问题详解~信息论与编码练习

1、有一个二元对称信道，其信道矩阵如下图所示。设该信道以1500个二元符号/秒的速度传输输入符号。现有一消息序列共有14000个二元符号，并设在这消息中P(0)=P(1)=1/2。问从信息传输的角度来考虑，10秒钟能否将这消息序列无失真地传送完？

解答：消息是一个二元序列，且为等概率分布，即P(0)=P(1)=1/2，故信源的熵为H(X)=1(bit/symbol)。则该消息序列含有的信息量＝14000(bit/symbol)。 下面计算该二元对称信道能传输的最大的信息传输速率： 信道传递矩阵为：

信道容量（最大信息传输率）为：

C=1-H(P)=1-H(0.98)≈0.8586bit/symbol

得最大信息传输速率为：

Rt ≈1500符号/秒× 0.8586比特/符号 ≈1287.9比特/秒 ≈1.288×103比特/秒

此信道10秒钟能无失真传输得最大信息量＝10× Rt ≈ 1.288×104比特 可见，此信道10秒能无失真传输得最大信息量小于这消息序列所含有的信息量，故从信息传输的角度来考虑，不可能在10秒钟将这消息无失真的传送完。

2、若已知信道输入分布为等概率分布，且有如下两个信道，其转移概率矩阵分别为：

试求这两个信道的信道容量，并问这两个信道是否有噪声？

3 、已知随即变量X 和Y 的联合分布如下所示：

01

100.980.020.020.98P ⎡⎤

=⎢⎥

⎣⎦11112222

1111222212111122221111222200000000000000000000000000000000P P ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11

222

2111

2222

2

log 4(00)1/()log 42/log 8(000000)2/(),H bit symbol H X bit symbol C C H bit symbol H X C =-===>=-==1解答：(1)由信道1的信道矩阵可知为对称信道故C 有熵损失，有噪声。(2)为对称信道，输入为等概率分布时达到信道容量无噪声

0 1 0

1/8

3/8

1 3/8 1/8

试计算：、I （X ；Y ） 解： (1) (2)

(3) H （X/Y ）= H （XY ）-- H （Y ）=1.811-1=0.811 (4) H （Y/X ）= H （XY ）-- H （X ）=1.811-1=0.811 (5)

4、 有一个可以旋转的圆盘，盘面上被均匀的分成38份，用1,2,3，……，38数字标示，其中有2份涂绿色，18份涂黑色，圆盘停转后，盘面上指针指向某一数字和颜色。 （1）若仅对颜色感兴趣，计算平均不确定度；

（2）若对颜色和数字都感兴趣，计算平均不确定度； （3）如果颜色已知，计算条件熵。 解：(1) H(色)=

(2) P(色数)= H(色数)=

(3) H(数/色)= H(色数)- H(色)=

5、 在一个二进制信道中，信源消息集X={0,1}，且P(0)=P(1),信宿的消息集Y={0,1},信道传输概率P （1/2）=1/4, P(0/1)=1/8。求：

（1）在接收端收到y=0后，所提供的关于传输消息X 的平均条件互信息量I(X ；y=0). (2) 该情况所能提供的平均互信息量I(X;Y). 解：(1)

P(ij)= P(i/j)=

(2) 方法1: =

6 某一无记忆信源的符号集为{0,1}，已知p0=1/4, p1=3/4 (1)求符号的平均熵

（2）由100个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m 个“0”和（100-m ）个“1”））的自信息量的表达式。

（3）计算（2）中的序列的熵。 解：

(1) H(X)=

(2)

=

(3)

7、 一阶马氏链信源有三个符号{u1,u2,u3},转移概率为：

P(u1/u2)=1/2, P(u2/u2)=1/2, P(u3/u1)=0, P(u1/u2)=1/3, P(u2/u2)=0,

Y

X

P(u3/u2)=2/3,

P(u1/u3)=1/3, P(u2/u3)=2/3, P(u3/u3)=0, 画出状态图并求出各符号稳定概率。 解：

P(j/i)= 解方程组 求得W=

8、 设有一信源，它在开始时以p(a)=0.6,p(b)=0.3,p(c)=0.1的概率发出X1，如果X1为a 时则X2为a,b,c 的概率为1/3;如果X1为b 时则X2为a,b,c 的概率为1/3;如果X1为c 时则X2为a,b 的概率为1/2，而为c 的概率是0;而且后面发出X i 的概率只与 X i-1有关。又p(X i / X i-1)=p(X2/ X1),i ≥3。试利用马儿可夫信源的图示法画出状态转移图，并求出状态转移矩阵和信源熵H ∞

P(j/i)= 解方程组 得到W1= , W2= , W3=

9 某信源符号有8个符号{u1,…u8},概率分别是1/2，1/4，1/8.，1/16，1/32,1/64,1/128,1/128，编成这样的码：000,001,,011,100,101,110,111。求 （1）信源的符号熵H(U)

(2)出现一个“1”或一个“0”的概率； （3）这样码的编码效率； （4）相应的香农码和费诺玛； （5）该码的编码效率？

解： (1) H(U)=

12Log 2()14Log 4()+

18Log 8()+

116

Log 16()+

132

Log 32()+

164

Log 64()+

1128

Log 128()+

1128

Log 128()+

1.984=

(2) 每个信源使用3个二进制符号,出现0的次数为

S1 S2 S3 1/3 1/2 1/2 2/3

1/3 2/3