1.4 二次函数的应用 公开课获奖课件
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1二次函数公开课一等奖课件
数学教育改革
随着深度学习和人工智能的快速发展 ，二次函数在机器学习、数据分析和 模式识别等领域的应用将更加广泛。
随着数学教育改革的推进，二次函数 的教学内容和方法可能会更加注重实 践和应用，培养学生的创新能力和实 践能力。
数学与其他学科的交叉
未来，二次函数可能会与其他学科如 生物学、化学、地理学等产生更多交 叉，为解决实际问题提供更多思路和 方法。
对称变换包括关于原点对称、关于x轴对称 和关于y轴对称。关于原点对称是图像关于 原点进行翻转，关于x轴对称是图像关于x轴 进行翻转，关于y轴对称是图像关于y轴进行 翻转。对称变换会改变函数值的正负号，但 不会改变函数值的分布规律。
04 二次ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数的应用
CHAPTER
生活中的二次函数
总结词
二次函数在生活中的运用广泛，涉及到经济 、物理、工程等多个领域。
伸缩变换是指二次函数的图像在平面内 沿某一轴方向进行缩放。
VS
详细描述
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向 伸缩是图像沿x轴方向缩放，纵向伸缩是 图像沿y轴方向缩放。伸缩变换会改变函 数值的大小，但不会改变函数值的分布规 律。
对称变换
总结词
对称变换是指二次函数的图像在平面内进行 对称翻转。
详细描述
02 二次函数的解析式
CHAPTER
二次函数的表达式
总结词
二次函数的一般表达式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般表达式由三部分组成，分别是二次项系数$a$、一次项系数$b$ 和常数项$c$。其中，$a$决定了抛物线的开口方向和开口大小，$b$决定了抛 物线的对称轴位置，$c$决定了抛物线与y轴的交点位置。
《二次函数》公开课一等奖课件pptx
02
二次函数的定义和 性质
二次函数的定义
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。 分类：二次函数有一般形式、顶点式和交点式。 表达式：y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a≠0) 图像：二次函数的图像是一条抛物线。
二次函数的性质
开口方向：通过函数表达式判断 顶点坐标：使函数取得极值的点 对称轴：直线x=-b/2a 函数最值：在顶点处取得
二次函数公开课一 等奖课件
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目录
函数概念及表示方法
二次函数的解析式和分类 讨论
二次函数的扩展知识
二次函数的定义和性质 二次函数的应用 总结与展望
01
函数概念及表示方 法
函数定义
定义域：自变量的取值范围
变量：函数中的自变量和因 变量
值域：因变量的取值范围
对应关系：函数的核心关系， 将自变量和因变量联系起来
物理领域：研究 物体的运动轨迹、 振动等
化学领域：研究 化学反应过程中 物质浓度的变化 等
工程领域：用于 研究物体的受力 分析、优化设计 等
05
二次函数的扩展知 识
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元 二次方程的联系
二次函数与一元 二次方程的转化
利用二次函数解 决一元二次方程 的问题
通过一元二次方 程理解二次函数 的性质
应用：解决实际问题、数学考试中的应用、一元二次方程的求解问题等 总结：二次函数是数学中重要的基础知识之一，掌握其概念和性质对于解决各种实际问题 具有重要意义。
展望二次函数未来的发展前景和应用领域
未来发展前景：随着数学学科的进步，二次函数的理论和 算法将继续得到完善和发展，为数学和其他学科提供更丰 富的工具和手段。
二次函数公开课一等奖课件
最大值或最小值（即 $k$ 的值）。
公式法
总结词
适用于任何形式的二次函数，可以直接套用 公式求出函数的根。
详细描述
公式法是解二次方程的通用方法。对于一般 形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其 解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$。使用公式法时，需要注意判别 式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的正负，以确定 方程的实根个数。
详细描述
二次函数是数学中常见的函数形式之一，其一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中x为自变量，y为因变量。a、b、c为常 数，且a≠0。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线 开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由a、b、c的值决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。根据a 、b、c的值，抛物线的位置、开口方 向和开口大小会有所不同。当b=0时 ，抛物线关于y轴对称；当b≠0时，抛 物线关于x=-b/2a对称。
提升习题3
已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$经过原点，求证 ：$a = 1$。
竞赛习题
竞赛习题1
已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$的顶点在第二象限，求证：$a
< 0$。
竞赛习题2
若抛物线$y = ax^2 + bx + c$ 与直线$y = mx + n$相切于原 点，求证：抛物线的对称轴为直
配方法的基本步骤是将二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 转化为 $f(x) = a(x - h)^2 + k$ 的形式，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点 坐标。通过配方，我们可以确定函数的开口
公式法
总结词
适用于任何形式的二次函数，可以直接套用 公式求出函数的根。
详细描述
公式法是解二次方程的通用方法。对于一般 形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其 解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$。使用公式法时，需要注意判别 式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的正负，以确定 方程的实根个数。
详细描述
二次函数是数学中常见的函数形式之一，其一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中x为自变量，y为因变量。a、b、c为常 数，且a≠0。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线 开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由a、b、c的值决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。根据a 、b、c的值，抛物线的位置、开口方 向和开口大小会有所不同。当b=0时 ，抛物线关于y轴对称；当b≠0时，抛 物线关于x=-b/2a对称。
提升习题3
已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$经过原点，求证 ：$a = 1$。
竞赛习题
竞赛习题1
已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$的顶点在第二象限，求证：$a
< 0$。
竞赛习题2
若抛物线$y = ax^2 + bx + c$ 与直线$y = mx + n$相切于原 点，求证：抛物线的对称轴为直
配方法的基本步骤是将二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 转化为 $f(x) = a(x - h)^2 + k$ 的形式，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点 坐标。通过配方，我们可以确定函数的开口
九年级数学上册二次函数1.4二次函数的应用1全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
（第7题图)
4/7
二次函数应用一
8．如图所表示，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝1.两个动点P，Q同 时从点A出发，但点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时抵达点C.
(1)点Q速度是点P速度多少倍？ (2)设AP＝x，△APQ面积为y，当点Q在BC上运动时，求y关于x函 数表示式及自变量x取值范围，并求出y最大值．
(1)求y与x之间函数关系式，并注明自变量x取值范围； (2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
（第12题图）
7/7
精彩练习 九年级 数学
第一章 二次函数
1.4 二次函数应用一 A 练就好基础 B 更上一层楼 C 开拓新思绪
1/7
A
练就好基础
C
（第1题图）
B
D
（第3题图）
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二次函数应用一
第3 页
A
B
C
D
（第4题图）
D
20
（第6题图）
3/7
二次函数应用一
第4 页
7．如图所表示，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另 外三边用长为30 m篱笆围成．已知墙长为18 m，设这个苗圃园垂直于墙一边 长为x.若平行于墙一边长大于8 m，求这个苗圃园面积最大值和最小值．
第5 页
（第8题图)
5/7B更上一层楼来自5（第10题图）
6/7
C
开拓新思绪
11．如图所表示，线段AB＝8，C是AB上一点，点D，E是AC三等分点，分别以AD，DE，EC，CB为边作
正方形，则AC＝__6____时，四个正方形面积之和最小．
12．【安徽中考】为了节约材料，某水产养殖户利用水库岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为 80 m围网在水库中围成了如图所表示①、②、③三块矩形区域，而且这三块矩形区域面 积相等．设BC长度为x(m)，矩形区域ABCD面积为y(m2)．
二次函数的应用示范课市公开课一等奖省优质课获奖课件
第3页
例3.一座拱桥轮廓是抛物线型（如图1），拱高6m，跨度20m， 相邻两支柱间距离均为5m． （1）将抛物线放在所给直角坐标系中（如图2所表示），求 抛物线解析式； （2）求支柱EF长度； （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m隔离 带），其中一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m三辆汽车 （汽车间间隔忽略不计）？请说明你理由．
第4页
4.如图，工厂门最大宽度AB=12m，最大高度 CD=4m，厂门时抛物线型，问高度时3m，宽度是 5.8m运输卡车能否经过该厂门？经过计算说明理由
第5页
5.一个涵洞成抛物线形，它截面如图所表示， 现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与 水面距离为2.4m．这时，离开水面1.5m处， 涵洞宽ED是多少?是否会超出1m?若一艘小船， 船面宽为1.4米，露出水面部分高度为0.6米， 这艘船能否经过这个涵洞？
例1.如图，河上有一座抛物线拱桥，已知桥下水面 离桥孔顶部3m时，水面宽为6m，当水位上升1m 时，水面宽为多少？（准确到0.1m）?
第2页
例2.某施工队要修建一个横截面为抛物线公路隧道，其高度为 6m，宽度OM为12m，现以O点为原点，OM所在直线为x轴， 建立直角坐标系（如图所表示） (1)直接写出点M及抛物线顶点P坐标 (2)求出这条抛物线函数解析式 (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使 A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上。为了筹备材料，需 求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC长度之和最大值是多少？ 请你帮助施工队
例3.一座拱桥轮廓是抛物线型（如图1），拱高6m，跨度20m， 相邻两支柱间距离均为5m． （1）将抛物线放在所给直角坐标系中（如图2所表示），求 抛物线解析式； （2）求支柱EF长度； （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m隔离 带），其中一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m三辆汽车 （汽车间间隔忽略不计）？请说明你理由．
第4页
4.如图，工厂门最大宽度AB=12m，最大高度 CD=4m，厂门时抛物线型，问高度时3m，宽度是 5.8m运输卡车能否经过该厂门？经过计算说明理由
第5页
5.一个涵洞成抛物线形，它截面如图所表示， 现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与 水面距离为2.4m．这时，离开水面1.5m处， 涵洞宽ED是多少?是否会超出1m?若一艘小船， 船面宽为1.4米，露出水面部分高度为0.6米， 这艘船能否经过这个涵洞？
例1.如图，河上有一座抛物线拱桥，已知桥下水面 离桥孔顶部3m时，水面宽为6m，当水位上升1m 时，水面宽为多少？（准确到0.1m）?
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例2.某施工队要修建一个横截面为抛物线公路隧道，其高度为 6m，宽度OM为12m，现以O点为原点，OM所在直线为x轴， 建立直角坐标系（如图所表示） (1)直接写出点M及抛物线顶点P坐标 (2)求出这条抛物线函数解析式 (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使 A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上。为了筹备材料，需 求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC长度之和最大值是多少？ 请你帮助施工队
二次函数的应用 全省一等奖-完整版课件
与x轴没有公共点——相离。
问题5:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，
点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度
作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC
的延长线运动，PQ与直线相交于点D。
(1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函
数关系式；
(2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC
① 1 x 2 x＝２ 2
此方程无解
② 1 x2 x ＝２ 2
x2 2x 4 0
∴ x1=1+ 5 , x2=1－ 5 (舍去)
∴当AP长为1+ 5 时，S△PCQ＝S△ABC A
Q
D C
P B
解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等
∴AP=CQ=x 当P在线段AB上时
1
S△PCQ＝
即S＝
CQ•PB
1
2
x
2
x=Βιβλιοθήκη 1AP•PB2
(0<x<2）
2
当P在线段AB的延长线上时
S△PCQ＝
1 CQ • PB 1 x(x 2)
2
2
即S＝ 1 x2 x 2
(x>2）
A
Q
D C
P B
(2)当S△PCQ＝S△ABC时，有
探究1：求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点 A、B的坐标。
解：∵A、B在x轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0）
你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的坐标
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第1章 二次函数
1．4 二次函数的应用
第1课时 利用二次函数解决面积的最值问题
浙教版·九年级全册
1．(4分)已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为( B )
A．25 cm2
B．50 cm2
C．100 cm2
D．不确定
2．(4分)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积业题T4改编)某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的两面靠现有墙(墙足够 长)．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50 m，设每间饲养室的宽为x(m)，占地面积为 y(m2)． (1)如图①，当每间饲养室的宽x为多少时，占地面积y最大？ (2)如图②，现要求每间饲养室在图中所示位置留2 m宽的门， 且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要每间饲养室的宽比(1)中的宽多1 m就行了．”请你通 过计算，判断小敏的说法是否正确．
2
2
2
2
4
∵5 3＞25 3，故 S 有最大值为 5 3. 9
第3课时 用函数的观点看一元二次方程
1．(5分)抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点的个数是( A )
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
2．(5分)二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，当y＜0时，自变量x的取值范围是( A )
2
2
2
即△POQ 是等腰直角三角形．把△POQ 沿 PQ 翻折后，可得到四边形 OPCQ 是正方形，∴点 C
的坐标是(3，3)．∵A(12，0)，B(0，6)，∴直线 AB 的表达式为 y＝－1x＋6，当 x＝3 时， 2
y＝－1x＋6＝9≠3，∴点 C 不落在直线 AB 上．
2
2
【拓展创新】
14．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝5，点E在CB边上以每秒1个单位的速
5.(6分)(2017·新疆)如图，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时 出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动．在运动 过程中，当运动时间为___3___s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是___1_8__cm2.
＝∠A＝30°，∴AB＝10，AC＝5 3.∵EC＝t，∴ED＝FD＝2t，CD＝ 3t，∴AD＝AC－CD＝5 3
－ 3t.∵△DEF 是等边三角形，∴∠EDF＝60°，∴∠ADF＝90°，∴AF＝4t，AD＝2 3t，
∴5 3－ 3t＝2 3t，解得 t＝5. 3
(2)当 0＜t≤5时，如图①.S＝1·2t· 3·2t＝ 3t2，∴当 t＝5时有最大值25 3；当5＜
A．62 m2
B．63 m2
C．64 m2
D．65 m2
第2小题
第3小题
3．(4分)(教材P24例1变式题)用长为8 m的铝合金条制成如图所示形状的矩形窗框，使窗户的透光面
积最大，那么这个窗户的最大透光面积是( C )
A.64 m2
25
B. 4 m2
3
C. 8 m2
3
D．4 m2
4．(4分)(教材P25作业题T3变式题)将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长 各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__1_2_._5__cm2.
解：(1)设与墙平行的一边长为 x m，则鸡舍面积 S＝22－x·x＝－1(x－11)2＋121.由
2
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2
题意知 0＜x≤6，∴当 x＝6 时，S 最大＝48 m2.∴按爸爸的方案围成的鸡舍面积最大是 48 m2. (2)设有墙的一面再加 a m 长的篱笆，则矩形与墙平行的一边长(6＋a) m，则鸡舍面积 S＝
点 M，BN⊥x 轴于点 N，则观察图象得，方程 x2＋x＝1.5 的根 x1≈－1.8，x2≈0.8(允许有误 差)．
(3)平移方法：将原函数图象向上平移5个单位，再向左平移1个单位，或将原函数图象
4
2
向左平移1个单位，再向上平移5个单位．平移后二次函数图象的函数表达式为 y＝(x＋1)2
2
4
＋1 或 y＝x2＋2x＋2.
第9题图
第10题图
10．(6分)如图所示，线段AB＝6，点C是AB上一点，点D是AC的中点，分别以AD，DC，CB为边作正方形， 则当AC＝__ 4__时，三个正方形的面积之和最小．
11.(6分)(安顺中考改编)某校校园内有一个大正方形花坛，如图①所示，它由四个边长为3 m的小正 方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图②所示，DG＝1 m，AE＝ AF，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积的最小值为__3_0_._5__m2.
解：(1)∵OA＝12 cm，OB＝6 cm，由题意，得 BQ＝t cm，OP＝t cm，∴OQ＝(6－t)cm，
∴y＝1·OP·OQ＝1t(6－t)＝－1t2＋3t(0≤t≤6)．
2
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2
(2)∵y＝－1t2＋3t＝－1(t－3)2＋9，∴当 y 有最大值时，t＝3，∴OQ＝3 cm，OP＝3 cm，
解：(1)当每间饲养室的宽为 x(m)，则长为50－2x＝(25－x)(m)，则 y＝2x(25－x)＝－ 2
2x2＋50x＝－2(x－25)2＋625，∴当 x＝12.5 时，y 取得最大值，即每间饲养室的宽 x 为 12.5 22
m 时，占地面积 y 最大．
(2)∵y＝2x·50－2（x－2）＝－2(x－27)2＋729，∴当 x＝13.5 m 时，占地面积 y 最
9．(6分)已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次
方程x2－3x＋m＝0的两实数根是( B )
A．x1＝1，x2＝－1
B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0
D．x1＝1，x2＝3
10．(6分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②
度从点C向点B运动，运动时间为t(s)，过点E作AB的平行线，交AC边于点D，以DE为边向上作等边
△DEF，设△ABC与△DEF重叠部分的面积为S.
(1)当点F恰好落在AB边上时，求t的值；
(2)当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？
解：(1)如图①，∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝5，DE∥AB，∴∠CDE
12.(10分)用22 m长的篱笆和6 m长的围墙围成一个矩形鸡舍． 爸爸的方案：一面是墙，另外三面是篱笆．小明的方案：把有墙的一面用篱笆加长作为一边，另外三 面也是篱笆． (1)求按爸爸的方案围成的鸡舍面积最大是多少？ (2)按小明的方案，要使围成的鸡舍面积最大，求有墙的一面应该再加几米长的篱笆？
A．4位
B．3位
C．2位
D．1位
5．(5分)已知方程2x2＋bx＋c＝0的两根是 5 ，－1，则二次函数y＝2x2＋bx＋c的图象与x轴的两个交
点间的距离为__7__．
2
2
6．(5分)(2016·瑞安)若二次函数y＝x2－4x＋c的图象与x轴没有交点，其中c为整数， 则c＝_5_(_答__案__不__唯__一__)_．(只要求写出一个)
察图象，写出方程x2＋x＝1.5的根(精确到0.1)；
(3)如图，P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上．请写出一种适当的平移方法，使平移后二次函
数图象的顶点落在P点，并求出平移后二次函数图象的函数表达式．
解：(1)y＝x2＋x＝(x＋1)2－1，∴顶点是(－1，－1)．
24
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(2)描点如图：作直线 y＝1.5，交抛物线于 A，B 两点，分别过 A，B 两点作 AM⊥x 轴于
2a＋b＝0；③b2－4ac＜0；④4a＋2b＋c＞0.其中正确的是( C)
A．①③
B．只有②
C．②④
D．③④
11. (6分)在平面直角坐标系中，点M是直线y＝3与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y＝ 1 x2＋bx＋
c的顶点，则方程 1 x2＋bx＋c＝2的解的个数是_0_或__1_或__2_
5
解：(1)GH＝2x(m)． 3
(2)∵围栏总长为 80 m，∴2x＋2x＋2CD＝80，∴CD＝(40－4x)(m)，∴y＝x(40－4x)＝
3
3
3
－4x2＋40x(15≤x<30)． 3
(3)∵y＝－4x2＋40x＝－4(x－15)2＋300，又∵15≤x＜30，∴当
3
3
x＝15
时，y
最大＝300.
3
2
2
3
9
3
t＜5 时，如图②.∵AD＝AC－CD＝5 3－ 3t，∴DG＝5－t.∵ED＝DF＝2t，∴FG＝2t－(5－
t)＝3t－5.∵ED∥AB，∴∠FHG＝∠FGH＝∠EDF＝60°，∴△GFH 是等边三角形，∴S＝
1·2t· 3·2t－1(3t－5)· 3·(3t－5)＝5 3(t－3)2＋5 3，∴t＝3 时，S 有最大值 5 3.
9．(6分)如图，用长为12 m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃，围出的苗圃是五边形ABCDE， AE⊥AB，BC⊥AB，∠C＝∠D＝∠E.设CD＝DE＝x m，五边形ABCDE的面积为S m2.则S的最大值为( B )
A．12 3 m2 B．12 m2 C．24 m2 D．24 3 m2
2
2
2
大．∵13.5－12.5＝1(m)，∴小敏的说法正确．
8．(12分)(2016·慈溪)某家禽养殖场用总长为80 m的围栏靠墙(墙长为20 m)围成如图所示的三块面 积相等的矩形区域，设AD长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2. (1)请直接写出GH的长；(用含x的代数式表示) (2)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
1．4 二次函数的应用
第1课时 利用二次函数解决面积的最值问题
浙教版·九年级全册
1．(4分)已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为( B )
A．25 cm2
B．50 cm2
C．100 cm2
D．不确定
2．(4分)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积业题T4改编)某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的两面靠现有墙(墙足够 长)．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50 m，设每间饲养室的宽为x(m)，占地面积为 y(m2)． (1)如图①，当每间饲养室的宽x为多少时，占地面积y最大？ (2)如图②，现要求每间饲养室在图中所示位置留2 m宽的门， 且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要每间饲养室的宽比(1)中的宽多1 m就行了．”请你通 过计算，判断小敏的说法是否正确．
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4
∵5 3＞25 3，故 S 有最大值为 5 3. 9
第3课时 用函数的观点看一元二次方程
1．(5分)抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点的个数是( A )
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
2．(5分)二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，当y＜0时，自变量x的取值范围是( A )
2
2
2
即△POQ 是等腰直角三角形．把△POQ 沿 PQ 翻折后，可得到四边形 OPCQ 是正方形，∴点 C
的坐标是(3，3)．∵A(12，0)，B(0，6)，∴直线 AB 的表达式为 y＝－1x＋6，当 x＝3 时， 2
y＝－1x＋6＝9≠3，∴点 C 不落在直线 AB 上．
2
2
【拓展创新】
14．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝5，点E在CB边上以每秒1个单位的速
5.(6分)(2017·新疆)如图，在边长为6 cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别从点A，B，C，D同时 出发，均以1 cm/s的速度向点B，C，D，A匀速运动，当点E到达点B时，四个点同时停止运动．在运动 过程中，当运动时间为___3___s时，四边形EFGH的面积最小，其最小值是___1_8__cm2.
＝∠A＝30°，∴AB＝10，AC＝5 3.∵EC＝t，∴ED＝FD＝2t，CD＝ 3t，∴AD＝AC－CD＝5 3
－ 3t.∵△DEF 是等边三角形，∴∠EDF＝60°，∴∠ADF＝90°，∴AF＝4t，AD＝2 3t，
∴5 3－ 3t＝2 3t，解得 t＝5. 3
(2)当 0＜t≤5时，如图①.S＝1·2t· 3·2t＝ 3t2，∴当 t＝5时有最大值25 3；当5＜
A．62 m2
B．63 m2
C．64 m2
D．65 m2
第2小题
第3小题
3．(4分)(教材P24例1变式题)用长为8 m的铝合金条制成如图所示形状的矩形窗框，使窗户的透光面
积最大，那么这个窗户的最大透光面积是( C )
A.64 m2
25
B. 4 m2
3
C. 8 m2
3
D．4 m2
4．(4分)(教材P25作业题T3变式题)将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长 各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__1_2_._5__cm2.
解：(1)设与墙平行的一边长为 x m，则鸡舍面积 S＝22－x·x＝－1(x－11)2＋121.由
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题意知 0＜x≤6，∴当 x＝6 时，S 最大＝48 m2.∴按爸爸的方案围成的鸡舍面积最大是 48 m2. (2)设有墙的一面再加 a m 长的篱笆，则矩形与墙平行的一边长(6＋a) m，则鸡舍面积 S＝
点 M，BN⊥x 轴于点 N，则观察图象得，方程 x2＋x＝1.5 的根 x1≈－1.8，x2≈0.8(允许有误 差)．
(3)平移方法：将原函数图象向上平移5个单位，再向左平移1个单位，或将原函数图象
4
2
向左平移1个单位，再向上平移5个单位．平移后二次函数图象的函数表达式为 y＝(x＋1)2
2
4
＋1 或 y＝x2＋2x＋2.
第9题图
第10题图
10．(6分)如图所示，线段AB＝6，点C是AB上一点，点D是AC的中点，分别以AD，DC，CB为边作正方形， 则当AC＝__ 4__时，三个正方形的面积之和最小．
11.(6分)(安顺中考改编)某校校园内有一个大正方形花坛，如图①所示，它由四个边长为3 m的小正 方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图②所示，DG＝1 m，AE＝ AF，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积的最小值为__3_0_._5__m2.
解：(1)∵OA＝12 cm，OB＝6 cm，由题意，得 BQ＝t cm，OP＝t cm，∴OQ＝(6－t)cm，
∴y＝1·OP·OQ＝1t(6－t)＝－1t2＋3t(0≤t≤6)．
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(2)∵y＝－1t2＋3t＝－1(t－3)2＋9，∴当 y 有最大值时，t＝3，∴OQ＝3 cm，OP＝3 cm，
解：(1)当每间饲养室的宽为 x(m)，则长为50－2x＝(25－x)(m)，则 y＝2x(25－x)＝－ 2
2x2＋50x＝－2(x－25)2＋625，∴当 x＝12.5 时，y 取得最大值，即每间饲养室的宽 x 为 12.5 22
m 时，占地面积 y 最大．
(2)∵y＝2x·50－2（x－2）＝－2(x－27)2＋729，∴当 x＝13.5 m 时，占地面积 y 最
9．(6分)已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次
方程x2－3x＋m＝0的两实数根是( B )
A．x1＝1，x2＝－1
B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0
D．x1＝1，x2＝3
10．(6分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②
度从点C向点B运动，运动时间为t(s)，过点E作AB的平行线，交AC边于点D，以DE为边向上作等边
△DEF，设△ABC与△DEF重叠部分的面积为S.
(1)当点F恰好落在AB边上时，求t的值；
(2)当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？
解：(1)如图①，∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝5，DE∥AB，∴∠CDE
12.(10分)用22 m长的篱笆和6 m长的围墙围成一个矩形鸡舍． 爸爸的方案：一面是墙，另外三面是篱笆．小明的方案：把有墙的一面用篱笆加长作为一边，另外三 面也是篱笆． (1)求按爸爸的方案围成的鸡舍面积最大是多少？ (2)按小明的方案，要使围成的鸡舍面积最大，求有墙的一面应该再加几米长的篱笆？
A．4位
B．3位
C．2位
D．1位
5．(5分)已知方程2x2＋bx＋c＝0的两根是 5 ，－1，则二次函数y＝2x2＋bx＋c的图象与x轴的两个交
点间的距离为__7__．
2
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6．(5分)(2016·瑞安)若二次函数y＝x2－4x＋c的图象与x轴没有交点，其中c为整数， 则c＝_5_(_答__案__不__唯__一__)_．(只要求写出一个)
察图象，写出方程x2＋x＝1.5的根(精确到0.1)；
(3)如图，P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上．请写出一种适当的平移方法，使平移后二次函
数图象的顶点落在P点，并求出平移后二次函数图象的函数表达式．
解：(1)y＝x2＋x＝(x＋1)2－1，∴顶点是(－1，－1)．
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(2)描点如图：作直线 y＝1.5，交抛物线于 A，B 两点，分别过 A，B 两点作 AM⊥x 轴于
2a＋b＝0；③b2－4ac＜0；④4a＋2b＋c＞0.其中正确的是( C)
A．①③
B．只有②
C．②④
D．③④
11. (6分)在平面直角坐标系中，点M是直线y＝3与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y＝ 1 x2＋bx＋
c的顶点，则方程 1 x2＋bx＋c＝2的解的个数是_0_或__1_或__2_
5
解：(1)GH＝2x(m)． 3
(2)∵围栏总长为 80 m，∴2x＋2x＋2CD＝80，∴CD＝(40－4x)(m)，∴y＝x(40－4x)＝
3
3
3
－4x2＋40x(15≤x<30)． 3
(3)∵y＝－4x2＋40x＝－4(x－15)2＋300，又∵15≤x＜30，∴当
3
3
x＝15
时，y
最大＝300.
3
2
2
3
9
3
t＜5 时，如图②.∵AD＝AC－CD＝5 3－ 3t，∴DG＝5－t.∵ED＝DF＝2t，∴FG＝2t－(5－
t)＝3t－5.∵ED∥AB，∴∠FHG＝∠FGH＝∠EDF＝60°，∴△GFH 是等边三角形，∴S＝
1·2t· 3·2t－1(3t－5)· 3·(3t－5)＝5 3(t－3)2＋5 3，∴t＝3 时，S 有最大值 5 3.
9．(6分)如图，用长为12 m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃，围出的苗圃是五边形ABCDE， AE⊥AB，BC⊥AB，∠C＝∠D＝∠E.设CD＝DE＝x m，五边形ABCDE的面积为S m2.则S的最大值为( B )
A．12 3 m2 B．12 m2 C．24 m2 D．24 3 m2
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大．∵13.5－12.5＝1(m)，∴小敏的说法正确．
8．(12分)(2016·慈溪)某家禽养殖场用总长为80 m的围栏靠墙(墙长为20 m)围成如图所示的三块面 积相等的矩形区域，设AD长为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2. (1)请直接写出GH的长；(用含x的代数式表示) (2)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？