北师大版必修4 1.1 周期现象 学案
高中数学第一章三角函数1.1周期现象与周期函数课堂导学案北师大版必修4
1.1 周期现象与周期函数课堂导学三点剖析【例1】 走路时，我们手臂自然地随步伐周期性地摆动，那么，手臂周期摆动满足什么规律呢？解:如右图，以ON 代表手臂垂直位置，当手臂摆动到OP 位置，设θ=∠PON 为摆动幅角，而y 为P 点离开直线ON 水平距离，r 为手臂长度，根据初中平面几何知识可知：y=rsinθ. 友情提示实际生活中有许多呈周期性变化规律,比方:月亮圆缺;年,月,日,星期记时;海水涨落,这些都是呈周期性变化.各个击破类题演练 1时钟钟摆摆动呈什么规律，根据你平时观察用文字表达一下.答案:钟表钟摆呈周期性变化，它从最低点摆向右，再回到最低点，再摆向左，又回到最低点.完成一个周期.变式提升 1举出你生活中常见具有周期性实例.答案：转动车轮、月亮圆缺、星期记时、红绿灯变换.【例2】 函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x-2)，求证：函数y=f(x)周期为4.证明：令x-2=t ，那么x=t+2，于是由f(x+2)=f(x-2),得f(t)=f ［(t+2)+2］=f(t+4). 由周期函数定义知：函数y=f(x)周期为4.友情提示证明周期函数最常用是定义，此类问题中常用换元法，把括号内代数式看作整体，用新自变量代替，再按定义求解.类题演练 2判断函数y=lgx 是否是周期函数？如果是，求出它一个周期.解：取定义域内一个值x 0=1.由于f(x 0+T)=lg(x 0+T)=lg(1+T)≠lg1(T＞0常数)，于是f(x)=lgx 不是周期函数.变式提升 2定义在实数集上函数f(x)始终满足f(x+2)=-f(x).判断y=f(x)是否是周期函数.假设是周期函数，求出它一个周期.解：∵f(x+4)=f［2+(x+2)］=-f(x+2)=-［-f(x)］=f(x),∴f(x)是周期函数，且周期是4.【例3】 求以下函数周期：〔1〕y=sin2x;(2)y=2sin(2x-3). 思路分析：此题主要考察y=Asin(ωx+φ).y=Acos(ωx+φ)周期求法，利用周期函数定义及诱导公式求函数周期.解：〔1〕由于f(x+π)=sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x=f(x)，所以由周期函数定义知，原函数周期为π.〔2〕由于f(x+π)=2sin［2(x+π)-3π］=2sin ［2x+2π-3π］=2sin(2x-3π)=f(x),由周期函数定义知，原函数周期为π.类题演练 3证明y=x 3不是周期函数.证明：因为y=x 3在x∈R 上单调，设y 取值a,方程x 3=a 不可能有两个不同根，即不存在这样常数T ，使得f(x 0+T)=f(x 0).因此，y=x 3不是周期函数.变式提升 3证明f(x)=1(x∈R )是周期函数，但没有最小正周期.证明：f(x)=1对任意T≠0，都有f(x+T)=f(x)=1,所以此函数为周期函数，其周期为任意非零实数，但所有正实数中没有最小值存在,故无最小正周期.。
2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：1.1 周期现象 Word版含答案
明目标、知重点 1.通过创设情境，感知周期现象.2.感受周期现象对实际工作的意义，能推断简洁的实际问题中的周期.3.初步了解周期函数的概念，能推断简洁的函数的周期性．1．从周期现象到周期概念(1)观看钟表，分针指向12的位置表明是整点时间，经过一个小时，分针回到了原来的位置，我们说，分针的运动是周期现象，以1小时为一个周期；时针的运动周期当然是12小时．(2)地球围围着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的周期函数，周期是地球绕太阳旋转一圈的时间，即一年．在日常生活、生产实践中，很多事物或现象每间隔一段时间就会重复毁灭，这种现象称为周期现象．这个相同的时间间隔就是周期．2．作散点图的步骤及意义通常，很多实际问题所满足的数学模型是未知的，为了将其数学化，利用数学学问对其精确争辩，首先就要确定它的数学模型．这时，往往实行如下的步骤：(1)收集、统计数据；(2)把数据在坐标系中表示出来，我们得到的图像是一些点，称为散点图；(3)观看散点图与何种函数图像相吻合，我们就将该函数作为实际问题的数学抽象．由此，我们明确：散点图是在函数未知的时候用来探寻适当函数的，当然，确定函数类型之后，我们还要利用数据去拟合出函数的具体解析式．[情境导学]现实世界中的很多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，如日出日落、月圆月缺、四季更替、海水潮汐…，甚至日常生活中的交变电流、钟摆摇摆、水车转动……我们把这些每隔相同的时间间隔就会重复毁灭的现象称为周期现象．将要学习的三角函数是刻化周期现象的最好模型．本节由周期现象拉开本章的序幕．探究点一周期现象思考1用简短的文字语言概括出周期现象的关键特征是____________________．答间隔相同，重复毁灭思考2推断下列现象是否为周期现象．(1)钟表秒针的运动；(2)地球的自转；(3)地球上一年四季的更替．答(1)钟表的秒针每分钟重复一次相同的运动，是周期现象．(2)地球每昼夜自转一次，是周期现象．(3)地球每年重复毁灭四季的更替，是周期现象．例12021年5月1日是星期五，问2021年10月1日是星期几？解依据公历记法，2021年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2021年5月1日到2021年10月1日共有153天，由于每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2021年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期五，这一天是公历2021年10月2日，故2021年10月1日是星期四．跟踪训练12021年1月1日是星期四，把1月2日记作第一天，那么第365天是星期几？解由于365＝52×7＋1.所以，2021年1月1日经过364天后正好也是星期四，那么经过365天是星期五．探究点二周期函数初探假如一个函数的自变量每增加或削减一个固定的值时，函数值重复毁灭，函数图像重复毁灭，这样的函数就应考虑是周期函数，这个固定的值就是函数的一个周期．周期函数的图像应当沿x轴向左、右两方无限延展．思考下面供应了一些周期函数的部分图像，请依据图像写出它们的周期．①②③④它们的周期依次是：①1；②π；③π；④2π.例2已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米) 1.5 1.00.5 1.0 1.5 1.00.50.99 1.5依据规定，当海浪高于1米时才对冲浪爱好者开放，依据上表可以推断，一天内的8∶00至20∶00之间，有多少时间可以供冲浪者运动？解由数据表画出散点图如下：由图可知，在规定时间8∶00至20∶00之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，时间为9∶00至15∶00.反思与感悟收集数据、画散点图，分析、争辩数据特点从而得出结论是用数学方法争辩现实问题的常用方法．跟踪训练2下图为某港口某天水深与时间的散点图，依据图形，推断在一天之内，水深达到7 m的最短间隔时间为________h.答案12例3如图是钟摆的示意图，假如不计阻力，可将这个钟摆的运动看作周期运动．它离开平衡位置O点向左运动，5秒后第1次经过P点，再过2秒第2次经过P点，该钟摆再经过多长时间第3次经过P点？解设由O向左到M位置所需时间为x秒(则周期为4x秒)，则从O向左运动第1次经过P点所需时间为2x ＋(x－1)＝5，解得x＝2，要使钟摆第3次经过P点，则钟摆需要走的路程为P→O→M→O→P，故所需时间为：1＋2＋2＋1＝6(秒)，即该钟摆再经过6秒第3次经过P点．反思与感悟钟摆第2次过P点与第3次过P点的时间间隔应是钟摆运动的一个周期4x秒减去2秒，只需求出从O到M所需时间代入即可．要留意本题中的钟摆开头的运动方向是从O向左运动，不要误以为是向右运动．跟踪训练3如图是一向右传播的光波在某一时刻各点的位置图，经过34周期后，甲点和乙点的位置将分别移到________点和________点．答案丁戊1．下列现象是周期现象的是()①日出日落②潮汐③海啸④地震A．①②B．①②③C．①②④D．③④答案A2．共有50架飞机组成表演编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的挨次轮换编队，则最终一架是什么飞机？()A．侦察机B．直升机C．轰炸机D．歼击机答案B3．今日是星期一，7天后的那一天是星期______，120天后的那一天是星期______．(注：今日是第一天)答案一二解析 用星期一，星期二，…，星期日来表示时间时，时间是以7为周期循环毁灭的，故7天后的那一天是星期一，120天后的那一天是星期二．4．设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f (32)＝________.答案 32解析 f (32)＝f (32－2)＝f (－12)＝f (12)＝12＋1＝32.[呈重点、现规律]1．若某一现象依据确定的规律周而复始地重复毁灭，那么这种现象就称为周期现象．如海上波浪每间隔一段时间会重复毁灭，这种现象就是周期现象；再比如一个角每旋转一周(顺时针或逆时针)，终边就又回到原来的位置，这也是周期现象．因此推断一种现象是否为周期现象，关键是看这种现象是否能够依据确定规律重复毁灭．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避开因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误．一、基础过关1．如图所示是一个简谐振动的图像，下列推断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的速度为零 答案 B2．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( ) A ．8点处 B ．10点处 C ．11点处 D ．12点处答案 B3．今日是星期一，再过167天是( ) A ．星期天 B ．星期一 C ．星期二 D ．星期三答案 A解析 ∵167＝24×7－1，∴再过167天是星期一的前一天，即星期天．4.设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A 点时开头计时，经过1分后，钟摆的大致位置是( ) A ．点A 处 B ．点B 处 C ．O 、A 之间 D ．O 、B 之间 答案 D解析 经过0.45秒，钟摆到达O 点，经过0.9秒钟摆到达B 点， 而1分＝59.4秒＋0.6秒＝33×1.8秒＋0.6秒， ∵0.6秒介于0.45秒和0.9秒之间， ∴钟摆的位置介于O 、B 之间．5．月球围绕地球转，月球到地球的距离随着时间的变化而变化，这种现象是周期现象，那么周期是________． 答案 一个月6．游乐场中的摩天轮有8个座舱，每个座舱最多乘4人，每20 min 转一圈，估算一下8 h 内最多有________人乘坐过摩天轮．答案 768解析 4×8×24＝768.7.如图，一个质点在平衡位置O 点四周振动．假如不计阻力，可将这个振动看作周期运动．它离开O 点向左运动，4秒后第1次经过M 点，再过2秒第2次经过M 点．该质点再过多少时间第4次经过M 点？解 设由O 到A 所需时间为x ，则第一次经过M 点的时间为2x ＋(x －1)＝4，解得x ＝53，要使质点第4次经过M 点，经过的路程正好为一个周期，所以再过T ＝203秒第4次经过M 点． 二、力气提升8．已知函数f (x )＝1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数.下列说法正确的是( )A ．f (x )是周期函数，g (x )不是周期函数B ．f (x )不是周期函数，g (x )是周期函数C ．f (x )和g (x )都不是周期函数D ．f (x )和g (x )都是周期函数 答案 D9．已知函数f (x )对于任意x ∈R 满足条件f (x ＋3)＝1f (x )，且f (1)＝12，则f (2 014)等于( )A.12B ．2C ．2 013D ．2 014 答案 B解析 由于f (x ＋6)＝1f (x ＋3)＝f (x )， 所以函数f (x )的周期为6， 故f (2 014)＝f (4)＝1f (1)＝2.10．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 答案 －1解析 ∵函数f (x )的周期为5，∴f (x ＋5)＝f (x )， ∴f (3)＝f (－2＋5)＝f (－2)． 又∵f (x )为奇函数，∴f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2， 同理f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (3)－f (4)＝－2－(－1)＝－1.11．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，求f (f (5))的值． 解 由已知f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期为4的函数． ∵f (5)＝f (1)＝－5， ∴f (f (5))＝f (－5)＝f (－1) ＝1f (－1＋2)＝1f (1)＝－15.12．下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯惩处同学，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A ，B ，C ，…，G )，如图所示，始终到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能挂念这名同学尽快结束这个惩处吗？A B C D E F G 1 2 3 4 5 6 7 13 12 11 10 9 8 14 15 16 17 18 19 25 24 23 22 21 20… … … … … … … … … … … … …解 通过观看可发觉规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B ，C ，D ，E ，F ，G ，F ，E ，D ，C ，B ，A ”这12个字母循环毁灭，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166…6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G . 三、探究与拓展13．对于实数x ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数{x }＝x －[x ]，则下列命题中正确的是( ) A ．函数{x }的最大值为1 B ．方程{x }＝12有且仅有一个解C ．函数{x }是周期函数D ．函数{x }是增函数 答案 C解析 方法一 (排解法) ∵[x ]表示不超过x 的最大整数，∴x －[x ]不行能等于1，只能小于1，故{x }∈[0,1)，排解A ； {x }＝x －[x ]＝12时，x 可取多个值，如x ＝0.5，1.5，2.5等，∴B 错；推断{x }的增减性要相对于特定的区间和特定的x 值，x 取值不同其增减性也不同，∴D 错．排解法可知C 对，故选C.方法二 (图像法)当x ∈[－1,0)时，[x ]＝－1，{x }＝x －[x ]＝x ＋1； 当x ∈[－2，－1)时，[x ]＝－2，{x }＝x －[x ]＝x ＋2；当x ∈[0,1)时，[x ]＝0，{x }＝x －[x ]＝x ； 当x ∈[1,2)时，[x ]＝1，{x }＝x －[x ]＝x －1； 一般地，x ∈[n ，n ＋1)，[x ]＝n ，{x }＝x －[x ] ＝x －n ，n ∈Z .作出函数{x }＝x －[x ]的图像，如下图所示：结合图像易知，0≤{x }<1，A 错； 方程{x }＝12有很多多个解，B 错；函数{x }＝x －[x ]虽然在[n ，n ＋1)，n ∈Z 上分段单调递增，但在定义域R 上不是单调函数，D 错；结合图像知函数是周期函数，且最小正周期为1.。
【配套K12】2018北师大版高中数学必修四学案：第一章 1 周期现象-§2 角的概念的推广
学习目标 1.了解现实生活中的周期现象.2.了解任意角的概念，理解象限角的概念.3.掌握终边相同的角的含义及其表示．知识点一周期现象思考“钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．”这样的现象，具有怎样的属性？梳理(1)以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会________出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．知识点二角的相关概念思考1将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？思考2如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？梳理(1)角的概念：角可以看成平面内____________绕着________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：知识点三象限角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？梳理在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．象限角：________在第几象限就是第几象限角；轴线角：________落在坐标轴上的角．知识点四终边相同的角思考1假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？思考2如何表示与60°终边相同的角？梳理终边相同角的表示一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与________的整数倍的和．类型一周期现象的应用例1水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？反思与感悟(1)应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”、“化无限为有限”的目的．(2)只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”就可以把问题转化到一个周期内来解决．跟踪训练1利用例1中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？类型二象限角的判定例2在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.反思与感悟判断象限角的步骤(1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．跟踪训练2(1)判断下列角所在的象限，并指出其在0°～360°范围内终边相同的角．①549°；②－60°；③－503°36′.(2)若α是第二象限角，试确定2α、α2是第几象限角．类型三终边相同的角命题角度1求与已知角终边相同的角例3在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．反思与感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．跟踪训练3写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．命题角度2求终边在给定直线上的角的集合例4写出终边在直线y＝－3x上的角的集合．反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．跟踪训练4写出终边在直线y＝33x上的角的集合．1．下列是周期现象的为()①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；③某超市每天的营业额；④某地每年6月份的平均降雨量．A．①②④B．②④C．①②D．①②③2．与－457°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}3．2 017°是第________象限角．4．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间是________s.5．已知，如图所示．(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．1．判断是否为周期现象，关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现．2．由于角的概念推广了，那么终边相同的角有无数个，这无数个终边相同的角构成一个集合．与α角终边相同的角可表示为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，要领会好k∈Z的含义．3．熟记终边在坐标轴上的各角的度数，才能正确快速地用不等式表示各象限角，注意不等式表示的角的终边随整数k的改变而改变时，要对k分类讨论．答案精析问题导学知识点一思考周而复始，重复出现．梳理(2)重复知识点二思考1有顺时针和逆时针两种旋转方向．思考2不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．梳理(1)一条射线端点旋转(2)逆时针方向旋转顺时针方向旋转没有作任何旋转知识点三思考终边可能落在坐标轴上或四个象限内．梳理终边终边知识点四思考1它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相隔了2个周角的和及1个周角．思考260°＋k·360°(k∈Z)．梳理周角题型探究例1解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．跟踪训练1解设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，所以y＝x5·160＝32x，为使水车盛800升的水，则有32x≥800，所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．例2解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．跟踪训练2解(1)①∵549°＝189°＋360°，∴549°角为第三象限的角，与189°角终边相同．②∵－60°＝300°－360°，∴－60°角为第四象限的角，与300°角终边相同．③∵－503°36′＝216°24′－2×360°，∴－503°36′角为第三象限的角，与216°24′角终边相同．(2)由题意得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，①所以180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)．故2α是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角．由①得45°＋k·180°<α2<90°＋k·180°(k∈Z)，当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得45°＋n·360°<α2<90°＋n·360°(n∈Z)，故α2是第一象限角．当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得45°＋180°＋n·360°<α2<90°＋180°＋n·360°(n∈Z)，即225°＋n·360°<α2<270°＋n·360°(n∈Z)，故α2为第三象限角．综上可知，α2为第一或第三象限角．例3解与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)．(1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.跟踪训练3解由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴31136≤k＜61136(k∈Z)，故取k＝4,5,6.当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.例4解终边在y＝－3x(x<0)上的角的集合是S1＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝－3x(x≥0)上的角的集合是S2＝{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝300°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝120°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝－3x上的角的集合是S＝{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}．跟踪训练4解终边在y＝33x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝33x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．当堂训练1．C 2.C 3.三 4.1.45．解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．。
高中数学(北师大版)必修四教案：1.1 周期现象 参考
§1 周期现象【目标要求】〖学习目标〗★1通过实例，认知周期现象的数学规律；能判断出简单周期现象的周期★2抓住周期现象的基本特征会判断什么是周期现象〖学习重点、难点〗重点；判断什么是周期现象，体验、感悟周期现象的特征难点：对周期现象的理解以及简单的应用【过程方法】〖预习提要〗★1. 阅读课本P3上的钱塘江潮汐现象的例子，从收集到得数据列表和给出的散点图，试着总结周期现象的特征：★2.根据你对周期现象的理解，请回答几个小问题①．地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象吗？____说说它的周期是_____②．钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象吗？____它的周期是_____③．连续抛一枚硬币，面值朝上我们记为o，面值朝下我们记为1，数字O和1是否会周期性地重复出现？是周期现象吗？________请你举出几个我们日常生活中，存在的具有周期现象的例子3.通过课本上P4上的三个例题来体会周期现象存在在天文学科，物理学科，水利学科，实际生活中，以及研究周期现象的重要性和必要性〖预习检测〗★1.判断下列现象是否是周期现象_____________________．(1)钟表的秒针的运动．（5）某同学每天看电视的时间(2)地球的自转．（6）某同学放学回家的时间(3)地球上一年四季的变化．（7）地球围绕太阳旋转(4)物理学中的单摆振动．（8）某同学每周上网的时间★2. 地球围绕着太阳转(如图1)，地球到太阳的距离y随时间的变化是周期性的吗？图13. 图2是钟摆的示意图．摆心A到铅垂线MN的距离记为y，钟摆偏离铅垂线MN的角记为θ，根据物理知识，y与θ都随时间的变化而周期性变化，图24. 图3是水车的示意图．水车上A点到水面的距离为y．假设水车5 min转一圈，那么y的值每经过5 min就会重复出现，请问距离y随时间的变化规律是否具有周期性？图3〖预习反馈〗〖精讲释疑〗★1.周期现象的特征？★例2 。
高中数学第一章三角函数1.1周期现象学案北师大版必修4
1.1 周期现象周期现象 同学们，你们有没有见过大海，观看过潮起潮落？我们看到波浪每间隔一段时间会重复出现，这种现象被称为________．众所周知，海水会发生潮汐现象．大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，因此潮汐是________．当潮汐发生时，水的深度会发生______变化．预习交流在现实生活中，你能举出一些具有周期现象的例子吗？答案：周期现象 周期现象 周期性预习交流：提示：物理学中的波，单摆；地理学中的日夜更替；气象学中的四季交替变化等．1．对周期现象的理解现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性，例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；月亮圆缺变化的周期性，即朔—上弦—望—下弦—朔；潮汐变化的周期性，即海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性等．1．钟表的秒针每分钟转一圈，它的运行是周期现象吗？2．今天是星期一，50天后的那一天是星期几？2．周期现象在实际中的应用天上的有些恒星的亮度是会变化的，其中有一种称为造父变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化．下图为一造父变星的亮度随时间变化的图像．据此回答：此星亮度的变化周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？思路分析：在给出的图像中，我们可以得到亮度呈周期性变化的规律，从而得到我们要求的结论．连续掷一枚骰子，可能出现点数为1,2,3,4,5,6，这些数字是否会周期性地重复出现？观察具有周期性的函数图像，要注意什么时候重复和怎么重复．这样就找到了我们需要的变化的周期．答案：迁移与应用：1.是．2．星期二．活动与探究：解：此造父变星亮度的变化周期约为5.5天，最亮时是3.7等星，最暗时是4.4等星．迁移与应用：不会．1．判断下列现象是否为周期现象．(1)地球的公转；(2)海水发生潮汐；(3)手表的时针转动．2．今天是星期一，那么7k(k∈N＋)天后的那一天是星期几？从明天算起，第7k天是星期几？100天后的那一天是星期几？3．如图是一个单摆的振动图像，根据图像，回答下面问题：(1)单摆的振动是周期现象吗？(2)若是周期现象，其振动的周期是多少？(3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少？答案：1．解：(1)(2)(3)都是．2．解：每周7天，呈周期性变化．今天是星期一，则7k(k∈N＋)天后的那一天是星期一．从明天算起，第7k天亦是经过了周期的整数倍，所以是星期一，100天后的那一天是星期三(因为100＝14×7＋2)．3．解：(1)观察图像可知，图像从t＝0.8 s开始重复，所以单摆的振动是周期现象；(2)振动的周期为0.8 s；(3)由图像知最高点和最低点偏离t轴的距离相等且等于0.5 cm，所以单摆离开平衡位置的最大距离是0.5 cm.。
1.1周期现象——导学案
周期现象使用说明：1.阅读探究课本53 p 页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成本学案内容。
【学习目标】1.通过实例了解自然界存在着丰富的周期现象，并能从数据或图形中，读出周期规律。
2.通过本节的学习，使学生对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学。
3.培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
【重点难点】重点：感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点：周期现象的深刻理解以及简单的应用。
一、知识链接我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，钱塘江潮波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你再举出生活中存在周期现象的例子。
二.教材助读我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？请同学们自主学习课本P3—P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”？②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？③如何理解图1-1中的“H/m ”和“t/h ”？④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T ；x 必须是定义域内的任意值；f(x ＋T)＝f(x)。
三、预习自测1．下列现象是周期现象的是 ( ) ①日出日落 ②潮汐 ③海啸 ④地震A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ③④2．设钟摆每经过1.8s 回到原来的位置。
在图中钟摆达到最高位置时开始计时， 经过1min 后，请你估计钟摆在铅垂线的左边还是右边。
3已知函数f(x)是R 上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11)基础知识探究预习案 探究案1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的函数吗？如果是，这个函数y＝f(t)是不是周期函数？2.图1-3（见课本）是钟摆的示意图，摆心A到铅垂线MN的距离记为y，钟摆离铅垂线MN 的角记为θ，根据物理知识判断，y与θ是否是时间t的周期函数？综合应用探究图1-4（见课本）是水车的示意图，水车上A点到水面的距离为y，假设水车5min转一圈，那么y随时间的变化规律是否具有周期性？【当堂检测】1.（1）地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象吗？（2）钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象吗？（3）连续抛一枚硬币，面值朝上我们记为0，面值朝下我们记为1，数字0和1是否会周期性的重复出现？2.今天是星期三那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期几?7k(k∈Z)天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?100天前的那一天是星期几？我的收获。
北师大版高中数学必修4第一章第一节周期现象(共21张PPT)
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.8.3121.8.31Tuesday, August 31, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。12:06:0912:06:0912:068/31/2021 12:06:09 PM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.8.3112:06:0912:06Aug-2131-Aug-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。12:06:0912:06:0912:06Tuesday, August 31, 2021
1.1周期现象
1.教材的 地位，作
用
2.教学目 标
教材分 析
3.教学重 难点
一.教材分析
1.教材的地位与作用，及前后联系
（1）本书由北师大出版，本节课的内容出自高中数学必修四第一章一节，内容是周期。
（2）通过前面的学习，已经让我们了解到了数学的严谨性和灵活性，本节内容是在我们 已有的数学思维上对新内容的一个拓展，即通过观察现象让学生对周期现象有一个大概的 认识，进而总结出规律和特点。达到让同学们通过现象看本质，从而学会发散思维，归纳 总结的学习能力。
2.回顾定义，引出新知
定义：事物在运动，变化过程中，某些特征多次重复出现，其连续两次出现所经过的时间 叫做周期。
3.实践探索，感受特征
举出我们身边的普遍的周期现象。例如，日出和日落，四季的轮回……让学生感受其特征
4.例题教学，巩固新知
例题：海水会发生潮汐现象，每一昼夜潮水会涨落两次，潮汐现象是周期现象，当潮汐发生 时，水的深度会产生周期性变化，为了研究水深的变化规律，我们可以构造一个函数，考察 水深H和时间t的关系，那么H就是t的函数，函数的自变量是t，因变量是水深H。
2019-2020学年数学北师大版必修4学案： 1.1 周期现象 Word版含解析
祝学长学业有成，取得好成绩美妙音乐显周期《梁祝》优美动听的旋律，《十面埋伏》的铮铮琵琶声，贝多芬令人激动的交响曲，田野里昆虫啁啾的鸣叫……当沉浸在这些美妙的音乐声中时，你是否想到了它们其实与数学有着密切的联系？事实上,数学与音乐之间不仅有着密切的联系，而且相互交融形成了一个和谐统一的整体．古希腊时代的毕达哥拉斯(约公元前580～公元前500年）就已经发现了数学与音乐的关系．他注意到如果振动弦的长度可表示成简单的整数之比，这时发出的将是和音，如2︰3（五度和音）或3︰4(四度和音)．音乐中存在着数学．下面是贝多芬“欢乐颂”的一个片段：如果以时间为横轴,音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点：实际上，音乐中的五线谱就相当于一个坐标系，写在五线谱中的音符相当于坐标系中的点,两个相邻点横坐标的差就是前一个音符的音长，而一首乐曲就是一个音高y关于时间x的函数y＝f（x)．忽上忽下跳动的音符也是有一定规律可循的．在一首乐曲中常常会有一段音符反复出现，这就是它的主旋律．它表达了该乐曲的主题，从数学上看，乐曲的主旋律就是通过周期性表达的，可以用三角函数来表示．祝学长学业有成，取得好成绩§1周期现象Q错误!错误!许多天体的运行都有着周期性的规律．太阳系中的八大行星——水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星都是按照一定的周期做自转和绕太阳的公转:地球沿着自转轴自西向东不停地旋转着,它的自转周期为23小时56分4秒，约等于24小时．同时，地球还围绕太阳公转,公转一周要365.25天，为一年．水星的自转周期是58。
65天,它在88个地球日里就能绕太阳一周，是太阳系中运动最快的行星．金星公转周期225天，自转周期则要243天．火星的自转和地球十分相似,自转一周的时间为24小时37分．火星上的一昼夜比地球上的一昼夜稍长一点．火星公转一周约为687天，火星的一年约等于地球的两年．木星绕太阳一周大约需要12年，但它的自转速度却是太阳系中最快的，自转周期为9小时50分30秒．土星29年绕太阳一周,自转周期为10小时．天王星的自转周期为17。
三角函数1.1周期现象与周期函数教案北师大版必修4
1.1 周期现象整体设计教学分析本节是三角函数内容的开篇第一节，主要解决为什么要学习三角函数的问题.因为自然界中存在着大量的周期现象，为了研究周期现象中蕴含的数学规律，我们才来学习三角函数.三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，有着广泛的实践意义和理论价值，是高考的重点考查内容，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数.函数周期性是函数的三大基本性质之一,经常在考试和练习中出现.利用周期性可以求函数值、函数的解析式,判断函数的奇偶性、单调性等，对于学生学习函数的性质有着承上启下的作用.怎样研究现实中的周期现象呢？本节给出了一个完整的例子——潮汐现象.其思考分析过程为：观察图片，感受周期现象→构造一个函数→收集相关数据→在坐标纸上画出散点图→观察散点图的特征→判断实例是否周期性变化.根据这个实例，在教学中要体现三个层次，第一个层次是感知，在问题提出前首先观察钱塘江潮的图片，使学生感受周期现象的存在.第二个层次是领悟、思考，在活动中发现水深和时间的函数，并在坐标纸上画出水深和时间的散点图.第三个层次观察散点图，从图中可以看出，每经过相同的时间间隔水深就重复出现相同的数值，因此水深是周期性变化的.在教材处理上让学生多举生活中的实例，数学来源于生活，又指导生活.大千世界有很多的周期现象，让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在.教科书中的三个例题使学生进一步认识到自然界存在着丰富的周期现象，目的是让学生初步探寻领悟周期现象中蕴含的数学方法，感受身边存在的大量周期现象的实例.三维目标通过阅读教材，联想生活中的一些实例，如单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象.通过本节的学习，使学生对周期现象有一个初步的认识，感受到生活中处处有数学，从而激发学生用数学的观点方法来研究这些现象的欲望，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物.重点难点教学重点：感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象.教学难点：周期现象的深刻理解以及简单的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.让学生各自举出日常生活中存在的周期现象的实例，在生活中处处有数学的氛围感受，从数学的角度来分析研究这些周期现象所蕴含的共同规律，由此自然地展开 新课.思路2.(情境导入)取出一个钟表,让学生到讲台实际操作，并请学生观察时针、分针和秒针的关系,经过讨论后得出结论:时针、分针和秒针每经过一周就会重复一次.教师点出，这种现象在数学上被称为周期现象.然后教师引导学生阅读课本，进而展开新课.推进新课新知探究提出问题①什么是周期现象？每人各自举出3个以上周期现象的实例.②周期现象与函数的概念有什么联系？③如何画出“散点图”？④如何理解“散点图”？图1中横坐标和纵坐标分别表示什么？活动:引导学生自主学习本节的相关内容，并思考理解周期现象的数学含义，理解周期现象中两个量的变化与函数中两个量的变化联系,尝试着用函数的视角来分析并解释周期现象.例如:对于函数f(x),自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个),函数值就重复出现,这样的函数我们就叫做周期函数.课本中的潮汐现象已经给出了相关数据(实际操作中学生应学会自己采集相关数据)，教师引导学生观察表格中的数据,并发现规律，比如重复出现的几个数据.指导学生根据散点图中点的位置排列，进一步理解周期现象的含义以及散点图中横、纵坐标表示的量.当潮汐发生时，水的深度会产生周期性变化,为了研究水深的变化规律，我们可以构造一个函数.例如，确定一个位置，考察该处水深H和时间t的关系，那么H就是t的函数.下表是某港口在某一天水深与时间的对应关系表，通过表中数据，我们来研究H(t)这根据上表提供的数据在坐标纸上可以作出水深H与时间t关系的散点图(如图1).图1教师进一步引导学生举出生活中存在周期现象的例子,并结合实例与学生进一步探究、升华周期现象，丰富学生对周期现象的感知.例如：实例1.让学生观察钱塘江潮的图片(投影图片)，并介绍:钱塘江是浙江省的第一大河，它位于浙江省北部，全长605千米，河域面积五万平方千米，占全省面积的百分之四十三，是我国东南沿海的一条著名江流.利用课件，让学生看看潮水，听听潮声，感受一下钱塘江潮的宏伟气势.教师适时引导学生注意波浪是怎样变化的？师生讨论总结得出:波浪每隔一段时间会重复出现，这是一种周期现象.实例2.大海富饶、美丽、,博大、宽广,壮丽的海上日出,美丽的神话传说唤起了人们对海的向往.众所周知，海水受月亮、太阳的引力,在一定的时候发生涨落现象.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天刚刚学到的周期现象.人们根据海水的这一规律，在通常情况下,航船在涨潮时驶进航道,靠近码头，卸货后,在落潮时返回海洋，这是人们充分利用周期规律的典型例子.实例3.我们平时所说的年、月、日，实际上是自然界存在的周期性天文现象.太阳东升西落的周期是一日；月亮由圆到缺，又由缺到圆，这就是一月，即周期为一月；冬去春来，循环往复，这就是一年，即周期为一年.这些周期性现象向人们展示了时间的进程.实例 4.太阳表面的太阳黑子活动也是周期性天文现象.黑子是光球层上的巨大气流漩涡，大多呈近似椭圆形，在明亮的光球背景反衬下显得比较暗黑，但实际上它们的温度高达4 000 ℃左右.倘若能把黑子单独取出，一个大黑子便可以发出相当于满月的光芒.太阳表面上黑子出现的情况是不断变化的，这种变化反映了太阳辐射能量的变化.太阳黑子的变化存在复杂的周期现象，平均活动周期为11.2年.实例5.在医学上，心脏收缩和舒张有规律的交替进行，称为心动周期.心房与心室每收缩和舒张一次，即为一个心动周期.正常心动周期的顺序为：首先两心房收缩，一般占0.1秒(以每分钟心跳75次计算)；继而心房舒张，持续0.7秒.当心房收缩时，心室处于舒张状态，持续0.5秒；心房进入舒张后不久，心室开始收缩，持续0.3秒，随即又进入舒张状态.在正常情况下，左、右心房和左、右心室收缩和舒张活动几乎是同步进行的.另一方面，无论心房或心室，收缩期均短于舒张期.心动周期的持续时间与心跳频率有关，心率过快，心动周期时间就过短，心房和心室的舒张时间也过少，这样就会影响心脏内血液充盈程度，降低每次心搏的输出量.实例 6.蜕皮(tuipi).昆虫纲和甲壳纲等节肢动物的体表具有坚硬的角质层，虽有保护身体的作用，但限制动物的生长发育.因此，在胚后发育过程中，必须进行一次或数次脱去旧表皮，再长出宽大的新表皮后，才变成成虫，这种现象称为蜕皮.只有这样，虫体才能得以继续充分生长发育.显然，蜕皮现象是自然界存在的周期性自然现象.但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显，如蜥蜴和蛇具有双层角质层，其外层在定期蜕皮时脱掉;蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤，约2个月完整地脱落1次.实例7.自出生之日起，人的情绪、体力、智力等心理、生理状况就呈周期变化.根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种.这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天.每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段.以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说11.5天、14天、16.5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日.临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期.生日前一天是起始位置(平衡位置)，根据自己的出生日期，就能绘制出自己的体力、情绪和智力曲线，并总结出自己在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己,在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力，以便更好地做好工作.这是人们充分利用人体自身的周期规律、顺应自然的又一典例.实例8.化学元素的性质取决于核外电子的分布，而核外电子的分布是周期性地重复着类似的排列，于是,元素的性质也就出现了周期性的变化，根据这些变化科学家制定了元素周期表,以揭示元素周期性变化规律，最著名的有门捷列夫的元素周期表等.物理学科中这种周期性运动变化规律更是大量存在，如单摆的简谐运动、交流电的电压变化规律等.根据以上实例，教师与学生一起归纳提高：在我们生活的周围存在着大量的周期规律，充分认识这些规律，就能更好地造福于人类、造福于社会，而本章三角函数正是刻画周期现象的一类重要数学模型.学习中要通过具体现象细心观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在，并用学到的数学知识再应用于实践.由此可见，数学来源于生活，又指导生活，学好数学对我们来说是多么的重要.这也就理解了为什么数学家说“数学不仅是人类语言，也是宇宙语言”的道理.讨论结果:①-④略.应用示例1.地球围绕着太阳转(图2)，地球到太阳的距离y随时间t的变化是周期性的吗？图2活动:教师引导学生回忆物理学的相关知识，结合函数的概念进行思考分析.解:根据物理学知识，我们知道在任何一个确定的时刻，地球与太阳的距离y是唯一确定的，每经过一年地球围绕着太阳转一周.无论从哪个时刻t算起，经过一年时间，地球又回到原来的位置，所以，地球与太阳的距离是周期变化的.点评:理解周期现象及相关知识.2.图3是钟摆的示意图.摆心A到铅垂线MN的距离记为y，钟摆偏离铅垂线MN的角记为θ.根据物理知识，y与θ都随时间的变化而周期性变化.图33.图4是水车的示意图.水车上A点到水面的距离为y.假设水车5min转一圈，那么y的值每经过5min就会重复出现，因此，距离y随时间t的变化规律也具有周期性.图4点评:抓住周期现象与函数的内在联系，从众多变量中找出具有反映周期现象本质的两个量，其因变量的值随着主变量每隔一定的变化时都会重复出现.培养学生善于从众多复杂现象中迅速抓住本质的能力.变式训练走路时我们的手臂自然地随步伐周期性的摆动，那么手臂的摆动满足什么规律呢？解:如图5，以ON代表手臂的垂直位置，当手臂摆动到OP位置时，设θ＝∠PON为摆动的幅角，y为P点离开直线ON的水平距离，r为手臂的长度，根据初中平面几何知识可知y=rsinθ.图5知能训练课本习题1—1 1、2.课堂小结教师与学生一起回顾本节课都学到了哪些数学知识与数学方法，怎样从杂乱无章的现象中探寻规律.与学生一起探寻周期性变化规律对国家建设、制定未来计划，以及我们的学习、生活都发挥着哪些积极作用.数学的伟大使命在于从混沌中发现规律,让我们借助本节的方法体会整章的风貌，让本章的探究体会为我们今后的学习插上翅膀.作业1.课本习题1—1 3.2.从物理、化学、生物、地理、历史等其他学科中举出周期现象的例子.设计感想本课时作为全章第一节开头，有仰望全章、激发探究、投石问路之意，因此在教案设计上应对教法、学法有一定设计，并对全章略做提点，也算抛砖引玉，以解学生之疑.本节通过创设一定的教学情境，让学生感知周期现象，并引导学生从数学的角度来分析探究这种现象，目的是让学生初步探寻领悟周期现象中蕴含的数学方法，感受身边存在的大量的周期现象的实例，以便于进一步学习三角函数的有关知识.本节内容实际上就是引导学生通过大量的类似现象来寻找规律.引导学生经历探索规律的过程这一步对学生来说至关重要，一开始不可要求学生机械地套用课本实例.因为每个问题都有着多种变化因素，每个学生都有着自己独特的体验，有了探索规律的过程，学生在面对新的现象或问题时，才能主动应用相关的策略，找到解决问题的方法.所以在教学时不能因为贪图省事而简单地告诉学生这个是周期现象，让学生放弃了自主探索、合作交流的机会，那才真是捡了芝麻丢了西瓜.习题详解习题1—11.解:由题意知钟摆的周期为T=1.8秒.∵1分钟=1.8×33+0.6秒,又41T=0.45, ∴钟摆在铅垂线的左边.点拨:根据钟摆的周期,可知在第一、四个41T 钟摆在铅垂线的左边,在第二、三个41T 钟摆在铅垂线的右边.2.解:由题意,知钟摆的周期为T,则43T=5,所以T=320. 所以第三次经过M 点需要320-2=314秒. 点拨:根据题意,求出质点的运动周期即可.3.点拨:由摩天轮的转动周期,得8小时内转动24圈,设每人只坐一圈且每次坐满,则最多乘坐24×8×4=768人.备课资料一、周期现象1.植物开花有早有晚，并随光照时间的长短而变化，这是周期现象吗？请解释这一现象. 地球上不同纬度地区，在植物生长季节里每天昼夜长短比例不同，对植物的开花结实具有明显的影响，这叫作光周期现象.根据植物对光周期反应的不同，可分为长日照植物、短日照植物和中间性植物.长日照植物在生长过程中有一段时间每天需要有12小时以上的光照时数才能开花，光照时间越长，开花越早.短日照植物，每天光照时数在12小时以下才能开花，在一定范围内黑暗期越长，开花越早.中间性植物，对光照长短没有严格要求，只要生存条件适宜就可开花结实.在农业生产和园艺植物栽培中，花期的控制以及引种工作中，研究植物的光周期现象具有重要的意义.动物也有明显的光周期现象，在脊椎动物中表现得最典型的就是鸟类，很多鸟类的迁徙都是由日照长短的变化而引起的.由于日照长短的变化是地球上最严格和最稳定的周期变化，所以是生物节律最可靠的信号系统.鸟类在不同年份迁离某地和到达某地的时间都不会相差几日，如此严格的迁徙规律是任何其他因素(如温度的变化，食物的短缺等)都不能解释的.同样,各种鸟类每年开始繁殖的时间也是由日照时间的长度变化决定的.2.流星雨是周期性的现象吗?流星雨是周期性的现象,每年都有，有三大流星雨最为著名.英仙座流星雨，英仙座流星雨每年固定在7月17日到8月24日这段时间出现，它不仅数量多，而且几乎从来没有在夏季星空中缺席过，其地位列全年三大周期性流星雨之首.彗星Swift-Tuttle是英仙座流星雨之母，1992年该彗星通过近日点前后，英仙座流星雨大放异彩，流星数目达到每小时400颗以上.天龙座流星雨，天龙座流星雨在每年的10月6日至10日左右出现，极大日是10月8日，该流星雨是全年三大周期性流星雨之一，最高时流量可以达到每小时120颗，其极大日一般接近新月，月光影响小，为观测者提供了很好的观测条件， Giacobini-Zinner彗星是天龙座流星雨的本源.天琴座流星雨，天琴座流星雨一般出现于每年的4月19日至23日，通常22日是极大日，该流星雨是我国最早记录的流星雨，在古代典籍《春秋》中就有对其在公元前687年大爆发的生动记载.彗星1861I的轨道碎片形成了天琴座流星雨，该流星雨作为全年三大周期性流星雨之一,在天文学中占有着极其重要的地位.二、如何理解周期现象与三角函数的关系我们是生活在周期变化的世界中，大到地球、月亮，小到原子、电子都在周期地运动，时间在年复一年，月复一月，日复一日地变化，所有的生物都会生老病死，等等.研究周期变化规律是我们生活的需要.所谓周期函数就是定量地反映周期变化规律的基本概念，简单地说经过一定数量重复原来的变化，即f(x+k)=f(x)时，函数y=f(x)是一个周期函数.在实际教学中，教师应指导学生收集和整理其他学科、日常生活中的周期变化的实例.如物理、化学、生物、地理等学科中，有很多生动的周期变化的实例.通过这些实例体会周期现象的规律性，对于理解相应学科的内容很有帮助，例如，交流电的变化等等.三角函数本身是最基本的周期函数，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们是描述周期现象的一个重要工具.其中正弦函数和余弦函数更为重要，很多周期现象的规律都可以由它们直接描述.传统的三角学主要研究测量三角形内的各种边角关系，反映“静态的关系”，传统三角学的内容随着时代的发展逐步消弱.在高中课程中，解三角形是属于三角学的内容，三角学与三角函数的定位不同，三角函数是动态的，研究周期变化的，是“分析学”的主要内容.。
北师版数学高一-必修4学案 1.1-2 周期现象 角的概念的推广
§1周期现象§2角的概念的推广[学习目标] 1.通过实际情境，感知周期现象，能判断简单的实际问题中的周期.2.理解正角、负角、零角与象限角的概念.3.掌握终边相同角的表示方法．[知识链接]1．用精简的文字语言概括出周期现象的关键特征是什么？答间隔相同，重复出现．2．手表慢了5分钟，如何校准？手表快了0.5小时，又如何校准？答可将分针顺分针方向旋转30°；可将分针逆时针方向旋转180°.3．在初中角是如何定义的？答定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作角．定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫作角．[预习导引]1．周期现象若某一现象按照一定的规律周而复始地重复出现，那么这种现象就称为周期现象．2．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．(2)角的表示方法：①常用大写字母A、B、C等表示；②也可以用希腊字母α、β、γ等表示；③特别是当角作为变量时，常用字母x表示．(3)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角3.角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．4．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．要点一周期现象的判定例1下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？A B C D E F G12345671312111098141516171819252423222120………………………………解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.规律方法对周期现象的判断，首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．跟踪演练12015年5月1日是星期五，问2015年10月1日是星期几？解按照公历记法，2015年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2015年5月1日到2015年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2015年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期五，这一天是公历2015年10月2日，故2015年10月1日是星期四．要点二任意角概念的辨析例2在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________．答案①②④解析①0°角不属于任何象限，所以①不正确．②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．③钝角α的范围是90°＜α＜180°，显然是第二象限角，所以③正确．④锐角α的范围是0°＜α＜90°，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．规律方法判断说法错误，只需举一个反例即可．解决本题关键在于正确理解各种角的定义．随着角的概念的推广，对角的认识不能再停留在初中阶段，否则判断容易错误．跟踪演练2设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有()A．B C A B．B A CC．D(A∩C) D．C∩D＝B答案D解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.角集合表示锐角B＝{α|0°<α<90°}0°～90°的角D＝{α|0°≤α<90°}小于90°的角A＝{α|α<90°}第一象限角C＝{α|k·360°<α<k·360°＋90，k∈Z}要点三例3在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．规律方法本题要求在0°～360°范围内，找出与已知角终边相同的角，并判断其为第几象限角，这是为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值打基础．跟踪演练3给出下列四个说法：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角，其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案D解析对于①：如图1所示，－75°角是第四象限角；对于②：如图2所示，225°角是第三象限角；对于③：如图3所示，475°角是第二象限角；对于④：如图4所示，－315°角是第一象限角．要点四终边相同的角的应用例4在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．解(1)与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，由－360°<k·360°＋10 030°<0°，得－10 390°<k·360°<－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°<k ·360°＋10 030°<360°，得－10 030°<k ·360°<－9 670°，解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k ·360°＋10 030°<720°， 得－9 670°≤k ·360°<－9 310°， 解得k ＝－26， 故所求的角为β＝670°.规律方法 求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．跟踪演练4 写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来．解 由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为：{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β<360°，即－720°≤k ·360°－1 910°<360°(k ∈Z )， ∴31136≤k <61136(k ∈Z )．故取k ＝4,5,6. k ＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°； k ＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°； k ＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限答案 D2．集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°＜β＜180°}，则A ∩B 等于( ) A ．{－36°，54°}B ．{－126°，144°}C ．{－126°，－36°，54°，144°}D ．{－126°，54°} 答案 C解析令－180°＜k·90°－36°＜180°，则－144°＜k·90°＜216°，当k＝－1,0,1,2时，不等式均成立，所对应的角分别为－126°，－36°，54°，144°，故选C.3．今天是星期一，7天后的那一天是星期________，120天后的那一天是星期________．(注今天是第一天)答案一二解析用星期一，星期二，…，星期日来表示时间时，时间是以7为周期循环出现的，故7天后的那一天是星期一，120天后的那一天是星期二．4．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解终边落在x轴上的角的集合：S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}；∴终边落在坐标轴上的角的集合：S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}．1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同角的认识(1)一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少．一、基础达标1．设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是()A．A＝B B．B＝CC．A＝C D．A＝D答案D2．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在()A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处答案B3.如图，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}答案D4．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案C解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．5．已知{α|0°＜α＜360°}，α的终边与－60°角的终边关于x轴对称，则α＝________.答案60°6．下列说法中，正确的是________．(填序号)①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；⑤角α与－α的终边关于x轴对称．答案②⑤解析终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限的角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限的角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的．7．在与角－2 013°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．解(1)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与角－2 013°终边相同的最小正角是147°.(2)∵－2 013°＝－5×360°＋(－213°)，∴与角－2 013°终边相同的最大负角是－213°.(3)∵－2 013°＝－6×360°＋147°，∴与－2 013°终边相同也就是与147°终边相同．由－720°≤k·360°＋147°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋147°依次得：－573°，－213°，147°，507°.二、能力提升8．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是()答案C9．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角为______．答案－160°，200°解析∵2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，∴在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．10．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________.答案150°＋k·360°，k∈Z解析∵30°与150°的终边关于y轴对称，∴β的终边与150°角的终边相同．∴β＝150°＋k·360°，k∈Z.11．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}．12．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．解(1)如图，直线3x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }， S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }． (2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z .解得－73<n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1,0,1,2,3.所以S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为： 60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°； 60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°； 60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°. 三、探究与创新13．若α是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？解 ∵α是第一象限角， ∴k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )． (1)－k ·360°－90°<－α<－k ·360°(k ∈Z )，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角． (2)2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )， ∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边在y 轴的非负半轴上． (3)k ·120°<α3<k ·120°＋30(k ∈Z )．方法一 (分类讨论)当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°<α3<n ·360°＋30°(n ∈Z )，∴α3是第一象限角；打印版 高中数学 当k＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3是第二象限角； 当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角． 综上可知：α3是第一、二或第三象限角． 方法二 (几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在的区域，故α3为第一、二或第三象限角．。
数学北师大版4导学案：1.1 周期现象含解析
§1周期现象问题导学1．对周期现象的理解活动与探究1周期现象是普遍存在的，不仅在自然界中存在,在数学界中也存在着形形色色的周期现象．请验证自然数的乘方的末位数字是否重复出现,是否是周期现象？迁移与应用1．钟表的秒针每分钟转一圈，它的运行是周期现象吗?2．连续掷一枚骰子,可能出现点数为1，2,3,4,5，6，这些数字是否会周期性地重复出现?周期现象的判断：分析一种现象是否为周期现象，关键是分析这种现象是否是在相同间隔内重复出现的．对于具体的数学问题可采用列举验证的方法进行分析．2．周期现象在实际中的应用活动与探究2有些恒星的亮度是会变化的,其中有一种称为造父变星,本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化．下图为一造父变星的亮度随时间变化的图像．据此回答：此星亮度的变化周期为多少天?最亮时是几等星?最暗时是几等星?迁移与应用今天是星期一，50天后的那一天是星期几？周期现象的应用:(1)找周期，即分析周期现象的间隔，找出什么时候会重复出现．（2）算结果，关键是分析出周期现象是怎样重复的，所算问题是处在一个周期内的什么位置．当堂检测1．判断下列现象是否为周期现象．（1)寒来暑往；（2）路口红绿灯变换;（3）手表的时针转动．2．今天是星期一,那么7k(k∈N＋）天后的那一天是星期几?从明天算起，第7k天是星期几?100天后的那一天是星期几？3．如图是一个单摆的振动图像，根据图像,回答下面问题:（1）单摆的振动是周期现象吗?（2)若是周期现象,其振动的周期是多少？(3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少？答案:课前预习导学【预习导引】周期现象周期现象周期性预习交流提示：物理学中的波，单摆；地理学中的日夜更替；气象学中的四季交替变化等．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 解:21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32,26＝64，27＝128，28＝256，……；31＝3，32＝9，33＝27,34＝81，35＝243，36＝729,37＝2 187，38＝6 561，……．由上面的验证可知,自然数经过5次乘方之后，其末位数字会重复出现,是周期现象．迁移与应用1．是．2．不会．活动与探究2 解：此造父变星亮度的变化周期约为5.5天，最亮时是3。
1[1].1《周期现象与周期函数》学案(北师大版必修4)
![1[1].1《周期现象与周期函数》学案(北师大版必修4)](https://img.taocdn.com/s3/m/9136e2e29b89680203d825b1.png)
§1.1 周期现象与周期函数一、学习目标：1、知识与技能（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。
2、过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
二、学习重、难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
三、学习思路【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
【探究新知】1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”？②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？3．练习:(1)已知函数f(x)满足对定义域内的任意x，均存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)。
高中数学 第一章 周期现象学案 北师大版必修4
第一章周期现象学案北师大版必修4【目标要求】〖学习目标〗★1通过实例，认知周期现象的数学规律；能判断出简单周期现象的周期★2抓住周期现象的基本特征会判断什么是周期现象〖学习重点、难点〗重点；判断什么是周期现象，体验、感悟周期现象的特征难点：对周期现象的理解以及简单的应用【过程方法】〖预习提要〗★1. 阅读课本P3上的钱塘江潮汐现象的例子，从收集到得数据列表和给出的散点图，试着总结周期现象的特征：★2.根据你对周期现象的理解，请回答几个小问题①．地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象吗？____说说它的周期是_____②．钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象吗？____它的周期是_____③．连续抛一枚硬币，面值朝上我们记为o，面值朝下我们记为1，数字O和1是否会周期性地重复出现？是周期现象吗？________请你举出几个我们日常生活中，存在的具有周期现象的例子3.通过课本上P4上的三个例题来体会周期现象存在在天文学科，物理学科，水利学科，实际生活中，以及研究周期现象的重要性和必要性〖预习检测〗★1.判断下列现象是否是周期现象_____________________．(1)钟表的秒针的运动．（5）某同学每天看电视的时间(2)地球的自转．（6）某同学放学回家的时间(3)地球上一年四季的变化．（7）地球围绕太阳旋转(4)物理学中的单摆振动．（8）某同学每周上网的时间★2. 地球围绕着太阳转(如图1)，地球到太阳的距离y随时间的变化是周期性的吗？图13. 图2是钟摆的示意图．摆心A到铅垂线MN的距离记为y，钟摆偏离铅垂线MN的角记为θ，根据物理知识，y与θ都随时间的变化而周期性变化，图24. 图3是水车的示意图．水车上A点到水面的距离为y．假设水车5 min转一圈，那么y的值每经过5 min就会重复出现，请问距离y随时间的变化规律是否具有周期性？图3〖预习反馈〗〖精讲释疑〗★1.周期现象的特征？★例2 。
北师大版高中数学必修四教学案周期现象与周期函数
C抛一枚骰子，向上的数字是奇数D每四年出现1个闰年
例2例2.图1-4（见课本）是钟摆的示意图，摆心A到铅垂线MN的距离y是时间t的函数，y＝g(t)。根据钟摆的知识，容易说明g(t＋T)＝g(t),其中T为钟摆摆动一周（往返一次）所需的时间，函数y＝g(t)是周期函数。若以钟摆偏离铅垂线MN的角θ的度数为变量，根据物理知识，摆心A到铅垂线MN的距离y也是θ的周期函数。
三巩固练习
(1)课本P6的思考与交流
(2) (回答)今天是星期三那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期几?7k(k∈Z)天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?
（3）已知 是定义在R上的偶函数，且
求证： 的值随x的取值是周期变化的四课后反思五课 Nhomakorabea巩固练习
(1)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11)
（5）能利用周期函数定义进行简单运用。
教学过程
一自主学习
①如何理解“散点图”？
②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？
③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？
④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？
是自然界中的一类基本现象。
每隔一段时间会重复出现的现象称为
二师生互动
例1下列现象不是周期现象的是（）
(2)已知奇函数f(x)是R上的函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，求f(8)
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
周期现象与周期函数
授课时间
撰写人
学习重点
感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
学习难点
周期函数概念的理解，以及简单的应用。
高中数学北师大版必修4第1章1-2周期现象与角的概念的
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》1-2周期现象与角的概念的推行导学案 北师大版必修4【学习目标】1.了解周期现象在现实生活中的普遍存在，通过周期现象的实例感悟周期现象的 特征.2.通过实例理解角的概念的推行的必要性，理解任意角的概念，能按照角的终边 旋转方向判断正角、负角和零角.3.掌握终边相同角的表示方式，会判断象限角和坐标轴上的角.【重点难点】【自主学习】1. 潮汐现象、地球公转与自转、单摆的摆动等都是_________________.2. 角能够看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所形 成的_________. 射线在旋转时有两个相反的方向，_____________________ ____________________________为正角；__________________________________ ____为负角；_______________________________________为零度角，又称零角.3. 在直角坐标系中讨论角时，使角的极点与_____重合，角的始边与________ 重合. 角的终边在第几象限，就把那个角叫作________________________.若是终边在座标轴上，就以为那个角不属于任何象限，称那个角为坐标轴上的角.4. 终边相同的角有________个，相等的角终边必然__________，但终边相同的 角不必然__________.5. 一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可组成一个集合=S ____________________________________.6. 与490-终边相同的最小正角是_________，最大负角是________，绝对值最小的角是________，它们是第______象限角.【合作探讨】1.在 360~0范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角.（1） 120-； （2） 640； （3）'8950 -.2. 在直角坐标系中，写出终边在y 轴上的角的集合（用 360~0的角表示）.3.写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 720360<≤-β的元素β写出来.（1） 60； （2） 225-.【课堂检测】1. 下列说法中，正确的是（ ）A. 第一象限的角是锐角B. 锐角是第一象限的角C. 小于 90的角是锐角D. 0到90的角是第一象限的角2. 若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________.3. 若α是第三象限角，则2α是第几象限角？2α是第几象限角？【课堂小结】 1. 角的推行；2. 象限角的概念；3. 终边相同角的表示；4. 终边落在座标轴等；5. 区间角表示.第一象限角：｛α|k ⨯360o ＜α＜k ⨯360o +90o,k∈Z }第二象限角：｛α|k ⨯360o +90o ＜α＜k ⨯360o +180o ,k∈Z }第三象限角:｛α|k ⨯360o +180o ＜α＜k ⨯360o +270o ,k∈Z }第四象限角：{α|k ⨯360o +270o ＜α＜k ⨯360o +360o ,k ∈Z }【课后训练】1. 276-是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角2. 今天是礼拜二，从今天算起，27天后的那一天是礼拜_____，第50天是礼拜 _______.。
高中数学第一章三角函数1.1周期现象学案北师大版必修4(2021年整理)
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§1周期现象学习目标1。
了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点）.2.初步了解周期函数的概念,能判断简单的函数的周期性（难点）．知识点周期现象（1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2）特点:①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”）（1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√）（2）钟表的分针每小时转一圈,它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7，2，0,1，7，2，0,1，7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0，1，7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2.答案2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象,并说明理由．（1)地球的自转；(2）连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数;（3）钟表的秒针的转动；（4）某段高速公路每天通过的车辆数．解（1)地球每天自转一圈,并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．（2）连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…,6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现,也可能不出现,故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3）钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．（4）某段高速公路每天通过的车辆数,会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象（或值)重复出现"这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：（1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗,日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解（1)奥运会每4年一届,所以其举办时间呈周期现象．(2）北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的,不是常数，所以不是周期现象．（3）每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表（时间近似到0。
高中数学 第一节周期现象与周期函数教案 北师大版必修4
2014高中数学第一节周期现象与周期函数教案北师大版必修4一、教学目标：1、知识与技能（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。
2、过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
二、教学重、难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
三、学法与教学用具学法：数学来源于生活，又指导于生活。
在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。
并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。
教学用具:实物、图片、投影仪四、教学思路【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)【探究新知】1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
（单摆运动、四季变化等）（板书：一、我们生活中的周期现象）2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”？②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。
北师大版数学必修4同步教学课：第1章-1周期现象
课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 周期现象的判断关键：第一要认真审题，明确题目 的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出 现”这一重要特征进行判断．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【训练1】 判断下列现象是否为周期现象： (1)每届奥运会的举行时间； (2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其 每天的升旗时间； (3)中央电视台每晚7：00的新闻联播． 解 (1)奥运会每4年一届，所以其举行时间呈周期现象． (2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天 的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象． (3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．
§1 周期现象
课前预习
课堂互动
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内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期 (重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性 (难点)．
课前预习
课堂互动
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知识点 周期现象 (1)概念：相同间隔 重复 出现的现象．
(2)特点： ①有一定的 规律 ； ②不断 重复 出现．
【迁移3】 试确定自202X年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一 天是星期几？ 解 每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k ＋3天后为星期四．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 应用周期性解决实际问题的两个要点
特别提醒 计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天， 有的月份31天，二月份有28天(或29天)．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得 出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．
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§1周期现象
美妙音乐显周期
《梁祝》优美动听的旋律，《十面埋伏》的铮铮琵琶声，贝多芬令人激动的交响曲，田野里昆虫啁啾的鸣叫……当沉浸在这些美妙的音乐声中时，你是否想到了它们其实与数学有着密切的联系？
事实上，数学与音乐之间不仅有着密切的联系，而且相互交融形成了一个和谐统一的整体．古希腊时代的毕达哥拉斯(约公元前580～公元前500年)就已经发现了数学与音乐的关系．他注意到如果振动弦的长度可表示成简单的整数之比，这时发出的将是和音，如2︰3(五度和音)或3︰4(四度和音)．
音乐中存在着数学．下面是贝多芬“欢乐颂”的一个片段：
如果以时间为横轴，音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点：
实际上，音乐中的五线谱就相当于一个坐标系，写在五线谱中的音符相当于坐标系中的点，两个相邻点横坐标的差就是前一个音符的音长，而一首乐曲就是一个音高y关于时间x 的函数y＝f(x)．
忽上忽下跳动的音符也是有一定规律可循的．在一首乐曲中常常会有一段音符反复出现，这就是它的主旋律．它表达了该乐曲的主题，从数学上看，乐曲的主旋律就是通过周期性表达的，可以用三角函数来表示．
Q 情景引入
ing jing yin ru
许多天体的运行都有着周期性的规律．太阳系中的八大行星——水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星都是按照一定的周期做自转和绕太阳的公转：地球沿着自转轴自西向东不停地旋转着，它的自转周期为23小时56分4秒，约等于24小时．同时，地球还围绕太阳公转，公转一周要365.25天，为一年．水星的自转周期是58.65天，它在88个地球日里就能绕太阳一周，是太阳系中运动最快的行星．金星公转周期225天，自转周期则要243天．火星的自转和地球十分相似，自转一周的时间为24小时37分．火星上的一昼夜比地球上的一昼夜稍长一点．火星公转一周约为687天，火星的一年约等于地球的两年．木星绕太阳一周大约需要12年，但它的自转速度却是太阳系中最快的，自转周期为9小时50分30秒．土星29年绕太阳一周，自转周期为10小时．天王星的自转周期为17.24小时，公转周期为84.01个地球年．海王星的自转周期约为22小时，公转周期为164.8年．除了上述周期现象外，你还发现了生活中哪些周期现象？
X 新知导学
in zhi dao xue
从周期现象到周期概念
(1)观察钟表，分针指向12的位置，表明是整点时间，经过1个小时，分针回到了原来的位置，我们说分针的运动是周期现象，以__60分钟__为一个周期；时针的运动周期当然是__12小时__.
(2)地球围绕太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的周期函数，周期是地球绕太阳旋转__1__圈的时间，即__1年__.在日常生活，生产实践中，许多事物或现象每隔一段时间就会重复出现，这种现象称为周期现象，这个相同的时间间隔就是__周期__.
Y 预习自测u xi zi ce
1．下列变化中不是周期现象的是(D) A．“春去春又回”
B．钟表的分针每小时转一圈
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序D．某同学每天上学的时间
[解析]每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期现象；分针每隔一小时转一圈，是周期现象；天干地支表示年、月、日是周期现象；该同学上学时间不固定，并不是每隔“一段时间”就会重复一次，因此不是周期现象．
2．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，那么第2020盆花的颜色是(D)
A．红B．黄
C．紫D．白
[解析]因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，所以以4为一个周期，而2020÷4＝505，为505个周期，所以第2020盆花为白花．
3．有白、黑两种颜色的圆片按以下规律排列．
○○○○●○○○○●○○○○
第100个圆片的颜色是__黑色__.
[解析]白、黑两种颜色的圆片排列成周期性变化，即周期为5，所以第100个圆片的颜色为黑色．
H 互动探究解疑
u dong tan jiu jie yi
命题方向1⇨周期现象的概念及判断
典例1下列现象是周期现象的是__(1)(2)(3)(4)(5)__(填序号)．
(1)地球上一年四季的变化；
(2)钟表的秒针的运动；
(3)某十字路口红绿灯的变换；
(4)月亮的圆缺变化；
(5)地球的自转．
[思路分析]要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔一段时间这种现象是否会重复出现，若出现，则为周期现象；否则，不是周期现象．
[解析](1)地球上一年分为春、夏、秋、冬四季，每一年都是如此，具有重复性，因而是周期现象．
(2)钟表的秒针每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因而是周期现
象．
(3)十字路口的红绿灯都是按规定的时间交替亮起，具有重复性，因而是周期现象．
(4)月亮的圆缺按“朔—上弦—望—下弦—朔”不断重复，因而是周期现象．
(5)地球的自转每24小时转一圈，并且每一个24小时总是重复前一个24小时的动作，因而是周期现象．
『规律总结』“每间隔一段时间会重复出现的现象称为周期现象．”这里的“一段时间”即为周期现象的周期．
〔跟踪练习1〕钟表的钟摆在摆动时呈什么规律，根据你平时的观察用文字叙述一下．[解析]钟表的钟摆呈周期性变化，它从最低点摆向右，再回到最低点，再摆向左，又回到最低点，完成一个周期．
命题方向2⇨利用散点图研究周期现象中的规律
典例2我们的心跳都是有节奏、有规律的，心脏跳动时，血压在增加或减少．下表是某人在1分钟内血压P(mmHg)与时间t(s)的对应关系表，通过表中数据来研究血压变化的规律.
t/s51015202530
P/mmHg93.35136.6511593.35136.65115
t/s354045505560
P/mmHg93.35136.6511593.35136.65115
(1)
点图；
(2)血压的变化是周期性的吗？
[思路分析]画散点图是分析变量间的关系的有效方法．
[解析](1)作出血压P(mmHg)与时间t(s)的散点图．如下图：
(2)由散点图可以看出，每经过15s，血压就重复出现相同的数值，因此血压是周期性变化的．
『规律总结』一般来说，用散点图探究周期现象的步骤如下：
〔跟踪练习2〕下列是某港口某一天水深y与时间t的对应关系表：
t(h)03691215182124
y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0
(2)问水深是否是周期性变化的？
[解析](1)散点图：
(2)从散点图可以看出，每经过相同的时间间隔t(12h)，水深就重复出现相同的数值，因此水深是周期性变化的．从图中可以看出，一天内的0～6点，12～18点分别有6个小时水深不低于10m，所以共有12个小时该船可以安全出入．
X 学科核心素养
ue ke he xin su yang周期现象的应用
典例3如图所示，游乐场里的摩天轮匀速旋转，旋转一周需要20分钟，则某游客从摩天轮的最低点上去，25分钟时，他在摩天轮的左侧还是右侧？
[思路分析]根据周期现象及其周期性作出判断．
[解析]旋转一周需要20分钟，则25分钟可旋转一周，还余5分钟，由于摩天轮是按
顺时针方向匀速旋转，在最低点经过10分钟才可到最高点，则游客25分钟时在摩天轮的左侧．
〔跟踪练习3〕弹簧振子相对平衡位置的位移x (cm)与时间t(s)的函数关系如图所示．
(1)求该函数的周期；
(2)当t＝10.5 s时，求弹簧振子相对平衡位置的位移．
[解析](1)由题意知该函数的周期为4s.
(2)设x＝f(t)，由函数的周期为4s可知f(10.5)＝f(2.5＋2×4)＝f(2.5)＝－8，即当t＝10.5s 时，弹簧振子相对平衡位置的位移是－8 cm.
Y
易混易错警示
i hun yi cuo jing shi 对函数周期性的误判
典例4下列函数图像中具有周期性的序号是____________.
[错解](1)(2)(3)(4)
[辨析]判断函数是否具有周期性关键是看在相同的间隔内，图像是否重复出现．错误的原因是没有仔细观察函数图像．
[正解](1)(2)(4)
〔跟踪练习4〕如果一个函数的自变量每增加或减少一个固定的值时，函数值重复出现，函数图像重复出现，这样的函数就应考虑是周期函数，这个固定的值就是函数的一个周期．周期函数的图像应该向左、向右无限延展．在上例中，根据周期函数的部分图像，写出它们的周期．
[解析](1)的周期为2；(2)的周期为2；(4)的周期为2.
K 课堂达标验收
e tan g da biao yan shou
1．下列现象是周期现象的有(D)
①太阳的东升西落
②潮汐现象
③太阳表面的太阳黑子活动
④心脏的收缩与舒张
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[解析]上面这4种现象都成周期性的变化，因此都是周期现象．
2．今天是星期一，158天后的那一天是星期__五__.
[解析]每个星期，从星期一、星期二、……、星期日共是7
天，呈现出周期性，故求158被7除的余数．
∵158÷7＝22…4，而今天是星期一，
∴158天后的那一天是星期五．
3．如图是钟摆的示意图，如果不计阻力，可将这个钟摆的运动看作周期运动，它离开平衡位置O点向左运动，5秒后第1次经过P点，再经过2秒第2次经过P点，该钟摆再经过__6__秒第3次经过P点？
[解析]由条件可知3
4个周期是6秒，所以钟摆一个周期是8秒，所以从P点到O点需要1秒，故第3次经过P点需6秒．。