应用随机过程 第一章 预备知识

E（X | B）=[P(B)]
-1
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B
X dP=[P(B)] E（X I B）.
-1
性质：
（1） 若X L1，则 E[E（X |B） ]=EX。
（2） 若X是B随机变量， 则 E（X |B） =X， a.s.。
（3） 若X=Y， a.s. 且X L 1， 则E（X|B）=E（Y|B），a.s.


上面第二等号给出了卷积的定义； 卷积满足交换律、结合律、分配律.并且满足
Fn ( x) (F*Fn-1 )( x).
n重卷积
1.5 收敛性
定义 1.13
设{Xn， n 1}是一列r.v.
(1) 若r.v.X使得 P( : lim X n ( )=X( ))=1, n 则称{X n， n 1}几乎必然收敛（或以概率1收敛） 于X，记作 X n X，a.s.
定理1.10 （Bayes 公式）
设{Bn }是的一个分割，且对n，P(Bn )>0， 则对 n 1， P（Bn） P（A|Bn） P（Bn|A） 。 P（Bk）P（A|Bk）
k
2 条件期望
设 X 是随机变量， B 是事件且P（B）>0, 则给定事 件B， 随机变量X的条件期望定义为
n 1
定理1.16（Kolmogorov 0-1律）
属于独立随机变量序列的 尾代数的任何 事件的概率或为0或为1.
1.1.4 独立随机变量和的分布
设X1，X 2是独立的r.v., F1，F2 分别是它们的分布函数。 再设X=X1 +X 2，其分布函数为FX .
FX ( x) F2 ( x t )dF1(x)=F1 *F2 ( x).
随机变量列的收敛性之间的关系：
几乎必然收敛 依概率收敛 依分布收敛
P阶矩收敛 依概率收敛 依分布收敛 几乎必然收敛与 P阶矩收敛 之间不存在关系。
(7)若{X n }是一列随机变量，X n X，a.s.且Y L1 使得|X n| Y，n，则 lim E(X n|B ) E(X|B )，a.s.
n
(9)若X , Y 是两个独立的随机变量，函数(x，y)使得 E(| (X,Y))<,则 E[ (X，Y)|Y] E[ (X，y)] |y=Y a.s
j=1 j=1 k k
(2)设{Ai，i I}是F 的 子代数族，如果对I的每个非空 有限子集{i1，...,ik }，Ai j Ai j 使得上式成立，则称 {Ai，i I}是相互独立的.
(3)设{Xi，i I}是的r.v.族，如果 代数族{ （Xi）是独立 } 的，则称{Xi，i I}是相互独立的.
作业：
结合《概率论》和第一章的内容，写出学习心得. 要求：1. 可就某个知识点或某个定理、引理或例题等， 用自己的语言写出； 2. 也可以写一点对《应用随机过程 》这们课的一些想 法（例如希望通过学习这门课学点什么 等）.
1.4.3 独立性
定义 1.11
(1)设{A i，i I}是F的事件族，如果对I的每个非空 有限子集{i1，...,ik }，有 P（ A i j）= P（A i j） 则称{A i，i I}关于P是相互独立的.
A
则
P ( A) E[ I ( )].
A
定理 1.9 （全概率公式）
设{Bn }是的一个分割，且对n，P(Bn )>0. 如果 A F ， 则 P（A）= P（Bn） P（A|Bn） 。
n
习题: 投资者为了解股票在未来一段时间内的价格 波动，往往会分析影响股票价格的基本因素， 比如利率的变化. 现在估计利率下调的概率为 60%，利率不变的概率为40%.根据经验,在利 率下调的情况下股票上涨的概率为80%,而在 利率不变的情况下,价格上涨的概率为40%. 求该支股票上涨的概率.
（4） 若a,b是实数，X，Y L 1， 则E[（aX+bY）|B ]=aE(X|B )+bE(Y|B )，a.s.
(5)若X，Y L 1且X Y，a.s., 则E(X|B ) E(Y|B )，a.s.
(6)若{X n }是非负单调增加的随机变量列， 则E(sup X n|B ) sup E(X n|B )，a.s.
n
P（A n i.o.）= P(A)=0.
定理1.14（Borel-Canteli 第二引理）
设{A n }是一列独立的事件，使得 P（A n）=,则 P（A n i.o.）=1.
n
定义1.12
若{X n }是一列随机变量，Bk （X k，X k+1， ...）是 由X k，X k+1， ...生成的 代数，则{Bn }是非增的列。它们 之交 T = Bn 称作{X n }的 尾代数。
(2) 若r.v.X使得对 >0,有 lim P(|Xn X| )=0, n P 则称{Xn， n 1}依概率收敛X，记作Xn X.
(3)若X n L ，p 1，如果X L ，使得 p lim E(|Xn X| )=0, n p 则称{Xn， n 1}p次平均收敛于X L ，或称 为p阶矩收敛；当p=2， 称为均方收敛。
p p
(4)设{F （ n x）}是分布函数列，如果F(x):单调不减， 使得对F (x)的所有连续点x有 lim Fn (x)=F(x),则称 n {F （ }弱收敛于F(x)； n x） 再设{X n }是一列以{F （ n x）}为分布函数的r.v.列， 如果{F （ } 敛于F(x)， 则称{X n }依分布收敛。 n x）弱收
条件概率与条件期望
1 条件概率 设 B 是一事件， 且 P(B)>0. 给定事件B，事 件 A 的条件概率为
P （ B A）=P（A B）/P(B).
概率与期望的关系: 定义示性函数 (indictor function)
1, A, I ( ) 0, A.
定理1.13
(1)设X1，...,X n L 是独立的，则 E（ X k）=
k=1
2 n n
1
n

k=1
n
EX k
(2)设X1，...,X n L 是独立的，则 var（ X k）=
k=1

k=1
var(X k )
定理1.14（Borel-Canteli 第一引理）
设{A n }是一列事件，且A limsup A n .若 P（An）<,则