2012年中国科学院大学数学分析考研试题及解答考研真题考研试题硕士研究生入学考试试题

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2012中科院-概率论与数理统计-考研真题

请给出详细计算步骤2每小题10分共20分设平面上有无数条距离为1的等距平行线随机地向平面投掷一根长度为l1?l的针记x为针的中心与最靠近它的平行线之间的距离?为针与最靠近它的平行线的夹角x服从210上的均匀分布?服从0?上的均匀分布
中国科学院研究生院 2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：概率论与数理统计
前两个步骤能按时完成的条件下，第三个步骤能按时完成的概率为 0.9，问前二个步骤能按时完成，但第三个步骤却失败的概率是多少？
4
(共 15 分) 一个盒子中有 5 个红球和 8 个蓝球，从中无放回地抽 3 个球，设X
是 3 次中得到红球的次数， Y 是 3 次中得到蓝球的次数，试求 X 与 Y 的协方差
服从 [0, ] 上的均匀分布.
（a）试求针与线相交的概率；（b）设计一个投针实验用以估计圆周率 .
3 （共 15 分）有一个实验需要三个步骤才能完成，第一个步骤能按时完成的概率为 0.7，已知第一个步骤完成的条件下，第二个步骤能按时完成的概率为 0.8，科目名称：概率论与数理统计第1页共3页
科目名称：概率论与数理统计
第3页
共3页
R1 , R2, , Rn 的区域，假定每个单位面积上出现雪松的平均个数是 .
（a）试求的极大似然估计；（b）该估计是否无偏？为什么？
7．（每小题 10 分，共 30 分）许多患者常希望医生告知药物的非专利名，以便节省医疗开销.现有一个调查结果：有人访问了 102 名医生，其中有 47 人知道美沙酮这一药物的非专利名.这是否说明少于一半的医生知道这一事实呢？现在作一个检验水平为 0.01 的假设检验，设 p 为医生中知道美沙酮的非专利名的比例. H 0 : p 0.5, H a : p 0.5.

中国科学院2012年高等代数考研试题

2012中科院高等代数1.(15分) 证明()231....1!2!3!!nx x x x f x n =++++与()'f x 没有重因式。

2. (20分) 设()g x 是[]P X 中的非零多项式, ()g x =()()1n p x g x ,且()()()1,1p x g x =证明对任意()f x 均有: ()()()()()()()111n n f x r x f x g x p x p x g x -=+ 其中:()0r x ∂=或者()()r x p x ∂<∂。

3. (20分) 设矩阵21121221222121..11..1::::11..n n n n n a a a a a a a a a a A a a a a a ⎡⎤++⎢⎥++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦且满足11n i i a ==∑;21n i i a n ==∑。

()1求矩阵A 的所有特征值()2求det A 及trA4.(15分) 若n 阶方阵A 满足2A A =,其中1V 为0AX =的解空间,2V 为()0n A I X -=的解空间,证明12P V V =⊕。

5. (20分) 若n 阶方阵A 可逆,且,αβ均为n 维列向量又满足110T A βα-+≠。

()1 证明1T A P αβ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可逆,并求其逆矩阵. ()2 证明T Q A αβ=+可逆,并求其逆矩阵.6. (20分) 证明:任意n 阶复方阵A 与其转置矩阵T A 相似。

7.(22分) 若n 阶方阵,A B 满足()(),T A B tr A B =。

()1 证明: (),A B 为内积.()2 若W 为1100A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1011B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦生成的子空间,求W 的一组标准正交基W ⊥.8.(18分) 若1T ,2T ,3T ….. n T 为线性空间V 上的一组非零变换.证明:线性空间V 上存在向量α,使得()0i T α≠,{}1,2,3,.....,.i n ∈。

中科大历年考研数学真题

直线 l1, l2 平行，且 π 与 l1 的距离是 91, 求 π 的方程。
3. 设 A : U → V 为数域 F 上的线性空间 U 到 V 上线性映射. 证明：
dim KerA + dim Im A = dim U
2 −1 1 4. 设 A = 2 2 −1 , 求方阵 P , 使得 P −1AP 为 A 的 Jordan 标准形。
··· ···
(α1, αn)
(α2, αn) ...
,
其中 (αi, αj) 是 V 的内积.
(αn, α1) (αn, α2) · · · (αn, αn)
求证:G 正定的充分必要条件是 α1, · · · , αn 线性无关。
5. 设 A 是无限维线性空间 V 的线性变换，B 是 A 在 ImA 上的限制变换. 求证：
.
a2x1 + x2 + x3 = 1
5.
使线性方程组
x1 + ax2 + x3 = a x1 + x2 + x3 =a2
有解的实数 a 的取值范围是
.
6.
已知实方阵 A 的伴随矩阵 A∗
2.
以曲线
y = x2 z=2
为准线，原点为顶点的锥面方程为
.
3. 以 xOy 平面上的权限 f (x, y) = 0 绕 x 轴旋转所得的旋转面的方程是
.如
果曲线方程是 x2 − y2 − 1 = 0, 由此得到的曲面类型是
.
4. 设 α1, α2α3α4 是线性空间 V 中 4 个线性无关的向量,
为 α1 = (1, 0, −1), α2 = (?, ?, ?), 求矩阵 A 以及使 A 对角化的矩阵 P 7. A 是复方阵，线性变换 T → AX + XA, 证明：如果 A 可对角化，那么 T 也可以对

2012考研数学真题+答案

2
x2 y 2 2
1 x x2 cos x 1 1 x 2
……10 分
的极值.

x2 y2 2
f y xye

x2 y2 2
， ……3 分
令
f x 0, 得驻点（1,0）和（-1,0）. f 0 , y
2 x2 y2 2
x( x 3)e 记 A f xx
（C）
2
(D)
3Байду номын сангаас
（A）
n (D) ( 1) n !
(2) 设函数 f ( x) (e x 1)(e2 x 2) (en x n) ，其中 n 为正整数，则 f (0)
n 1 (A) ( 1) ( n 1)! n (B) ( 1) ( n 1)! n 1 (C) ( 1) n !
1 a 0 0
解：（I） A
0 1 a 0 0 0 1 a a 0 0 1
1 a4.
……3 分
（II）若方程组 Ax 有无穷多解，则 A 0. 由（I）可得 a 1 或 a 1 .
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2012 年数学试题答案和评分参考
1 x2 1 1 x ln , 又 S ( 0) 3 ，所以和函数 S ( x ) (1 x 2 ) 2 x 1 x 3,
(18)（本题满分 10 分）已知曲线 L:
0 x 1,
(3) 如果函数 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处连续，那么下列命题正确的是 (A) 若极限 lim
x 0 y 0
（B）
f ( x, y ) 存在，则 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微 x y

中国科学院研究生院高等数学

科目名称：高等数学（丙）第 1 页共 3 页1 1⎨ 91 精品文档，欢迎下载！中国科学院研究生院2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（丙）考生须知：1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。

2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

一、选择题 (本题满分 40 分，每小题 5 分。

请从每个题目所列的四个选项中选择一个适合放在空格中的项，并将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。

每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。

)1. 下列极限式正确的是（）。

（A ） lim(1+ x →∞ 1 )x = 1 x （B ）lim(1 + x →01 )x = 1 x （C ） lim(1+ x ) x = 1x →0（D ） lim(1+ x ) x= e x →∞2. 设函数 f ( x ) 在 x = 0 处可导且导函数连续， f (0) = 0 ， f '(0) = b 。

若函数⎧ f ( x ) + a tan x, x ≠ 0F ( x ) = ⎪x⎪⎩ A ,在 x = 0 处连续，那么常数 A=（）。

x = 0 (A) a + b(B) a - b(C) b - a(D) -a - b3. 设函数 f (x ) 可导，函数 y = f (x 2) 的自变量 x 在 x = -1 处取增量∆x = -0.1时，相应的函数增量∆y 的线性主部为0.1 ，则 f '(1) 等于（）。

（A ）0.5（B ） -0.5(C) 1(D) -1x4. 设 f (x ) 在 (0, +∞) 内连续，且f (x ) > 0 ，则函数 (x ) = ⎰1 tf (t )dt x在 (1, +∞) 内（）。

⎰1f (t )dt(A) 单调递减（B ）单调递增（C ）先递增后递减（D ）先递减后递增∞2 n -15.幂级数∑ n x n =1 的收敛半径为（）。

2012年全国硕士研究生入学考试数学一试题及解析-推荐下载

（D）若
（4）设 Ik
（A） I1 I2 I3
（5）设 1
f
(x,

则线性相关的向量组为
（A）1,2 ,3
y)
在 (0, 0)
存在，则 f (x, y) 在 (0, 0) 处可微
存在，则
处可微，则极限 lim x0 y0
k ex2 sin xdx(k 1, 2, 3) ，则有 ______
2012 年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题：1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）曲线
（A）0
y

x2 x x2 1
渐进线的条数 ________
（B）1
（2）设函数 f (x) (ex 1)(e2x 2)(enx n) ，其中 n 为正整数，则 f (0) ________
（16）（本题满分 10 分）
f (x, y) xe
求
1 x
x2 y2
2
的极值
（17）（本题满分 10 分）
求幂级数 4n2 4n 3 x2n 的收敛域及和函数
n0 2n 1
（18）（本题满分 10 分）
已知曲线
L
:
x f (t)

y

cos
t
(0 t
P 1
AP
2 0 0

0 0
1 0
2
（C）
5

0 2
（C） 1 2
P( AB)
1

2012中科大数学分析硕士研究生入学考试试题(回忆版)

�� 2
��
1 �� − 1 ln ( ) ⅆ��， (�� > 1) �� 32
2012 中科大数学分析考研试题 �� − �� 2 ⅈ(�� ) = . / 2 展开成以2��为周期的 Fourier 级数；（2）利用上面的级数计算下面级数的和 ∑
�� ∞ ��=1
∞
�� ⅇ −�� 在(0, ∞)上一致收
2
+
��
+
��
= ⅈ，且
2012 中科大数学分析考研试题 ∬
2012 中科大数学分析考研试题
中国科学技术大学
2012 年硕士学位研究生入学考试试题数学分析（回忆版） 1、（15 分）回答下列问题，如果结论是肯定的，请举例说明：如果结论是否定的，请给出证明。（1）是否存在两个发散的正数列，而它们的和是一个收敛数列？（2）是否存在,��, ��-上的不恒为 0 的连续函数ⅈ(�� )，使它在,��, ��-中的有理点处的取值为 0？ (3) 是否存在数列*�� +，使
��2n−1 = �� →∞ 2�� − 1 ��
��1 + ��2 + ⋯ + �� + �� = ��→∞ �� 2 �� 3、函数 ⅈ(�� ) = ∫ 在何处取得最小值？ 4、已知函数ⅈ(�� )可微，且ⅈ ′ (�� ) = 0(�� )，(�� → +∞)，证明： ⅈ(�� ) = 0(�� 2 )，(�� → +∞) (注：0代表有界量)。 5、（1）将函数 1

中国科学院大学2012年分析化学考研试题

中国科学院研究生院 2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：分析化学
考生须知：
1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 3. 可以使用无字典存储和编辑功能的电子计算器。
一选择题 (每题 2 分，共 40 分) 1 使用分析天平进行称量过程中，加、减砝码或取、放物体时，应把天平梁托起，这是为了 A 称量快速 C 防止天平盘的摆动 2 B 减少玛瑙刀口的磨损 D 防止指针的跳动
7
指出下列叙述中错误的结论 A 酸效应使配合物的稳定性降低科目名称：分析化学第 1 页共 5 页
B 水解效应使配合物的稳定性降低 C 配位效应使配合物的稳定性降低 D 各种副反应均使配合物的稳定性降低 8 下列四种萃取剂中对金属离子萃取效率最好的是
N
A 9
OH
B CH3CH2OH
C
CH3CH2OCH2CH3
5
若测定污水中痕量三价铬与六价铬应选用下列哪种方法 A 原子发射光谱法 C 荧光光度法 B 原子吸收光谱法 D 化学发光法
6
金属离子 M 与 L 生成逐级配位化合物 ML、ML2···MLn，下列关系式中正确的是 A [MLn]=[M][L]n C [MLn]=βn[M]n[L] B [MLn]=Kn[M][L] D [MLn]=βn[M] [L] n
若试样的分析结果精密度很好，但准确度不好，可能原因是 A 试样不均匀 C 有过失操作 B 使用试剂含有影响测定的杂质 D 使用的容量仪器经过了校正
3
有一组平行测定所得的分析数据，要判断其中是否有异常值，应该用 A F 检验法加 t 检验法 C t 检验法 B F 检验法

2012中国科学院量子力学真题解答

a
当 m n时 2 a m x 2 xmn x s i n ( )dx a 0 a a 2
二、解： Pn 0 其中 n0
1 n H ' 0 e i n 0 t d t 2 0 ( E n E 0 ) / n
2
n H ' 0 qE exp( x n = x 0 =
3
1/ 2
0
（ 3） ( ) N (1 H ') 0 , ( ) 0 N (1 H ')
( ) ( ) 1 N
2

1 1 2 H ' 0
2
H ' 0
2

1
2
1 H '2 0
E ( ) ( ) H ( ) ( ) H 0 H ' ( ) = 0 N (1 H ')( H 0 H ') N (1 H ') 0 N 2[E0 H '
0
0
+ 2 E 0 H '2
0
]
E0 由 E ( ) 0

2
2
2
[ H ', [ H 0 , H ']] H ' 0
2
1

2 H '2
2 2
0 0
[ H ', [ H 0 , H ']]

2a02 1 2 e E0
E ( ) E 0 2e a0
四、解： 1） [ J x , J y ] i J z ; [ J y , J z ] i J x ; [ J z , J x ] i J y ; J J iJ 2) m J x n 1 m Jy Jz JzJy n i 1 [ m Jy Jz n m Jz Jy n ] i 1 [n m J y n m m J y n ] i nm m Jy n i 1 m Jz Jx JxJz n i m n = m Jx n i nm m Jy n i nm m n . m Jx n i i (n m )2 m J x n 1 (n m )2 =0 m n 1 所以当且仅当 m n 1时， m J x n 不为 0 . 3）在（ J 2 , J z ) 表象中， J = 1 , m = - J , - J 1 , . . . . , J 1, J .所以 m 0 , 1 . J z =，相应的 1 本征态为 1 0 ； J z =0， 0 0 1 1 1 2 ； J x =0， 2 ' 0 ； 2 1 1 0 1 ； J z =-， 0 J x =-， 0 1 0 1 1 1 3' 2 2 1

2012年考研数学真题及参考答案(数学一)

=
⎧ ⎨
y,
⎩
x
−
z y2
,
1⎫
y
⎬ ⎭
( 2,1,1)
= {1,1,1}
（12）设 ∑ = {(x, y, z) x + y + z = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}, 则 ∫∫ y2ds = ________。 ∑
【答案】： 3 12
∫∫ ∫∫ ∫∫ 【解析】：由曲面积分的计算公式可知 y2ds = y2 1+ (−1)2 + (−1)2 dxdy = 3 y2dxdy ，其中
所以 f ' (0) = (−1)n−1n!
（3）如果 f (x, y) 在 (0, 0) 处连续，那么下列命题正确的是（）
（A）若极限 lim f (x, y) 存在，则 f (x, y) 在 (0, 0) 处可微
x→0 y→0
x+ y
（B）若极限 lim x→0 y→0
f (x, y) x2 + y2
2
4
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
（15）（本题满分 10 分）
证明： x ln 1+ x + cos x ≥ 1+ x2 , −1 < x < 1
1− x
2
【解析】：令 f ( x) = x ln 1+ x + cos x −1− x2 ，可得
( ) 化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即 r E − xxT = 2 。
（14）设
A,

2012考研数学(一二三)真题(含答案)

f x
,
f y
,
f z

.
12、已知曲面 {(x, y, z) | x y z 1, x 0, y 0, z 0}，则 y2dS
。
【答案】 3 12
【解析】由曲面可得 z 1 x y zx ' zy ' 1，
向 xOy 面投影 Dxy {( x, y) | x y 1, x 0, y 0}，
P
为
3
阶可逆矩阵，且
P1
AP

1

，
P

1,
2
,3

，
2
Q 1 2,2,3 则 Q1AQ （）
1

（A）

2

1
【答案】（B）
1

（B）

1

2
2

（C）

1

2
2

（D）

2
ex2
sin
xdx

0

I2

I1 ；
又 I3 I1
3 ex2 sin xdx

2 ex2 sin xdx

3 ex2 sin xdx ，
2
其中
3
ex2
sin
t x
xdx
2 e(t )2 sin(t )d (t ) 2 e(t )2 sin tdt 2 e(x )2 sin xdx
x y ( x, y)(0,0) 2

2012考研真题及答案

2012考研真题及答案2012年的考研真题是许多考生备战考研的重要资料，了解这些真题并熟悉其中的答案对于备考考研的同学来说是至关重要的。

在本文中，将为您介绍2012年的考研真题及其答案。

第一部分：数学一2012年的考研数学一科目主要涵盖了数学分析、高等代数和概率论等内容。

以下是部分考题及其答案的概要。

题一：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=(b-a)f' ( ξ )。

解析：根据罗尔定理，由于f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么在[a,b]上有f(a)=f(b)。

根据拉格朗日中值定理，存在一点ξ∈(a,b)，使得f' ( ξ )=(f(b)-f(a))/(b-a)。

所以，f(b)-f(a)=(b-a)f' ( ξ )。

题二：已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-3^n+4^n-5^n，求证数列{a_n}是等差数列。

解析：我们可以通过数学归纳法来证明这个结论。

当n=1时，a_1=2-3+4-5=-2。

当n=k时，假设a_k=2^k-3^k+4^k-5^k成立。

当n=k+1时，我们需要证明a_(k+1) =2^(k+1)-3^(k+1)+4^(k+1)-5^(k+1)也成立。

根据等差数列的性质，我们有a_(k+1)-a_k = (2^(k+1)-3^(k+1)+4^(k+1)-5^(k+1)) - (2^k-3^k+4^k-5^k)。

化简后可得a_(k+1)-a_k= -2 × 3^k + 3^(k+1) -2 × 5^k + 5^(k+1)。

通过整理和变换，我们得到a_(k+1)-a_k = -3^k (2-3) + 5^k (5-2) = 0。

因此，数列{a_n}是等差数列。

通过以上两道题目，我们可以看出2012年考研数学一科目的难度适中，考察了数学分析和代数的基本概念和推导方法。

数2--12真题答案

2012年考研数学(二)试题答案速查一、选择题（1）C （2）A （3）B （4）D （5）D （6）D （7）C （8）B 二、填空题（9）1 （10）π4（11）0 （12）x （13）(1,0)− （14）27− 三、解答题（15）（Ⅰ）1a =.（Ⅱ）1k =. （16）(1,0)为极大值点,极大值为12e −.(1,0)−为极小值点,极小值为12e−−.（17）()22π2,e 13S V ==−. （18）1615. （19）（Ⅰ）()e xf x =.（Ⅱ）(0,0). （20）略.（21）（Ⅰ）略. （Ⅱ）1lim 2n n x →∞=. （22）（Ⅰ）41a −.（Ⅱ）当1a =时无解.当1a =−时,TT(1,1,1,1)(0,1,0,0)k =+−x ，k 为任意常数.（23）（Ⅰ）1a =−.（Ⅱ）正交变换矩阵11132611132612036⎛⎫ ⎪ ⎪−⎪=⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭Q ，标准形222326f y y =+.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题:1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）【答案】C ．【解答】由题可知,22(1)1(1)(1)x x x x y x x x ++==−−+,故1lim ,x y →=∞所以1x =为垂直渐近线; 又由lim 1x y →∞=,故1y =为水平渐近线,无斜渐近线,故曲线渐近线的条数为2.（2）【答案】A.【解答】因为2100()(0)(e 1)(e 2)(e )(0)lim lim(1)(1)!x x nx n x x f x f n f n x x−→→−−−−'===−−，所以选A. （3）【答案】B.【解答】因为0(1,2,)n a n >=，所以数列{}n S 单调递增.如果{}n S 有界，由单调有界收敛准则知数列{}n S 极限存在，而1n n n a S S −=−，则1lim lim()0n n n n n a S S −→∞→∞=−=，即数列{}n a 收敛. 由此可知数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分条件. 反之，若{}n a 收敛，{}n S 未必收敛，例如，取1n a =(1,2,)n =，n S n =无上界，故选B. （4）【答案】D. 【解答】因为22π21πe sin d 0,x I I x x −=<⎰故21I I <；222π3π31π2πe sin d e sin d x x I I x x x x −=+⎰⎰22ππ(π)(2π)0esin d e sin d 0x x x x x x ++=−+>⎰⎰，故31I I >.所以选D.(5)【答案】D. 【解答】因为(,)0,f x y x∂>∂所以,固定y 值由12>x x 得1121(,)(,)>f x y f x y ，同理当(,)0,f x y y∂<∂固定x 值由12<y y 得2122(,)(,)>f x y f x y ,所以有答案D.（6）【答案】D.【解答】由二重积分的区域对称性可知π1552πsin 2(1)d d d (1)d πDxx y x y x x y y −−=−=−⎰⎰⎰⎰.(7)【答案】C.【解答】由已知可得134,,0,=ααα所以134,,ααα线性相关,选C. (8)【答案】B.【解答】1223123100(,,)(,,)110001Q ααααααα⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭，故11100110001−−⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q AQ ，1100100100100100110110010110010001001002001002−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭P AP ，所以选B.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）【答案】1.【解答】方程21e yx y −+=两边分别对x 求导，得d d 2e d d y y yx x x−= ①，由0=x ，0=y ，得d 0d x yx==. 对①式两边再对x 求导，得22222d d d 2e e d d d y y y y y x x x ⎛⎫−=+ ⎪⎝⎭，由0=x ，0=y ，d 0d x yx==，得22d 1d x yx==.（10）【答案】π4. 【解答】2222111lim ()12n n n n n n →∞++++++122222*********πlim ...lim d 14121111n n n i x n n x n i n n n n →∞→∞=⎛⎫ ⎪ ⎪=++=== ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑⎰. （11）【答案】0. 【解答】因为1(ln ),z f x y =+所以211,z z f f x x y y ∂∂−''==⇒∂∂20z zx y x y∂∂+=∂∂.（12）【答案】x .【解答】由题知该方程可化为d 3d x xy y y+=,为一阶线性微分方程,带入公式求解可得 3xy y C =+,带入初始条件可得0C =,最终可得结果.（13）【答案】(1,0)−. 【解答】由曲率公式()3/221y k y ''='+，曲线方程代入公式可得.（14）【答案】27−.【解答】由初等矩阵的性质可知010100001B PA A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,所以,**27BA PAA ==−.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）解:（Ⅰ）0011sin lim 1lim 1sin sin x x x x x x x x x →→+−⎛⎫−=−=⎪⎝⎭,1a =.（Ⅱ）221000sin 1()sin sin sin lim lim lim sin k k k x x x x x xf x a x x x x x x x x x x x+→→→+−−−+−−== 22110001(sin )(1)1cos 2lim lim lim (2)(2)k k k x x x xx x x x x k x k x +++→→→−+−===++，因为它们为同阶无穷小量，所以1k =.（16）（本题满分10分）解:()()22222221e0,e0x y x y ffx xy xy++−−∂∂=−==−=∂∂，可解得1,0.x y =⎧⎨=⎩或1,0.x y =−⎧⎨=⎩. 因为22222222222222222(3)e,(1)e ,(1)e xy x y x y f f f x x x y y x xyx y+++−−−∂∂∂=−=−=−∂∂∂∂，所以当1,0.x y =⎧⎨=⎩时,11222e ;0;e A B C −−=−==−.又因为20,0AC B A −><,所以(1,0)为极大值点,极大值为12e−.同理当1,0.x y =−⎧⎨=⎩时,验证可得其为极小值点,极小值为12e −−.（17）（本题满分12分）解:设切点(,)A a b ,切线方程斜率为k ，则1k a=,ln b a =,并且(0,1)与A 两点共线,直线方程为1b ka −=,由此解得221e ,2,ea b k ===.切线方程:211,e y x =+与x 轴交于B 坐标为(1,0),直线AB 的方程22:(1)e 1AB l y x =−−,则区域D 的面积22e 2e2222112(1)2ln d ln e 1e 12e 1e 1D x x x S x x x x x ⎛⎫−−⎡⎤=−=−−=+−+= ⎪⎢⎥−−⎣⎦⎝⎭⎰区域D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积()()22e 22212(1)2ππln d e 1e 13x V x x ⎡⎤−⎛⎫=−=−⎢⎥⎪−⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰.（18）（本题满分10分）解:如图，利用极坐标计算，由cos ,sin .x r r r θθ=⎧⎨=⎩，得π1cos 0d d cos sin d Dxy r r r r θσθθθ+=⎰⎰⎰⎰π401sin cos (1cos )d 4θθθθ=+⎰ π401cos (1cos )d cos 4θθθ=−+⎰141116cos (1)d 415t t t t θ−=+=⎰.（19）（本题满分10分）解:（Ⅰ）由()()2()0,f x f x f x '''+−=可知特征方程为220λλ+−=,通解为yxO2πD1cos r θ=+212e e x x y C C −=+,将其带入方程()()2e f x f x ''+=,可得2122e 5e 2e x x x C C −+=， 121,0C C ==.所以()e x f x =.（Ⅱ）由220()()d xy f x f t t =−⎰,得22'2e e d 1,xxt y x t −=+⎰2222202e e d 4e e d 2xxxt xt y t x t x −−''=++⎰⎰,令0,0y x ''==,当0x >时，0y ''>；当0x <时，0y ''<. 所以(0,0)为其拐点.（20）（本题满分11分）证明：令21()ln cos 1(11)12x x f x x x x x +=+−−−<<−，则有()()f x f x =−，为偶函数.所以只需讨论0x >即可.()2211212()lnsin ln sin 11111x x x x f x x x x x x x x x x x +−+'=+−−=+−−−+−−−， ()()22422416(1)()cos 1,()sin 11x x f x x f x x x x −'''''=−−=+−−.当01x <<时，()0f x '''>，则()f x ''单调递增，且(0)2f ''=，所以()0f x ''>. 所以，当01x <<时，()f x '单调递增，且(0)0f '=，所以()f x 递增，且(0)0f =，所以，当01x <<时，结论成立.同理，在10x −<<时，结论成立.（21）（本题满分11分）解: （Ⅰ）令1()1,nn n F x x x x −=+++−则12()(1)21n n n F x nx n x x −−'=+−+++，所以该函数在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增.因为1111()102222n n n F =++−=−<, (1)10n F n =−>,所以有零点定理可知方程在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个实根.又函数单调,所以有且仅有一个实根. （Ⅱ）先证明单调性.()()11111111(1)(1)00n n n n n n n n n n n n n n n n F x F x x x x x x x x −−++++++−=++−−++−=+>,而函数()n F x 单调,所以1n n x x +>,所以数列{}n x 单调递减.又1,12n x ⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以数列是有界的.因此数列收敛,且lim 0n n n x →∞=.所以由1(1)1101nn n n n n nn nx x x xx x −−++−=−=−,两端取极限可得1lim 2n n x →∞=.（22）（本题满分11分）解：（Ⅰ）4221(1)(1)A =−=−+a a a ；（Ⅱ）由题可知当0A =时，解得1=a 或1=−a .当1a =时，增广矩阵作初等变换得，()1100101101|0011000002⎛⎫⎪−⎪→ ⎪⎪−⎝⎭A β，()()|r r <A A β，故方程组无解；当1a =−时，增广矩阵作初等变换得，()1001001011|0011000000−⎛⎫⎪−−⎪→ ⎪− ⎪⎝⎭A β，()()|3r r <=A A β，方程组有解，并可求得通解为T T (1,1,1,1)(0,1,0,0)x =+−k ，其中k 为任意常数.（23）（本题满分11分）解: （Ⅰ）由二次型的秩为2,知T()2r =A A ,故()2r =A ，对A 作初等变换，1011010110111000101000a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→⎪ ⎪−+ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ，可得1a =−.（Ⅱ）当1a =−时，得T202022224⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A A .()()T 2020*******λλλλλλλ−−⎛⎫ ⎪−=−−=−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭E A A ，可得T A A 的特征值1230,2,6λλλ===.当10λ=时，解方程组T(0)−E A A x =0，得相应的特征向量()T11,1,1=−α；当22λ=时，解方程组T(2)−E A A x =0，得相应的特征向量()T21,1,0=−α；当36λ=时，解方程组T(6)−E A A x =0，得相应的特征向量()T31,1,2=α.因为特征值各不相等，所以特征向量相互正交，故只需单位化，得()T111,1,13=−β，()T 211,1,02=−β，()T 311,1,26=β.于是得到正交矩阵11132611132612036⎛⎫ ⎪ ⎪−⎪=⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭Q . 在正交变换=x Qy 下，二次型的标准型为222326f y y =+.。