1.第一讲 探索勾股定理答案
(2021年整理)第一章最新勾股定理习题及答案
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第一章勾股定理1．1 探索勾股定理第1课时探索勾股定理基础题知识点1认识勾股定理1．（郑州月考）直角三角形的两条直角边长分别为3,4，则斜边长是( D ）A．2 B．3 C．4 D．52．下列说法正确的是（ D )A．若a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2B．若a，b，c是Rt△ABC的三边,则a2＋b2＝c2C．若a,b,c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2D．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则c2＋b2＝a23．在Rt△ABC中,斜边长BC＝3，AB2＋AC2＋BC2的值为( A )A．18 B．9 C．6 D．无法计算4．(淮安中考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A,B都是格点,则线段AB的长度为( A )A．5B．6C．7D．255．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）若a＝6,c＝10，则b＝8；（2）若a＝5，b＝12，则c＝13；（3）若c＝25，b＝15，则a＝20。
知识点2勾股定理的简单应用6．如图,做一个宽80 cm，高60 cm的长方形木框，需在相对角的顶点钉一根加固木条,则木条的长为（ B )A．90 cm B．100 cmC．105 cm D．110 cm7．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为( D )8．如图,学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了4步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．9．已知等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，求等腰三角形的腰长．解：如图,因为AD是BC的中线，所以BD＝错误!BC＝3，AD⊥BC.在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2＝42＋32＝25.所以AB＝5,即腰长为5。
1.1.1探索勾股定理 北师大版数学八年级上册
121.52 + 68.52 ≈ 139.72
售货员没有搞错.
课堂小结
内容
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾
股
定
理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，
字母表示
那么 a2 b2 c2
第一章 勾股定理
课程结束
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
C A
B
C Aa c
b B
（3）如果直角 三角形的两直角边 分别为 1.6 个单位 长度和 2.4 个单位 长度，上面所猜想 的数量关系还成立 吗？说明你的理由.
（每个小正方形的面积为单位 1）
1.6 2.4
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方，这就是著名的“勾股定理”.
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理(1)
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
复习回顾 三角形
定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次 相接组成的平面图形.
角 三角形的内角和是 180°.
边 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
直角 三角形
定义 有一个角是 90°的三角形是直角三角形.
角
直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余 的三角形是直角三角形.
边？
新课导入 我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形 的两边之和大于第三边.
对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关 系？
新知探究
（1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量 它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的 关系. 与同伴进行交流.
B
左图
八年级数学上册第一章勾股定理1探索勾股定理勾股定理教材习题解析素材(新版)北师大版
勾股定理1．解析：主要考查利用勾股定理求直角三角形的边长．各小题答案依次是：（1）；（2）；（3）．2．解析：本题是勾股定理在实际问题中的应用．相当于已知直角三角形的两直角边的长，求斜边长．根据勾股定理得折断处到木杆顶端的长为加上3，可知木杆折断之前应为8m．答案是：8m．3．解析：本题是几何问题，主要考查利用勾股定理求直角三角形的边长．根据勾股定理得答案是：2.5．4．解析：本题考查勾股定理在实际问题中的应用．求两孔中心的距离相当于已知直角三角形两直角边的长，求斜边的长．依题意知，根据勾股定理得．于是，两孔中心的距离为43.4mm．5．解析：本题主要考查利用勾股定理解决实际应用问题．相当于已知直角三角形的斜边与一条直角边，求另一条直角边．根据勾股定理得，故点A到电线杆底部B的距离是4.9m．6．解析：本题考查利用勾股定理画出长为（为正整数）的线段．利用勾股定理可以发现，直角边长为2，4的直角三角形的斜边长为．由此可以依照如下方法在数轴上画出表示的点．如图，在数轴上找出表示4的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点．7．解析：本题主要考查利用勾股定理求解含特殊角的直角三角形的边长问题．（1）是直角三角形中30°角所对的直角边，故，根据勾股定理得；（2）容易推出图形是等腰三角形，两直角边相等，故于是，，8．解析：本题主要考查三角形的面积公式和利用勾股定理求直角三角形的边长．各小题答案如下：（1）；（2）根据勾股定理得；（3）由可得，．9．解析：本题主要考查勾股定理的应用．实际是利用勾股定理求等腰三角形底边上的高．根据勾股定理得，故高的长为82mm．10．解析：本题主要考查勾股定理在实际问题中的应用．题给图形是截面图，抽象成数学问题，相当于求解直角三角形的边长问题．设水的深度为尺，则芦苇的长度为尺，根据勾股定理得解得于是，水的深度是12尺，芦苇的长度是13尺．11．解析：本题考查特殊直角三角形边之间的数量关系及勾股定理的应用．直角三角形中，30°角所对直角边的长等于斜边的一半，设，则，根据勾股定理得，解得所以斜边的长12．解析：主要考查正方形的面积公式和勾股定理的应用．先根据面积关系确定大正方形的边长，然后根据勾股定理得到分割的方法．因为5个小正方形的面积之和为5，所以大正方形的面积为5，可得大正方形的边长为，容易发现，直角边的长为2，1的直角三角形的斜边长为，这就提示我们，分割和拼接方法分别如图1和图2所示．13．解析：本题主要考查勾股定理的应用．由勾股定理得到，直角边上的两个半圆的面积的和等于斜边上半圆的面积．运用上述结论可得，阴影部分的面积就是直角三角形的面积．证明如下：，，．因为根据勾股定理得所以14．解析：本题主要考查勾股定理的应用、全等三角形的判定方法及等腰直角三角形的性质．证明如下：证法一：如图1，连接BD．又在Rt中，得即证法二：如图2，作由题给条件可知，在Rt中，根据勾股定理得在等腰Rt和等腰Rt中，根据勾股定理得，又而。
第一节 勾股定理(含答案)...八年级数学 学而思
第一节 勾股定理1.勾股定理如果直角三角形的两直角边分别是a ，b ，斜边为c ，那么.222c b a =+即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，如图7-1-1所示，注：勾——最短的边， 股——较长的直角边， 弦——斜边．勾股定理反映了直角三角形中三边间的关系，因此利用它可以解决有关边长的计算问题，也可以解决与直角三角形有关的一些平方关系的证明问题． 2.勾股定理的证明如图7-1-1所示，图①是一个直角三角形，方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形：.,214)(S 22222c b a ab c b a ABCD =+∴⨯+=+=正方形Θ方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图③所示的正方形：.,214)(S 22222EF c b a ab b a c GH =+∴⨯+-==正方形Θ方法三：“总统”法，如图④所示将两个直角三角形拼成直角梯形：.,212122))((S 2222ABCD c b a c ab b a b a =+∴+⨯=++=梯形117--3.直角三角形的性质(1)两锐角互余．(2)三边满足勾股定理．(3)斜边上的中线等于斜边的一半． (4)ο30角所对的直角边等于斜边的一半，另外，直角三角形中还有一个重要的结论：两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即.ch ab =4. 直角三角形的判定 (1)有一个角是直角． (2)两锐角互余．(3)勾股定理的逆定理．(4)一条边上的中线等于这条边的一半（用时需证）．1.勾股定理应用常见注意事项(1)勾股定理只适用于直角三角形．(2)运用勾股定理时，要分清直角边和斜边，如果题目没有指明，则需分类讨论． (3)勾股定理将“数”与“形”有机结合，是数形结合思想方法的典范， 2.勾股定理证明方法的注意事项(1)目前已知的勾股定理证明方法有几百种，大多本质是应用面积方法算两次，即利用同一个图形公式法算出的面积和割补法算出的面积相等这一等量关系列出方程进行证明； (2)如图7-1-1所示，图②，③这两个弦图是正方形或者等腰直角三角形证明过程中的常用模型，必须掌握熟练． 3. 构造直角三角形的常用方法(1)作高，如图7-1- 201，②所示．(2)补全，如图7-1 - 2③，④所示． 图7- I-2(3)分割，如图7—1—2⑤所示． 4.直角三角形边的关系(1)斜边上的高×斜边=直角边乘积． (2)斜边上的中线等于斜边的一半．(3) 30。
北师大版初二上学期数学第一章探索勾股定理(含答案)
《1.1 探索勾股定理》一、选择题。
1．直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则下列关于a，b，c三边的关系式不正确的是（）A．b2=c2﹣a2B．a2=c2﹣b2C．b2=a2﹣c2D．c2=a2+b22．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25C．斜边长为25 D．三角形的面积为203．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）A．48 B．60 C．76 D．804．在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A．18 B．9 C．6 D．无法计算5．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=5，BC=12，则AB的长为（）A．5 B．12 C．13 D．156．若直角三角形的三边长分别为3，5，x，则x的可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S 1，右边阴影部分面积为S2，则（）A．S1=S2B．S1＜S2C．S1＞S2D．无法确定8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A ．B ．C ．D ．9．直角三角形的周长为12，斜边长为5，则面积为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6二、填空题。
10．在Rt △ABC 中，∠B=90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a=12，b=13，则c 的值为______．11．甲船以15海里/时的速度离开港口向北航行，乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距______海里．12．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，分别以BC 、AB 、AC 为边向外作正方形，面积分别记为S 1、S 2、S 3，若S 2=4，S 3=6，则S 1=______．13．如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm 和12cm ，那么这个直角三角形的面积是______．14．如图，∠MCF=∠FCD ，∠MCE=∠ECB ，EF=10cm ，则CE 2+CF 2=______．15．在直角三角形ABC 中，∠C=90°，BC=12，AC=9，则AB=______．16．等腰△ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=12cm ，则BC 边上的高是______cm ．17．如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．Rt △ABF 中，∠AFB=90°，AF=4，AB=5．四边形EFGH 的面积是______．18．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=______．三、解答题。
八年级上册数学第一章勾股定理同步练习(含答案)
第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为 .4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm25．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.参考答案：1．（1）13；（2）8；（3）6，8．2．2.5m．C F60cm．3．134．D．5．25km．6．4．7．3 cm．1.1 探索勾股定理第2课时验证勾股定理1.在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？2.下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？参考答案1.（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC =(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图）S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+722.①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形，（2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形.②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2.④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a +b )2减去四个Rt △ABC 的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.1.2 一定是直角三角形吗1.如图在∆ABC 中, BAC = 90, AD BC 于D , 则图中互余的角有 A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对2.如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为3.已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：AB CD AD BC 2222+=+。
1.1探索勾股定理课后同步练习北师大版八年级数学上册(含答案)
1.1探索勾股定理课后同步练习北师大版八年级数学上册（含答案）探索勾股定理一、单选题1．下列四组数据，不是勾股数的是（）A．3，4，5B．5，6，7C．6，8，10D．9，40，412．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（）A．6B．7C．10D．133．如图，点A，B是棱长为1的立方体的两个顶点，若将该立方体按图中所示展开，则在展开图中，A，B两点间的距离是（）A．B．C．4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（）A．20B．12C．2D．25．已知，则的面积为（）A．6或B．6或C．12或D．12或6．在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则边上的高是（）A．B．C．D．7．如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（A．B．2C．D．8．若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边扩大（）A．倍B．2倍C．倍D．4倍9．如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝10，直线l过点B，分别过点A、C作直线l的垂线，垂足分别为E、F，若AE＝8，则CF的长为（）A．5B．6C．7D．810．如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的边长分别为5和7，则正方形的面积为（）A．36B．49C．74D．8111．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（）A．B．C．D．12．如图，以两个半圆的直径作为直角边，正方形的一边作为斜边构成一个直角三角形，已知半圆面积分别为π和3π，则正方形的面积为（）A．16πB．32πC．16D．3213．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A 为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=（）A．B．3C．2D．14．中，，则三个半圆的面积关系是（）A．B．C．D．15．如图，在中，，，，D为边上一点，将沿折叠，若点B恰好落在线段的延长线上点E处，则的长为（）A．B．C．D．二、填空题16．下列各组数：①1、2、3；②，，2；③、、；④9、40、41，其中是勾股数的是_______（填序号）．17．已知一个直角三角形的两边长分为4和3，则它的斜边长为___________．18．已知直角三角形的两直角边分别为9和12，则它的周长为______________．19．如图，一名滑雪运动员沿着坡比为的滑道，从A滑行至B，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了_______米．20．中，为边上的一点，将沿折叠，使点C落在边的点E处，则的面积为__________．三、解答题21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，请你在给出的5×5的正方形网格中，以格点为顶点，画出一个四边形，使这个四边形的其中三边长依次为，，．22．以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组．记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；（2）用含（且为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．23．如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝12cm，BC＝16cm，求CD的长．24．如图，铁路上、两点相距，，为两村庄，于，于，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得、两村到站的距离相等，则站应建在距点多少千米处？参考答案1．B解：A、因为32+42＝52，属于勾股数；B、因为52+62≠72，不属于勾股数；C、因为62+82＝102，属于勾股数；D、因为92+402＝412，属于勾股数；故选：B．2．D解：由勾股定理得，斜边长＝，故选：D．3．C解：如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，可得：AB=，故选：C．4．B解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=16-4=12，则S2=AC2=12，故选：B．5．A解：当BC为直角边时，的面积为，当BC为斜边时，该三角形的另一条直角边长为，的面积为，故选：A．6．D解：作于D，如图所示，∵小正方形的边长都为1，∴，∵，∴，解得：，故选：D．7．D解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=，∴CE==，故选：D．8．B解：设直角三角形三边长分别为a、b、c，则：a2+b2=c2，∴，∵直角三角形的两条直角边各扩大2倍，∴可设扩大后的三角形各边为2a、2b、d，则：d=，故选B．9．B解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°．∵AE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE＝BF＝8，∴，故选：B．10．C解：根据正方形的性质得出∠EFG=∠EGH=∠HMG=90°，EG=GH，∵∠FEG+∠EGF=90°，∠EGF+∠HGM=90°，∴∠FEG=∠HGM，在△EFG和△GMH中，，∴△EFG≌△GMH（AAS），∴FG=MH，GM=EF，∵A，C的边长分别为5和7，∴EF2=52，HM2=72，∴B的面积为EG=EF2+FG2=EF2+HM2=25+49=74，故选：C．11．C解：如图，连接，则，由勾股定理可得，中，，又，，故选：C．12．D解：设大半圆的半径为R，小半圆的半径为r，根据题意得，故直角三角形的两条直角边为：故直角三角形的斜边平方为，则正方形的面积为：32，故选：D．13．C解：∵AC=3，BC=4，∴AB==5，∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，∴AD=AC，∴AD=3，∴BD=AB-AD=5-3=2．故选C．14．B解：设面积为、、所在半圆直径对应的直角三角形三边为、、，则，，，，∵中，，∴，∴，∴．故选：B．15．C解：∵∠ACB=90°，AB=13，BC=12，∴AC==5，由折叠可知：AB=AE=13，BD=DE，∴CE=AE-AC=8，∵BC=CD+BD=CD+DE，∴CD=BC-DE=12-DE，∴在△CDE中，，解得：DE=，故选C．16．④解：①1、2、3，因为1+2=3，无法组成三角形，所以不是勾股数；②，不是正整数，不属于勾股数；③、、不是正整数，不属于勾股数；④因为92+402=412，所以9、40、41属于勾股数；故答案为：④．17．5或4解：当4是直角边时，斜边长==5，当4是斜边时，斜边长=4，故答案为：5或4．18．36解：∵直角三角形的两条直角边分别为9、12，∴斜边长==15，∴周长=9+12+15=36．故答案是：36．19．150解：如图，在中，由题意可知，∴，∴，∴米，故答案为：150．20．解：由折叠的性质得：，，，，设CD=x，则BD=12-x，DE=x，在△BDE中，，则，解得：x=，∴，，故答案为：．21．见解析．解：如图，，，，连接BC，则四边形ABCD即为所求作（答案不唯一）．22．（1）第六组勾股数为（48，14，50）；（2）规律：第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；证明见详解．解：（1）第一组中间数为4=2×2，第二组中间数为6=2×3，第三组中间数为8=2×4，第四组中间数为10=2×5，第五组中间数为12=2×6，第六组中间数为14=2×7，两头的两数差二，设较小的数为x，另一个数为x+2则（x+2）2-x2=142,解得x=48∴第六组勾股数为（48，14，50）；（2）规律：中间数规律是2n（n≥2）设第一个数为x，第三个数为x+2则，解得，第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；证明：(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，(n2+1)2=n4+2n2+1，∴(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2．23．解：∵∠ACB=90°，AC=12cm，BC=16cm，∴AB=20cm，根据直角三角形的面积公式，得：，∴．24．10千米解：设，则，∵、两村到站的距离相等，∴．在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴，又∵，，∴，∴，站应建在距点A10千米处．。
新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》同步练习及答案—1.1探索勾股定理(1)
新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》同步练习及答案—1.1探索勾股定理（1）专题一有关勾股定理的折叠问题1. 如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（）A．3cm B．4cmC．5cm D．6cm2. 如图，EF是正方形两对边中点的连线段，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G 点，求∠DKG的度数．3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N．（1）如图①，当AM=BN时，将△ACM沿CM折叠，点A落在弧EF的中点P处，再将△BCN 沿CN折叠，点B也恰好落在点P处，此时，PM=AM，PN=BN，△PMN的形状是_______________．线段AM、BN、MN之间的数量关系是______________________________；（2）如图②，当扇形CEF绕点C在∠ACB内部旋转时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．试证明你的猜想；（3）当扇形CEF绕点C旋转至图③的位置时，线段MN、AM、BN之间的数量关系是_______________．（不要求证明）①②③专题二勾股定理的证明4．在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用四个完全相同的直角三角形拼图的方式验证了勾股定理的正确性．问题1：以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，探究S′+ S″与S的关系（如图1）．问题2：以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S的关系（如图2）．问题3：以直角三角形的三边为直径向外作半圆，探究S′+ S″与S的关系（如图3）．5.如图，是用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个，图①中两直角边长分别为a和b，斜边长为c；图②中两直角边长为c．请你动脑，将它们拼成能够证明勾股定理的图形．（1）请你画出一种图形，并验证勾股定理．（2）你非常聪明，能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的图形（无需证明）．参考答案：1．A 【解析】设CN=x cm，则DN=（8-x）cm. 由折叠的性质知EN=D N=（8-x）cm，而EC=12BC=4 cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8-x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=3．故选A．2．解：∵DF=12CD=12DG，∴∠DGF=30°．∵∠EKG+∠KGE=90°，∠KGE+∠DGF=90°，∴∠EKG=∠DG F=30°．∵2∠DKG+∠GK E=180°，∴∠DKG=75°．3．解：（1）根据折叠的性质知：△CAM≌△CPM，△CNB≌△CNP．∴AM=PM，∠A=∠CPM，PN=NB，∠B=∠CPN. ∴∠MPN=∠A+∠B=90°，PM=PN=AM=BN.故△PMN是等腰直角三角形，AM2+B N2=MN2（或AM=BN=22MN）．（2）AM2+BN2=M N2.证明:如图,将△AC M沿CM折叠，得△DCM，连DN，则△ACM≌△DCM，∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM. 同理可知∠DCN=∠BCN，△DCN≌△BCN，DN=BN，而∠MDC=∠A=45°，∠CDN=∠B=45°，∴∠MDN=90°，∴DM2+DN2=MN2，故AM2+BN2=MN2．（3）AM2+BN2=MN2；解法同（2）．4．解：探究1：由等边三角形的性质知：S′=34a2，S″=34b2，S=34c2，则S′+ S″=34（a2+b2）.因为a2+b2=c2，所以S′+ S″=S．探究2：由等腰直角三角形的性质知：S′=14a2，S″=14b2，S=14c2．则S′+S″=14（a2+b2）.因为a2+b2=c2，所以S′+S″=S．探究3：由圆的面积计算公式知：S′=18πa2，S″=18πb2，S=18πc2．则S′+ S″=18π（a2+b2），因为a2+b2=c2，所以S′+ S″=S．5．解：（1）如图所示，根据正方形的面积可得（a+b）2=4×12ab+c2，即a2+b2=c2．（2）如图所示．。
1.1《探索勾股定理》一课一练 2021-2022学年北师大版 八年级数学上册(含答案)
1.1《探索勾股定理》习题1一、填空题1．已知直角三角形两直角边长为3cm ，4cm ，那么这个直角三角形斜边上的高为_____．2．有一个三角形的两边长是9和12，要使这个三角形成为直角三角形，则第三条边长的平方是__________．3．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾6a =，弦10c =，则小正方形ABCD 的面积是____.4.如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，按照此规律继续下去，则2020s 的值为________．二、选择题1．如图，在ABC ∆中，已知90C =∠，3AC =，4BC =，则AB 的大小有可能是( )A ．1B ．2C ．3D ．52．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A =10，S B =8，S C =9，S D =4，则S=( )A ．25B ．31C ．32D ．403．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分以的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是( )A ．12≤a ≤13B ．12≤a ≤15C ．5≤a ≤12D ．5≤a ≤l34．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积之和为( )A ．150cm 2B ．200cm 2C ．225cm 2D ．无法计算5．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠︒＝，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于,D E 两点，作直线DE 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连结CF ．若3,2AC CG ＝＝，则CF 的长为( )A ．52B ．3C ．2D ．726．在平面直角坐标系中，(,)A a a ，(2,4)B b b --，其中2a b +=，则下列对AB 长度判断正确的是( )A ．2AB < B ．2AB >C ．2AB =D ．无法确定7．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kun ，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD 的距离为2寸，点C 和点D 距离门槛AB 都为1尺(1尺10=寸)，则AB 的长是( )A ．50.5寸B ．52寸C ．101寸D ．104寸8．如图，Rt △ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90˚，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )A ．6B ．5C ．4D ．39．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D ′处，则重叠部分△AFC 的面积为( )A ．6B ．8C ．10D ．1210．如图，已知在△ABC 中， 90,8,6ABC AB BC ︒∠===，将线段AC 绕点A 顺时针旋转得到AD ，且DAC BAC ∠=∠，连接CD ，且△ACD 的面积为( )A ．24B ．30C ．36D ．4011．如图，△ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，AD 为△ABC 的角平分线，则CD 的长度为( )A ．1B ．54C ．32D ．4312．如图，在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，且EF ∥BC 交AC 于M ，若CM ＝3，则CE 2+CF 2的值为( )A ．6B ．9C ．18D ．3613．如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，BC ＝9，AC ＝12，∠BCA ＝90°，在AC 边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为( )A．7.5 B．8 C．8.5 D．914．如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为( )A．8 B．9 C．10 D．11三、解答题1．小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的门，他先横着拿，进不去，又竖起来拿，结果竿比门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着门的对角，问：竹竿高多少米？2．如图，小明和小方分别在C处同时出发，小明以每小时40千米的速度向南走，小方以每小时30千米的速度向西走，2小时后，小明在A处，小方在B处，请求出AB的距离．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边的长分别为a，b，c．(1)a＝6，b＝8，求c及斜边上的高；(2)a∶b＝3∶4，c＝15，求a和b．4．你一定玩过荡秋千的游戏吧，小明在荡秋千时发现：如图，当秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.5米，当秋千荡到AC位置时，下端C距静止时的水平距离CD为4米，距地面2.5米，请你计算秋千AB的长.5．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．(1)求BF的长；(2)求CE的长．6．已知锐角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F．(1)求证：△BDF≌△ADC；(2)若BD＝4，DC＝3，求线段BE的长度．7．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC 沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．(1)如图(1)，如果点B′和顶点A重合，求CE的长；(2)如图(2)，如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．8．在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c )，大正方形的面积可以表示为2c ，也可以表示为214()2ab a b ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为,a b ，斜边长为c ，则222+=a b c ．(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．(2)如图③，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，4AB =，5AC =，6BC =，设BD x =，求x 的值．(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释22()(2)32a b a b a ab b ++=++，画在如图4的网格中，并标出字母,a b 所表示的线段．答案一、填空题 1.12cm 52.225或63．3.44.201712二、选择题1．D 2．B ．3．A 4．C ． 5．A ． 6．C ． 7．C 8．C 9．C10．B ． 11．D ． 12．D 13．A 14．C三、解答题1.解：竹竿长x 米，则门高(x-1)米，根据题意得：222(1)3x x =-+，解得：x=5答：竹竿高5米．2.解：由题意可得：40280()AC km =⨯=，30260()BC km =⨯=，则100()AB km ===，答：AB 的距离为100km ．3.解：(1)根据勾股定理，得：10c ==， 斜边上的高等于：684.810⨯=； (2)由:3:4a b =，根据勾股定理，得::3:4:5a b c =，又15c =，则9a =，12b =．4.解：∵AB AC =，(2.50.5)2AD AB AB =--=-，4CD =米，由勾股定理得222AD CD AC +=，∴222(2)4AB AB -+=，420AB -=-，解得5 AB m ，∴秋千AB 的长为5m .5.解：(1)∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B=90°，且AD=BC=10， 又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的，∴AF=AD=10，又∵AB=8，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：， 故BF 的长为6．(2)设CE=x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，∴FE=DE=8-x ，由(1)知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ， ∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，故CE 的长为3．6.解：(1)∵AD ⊥BC ，∠ABC ＝45°∴∠ABC ＝∠BAD ＝45°，∴AD ＝BD ，∵DA ⊥BC ，BE ⊥AC∴∠C +∠DAC ＝90°，∠C +∠CBE ＝90°∴∠CBE ＝∠DAC ，且AD ＝BD ，∠ADC ＝∠ADB ＝90° ∴△BDF ≌△ADC (ASA )(2)∵△BDF ≌△ADC∴AD ＝BD ＝4，CD ＝DF ＝3，BF ＝AC∴BF ＝5∴AC ＝5，∵S △ABC ＝12×BC ×AD ＝12×AC ×BE ∴7×4＝5×BE∴BE ＝285.7.(1)如图(1)，设CE ＝x ，则BE ＝8﹣x ；由题意得：AE ＝BE ＝8﹣x ，由勾股定理得：x 2+62＝(8﹣x )2，解得：x ＝74，即CE 的长为：74．(2)如图(2)，∵点B ′落在AC 的中点，∴CB ′＝12AC ＝3；设CE ＝x ，类比(1)中的解法，可列出方程：x 2+32＝(8﹣x )2 解得：x ＝5516．即CE 的长为：5516．8.解：(1)梯形ABCD 的面积为22111()()222a b a b a ab b ，也可以表示为2111222ab ab c ++， 2221111122222ab ab c a ab b ， 即222+=a b c(2)在Rt ABD △中，222222416AD AB BD x x 在Rt ADC 中，2222225(6)1112AD AC DC x x x 所以22161112x x x ，解得94x = (3)∵图形面积为：(a+b)(a+2b)=a ²+3ab+b ² ∴边长为：(a+b)，(a+2b)由此可画出的图形为：。
北师大数学课时分层8上答案 绝对够全 最少财富
总第 35 课时——§5.1.1 确定位置(第 1 课时) ....................................................................14 总第 36 课时——§5.1.2 确定位置（第 2 课时） ..............................................................15 总第 37 课时——§5.2.1 平面直角坐标系（第 1 课时） ....................................................15 总第 38 课时——§5.2.2 平面直角坐标系（第 2 课时） ................................................15 总第 39 课时——§5.2.3 平面直角坐标系（第 3 课时） ....................................................15 总第 40 课时——§5.2.1 变化的鱼(第 1 课时).................................................................16 总第 41 课时——§5.2.2 变化的鱼(第 2 课时).................................................................16
第四章 四边形性质探索..............................................................................................................9
1.1.1探索勾股定理 北师大版数学八年级上册
（2）如图， 直角三角形三边 的平方分别是多 少，它们满足上 面所猜想的数量 关系吗？你是如 何计算的？与同 伴进行交流.
（每个小正方形的面积为单位 1）
C A
B
C A
B
左图
A 的面积 9
B 的面积 9
C 的面积 18
面积 关系
边的 关系
9 + 9 = 18 a2+b2=c2
（每个小正方形的面积为单位 1）
边和斜边，那么a2+b2=c2.
a
c
b
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，这便是勾股 定理的由来.
课堂练习
1. 求下图中字母所代表的正方形的面积.
A = 225 + 400 = 625 81
A
225 400
B 225
（1） B = 225 - 81 = 144 （2）
C Aa c
b B
C A
B
右图
A 的面积 4
B 的面积 4
C 的面积 8
面积 关系
边的 关系
4+4=8 a2+b2=c2
（每个小正方形的面积为单位 1）
C A
B
Aa c C bB
对于右图 中的直角三角 形，是否还满 足这样的关系？ 你又是如何计 算的呢？
（每个小正方形的面积为单位 1）CΒιβλιοθήκη ABC AB
左图
A 的面积 16
B 的面积 9
C 的面积 25
面积 关系
边的 关系
16 + 9 = 25 a2+b2=c2
（每个小正方形的面积为单位 1）
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探索勾股定理 同步测试 北师大版八年级数学上册 (含答案)
1.1探索勾股定理同步测试一．选择题1.如图，带阴影的长方形的面积是（）A. 9 cm2B.24 cm2C. 45 cm2D.51 cm22．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25C．斜边长为25 D．三角形的面积为203．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．645．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG 的面积和为( )A.150cm2B.200cm2C.225cm2D.无法计算6．若直角三角形的三条边长为三个连续的整数，那么以这三边为边长的三个正方形的面积分别为（）A．3，4，5 B．9，16，25 C．6，8，10 D．8，12，247．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12，则CD为（）A．5 B．13 C．17 D．188．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（）A．S1﹣S2B．S1+S2C．2S1﹣S2D．S1+2S29．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．10．如图，阴影部分的面积为（）A．3 B．9 C．81 D．10011．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（）A．50 B．16 C．25 D．4112．2002年在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（）A．25 B．19 C．13 D．169二．填空题13．在Rt△ABC中，∠B=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a=12，b=13，则c的值为______．14．如图，图中所有的四边形都是正方形，图中的三角形是直角三角形，已知正方形A，B的面积分别是9和4，则最大正方形C的面积是．15．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为．16．一个长方形的一条边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长为．17．如图，∠MCF=∠FCD，∠MCE=∠ECB，EF=10cm，则CE2+CF2=______．18．已知直角三角形的两直角边分别是3cm、4cm，则第三边的高是．19．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=______．20．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．三．解答题21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D．（1）求AB的长；（2）求CD的长．23．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际的上岸点C偏离了想要到达的点B有140m（即BC＝140m），其结果是他在水中实际游了500m，求河宽为多少米？24．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，CD＝1.5，BD ＝2.5，求AC的长．25．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D．（1）求AB的长；（2）求CD的长．26．如图,是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a,b,斜边长为c)和一个正方形(边长为c)，请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图；(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理.北师大版八年级数学上册第一章1.1探索勾股定理答案提示一．选择题1．如图，带阴影的长方形的面积是（）选：C．A. 9 cm2B.24 cm2C. 45 cm2D.51 cm22．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）选：A．A．斜边长为5 B．三角形的周长为25C．斜边长为25 D．三角形的面积为203．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有( )选：B．A.1个B.2个C.3个D.4个4．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）选：D．A．4 B．8 C．16 D．645．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG 的面积和为( )选：C．A.150cm2B.200cm2C.225cm2D.无法计算6．若直角三角形的三条边长为三个连续的整数，那么以这三边为边长的三个正方形的面积分别为（）选：B．A．3，4，5 B．9，16，25 C．6，8，10 D．8，12，247．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12，则CD为（）选：B．A．5 B．13 C．17 D．188．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（）选：C．A．S1﹣S2B．S1+S2C．2S1﹣S2D．S1+2S2解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，则S1＝c2＝a2+b2S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，∴2ab＝S1﹣S2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，故选：C．9．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）选：D．A．B．C．D．解：A、∵ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．10．如图，阴影部分的面积为（）选：C．A．3 B．9 C．81 D．10011．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（）选：A．A．50 B．16 C．25 D．41解：由勾股定理得，AB2＝132﹣122＝25，∴CD2+BD2＝BC2＝25，∴阴影部分的面积＝25+25＝50，故选：A．12．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（）选：A．A．25 B．19 C．13 D．169解：由条件可得：，解之得：．所以（a+b）2＝25，故选：A．二．填空题13．在Rt△ABC中，∠B=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a=12，b=13，则c的值为______．5；14．如图，图中所有的四边形都是正方形，图中的三角形是直角三角形，已知正方形A，B的面积分别是9和4，则最大正方形C的面积是13．15．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为4．解：直角三角形直角边的较短边为＝6，正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4．故答案为：4．16．一个长方形的一条边长为3cm，面积为12cm2，那么它的一条对角线长为．6.5cm17．如图，∠MCF=∠FCD，∠MCE=∠ECB，EF=10cm，则CE2+CF2=______．100cm2；cm 18．已知直角三角形的两直角边分别是3cm、4cm，则第三边的高是．125 19．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=______．3；21．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．4．三．解答题21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a∶b＝3∶4，c＝75cm，求a、b；(2)若a∶c＝15∶17，b＝24，求△ABC的面积；(3)若c－a＝4，b＝16，求a、c；(4)若a、b、c为连续整数，求a＋b＋c．解：(1)a＝45cm．b＝60cm；(2)540；(3)a＝30，c＝34；(4)12．22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D．（1）求AB的长；（2）求CD的长．23．如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际的上岸点C偏离了想要到达的点B有140m（即BC＝140m），其结果是他在水中实际游了500m，求河宽为多少米？解：AB＝320m24．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，CD＝1.5，BD ＝2.5，求AC的长．解：AC＝325．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D．（1）求AB的长；（2）求CD的长．26．如图,是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a,b,斜边长为c)和一个正方形(边长为c)，请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图；(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理.解：(1)(答案不唯一)如图.(2)验证:∵大正方形的面积可表示为(a ＋b)2,又大正方形的面积也可表示为2142c ab +⨯,()22142a b c ab ∴+=+⨯,即a 2＋b 2＋2ab ＝c 2＋2ab,∴a 2＋b 2＝c 2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.。
北师大版八年级数学上册 1.1探索勾股定理 同步测试(含答案)
2020秋北师大版八年级数学上册第一章1.1探索勾股定理 假期同步测试一、选择题：1. 下列说法正确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的 三 边，则a 2＋b 2＝c 2C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B.c b a >+C.c b a <+D.222c b a =+3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为204．直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，则下列关于a ，b ，c 三边的关系式不正确的是（ ）A ．b 2=c 2﹣a 2B ．a 2=c 2﹣b 2C ．b 2=a 2﹣c 2D ．c 2=a 2+b 25．如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ ）A ．48B ．60C ．76D ．806．在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A．18 B．9 C．6 D．无法计算7．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=5，BC=12，则AB的长为（）A．5 B．12 C．13 D．158．若直角三角形的三边长分别为3，5，x，则x的可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（）A．S1=S2B．S1＜S2C．S1＞S2D．无法确定10．直角三角形的周长为12，斜边长为5，则面积为（）A．12 B．10 C．8 D．6二、填空题：1．在Rt△ABC中，∠B=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a=12，b=13，则c的值为______．2．甲船以15海里/时的速度离开港口向北航行，乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距______海里．3．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S2=4，S3=6，则S1=______．4．在RC∆中，Bt A∠C，=90（1）如果a=3，b=4，则c= ；（2）如果a=6，b=8，则c= ；（3）如果a=5，b=12，则c= ；(4) 如果a=15，b=20，则c= .5．如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．6．如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是______．7．如图，∠MCF=∠FCD，∠MCE=∠ECB，EF=10cm，则CE2+CF2=______．8．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是______cm．9．如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．Rt△ABF中，∠AFB=90°，AF=4，AB=5．四边形EFGH的面积是______．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=______．三、解答题：1．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，验证：c2＝a2＋b2.cab ac b b cba ac2．下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题:学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4, 请你求出第三边.”同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “第三边长是5”; 王华同学说: “第三边长是7.”还有一些同学也提出了不同的看法……（1）假如你也在课堂上, 你的意见如何? 为什么?（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)3．如图，测得某楼梯的长为5m，高为3m，宽为2m，计划在表面铺地毯，若每平方米地毯50元，你能帮助算出至少需要多少钱吗？4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=15cm，AC=13cm，AD=12cm，求：△ABC的面积．5．如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D．（1）求AB的长；（2）求CD的长．7．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出BD的长吗？8.如图，已知长方形ABCD 中AB =8 cm,BC =10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.答案提示一、选择题：1.D ；2.B ；3.C ；4．C ；5．C ；6．A ；7．C ；8．B ；9．A ；10．D ；二、填空题：1．5； 2．50； 3．2； 4.5； 10； 13； 25 ； 5.169；6．54cm 2； 7．100cm 2； 8．8； 9．1； 10．3；三、解答题：1.中空正方形的面积为2)(a b -，也可表示为ab c 2142⨯-，∴2)(a b -=ab c 2142⨯-，整理得222c b a =+. 3.（1）分两种情况:当4为直角边长时，第三边长为5；当4为斜边长时，第三边长为7.（2）略4．5．6．8.解：根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AEF∴∠AFE=90°,AF =10 cm,EF=DE设CE=x cm，则DE=EF=CD－CE=8－x在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6 cm∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8－x)2=x2+42∴64－16x+x2=x2+16∴x=3(cm),即CE=3 cm。
1.1 探索勾股定理(1)(含答案)
1.1 探索勾股定理（1）【学习目标】了解勾股定理的探索过程,掌握勾股定理． 【基础知识演练】1．在△ABC 中，若∠C =90°，则它的三边满足关系式a 2+b 2=c 2. 在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”. (1)若a =3，b =4，则c =_________； (2)若 c =10，b =6，则a =_________；(3)若a ∶b =3∶4，c =20，则a =_________，b =_________. 2．已知等腰ABC ∆的腰AB ＝AC ＝10cm ，底边BC=12cm,则A∠的平分线的长是 cm.3．如图，在△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠CAB ，AD=10cm ，AC=8cm ，那么D 点到直线AB 的距离是 cm. 4．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A.25B.14C.7D.7或256．若线段a ，b ，c 能组成直角三角形，则它们的长度之比可能是（ ） A.2∶3∶4 B.3∶4∶6 C.5∶12∶13 D.4∶6∶77．在Rt △ABC 中，∠B ＝9O°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且a ＝12，b ＝13，求c .D C BA8．请你取两个同样的直角三角板，并按如图所示摆放.(1)连结AE ，请你判断△ACE 和四边形ABDE 的形状.(2)设AB =CD =a ,BC =DE =b ,AC =CE =c ,请用两种不同的方法求四边形ABDE 的面积. （3）由（2）你能得到什么结论？DC B AE【思维技能整合】9．如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm 和5cm ，那么这个直角三角形的面积是 cm 2．10.如图，分别以直角△ABC 的三边AB 、BC 、CA 为直径向外作半圆，设直线AB 左边阴影部分面积为S 1，右边阴影部分面积为S 2，则（ ） A ．S 1 ＝S 2 B ．S 1 ＜S 2 C ．S 1＞S 2 D ．无法确定11．图中的螺旋形由一系列直角三角形组成，则以第n 个三角形的斜边长为边长的正方形的面积为 .12．请你作一个直角三角形ABC ，使它的两条直角边AB =6 cm,AC =8 cm.(1)请你先测量斜边BC 的长.（2）你能用其他方法探索这个直角三角形斜边的长吗？这个直角三角形的三边长有什么关系吗？（3）若使AB =AC =3 cm ，请你探索这个直角三角形的三边长有什么关系？A A A A O01231111【发散创新尝试】13.有一根70 cm 的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm 、40 cm 、30 cm 的木箱中，能放进去吗？请说明理由.【回顾体会联想】14.直角三角形三边之间有怎样的关系？生：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a ，b, c 的关系是 .即直角三角形两直角边的平方和等于 的平方.参考答案1． (1) 5.(2) 8.(3) 12,16 2．8 3．6 4．4 5．D 6．C 7．5 8．(1)∵△ABC ≌△CDE ,∴∠ACB =∠DEC ,而∠DCE +∠DEC =90°,∴∠ACB +∠DCE =90°,∴∠ACE =90°, ∴△ACE 为直角三角形.又∵∠ABC －90°=∠EDC , ∴四边形ABDE 为直角梯形. (2)方法一：S 梯形=21(AB +DE )·(BC +CD )=21(a +b )(a +b )=21(a +b )2.方法二：S 梯形=S △ABC +S △ECD +S △ACE =21ab +21ab +21c ·c =ab +21c 2.(3)∵S 梯形相等，∴21(a +b )2=ab +21c 2,∴a 2+b 2=c 2.9．30 10.A 11．n+112．(1)10 cm (2)AB2+AC2=BC2,另参考课本方法(3)AB2+AC2=BC2，探索方法同(2) 13.由下图可得，AA′=30 cm，A′B′=50 cm，B′C′=40 cm.△A′B′C′，△AA′C′都为直角三角形.由勾股定理，得A′C′2=A′B′2+B′C′2.在Rt△AA′C′中.AC′最长，则AC′2=AA′2+A′B′2+B′C′2=302+402+502=5000＞702.故70 cm的棒能放入长、宽、高分别为50 cm，40 cm，30 cm的大箱中.14.a2+b2=c2，斜边.。
八年级数学(上)(北师大版)第一章《勾股定理》第一节：探索勾股定理课时练(含详细解析)
1 探索勾股定理【教材训练】 5分钟1.勾股定理(1)文字语言:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.(2)符号语言:如果直角三角形两直角边分别为a和b,斜边为c,那么a2+b2=c2.2.使用勾股定理的注意事项(1)分清斜边和直角边,避免盲目代入公式.(2)运用勾股定理的前提条件是在直角三角形中,如果已知条件中没有直角三角形,就必须先构造直角三角形.3.判断训练(打“√”或“×”)(1)△ABC的三条边长分别是a,b,c则有a2+b2=c2. (×)(2)在△ABC中,若a=5,b=12,则c=13.(×)(3)若a,b,c是Rt△ABC的三边,∠B=90°,则a2+c2=b2.(√)(4)在边长都为整数的△ABC中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,则AB的长为5cm.(×)(5)在Rt△ABC中,∠A=90°,a=13 cm,b=5 cm,则以c为边长的正方形面积为194cm2. (×) 【课堂达标】 20分钟解析部分为教师用书独具授课提示:对应学生用书起始页码P1训练点一:勾股定理1.在Rt△ABC中,斜边长BC=3,AB2+AC2+BC2的值为( )A.18B.9C.6D.无法计算【解析】选A.因为Rt△ABC中,BC为斜边,所以AB2+AC2=BC2,所以AB2+AC2+BC2=2BC2=2×32=18.2.已知直角三角形的两边长分别为3,5,则第三边的平方为____________.【解析】当第三边是斜边时,则有第三边的平方为9+25=34;当第三边是直角边时,则有第三边的平方为25-9=16,故第三边的平方为16或34.答案:16或343.如图,△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高线,DC=2,则BD=____________.【解析】△ABC中,AB=AC=10,DC=2,所以AD=AC-DC=8;Rt△ABD中,AB=10,AD=8;由勾股定理,得BD2=AB2-AD2=36=62,即BD=6.答案:64.在△ABC中,∠C=90°,其中a∶b=3∶4,且c=10cm,则S△ABC=________cm2.【解析】设a=3k,b=4k,在Rt△ABC中,因为a2+b2=c2,所以(3k)2+(4k)2=102,又k>0,故k=2,则a=6,b=8,所以S△ABC=×6×8=24(cm2).答案:245.如图,在四边形草坪ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=20m,BC=15m,CD=7m.求这块草坪ABCD的面积.【解析】如图,连接AC.在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2=AB2+BC2,所以AC2=625=252,所以AC=25m.在Rt△ADC中,由勾股定理得AD2+DC2=AC2,所以AD2=AC2-DC2=242,即AD=24m.所以S四边形ABCD=AB·BC+AD·DC=234(m2).因此这块草坪ABCD的面积为234m2.训练点二:利用勾股定理解决实际问题1.如图,A,C之间隔有一湖,在与CA方向成90°角的CB方向上的点B处,测得BA=50m,CB=40m,则A,C之间的距离为( )A.30 mB.40 mC.50 mD.60 m【解析】选A.由勾股定理得AB2=AC2+BC2,即AC2=AB2-BC2=502-402=302.故AC=30m.2.一艘船早上8点出发,以8n mi l e/h的速度向正东方向航行.1小时后,另一艘船从同一停泊点以12n mi l e/h时的速度向正南方向航行,上午10点两船相距( )A.15n mi l eB.12n mi l eC.13n mi l eD.20n mi l e【解析】选D.如图,OA=8×2=16(n mi l e),OB=12×1=12(n mi l e),由勾股定理知AB2=AO2+BO2=162+122=400,故AB=20n mi l e.3.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为____________mm.【解析】根据图中数据可得AC=150-60=90(mm),BC=180-60=120(mm),所以在Rt△ABC中,由勾股定理得AB2=AC2+BC2=902+1202=1502,即AB=150mm.答案:1504.如图所示,在一个高BC为6m,长AC为10m,宽2.5m的楼梯表面铺地毯,若每平方米地毯价格为50元,你知道共需多少钱吗?【解析】如图所示,楼梯表面的实际长度,相当于AB+BC,因为AB2=102-62,所以AB=8m,所以所需地毯的面积为(8+6)×2.5=35(m2),共需钱50×35=1750(元).【课后作业】 30分钟一、选择题(每小题4分,共12分)1.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=12,CB=5,AM=AC,BN=BC,则MN的长是( )A.2B.2.6C.3D.4【解析】选D.根据勾股定理可得AC2+CB2=AB2,得AB=13,而MN=AM+BN-AB=AC+BC-AB=12+5-13=4.2.如图,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,则线段CN的长是( )A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm【解析】选A.由题意设CN=xcm,则EN=(8-x)cm.又因为CE=BC=4cm,所以在Rt△ECN中,EN2=EC2+CN2,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,即CN=3 cm.3.△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为( )A.42B.32C.42或32D.37或33【解析】选C.分两种情况:(1)如图①,当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2,所以BD2=152-122=81,即BD=9.在Rt△ACD中,CD2=AC2-AD2=132-122=25,即CD=5.所以BC=5+9=14.所以△ABC的周长为15+13+14=42.(2)如图②,当△ABC为钝角三角形时,在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2,所以BD2=152-122=81,即BD=9.在Rt△ACD中,CD2=AC2-AD2=132-122=25,即CD=5.所以BC=9-5=4,所以△ABC的周长为15+13+4=32,所以当△ABC为锐角三角形时,△ABC的周长为42;当△ABC为钝角三角形时,△ABC的周长为32.二、填空题(每小题4分,共12分)4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC+BC=15,AB=11,则Rt△ABC的面积为____________.【解析】因为在Rt△ABC中,∠C=90°,所以由勾股定理得AB2=AC2+BC2.即有AB2=(AC+BC)2-2AC·BC.而AC+BC=15,AB=11,所以112=152-2AC·BC,即有AC·BC=52.故S Rt△ABC=AC·BC=×52=26.答案:265.用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成四边形,所得的四边形的周长是__________. 【解析】因为直角边分别为3和4.所以其斜边是5.(1)当拼成的是长为3的直角边重合的四边形时,其周长是(4+5)×2=18.(2)当拼成的是长为4的直角边重合的四边形时,其周长是(3+5)×2=16.(3)当拼成的是斜边重合的四边形时,其周长是(3+4)×2=14.答案:18或16或146.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C 落在AB边的C′点,那么△ADC′的面积是__________.【解析】因为∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,所以AB=10cm.因为将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C′点,所以△BCD≌△BC′D,所以∠C=∠BC′D=90°,DC=DC′,BC=BC′=6cm,所以AC′=AB-BC′=4cm,设DC=xcm,则AD=(8-x)cm,在Rt△ADC′中,AD2=AC′2+C′D2,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,因为∠AC′D=90°,所以S△ADC′=AC′·C′D=×4×3=6(cm2).答案:6cm2三、解答题(共26分)7.(6分)如图,△ABC中,CD⊥AB于D,AC=13,AB=14,高CD=12,求BC的长.【解析】因为CD⊥AB,所以∠ADC=∠CDB=90°.在Rt△ACD中,AC=13,CD=12,根据勾股定理得AD2=AC2-CD2=25,因此AD=5.又因为AB=14,所以BD=14-5=9.在Rt△BCD中,CD=12,BD=9,根据勾股定理得BC2=CD2+BD2=225,因此BC=15.8.(6分)如图,在长方形纸片ABCD中,AB=18,把长方形纸片沿直线AC折叠,点B落在点E 处,AE交DC于点F,若AF=13,求AD的长.【解析】根据折叠前后角和边相等可知△ADF≌△CEF,设AD=x,又AF=13,DF=18-13=5,在Rt△ADF中,x2+52=132,解得x=12.因此AD的长为12.9.(6分)如图,滑杆在机械槽内运动,∠ACB为直角.已知滑杆AB长2.5m,顶端A在AC上运动,量得滑杆下端B距C点的距离为1.5m,当端点B向右移动0.5m,求滑杆顶端A下滑多少米?【解析】设AE的长为xm,则CE=AC-x.在Rt△ABC中,AC2=AB2-BC2=4,故AC=2.在Rt△ECD中,CD=BC+BD=2,所以CE2=DE2-CD2=2.25,故CE=1.5,所以AE=AC-CE=0.5(m),即滑杆顶端A下滑0.5m.10.(8分)(能力拔高题)为丰富少年儿童的业余文化生活,某社区要在如图所示的AB所在的直线上建一图书阅览室.该社区有两所学校,所在的位置在点C和点D处,CA⊥AB于A,DB⊥AB 于B,已知AB=25km,CA=15km,DB=10km.试问:阅览室E建在距A点多远处,才能使它到C,D两所学校的距离相等?【解析】设阅览室E到A点距离为xkm,连接CE,DE.如图所示,在Rt△EAC和Rt△EBD中,CE2=AE2+AC2=x2+152,DE2=EB2+DB2=(25-x)2+102.因为点E到点C,D的距离相等,即EC=ED,所以CE2=DE2,即x2+152=(25-x)2+102,解得x=10.因此,阅览室应建在距A点10km处.。
1.1 第1课时 探索勾股定理 【八年级上册数学(北师版)】
A．S1＋S2>S3 B．S1＋S2＝S3 C．S1＋S2<S3 D．无法确定
11．如图，求等腰三角形 ABC 的面积．
解：在 Rt△ABC 中，因为 AC2＝AB2＋BC2＝32＋42＝25，所以 AC＝5， 在 Rt△ACD 中，因为 CD2＝AD2－AC2＝132－52＝144，所以 CD＝12， 所以 S 四边形 ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝
12AB·BC＋12AC·CD＝12×3×4＋12×5×12＝36.
八年级上册数学（北师版）
第一章 勾股定理
1．1 探索勾股定理
第1课时 探索勾股定理
知识点1：勾股定理 1．下列说法正确的是( D ) A．若 a，b，c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 B．若 a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 C．若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A＝90° ，∠A所对的边是a， 则a2＋b2＝c2 D．若 a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C＝90° ，∠C所对的边是c， 则a2＋b2＝c2 2．△ABC的三条边长分别是a，b，c，则下列各式成立的是( B ) A．a＋b＝c B．a＋b>c C．a＋b<c D．a2＋b2＝c2
3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是(C ) A．斜边长为25 B．三角形周长为25 C．斜边长为5 D．三角形面积为20 4．在学校的长方形球场上，一学生要从B点走到D点，则他至少要走( B ) A．90 m B．100 m C．120 m D．140 m
5．等腰三角形的底边为6，底边上的中线为4，则它的腰长为( C) A．7 B．6 C．5 D．4
八年级数学上册第一章勾股定理1探索勾股定理训练pdf含解析新版北师大版
1 探索勾股定理基础闯关全练拓展训练1.如图,已知三个正方形中的两个正方形的面积分别为S1=25,S3=169,则另一个正方形的面积S2为 .2.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm)计算知两圆孔中心A和B的距离为 .3.(2016江西宜春高安期中)已知Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=14,c=10,则Rt△ABC的面积等于 .能力提升全练拓展训练1.(2017湖北孝感云梦期中)有一个面积为1的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形(如图1),其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,生出了4个正方形(如图2),如果按此规律继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”.在“生长”了2 017次后形成的图形中所有正方形的面积和是( )A.2 015B.2 016C.2 017D.2 0182.(2015贵州遵义中考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)),图(2)由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3.若正方形EFGH 的边长为2,则S 1+S 2+S 3= .3.已知:如图,以Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若AB=3,则图中阴影部分的面积为 .三年模拟全练拓展训练1.(2016福建泉州永春第一次月考,9,★☆☆)直角三角形的两直角边长分别为5厘米、12厘米,则斜边上的高是( )A.6厘米B.8厘米C. 厘米D. 厘米 801360132.(2016安徽芜湖南陵期中,4,★☆☆)已知x 、y 为正数,且|x 2-4|+(y 2-3)2=0,如果以x 、y 为直角边长作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边长为边长的正方形的面积为( )A.5B.25C.7D.153.(2016广西防城港期中,13,★★☆)如图,长方体的长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 、12 cm,则BD'= .五年中考全练拓展训练 1.(2013贵州安顺中考改编,6,★★☆)如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,则小鸟飞行( )A.8米B.10米C.12米D.14米2.(2016湖南益阳中考,20,★★☆)在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程. 作AD⊥BC于D,设BD=x,用含x的代数式表示CD→根据勾股定理,利用AD作为“桥梁”,建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长,再计算三角形的面积核心素养全练拓展训练 在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.若∠ACB=90°,如图①,则根据勾股定理,得a2+b2=c2.若△ABC 不是直角三角形,如图②和图③所示,请你类比勾股定理,试猜想a2+b2与c2的关系,并证明你的结论.1探索勾股定理基础闯关全练拓展训练1.答案144解析由S1+S2=S3得S2=S3-S1=169-25=144.2.答案100 mm解析在Rt△ABC中,∵AC=120-60=60(mm),BC=140-60=80(mm),∴AB2=AC2+BC2=10 000,∴AB=100 mm,∴两圆孔中心A和B的距离为100 mm.3.答案24解析在△ABC中,∠C=90°,∴a2+b2=c2,即(a+b)2-2ab=c2,∵a+b=14,c=10,∴196-2ab=100,即ab=48,ab=24.则Rt△ABC的面积为12能力提升全练拓展训练1.答案D设正方形A,B,C围成的直角三角形的三条边长分别是a,b,c.如图,根据勾股定理,得a2+b2=c2,一次“生长”后,S A+S B=S C=1.第二次“生长”后,S D+S E+S F+S G=S A+S B=S C=1,推而广之,“生长”了2 017次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2 018×1=2 018.故选D.2.答案12解析设AH=a,AE=b,EH=c,则c=2且a2+b2=c2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a-b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=3×22=12.3.答案92解析因为△ACH为直角三角形,所以AH 2+HC 2=AC 2.又因为AH=HC,所以AH 2=12AC 2,所以S △ACH =12AH·HC=12AH 2=14AC 2.同理,S △BCF =14BC 2,S △ABE =14AB 2.在Rt△ABC 中,AC 2+BC 2=AB 2,AB=3,故阴影部分的面积为S △ACH +S △BCF +S △ABE=14AC 2+14BC 2+14AB 2=14(AC 2+BC 2+AB 2)=14×2AB 2=12×9=92.三年模拟全练拓展训练1.答案D ∵直角三角形的两直角边长分别为5厘米、12厘米,又52+122=132,∴斜边长为13厘米,∴斜边上的高=5×1213=6013(厘米).故选D.2.答案C 依题意得x 2-4=0,y 2-3=0,∴x 2=4,y 2=3,∴正方形的面积=x 2+y 2=4+3=7.故选C.3.答案13 cm 解析连接BD,则BD 2=32+42=25,∴BD=5 cm,故BD'2=52+122=169,∴BD'=13 cm.五年中考全练拓展训练1.答案B 如图,设大树高AB=10米,小树高CD=4米,过C 点作CE⊥AB 于E,则四边形EBDC 是长方形,连接AC,∴EB=CD=4米,EC=BD=8米,AE=AB-EB=10-4=6(米).∵在Rt△AEC 中,AC 2=AE 2+EC 2=100,∴AC=10米.故选B.2.解析设BD=x,则CD=14-x.由勾股定理得AD 2=AB 2-BD 2=152-x 2,AD 2=AC 2-CD 2=132-(14-x)2,∴152-x 2=132-(14-x)2,解得x=9.∴AD=12.∴S △ABC =12BC·AD=12×14×12=84.核心素养全练拓展训练解析若△ABC 是锐角三角形,则有a 2+b 2>c 2;若△ABC 是钝角三角形,∠C 为钝角,则有a 2+b 2<c 2.证明:当△ABC 是锐角三角形时,过点A 作AD⊥CB,垂足为D.设CD=x,则有DB=a-x.根据勾股定理,得b 2-x 2=c 2-(a-x)2,即b 2-x 2=c 2-a 2+2ax-x 2,所以a 2+b 2=c 2+2ax.因为a>0,x>0,所以2ax>0.所以a 2+b 2>c 2.当△ABC 是钝角三角形,且∠C 为钝角时,过点B 作BD⊥AC,交AC 的延长线于点D.设CD=x,则BD 2=a 2-x 2,根据勾股定理,得(b+x)2+a 2-x 2=c 2,即b 2+2bx+x 2+a 2-x 2=c 2,所以a 2+b 2+2bx=c 2.因为b>0,x>0,所以2bx>0,所以a 2+b 2<c 2.。
初二数学第一学期第1章第1节探索勾股定理练习题和答案_
【知识点考查题】一、容易题1．（蚌埠市2018九年级中考一模）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【考点】勾股定理【考查能力】运算求解能力2．（重庆市2017学年八年级期中）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为（）A. 9B. 3C. 94D. 92【答案】D【考点】勾股定理【考查能力】运算求解能力二、中等题3．（蚌埠市2018九年级中考一模）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6。
其中，S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝( )A. 86B. 64C. 54D. 48【答案】C【考点】勾股定理【考查能力】运算求解能力4．（重庆市2017学年八年级期中）三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A. a:b:c =13∶5∶12B. a2-b2=c2C. a2=(b+c)(b-c)D. a:b:c=8∶16∶17【答案】D【考点】勾股定理【考查能力】运算求解能力【技能技巧考查题】一、中等题5．（重庆市2017学年八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、BC 的中点，F在CA延长线上，∠FDA=∠B，AC=6，AB=8，则四边形AEDF的周长为（）A. 14B. 15C. 16D. 18【答案】C【考点】勾股定理【考查能力】运算求解能力6．（深圳市2018九年级下学期八校联考）如图，在R t△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为________【答案】24 5【考点】勾股定理【考查能力】运算求解能力二、较难题7．（上海市2018中考数学一模）北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，下列说法：①a2+b2=13；②b2=1；③a2﹣b2=12；④ab=6．其中正确结论序号是________【答案】①④【考点】勾股定理【考查能力】运算求解能力8．（上海市2018中考数学一模）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，如果AC=6，AB=8，那么AD的长度为_____．【答案】4.8【考点】勾股定理【考查能力】运算求解能力9．（深圳市2018九年级下学期八校联考）如图，已知在Rt△ABC中，AB＝4，分别以AC、BC 为直径作半圆，面积分别记为s1，s2，则s1+s2的值等于______；【答案】2π【考点】勾股定理【考查能力】运算求解能力10．（重庆市2017学年八年级期中）△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.(1)若a∶b＝3∶4，c＝25，求a，b；(2)若c－a＝4，b＝12，求a，c.【答案】（1）a=15 b=20(2) a＝16 c＝20.【考点】勾股定理【考查能力】运算求解能力【知识点考查题】一、容易题1．（2017苏州吴中区八年级上期中）给出下列命题：①在直角三角形ABC中，已知两边长为3和4，则第三边长为5；②三角形的三边a、b、c满足a2+c2=b2，则∠C=90°；③△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形；④△ABC中，若 a：b：c=1：2：3，则这个三角形是直角三角形．其中，假命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2017山西农业大学附中初二上学业水平测试）若等腰三角形腰长为10cm，底边长为16 cm,那么它的面积为( )A、48 cm2B、36 cm2C、24 cm2D、12 cm23．（2016海口市白驹学校中考一模）如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）A．14 B．16 C．20 D．284．（2017石家庄井陉矿区实验中学初三上）已知直角三角形的两直角边长为6和8，那么斜边上的高为（）A． 6 B． 8 C． 4.8 D． 2.4二、中等题5．（2016呼伦贝尔市、兴安盟中考）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC 折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为（）A． B． C．4 D．56．（2016遵义桐梓县复兴中学八年级下期中）如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，则线段AE的长为（）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．37．（2016潍坊市寿光世纪学校八年级3月月考）如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．168．（2016潍坊市寿光世纪学校八年级3月月考）已知x 、y 为正数，且|x 2-4|+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A ．5B ．25C ．7D ．159．（2016安徽省舒城晓天中学八年级下期中）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5cm ，BC=12cm ，则其斜边上的高CD 的长为（ ）A. B.C. D.【技能技巧考查题】 DB Acm 6cm 8.5cm 1360cm 1330一、中等题10．（2016无锡市滨湖区八年级上学期期末）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm 至D点，则橡皮筋被拉长了（）A．4cm B．3cm C．2cm D．5cm11．（2016商丘市柘城梁庄中学八年级下第一次月考）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，则S=（）A．25 B．31 C．32 D．4012．（2016东营市广饶乐安中学八年级下）下列几组数中，为勾股数的是（）A．，，1 B．3，4，6 C．5，12，13 D．0.9，1.2，1.513．（2016扬州市梅岭中学八年级上学期期末）如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为10，2号、3号两个正方形的面积和为7，则a，b，c三个方形的面积和为（）A．17 B．27 C．24 D．3414．（2016昆明三中八年级上学期期末）下列命题：①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④中,三边长分别用a、b、c表示，15．（2017自贡富顺第三中学校八年级上期中）在Rt ABC已知a=3、b=5，则c2=_____________.16．（2017九江彭泽县芙蓉农场中学初二上期中）在Rt△ABC中，斜边AB=3，则222++= ．AB BC CA17．（2017辽宁大石桥市水源镇八下期末）有一块边长为40米的正方形绿地ABCD，如图所示，在绿地旁边E处有健身器材，BE=9米。