高中物理利用图像解决问题方法

专题二图像方法在物理学中的应用不论是检验理论正确与否，还是研究事物发展规律，或是探索事物的本质特征，都必须找到一种适当的方式或方法，对所研究问题的结果做出明确的回答.物理学的研究同样如此.在物理学的研究中，除去用数学表达式表达物理规律这个基本方法（解析法）外，我们还常常使用图像描述物理状态、物理过程以及物理量之间的关系，在实验中也常常将得到的数据画成图像以帮助我们去探索未知的物理现象及其规律.用图像表示物理状态和物理规律，往往比用解析法要形象直观；对有些问题的分析和解决，图像方法比用其他数学方法要简便直接；在探索新的物理规律时，借助图像进行分析也是一种重要手段.总之，图像方法在物理学中是一种常用的研究、处理问题的方法.下面通过对具体问题的分析说明图像方法如何用在物理学中.一、通过图像理解物理图景中学物理中的图像一般是在二维直角坐标系中画出的，所以从图像中直接得到的是两个物理量之间的关系的信息.在图像中，一个点表示一个物理状态；从一个状态过渡到另一个状态，在图像中画出的点连成了一条曲线，这条曲线反映的是一个物理过程；从表示物理过程的曲线显示出的函数关系，我们就可以确定物理过程遵循的规律.我们解读物理图像的一般方法是：首先，应该分别看横、纵坐标各代表什么物理量，它们的单位是什么.这样，图线上的每个点的坐标表示的物理状态便可确定了，物理图像描述的是什么过程就明确了.然后看图线属于那种函数曲线.如果是某个物理量与时间关系的函数曲线（如速度－时间图像、磁通量—时间图像等），便可确定该物理量随时间变化的过程所遵循的规律.如果是关于两个物理参量的函数曲线（如导体的伏—安特性曲线、气体的压强—体积图像等），则说明的是这两个参量之间相互依存的规律.整个高中教材中有很多不同类型的图像，按图形可分为以下几类：⑴直线型：如匀速直线运动位移与时间关系s-t图像，匀变速直线运动速度与时间关系v-t图像；恒定电路中标准电阻的电压与电流关系U-I 图像等⑵正弦曲线型：如振动的s-t图像；波动的y-x图像,交变电流的e-t图像等⑶其他线型：机械在额定功率下，牵引力随速度变化的图像；共振曲线A-f图线；电磁感应中的有关图像等.通过图像分析物理规律，还要研究图线的斜率、图线包围的面积、图线和横、纵坐标交点的坐标（截距）、起点、终点、拐点、渐近线等几何要素的物理意义，从而可以对图像反映的物理状态、物理过程和物理图景有更深入的理解.【例１】从同一地点开始，甲乙两物体同时沿同一方向作直线运动的图像如右上图所示，试问：⑴在ｔ=3s时刻，两物体的速度各是多大？⑵在前6s内，两物体的运动情况如何？解析图像的横坐标轴表示时间ｔ，单位为ｓ；纵坐标轴表示速度v，单位为m/s.这是速度—时间图像.⑴由图像可知，在t=3s时刻甲物体的速度v甲＝２m/s,乙物体的速度v乙＝２m/s.⑵在前6ｓ内，甲物体一直做速度为的v甲＝２m/s的匀速直线运动.乙物体做初速度为零、加速度（用右下图中的直线ＯＤ的斜率表示）a ＝2020v v t t --=2030--m/s 2≈0.67m/s 2的匀加速直线运动. 因为v －ｔ图线和时间轴ｔ之间包围的面积表示位移，在第３s 末，图线甲和图线乙相交、所围面积差值最大（等于△OAB 的面积），表示两物体速度相等时物体乙落后于物体甲的距离最大.在第６s 末，图中△BDE 和△OAB 面积相等，使得代表物体乙位移的△ODF 的面积和代表物体甲位移的矩形OAEF 面积相等，说明甲、乙此刻完成了相同的位移，物体乙追上了物体甲. 【例２】家用电热灭蚊器中电热部分的主要元件是 PCT 元件.PCT 元件是由钛酸钡等半导体材料制成的电阻器，其电阻率ρ与温度t 的关系如图所示.由于这种特性，因此PCT 元件具有发热、控温双重功能.请分析元件消耗电功率的变化规律以及何时温度能够达到稳定？解析 根据图像，开始时，PCT 元件温度较低，通电后，元件产生的热量比散发的热量多，温度t 升高，电阻率ρ下降，电流增大，元件消耗的功率随之增加，产生的热量更多，温度t 继续上升，元件的电阻率ρ继续下降，电流更强，功率再增，等温度升到t 1时，元件的电阻率ρ不再下降，温度t 再升高，其电阻率ρ反而增大，使通过元件的电流减小，消耗的功率也减少，发热量随之减少.此时，温度越高，电阻率ρ增加的越快，电流减小得越多，发热量也减少得越多，直到发热量与散热量相等，电阻率ρ不再变化，元件的温度便稳定了.总之，电热元件消耗的电功率先增加后减少，稳定温度ｔ是介于ｔ１和ｔ２之间某一值.【例３】如图所示，一宽40cm 的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里.一边长为ｌ＝20cm 的正方形导线框abcd 位于纸面内，以垂直于磁场边界的恒定速度ｖ＝20cm/s 通过磁场区域，在运动过程中，线框有一边始终与磁场区域的边界平行.取它刚进入磁场的时刻t =0，试画出穿过导线框的磁通量Φ随时间ｔ变化的曲线、导线框中感应电流i 随时间ｔ变化的曲线以及垂直作用在ab 边的、牵引导线框通过磁场区域的外力Ｆ随时间ｔ变化的曲线.解析 设导线框以恒定速度v 进入磁场区域后，经过时间ｔ后，它的ab 边到磁场区域的左边界的距离为x ，则x =vt .那么，穿过导线框的磁通量Φ1=BS =Blx =Blvt ，与时间t 成正比，当导线框完全进入磁场区域，穿过导线框的磁通量达到最大值Φ2=Bl 2，此过程经历时间t 1=2020l v =s=1s.在整个导线框通过磁场区域的t 2=1s 时间里，穿过导线框的磁通量保持为Φ2=Bl 2.然后ab 边离开磁场区域，穿过导线框的磁通量随时间减小：Φ3=Bl 2－Blvt ，经历时间ｔ3＝１s.根据以上分析画出的穿过导线框的磁通量Φ随时间t变化的曲t/s12线如图甲所示：当正方形导线框刚进入匀强磁场区域时，其ab 边开始切割磁感线，产生感应电动势E =vBl ，方向由指b 向a .由于导线框边切割磁感线的速度v 不变，所以线框中感应电流大小为vBl R也恒定不变，感应电流沿逆时针方向.经过时间t 1=1s 后，线框的cd 边进入磁场区域，穿过导线框的磁通量保持不变，在cd 边穿过磁场区域t 2=1s 的时间里，线框中没有感应电流，即i =0.接着ab 边穿出磁场，只有cd 边切割磁感线，线框中又产生大小为vBlR的感应电流，但方向相反，为顺时针方向，经历时间t 3=1s.最后cd 边穿出磁场区域.线框中不再产生感应电流.根据以上分析，并规定沿逆时针的电流方向为正方向，则可得出导线框中感应电流i 随时间t 变化的曲线如图乙所示：当正方形导线框刚进入匀强磁场区域时，其ab 边开始切割磁感线，产生感应电流大小为I=vBl R恒定不变，沿逆时针方向，根据左手定则，他受到的安培力大小为F A =BlI 、方向向左，恒定不变，因此，由二力平衡条件，对ab 边所施外力大小也为F =BlI 、方向向右.经过1s 后，导线框完全进入磁场区域，感应电流消失，导线框不受安培力作用，因此不需外力：F=0也能继续做匀速直线运动.再过1s 时间，只有cd 边切割磁感线，产生的感应电流大小仍为I=vBl R恒定不变，沿顺时针方向，根据左手定则，它受到的安培力大小为F A =BlI ，方向仍旧向左，恒定不变，因此，由二力平衡条件，对所施外力大小也为F =BlI ，方向还是向右.规定向左为力F 的正方向，由此画出的垂直作用在ab 边的、牵引导线框通过磁场区域的外力F 随时间t 变化的曲线如图丙所示.二、利用图像解决物理问题探索物理规律利用我们掌握的物理知识和描绘物理图像的方法，在解决某些物理问题时往往比用“解析法”简单、快捷、直观，常常可以达到事半功倍的效果.【例４】一物体放在光滑水平面上，初速度为零.先对物体施加一向东的水平恒力Ｆ，历时１s ；随即把此力方向改为向西，大小不变，历时１s ；接着又把此力改为向东，大小不变，历时１s.如此反复，只改变力的方向，不改变力的大小，共历时１min ，在此1min 内物体的运动情况是：A.物体时而向东运动，时而向西运动，在１min 末静止于初始位置以东.B.物体时而向东运动，时而向西运动，在１min 末静止于初始位置.C.物体时而向东运动，时而向西运动，在１min 末继续向东运动.5 t/s 5 5 甲 丙学习好资料_____________________________________________C.物体一直向东运动，从不向西运动，在１min 末静止于初始位置以东.解析 规定向东为正方向.由于物体受力大小不变、方向改变，因此加速度也是大小不变、方向改变，所以能够画出如图所示的v －ｔ图像，据此立即可确定选项Ｄ是正确的.探索物理规律，更是图像法的重要功能.物理学中的弗兰克－赫兹实验就是著名的一例.在20世纪初，从一些实验中知道：如果给原子足够的能量，就可以使电子从原子的束缚中脱离出来而使原子电离，这个能量称之为“电离能”.当原子和入射的电子碰撞获得能量而电离时，就可以通过测量使电子加速的电压进而测定原子的电离能.1914年，在德国柏林大学工作的科学家弗兰克(1882－1964)和赫兹(1887－1975)为测量电离能设计了如图所示的实验：在玻璃真空管内充入少量水银蒸气，由灯丝发射出来的热电子被灯丝和栅极之间的电压Ｕ加速，然后又被加在集电极和栅极之间的反向电压减速.电压Ｕ可以调节和测量.由于有反向电压，电子在任何时候都不会到达集电极.设想在栅极和集电极之间的电子和汞原子碰撞，就会使一些汞原子电离成为汞离子，电场便将汞离子向集电极方向加速，于是在电流表Ｇ上可测出电流来.用这个装置做实验，他们可得到如图所示的曲线.图线显示，随着栅极和灯丝之间的加速电压Ｕ由零开始增加，集电极的电流逐渐上升.当Ｕ＝４.9V 时，集电极电流突然下降；继续增大加速电压U ，集电极电流随之回升，当U =9.8V 时，集电极电流第二次突然下降；再继续增大加速电压U ，集电极电流又随之回升，当U =14.7V 时，集电极电流第三次突然下降.图线表现出一个明显的周期性：加速电压在增大的过程中，每隔４.9V 集电极电流就下降一次.也就是说，在加速电压和集电极电流之间，存在着一种因果关系.分析这个因果关系，他们做出的判断是：用电子轰击汞原子并没有使汞原子电离，而是使电子损失一份特定的能量，即电子在和汞原子相碰时，电子只能损失４.9eV 的能量，换句话说，汞原子在改变能量状态时，只能吸收4.9eV 的能量.根据这个分析，弗兰克和赫兹又重新设计了实验，测定汞蒸气受到电子轰击时辐射的谱线波长.其结果是：当加速电压大于4.9V 时，汞蒸气才产生辐射，而且只辐射能量为4.84eV 、波长为2536×10－１０ｍ的谱线，相当精确地证实了他们的判断.这个实验结果揭示了在原子尺度的范围内，能量的改变是以某种最小单元一份一份地改变的.也就是说，原子只能处于一系列不连续的能量状态中，它只能从一个状态变到另一个状态，变化的能量一定是某一个确定值.这个实验成功地证实了1913年丹麦科学家玻尔提出的原子理论，并因此获得了1925年诺贝尔物理学奖.t /s v /m s -1 弗兰克－赫兹实验在此使用是否有点偏?学习好资料_____________________________________________三、高考对图像法的考查图像在中学物理中有着广泛应用，所以有关以图像及其运用为背景的命题，成为历届高考考查的热点，它要求考生能做到三会：⑴会识图：认识图像，理解图像的物理意义；⑵会做图：依据物理现象、物理过程、物理规律作出图像，且能对图像变形或转换；⑶会用图：能用图像分析实验，用图像描述复杂的物理过程，用图像法来解决物理问题.通常我们遇到的图像问题可以分为几大类：⑴物理图像的选择⑵物理图像的描绘（可称之为“作图题”）⑶利用物理图像转换问题机制⑷明确并理解图像的各数学特征的物理意义⑸利用图像法求解物理问题（可称之为“用图题”）⑹运用物理图像处理实验数据，分析实验误差【例5】太原直飞昆明的航班由波音737飞机执行.右面的上、下两图分别给出了某次飞行全过程中飞机的竖直分速度和水平分速度的速度图象.根据图象求：⑴飞机在途中匀速飞行时的巡航高度（离地面的高度）是多高？⑵从太原到昆明的水平航程为多远？解题思路 飞机只有在起飞和降落期间才有竖直方向的分速度.速度曲线和横轴间的面积大小可表示位移大小答案⑴8400m ⑵1584km思维诊断 本题易出现的错误有⑴不熟悉速度图像，总以为速度图像就是物体的运动轨迹，把下图当成飞机的运动轨迹，220当成飞行高度，130当成水平航程⑵不注意单位的统一，图中的横轴单位是min ，应转换成s.⑶部分学生不会求曲线下的面积.应该利用梯形面积公式：（上底+下底）×高÷2.【例6】（理综2002—18）质点所受的力F 随时间变化的规律如图所示,力的方向始终在一条直线上,已知t =0时质点的速度为零.在图示的t 1、t 2、、t 3和t 4 各时刻中,那一时刻质点的动能最大？A.t 1 B .t 2 C.t 3 D.t 4命题立意 考查学生对图线（函数图线）的认识能力和依据图线进行分析、推理和判断的能力.解题思路 首先可看出，试题给出了力随时间的变化图线，就不难想到它就是加速度随时间的变化图线；已知初速度为零，所以凡是加速度为正时，速度增大，从而动能一定不断增大；当加速度为负时，速度减小从而动能一定不断减小.由图可看出力是周期性的，而且正、负对称，由此可做出正确的判断. 答案是B学习好资料_____________________________________________【例7】（河南、广东2001-20） 如图所示，一对平行光滑轨道放置的水平面上，两轨道间距ｌ＝0.20ｍ，电阻R =1.0Ω.有一导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻均可不计，整个装置处于磁感强度Ｂ＝0.50Ｔ的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下.现用一外力沿轨道方向拉杆，使之做匀加速运动，测得外力与时间的关系如图所示.求杆的质量和加速度a .命题立意 要求学生把理论推导与实验结果相结合，找出所要求的有关物理量.对一个具体的物理问题，一方面进行理论上的推导；另一方面又进行实验测量（得出某些数据或曲线），然后把两者结合起来，做出某些判断.这是研究工作中常经历的过程，也一种常用的方法.本题是这种研究方法的体现.解题思路 导体杆从静止起，经时间t 后的速度v=at ，这时导体杆受的安培力为22/B l at R .由牛顿第二定律得22/F B l at R ma -=.从图像中取两个方便的点：10t =s 时11F =N 和t 2=20s 时F 2=3N ，代入以上方程即可解得质量m 和加速度a . 答案10a =m/s 2m =0.1kg思维诊断 考生不会利用题目所给的F t -图像，不会充分利用图像所给的信息.本题中不要想推导出F t -间的关系式.【例8】（2003-7）一弹簧振子沿x 轴振动，振幅为4cm.振子的平衡位置位于x 轴上的O 点.图1中的a 、b 、c 、d 为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向.图2给出的①、②、③、④四条振动图线可用于表示振动图像A.若规定状态a 时t =0B.若规定状态b时t =0则图像为②C.若规定状态c 时t =0则图像为③D.若规定状态d 时t =0则图像为④ 命题立意 考查学生是否理解振动图线的物理意义解题思路 由图1看出每个点离开平衡位置的距离，以及它的运动方向，再根据振动图线表示的物理意义进行判断.答案 AD思维诊断题干说明，图2中的四条振动图线①、②、③、④都可以表示所考查的弹簧振子的振动图像，但这四条图线并不完全相同，它们的差别仅是t =0时刻的振动状态不同.简谐振动的振动图线表示振子振动的位移（指离开平衡位置的位移）随时间变化的图像（独舞的录像），由于时间的零点即t=0时刻可取在振子的不同状态，对应的振动图线就不完全相同.图1 图2/s F【例9】（江苏2003-19）图1所示为一根竖直悬挂的不可伸长的轻绳，下端栓一小物块A ，上端固定在C 点且与一能测量绳的拉力的测力传感器相连.已知有一质量为m 0的子弹B 沿水平方向以速度v 0射入A 内（未穿透），接着两者一起绕C 点在竖直面内做圆周运动.在各种阻力都可忽略的条件下测力传感器测得绳的拉力F 随时间t 的变化关系如图2所示.已知子弹射入的时间极短，且图2中t =0为A 、B 开始以相同速度运动的时刻.根据力学规律和题中（包括图）提供的信息，对反映悬挂系统本身性质的物理量（例如A 的质量）及A 、B 一起运动过程中的守恒量，你能求得哪些定量的结果？命题立意 利用开放性设问方式，考查学生探索性解决新问题的能力.同时，学生要能够利用试题中文字叙述和图表所提供的信息来分析和解决问题.解题思路 首先要能读懂试题的意思，能够弄清试题所要求的问题是什么.再根据试题图线中的信息，以及小球作圆周运动过程中的最高点和最低点应用牛顿定律和机械能守恒定律建立方程，即可求得最后结果.答案 由图2可直接看出，A 、B 一起做周期性运动，运动周期为T =2t 0.用m 、m 0分别表示A 、B 的质量，l 表示绳长，v 1、v 2分别表示它们在圆周最低、最高点的速度，F 1、F 2分别表示运动到最低、最高点时绳的拉力大小，根据动量守恒有mv 0=（m+m 0）v 1，根据牛顿定律有：F 1-(m+m 0)g =（m+m 0）21v l , F 2+(m+m 0)g =（m+m 0）22v l，由机械能守恒有：2l （m+m 0）g =12（m+m 0）v 12-12(m+m 0)v 22，由图2知，F 2=0，F 1=F m ，由以上各式解得，反映系统性质的物理量是06m g F m m -=，g F v m l m22020536=，系统总机械能是E =12(m+m 0)v 12，得E =3m 02v 02g /F m自测题1.两个物体a 、b 同时开始沿同一条直线运动。