思想方法：变力做功的计算方法
变力做功的计算
变力做功的计算 Prepared on 22 November 2020变力做功的计算公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。
一、微元法对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。
这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。
但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。
求此过程中摩擦力所做的功。
图1思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。
图2正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功。
误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。
必须注意本题中的F是变力。
小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。
如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。
［发散演习］如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。
则转动半圆，这个力F做功多少图3答案：。
二、图象法在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。
如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图4所示。
如何求变力做功
F 图1如何求变力做功在高中阶段求变力做功的问题是很常见的。
既可以运用公式W=FScos α来求解，又可以运用动能定理、功能原理等来求解。
对于具体问题要具体分析。
为此笔者在教学中总结了以下几种方法。
一、运用公式W=FScos α求解在不知物体初、末位置的速度时，就无法运用动能定理或功能原理求解，只有将变力转化为恒力，依据功的定义式W=FScos α求解。
例1 如图1所示，某个力F 作用于半径为R 的圆盘， 力F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的圆盘的切线 一致，则转动圆盘一周该力做多少功。
分析与解 在转动转盘一周过程中，力F 的方向时刻变化，但每一瞬时力F 总是与该瞬时的速度同向（切线方向），既F 在每瞬时与转盘转过的极小位移∆s 同向。
这样，无数瞬时的极小位移∆s 1，∆s 2，∆s 3…∆s n 都与当时的F 方向同向。
因而在转动一周过程中，力F 做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和。
即W=F ∆s 1+F ∆s 2+…F ∆s n= F(∆s 1+∆s 2+∆s 3+…∆s n )=F 2πR当变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W=FScos α计算功，而且变力所做功等于变力在各小段所做功之和。
再者，若问题中的变力与位移成线形关系，即F=ks+b ，其F-s 图象如图2所示。
则图中阴影部分的面积大小在数值上等于变力所做功的大小，即W=)(21221s s F F -+。
也就是说，变力F 由F 1线形地变化到F 2的过程中所做的功等于该过程的平均力221F F F +=-所做的功。
二、用动能定理求解动能定理告诉我们，外力对物体所做的功等于物体动能的变化，即W 外 =∆E K ，W 外系指物体受到的所有外力对物体所做功的代数和，∆E K 是物体动能的变化量。
例2 如图3所示，质量为m 的物块在半径为R 的半球形容器中从上部边缘A 由静止起下滑，滑到最底点B时对容器底部的压力为2mg 。
变力做功的解题方法
变力做功的解题方法在中学阶段，功的计算公式只适用于恒力做功的情况，对于一些变力做功的情形，往往是不能直接应用此公式来直接计算。
如何来求解变力所做的功呢？通常有以下几种方法。
一、力的平均值法通过求力的平均值，然后求变力的平均力做功的方法，一般是用于力的大小与位移成一次函数关系的直线运动中。
1.如图所示，劲度系数为的轻质弹簧一端固定在墙上，另一端连接一质量为的滑块，静止在光滑水平面上O点处，现将滑块从位置O拉到最大位移处由静止释放，滑块向左运动了s米（）．求释放滑块后弹簧弹力所做的功。
二、将变力处理成恒力将变力处理成恒力的方法，一般只在力的大小一直不变，而力的方向遵循某种规律的时候才用。
2.如图所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F，方向始终与磨杆垂直的力推磨。
假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？3.如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。
若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，滑块在BC两上点的动能分别为E kB和E kC，图中AB=BC，则一定有（）A．W1＞W2 B．W1＜W2C．E kB＞E kC D．E kB＜E kC三、图像法表示力随位移变化规律的图象叫做示功图。
其纵坐标轴表示作用在物体上的力F，横坐标轴表示力的作用点在力的方向上的位移s。
图象、力轴、位移和由位移决定的与力轴平行的直线所围成的面积在数值上等于变力所做的功。
4.如图所示，一个劲度系数为的轻弹簧，一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴线施一水平力将弹簧拉长，求在弹簧由原长开始到伸长量为x1过程中拉力所做的功。
如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由x1增大到x2的过程中，拉力又做了多少功？5.用铁锤将一枚铁钉钉入木块中，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比，在铁锤钉第一次时，能把铁钉钉入木块内的深度为1cm，问钉第二次时，能钉入的深度为多少？（设铁锤每次做功相等）四、功率法当机车以恒定功率工作时，在时间内，牵引力做的功。
变力做功的六种常见计算方法
变力做功的六种常见计算方法s，但是学生在应用在高中阶段，力做功的计算公式是W=FScoα时，只会计算恒力的功，对于变力的功，高中学生是不会用的。
下面介绍六种常用的计算变力做功的方法，希望对同学们有所启发。
方法一：用动能定理求若物体的运动过程很复杂，但是如果它的初、末动能很容易得出，而且，除了所求的力的功以外，其他的力的功很好求，可选用此法。
例题1：如图所示。
质量为m的物体，用细绳经过光滑的小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个数值F时，转动半径为R；拉力逐渐减小到0.25F时，物体仍然做匀速圆周运动，半径为2R，求外力对物体所做的功的大小。
解析：当拉力为F时，小球做匀速圆周运动，F提供向心力，则F=mv12/2R。
此题中，当半径由R2/R；当拉力为0.25F时，0.25F=mv2变为2R的过程中，拉力F为变力，由F变为2F,我们可以由动能定2=0.25RF。
理，求2—0.5mv2得外力对物体所做的功的大小W=0.5mv1方法二：用功率的定义式求若变力做功的功率和做功时间是已知的，则可以由W=Pt来求解变力的功。
例题2：质量为m=500吨的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行使了s=2.25km，速度达到最大值v=54km/h。
假设机车受到的阻力为恒力。
求机车在运动中受到的阻力大小。
解析：机车先做加速度减小的变加速直线运动，再做匀速直线运动。
所以牵引力F先减小，最后，F恒定，而且跟阻力f平衡，此时有功率P=Fv=fv。
在变加速直线运动阶段，牵引力是变力，它在此阶段所作的功可以由w=Pt来求。
由动能定理，Pt—fs=0.5mv2—0,把P=Fv=fv代入得，阻力f=25000N。
方法三：平均力法如果变力的变化是均匀的（力随位移线性变化），而且方向不变时，可以把变力的平均值求出后，将其当作恒力代入定义式即可。
例题3：如图所示。
轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块相连，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k，开始时弹簧处于自然状态。
变力做功求解“八法”
知道 了某 个 力 在 某 段 时 间 内 的 平 均 功
率 ，就可 以求 出这个力在这 段时 间内做 的
功 ．如汽 车 以额 定 功率起动 的过 程 中 ，发 动 机 的牵 引 力 是 一个 变力 ，不 能用 公 式 Ｗ ＝ Ｆ ＣＳ 求 此 力 的 功 ，此 时 可 以 用 Ｗ ＝Ｐ ＳＯＯ ￣ ｔ 求牵 引力 的功 ． 例 ４ 质 量 为 肘 的机 车 在 恒 定 的额 定 功率 下 由静 止 出发 ，运 动 中受 到一 个恒 定 的 阻力 ，经过 时间 ｔ ，行驶 了路程 ． ，达到 Ｓ后 最大速度 ，则机 车在 运 动 过 程 中受 到 的
当某个力 Ｆ的方向不变 ， 且大小随位移 Ｊ线性 变 化 时， 用 力 Ｆ 的平 均值 ＝ ｓ 可 代替公式中的 Ｆ， 从而计算出这种
变 力所做 的功 ．
例 １如 图 １ ： 所
运动 ， 设物体所受 的滑动磨擦力大小为 厂求 ，
在物 体转 动一周 的过 程 中滑 动摩擦力 所做 的
＾
一
与相应 的△ Ｊ的差 异 就越 小 ， △ Ｊ ０时 ， ｓ 当 ｓ 一
△Ｊ ｓ 一△Ｊ 故可用△ Ｊ ｓ ， ｓ 代替△Ｊ 则 ： Ｗ ＝ ｓ ， △
一
一
：
＾
ｋ 一 ＾ ，Ｗ ： ■ｊ 。 ８ｙ 一 一 ｃ （。： Ⅲ １ ， ，
ａ
： ，
厂△ Ｊ， 将 每一 小 段上 摩 擦 力 厂做 的 功 ・ ｓ再
功．
示， 求弹 簧振 子从 平衡位 置 ０移 动
到 位 置 的 过 程 中 ， 簧 的 弹 力 所 弹
、
解 析 ： 物 体 运 动 的 轨 迹—— 圆 周分 割 将 成 无穷 多个 小 段 ， 每一 小 段 为△ Ｊ（ 图 ２ 设 ｓ如 所示 ）在 每 一小 段 上 ， 以认 为 滑 动 摩擦 力 ． 可 厂的方 向不 变 ， 在 每－ｄ， △ Ｊ ， 做 的 则 － ＇ 段 ｓ上 厂 图１
(完整版)五种方法搞定变力做功问题
五种方法搞定变力做功一.微元法思想。
当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w •=来求解，但是可以将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
求此过程中摩擦力所做的功。
思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1图2把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功二、平均值法当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值221F F F +=，再由αcos L F W =计算变力做功。
如：弹簧的弹力做功问题。
例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为 （ ） A ．0 B ．021x F mC ．04x F m πD ．204x π【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为04m F x π．C 答案正确．三.功能关系法。
功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。
例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是：A ．E KB -E KA =E KC -E KB B ．E KB -E KA <E KC -E KB C ．E KB -E KA >E KC -E KBD ．E KC <2E KBF x 0FxF •Ox 0图2－甲图2乙【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈AB ，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD.四.应用公式Pt W =求解。
变力做功的几种求法
变力做功的几种求法
求用变力做功的几种求法是一个积极的概念，它能够帮助我们更好地利用变力
来完成工作。
针对不同的形式，有几种不同的解法和求法。
首先，如果我们要用变力做功，可以采取动量定理的方法。
动量定理的证明部分，可以用变力的量来计算，我们只需要知道实验过程中变力的量和物体运动的距离以及运动的时间就可以得出功的值。
其次，如果用变力做功，也可以采取滑落原理的方法。
滑落原理告诉我们，下
落过程是可以用变力抵消重力的效果，以达到物体保持匀速运动。
但这种情况下要注意变力的方向，即必须与重力有相反的方向，这样就可以达到用变力做功的目的。
再者，采取弹性原理的方法来用变力做功也是不错的选择。
弹性原理可以帮助
我们计算出由变力引起的物体的变形量，从而得出变力与物体变形量的关系，再推导出由变力做功的值。
最后，在能量守恒定律的角度来看变力做功问题，我们可以用一些经过优化的
方法来实现，比如可以用拟牛顿法、拉格朗日法和特征值法等等。
这些算法都可以通过求解哪些变力的大小和方向，能够在守恒定律的角度来使得能量有最大的改变量，从而达到最优化的做功的效果。
由此可见，求用变力做功的几种求法有各种不同的方式，比如动量定理、滑落
原理、弹性原理以及能量守恒定律等等，不仅易于理解，而且也是完善保守的方法，可以满足不同环境中给定不同物体做功需求。
学案：变力做功的求解方法
变力做功的求解方法在求功公式中，F是恒力，即在做功过程中，F的大小、方向都不变。
当F 是变力时，该怎样求功呢？本文介绍以下方法：1. 虽是变力，做功的功率不变，用利用此式可求出功率保持不变的情况下变力所做的功。
例1. 质量为5t的汽车以恒定的输出功率75kW在一条平直的公路上由静止开始行驶，在10s 内速度达到10m/s，求摩擦阻力在这段时间内所做的功。
2. 用动能定理如果物体受到的除某个变力以外的其他力所做的功均能求出，那么用动能定理就可以求出这个变力所做的功。
例2. 如图1所示，质量的物体从轨道上的A点由静止下滑，轨道AB是弯曲的，且A 点高出B点。
物体到达B点时的速度为，求物体在该过程中克服摩擦力所做的功。
图1例3. 如图2所示，将一个质量为m，长为a，宽为b的矩形物体竖立起来的过程中，人至少需要做多少功？图23. 用图象法在图象中，图线和横轴所围成的面积即表示力所做的功。
例4. 放在地面上的木块与一劲度系数的轻弹簧相连。
现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了的位移，求上述过程中拉力所做的功。
分析：由题意作出图象如图3所示，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功。
即图34. 用平均值当力的方向不变，而大小随位移线性变化时，可先求出力的算术平均值，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解。
例5. 要把长为的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。
问此钉子全部进入木板需要打击几次？5. 微元累积法将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和。
此法在中学阶段，常应用于求解力的大小不变、方向改变或者方向不变、大小改变的变力做功问题。
求解变力做功的十种方法
求解变力做功的十种方法变力做功是指力的大小和方向在作功过程中发生变化的情况。
下面将介绍十种常见的变力做功的方法。
1.拉力做功：当一个物体被施加拉力时，拉力在作功过程中的大小和方向都是持续变化的。
通常情况下，拉力的大小会逐渐增加，直到物体被拉到目标位置。
这个过程中拉力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
2.推力做功：推力做功与拉力做功类似，只不过是力的方向相反。
当一个物体被施加推力时，推力也会在作功过程中发生变化，直到物体被推到目标位置。
推力所做的功也等于力的大小乘以物体的位移。
3.弹力做功：当一个物体被施加弹性势能时，弹力会在作功过程中发生变化。
例如，当拉伸弹簧时，弹簧的劲度系数会导致拉力的大小随着弹簧的伸长而增加。
弹力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
4.阻力做功：当一个物体受到空气阻力或其他形式的阻力时，阻力会在作功过程中发生变化。
通常情况下，阻力的大小与物体的速度成正比。
因此，在物体运动时，阻力所做的功等于力的大小乘以物体的速度与位移之积。
5.重力做功：当一个物体被抬高或下落时，重力会在作功过程中发生变化。
抬高物体时，重力的大小会减小，而下落时则会增大。
重力所做的功等于力的大小乘以物体的高度。
6.磨擦力做功：当一个物体受到摩擦力时，摩擦力会在作功过程中发生变化。
通常情况下，摩擦力的大小与物体的接触面积和物体间的粗糙程度有关。
磨擦力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
7.引力做功：当一个物体受到另一个物体的引力作用时，引力会在作功过程中发生变化。
例如，当地球绕太阳运动时，引力的大小会随着地球到太阳的距离的变化而变化。
引力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
8.中心力做功：中心力是指作用在物体上的力总是指向物体的中心。
例如，当一个物体沿着圆形轨道运动时，中心力会在作功过程中发生变化，因为物体距离中心的距离在变化。
中心力所做的功等于力的大小乘以物体的位移。
9.引力做功：引力做功是指一个物体由于受到其他物体的引力而发生位移时，引力所做的功。
变力做功(微元法、平均力法、图像法)
2.平均力法：
若变力大小随位移是线性变化，且方向不变时，可 将变力的平均值求出后用公式
W Fl cos F1 F2 l cos
2
计算。如弹簧的弹力做功就可以用此法计算。
例3. 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻
力与铁钉进入木块内的深度成正比.在铁锤击第一
次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，
0
解后有：x2＝ 2 x2=1.41cm.
x
x1 x2
(b)
∴ △x=x2-x1=0.41cm.
• 基 的本过应程用中：，当 弹弹 力簧 做的 的长 功度 为由 多原 大长？x伸长到x1
• 弹力F与伸长量的关系正好是线性关系：
• F=Kx
• 因此易得：W=-1/2K（x1-x)2 • 若弹簧是由原长到压缩到x1 • 弹力做功为：W=-1/2K（x1-x)2 • 为什么都是负功？
二.变力做功
对于变力做功不能依定义式
W Flcos
直接求解，但可依物理规律通过技巧的转化间接求解。
基本原则——过程分割与代数累积
1.可用（微元法）无限分小法来求, 过程无限分小后， 可认为每小段是恒力做功。
例一 一辆马车在恒定大小摩擦力力f=100N的作用下 绕半径为50m的圆形轨道做匀速圆周运动，当车运 动一周回到原位置时，摩擦力所做的功为多少？
能击入多少深度 ? (设铁锤每次做功相等)
解一： 用平均力法.铁锤每次做功都用来克服铁钉阻
力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正
比，F=-f=kx，可用平均阻力来代替. 如图(a)
第一次击入深度为x1，平均阻力F1= 1/2× kx1，
做功为W1= F1 x1=1/2×kx21.
变力做功的五种常见办法
专题:变力做功根据变力的特点，求变力做功的五种常用方法（1）平均值法：当力F的仅大小发生变化，且F与s成线性关系（F随s均匀变化）时，F的平均F̅=F1+F22，用W=F̅∙s计算F做的功。
典型模型：弹簧（2）图象法：如果知道力F随位移s的变化规律即图像，变力F做的功W可用F−s图线与s轴所围成的面积表示。
功的正负由力和位移方向判断。
如下图，阴影部分即为功的大小。
例：如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接个物块，弹簧质量不计。
物块（可视为质点）的质量为m，在水平面上沿x轴运动，与水平面间的动摩擦因数为μ。
以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F=kx，k为劲度系数。
当物块由x1向右运动到x3，然后由x3返回到x2，求在这个过程中，弹所做的功。
x1→x3：F̅1=F1+F32=k(x1+x3)2, W1=−F̅1(x3−x1)=−k(x32−x12)2x3→x2：F̅2=F2+F32=k(x2+x3)2, W1=F̅2(x3−x2)=k(x32−x22)2⟹W=W1+W2=k(x12−x22)2例：在上例中请画出F随x变化的示意图；并根据F−x图象求物块沿x轴从O点运动到位置x1的过程中弹力所做的功。
图像如图：W=12F1x1=12kx12（3）分段法（或微元法）：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向（或反向）时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可，力做的总功W=Fs路（或W=−Fs路）。
空气阻力和滑动摩擦力做功可以写成力与路程的乘积就是这个原理。
如图：力F 大小不变，方向始终沿着两个14圆形玻璃管将一个小球拉至最高点过程中，拉力做功：W=F×π2(R+r)又如：小球以一定初速度向上抛出，受到的空气阻力始终为重力的110，则最终小球静止在地面上，则阻力对小球做的功W=−fs路（4）等效替代法（或转换法）：若某一变力做的功和某一恒力做的功相等，则可以用求得的恒力的功来替代变力做的功。
关于变力做功的计算
关于变力做功的计算高中物理力学中关于功的计算是一个比较重要的内容，尤其是利用能量的观点解决动力学问题时都要涉及到功的计算。
而功的定义式W=FLcosα是我们非常熟悉的公式，但高中阶段对于此公式只限于计算恒力做功问题，可是有些时候往往会遇到变力做功的计算问题，那么对于变力做功又该如何求解呢？一、等效替代法在有些物理问题中往往会遇到机动车辆以恒定功率由静止启动的问题，这类问题中涉及到的机车牵引力的功是一个变力做功问题，这类问题中如果机动车的功率和运行时间已知，我们就可以借助功与功率的关系式W=Pt来计算牵引力的功；如果运行时间未知，但其它力做功情况已知，我们就可以借助动能定理来计算牵引力的功。
例：如图所示是某中学科技小组制作的利用太阳能驱动小车的装置．当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机带动小车前进。
若小车在平直的公路上以初速度v0开始加速行驶，经过时间t，前进了距离l，达到最大速度vm，设此过程中电动机功率恒为额定功率P，受的阻力恒为Ff，则此过程中电动机所做的功为（）。
A．Ffvmt B．PtC．Ff t D．mvm2/2-mv02/2+Ffl解析：汽车从速度v0到最大速度vm过程中，由动能定理可知：W-Ffl=mvm2/2-mvv2/2，解得：W=mvm2/2-mv02/2+Ffl，故D正确；W=Pt，故B正确；当F=Ff时速度达到最大值，vm=PFf，W=Pt=Ffvmt，故A正确。
故选ABD。
二、图像法图像问题是物理中的常见问题，有些功的计算的问题中题目会给出力随位移变化的图像，然后让根据图像来求解该力的功。
这类问题一看图像就是变力做功，此时我们就要充分挖掘图像中的隐含信息，如图线的斜率、截距、图线与横轴所围图形的面积等的物理意义，从而找到解题的突破口。
例：如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆，则小物块运动到x0处时拉力F做的总功为（）。
2 习题课 求解变力做功的四种方法
习题课 求解变力做功的四种方法1．做功的两个必要因素 (1)作用在物体上的力． (2)物体在力方向上的位移．2．功的表达式：W ＝Fl cos α，α为力F 与位移l 的夹角． (1)α<90°时，W >0. (2)α>90°时，W <0. (3)α＝90°时，W ＝0.平均值法用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d ，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是( )A ．(3－1)dB ．(2－1)dC ．(5－1)d 2D ．22d [解析] 在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题，由于力与深度成正比，可将变力等效为恒力来处理．根据题意可得第一次做功：W ＝F 1d ＝kd2d .第二次做功：W ＝F 2d ′＝k ⎝⎛⎭⎫d ＋d ′2d ′. 联立解得d ′＝(2－1)d . [答案] B【通关练习】1.如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一个质量为m 的木块连接，放在光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为k ，处于自然状态．现用一水平力F 缓慢拉动木块，在弹簧的弹性限度内，使木块向右移动s ，求这一过程中拉力对木块做的功．解析：缓慢拉动木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等于弹力的大小F ＝ks ′，是变力．法一：图象法力F 随位移s ′变化的关系如图所示，则力F 所做的功在数值上等于图线OA 与所对应的横轴所包围的面积，即等于△OAs 的面积．则：W ＝12s ·ks ＝12ks 2.法二：平均力法拉力F ＝ks ′，力与位移成正比，力F 为线性力，则平均力为F －＝0＋ks 2＝12ks .W ＝F －s ＝12ks 2.答案：12ks 22.如图所示，放在固定斜面上的物体，右端与劲度系数为k 的轻质弹簧相连．手以沿斜面向上的力拉弹簧的右端，作用点移动10 cm 时物体开始滑动，继续缓慢拉弹簧，求当物体位移为0.4 m 时手的拉力所做的功．(k ＝400 N/m)解析：整个过程分两段来分析．第一段，力随位移按线性变化，物体刚被拉动时F ＝kx 1，按平均力求功；第二段拉力恒为F ，可直接用功的定义式求解．根据题意可得W ＝F 2x 1＋Fx 2＝12kx 21＋kx 1x 2＝⎝⎛⎭⎫12×400×0.01＋400×0.1×0.4 J ＝18 J. 答案：18 J当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，可先求出力对位移的平均值F －＝F 1＋F 22，再由W ＝F －l cos α计算功．但此法只适用于F 与位移成线性关系的情况，不能用于F 与时间t 成线性关系的情况．图象法一物体所受的力F 随位移l 发生如图所示的变化，求这一过程中，力F 对物体做的功为多少？[解析] 力F 对物体做的功等于l 轴上方的正功(梯形“面积”)与l 轴下方的负功(三角形“面积”)的代数和．S 梯形＝12×(4＋3)×2 J ＝7 JS 三角形＝－12×(5－4)×2 J ＝－1 J所以力F 对物体做的功为W ＝7 J －1 J ＝6 J. [答案] 6 J【通关练习】1．静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 的作用下，沿x 轴方向运动，拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x 0处时拉力F 做的功为( )A ．0B ．12F m x 0C ．π4F m x 0D ．π4x 20解析：选C ．由于水平面光滑，所以拉力F 即为合外力，F 随位移x 的变化图象包围的面积即为F 做的功，即W ＝π2F 2m ＝π8x 20＝π4F m x 0.2．用质量为5 kg的质地均匀的铁索从10 m深的井中吊起一质量为20 kg的物体，在这个过程中至少要做多少功？(g取10 m/s2)解析：“至少要做多少功”的隐含条件是作用在铁索上的拉力等于物体和铁索的重力，使重物上升，如果不计铁索的重力，那么问题就容易解决．但是现在还要考虑铁索的重力，作用在物体和铁索上的力至少应等于物体和铁索的重力，在拉吊过程中，铁索长度逐渐缩短，因此，拉力也在逐渐减小，即拉力是一个随距离变化的变力，以物体在井底开始算起，拉力与物体上升距离s成线性变化，这是一个变力做功的问题，可以利用F－s图象求解．拉力的F－s图象如图所示，拉力做的功可用图中的梯形面积来表示，W＝(200＋250)×5 J＝2 250 J答案：2 250 J变力做的功W可用F－l图线与l轴所围成的面积表示．l轴上方的面积表示力对物体做正功的多少，l轴下方的面积表示力对物体做负功的多少．微元法如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力F作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始终为15 N，方向始终与物体所在位置的切线成37°角．圆弧所对应的圆心角为60°，BO边为竖直方向，g取10 m/s2.求这一过程中：(1)拉力F做的功；(2)重力mg 做的功；(3)圆弧面对物体的支持力F N 做的功．[解析] (1)将圆弧AB 分成很多小段l 1、l 2、…、l n ，拉力在每小段上做的功为W 1、W 2、…、W n ，因拉力F 大小不变，方向始终与物体所在位置的切线方向成37°角，所以：W 1＝Fl 1cos 37°，W 2＝Fl 2cos 37°，…，W n ＝Fl n cos 37°， 所以W F ＝W 1＋W 2＋…＋W n ＝F cos 37°(l 1＋l 2＋…＋l n ) ＝F cos 37°·π3R ＝20π J ＝62.8 J.(2)重力mg 做的功W G ＝－mgR (1－cos 60°)＝－50 J.(3)物体受的支持力F N 始终与物体的运动方向垂直，所以W F N ＝0. [答案] (1)62.8 J (2)－50 J (3)0【通关练习】1. (多选)如图所示，质量为m 的滑块，由半径为R 的半球面的上端A 以初速度v 0滑下，B 为最低点，滑动过程中所受到的摩擦力大小恒为F f .则( )A ．从A 到B 过程，重力做功为12mg πRB ．从A 到B 过程，弹力做功为零C ．从A 到B 过程，摩擦力做功为－14πRF fD ．从A 滑到C 后，又滑回到B ，这一过程摩擦力做功为－32πRF f解析：选BD ．从A 到B 过程，重力做功W G ＝mgR ，选项A 错误；弹力始终与位移方向垂直，弹力做功为零，选项B 正确；摩擦力方向始终与速度方向相反，利用分段求和的方法可知摩擦力做功为：W 1＝－F f s AB ＝－F f ⎝⎛⎭⎫14×2πR ＝－12πRF f ，选项C 错误；同理由A →C →B 过程，摩擦力做功W 2＝W AC ＋W CB ＝－F f ⎝⎛⎭⎫12×2πR ＋⎣⎡⎦⎤－F f ×⎝⎛⎭⎫14×2πR ＝－32πRF f ，选项D 正确．2．如图所示，摆球质量为m ，悬线的长为l ，把悬线拉到水平位置后放手，设在摆球运动过程中空气阻力F f 的大小不变，求摆球从A 运动到竖直位置B 时，重力mg 、绳的拉力F T 、空气阻力F f 各做了多少功？解析：因为拉力F T 在运动过程中，始终与运动方向垂直， 故不做功，即WF T ＝0. 重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为AB 在竖直方向上的投影OB ，且OB ＝l ，所以W G ＝mgl .空气阻力虽然大小不变，但方向不断改变，且任意时刻都与运动方向相反，即沿圆弧的切线方向，因此属于变力做功问题，如果将AB ︵分成许多小弧段，使每一小段弧小到可以看成直线，在每一小段弧上F f 的大小、方向可以认为不变(即为恒力)，如图所示．因此F f 所做的总功等于每一小段弧上F f 所做功的代数和．即W F f ＝－(F f Δl 1＋F f Δl 2＋…)＝－12F f πl .故重力mg 做的功为mgl ，绳子拉力F T 做的功为零，空气阻力F f 做的功为－12F f πl .答案：mgl 0 －12F f πl当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可．例如：如图所示，物体在大小不变、方向始终沿着圆周的切线方向的一个力F 的作用下绕圆周运动了一圈，又回到出发点．已知圆周的半径为R ，求力F 做的功时，可把整个圆周分成很短的间隔Δs 1、Δs 2、Δs 3….在每一段上，可近似认为F 和位移Δs 在同一直线上并且同向，故W ＝F (Δs 1＋Δs 2＋Δs 3＋…)＝2πRF .因此功等于力F 与物体实际路径长度的乘积．即W ＝Fs .对于滑动摩擦力、空气阻力，方向总是与v 反向，故W ＝－F f ·s .转换法(2018·西安八校高一联考)某人利用如图所示的装置，用100 N 的恒力F 作用于不计质量的细绳的一端，将物体从水平面上的A 点移到B 点．已知α1＝30°，α2＝37°，h ＝1.5 m ，不计滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦．求绳的拉力对物体所做的功．[解析] 绳对物体的拉力虽然大小不变，但方向不断变化，所以不能直接根据W ＝Fl cos α求绳的拉力对物体做的功．由于不计绳与滑轮的质量及摩擦，所以恒力F 做的功和绳对物体的拉力做的功相等．本题可以通过求恒力F 所做的功求出绳对物体的拉力所做的功．由于恒力F 作用在绳的端点，故需先求出绳的端点的位移l ，再求恒力F 的功．由几何关系知，绳的端点的位移为 l ＝h sin 30°－h sin 37°＝13h ＝0.5 m 在物体从A 移到B 的过程中，恒力F 做的功为 W ＝Fl ＝100×0.5 J ＝50 J.故绳的拉力对物体所做的功为50 J. [答案] 50 J【通关练习】1．如图所示，在距水平地面高为0.4 m 处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P 点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P 点的右边，杆上套有一质量m ＝2 kg 的小球A .半径R ＝0.3 m 的光滑半圆形细轨道，竖直地固定在地面上，其圆心O 在P 点的正下方，在轨道上套有一质量也为m ＝2 kg 的小球B .用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来．杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看做质点，且不计滑轮大小的影响，g 取10 m/s 2.现给小球A 一个水平向右的恒力F ＝55 N ．求：(1)把小球B从地面拉到P点正下方C点过程中，重力对小球B做的功；(2)把小球B从地面拉到P点正下方C点过程中，力F做的功．解析：(1)取竖直向上为正方向，W G＝－mgR＝－2×10×0.3 J＝－6 J.(2)如图，由几何知识可知：PB＝OB2＋OP2＝0.32＋0.42m＝0.5 mW F＝F(PB－PC)＝55×(0.5－0.1) J＝22 J.答案：(1)－6 J(2)22 J2.如图所示，一辆拖车通过定滑轮将一重为G的重物匀速提升，当拖车从A点水平移动到B点时，位移为s，绳子由竖直变为与竖直方向成θ的角度，求此过程中拖车对绳子所做的功．解析：拖车对绳子做的功等于绳子对重物做的功．以重物为研究对象，由于整个过程中重物匀速运动．所以绳子的拉力：F T＝G.重物上升的距离等于滑轮右侧后来的绳长OB减去开始时的绳长OAl＝ssin θ－stan θ＝s(1－cos θ)sin θ所以绳子对重物做功：W ＝Gl ＝s (1－cos θ)sin θG拖车对绳子做功等于绳子对重物做功，等于s (1－cos θ)sin θG .答案：s (1－cos θ)sin θG1．分段转换法：力在全程是变力，但在每一个阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的功．2．等效替换法：若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以用求得的恒力的功来作为变力的功．1．以一定的速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大高度为h ，空气的阻力大小恒为F ，则从抛出至落回出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为( )A ．0B ．－FhC ．－2FhD ．－4Fh解析：选C ．从全过程看，空气的阻力为变力，但将整个过程分为两个阶段：上升阶段和下落阶段，小球在每个阶段受到的阻力都是恒力，且总是跟小球运动的方向相反，空气阻力对小球总是做负功．全过程空气阻力对小球做的功等于两个阶段所做的功的代数和，即W ＝W 上＋W 下＝(－Fh )＋(－Fh )＝－2Fh .故选项C 正确．2. (2018·济南高一检测)如图所示，某力F ＝10 N 作用于半径R ＝1 m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为( )A ．0 JB ．20π JC ．10 JD ．20 J解析：选B ．把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认为与力在同一直线上，故ΔW ＝F Δl ，则转一周中各个小元段做功的代数和为W ＝F ×2πR ＝10×2π J ＝20π J ，故B 正确．3.在水平面上，有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R /2和R 的两个半圆构成，现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的方向时刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )A ．零B ．FRC ．32πFRD ．2πFR解析：选C ．虽然拉力方向时刻改变，为变力，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位移内可以将F 看成恒力，小球的路程为πR ＋πR 2，则拉力做的功为32πFR .4.如图所示，竖直光滑杆上套有一滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升，若从A 点升至B 点和从B 点升至C 点的过程中拉力F 做的功分别为W 1、W 2，滑块经B 、C 两点时的速度大小分别为v 1、v 2，图中AB ＝BC ，则一定有( )A ．W 1>W 2B ．W 1<W 2C ．v 1>v 2D ．v 1<v 2解析：选A ．考虑拉力做功时，只考虑拉力、位移、夹角．拉力的大小不变，但它的竖直分量在变小，位移又相同，故W 1>W 2，A 正确；绳子对滑块的拉力在竖直方向的分力与滑块重力的合力产生的加速度为零时，滑块具有最大速度，而A 、B 、C 三处在最大速度的上方、下方还是中间某一位置，不能确定，所以C 、D 错误．5．用大小不变、方向始终与物体运动方向一致的力F ，将质量为m 的小物体沿半径为R 的固定圆弧轨道从A 点推到B 点，圆弧AB ︵对应的圆心角为60°，如图所示，则在此过程中，力F 对物体做的功为________．若将推力改为水平恒力F ，则此过程中力F 对物体做的功为________．解析：若F 的方向始终与运动方向一致，可用微元法求解，W 1＝πR 3F ；若F 保持水平，可用恒力做功的公式W ＝Fl cos 60°求解，得W 2＝32FR . 答案：πR 3F 32FR 6．一个劲度系数为k 的轻弹簧，它的弹力大小与其伸长量的关系如图所示．弹簧一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴线施一水平力将弹簧拉长，求在弹簧由原长开始到伸长量为x 1过程中拉力所做的功．如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由x 1增大到x 2的过程中，拉力又做了多少功？解析：在拉弹簧的过程中，拉力的大小始终等于弹簧弹力的大小，根据胡克定律可知，拉力与拉力的作用点的位移x (等于弹簧的伸长量)成正比，即F ＝kx .F －x 关系图象如图所示：由图可知△AOx 1的面积在数值上等于把弹簧拉伸x 1的过程中拉力所做的功，即W 1＝12F 1×x 1＝12kx 1×x 1＝12kx 21梯形Ax 1x 2B 的面积在数值上等于弹簧伸长量由x 1增大到x 2过程中拉力所做的功，即W 2＝12(F 1＋F 2)×(x 2－x 1)＝12k (x 22－x 21)． 答案：12kx 21 12k (x 22－x 21) 7．如图所示，质量为m 的小车以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运动，已知小车与竖直圆轨道间的动摩擦因数为μ，试求小车从轨道最低点运动到轨道最高点的过程中，克服摩擦力做的功．解析：解答本题的难点在于利用微元法来求解变力所做的功．小车沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，由于轨道支持力是变力，故摩擦力为变力，本题可以用微元法来求．如图所示，将小车运动的半个圆周均匀细分成n (n →∞)等份，在每段长πR n的圆弧上运动时，可认为轨道对小车 的支持力N i 不变，因而小车所受的摩擦力f i 不变．当小车运动到如图所示的A 处圆弧时，有N iA －mg sin θ＝m v 2R则f iA ＝μ⎝⎛⎭⎫m v 2R ＋mg sin θ W iA ＝μ⎝⎛⎭⎫m v 2R ＋mg sin θ·πR n当小车运动到如图所示的与A 关于x 轴对称的B 处圆弧时，有N iB ＋mg sin θ＝m v 2R则f iB ＝μ⎝⎛⎭⎫m v 2R －mg sin θ W iB ＝μ⎝⎛⎭⎫m v 2R －mg sin θ·πR n由此可知小车关于水平直径对称的轨道上的两微元段的摩擦力做功之和为W i ＝W iA ＋W iB ＝2μm v 2R ·πR n ＝2πμm v 2n于是可知，小车沿半圆周从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦力做的总功为W ＝W 1＋W 2＋…＋W n 2－1＋W n 2＝n 2·2πμm v 2n ＝πμm v 2. 答案：见解析。
求解变力做功问题的五种方法
求解变力做功问题的五种方法在高中阶段，应用做功公式W=FScosα来解题时，公式中F只能是恒力。
如果F是变力，就不能直接应用公式W=FScosα来求变力做功问题。
但是题目中又经常出现变力做功问题，下面介绍五种求解变力做功问题的方法。
一：将变力做功转化为恒力做功来求解我们知道变力做功不可以直接用公式W=FScosα来计算，但有些情况下，将变力转化成恒力做功，就可以用公式直接求解。
例题1：如图1所示，人用大小不变的力F拉着放在光滑平面上的物体，开始时与物体相连的绳子和水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳子与水平面的夹角是β，图中的高度是h，求绳子拉力T对物体所做的功，（绳的质量，滑轮的质量和绳与滑轮之间的摩擦均不计）。
分析与解答：在物体向右运动过程中，绳子拉力T是一个变力，是变力做功问题。
但是拉力T大小等于力F的大小，且力F是恒力。
因此，求绳子拉力T对物体所做的功就等于力F所做的功。
由图可知，力F的作用点移动的位移大小为：ΔS=S1-S2。
则：W T=W F=FΔS=F（S1-S2）=Fh(1/sinα-1/sinβ).二：用动能定理来求解我们知道，动能定理的内容：外力对物体所做的功等于物体动能的增量。
如果我们研究物体所受的外力中只有一个是变力，其他力都是恒力，而且这些力做功比较容易求，就可以用动能定理来求变力做功。
例题2：如图2所示，质量为2kg的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以10m/s 的速度开始下滑，到达B点时的速度变为2m/s,求物体从A点运动到B点的过程中，摩擦力所做的功是多少？分析及解答：物体从A点运动到B点的过程中，受到重力G、弹力N和摩擦力f三个力作用，在运动过程中，摩擦力f的方向和大小都发生改变，因此摩擦力f是变力，是变力做功问题。
物体从A点运动到B点的过程中，弹力N不做功，重力G做功为零。
物体所受的三个力中摩擦力在物体从A点运动到B点的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则W外=W f=ΔE k=1/2mV B2-1/2mV A2=-96(J).三：用机械能守恒定律来求解我们知道，物体只受重力和弹力作用或只有重力和弹力做功时，系统的机械能守恒。
求变力做功的六种方法
求变力做功的六种方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1求变力做功的六种方法都匀市民族中学：王方喜在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。
本文举例说明了在高中阶段求变力做功的常用方法，比如微元累积（求和）法、平均力等效法、功率的表达式PtW=、F-x图像、用动能定理、等效代换法等来求变力做功。
一、运用微元积累(求和)法求变力做功求変力做功还可以用微元累积法，把整个过程分成极短的很多段，在极短的每一段里，力可以看成是恒力，则可用功的公式求每一段元功，再求每一小段上做的元功的代数和。
由此可知，求摩擦力和阻力做功，我们可以用力乘以路程来计算。
用微元累积法的关键是如何选择恰当的微元，如何对微元作恰当的物理和数学处理，微元累积法对数学知识的要求比较高。
例1如图1-1所示，某人用力Ｆ转动半径为Ｒ的转盘，力Ｆ的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功．图1-1【分析与解答】在转动转盘一周过程中，力Ｆ的方向时刻变化，但每一瞬时力Ｆ总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即Ｆ在每瞬时与转盘转过的极小位移Δｓ同向．这样，无数瞬时的极小位移Δｓ１，Δｓ２，Δｓ３…Δｓｎ都与当时的Ｆ方向同向．因而在转动一周过程中，力Ｆ做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和．即Ｗ＝ＦΔｓ１＋ＦΔｓ２＋…ＦΔｓｎ＝Ｆ（Δｓ１＋Δｓ２＋Δｓ３＋…Δｓｎ）? ＝Ｆ2πＲ【总结】变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用Ｗ＝ＦLcosθ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。
【检测题1-1】如图1-2所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F、方向始终与磨杆垂直的力推磨，设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功图1-2【检测题1-2】小明将篮球以10 m/s的初速度，与水平方向成30°角斜向上抛出，被篮球场内对面的小虎接到，小明的抛球点和小虎的接球点离地面的高度都为 1.8 m．由于空气阻力的存在，篮球被小虎接到时的速度是6 m/s.已知篮球的质量m＝0.6 kg，g取10 m/s2.求：(1)全过程中篮球克服空气阻力做的功；(2)如果空气阻力恒为5 N，篮球在空中飞行的路程．二、运用平均力等效法求变力做功当力的方向不变，而大小随位移线性．．变化时(即Ｆ＝ｋx＋ｂ)，可先求出力的算术平均值221FFF+=，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解。
求变力做功的方法
求变力做功的方法大全河南省信阳高级中学陈庆威高中物理求功的公式，适用于恒力功的计算。
对于变力做功的计算，常用方法有以下几种。
一、微元法对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。
这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。
但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。
求此过程中摩擦力所做的功。
图1思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。
图2正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功。
误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。
必须注意本题中的F是变力。
小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。
如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。
［发散演习］如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。
则转动半圆，这个力F做功多少？图3答案：31.4J。
二、图象法在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。
如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图4所示。
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思想方法7.变力做功的计算方法方法一平均力法如果力的方向不变，力的大小随位移按线性规律变化时，可用力的算术平均值(恒力)代替变力，即F＝F1＋F22再利用功的定义式W＝F l cos α来求功．【典例1】用锤子击打钉子，设木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，每次击打钉子时锤子对钉子做的功相同．已知第一次击打钉子时，钉子进入的深度为1 cm，则第二次击打时，钉子进入的深度是多少？即学即练1质量是2 g的子弹，以300 m/s的速度射入厚度是5 cm的木板(如图5－1－8所示)，射穿后的速度是100 m/s.子弹射穿木板的过程中受到的平均阻力是多大？你对题目中所说的“平均”一词有什么认识？方法二用微元法求变力做功将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和．此法在中学阶段，常应用于求解力的大小不变、方向改变的变力做功问题．【典例2】如图5－1－9所示，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F，与磨杆始终垂直，作用点到轴心的距离为r，磨盘绕轴缓慢转动．则在转动一周的过程中推力F做的功为()．A．0B．2πrF C．2Fr D．－2πrF即学即练2如图5－1－10所示，半径为R，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为F f，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功．方法三用图象法求变力做功在F－x图象中，图线与两坐标轴所围的“面积”的代数和表示力F做的功，“面积”有正负，在x轴上方的“面积”为正，在x轴下方的“面积”为负．【典例3】一物体所受的力F随位移x变化的图象如图5－1－11所示，求在这一过程中，力F对物体做的功为多少？即学即练3如图5－1－12甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时F做的总功为()．A．0B．12F m x2C．π4F m x0D．π4x2方法四利用W＝Pt求变力做功这是一种等效代换的观点，用W＝Pt计算功时，必须满足变力的功率是一定的这一条件．【典例4】如图5－1－13所示，用跨过光滑定滑轮的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边．已知拖动缆绳的电动机功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻力大小恒为F f，经过A点时的速度大小为v0，小船从A点沿直线加速运动到B点经历时间为t1，A、B两点间距离为d，缆绳质量忽略不计．求：(1)小船从A点运动到B点的全过程克服阻力做的功WF f；(2)小船经过B点时的速度大小v1.即学即练4汽车的质量为m，输出功率恒为P，沿平直公路前进距离s的过程中，其速度由v1增至最大速度v2.假定汽车在运动过程中所受阻力恒定，求汽车通过距离s所用的时间．方法五 利用动能定理求变力的功动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力功也适用于求变力功．因使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力功的首选．【典例5】 如图5－1－14所示，AB 为四分之一圆周轨道，半径R ＝0.8 m ，BC 为水平轨道，长为L ＝3 m ．现有一质量m ＝1 kg 的物体，从A 点由静止滑下，到C 点刚好停止．已知物体与BC 段轨道间的动摩擦因数为μ＝115，求物体在AB 段轨道受到的阻力对物体所做的功．(g 取10 m/s 2)即学即练5 如图5－1－15甲所示，一质量为m ＝1 kg 的物块静止在粗糙水平面上的A 点，从t ＝0时刻开始物块受到如图乙所示规律变化的水平力F 的作用并向右运动，第3 s 末物块运动到B 点时速度刚好为0，第5 s 末物块刚好回到A 点，已知物块与粗糙水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，(g ＝10 m/s 2)求：(1)A 与B 间的距离；(2)水平力F 在前5 s 内对物块做的功． 附：对应高考题组(PPT 课件文本，见教师用书)1．(2012·上海卷，18)如图所示，位于水平面上的物体在水平恒力F 1作用下，做速度为v 1的匀速运动；若作用力变为斜向上的恒力F 2，物体做速度为v 2的匀速运动，且F 1与F 2功率相同．则可能有( )．A ．F 2＝F 1 v 1>v 2B ．F 2＝F 1 v 1<v 2C ．F 2>F 1 v 1>v 2D ．F 2<F 1 v 1<v 22．(2012·四川卷，21)如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧的一端固定在墙上，另一端与置于水平面上质量为m 的物体接触(未连接)，弹簧水平且无形变．用水平力F 缓慢推动物体，在弹性限度内弹簧长度被压缩了x 0，此时物体静止．撤去F 后，物体开始向左运动，运动的最大距离为4x 0.物体与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g .则( )．A ．撤去F 后，物体先做匀加速运动，再做匀减速运动B ．撤去F 后，物体刚运动时的加速度大小为kx 0m－μgC ．物体做匀减速运动的时间为2x 0μgD ．物体开始向左运动到速度最大的过程中克服摩擦力做的功为μmg ()x 0－μmgk3．(2012·江苏卷，3)如图所示，细线的一端固定于O 点，另一端系一小球．在水平拉力作用下，小球以恒定速率在竖直平面内由A 点运动到B 点．在此过程中拉力的瞬时功率变化情况是( )．A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．先增大，后减小D ．先减小，后增大4．(2011·海南卷，9)一质量为1 kg 的质点静止于光滑水平面上，从t ＝0时起，第1秒内受到2 N 的水平外力作用，第2秒内受到同方向的1 N 的外力作用．下列判断正确的是( )．A ．0～2 s 内外力的平均功率是94WB ．第2秒内外力所做的功是54JC ．第2秒末外力的瞬时功率最大D ．第1秒内与第2秒内质点动能增加量的比值是455．(2011·上海卷，15)如图，一长为L 的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为m 的小球．一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度ω匀速转动，当杆与水平方向成60°时，拉力的功率为( )．A ．mgLωB ．32mgLω C.12mgLω D ．36mgLω【典例1】解析 设木板对钉子的阻力为F f ＝kx ，x 为钉子进入木板的深度，第一次击打后钉子进入木板的深度为x 1，第二次击打钉子时，钉子进入木板的总深度为x 2，则有W 1＝F f 1x 1＝0＋kx 12·x 1＝12kx 21W 2＝F f 2(x 2－x 1)＝kx 1＋kx 22·(x 2－x 1)＝12k (x 22－x 21) 由于W 1＝W 2，代入数据解得x 2＝2x 1＝1.41 cm 所以钉子第二次进入的深度为 Δx ＝x 2－x 1＝0.41 cm. 答案 0.41 cm即学即练1解析 设子弹所受的平均阻力为F f ，根据动能定理W 合＝12m v 22－12m v 21得 F f l cos 180°＝12m v 22－12m v 21所以F f ＝－m (v 22－v 21)2l ＝－2×10－3×(1002－3002)2×5×10－2N ＝1.6×103N 子弹在木板中运动5 cm 的过程中，所受木板的阻力各处不同，题中所说的平均阻力是相对子弹运动这5 cm 的过程来说的．答案 1.6×103 N 见解析 【典例2】解析 磨盘转动一周，力的作用点的位移为0，但不能直接套用W ＝Fs cos α求解，因为在转动过程中推力F 为变力．我们可以用微元的方法来分析这一过程．由于F 的方向在每时刻都保持与作用点的速度方向一致，因此可把圆周划分成很多小段来研究，如图所示，当各小段的弧长Δs i 足够小(Δs i →0)时，F 的方向与该小段的位移方向一致，所以有：W F ＝F Δs 1＋F Δs 2＋F Δs 3＋…＋F Δs i ＝F 2πr ＝2πrF (这等效于把曲线拉直)．答案 B即学即练2解析 将小球运动的轨迹分割成无数个小段，设每一小段的长度为Δx ，它们可以近似看成直线，且与摩擦力方向共线反向，如图所示，元功W ′＝F f Δx ，而在小球运动的一周内小球克服摩擦力所做的功等于各个元功的和，即W ＝ΣW ′＝F f ΣΔx ＝2πRF f .答案 2πRF f【典例3】解析 力F 对物体做的功等于x 轴上方梯形“面积”所表示的正功与x 轴下方三角形“面积”所表示的负功的代数和．S 梯形＝12×(3＋4)×2＝7S 三角形＝－12×(5－4)×2＝－1所以力F 对物体做的功为W ＝7 J －1 J ＝6 J. 答案 6 J 即学即练3解析 F 为变力，但F －x 图象包围的面积在数值上表示拉力做的总功．由于图线为半圆，又因在数值上F m ＝12x 0，故W ＝12πF 2m＝12π·F m ·12x 0＝π4F m x 0. 答案 C利用W ＝Pt 求变力做功这是一种等效代换的观点，用W ＝Pt 计算功时，必须满足变力的功率是一定的这一条件． 【典例4】解析 (1)小船从A 点运动到B 点克服阻力做功 WF f ＝F f d ①(2)小船从A 点运动到B 点，电动机牵引缆绳对小船做功 W ＝Pt 1②由动能定理有W －WF f ＝12m v 21－12m v 20③ 由①②③式解得v 1＝v 20＋2m (Pt 1－F f d )④ 答案 (1)F f d (2)v 20＋2m (Pt 1－F f d )即学即练4解析 当F ＝F f 时，汽车的速度达到最大速度v 2，由P ＝F v 可得F f ＝Pv 2对汽车，根据动能定理，有Pt －F f s ＝12m v 22－12m v 21联立以上两式解得t ＝m (v 22－v 21)2P ＋s v 2.答案 m (v 22－v 21)2P ＋s v 2．【典例5】解析 物体在从A 滑到C 的过程中，有重力、AB 段的阻力、BC 段的摩擦力共三个力做功，且W G ＝mgR ，W f BC ＝－μmgL ，由于物体在AB 段受到的阻力是变力，做的功不能直接求解．设物体在AB 段轨道受到的阻力对物体所做的功为W fAB ，从A 到C ，根据动能定理有mgR ＋W fAB －μmgL ＝0，代入数据解得W fAB ＝－6 J.答案 －6 J 即学即练5 ．解析 (1)A 、B 间的距离与物块在后2 s 内的位移大小相等，在后2 s 内物块在水平恒力作用下由B 点匀加速运动到A 点，由牛顿第二定律知F －μmg ＝ma ，代入数值得a ＝2 m/s 2，所以A 与B 间的距离为s ＝12at 2＝4 m.(2)前3 s 内物块所受力F 是变力，设整个过程中力F 做的功为W ，物体回到A 点时速度为v ，则v 2＝2as ，由动能定理知W －2μmgs ＝12m v 2，所以W ＝2μmgs ＋mas ＝24 J.答案 (1)4 m (2)24 J附：对应高考题组(PPT 课件文本，见教师用书)1.解析 水平恒力F 1的作用时有P 1＝F 1v 1，斜向上恒力F 2作用时有P 2＝F 2v 2cos θ，其中θ为F 2与水平方向的夹角，又F 2cos θ＝μ(mg －F 2sin θ)，F 1＝μmg ，故F 2cos θ<F 1，由于P 1＝P 2，所以v 1<v 2，F 1与F 2的关系不确定，故选项B 、D 正确，A 、C 错误．答案 BD2.解析 撤去F 后，物体向左先做加速运动，其加速度大小a 1＝kx －μmg m ＝kxm－μg ，随着物体向左运动，x 逐渐减小，所以加速度a 1逐渐减小，当加速度减小到零时，物体的速度最大，然后物体做减速运动，其加速度大小a 2＝μmg －kxm＝μg －kx m ，a 2随着x 的减小而增大．当物体离开弹簧后做匀减速运动，加速度大小a 3＝μmg m ＝μg ，所以选项A 错误．根据牛顿第二定律，刚撤去F 时，物体的加速度a ＝kx 0－μmg m ＝kx 0m－μg ，选项B 正确．物体做匀减速运动的位移为3x 0，则3x 0＝12a 3t 2，得物体做匀减速运动的时间t ＝6x 0a 3＝6x 0μg，选项C 错误．当物体的速度最大时，加速度a ′＝0，即kx ＝μmg ，得x ＝μmgk，所以物体克服摩擦力做的功W ＝μmg (x 0－x )＝μmg ()x 0－μmg k ，选项D 正确． 答案 BD3.解析 小球速率恒定，由动能定理知：拉力做的功与克服重力做的功始终相等，将小球的速度分解，可发现小球在竖直方向分速度逐渐增大，重力的瞬时功率也逐渐增大，则拉力的瞬时功率也逐渐增大，A 项正确．答案 A4.解析 根据牛顿第二定律得，物体在第1 s 内的加速度a 1＝F 1m ＝2 m/s 2，在第2 s 内的加速度a 2＝F 2m ＝11 m/s 2＝1 m/s 2；第1 s 末的速度v 1＝a 1t ＝2 m/s ，第2 s 末的速度v 2＝v 1＋a 2t ＝3 m/s ；0～2 s 内外力做的功W ＝12m v 22＝92 J ，平均功率P ＝W t ＝94 W ，故A 正确．第2 s 内外力所做的功W 2＝12m v 22－12m v 21＝()12×1×32－12×1×22J ＝52 J ，故B 错误．第1 s 末的瞬时功率P 1＝F 1v 1＝4 W ．第2 s 末的瞬时功率P 2＝F 2v 2＝3 W ，故C 错误．第1 s 内动能的增加量ΔE k1＝12m v 21＝2 J ，第2 s 内动能的增加量ΔE k2＝W 2＝52J ，所以ΔE k1ΔE k2＝45，故D 正确．答案 AD5.解析 由能的转化及守恒可知：拉力的功率等于克服重力的功率．P G ＝mg v y ＝mg v cos 60°＝12mgωL ，故选C.答案 C。