狭义相对论2(动力学)
狭义相对论中力学的基本方程
狭义相对论中力学的基本方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：狭义相对论是物理学中的一个分支，描述了高速运动的物体和引力场中的物体之间的相互作用。
在狭义相对论中，力学是一个重要的研究领域，它涉及物体的运动和受力情况。
在狭义相对论中，力学的基本方程是描述物体受力和运动的数学公式。
本文将介绍狭义相对论中力学的基本方程。
我们需要了解狭义相对论的基本原理。
狭义相对论是由爱因斯坦在1905年提出的，它与经典力学和牛顿力学有着本质上的不同。
在狭义相对论中，时间和空间是相互联系的，物体的运动速度越快，时间的流逝速度就越慢。
质量也受速度影响，质量随着速度的增加而增加。
这些原理对力学方程的推导和理解具有重要意义。
在狭义相对论中，最基本的力学公式是质点的动力学方程，即狭义相对论的牛顿第二定律。
这个方程描述了物体的加速度与受力之间的关系。
在经典力学中，牛顿第二定律可以写成F=ma，其中F是物体所受的合力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
在狭义相对论中，这个公式需要进行修正，考虑到了速度的影响。
质点的动力学方程可以写成：F = dp/dt其中F是物体所受的合力，p是物体的动量，t是时间。
这个方程描述了力对物体动量的影响。
在狭义相对论中，动量与速度有关，动量可以表示为p=mv，其中m是物体的质量，v是物体的速度。
动力学方程可以进一步展开为：F = d(mv)/dt = m(dv/dt) + v(dm/dt)这个方程描述了力对速度的影响，考虑了速度的变化对质量的影响。
当物体的速度接近光速时，质量变化会导致动量的变化，从而影响物体的受力情况。
除了动力学方程，狭义相对论中还有能量方程和动量守恒定律。
能量方程描述了物体的能量与受力之间的关系，可以写成：E = mc^2其中E是物体的能量，m是物体的质量，c是光速。
这个方程描述了质量和能量之间的等价关系，也是相对论力学中的基本方程之一。
动量守恒定律描述了物体在瞬时碰撞过程中动量守恒的原理。
狭义相对论的
1 1 1 2 2 2 − 1 − 1 = 2 m 0 c Ek = m A0c − 1 + m B 0 c u2 u2 u2 1− 2 1− 2 1− 2 c c c
M= m A0 u 1− 2 c
2
−
mB 0 u 1− 2 c
2
=
2m0 u2 1− 2 c
这个过程中质量的增量为： 2m0 1 M − 2m0 = − 2m0 = 2m0 ( − 1) 2 2 u u 1− 2 1− 2 c c 显然这个过程质量不守恒，但质能守恒成立。增加的 能量来源于两质点的初动能。即：
c2 dm -u2dm- umdu=0
Ek = ∫(u2dm+mudu)
Ek = ∫ F dx = ∫ c 2 dm = c 2 (m − m0 ) = ∆mc 2
m0 m
以后把m称为质量 称为质量， 称为静止质量。 以后把 称为质量，m0称为静止质量。 1 2 Ek = m c −1 0 u2 1− 2 c
11
4）低速时
1 u2 3u 4 1 2 2 − 1 = m 0 c (1 + + 4 + ⋯ ⋯ − 1) = m 0 u 2 Ek = m0c 2 c 2 8c 2 u2 1− 2 c
相对论动能表示式过渡到经典力学的动能表示式。 2、动量与能量的关系 由质量与速度的关系式：
m= m0 u2 1− 2 c
上式两边取平方并改写为: m2（c2-u2)=m02c2 由 E=mc2、 P=mu 将上式两边乘上 c2 后得： m2c4-m2u2c2=m02c4
12
狭义相对论探讨(二)
狭义相对论探讨（二）作者：刘海军来源：《科技风》2020年第33期摘要：首次更加深入地对光速不变原理进行了全面的探讨，指出其根本问题是光速不和任何宏观物体的速度发生惯性牵连，更不会和刚性物体的速度发生惯性牵连。
首次对洛伦兹变换的推导过程进行了深入细致的探讨，指出多处疑惑不解的地方。
关键词：光速不变原理;洛伦兹变换;闵可夫斯基四维时空坐标一、绪论从静系S原点O出发，沿X轴向右，以v匀速运动的火车这个刚性物体，为动系S′原点O′的体系，是爱因斯坦创建狭义相对论最重要的工具。
人们通常把它称为“爱因斯坦火车”，在相对论中到处都有它的身影，特别是在光钟、同时性、洛伦兹变换的证明及其应用中出现的最多。
我们在学习相对论的过程中发现，各种版本的书籍对同一个问题的论述，经常出现前后矛盾、相互抵触的地方，现列举如下，与有兴趣的读者共同商榷。
二、惯性系关于惯性系的界定有种种说法，有的说是牛顿定律适用的参考系，有的说是相互作匀速直线运动的参考系。
这些说法都不太严谨。
东北大学王燕生教授是这样界定的，“一个远离其他一切物体，而且没有自转的物体是惯性参考系，一切相对于该物体作匀速直线运动的参考系也是惯性参考系。
牛顿定律就是在这样的参考系中成立的。
”远离其他一切物体，就是不受其他外力作用，没有加速度。
没有自转，就是没有法向加速度。
比较实用的惯性系是：地面参考系、地心参考系、日心参考系，不过，它们只是相对而言更接近于惯性参考系而已，仍然有自转或公转加速度。
最严格的惯性系是以选定的1535颗恒星的平均静止的位形作为基准的FK4参考系，但也不能说它就是一个绝对惯性系，只是相对于地面参考系、地心参考系和日心参考系要更好一些而已。
这就是说，地面参考系并不是严格的惯性参考系，只是一种近似。
可是，相对论不管是对同时性的界定、时间的界定，还是对光速不变的界定，都把地面参考系认为是绝对惯性系。
如果地面参考系不能作为绝对惯性系的话，爱因斯坦对“静系时间”和“同时性”的定义与论述就不能成立，他的“静系的钟”“同步的钟”“利用发生在火车车厢中点的同一个人身上的两件事的同时性这一已知概念来给发生在不同地点（车厢两端）的两件事的同时性下定义”就没有任何意义。
狭义相对论公式及证明
狭义相对论公式及证明单位符号单位符号坐标： m (x, y, z) 力： N F(f)时间： s t(T) 质量:kg m(M)位移： m r 动量:kg*m/s p(P)速度： m/s v(u) 能量: J E加速度： m/s^2 a 冲量：N*s I长度： m l(L) 动能：J E k路程： m s(S) 势能：J E p角速度： rad/s ω力矩：N*m M角加速度:rad/s^2α功率：W P一：牛顿力学（预备知识）(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt, r=r0+∫rdt(2)a=dv/dt, v=v0+∫adt(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)当v不变时，(1)表示匀速直线运动。
当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。
只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。
(二)：质点动力学：(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。
(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。
F=ma=mdv/dt=dp/dt(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。
(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。
F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m3/(kg*s2)动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。
动能定理：W=∫Fds=E k2-E k1(合外力的功等于动能的变化)机械能守恒：只有重力做功时，E k1+E p1=E k2+E p2(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。
同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。
)二：狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u2/c2),β=u/c, u为惯性系速度。
狭义相对论
2 m v cp 0 m c2 ...... 2 第二项是动能。
当速度v 0时，只剩第一项，所以 第一项称为静能。 cp 0 m c2 1 v c2
2
是物体的能量。
网易公开课视频地址： /movie/2010/7/D/U/M6G QSTUPV_M6GR13LDU.html
伽利略变换
事件发生坐标
（0,0） 惯性系S （x,t）
（x',t）
（0,0）
惯性系S' u
t' = t x' = x - u*t
不同惯性系中的牛顿第二定律
牛顿第二定律：F=m*a x' = x - u*t 两边同时对t求导 =>dx'/dt = dx/dt - (u*t)/dt =>v' = v - u 得出了两个惯性系中速度的惯关系。 继续两边同时对t求导 =>dv'/dt = dv/dt -du/dt =>a' = a 两边同时乘以m =>m*a' = m*a = F
t ∆t ∆x x
从随质点运动的坐标系来看： ∆x„=0；∆t' 令∆τ=∆t' ∆S^2=(c*∆τ)^2 ∆S=c*∆τ
得到∆τ和∆t的关系，为了少打几个公式，直接取极限
d v2 1 2 dt c dt 1 d v2 1 2 c
X=（x0,x1） 对时间求导，不能对t求导，因为x0=ct，对τ求导。
光速不变
以太
人们套用机械波的概念, 想像必然有一种能够传播光波的弹性物质, 它的名字叫“以太”
。
迈克尔逊——莫雷实验
目的：测量地球在以太中的速度。 结果：地球不存在相对以太的运动。
狭义相对论牛顿
狭义相对论牛顿
狭义相对论是阿尔伯特爱因斯坦在1905年发表的题为《论动体的电动力学》一文中提出的区别于牛顿时空观的新的平直时空理论。
“狭义”表示它只适用于惯性参考系。
这个理论的出发点是两条基本假设：狭义相对性原理和光速不变原理。
理论的核心方程式是洛伦兹变换（群）（见惯性系坐标变换）。
狭义相对论预言了牛顿经典物理学所没有的一些新效应（相对论效应），如时间膨胀、长度收缩、横向多普勒效应、质速关系、质能关系等。
狭义相对论已经成为现代物理理论的基础之一：一切微观物理理论（如基本粒子理论）和宏观引力理论（如广义相对论）都满足狭义相对论的要求。
这些相对论性的动力学理论已经被许多高精度实验所证实。
狭义相对论不仅包括如时间膨胀等一系列推论，而且还包括麦克斯韦－赫兹方程变换等。
狭义相对论需要使用引入张量的数学工具。
狭义相对论是对牛顿时空理论的拓展，要理解狭义相对论就必须理解四维时空，其数学形式为闵可夫斯基几何空间。
现在对于物理理论新的分类标准，是以其理论是否是决定论来划分经典与非经典的物理学，非量子理论都可以叫经典或古典理论。
在此意义上，狭义相对论仍然是一种经典的理论。
狭义相对论两个基本原理
狭义相对论两个基本原理第一个基本原理是相对性原理。
相对性原理包含两部分：相对性原理的运动学形式和相对性原理的动力学形式。
相对性原理的运动学形式指出，物理定律在所有等速运动的参考系中都成立，而不论这些参考系之间的相对运动如何。
也就是说，在相对于以一些速度作匀速直线运动的参考系而言，物理现象的规律也同样适用于以其他任意速度作匀速直线运动的参考系中。
这个原理的实质是：物体的运动状态有多种可能，而它们都以相对其他物体的速度来描述。
相对性原理的动力学形式表明，在不受力的惯性系中，物体的运动状态是匀速直线运动或静止。
这意味着，不受力的物体会保持它们的运动状态不变。
从更广义的角度来看，这个原理还暗示了所有非重力的力都必须等效于参考系的运动。
第二个基本原理是光速不变原理。
光速不变原理指出，光在真空中的传播速度对于所有的惯性观察者来说都是相同的，无论观察者的速度如何。
换句话说，不论观察者是静止的还是以任何速度相对于光源运动，他们都会测得光速相同。
这与我们通常对速度相加的直觉不同，但实验证据已经证明了这一点。
这两个基本原理构成了狭义相对论的基础，对于我们理解时空的结构有重要的意义。
首先，相对性原理的运动学形式告诉我们，物体的运动状态是相对性的，即与观察者的运动状态有关。
这进一步推动了我们对时空结构的重新认识，引出了后来对时空几何的研究。
其次，相对性原理的动力学形式告诉我们，仅仅通过观察物体的运动状态，我们无法区分出它们所处的参考系。
这导致了狭义相对论中的质能关系，即质量和能量之间的等效性。
质能关系的著名公式E=mc²描述了质量和能量之间的转换关系，它在核物理和粒子物理研究中具有重要的应用。
综上所述，狭义相对论建立在两个基本原理之上：相对性原理和光速不变原理。
这两个原理引导了我们对物体运动方式和时空结构的新认识，对当代物理学的发展产生了深远的影响。
实 第6章狭义相对论2 -
相应释放的能量为：
E＝m0c 0.0311 10 9 10 2.79910 J
2 16
27
12
1kg这种核燃料所释放的能量为：
E 2.79910 14 3.3510 J/kg 27 m1 m2 8.348610
这相当于同质量的优质煤燃烧所释放热量的1千多万倍！ 27
dy
dt
u 1 2 v x dt c dt u2 1 2 c
由上两式得
vy u2 v y 1 2 u c 1 2 v x c vz u v 1 2 z u c 1 2 v x c
2
同样得
3
洛仑兹速度变换式 正变换
vx u v x u 1 2 v x c 2 vy u v y 1 2 u c 1 2 v x c vz u2 v 1 2 z u c 1 2 v x c
2m0 1
2
c
2
> 2m0
损失的动能转换成静能－－结合能
30
五、相对论的动量能量关系式
m
m0 1
2
c
2
两边平方得
E P c m c
2 2 2
2 4 0
m0c
2
E
相对论能量三角形
第6章结束
31
Pc
物质所包括的静能为：
分子的动能和势能 原子和原子之间的化学能
原子核与电子之间的电磁能
原子核内部质子与中子的结合能 基本粒子之间的结合能
的速度变换；
3）光在任何惯性系中的速率均为c： 设S’系中一束光沿x’轴正方向传播，其速率为 c，则在S系中，按洛伦兹速度变换:
v u cu x vx c u u 1 2 v 1 2 c x c c 即在S系中测得的光速仍为c,满足光速不变原理 5
狭义相对论的动力学
⑥ v > c时, m为虚数而无实际意义. 这阐明：真空中 旳光速c是一切物体运动速率旳极限.
2 动量与速度旳关系
p mv m0 v 1 v2 / c2
相对论中，质点所受旳力定义为：F
dp dt
d dt
mv
经典力学中，质点受力旳定义：
F
dp dt
m
d dt
v
显然，两者不再等效，因而用加速度表达旳牛顿 第二定律在相对论力学中不再成立.
A
B
2. 设有宇宙飞船A和B，固有长度均为l0 = 100m，沿 同一方向匀速飞行，在飞船B上观察到飞船A旳船头、
船尾经过飞船B船头旳时间间隔为0.6×10-7s，则飞船
B相对于飞船A旳速度是
。
解： 在B 船中观察A船旳长度
l l0 1 v c2
在B 船船头观察A船船头船尾飞过旳时间间隔
0
l v
• 爱因斯坦建立旳质能关系式被以为是一种具有划时
代意义旳理论公式，原子能旳利用使人类进入原子
时代。
E m0c2
这个关系式中 c2 旳数值很大，以至微小旳质量变化， 就相应着巨大旳能量变化。
在原子核裂变反应中，1g 235U裂变释放旳结合 能约 8.2 1010 J 。
在原子核聚变反应中，1g 氘和氚聚变释放旳结 合能大约是上述裂变反应释放能量旳3.5倍。
A
A 0.4kg B 0.8kg C 12×10-7kg D 1/12 ×10-7kg
m0c2 36 1015 J
m0
36 1015 9 1016
0.4kg
3. 一种立方体旳静质量为 m０，体积为 V0，当它相 对某惯性系S沿一边长方向以 v匀速运动时，静止在 S 中旳观察者测得其密度为多少？
狭义相对论动力学
例： 设一质子以速度 v 0.80c 运动。 求其总
能量、动能和动量。
解 质子的静能 E0 m0c2 938MeV
E mc2
m0c2 1 v2
c2
938 (1 0.82 )1 2
MeV
1563MeV
Ek E m0c2 625MeV p mv m0v 6.68 1019 kg m s1
微子等。
4
5）实验证明质速关系是正确的。
比如，测量电子质量的试验。
10 让电子在加速器中加速， 8
测电子的荷质比e/m发现该 6
值随速度增大而减小。
4
21
6P） 相m对v论 的动m量0v：
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1 (v / c)2
此时，动量守恒定律在洛仑兹变换 下形式保持不变。
vx
vx 1
u
vxu c2
m1
v10 1
x u v10 xu
c2
m2
v20 1
x u v20 xu
c2
m1
v1x 1
u
v1x u c2
m2
v2x u
1
v2 x u c2
m1v10 x m2v20 x m1v1x m2v2 x S'系中动量不再守恒?！ 1
动量守恒定律和能量守恒定律应该是自然界的 普遍规律。
13
五、能量和动量的关系
E mc2 m0c2 1 v2 c2
p mv m0v 1 v2 c2
(mc2 )2 (m0c2 )2 m2v2c2
E 2 E02 p2c2
E pc
E0 m0c2
极端相对论近似 E E0 , E pc
光子 m0 0, v c p E c mc
相对论动力学
一、 相对论质量：
m m0 1v 2 c2
m0：静止质量
这个重要的结论就是相对论质速关系，它反映了 物质与运动的不可分割性。改变了经典物理中人们认 为质量是不变量的观点。
二、 相对论动量:
p mv
m0
v
1v 2 c2
三、 相对论动力学基本方程
F
dp dt
d(mv) dt
d
dt
又 E mc2
光子质量
m E h
c2 c2
例 在S参照系中有两个粒子, A静止质量2m0， B静 止质量为m0。A、B均以速度v＝0.6c相向运动， 相撞后合在一起成为一个复合粒子。求复合粒子的
质量和速率。
解：能量守恒得
2m0c2 1 0.62
10m＝0c 2.M6 2 c2
得 M 3.75m0
相对论动能:
Ek mc2 m0c2 m0c2 (
1 1)
1 2
结论：
（1）与经典动能形式
Ek
1 mv2 完全不同.
2
2 质点静止时的动能为零。
3 当v c时，趋于经典结果。
1/
1 2
1
(1 2 ) 2
1
1 2
2
Ek
m0c2
1 2
v2 c2
1 2
m0v2
1 1 2
2
将动能改写为：mc2 EK m0c2
E E0
E2 m2c4 p2c2 E 20
pc
相对论动量和能量关系式
动量
p 1 c
E2
E02
1 c
(mc2 )2 (m0c2 )2
c m2 m02 m0c 2 1
光子 v c m0 0 E0 0
相对论动力学_狭义相对论习题课
单元20 相对论动力学一. 选择、填空题1. 观测者甲以c 54的速度(c 为真空中光速)相对于静止的观察者乙运动，若甲携带一长度为L 、截面积为S ，质量为m 的棒，这根棒安放在运动方向上，则1) 甲测得此棒的密度为LSm =0ρ； 2）乙测得此棒的密度为LSm 925=ρ。
2. 匀质细棒静止时质量为m 0，长度l 0，当它沿棒长方向作高速匀速直线运动时，测得长为l ，那么棒的运动速度2)(1l l c v -=；该棒具有的动能200)1(c m l l E k -=。
3. 设电子静止质量为M e ，若将一个电子从静止加速到速率0.6c ( c 为真空中光速)，需做功241c M A e =。
4. 一静止质量为m 0，带电量为q 的粒子，其初速为零，在均匀电场E 中加速，在时刻t 时它所获得的速度是2202)(cm qEt qEct +。
如果不考虑相对论效应，它的速度是qEt m 。
经过时间t 加速后粒子的速度v 、质量220/1c v m m -=根据相对论动量定理：mv qEt =，220/1cv v m qEt -=求得速度大小：2202)(cm qEt qEct v +=如果不考虑相对论效应，v m qEt 0=，0m qEt v =二. 计算题1. 已知电子的静能为0.511 Mev ，若电子动能为0.25 Mev ，则它所增加的质量∆m 与静止质量m 0的比值近似等于多少电子的相对论能量：0E E E k +=，k E E E E =-=∆0k 2E mcE ==∆∆，2k cE m =∆，200E E cm E m m k k ==∆∆m 与静止质量m 0的比值:49.00=∆m m2. 某一宇宙射线中的介子的动能207c M E k =，其中M 0是介子的静止质量，试求在实验室中观察到它的寿命是它的固有寿命的多少倍。
因为k E mcE ==2∆∆，20207)(c m cm m =-，08m m =，代入m m =得到：22/11m m cv =-，8/1122=-cv ，代入22/1cv -=ττ, 得到：08ττ=3. 设快速运动的介子的能量约为MeV E 3000=，而这种介子在静止时的能量为MeV E 1000=，若这种介子的固有寿命是s 60102-⨯=τ，求它运动的距离(真空中光速s m c /109979.28⨯=)。
相对论(2)
0‘ 由动量守恒和质量守恒
mv = (m0 + m)ux
− mv = (m0 + m)u
' x
mv 即 ux = m + m0 mv ' 即 u =− = −ux x m + m0
全同粒子A和 发生完全非弹性正碰 全同粒子 和B发生完全非弹性正碰 S: S’:
mv = (m0 + m)ux
− mv = (m0 + m)u
E
可能存在“无质量” 可能存在“无质量”粒子
(m0 = 0)
所以也没有静能
m0c2
只具有动量、能量， 只具有动量、能量， 无 m0 ,
pc
E = cp v v p 由v= 和 E = mc2 m 只以光速运动 ∴v = c
则：
v r c2 p v= E
1. 静能量为 静能量为0.511Mev的电子具有 倍于它的静能的总能 的电子具有5倍于它的静能的总能 的电子具有 量，试求它的动量和速率 。 解：按题意，有： E=5m 按题意，
−13
− 8.199 ×10
−14
3）当P=0.60MeV/C时，其能量为 ，则有 ） 时 其能量为E，
2 E 2 = P 2c 2 + E0 (0.60MeV)2 2 = ´ c + (0.512MeV)2 2 c = 0.622(MeV)2
E=0.789MeV
7、 飞船 中宇航员观察到飞船 正以 、 飞船A中宇航员观察到飞船 正以0.4c的速度尾 中宇航员观察到飞船B正以 的速度尾 随而来。已知地面测得飞船A的速度为 的速度为0.5c。 随而来。已知地面测得飞船 的速度为 。 地面测得飞船B的速度 的速度； 飞船B中测得飞船 求：1) 地面测得飞船 的速度；2) 飞船 中测得飞船 A的速度。 的速度。 的速度
狭义相对论公式及证明
狭义相对论公式及证明单位符号单位符号坐标： m (x, y, z) 力： N F(f)时间： s t(T) 质量:kg m(M)位移： m r 动量:kg*m/s p(P)速度： m/s v(u) 能量: J E加速度： m/s^2 a 冲量：N*s I长度： m l(L) 动能：J E k路程： m s(S) 势能：J E p角速度： rad/s ω力矩：N*m M角加速度:rad/s^2α功率：W P一：牛顿力学（预备知识）(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt, r=r0+∫rdt(2)a=dv/dt, v=v0+∫adt(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)当v不变时，(1)表示匀速直线运动。
当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。
只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。
(二)：质点动力学：(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。
(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。
F=ma=mdv/dt=dp/dt(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。
(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。
F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m3/(kg*s2)动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。
动能定理：W=∫Fds=E k2-E k1(合外力的功等于动能的变化)机械能守恒：只有重力做功时，E k1+E p1=E k2+E p2(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。
同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。
)二：狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u2/c2),β=u/c, u为惯性系速度。
狭义相对论推导详细计算过程
狭义相对论狭义相对论根本原理：1. 根本物理定律在所有惯性系中都保持一样形式的数学表达式，因此一切惯性系都是等价的。
2. 在一切惯性系中，光在真空中的传播速率都等于c ，与光源的运动状态无关。
假设S 系和S ’系是两个相对作匀速运动的惯性坐标系，规定S ’系沿S 系的x 轴正方向以速度v 相对于S 系作匀速直线运动，x ’、y ’、z ’轴分别与x 、y 、z 轴平行，两惯性系原点重合时，原点处时钟都指示零点。
Ⅰ洛伦兹变换现假设，x ’=k(x-vt)①，k 是比例系数，可保证变化是线性的，相应地，S ’系的坐标变换为S 系，有x=k(x ’+vt) ②，另有y ’=y ，z ’=z 。
将①代入②：x=k[k(x-vt)+vt ’] x=k^2*(x-vt)+kvt ’ t ’=kt+(1-k^2)x/kv两原点重合时，有t=t ’=0，此时在共同原点发射一光脉冲，在S 系，x=ct ，在S ’系，x ’=ct ’，将两式代入①和②：ct ’=k(c-v)t 得 ct ’=kct-kvt 即t ’=(kct-kvt)/c ct=k(c+v)t ’ 得 ct=kct ’+kvt ’ 两式联立消去t 和t ’ ct=k(kct-kvt)+kv(kct-kvt)/cct=k^2ct-k^2vt+k^2vt-k^2v^2t/c c^2=k^2c^2-k^2v^2k=22/11cv -将k 代入各式即为洛伦兹变换： x ’=22/1cv vt x --y ’=y z ’=z t ’=222/1/cv c vx t --或有x=k(x ’+vt ’) x ’=k(x-vt) =k(1+v/c)x ’ =k(1-v/c)x 两式联立，x’=k(1-v/c)k(1+v/c)x ’ k=22/11cv -Ⅱ同时的相对性S 中取A 〔x 1,y,z,t 1〕和B 〔x 2,y,z,t 2〕，同时发出一光脉冲信号，即t 1=t 2，且x 1≠x 2。
相对论动力学 广义相对论简介 相对论3
作 v2 ~ Ek 曲线
贝托齐电子极限速率实验（1962）
⎛ ⎛ E ⎜ 1−⎜ 1+ ＋ k ⎞ 2= ⎟ v ⎜ m c2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ 0 ⎠ ⎝
−2 ⎞
－
⎟ c2 ⎟ ⎟ ⎠
实验结果： 电子极限速度等于真空中的光速
2、质能关系
E k = mc 2 − m0 c 2
爱因斯坦认为：E0 = m0 c2 为 静止能量
x
dE k = mv d v + v d m
2
由m=
m0 1− v / c
2 2
m (c −v )= m c
2 2 2
2 2 0
2 mc dm − 2 mv dm − 2 m vdv = 0
2 2 2
mv d v = (c − v ) d m
2 2
代入dEk表达式中
d Ek = c d m
2
由于物体从静止开始运动，两边积分
v
at
m
•
r a
an
r r r dm r F = m ( a n n + a tτ ) + v dt
r r r dm F = ma + v dt
dm r r r = ma n n + ma tτ + v τ dt
at
m
•
Ft
r v
r a
r F
r dm r r F = man n + ( mat + v )τ dt r r v
−u S
0
v′ = − u A
A
m′ A
v′ = u B
0′
B
x′
M′
第二章狭义相对论
ds2 = 0，这时称A和B之间的间隔为零间隔或类光间隔. w 表示一静止质量不为零的粒子的世界线，它的速度小 于 c，得到A 和B 之间的间隔 ds2 < 0，称为类时间隔. 图中事件C和D之间的间隔对应 ds2 > 0，称为类空间
图 2.1: 类时、类空和零间隔. 隔，这2个事件之间没有任何因果关系. 洛伦兹变换
(2.6)
= ⊥ .
在本节的最后来讨论一下什么是惯性系. 我们不能简单地用作匀速直线运动的参考
系来定义惯性系. 既然说匀速直线运动，就要涉及相对于哪个参考系运动，这就陷入了恶性循环. 比较准 确的说法是狭义相对论的物理定律在其中成立的参考系是惯性参考系，也称为洛伦茨系. 例如，只有在 惯性系中电动力学的麦克斯韦方程才成立. 在牛顿力学中，伽利略变换把1个惯性系变换成另1个惯性系，在各个惯性系中每一条物理定律的基 本形式都相同，都是同样的一些物理量之间的关系. 因此可以说在牛顿力学中物理定律是伽利略不变的. 在狭义相对论中，同样可以说物理定律是洛伦茨不变的. 在牛顿力学中引入非惯性系，例如1个相对惯性系作加速运动的参考系. 在这样的参考系中会出现惯 性力，物理定律也要作相应的修改，因此可以说没有惯性力出现的参考系是惯性系. 在狭义相对论中， 是否也可以说没有惯性力出现的参考系是惯性系呢？ 引力的存在使问题复杂化. 牛顿理论中的引力是以无限大的速度传播的，而狭义相对论中信息传播 的最大速度是光速 c，两者相互矛盾，狭义相对论不能讨论引力. 因而在狭义相对论中可以说，存在引力 或惯性力的参考系不可能是是惯性系. 在学习过§3.1后将会认识到没有引力和惯性力的参考系就是惯性 系. 爱因斯坦不喜欢惯性系在狭义相对论中的特殊和优越的地位. 取消惯性系的特殊地位和建立1个新的 引力理论是他探索广义相对论的重要动力.
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❖ 经典力学
Ek
m0v 2 2
在相对论中，认为动能定理仍适用。若取质点速率为零时动
能为零。则质点动能就是其从静止到以v 的速率运动的过程
中,合外力所做的元功
dA
F
dr
d
p
dr
dp
v
vdm
mdv
v
c2dm
由
m
m0
1β 2
dt
m2
1
v2 c2
m02
v2dm mvdv c2dm
m2c2 m2v2 m02c2
两边微分
2mc2dm 2mv2dm 2m2vdv 0
动能定理:
EK
F
d
r
L
m c2d m
m0
EK mc2 m0c2 相对论的动能表达式.
讨论:
①注意相对论动能与经典力学动能的区别和联系.
当v =0.1 c m 增加 0.5% 当v =0.866 c m 2m0
当v c
m
当v = 0
m m0
(4) 光速是物体运动的极限速度. v c 1 v2 / c2 为虚数
2. 相对论动量
p mv
m0 1 (v
)2
v
m0 v
c
可以证明，该公式保证动量 守恒定律在洛伦兹变换下， 对任何惯性系都保持不变性。
此时电子的质量为
m
E c2
E0 Ek c2
8.201014 1.61013 9 1016
2.69 1030
kg
由质速关系，电子运动的速率为
v
1 ( m0 )2 c m
1
(
0.9111030 2.69 1030
)2
0.94c
例4. 中微子质量 (教材P277 例8.12) (自看)
Ek mc2 m0c2
Ek m0v 2 / 2
②当v << c 时， 0, 有
Ek
c 2
m0 1v2
/ c2
m0
回到牛顿 力学
v c
m0c2
(1
1 2
v2 c2
3 8
v c
4 4
1)
m0v 2 2
③实验验证：1962年
贝托齐极限速率实验。v 2
曰
也就具有动质量，同样受到
引力的作用，天文观察证明
了这一点。如图从星星A发
出的星光本应沿直线传播，
但受太阳的引力作用而发生
偏转。
1919年5月29日在非洲几内亚湾的普林西比岛一带发生了日全食。一支 由英国天文学家爱丁顿率领的观察队早早来到此地，他们要通过观测来 验证广义相对论的一个预言。
例：设火箭的静止质量为 100 t ，当它以第二宇宙速度飞行时， 求：其质量增加了多少？
§8-6 狭义相对论动力学简介
物理概念：质量，动量，能量，……
重新审视其定义
原 (1) 应符合爱因斯坦的狭义相对性原理. 即经过洛伦兹变换时保持定律形式不变.
则(2) 应满足对应原理.
即趋于低速时，物理量须趋于经典理论中相应的量.
一. 相对论动量和质量
1. 质速关系
经典理论： m m0 恒量
E 2 p2c2 m02c4
r F
ddprtprmm0m0 dd0vvvtr
m0ar
EK
1 2
m0v2
p2 2m0EK
作业A：内容预复习题
1、什么是力学相对性原理？什么是物理学相对性原理？
2、同时性的相对性是什么意思？如果光速是无限大， 是否还会有同时性的相对性？
3、相对论的时空概念与牛顿力学的有何不同？有何联 系？
2 1
H31H42
He
01n
如果反应前粒子动能相对较小，试计算反应后粒子所具有的
总动能。已知
mD
(
2 1
H)
3.343
7
1027
kg
mT
(
3 1
H)
5.004
9 1027
kg
mHe
(
4 2
He)
6.642 51027
kg
mn
(
1 0
n)
1.675 0 1027
kg
解 反应前、后粒子静止质量之和 m10 和 m20分别为
Ek mc2 0.03111027 91016 2.801012 J 17.5 MeV
1kg的这种核燃料所释放的能量为
E mD mT
2.8 1012 8.34861027
3.351014 (J/kg)
这一数值是1kg优质煤燃烧所释放热量（约2.93×107J/kg）
m10
mD
(
2 1
H)
mT
(
3 1
H)
8.348 6 1027
kg
m20
mHe
(
4 2
He)
mn
(
1 0
n)
8.317 51027
kg
质量亏损
m m20 m10 0.03111027 kg
与质量亏损所对应的静止能量减少量，即为动能增量，也就 是反应后粒子所具有的总动能，即
kg
火箭质量可近似为不变。
相对论力学
经典力学
质量
m m0 1 v2 c2
动量 基本方程
p F
mv
dp
dt
mm0vdvv
dt
1
vr
v2 c
dm dt
2
静能
E0 m0c2
动能
EK mc2 m0c2
总能 (质能关系)
E mc2
动量与能 量的关系
质量亏损:总静止质量的减少. E m0c 2 对应的静止能量减少量，即为动能增量.
统一了能量守恒与质量守恒。 Ei (mic2 ) const mi const
i
i
i
❖ 质能关系为人类利用核能奠定了理论基础。
例1 P276 例8.10 粒子合并.两全同粒子以相同的速率
4、什么是固有时?什么是固有长度？长度的测量与同时 性有什么关系？
5、能把一个粒子加速到光速吗？为什么？
6、什么叫质量亏损？它和原子能的释放有何关系？
作业B: 习题 （P.283~285）8.1，8.3, 8.4， 8.5，
8.9， 8.12， 8.13，8.16.
作业C: 预习
第2篇 热 学 第9章 第10章 第11章
解：(1) 电子静能
E0 m0c2 9.111031 91016 8.201014 J
E0
8.20 1014 1.60 1019
0.51106
eV
0.51 MeV
(2) 静止电子经过 106 V 电压加速后，动能为
Ek 106 eV 1.61013 J
的1.15×107倍，即1千多万倍！
即使这样，其“反应效能”，即释放能量与燃料静能之比，也
不过是
E
(mD mT )c 2 0.37 %
例3. 电子静质量 m0 = 9.11×10-31 kg，试求： (1) 试用焦耳和电子伏为单位，表示电子静能； (2) 静止电子经过 106 V 电压加速后，其质量和速率。
相向运动，碰后复合.求：复合粒子的速度和质量.
解：设复合粒子质量为M 速度为 V
v m0
碰撞过程，动量守恒
m1v1 m2v2 MV
V 0 M M0
由能量守恒 2mc2 M 0c2
M 0 2m
2m0 1 v2 /c2
2m0
损失的能量转换成静能.
例2 P276 例8.11 热核反应 在一种热核反应过程中，
与物体运动无关
实验结果 —— 质速曲线
5
4
m
m0 1v 2
c2
m0
（推导略）
m3 m0 2
1
讨论
0
0.5
1.0
(1) v是物体运动的速度，而非参考系间的相对速度. v/c
(2) 静质量m 0.当v << c 时， 0, m = m0 ——牛顿力学
(3) 相对论质量 m------质速曲线
四. 相对论能量和动量的关系
m m0 1β 2
两边平方
E2 p2c2 E02
m2 1β 2 m02
两边乘以 c 2
m2c4 m2v 2c2 m02c4
对动能为Ek的粒子，用E=EK+m0c2 代入动量与能量的关系式，可有
(Ek m0c 2 ) 2 p 2c 2 m02c 4
解：火箭的第二宇宙速度 v = 11. 2 10 3 m/s ，因此 v <<c ，所以
火箭的动能为
Ek
mc2
m0c2
1 2
m0v 2
火箭的质量的增加量为
m m m0 Ek
c2
1 2
m0
v
c2
1 2
1000
103
11.2
103
9 1016
0.7 103