨论了函数的升降与极值,这对函数性状的了解是有很大作用的.为了更深入和较准确地掌握函数的性状,我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系.什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数y x=所表示的曲线是向上凸的,而2=所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的y x称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,假设y＝f(x)的图形在区间I上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；假设y＝f(x)的图形在区间I上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？设函数()f x 在区间I 上是凸的〔向下凸〕,任意1x ,2x I ∈〔12x x <〕.曲线()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB 的下方,即任意12(,)x x x ∈,()f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程211121()()()()f x f x y x x f x x x -=-+-.对任意12(,)x x x ∈有211121()()()()()f x f x f x x x f x x x -≤-+-,整理得21122121()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--.令221()x x t x x -=-,那么有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1211x x tx x -=--,上式可写成1212[(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x +-≤+-.一、凸函数定义以及与连续性的关系 (一) 凸〔凹〕函数的定义定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数,假设对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-,那么称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-,那么称f 为I 上的凹函数.注 易证：假设一f 为区间I 上的凸函数,那么f 为区间I 上的凹函数,因此,今后只讨论凸函数的性质即可.定义2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.必须指出；假设(00,()x f x )是曲线y=f 〔x)的一个拐点,y ＝f(x)在点0x 的导数不一定存在,如3y x =在x ＝0的情形. (二) 凸函数的特征引理 f 为I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<总有：32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- (3) ()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.证⇒记3231x x x x λ-=-,那么01λ<<及213(1)x x x λλ=+-, 由f 的凸性知213()()(1)()f x f x f x λλ≤+-3221133131()()x x x xf x f x x x x x --=+-- (4) 从而有312321213()()()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+-即 322212321213()()()()()()()()x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+- 整理即得(3)式.⇐13,x x I ∀∈13()x x <,(0,1)λ∀∈记213(1)x x x λλ=+-,那么123x x x <<,3221x x x x λ-=-由必要性的推导步骤可逆,从(3)式便得(4)式.故f 为凸函数.同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即123,,x x x I ∀∈,123x x x <<,有31212131()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.定理 设为开区间上的凸函数．假设那么在上满足利普希茨条件,且在上连续．证明(证明开区间上的凸函数必为连续函数) 当取定后,由为开区间,必可选取中的四点满足：．如下图,再在中任取两点. 应用引理得到．令,那么,．显然,上述 L 与中的点无关, 故在上的每个闭区间上满足利普希茨条件．由此容易推知在上连续,再由在上的任意性,又可推知在上处处连续．如果f 是I 上的可导函数,那么进一步有： 二、凸函数与导数的关系定理1〔可导函数为凸函数的等价命题〕 设f 为区间I 上的可导函数,那么下述论断互相等价：〔1〕f 为I 上的凸函数；〔2〕f '为I 上的增函数；〔3〕对I 上的任意两点12,x x 总有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-证(i)(ii),并取,使据定理3.12,有由可微,当时,对上述不等式取极限后,得到．所以是上的递增函数．(ii)(iii)由微分中值定理和递增,便可证得当时,也有一样结论．(iii)(i),并记,那么有,由(iii)可得.注定理中(iii)的几何意义如下列图所示:曲线上任意一点处的切线恒位于曲线的下方在为可微的前提条件下,常用上述切线与曲线的位置关系(iii)来表述凸函数．但是在没有可微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义1)来定义．如果f 在I 上二阶可导,那么进一步有：定理2〔凸函数与二阶导数的关系〕 设f 为I 上的二阶可导函数,那么在I 上f 为凸〔凹〕函数⇔()0f x ''>〔()0f x ''<〕,x I ∈.f 为严格凸⇔1〕()0f x ''≥；2〕()f x ''不在I 上的任一子区间上恒为零.此定理说明：f 为严格凸,那么曲线中不含有直线段〔()0f x ''=〕.对于凹函数情形,也有类似的定理〔因为f 凸,那么f -凹〕. 可导函数f 有如下相互等价的论断：1〕f 为I 上凹函数.2〕123,,x x x I ∀∈,123x x x <<有32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≥--.即割线斜率递减.3〕()f x '为I 上递减函数.4〕0x I ∀∈,有000()()()()f x f x f x x x '≤+-,x I ∈.当f 在I 上二阶可导时,下述论断与1〕,2〕,3〕,4〕相等价. 5〕在I 上()0f x ''≤.对严格凹的情形可类似得出等价论断. 二、拐点定义2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.〔即为曲线凹凸局部的分界点〕必须指出；假设(00,()x f x )是曲线y=f 〔x)的一个拐点,y ＝f(x)在点0x 的导数不一定存在,如3y x =x ＝0的情形.定理3〔拐点必要条件〕 假设f 在0x 二阶可导,那么(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点的必要条件是0()0f x ''=.综上知：(00,()x f x )的拐点,那么要么〔1〕0()0f x ''=；要么〔2〕f 在0x 点不可导.定理4 设f 在点0x 可导,在某邻域0()U x 二阶可导,假设在0()U x +和0()U x -上()f x ''的符号相反,那么(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.例1 讨论函数()arctan f x x =的凸性与拐点.解222()(1)xf x x ''=-+,因而当0x ≤时,()0f x ''≥；当0x ≥时,()0f x ''≤,从而函数f 为(,0]-∞上的凸函数,在[0,)+∞上为凹函数.而()f x 在原点连续,故原点为曲线()y f x =的拐点例2 假设f 在(,)a b 可导、凸〔凹〕函数,那么0(,)x a b ∈为f 的极小〔大〕值点⇔0()0f x '=.即0x 为f 的稳定点.证 ⇒〕费马定理.⇐〕因f 凸,故(,)x a b ∀∈有000()()()()f x f x f x x x '≥+-.因0()0f x '=,故(,)x a b ∀∈总有0()()f x f x ≥.即0x 为f 的极小值点.例3 设f 在开区间I 上为凸〔凹〕函数,证明f 在开区间I 任一点0x 都存在左、右导数. 证 只证凸函数f 在0x 存在右导数,其它情形同理可证.令120h h <<,记101x x h =+,202x x h =+,那么012x x x <<〔取2||h 充分小使02x h I +∈〕, 由(3)'式得：01002012()()()()f x h f x f x h f x h h +-+-≤记00()()()f x h f x F h h +-=(0)h >那么有21()()F h F h ≤即()F h 为单调递增函数.取4x I ∈且40x x ≤,那么040004()()()()f x f x f x h f x x x h -+-≤-,从而()F h 递增有下界,从而0lim ()h F h +→存在,即0()f x +'存在.注 对区间端点,左、右导数可能存在,也可能为∞.由第五章§1习题10知〔假设f 在0x 的左、右导数都存在,那么f 在0x 连续〕,假设f 在为开区间(,)a b 的凸〔凹〕函数,那么f 为(,)a b 的连续函数.〔但不一定可导,如()||f x x =〕 三、 詹森(Jensen)不等式定理(詹森(Jensen)不等式) 设f 为[,]a b 上的凸函数,[,]i x a b ∈,0i λ>(1,2,,)i n =且11nii λ==∑,那么有11()()nni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ 〔6〕成立.假设f 为严格凸函数,(1,2,,)i x i n =不全相等,那么上式严格不等式成立.证 用归纳法：2n =时命题由凸函数定义显然成立.假设n k =时命题成立,即0i λ>(1,2,,)i k =,11ki i λ==∑，那么有11()()kki i i i i i f x f x λλ==≤∑∑. 要证1n k =+时命题成立.设0i λ>(1,2,,,1)i k k =+,111k i i λ+==∑1111111111()()[(1)]1k k ki ii i i i k k k k k i i i k x f x f x x f x λλλλλλλ++++++===+=+=-+-∑∑∑〔由归纳法可知,当11nii λ==∑,(,)i x a b ∈时1ni ii x λ=∑(,)a b ∈,因为111kii k λλ==-∑,故111ki i i k x λλ=+-∑(,)a b ∈ 〕11111(1)()()1ki k i k k i k f x f x λλλλ+++=+≤-+-∑11111(1)()()1kik i k k i k f x f x λλλλ+++=+≤-+-∑11()k i i i f x λ+==∑⇒结论成立.注 由于(6)式中当时即为凸函数的定义式(1),所以詹森不等式(6)也可用来作为凸函数的定义,而詹森不等式的应用也就是凸函数的应用．对具体的函数套用Jensen 不等式的结果, 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证明不等式的方法称为Jensen 不等式法或凸函数法. 具体应用时, 往往还用到所选函数的严格单调性.例4 证明: 对,,R ∈∀y x 有不等式 )(212y xyx e e e +≤+. 例5 设0i x >(1,2,,)i n =,那么121212111nn n nx x x n x x x nx x x +++≤≤+++当且仅当所有i x 全相等时等号成立.证 所有i x 全相等时,等号显然成立.只须证i x 不全等时,有严格不等号成立即可. 取()ln f x x =-,那么f 在(0,)+∞上严格凸,由例4知1121211ln (ln )ln()nni n i x x x x x x x nn-=+++-<-=-∑即 1212ln nn nx x x x x x n+++>因ln x 严格增,故有1212nn nx x x x x x n+++>又i x 不全等⇒1i x 不全等,故1121111ln (ln )nni ii i n x n n x x ==-<-=-∑∑所以 211nni inx x =<∑例6 在⊿ABC 中, 求证 233sin sin sin ≤++C B A . 解 考虑函数x x x f x x x f sin . 0 , 0 sin .0 ,sin )(⇒<<-=''≤≤=ππ在 区间) , 0 (π凹, 由Jensen 不等式, 有233sin 33)()()(3sinC sinB sinA ==⎪⎭⎫⎝⎛++≤++=++∴πC B A f C f B f A f . 233sinC sinB sinA ≤++⇒. 例7 1 ,,,=++∈+c b a c b a R . 求证6737373333≤+++++c b a .解 考虑函数3)(x x f =, )(x f 在) , 0 (∞+严格上凸. 由Jensen 不等式, 有≤+++++=+++++3)73()73()73(3737373333c f b f a f c b a28)8()7(37373733===+++=⎪⎭⎫⎝⎛+++++≤f c b a f c b a f . ⇒6737373333≤+++++c b a .例8 .2 , 0 , 033≤+>>βαβα 求证 2≤+βα. ( 留为作业 )(解 函数3)(x x f =在) , 0 (∞+严格下凸. 由Jensen 不等式, 有=+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2)()(228)(33βαβαβαβαf f f ⇒=≤+ ,122233βα- -- word.zl 2 , 8)(3≤+⇒≤+βαβα. )作业 P153 3⑶,5,8⑴； P158—159 17,18,19.。
凸函数的性质及其应用
摘要高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。
凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。
凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。
同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。
为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。
本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。
关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题AbstractConvex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research, economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines.Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's.The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply.Key words：Convex function；Inequality；Economics；Optimization problem目录摘要 (I)Abstract ......................................................................................................................... I I第1章绪论 (1)第2章预备知识 (3)2.1 凸函数的定义 (3)2.2 凸函数的定理 (6)2.3 凸函数的简单性质 (9)2.4 几种常见的不等式 (10)第3章在数学中的应用 (12)3.1. 初等不等式的证明 (12)3.2 函数不等式的证明 (14)3.3 积分不等式的证明 (15)第4章凸函数在经济学的中应用 (19)4.1 最优化问题 (19)4.1.1 线性规划下的最优化问题 (19)4.1.2 非线性规划下的最优化问题 (21)4.2 Arrow-pratt风险厌恶度量 (26)结论 (28)参考文献 (29)致谢 (30)第1章绪论提起凸函数我们就知道它是一种性质特殊的函数，在初高中阶段我们只是对其性质，及其图像进行了简单的认识。
掌握初等函数的性质与应用
掌握初等函数的性质与应用初等函数是数学中常见且重要的一类函数，它们在各个领域的问题中都有着广泛的应用。
掌握初等函数的性质和应用对于解决实际问题以及深入学习更高级的数学知识是非常关键的。
本文将介绍初等函数的常见性质，并探讨其在不同领域中的应用。
一、初等函数的常见性质初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
这些函数具有以下常见性质：1. 定义域和值域：每个初等函数都有其定义域和值域。
例如，幂函数的定义域是实数集，而对数函数的定义域是正实数集。
2. 奇偶性：初等函数可以分为奇函数和偶函数。
奇函数的函数图像关于坐标原点对称，即满足f(-x)=-f(x)；而偶函数的函数图像关于y轴对称，即满足f(-x)=f(x)。
3. 单调性：初等函数可以是递增函数或递减函数，也可以是常数函数。
通过求导可以确定初等函数的单调性。
4. 极值和拐点：初等函数的图像可能存在极值和拐点。
通过求导和求二阶导数可以确定初等函数的极值和拐点的位置。
5. 渐近线：初等函数的图像可能存在水平渐近线、垂直渐近线以及斜渐近线。
通过函数的定义和求极限可以确定初等函数的渐近线。
二、初等函数的应用1. 物理学中的应用初等函数在物理学中有着重要的应用。
以位移、速度、加速度为坐标的匀加速直线运动问题可以建立初等函数与时间的关系，通过求解方程可以确定物体在不同时间的状态。
2. 经济学中的应用经济学中的供求关系、边际效益等经济现象可以通过初等函数来描述和解决。
例如，利润函数、成本函数和收益函数都可以表示为初等函数，通过求导可以确定最大利润点。
3. 生物学中的应用生物学中的生长速度、衰变速率等也可以通过初等函数来描述。
例如，细胞的分裂速率可以用指数函数来表示，通过求导可以确定分裂速率的最大值。
4. 计算机科学中的应用在计算机科学中，初等函数的应用十分广泛。
例如，利用对数函数可以评估代码运行时间的增长率，通过三角函数可以计算图形的旋转和变形等。
函数的凸性及应用[文献综述]
![函数的凸性及应用[文献综述]](https://img.taocdn.com/s3/m/229b601176a20029bd642dd8.png)
文献综述信息与计算科学函数的凸性及应用一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）凸函数是一类重要的函数。
对函数凹凸性的研究，在数学分析的多个分支都有用处。
特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数都有着十分重要的作用。
凸函数的定义，最早是由Jersen 给出的。
各文献中对凸函数的定义不尽相同，在大学的数学分析或高等数学教材中，常常只研究具有二阶导数的凸函数。
本文首先给出凸函数的定义以及对凸函数的基本性质进行总结。
然后由基本性质进行延伸，进一步给出凸函数的应用。
对于凸函数的应用，本文拟将主要介绍以下的几点：凸函数在证明Jensen 不等式时的应用；凸函数在Hadamard 不等式中的证明的应用；凸函数在分析不等式中的应用等。
二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）凸函数具有一些非常优良的性质[1]，有着较好的几何和代数性质，在数学各个领域中都有着广泛的应用。
1905年丹麦数学家Jensen 首次给出了凸函数的定义，经过近百年努力，凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展，在现代学习和生活中的重要性已经不断的凸显出来。
凸函数是一类非常重要的函数，应用函数的凸性，不仅可以科学、准确的描述函数的图像，而且也有证明不等式的凸函数方法，同时，凸函数也是优化问题中重要的研究对象，它研究的内容非常丰富，研究的结果也在许多领域得到了广泛的应用，所以研究凸函数的性质及应用就显得尤为重要。
2.1凸函数的定义2.1.1凸函数一些基本定义通过数学分析的学习，对于函数()2x x f =和()x x f =的图像，我们很容易看出它们之间的不同点：曲线2x y =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线x y =则相反，在任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。
通过这两个函数，我们把前一种特性的曲线称为凸的，后一种为凹的。
对于凸的我们称其函数为凸函数。
凸函数的性质及其应用研究论文
凸函数的性质及其应用研究摘要凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen [1905]著述中。
它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制学等学科的理论基础和有力工具。
凸函数的许多重要性质在数学的许多领域中都有着广泛的应用，但是它的局限性也很明显，所以研究凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。
考虑到凸函数的连续性，可导性及凸函数在不等式证明方面的应用和意义，本文结合现有文献给出了凸函数12种定义，总结了凸函数常用的性质;由于凸函数的定义是由不等式给出的，基于此，凸函数广泛应用于对某些特殊不等式的证明，本文探讨了它在证明Jensen不等式、一般不等式、Cauchy不等式、Holder不等式中的重要应用，并讨论了Jensen不等式，Cauchy 不等式，Holder不等式在证明其他不等式的应用。
关键词：凸函数，定义，性质，应用，不等式Properties and Applications of Convex FunctionAbstractConvex function is a kind of important function. The concept of the earliest can be found in Jensen’s [1905] writing. Convex function has applied in pure mathematics and many applied mathematics extensive fields. Now it become the foundation and powerful tool to study mathematical programming, theory of strategy, mathematical economics, calculus of variations and such disciplines as the optimal control theory. Many important properties of convex function have been widely used in many fields of mathematics application, but its limitations are also obviously. So the study of some definitions and properties of convex function is necessary. Considering the application and significance to prove inequality and the continuity and conductivity of convex function, this paper presents 13 kind definitions and summarizes the properties of convex function which are commonly used. Convex function are widely used in some special inequality proof, because of convex function is defined by the inequality. This paper discusses the important applications of convex function in proving Jensen inequality, general inequality, Cauchy inequality, Holder Inequality. The important applications of Cauchy inequality, Holder inequality and Jensen inequality to prove other inequalities are also discussed.Key Words: Convex function, definition, properties, applications, inequality目录中文摘要 (I)英文摘要 (Ⅱ)1 引言 (1)2凸函数的定义 (1)2.1凸函数的12种定义 (1)3 凸函数的性质 (4)3.1凸函数的常用性质 (4)4 凸函数的应用 (11)4.1凸函数在微分学中的应用 (11)4.2凸函数在积分学中的应用 (13)4.3利用凸函数和Jensen不等式证明不等式 (15)4.4利用凸函数证明Cauchy不等式 (17)4.5利用凸函数证明Holder不等式 (18)4.6利用凸函数证明一般不等式 (19)参考文献 (24)致谢 (25)1 引言凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen [1905]著述中。
函数的凸凹性及其应用
函数的凸凹性及其应用定义:函数的凸凹性定义：如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ,2x 都有[])()(21)2(2121x f x f x x f +≤+成立，则称)(x f 是下凸（凸）函数(如图1所示)，当且仅当21x x =时等号成立．如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ,2x 都有[])()(21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，则称)(x f 是上凸（凹）函数(如图2所示)，当且仅当21x x =时等号成立．定理1 （Jensen 不等式）若函数()f x 在区间I 是上凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≥+++ ;若函数()f x 在区间I 是下凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ ,其中n i q I x i i ,,2,1,0, =>∈；121=+++n q q q ．定理2 若)(x f 是下凸函数，则其对应定义域中的任意n 个点n x x x ,,21恒有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++ ;类似地，对于上凸函数有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ ,当且仅当n x x x === 21时等号成立．定理3：设函数)(x f 在开区间I 上存在二阶导数：(1)若对任意I x ∈，有0)(>''x f ，则)(x f 在I 上为下凸函数; (2)若对任意I x ∈，有0)(<''x f ，则)(x f 在I 上为上凸函数．下面对于一些常用的的函数的凹凸性作一个探讨．（1）对数函数:)10(log ≠>=a a x y a 且若10<<a ，则为下凸函数；若1>a ，则为上凸函数． （2）指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且为下凸函数． （3）三角函数sin (0,)(,23cos (,)(,2222tan (,0)(022y x x x y x x x y x x x πππππππππ=∈∈=∈-∈=∈-∈，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;，）是下凸函数. （4）二次函数:)0(2≠++=a c bx ax y若0>a ，则为下凸函数；若0<a ，则为上凸函数．（5）反比例函数:)0(≠=k xky当0>k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为上凸函数；若),0(+∞∈x ，则为下凸函数． 当0<k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为下凸函数；若),0(+∞∈x ，则为上凸函数．（6）双勾函数:)0,0(>>+=b a xbax y当)0,(-∞∈x 时，为上凸函数；当),0(+∞∈x 时，为下凸函数．T1 设()y f x =是(),a b 上的严格凸函数，则对于(),a b 内的任意n 个点12,,,n x x x ，都有()()()()12121n n x x x f f x f x f x n n+++⎛⎫≤+++ ⎪⎝⎭ ，当且仅当12n x x x === 时等号成立。