计算机图形学4圆及椭圆的扫描转换

MidpointCircle(int r, int color) { int x,y; int d; x=0; y=r; d=1-r; deltx =3; delty =-2*r+2; while(x<y) { drawpixel(x,y,color); if(d<0) { d+ = deltx; x++; deltx +=2 } else {d+ = deltx + delty; x++;y--; deltx +=2; delty+=2; } } }
算法优化
为了进一步提高算法的效率，可以将上面 的算法中的浮点数改写成整数，将乘法运 算改成加法运算，即仅用整数实现中点画 圆法。 使用e=d-0.25代替d e0=1-r 当e为整数时（e<0)(e<-0.25)
算法步骤：
1.输入圆的半径R。 2.计算初始值d=1-R、x=0、y=R。 3.绘制点(x,y)及其在八分圆中的另外七个对称点。 4.判断d的符号。若d<0，则先将d更新为d+2x+3， 再 将 (x,y) 更 新 为 (x+1,y) ； 否 则 先 将 d 更 新 为 d+2(x-y)+5，再将(x,y)更新为(x+1,y-1)。
M P2
M
即d 的增量为 2xp +3.
若d>=0, 则P2 为下一个象素，那么再下一个象 素的判别式为： d1 = F(xp + 2, yp - 1.5) 2 2 2 = (xp + 2) + (yp - 1.5) - r = d + （2xp + 3）+（-2 yp + 2）
P1 M
即d 的增量为 2 (xp - yp) +5.
第四讲 圆和椭圆的扫描转换
1 基础知识 2 中点画圆法 3 Bresenham画圆法
1 基础知识
1）直接利用圆的方程生成圆 下面先以圆心在原点、半径r为整数的圆 为例，讨论圆的生成算法。
假设圆的方程为： 2 2 2 x + y = r
x + y = r y = sqrt(r2 - x2) 在一定范围内，每给定一 x值，可得一y值。
当取D(xi+1,yi-1)时
i+1=(xi+1+1)2+(yi-1-1)2-R2= i+2(xi+1)-2(yi-1)+2
Bresenham_Circle(int r,int color) {int x,y,delta,delta1, delta2,direction; x=0;y=r;delta=2*(1-r);
将 (x,y) 更 新 为 (x+1,y) ； 否 则 先 将 d 更 新 为 d+2(x-
y)+5，再将(x,y)更新为(x+1,y-1)。
5.当x<=y时，重复步骤3和4。否则结束。
中点画圆法程序代码
MidpointCircle(int r, int color) { int x,y; float d; x=0; y=r; d=1.25-r; drawpixel(x,y,color); while(x<=y){ if(d<0){ d=d+2*x+3; x++ } else{d= d+2*(x-y) + 5; x++;y-;} } }
①
Pi(xi,yi)
⑤ ④ ②
H(xi+1,yi) D (xi+1,yi-1)
③
选择像素的原则
V
(xi,yi-1)
使其与实际圆弧的距离平方达到最小
Bresenham画圆算法
圆弧与点(xi,yi)附近光栅网格的相交关系有5种 右下角像素D (xi,yi)与实际圆弧的近似程度
i=(xi+1)2+(yi-1)2-R2
x i 1 round ( R cos i 1 ) y i 1 round ( R sin i 1 ) )
但仍要采用浮点运算、乘法运算、取整运算。
2）八分法画圆
利用圆的对称性：
y y=-x
(-y,x)
(y,x)
y=x
(-x,y)
(-x,-y)
(x,y)
(x,-y)
(-y,-x)
若d’<0，则选D 若d’>0，则选V
情形⑤也 适用
若d’=0，则选D
Bresenham画圆算法
当i=0时，D在圆上， ③ 取D点作为下一个象素
Bresenham画圆算法
当i<0时,
若d≤0，选H
若d>0，选D
当i>0时,
若d’ ≤0，选D 若d’>0，选V
当i<0时，D在圆内，①② 当i=0时，D在圆上，③
①
Pi(xi,yi)
⑤ ④ ②
H(xi+1,yi)
当i>0时，D在圆外，④⑤
V
D (xi+1,yi-1)
③
(xi,yi-1)
Bresenham画圆算法
当i<0时，D在圆内，①② 情形②，选mH ，mD 中最小者 d=mH - mD =|(xi+1)2+yi2-R2| - |(xi+1)2+(yi-1)2-R2| =(xi+1)2+yi2-R2 + (xi+1)2+(yi-1)2-R2 =2 (i+yi)-1
2 中点画圆法
利用圆的对称性，只须讨论1/8圆。第二个8分圆。
P（xp ，yp ）
P1
M P2
P为当前点亮象素，那么，下一个点亮的象素可能 是P1（xp+1，yp）或P2（xp +1，yp -1)。
构造函数：F（X，Y）=X + Y - r ；则 F（X，Y）= 0 （X，Y）在圆上； F（X，Y）< 0 （X，Y）在圆内； F（X，Y）> 0 （X，Y）在圆外。 设M为P1、P2间的中点，M=(Xp+1,Yp-0.5)
对于圆心在（x0,y0)、半径为r的圆，先对圆心在原 点，半径为r的8分圆进行扫描转换，每确定一个象素，可 输出原始圆的8个点。 void Circle8Points(int x0,int y0, int x,int y,COLORREF c) { pDC->SetPixel(x0+x,y0+y,c); pDC->SetPixel(x0-x,y0+y,c); pDC->SetPixel(x0+x,y0-y,c); pDC->SetPixel(x0-x,y0-y,c); pDC->SetPixel(x0+y,y0+x,c); pDC->SetPixel(x0-y,y0+x,c); pDC->SetPixel(x0+y,y0-x,c); pDC->SetPixel(x0-y,y0-x,c); }
5.当x<=y时，重复步骤3和4。否则结束。
中点画圆法程序代码
MidpointCircle(int r, int color) { int x,y; float d; x=0; y=r; d=1-r; drawpixel(x,y,color); while(x<=y){ if(d<0){ d+ = 2*x+3; x++ } else{d+ = 2*(x-y) + 5; x++;y--; } } }
x i 1 x i 1 x 0, R
2 2
2
2
2
y

2

y i 1 round ( R x i 1 )
缺点：浮点运算，开方， 取整，不均匀。
x
也可应用圆的参数方程画出分布比较均匀的点． x = Rcos y = Rsin
i 1 i ( 为一固定角度步长
(y,-x)
结论：只需对一个八分圆进行扫描转换。
y y=x R
x
图 5-10
1/8圆 弧
3）画任意圆的方法
百度文库
当圆心坐标(xc ，yc ) ，半径为整数r时：
(x-xc)2+(y-yc)2=r2 可以先对圆心坐标(0 ，0 ) ，半径为r的八 分圆进行扫描转换，根据圆的对称性，得到 八个对称点，再将这八个点进行平移，即可 得到原始圆上的对应点。
3 Bresenham画圆法
Bresenham画圆法与中点画圆法有很 多共同之处，不同之处主要是判别式的设 计。
Bresenham画圆算法
顺时针画第一四分圆，下一步选择哪个点？ 基本思想：
通过比较像素与圆的距离平方来避免开方运算
下一像素有3种可能的选择
mH=|(xi+1)2+yi2-R2| mD=|(xi+1)2+(yi-1)2-R2| mV=|xi2 +(yi-1)2-R2 |
P2 M
最后一个问题：判别式d的初始值
d 0 F (1, r 0 . 5 ) 1 ( r 0 .5 ) r
2 2
1 . 25 r
算法步骤：
1.输入圆的半径R。
2.计算初始值d=1.25-R、x=0、y=R。
3.绘制点(x,y)及其在八分圆中的另外七个对称点。
4.判断d的符号。若d<0，则先将d更新为d+2x+3，再
P1
2
2
2
M P2
有如下结论： F（M）< 0 ->M在圆内-> 取P1 F（M）>= 0 ->M在圆外-> 取P2 为此，可采用如下判别式：
P1 M P2
d = F(M) = F(xp + 1, yp - 0.5) 2 2 2 =(xp + 1) + (yp - 0.5) - r 若d<0, 则P1 为下一个象素，那么再下一个象素 的判别式为： d1 = F(xp + 2, yp - 0.5) 2 2 2 = (xp + 2) + (yp - 0.5) - r P1 = d + 2xp +3
本讲小结
1 基础知识
• 了解直接用圆的方程计算确定圆上 的像素的方法及其不足。 • 掌握通过一个八分圆的扫描转换， 画出任意圆周的方法。
2 中点画圆法
• 理解中点画圆法的基本思想，掌握 中点画圆算法及其特点。 • 能够应用中点画圆法，编程实现画 圆的功能。 •掌握Bresenham画圆算法及其特点。
3 Bresenham画圆法
实验三
实验目的：理解和掌握圆的扫描转换 的中点画圆算法。 实验名称：圆的中点画圆算法 实验步骤：（写出实际实现的程序和 结果） 实验总结。
若d<0，则选H 若d>0，则选D
情形①也 适用
若d=0，则选H
Bresenham画圆算法
当i>0时，D在圆外， ④⑤ 情形④，选mv ，mD 中最小者 d’=mD - mV =|(xi+1)2+(yi-1)2-R2 | - |xi2+(yi-1)2-R2| =(xi+1)2+(yi-1)2-R2 + xi2+(yi-1)2-R2 =2 (i-xi)-1
上述算法能否再改进呢？ 注意到d的增量是x,y的线性函数， 每当x递增1，则d的增量递增Δ x=2 每当y递减1，则d的增量递增Δ y=2 Δ x初始值=3；Δ y初始值=-2r+2
x=0;y=r;d=1-r;deltax=3;delty=-2*r+2 x=0; y=r; d=1-r; ...……… ...……… if(d<0) if(d<0) { d+ = deltax; x++; deltax+=2 ;} { d+ = 2*x+3; x++ ;} else else {d+ = deltx+delty; x++;y--; {d+ = 2*(x-y) + 5; x++;y--; } deltx+=2; delty+=2 }
while(y>=0) {drawpixel(x,y,color); if(delta<0) {delta1=2*(delta+y)-1; if(delta1<=0) direction=1; else direction=2; }
else if (delta>0) {delta2=2*(delta-x)-1; if (delta<=0) direction=2; else direction=3;} else direction=2; switch(direction) {case 1: x++; delta+=2*x+1; break; case 2: x++;y--; delta+=2*(x-y+1); break; case 3: y--; delta+=(-2*y+1); break;} } }
当i=0时，
选D
Bresenham画圆算法
判别式的递推关系 当取H(xi+1,yi)时
i+1=(xi+1+1)2+(yi-1)2-R2= i+2(xi+1)+1
当取V(xi,yi-1)时
i+1=(xi+1)2+(yi-1-1)2-R2= i-2(yi-1)+1