工程力学梁的正应力强度条件及其应用1
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工程力学梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件
三、T字型截面梁的切应力
T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的 狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分上的切 应力仍用下式计算：
τ
FS
S
* z
I zb1
最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。
四、圆形及环形截面梁的切应力 圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在
中性轴上，并沿中性轴均匀分布，计算公式分别为
M+dM
FS dx
σ
现假设用一水平截面将微段梁截 开，并保留下部脱离体，由于脱离 体侧面上存在竖向切应力τ ，根据 切应力互等定理可知，在脱离体的
顶面上一定存在切应力τ '，且 τ '=τ ,如图所示。
dx τ
z y τ' τ
y dx
以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、右侧 面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切应力的 总和，如图所示。
翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀 分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式 相同，即
τ
FS
S
* z
Izδ
式中FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到翼 缘边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的 惯性矩；δ为翼缘的厚度。
水平切应力的大小沿水平方向的分布如图所示。实 践和理论推导已经证明，在整个工字型截面上切应力 的方向可用图c表示。从图中表示切应力方向的许多小 箭头来看，它们好象是两股沿截面流动的水流，从上 （或下）翼缘的两端开始，共同朝向中间流动，到腹 板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上）到下（或上） 翼缘处再分为两股向两侧流动。对所有的薄壁杆，其 横截面上切应力的方向，都有这个特点。这种现象称 为切应力流。掌握了切应力流的特性，则不难由剪力 的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
范中查到。
在梁的设计计算中,通常是根据强度条件确定截面尺寸,然
后用刚度条件进行校核。具体过程参看下面例题。
工程力学
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
(1)小跨度梁或荷载作用在支座附近的梁。此时梁的Mm ax可能较小而FSmax较大。
(2)焊接的组合截面(如工字形)钢梁。当梁截面的腹板厚 度与高度之比小于型钢截面的相应比值时,横截面上可能产 生较大的切应力τmax。
(3)木梁。木梁在顺纹方向的抗剪能力差,可能沿中性层 发生剪切破坏。
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
2. 强度条件的应用 【例8-6】
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
(2)内力分析。绘制内力图如图8-27(b)和(c)所示, 确定最大剪力、弯矩为
FSmax=60 kN，Mmax=18 kN·m (3)根据正应力强度条件选择截面。由式(8-26)得
查附录型钢表,可选用16号工字钢,其抗弯截面系数 Wz=141 cm3,高h=16 cm,腿厚t=9.9 mm,腹板厚b1= 6 mm。
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
图8-27
梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
1.2 弯曲梁的刚度条件
梁除满足强度条件外,还应满足刚度要求。根据工程实际的
需要,梁的最大挠度和最大(或指定截面的)转角应不超过某一规
定值,由此梁的刚度条件为
ymax≤y
(8-28)
θmax≤θ
(8-29)
式中,许可挠度y和许可转角θ的大小可在工程设计的有关规
工程力学
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梁弯曲的强度条件和刚度条件及应用
1.1 梁弯曲的强度条件及应用 1. 强度条件
由于梁弯曲变形时横截面上即有正应力又有切应力,因此强度条 件应为两个。当弯曲梁横截面上最大正应力不超过材料的许用正应力, 最大切应力不超过材料的许用切应力时,梁的强度足够,即
梁的应力计算
( // Fs )
§6-4 矩形截面梁的切应力
一、矩形截面梁
切应力计算公式： FSSZ IZb
（6-11）
式中，FS-横截面上的剪力；IZ-截面对中性轴的惯性矩； b-截面的宽度；SZ-为面积A*对中性轴的静矩。
A*是过欲求应力点的水平线到截面边缘间的面积。
FS、SZ均代绝对 值，切应力方向
依剪力方向确定。
b´
b´
m´ n´
平面假设：
横截面变形后保持为平面，且仍 然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截 面内某一轴线偏转了一个角度。
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
设想梁是由无数 层纵向纤维组成
凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长
中间一层纤维长度不变－ －中性层
中性层与横截面的交线－ －中性轴
目录
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
MCy2 2.7 103 N m 0.038 m 103 N m2
MBy1 1.8103 N m 0.072 m 129 N m2
因MCy2<MBy1，所以最大拉应力发生在B截面上，即
t,max
MB IZ
y1
129N m2 0.573105 m4
22.5106 Pa
2.5MPa
My m a x IZ
WZ
IZ ymax
max
M WZ
min
M WZ
§6-1 （纯弯曲）梁的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
IZ y2dA
A
Wz
IZ y max
圆截面
d 4
IZ 64
Wz
d3
32
矩形截面
空心圆截面
空心矩形截面
bh3 IZ 12
梁的弯曲正应力强度条件及其应用
别求出每个矩形对 z 轴的惯性矩，然后求其和，就得到 T 形截面对 z 轴的惯性矩
Iz 。用 I z1 和 I z2 分别表示矩形 1 和矩形 2 对 z 轴的惯性矩，由式（5-22）得
I z I z1 I z2
1 12
200 303
200 30 (48 15)2
mm4
1 12
20 1603
5-21（a）所示，即
Iz Iy
因
2 y 2 z 2
故有
或
（5-18） 抗弯截面系数为
Ip
2dA
A
(y2
A
2
πD4 6
4
πD4
Wz Wy
64 D
πD3
32
2
（5-19）
同理，可得外直径为 D、内直径为 d 的圆环形截面，如图 5-21（b）所示， 对其形心轴 y 和 z 的惯性矩为
的强度条件如下：
max
M max Wz
[ ]
（5-27）
如图 5-24 所示的 T 形截面，它的最大拉应力和最大压应力分别不得超过弯 曲许用拉应力和弯曲许用压应力，即
1 max y max
[ t ] [ c ]
（5-28）
式中，[ t ] 和 [ c ] 分别为材料的弯曲许用拉应力和弯曲许用压应力。
（5-24） （5-25）
例 5-7 求图 5-23 中，T 形截面对通过形心 C 的 z 轴的惯性矩。
图 5-23
解 将 T 形截面视为由 1，2 两个矩形组成的组合图形。它们对形心轴 z1
和
z2
的惯性矩分别为 1 12
200 303
mm4 及 1 20 1603 12
第37-38节 梁的应力计算与强度校核(二)分解
王晓平
梁的应力计算及强度校核
【例5-8】图a所示矩形截面悬臂梁的截面尺寸为高度 h=20cm,宽度b=10cm，许用正应力和许用剪应力分别为 [s]=40MPa，[t]=12MPa。试校核此梁的强度。
王晓平
梁的应力计算及强度校核
【例5-9】 工字形截面外伸梁如图a所示，已知材料的许 用正应力和许用剪应力分别为[s]=160MPa，[t]=100MPa 。试为此梁选定工字钢型号。
王晓平
王晓平
王晓平
梁的应力计算及强度校核
(一) 梁的强度计算 1．梁的正应力强度条件： (1)塑性材料梁
(2)脆性材料梁(通常采用与中性轴不对称的截面形状)
式中W1、W2分别为针对计算受拉区和受度校核
2．梁的剪应力强度条件：
(1)一般形式：
(2)简化形式： k为截面形状系数。矩形、圆形、圆环形和工字形截面 的k值分别为1.5、4/3、2、1； A为横截面面积。但对于工字形截面，A为其腹板部分的 面积。
1．矩形截面梁横截面上剪应力计算公式 矩形截面梁横截面上的剪应力计算公式基于以下两条假 定： (1)假定横截面上剪应力的方向都与该截面上剪力的方 向相同。 (2)假定距中性轴等距离处各点的剪应力相等。
王晓平
梁的应力计算及强度校核
矩形截面上任意点剪应力计算公式为
由此可见，矩形截面梁横截面上的剪应力沿截面高度成抛 物线分布
工程力学
第七章 梁的应力计算及强度校核之 剪应力与强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
知识目标：
1．梁横截面剪应力作用形式、分布规律及最大剪应力的 计算方法。 2．梁的强度计算方法和提高梁弯曲强度的主要措施。
能力目标：
应用强度条件解决梁的强度计算问题。
梁的应力计算及强度校核
【例5-8】图a所示矩形截面悬臂梁的截面尺寸为高度 h=20cm,宽度b=10cm，许用正应力和许用剪应力分别为 [s]=40MPa，[t]=12MPa。试校核此梁的强度。
王晓平
梁的应力计算及强度校核
【例5-9】 工字形截面外伸梁如图a所示，已知材料的许 用正应力和许用剪应力分别为[s]=160MPa，[t]=100MPa 。试为此梁选定工字钢型号。
王晓平
王晓平
王晓平
梁的应力计算及强度校核
(一) 梁的强度计算 1．梁的正应力强度条件： (1)塑性材料梁
(2)脆性材料梁(通常采用与中性轴不对称的截面形状)
式中W1、W2分别为针对计算受拉区和受度校核
2．梁的剪应力强度条件：
(1)一般形式：
(2)简化形式： k为截面形状系数。矩形、圆形、圆环形和工字形截面 的k值分别为1.5、4/3、2、1； A为横截面面积。但对于工字形截面，A为其腹板部分的 面积。
1．矩形截面梁横截面上剪应力计算公式 矩形截面梁横截面上的剪应力计算公式基于以下两条假 定： (1)假定横截面上剪应力的方向都与该截面上剪力的方 向相同。 (2)假定距中性轴等距离处各点的剪应力相等。
王晓平
梁的应力计算及强度校核
矩形截面上任意点剪应力计算公式为
由此可见，矩形截面梁横截面上的剪应力沿截面高度成抛 物线分布
工程力学
第七章 梁的应力计算及强度校核之 剪应力与强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
知识目标：
1．梁横截面剪应力作用形式、分布规律及最大剪应力的 计算方法。 2．梁的强度计算方法和提高梁弯曲强度的主要措施。
能力目标：
应用强度条件解决梁的强度计算问题。
切应力公式推导
σ My Iz
.
12
例题6−1 长为 l 的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知 h =0.18m，b=0.12m，y =0.06m，a=2m，F=1.5kN，求C截面上K点的正应力。
解：先求出C截面上弯矩 MC Fa 1.5103 2
3103 N m 截面对中性轴的惯性矩
例题6－1图
A
My
zσdA0
A
Mz
yσdAM
A
.
(d) (e) (f)
6
FN
σdA0
A
(d)
My
zσdA0
A
(e)
(f)
Mz
yσdAM
A
又
F NAdAE AydAE zS 0
因为 E 不等于零，所以有
Sz 0
(g)
即梁横截面对中性轴（z轴）的静矩等于零。由此可知，中性轴通过横截面 的形心，于是就确定了中性轴的位置。
ma x M W m z a x 0 .1 4 0 1 1 33 0 2 03 .8 8 160 P a3.88 [M ] Pa
所以满足正应力强度要求. 。
17
例题6−3 一⊥形截面的外伸梁如图所示。已知：l=600mm，a=110mm， b=30mm，c=80mm，F1=24kN，F2=9kN，材料的许用拉应力[σt]=30MPa，许 用压应力[σc]=90Mpa,试校核梁的强度。
62梁的正应力强度条件及其应用一梁的正应力强度条件对梁的某一横截面来讲最大正应力发生在距中性轴最远的位置此时yizmaxmaxm而对整个等截面梁来讲最大正应力应发生在弯矩最大的横截面上距中性轴最远的位置即mzmaxmaxmaxyizwmmaxmax65式中的wz称为弯曲截面系数它与梁的截面形状和尺寸有关
《工程力学》——梁的强度与刚度
（１）、 公式： （２）、 认为最大弯曲切应力近似等于腹板的平均切应力。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
四、 弯曲切应力的强度计算：
１、 强度条件： τmax≤[τ] [τ]---梁所用材料的许用切应力
（危险截面）。 (２)、 利用弯曲正应力强度条件求解。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
二、例题：
例1：简支矩形截面木梁如图所示，L=5m,承 受均布载荷q=3.6kN/m，木材顺 纹许用应力 ［σ］＝10MPa，梁截面的高宽比h/b=2，试 选择梁的截面尺寸。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短， 这一层称为中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律： 以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯
矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线 性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿 点。
１、 对于塑性材料，一般截面对中性轴上下 对称，最大拉、压应力相等，而塑性材料的 抗拉、压强度又相等。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
塑性材料的弯曲正应力强度条件为：
（1）、强度校核 （2）、截面设计 （3）、确定许可荷载
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
２、 弯曲正应力强度计算的步骤为： (１)、 画梁的弯矩图，找出最大弯矩
2、求截面对形心轴z轴的惯性矩
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
第二十五讲 弯曲正应力强度计算（一）
目的要求：掌握塑性材料弯曲正应力强度 计算。
教学重点：弯曲正应力强度条件的应用。 教学难点：弯曲正应力强度条件的理解。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
四、 弯曲切应力的强度计算：
１、 强度条件： τmax≤[τ] [τ]---梁所用材料的许用切应力
（危险截面）。 (２)、 利用弯曲正应力强度条件求解。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
二、例题：
例1：简支矩形截面木梁如图所示，L=5m,承 受均布载荷q=3.6kN/m，木材顺 纹许用应力 ［σ］＝10MPa，梁截面的高宽比h/b=2，试 选择梁的截面尺寸。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短， 这一层称为中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律： 以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯
矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线 性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿 点。
１、 对于塑性材料，一般截面对中性轴上下 对称，最大拉、压应力相等，而塑性材料的 抗拉、压强度又相等。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
塑性材料的弯曲正应力强度条件为：
（1）、强度校核 （2）、截面设计 （3）、确定许可荷载
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
２、 弯曲正应力强度计算的步骤为： (１)、 画梁的弯矩图，找出最大弯矩
2、求截面对形心轴z轴的惯性矩
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
第二十五讲 弯曲正应力强度计算（一）
目的要求：掌握塑性材料弯曲正应力强度 计算。
教学重点：弯曲正应力强度条件的应用。 教学难点：弯曲正应力强度条件的理解。
弯曲正应力强度条件
正应力强度计算（1）正应力强度条件一般情况下，梁弯曲时，各个截面上的弯矩和剪力是变化的，而且截面上的应力（包括正应力和切应力）分布是不均匀的。
对等截面梁而言，最大弯矩所在的截面称为危险截面。
危险截面上距中性轴最远的点（上下边缘处）称为危险点。
显然危险截面上危险点处的应力值即为梁内的最大正应力值，即：zz W M max max =σ 保证梁内最大正应力不超过材料的许用应力，就是梁的强度条件。
根据材料力学性能的不同，具体分以下两种情况讨论：● 塑性材料塑性材料的力学性能是许用拉应力和许用压应力相等，所以拉压许用应力不在区分，统称为许用应力，即表示为[][][]t c σσσ==。
梁横截面的形式可分为两种情况，一种是横截面关于中性轴对称，一种是横截面关于中性轴不对称。
但无论那种情况，只要使梁内绝对值最大的正应力不超过材料的许用应力值即可。
所以危险点则发生在最大弯矩作用的截面离中性轴最远的点处。
强度条件为： []z max max zM W =≤σσ 为了使横截面上最大拉压应力同时达到其许用应力，工程中通常将塑性材料梁的横截面做成关于中性轴对称的形状。
● 脆性材料脆性材料的力学性能是许用拉应力小于许用压应力，即[][]t c σσ<。
针对上述两种截面形式建立梁的弯曲正应力强度条件。
1）横截面关于中性轴对称荷载作用下在梁内产生的最大拉压应力相等，而材料的[][]t c σσ<，所以强度条件为：[]z max t max t zM W σσ≤ 2）横截面关于中性轴不对称为了充分利用材料，通常将脆性材料梁的横截面做成关于中性轴不对称的形状，且中性轴靠近受拉侧。
所以强度条件应为：[][]1122z t max t z z c max t zM y I M y I σσσσ=≤=≤ 式中：t max σ、c max σ——分别为最大拉应力和最大压应力；1z M 、2z M ——分别为产生最大拉应力和最大压应力截面上的弯矩； []t σ、[]c σ——分别为许用拉应力和许用压应力。
梁的强度条件与合理强度设计
本讲结束！ 谢谢！
梁的合理强度设计
一、合理截面形状 1、梁的合理摆放 、
请问如图所示矩形截面梁，哪种摆放形式合理 请问如图所示矩形截面梁，哪种摆放形式合理?
σmax
Mm = ax ≤[σ] W Z
将梁的抗弯截面模量W 与其横截面面积A之比作为选定 将梁的抗弯截面模量 Z与其横截面面积 之比作为选定 合理截面形状的一个指标。 合理截面形状的一个指标。
矩形截面梁
a与c 点处－单向应力 与
b 点处－纯剪切
梁的强度条件
前提条件： 前提条件： 等截面直梁; 等截面直梁 在材料相同; 在材料相同 所受外力不变。 所受外力不变。 梁的强度条件 梁的正应力强度条件： 梁的正应力强度条件：
σmax
Mm = ax ≤[σ] W Z
[σ] − 材料单向应力许用应力
梁的合理强度设计
四、合理安排荷载传递途径
F /4→ l /6→ l /8 l F F
本讲小结
梁危险点处的应力状态 梁的强度条件
一、合理截面形状 二、合理截面变化
梁的合理强度设计
三、合理安排约束 四、合理安排荷载传递途径
目的：使设计的梁既能满足承载能力、 目的：使设计的梁既能满足承载能力、பைடு நூலகம்常使 用的要求，又能满足经济的要求。 用的要求，又能满足经济的要求。
梁的强度条件与合理强度设计
单位：中南分校城市建设学院基础课部 教师：鲁 晓 俊
思考： 思考：
什么叫强度？ 什么叫强度？ 答案：构件抵抗破坏的能力。 答案：构件抵抗破坏的能力。
什么叫破坏？ 什么叫破坏？
答案：构件断裂或产生显著塑性变形叫破坏。 答案：构件断裂或产生显著塑性变形叫破坏。
梁危险点处的应力状态
《材料力学》讲义4-4梁横截面上正应力梁正应力条件
q 3.5 2 7kN / m
4m
L 1
F 7 6 3 31.5kN
L2
4
2m
25 10m
31.5 31.5 31.5 31.5
WZ
M max
189103 215
879cm3
查表:
189kNm
I 36a
例题 4.31
承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a） 的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图 （c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正 应力分别为σmax（a）、 σmax（b）、 σmax（c）。关于三者之间的关系 有四种答案，试判断哪一种是正确的。
平面假设：
变形前杆件的横截面变形后仍
为平面。
中性层
中性轴：
中性层与横截面的交线称 为中性轴。
mn
o1
o2
m
n
中性轴
F
mn
mn
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
mn
dx
z
y
d
dx
y
F
yd d y
d
E y E
FN
dA
A
E
ydA
许用应力[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才 能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
200kN吊车
150kN吊车 1.确定F加在辅助梁的位置
A FA
C 辅助梁
x F
4m
L 1
F 7 6 3 31.5kN
L2
4
2m
25 10m
31.5 31.5 31.5 31.5
WZ
M max
189103 215
879cm3
查表:
189kNm
I 36a
例题 4.31
承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a） 的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图 （c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正 应力分别为σmax（a）、 σmax（b）、 σmax（c）。关于三者之间的关系 有四种答案，试判断哪一种是正确的。
平面假设：
变形前杆件的横截面变形后仍
为平面。
中性层
中性轴：
中性层与横截面的交线称 为中性轴。
mn
o1
o2
m
n
中性轴
F
mn
mn
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
mn
dx
z
y
d
dx
y
F
yd d y
d
E y E
FN
dA
A
E
ydA
许用应力[σ] ＝160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才 能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？
200kN吊车
150kN吊车 1.确定F加在辅助梁的位置
A FA
C 辅助梁
x F
梁的正应力强度计算.
§7-2 梁的正应力强度计算一、最大正应力在强度计算时，必须算出梁的最大正应力。
产生最大正应力的截面，称为危险截面。
对于等直梁，弯矩最大的截面就是危险截面。
危险截面上的最大应力处称为危险点，它发生在距中性轴最远的上、下边缘处。
对于中性轴是截面对称轴的梁，最大正应力的值为：maxmax max zM y I σ=令zz maxI W y =，则 maxmax zM W σ=式中z W 称为抗弯截面系数，是一个与截面形状和尺寸有关的几何量。
常用单位是m 3或mm 3。
z W 值越大，max σ就越小，它也反映了截面形状及尺寸对梁的强度的影响。
对高为h 、宽为b 的矩形截面，其抗弯截面系数为：32z z max /12/26I bh bh W y h ===对直径为d 的圆形截面，其抗弯截面系数为：43z z max /64/232I d d W y d ππ===对于中性轴不是截面对称轴的梁，例如图7-9所示的T 形截面梁，在正弯矩M 作用下梁下边缘处产生最大拉应力，上边缘处产生最大压应力，其值分别为：+1max z My I σ=2maxzMy I σ-=令z 11I W y =、z 22IW y =，则有： +max 1M W σ=max2M W σ-=maxσ-图7-9二、正应力强度条件为了保证梁能安全地工作，必须使梁截面上的最大正应力max σ不超过材料的许用应力，这就是梁的正应力强度条件。
现分两种情况表达如下：1、材料的抗拉和抗压能力相同，其正应力强度条件为：maxmax z[]M W σσ=≤ 2、材料的抗拉和抗压能力不同，应分别对拉应力和压应力建立强度条件：+maxmax 1[]M W σσ+=≤ max max2[]MW σσ--=≤ 根据强度条件可解决有关强度方面的三类问题：1）强度校核：在已知梁的材料和横截面的形状、尺寸（即已知[]σ、z W ）以及所受荷载（即已知max M ）的情况下，可以检查梁是否满足正应力强度条件。
材料力学 正应力及其强度条件
中性层
中性轴
对 称 z o 轴 中 性 y 轴
中性层
F
F
m
n
2．纯弯曲正应力公式的推导 （一）几何关系： o
中性层
d q
m
n
中性轴
m
n o
z m o 1
m
n
z
r
o
o 2
n
中性轴
y
dx
n m dx
y
变形前:
y
l = dx = r × dq
变形后:
100
例题 4.22 &
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形 截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求 弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。 y
F
150 50
A l 2 l 2
B
96 . 4 C 50
F
实验现象：
F
ü1、变形前互相平行的纵向直
m
n
线、变形后变成弧线，且凹边纤 维缩短、凸边纤维伸长。
ü2、变形前垂直于纵向线的横向
m
n
线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
§由现象1
j靠近凹入的一侧，纤维缩短，靠近凸出的 一侧，纤维伸长； k由于纤维从凹入一侧的伸长或缩短到突出 一侧的缩短或伸长是连续变化，故中间一定 有一层，其纤维长度不变，这层纤维称为中 性层。中性层与横截面的交线称为中性轴； l弯曲变形时，梁的横截面绕中性轴旋转。
28 . 1
kNm
13. 16
工程力学：梁的强度条件及梁的合理强度设计 习题与答案
一、单选题1、设计铸铁梁时，宜采用中性轴为（）的截面。
A.对称轴B.偏于受拉边的非对称轴C.偏于受压边的非对称轴D.对称或非对称轴正确答案：B2、两梁的横截面上最大正应力相等的条件是（）。
A.Mmax与横截面积相等B.Mmax与Wmin（抗弯截面系数）相等C.Mmax与Wmin相等，且材料相等D.Mmax与Wmin比值相等正确答案：D3、圆截面悬臂梁，在端部作用一集中载荷F。
若其它条件不变，而直径增加一倍，则其最大正应力是原来的（）倍。
A.1/8B.8C.2D.1/2正确答案：A4、矩形截面梁受弯曲变形，如果梁横截面的高度增加一倍时，则梁内的最大正应力为原来的（）倍。
A.正应力为1/2倍B.正应力为1/4倍C.正应力为4倍D.无法确定正确答案：B5、梁发生平面弯曲时其横截面绕（）旋转。
A.梁的轴线B.横截面上的纵向对称轴C.中性层与纵向对称面的交线D.中性轴正确答案：D6、桥式起重机的主钢梁，设计成两端外伸梁较简支梁有利，其理由是（）。
A.增加了梁的最大弯矩值B.减小了梁的最大剪力值C.减小了梁的最大挠度值D.减小了梁的最大弯矩值正确答案：D7、四种梁的截面形状，从梁的正应力强度方面考虑，最合理的截面形状是（）。
A.圆形B.工字形C.长方形D.正方形正确答案：B8、梁的合理强度设计不包括（）。
A.合理截面设计B.合理安排约束C.合理选择材料D.给静定梁增加约束，制成静不定梁正确答案：C9、在下列关于平面图形的结论中，（）是错误的。
A.图形的对称轴必定通过形心B.图形两个对称轴的交点必为形心C.图形对对称轴的静距为零D.使静矩为零的轴必为对称轴正确答案：D10、所谓的等强度梁有以下四种定义，其中正确的是（）。
A.各横截面弯矩相等B.各横截面正应力均相等C.各横截面最大正应力相等D.各横截面剪应力相等正确答案：C二、判断题1、截面对形心轴的静矩一定为零。
（）正确答案：√2、T字形截面的铸铁梁，其最大拉应力总是发生在最大正弯矩的横截面上。
工程力学 第九章 梁的应力及强度计算
平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩M，而无剪力Q = 0，这种弯曲称为纯弯曲。
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察
现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
对剪应力的分布作如下假设：
(1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行；
(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。
根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：
式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力；
Q—该截面上的剪力；
b—需求剪应力作用点处的截面宽度；
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；
Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
应力σ的正负号直接由弯矩M的正负来判断。M为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。
第二节 梁的正应力强度条件
一、弯曲正应力的强度条件
等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即
对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：
圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。
其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。
结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。
五、梁的剪应力强度校核
梁的剪应力强度条件为：
在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。
1、矩形截面梁纯弯曲时的变形观察
现象：
（1）变形后各横向线仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与变形后的梁轴曲线保持垂直，即小矩形格仍为直角；
（2）梁表面的纵向直线均弯曲成弧线，而且，靠顶面的纵线缩短，靠底面的纵线拉长，而位于中间位置的纵线长度不变。
对剪应力的分布作如下假设：
(1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行；
(2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。
根据以上假设，可推导出剪应力计算公式：
式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力；
Q—该截面上的剪力；
b—需求剪应力作用点处的截面宽度；
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩；
Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。
应力σ的正负号直接由弯矩M的正负来判断。M为正时，中性轴上部截面为压应力，下部为拉应力；M为负时，中性轴上部截面为拉应力，下部为压应力。
第二节 梁的正应力强度条件
一、弯曲正应力的强度条件
等直梁的最大弯曲正应力，发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的各点处，即
对于工程上的细长梁，强度的主要控制因素是弯曲正应力。为了保证梁能安全、正常地工作，必须使梁内最大正应力σmax不超过材料的许用应力[σ]，故梁的正应力强度条件为：
圆形截面横梁截面上的最大竖向剪应力也都发生在中性轴上，沿中性轴均匀分布。
其它形状的截面上，一般地说，最大剪应力也出现在中性轴上各点。
结合书P161-162 例8-3进行详细讲解。
五、梁的剪应力强度校核
梁的剪应力强度条件为：
在梁的强度计算时，必须同时满足弯曲正应力强度条件和剪应力强度条件。但在一般情况下，满足了正应力强度条件后，剪应力强度都能满足，故通常只需按正应力条件进行计算。
工程力学梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件
最大正应力应发生在最大
(a) A
(b) FS图
(c) M图
F
C
B
l/2
l/2
q
D l/3
12kN 13kN
17kN 12kN.m
弯矩的截面上。查型钢表可知
39kN.m
W z ? 309 cm 3 ? 0.309 ? 10 ? 3 m 3
最大正应力
σ max
?
M max Wz
?
39 ? 103 0.309 ? 10?3
???6Mmax bh2
??? 6 ? 4050 0.12 ? 0.182
?
6 .25 MPa
?
7 MPa?????????????
? max
?
3FS 2A
?
3FS 2bh
?
3? 5400 2? 0.12 ? 0.18
?
0.375? 106 Pa
?
?? ??
0.9MPa
（3）应力之比
? max ? Mmax 2 A ? L ? 16.7
为了保证梁的安全工作，梁在荷载作用下产生
的最大切应力不能超过材料的许用切应力，即
? ? τmax ?
F S* S,max z,max I zb
?
τ
此式即为切应力的强度条件。
在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力强 度条件和切应力强度条件。一般情况下，梁的强度计 算由正应力强度条件控制。因此，按正应力强度条件 设计的截面常可使切应力远小于许用切应力。所以 一 般情况下，总是根据梁横截面上的最大正应力来设计 截面，然后再按切应力强度条件进行校核 。但在少数 情况下，梁的切应力强度条件也可能起到控制作用。 例如梁的跨度较短，或在支座附近作用有较大的荷载， 因而使梁中出现的弯矩较小而剪力很大时；在铆接或 焊接的组合截面钢梁中，其横截面的腹板厚度与高度 之比小于一般型钢截面的相应比值时。
(a) A
(b) FS图
(c) M图
F
C
B
l/2
l/2
q
D l/3
12kN 13kN
17kN 12kN.m
弯矩的截面上。查型钢表可知
39kN.m
W z ? 309 cm 3 ? 0.309 ? 10 ? 3 m 3
最大正应力
σ max
?
M max Wz
?
39 ? 103 0.309 ? 10?3
???6Mmax bh2
??? 6 ? 4050 0.12 ? 0.182
?
6 .25 MPa
?
7 MPa?????????????
? max
?
3FS 2A
?
3FS 2bh
?
3? 5400 2? 0.12 ? 0.18
?
0.375? 106 Pa
?
?? ??
0.9MPa
（3）应力之比
? max ? Mmax 2 A ? L ? 16.7
为了保证梁的安全工作，梁在荷载作用下产生
的最大切应力不能超过材料的许用切应力，即
? ? τmax ?
F S* S,max z,max I zb
?
τ
此式即为切应力的强度条件。
在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力强 度条件和切应力强度条件。一般情况下，梁的强度计 算由正应力强度条件控制。因此，按正应力强度条件 设计的截面常可使切应力远小于许用切应力。所以 一 般情况下，总是根据梁横截面上的最大正应力来设计 截面，然后再按切应力强度条件进行校核 。但在少数 情况下，梁的切应力强度条件也可能起到控制作用。 例如梁的跨度较短，或在支座附近作用有较大的荷载， 因而使梁中出现的弯矩较小而剪力很大时；在铆接或 焊接的组合截面钢梁中，其横截面的腹板厚度与高度 之比小于一般型钢截面的相应比值时。
工程力学 第九章 梁的强度刚度计算
由结果知，梁的强度不满足要求。
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y2
z
例9-6 试为图示钢轨枕木选择矩形截面。已知矩形截面尺寸的比 例为b:h=3:4,枕木的弯曲许用正应力[]=15.6MPa,许用剪应力 P P 0 0 .2 m 1 .6 m []=1.7MPa,钢轨传给枕木的压力P=49KN。 .2 m
a
M D ya Iz
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10.7
第二节 梁横截面上的剪应力
一、矩形截面梁：
矩形截面剪应力计算公式： τ沿截面高度按抛物线规律变化：
2Iz 4
3
QS
* z
I zb
bh
4
τ m ax
2 3
y
h 2
, 0 ; y 0 , max
6 Qh 4 bh
校核梁的正应力强度。
解：(1) 内力及抗弯截面模量计算: MC=3.0KN.m; MD=-4.8KN.m
W1 W2
P1
A
a C a
P2
D
a B
y1
z
763 5 .2
146 . 7 cm
3
y1
z
763 8 .8
86 . 7 cm
3
4 .8 k N m
y2
(2)C截面的正应力强度校核:
4 Q 3 A1
max 2
Q A2
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例9-3 矩形截面简支梁如图,已知：l=2m，h=15cm，b=10cm， h1=3cm，q=3kN/m。试求A支座截面上K点的剪应力及该截面的最 b q 大剪应力。 解：1.求剪力：QA=3kN
梁的抗弯强度条件及其应用
30
A
1m
FAY
B C
l = 3m
x
K
C 截面弯矩
MC = 60kN⋅ m
z y
FBY
C 截面惯性矩
FS 90kN
(+)
(−)
x 90kN
IZ = 5.832×10−5 m4 1 M = ρ EI
M
ql 2 / 8 = 67.5kN⋅ m
EIZ 200×109 ×5.832×10−5 ρC = = MC 60×103 =194.4m
q=60kN/m
180
120
2. C 截面最大正应力
30
A
1m
FAY
B C
l = 3m
C 截面弯矩
MC = 60kN⋅ m
x
K
z y
FBY
C 截面惯性矩
FS 90kN
IZ = 5.832×10−5 m4
(+)
(−)
x 90kN
σCmax =
=
MC ⋅ ymax IZ 180 ×10−3 2 5.832×10−5
解：（1）计算简图 （2）绘弯矩图 （3）根据 σ max =
M max
M max ≤ [σ ] 计算 Wz
Wz ≥
[σ ]
(6.7 + 50) ×103 × 9.5 4 = 140 ×106
= 962 ×10 −6 m 3 = 962cm3
（4）选择工字钢型号
3 36c工字钢 36c工字钢 Wz = 962cm
解：（1）求截面形心
z1 52 z
80 × 20 ×10 + 120 × 20 × 80 yc = = 52mm 80 × 20 + 120 × 20
A
1m
FAY
B C
l = 3m
x
K
C 截面弯矩
MC = 60kN⋅ m
z y
FBY
C 截面惯性矩
FS 90kN
(+)
(−)
x 90kN
IZ = 5.832×10−5 m4 1 M = ρ EI
M
ql 2 / 8 = 67.5kN⋅ m
EIZ 200×109 ×5.832×10−5 ρC = = MC 60×103 =194.4m
q=60kN/m
180
120
2. C 截面最大正应力
30
A
1m
FAY
B C
l = 3m
C 截面弯矩
MC = 60kN⋅ m
x
K
z y
FBY
C 截面惯性矩
FS 90kN
IZ = 5.832×10−5 m4
(+)
(−)
x 90kN
σCmax =
=
MC ⋅ ymax IZ 180 ×10−3 2 5.832×10−5
解：（1）计算简图 （2）绘弯矩图 （3）根据 σ max =
M max
M max ≤ [σ ] 计算 Wz
Wz ≥
[σ ]
(6.7 + 50) ×103 × 9.5 4 = 140 ×106
= 962 ×10 −6 m 3 = 962cm3
（4）选择工字钢型号
3 36c工字钢 36c工字钢 Wz = 962cm
解：（1）求截面形心
z1 52 z
80 × 20 ×10 + 120 × 20 × 80 yc = = 52mm 80 × 20 + 120 × 20
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ymax
对矩形截面
Wz
bh3 12 h2
bh2 6
Wz
bh2 6
对圆形截面
Wz
d 4
d
64 2
d 3
32
Wz
d 3
32
各种型钢的截面惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz的 数值，可以在型钢表中查得。
为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的
最大正应力不超过材料的许用应力，所以梁的正应力
强度条件为
σmax
M max Wz
σ
二、三种强度问题的计算
σmax
M max Wz
σ
（1）强度校核 （2）选择截面 （3）确定许用荷载
σmax
M max Wz
σ
Wz
M max σ
M max Wz σ
例题10-2 一矩形截面简支木梁如图所示，已知l=4m， b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，弯曲时木材的许 用正应力[σ]=10MPa，校核该梁的强度。
σc,max
MC Iz
y1
2.7 103 0.072 0.573105
33.9 106 Pa
33.9MPa [σc]
由以上分析知该梁满足强度要求。
例题10−4 如图所示的简支梁由工字钢制成，钢的 许用应力[σ ]=150MPa，试选择工字钢的型号。
解：先画出弯矩图如图b所示。 梁的最大弯矩值为
y1
1.8103 0.072 0.573105
22.5106 Pa
22.5MPa
[σt ]
②校核最大压应力。首先确定最大压应力发生在哪里。
与分析最大拉应力一样，要比较C、B两个截面。C截 面上最大压应力发生在上边缘，B截面上的最大压应 力发生在下边缘。因MC 和y1分别大于MB与y2，所以 最大压应力应发生在C截面上，即
3.88106 Pa 3.88MPa [ ]
所以简支木梁满足正应力强度要求。
例题10−3 一⊥形截面的外伸梁如图所示。已知：
l=600mm，a=110mm，b=30mm，c=80mm，F1=24kN， F2=9kN，材料的许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力 [σc]=90MPa,试校核梁的强度。
0.038m
y1 0.11 0.038 0.072 m
（3）截面对中性轴的惯性矩
（4）强度校核 因材料的抗拉与抗压强度不同，而且截面关于中
性轴不对称，所以需对最大拉应力与最大压应力分别 进行校核。
①校核最大拉压力。由于截面对中性轴不对称，而正、 负弯矩又都存在，因此，最大拉应力不一定发生在弯 矩绝对值最大的截面上。应该对最大正弯矩和最大负 弯矩两个截面上的拉应力进行分析比较。
§10－2 梁的正应力强度条件及其应用
一、梁的正应力强度条件 对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距
中性轴最远的位置，此时
M σmax Wz
σ max
M Iz
ymax
而对整个等截面梁来讲，最大正应力应发生在弯
矩极值的横截面上，距中性轴最远的位置，即
σmax
M max Wz
σ max
M max Iz
σ max
M max Wz
375103 2447 106
153106 Pa 153MPa
153-150 100% 2% 150
超过许用应力值150MPa不到2%，故可选用56b 号工字钢。
在最大正弯矩的C截面上， 最大拉应力发生在截面的下边 缘，其值为
σ t, m ax
MC Iz
y2
2.7 103 0.038 0.573105
17.91106 Pa
17.91MPa
[σt ]
在最大负弯矩的B截面上，最大拉应力发生在截
面的上边缘，其值为
σ t, m ax
MB Iz
解：先画梁的弯矩图
Байду номын сангаасM max
1 8
ql 2
1 8
2103
42
4 103
Nm
弯曲截面系数为
Wz
bh2 6
1 0.14 0.212 6
0.103 10 2 m3
最大正应力应发生在最大弯矩所在截面上，所以有
max
M max Wz
4 103 0.103102
M max 375 kN.m
由梁的正应力强度条
件可得梁所必需的弯曲截 (b) M图
面系数
281kN.m
375kN.m
Wz
M max
σ
375 10 3 150 10 6
2460
10 6 m3
281kN.m
由型钢规格表查得56b号工字钢
Wz 2447 106 m3
此时最大正应力
解：（1）先画出弯矩图
1.8kNm
2.7kNm
（2）确定截面形心C的位置
Iz
0.03 0.072 3 3
0.11 0.038 3 3
0.11 0.03 0.008 3
3
0.573 10 5 m4
y2
0.11 0.03 0.015 0.03 0.08 0.07 0.11 0.03 0.03 0.08