拔高专题(一) 平行线中的规律探究

拔高专题（一） 平行线中的规律探究

教学目标

1. 掌握平行线中从一般到特殊的较复杂图形问题中的规律.

2. 掌握平行线中的动点问题.

教学过程

一、基本模型构建

常见模型

P

D

C

B A P

D

C B A

图① 图② 图③ 图④

P

D

C

B A

P 2

P 1D

C

B A

思考 上面四个图中，∠P ，∠A,∠B 的等量关系为： ①∠P=∠A+∠C ； ②∠P=∠C-∠A ；

∠P=∠A-∠C ；④∠A+∠P+∠C=360°. AP 、CP 分别为角平分线，∠P 的度数是_90°.

3.∠BAP 1：∠BAP 2= ∠DCP 1：∠DCP 2= m ：n ，求∠P 1:∠P 2. = m ：n.

二、拔高探究

探究点一：探究平行线中常见模型中的角度关系 例1：1已知如图，AB ∥CD ，试解决下列问题： （1）∠1+∠2= ______； （2）∠1+∠2+∠3= _____； （3）∠1+∠2+∠3+∠4= ______；

（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n= ______．

解析：（1）∵AB ∥CD ，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）；

（2）过点E 作一条直线EF 平行于AB ，∵AB ∥CD ，∵AB ∥EF ，CD ∥EF ，∴ ∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；

（3）过点E 、F 作EG 、FH 平行于AB ，∵AB ∥CD ，∵AB ∥EG ∥FH ∥CD ， ∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°；∴∠1+∠2+ ∠3+∠4=540°；

（4）中，根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n 个角的和是180°（n-1）．

答案：（1）180°；（2）360°；（3）540°；180°（n-1）．

【变式训练】1.（2015•汉阳区期中）已知：如图，AB ∥CD ，E ，F 分别是AB ，CD 之间的两点，且∠BAF=2∠EAF ，∠CDF=2∠EDF ．

（1）判定∠BAE ，∠CDE 与∠AED 之间的数量关系，并证明你的结论； （2）直接写出∠AFD 与∠AED 之间的数量关系.

解：（1）过点E 作EG ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EG ∥CD ，∴∠AEG=∠BAE ，∠DEG=∠CDE ，∵∠AED=∠AEG+∠DEG ，∴∠AED=∠BAE+∠CDE ；

（2）同（1）可得∠AFD=∠BAF+∠CDF ，∵∠BAF=2∠EAF ，∠CDF=2∠EDF ， ∴∠BAE+∠CDE=

23∠BAF+23∠CDF ，∴∠AED=2

3

∠AFD. 【教师总结】无论平行线中的何种问题，都可转化到基本模型中去解决，把复杂的问题分解到简单模型中，问题便迎刃而解.

探究点二 探究动态中平行线中的角度关系

类型一 点分别在两条平行线之间、一侧判断角度之间的关系

例2：如图，已知直线l 1∥l 2，直线l 3和直线l 1、l 2交于点C 和D ，在C 、D 之间有一点P ，如果P 点在C 、D 之间运动时，问∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系是否发生变化．若点P 在C 、D 两点的外侧运动时（P 点与点C 、D 不重合），试探索∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系又是如何？

解：如图①，当P 点在C 、D 之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD ．

理由如下：过点P 作PE ∥l 1，∵l 1∥l 2，∴PE ∥l 2∥l 1，

∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD ；

如图②，当点P 在C 、D 两点的外侧运动，且在l 1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB ．理由如下：∵l 1∥l 2，∴∠PEC=∠PBD ，∵∠PEC=∠PAC+∠APB ，∴∠PBD=∠PAC+∠APB ．

如图③，当点P 在C 、D 两点的外侧运动，且在l 2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB ．理由如下：∵l 1∥l 2，∴∠PED=∠PAC ，∵∠PED=∠PBD+∠APB ，∴∠PAC=∠PBD+∠APB ．

【教师总结】画出图形，点在两条直线之间、两侧，归根到基本模型一. 类型二 点在平行线上移动

例3：如图，直线CB ∥OA ，∠C=∠OAB=100°，E 、F 在CB 上，且满足∠FOB=∠AOB ，OE 平分∠COF.

（1）求∠EOB 的度数；

（2）若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．

（3）在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由. 解：（1）∵CB ∥OA ，∴∠AOC=180°-∠C=180°-100°=80°，∵OE 平分∠COF ，∴∠COE=∠EOF ，∵∠FOB=∠AOB ，∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=1/2∠AOC=1/2×80°=40°；

（2）∵CB ∥OA ，∴∠AOB=∠OBC ，∵∠FOB=∠AOB ，∴∠FOB=∠OBC ，∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC ，∴∠OBC ：∠OFC=1：2，是定值；

（3）存在.由（1）可知∠AOC=180°，∴∠AOC+∠OAB=180°，∴OC ∥AB ．∴∠OBA=∠COB.又BC ∥OA ，∴∠OEC=∠EOA.∴要使∠OEC=∠OBA ，只需

∠EOA=∠COB,∴∠COE=∠AOB=1/2(∠AOC-∠EOB)=20°.∴∠OBA=∠COB=∠COE+∠EOB=60°.

【教师点拨】遇到动点问题，先从简单开始，平行线中牢记基本图形，问题就会迎刃而解，不管点如何变动，要以不变应万变的方法解决.

【变式训练】2.（2015•宜春期末）如图1，CE 平分∠ACD ，AE 平分∠BAC ，∠EAC+∠ACE=90°. （1）请判断AB 与CD 的位置关系并说明理由；

（2）如图2，当∠E=90°且AB 与CD 的位置关系保持不变，移动直角顶点E ，使∠MCE= ∠ECD ，当直角顶点E 点移动时，问∠BAE 与∠MCD 否存在确定的数量关系？并说明理由. 解：（1）∵CE 平分∠ACD ，AE 平分∠BAC ，∴∠BAC=2∠EAC ，∠ACD=2∠ACE ，∵∠EAC+∠ACE=90°，

∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB ∥CD ；

（2）∠BAE+1/2∠MCD=90°；过E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ， ∴EF ∥AB ∥CD ，∴∠BAE=∠AEF ，∠FEC=∠DCE ，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD ，∴∠BAE+1/2∠MCD=90°. 【教师点拨】对于各模型中的逆命题依然成立，作辅助线的方法相同.

图2

图1

M E

E

A

B

C

D

D

C B A