工程力学梁的正应力强度条件及其应用1

解：（1）先画出弯矩图
1.8kNm
2.7kNm
（2）确定截面形心C的位置
Iz

0.03 0.072 3 3

0.11 0.038 3 3

0.11 0.03 0.008 3
3
0.573 10 5 m4
y2

源自文库
0.11 0.03 0.015 0.03 0.08 0.07 0.11 0.03 0.03 0.08
y1

1.8103 0.072 0.573105

22.5106 Pa

22.5MPa
[σt ]
②校核最大压应力。首先确定最大压应力发生在哪里。
与分析最大拉应力一样，要比较C、B两个截面。C截 面上最大压应力发生在上边缘，B截面上的最大压应 力发生在下边缘。因MC 和y1分别大于MB与y2，所以 最大压应力应发生在C截面上，即
§10－2 梁的正应力强度条件及其应用
一、梁的正应力强度条件 对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距
中性轴最远的位置，此时
M σmax Wz
σ max

M Iz
ymax
而对整个等截面梁来讲，最大正应力应发生在弯
矩极值的横截面上，距中性轴最远的位置，即
σmax

M max Wz
σ max

M max Iz

0.038m
y1 0.11 0.038 0.072 m
（3）截面对中性轴的惯性矩
（4）强度校核 因材料的抗拉与抗压强度不同，而且截面关于中
性轴不对称，所以需对最大拉应力与最大压应力分别 进行校核。
①校核最大拉压力。由于截面对中性轴不对称，而正、 负弯矩又都存在，因此，最大拉应力不一定发生在弯 矩绝对值最大的截面上。应该对最大正弯矩和最大负 弯矩两个截面上的拉应力进行分析比较。
M max 375 kN.m
由梁的正应力强度条
件可得梁所必需的弯曲截 (b) M图
面系数
281kN.m
375kN.m
Wz

M max
σ
375 10 3 150 10 6
2460
10 6 m3
281kN.m
由型钢规格表查得56b号工字钢
Wz 2447 106 m3
此时最大正应力
3.88106 Pa 3.88MPa [ ]
所以简支木梁满足正应力强度要求。
例题10−3 一⊥形截面的外伸梁如图所示。已知：
l=600mm，a=110mm，b=30mm，c=80mm，F1=24kN， F2=9kN，材料的许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力 [σc]=90MPa,试校核梁的强度。
σmax
M max Wz

σ
二、三种强度问题的计算
σmax
M max Wz

σ
（1）强度校核 （2）选择截面 （3）确定许用荷载
σmax

M max Wz

σ
Wz

M max σ
M max Wz σ
例题10-2 一矩形截面简支木梁如图所示，已知l=4m， b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，弯曲时木材的许 用正应力[σ]=10MPa，校核该梁的强度。
在最大正弯矩的C截面上， 最大拉应力发生在截面的下边 缘，其值为
σ t, m ax

MC Iz
y2

2.7 103 0.038 0.573105
17.91106 Pa
17.91MPa
[σt ]
在最大负弯矩的B截面上，最大拉应力发生在截
面的上边缘，其值为
σ t, m ax

MB Iz
σc,max

MC Iz
y1

2.7 103 0.072 0.573105
33.9 106 Pa
33.9MPa [σc]
由以上分析知该梁满足强度要求。
例题10−4 如图所示的简支梁由工字钢制成，钢的 许用应力[σ ]=150MPa，试选择工字钢的型号。
解：先画出弯矩图如图b所示。 梁的最大弯矩值为
σ max

M max Wz

375103 2447 106
153106 Pa 153MPa
153-150 100% 2% 150
超过许用应力值150MPa不到2%，故可选用56b 号工字钢。
ymax
对矩形截面
Wz

bh3 12 h2

bh2 6
Wz

bh2 6
对圆形截面
Wz

d 4
d
64 2

d 3
32
Wz

d 3
32
各种型钢的截面惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz的 数值，可以在型钢表中查得。
为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的
最大正应力不超过材料的许用应力，所以梁的正应力
强度条件为
解：先画梁的弯矩图
M max

1 8
ql 2

1 8
2103
42

4 103
Nm
弯曲截面系数为
Wz
bh2 6

1 0.14 0.212 6
0.103 10 2 m3
最大正应力应发生在最大弯矩所在截面上，所以有
max

M max Wz

4 103 0.103102