小学六年级奥数 第十八章 圆的周长和面积

第十八章 圆的周长和面积

知识要点

如右图所示，当一条线段OA 绕着固定端点O 在平面内旋转一周，它的另一端点A 在平面内画出了一条封闭的曲线，这条封闭的曲线叫做圆。围成圆的曲线叫做圆周，线段OA 叫做圆的半径，通常用r 或R 表示。O 点是这个圆的圆心。

在同一个圆中，所有的半径都相等。通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆内，所有直径都相等，且等于半径的2倍。圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 无论什么圆，它的周长除以直径的商是一个固定的数，这个数叫圆周率，用π表示。如果用C 表示圆周的长度，d 表示这个圆的直径，那么，π＝C d 。 π是一个无限不循环小数：

π＝3.14159265358979323846…

圆的周长：C ＝2πr 或C ＝πd 圆的面积：S ＝πr 2

＝π(2d )2＝π(2C π)2＝24C π 扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。如果扇形的圆心角是n ，那么当圆周长C ＝2πr 时，扇形的弧长计算方法：

L ＝360n ×2πr ＝180

n ×πr 例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)如图，ABCD 是边长为10厘米的正方形，且AB 是半圆的直径，则阴影部分的面积是 平方厘米。(π取3.14)

点拨 过E 点作AB 的垂线，垂足为O ，因为∠CAB＝45°，所以点O 是半圆的圆心，则阴影部分的面积等于梯形OECB 的面积，减去圆O 面积的

14。 解 过E 点作AB 的垂线，垂足为0。

∵∠CAB ＝45°，∴点0是半圆的圆心。

则S 阴影＝S 梯形OECB －14

S ⊙O

＝(5＋10)×5÷2－ ×52

＝17.875(平方厘米)

例2 将半径分别是4厘米和3厘米的两个半圆，如图放置。求阴影部分的周长。

点拨阴影部分的周长为小半圆的弧长加上大半圆的弧长，再加两条线段的长。两个半圆的半径分别为4厘米和3厘米；两条线段分别是4厘米和3×2－4＝2(厘米)。

解 (1)两个半圆的弧长是：

2×3.14×4÷2＋2×3.14×3÷2

＝12.56＋9.42

＝21.98(厘米)

(2)两条线段的长：

4＋(3×2－4)

＝6(厘米)

(3)阴影部分的周长为：

21.98＋6＝27.98(厘米)

答：阴影部分的周长是29.98厘米。

例3 直径均为1分米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起，如下图。试求金属带的长度和阴影部分的面积。

点拨要想求金属带的长度，我们必须把它分成8个部分来观察，金属带的长度正好是管子直径的4倍和一根管子圆周长度的总和。中心阴影部分的面积等于中间正方形的面积减去一个圆的面积，其中正方形的边长等于直径。

解金属带的长度：

1×4＋3.14×1＝7.14(分米)

阴影面积：1×1－3.14×(1 2

)2

＝1－0.785＝0.215(平方分米)

答：金属带的长度为7.14分米，阴影部分的面积为0.215平方分米。

说明我们在计算比较复杂的周长和面积时，要善于把这个圆形分解再重新组合，这样才会看得清楚明白。

例4 如图，圆的周长是12.56厘米，圆的面积是长方形面积的2

5

，求阴影部分的周长。

点拨阴影部分的周长是半圆的弧长，加上两条长方形的长和一条宽。已知圆的周长，容易求出半径，再求出圆的面积。求出圆的面积，就可以求出长方形的面积，长方形的宽就是圆的直径，从而可以求出长方形的长，这样就可以求出阴影部分的周长了。

解半圆的弧长：

12.56÷2＝6.28(厘米)

长方形的面积：

3.14×(12.56÷3.14÷2)2÷2 5

＝3.14×4÷2 5

＝31.4(平方厘米)

长方形的长：

31.4÷(12.56÷3.14)

＝7.85(厘米)

阴影部分的周长：

6.28＋

7.85×2＋12.56÷3.14

＝6.28＋15.7＋4

＝25.98(厘米)

答：阴影部分的周长为25.96厘米。

例5 如右图，半圆的半径为15厘米，∠AOB＝90°，∠COD＝120°，CD＝26厘米，半圆中阴影部分的面积是多少平方厘米？

点拨本题是一道比较复杂的问题，需要引辅助线和求扇形面积等方面的知识。

解三角形COD的面积：

过点O作CD的垂线交互AB于F，交CD于E，连接DF，因为∠FOD＝60°，则△DFO 是正三角形。DE为△DFO的对称轴，所以FE＝EO＝7.5(厘米)。则三角形COD的面积为：

26×7.5×1

2

＝97.5(平方厘米)

圆心角为120°的扇形的面积： 23.1415360⨯×120＝225 3.143

⨯＝75×3.14＝235.5(平方厘米) 由弦CD 和弧CD 围成的弓形面积：

235.5－97.5＝138(平方厘米)

圆心角为90°的扇形面积：

2

3.1415360

⨯×90＝176.625(平方厘米) 三角形AOB 的面积：

15×15×12

＝112.5(平方厘米) 由弦AB 和弧AB 围成的弓形的面积：

176.625－112.5＝64.125(平方厘米)

阴影部分的面积：

138－64.125＝73.875(平方厘米)

答：阴影部分的面积是73.875平方厘米。

例6 如图，在半径AB 为20厘米，圆心角为45°的扇形中，以半径AB 的中点O 为圆心，以OA 为半径画一个半圆，交BC 于D 。求阴影部分的面积。

点拨 图中阴影部分看似两个毫不相干的图形，但如果我们连接AD 就会发现：弓形BD 和弓形AD 的面积相等，如果用圆心角45°的扇形面积减去中间等腰直角三角形的面积，就可以求出两个阴影部分的面积的和。

解 圆心角45°的扇形的面积：

2

3.1420360

⨯×45＝157(平方厘米) 等腰直角三角形ADB 的面积：

20×(20÷2)÷2＝100(平方厘米)

阴影部分的面积：

157－100＝57(平方厘米)

答：阴影部分的面积是57平方厘米。

说明 在求两块或两块以上阴影部分的面积时，有时也把这几块合在一起求。

例7 如右图所示，大圆的直径是4厘米，黑色面积大还是阴影面积大？是黑色部分周长大，