31空间向量的标准正交分解与坐标表示32空间向量基本定理
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本定理） .对于空间任意一个向量，有没有类似的结 论呢？
OP ? OQ ? zk. OQ ? xi ? y j.
OP ? OQ ? zk ? xi ? y j ? zk.
z
由此可知，如果 i, j, k 是空间两
两垂直的向量，那么，对空间任一
向量 p ，存在一个有序实数组
r
ur p
P
（x,y,z）使得 p ? xi ? y j ? zk.
推论： 设O、A、 B、C是不共线的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的有序实数组（ x,y,z），使
OP ? xOA? yOB? zOC.
当且仅当 x+y+z=1 时，P、A、B、C四点共面 .
例3.如图，在平行六面体ABCD? A?B?C?D?中，M是
平行四边形A?B?C?D?的对角线的交点，N是棱BC的
uuuur
uuur
D
CA?cos ? A?CB ? CB ? 1;
A
uuuur uuur
（2）向量CA?在BC上的投影为
uuuur
uuur
CA?co（s ? -? A?CB）? - CB ? -1.
B?
C B
探究点3 空间向量基本定理
思考：我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可
以用两个不共线的向量 a , b 来表示（平面向量基
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
3.2 空间向量基本定理
下图是一个房间的示意图 ,我们来探讨表示电
灯位置的方法 .
z
墙
墙 地面
4
3
2
1
A(4,5,3)
O
32
1
1
23
4
5
y
4
x
向量OA的坐标怎么表示？
1.掌握空间向量的标准正交分解与及其坐标表示 . (重点 ) 2.理解空间向量基本定理及其应用 .（重点） 3.理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的 向量唯一表示，并能用给定的基底表示空间向量 .
探究点1 空间向量的标准正交分解
思考 ：我们学习过平面向量的标准正交分解，
空间向量应该怎样分解呢？
如图，在给定空间直角坐标系中， rrr
令 i, j,k 分别为空间直角坐标系中x轴，
y轴，z轴正方向上的单位向量，设
ar是空间任意向量，作OuuPur
?
r a.
过点P作坐标平面yOz，xOz，xOy
的平行平面，分别交x轴，y轴，z A
使 p ? xa ? yb ? zc.
空间中任意不共面的三个向量都可作为空间的一个 基底 .
a, b, c都叫作基向量
特别提示： 对于基底
rrr a,b,c,
除了应知道
rrr a,b,c,
不共面，
还应明确：
（1）任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底 .
（2）由于 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个 非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们 都不是 0 . （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念 .
提示：唯一.在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解
不变，故其坐标也不变.
问题3：建立以O为原点的空间直角坐标系后，向量
Hale Waihona Puke Baidu
uuur OP
的坐
标与点P的坐标有什么关系？这种关系的建立有什么优点？
提示：在以O为原点的空间直角坐标系中，向量的坐标
（x,y,z) 与其终点P的坐标相同，这样就实现了空间基底到空
所以OP ? xi ? yj ? zk.
探究点2 空间向量的坐标表示
rrr 在给定的空间直角坐标系中，令 i, j,k 分别为空间直角坐标系中
x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，设 ar是空间任意向量，
存在唯一一组三元有序实数
?x,
y,z
?, 使得ar
?
r xi
?
r yj
?
r zk.我们把
ar
?
r xi
间坐标系的转换.用坐标表示空间向量，可以把空间向量坐标
化，然后再通过计算解决问题，为解决空间向量问题提供了
新的思路.
例2.如图，已知单位正方体ABCD ? A?B?C?D.?求：
uuuur uuur
（1）向量CA?在CB上的投影；
uuuur uuur
（2）向量CA?在BC上的投影.
D?
C?
解:（1）向量CuuAuur?在CuuBur上的投影为 A?
中点.如果 AB ?
? a,
AD ?
? b,
AA??
? c,
试用a?,
? b,
c?表示MN.
D′ A′ r c
Dr b
Ar a
C′ M
B′
C N B
解: 因为MN ? MC?? C?C ? CN,
我们称 xi, y j, zk 为向量 p 在
rk iO
r j
y
i, j, k上的分向量.
Q
x
问题：在空间中，如果用任意三个不共面向量 a, b, c
代替两两垂直的向量 i, j, k ，你能得出什么结论？
空间向量基本定理：
rrr 如果三个向量 a,b,c 在空间中不共面，那么对空间
任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组 (x,y,z) ，
uuur r r r （1）写出点C?的坐标，给出AC?关于 i, j,k 的分解式；
uuur
（2）求AD?的坐标.
z
解: (1)因为AB? 2，BC ? 3，AA?? 5， D?
A?
B?
C?
所以点C?的坐标为（3,2,5），
???
从而AC??（3,2,5）? 3i ? 2 j ? 5k； （2）因为点D?的坐标为（3,0,5）， A
By
所以AD??（3,0,5）.
xD
C
问题1：空间向量的坐标与它的投影有什么关系？
提示：向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影 .
一般地，若
r b
r 0为b的单位向量，称
ar
r ?b0
?
ar cos
ar,br
为向量ar在向量br 上的投影.
问题2：向量可以平移，向量
r p
在坐标系中的坐标唯一吗？
?
r yj
?
zkr 叫作ar的标准正交分解，把
r i,
rr j,k
叫作标准正交基.
?x,
y,z
?
叫作空间向量
ar 的坐标，记作
r a
?
?x,
y,z
?.
r a
?
?x,
y,z
?
叫作向量
ar 的坐标表示
.
例1.如图，在直角坐标系中有长方体ABCD ? A?B?C?D?,
且AB ? 2，BC ? 3，AA?? 5.
轴于A，B，C三点.
x
z
C
? k
? a
P
O? ?
ij
D
? a
By
根据向量加法运算，有
OP ? OA? AD? DP ? OA? OB ? OC.
? 因为OA与i 共线，根据向量共线的性质，存在
?
唯一实数x，使得OA ? xi .同理，存在唯一实数
?
?
y和z，使得OB ? yj,OC ? zk.
?? ?
OP ? OQ ? zk. OQ ? xi ? y j.
OP ? OQ ? zk ? xi ? y j ? zk.
z
由此可知，如果 i, j, k 是空间两
两垂直的向量，那么，对空间任一
向量 p ，存在一个有序实数组
r
ur p
P
（x,y,z）使得 p ? xi ? y j ? zk.
推论： 设O、A、 B、C是不共线的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的有序实数组（ x,y,z），使
OP ? xOA? yOB? zOC.
当且仅当 x+y+z=1 时，P、A、B、C四点共面 .
例3.如图，在平行六面体ABCD? A?B?C?D?中，M是
平行四边形A?B?C?D?的对角线的交点，N是棱BC的
uuuur
uuur
D
CA?cos ? A?CB ? CB ? 1;
A
uuuur uuur
（2）向量CA?在BC上的投影为
uuuur
uuur
CA?co（s ? -? A?CB）? - CB ? -1.
B?
C B
探究点3 空间向量基本定理
思考：我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可
以用两个不共线的向量 a , b 来表示（平面向量基
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
3.2 空间向量基本定理
下图是一个房间的示意图 ,我们来探讨表示电
灯位置的方法 .
z
墙
墙 地面
4
3
2
1
A(4,5,3)
O
32
1
1
23
4
5
y
4
x
向量OA的坐标怎么表示？
1.掌握空间向量的标准正交分解与及其坐标表示 . (重点 ) 2.理解空间向量基本定理及其应用 .（重点） 3.理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的 向量唯一表示，并能用给定的基底表示空间向量 .
探究点1 空间向量的标准正交分解
思考 ：我们学习过平面向量的标准正交分解，
空间向量应该怎样分解呢？
如图，在给定空间直角坐标系中， rrr
令 i, j,k 分别为空间直角坐标系中x轴，
y轴，z轴正方向上的单位向量，设
ar是空间任意向量，作OuuPur
?
r a.
过点P作坐标平面yOz，xOz，xOy
的平行平面，分别交x轴，y轴，z A
使 p ? xa ? yb ? zc.
空间中任意不共面的三个向量都可作为空间的一个 基底 .
a, b, c都叫作基向量
特别提示： 对于基底
rrr a,b,c,
除了应知道
rrr a,b,c,
不共面，
还应明确：
（1）任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底 .
（2）由于 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个 非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们 都不是 0 . （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念 .
提示：唯一.在空间直角坐标系中，向量平移后，其正交分解
不变，故其坐标也不变.
问题3：建立以O为原点的空间直角坐标系后，向量
Hale Waihona Puke Baidu
uuur OP
的坐
标与点P的坐标有什么关系？这种关系的建立有什么优点？
提示：在以O为原点的空间直角坐标系中，向量的坐标
（x,y,z) 与其终点P的坐标相同，这样就实现了空间基底到空
所以OP ? xi ? yj ? zk.
探究点2 空间向量的坐标表示
rrr 在给定的空间直角坐标系中，令 i, j,k 分别为空间直角坐标系中
x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，设 ar是空间任意向量，
存在唯一一组三元有序实数
?x,
y,z
?, 使得ar
?
r xi
?
r yj
?
r zk.我们把
ar
?
r xi
间坐标系的转换.用坐标表示空间向量，可以把空间向量坐标
化，然后再通过计算解决问题，为解决空间向量问题提供了
新的思路.
例2.如图，已知单位正方体ABCD ? A?B?C?D.?求：
uuuur uuur
（1）向量CA?在CB上的投影；
uuuur uuur
（2）向量CA?在BC上的投影.
D?
C?
解:（1）向量CuuAuur?在CuuBur上的投影为 A?
中点.如果 AB ?
? a,
AD ?
? b,
AA??
? c,
试用a?,
? b,
c?表示MN.
D′ A′ r c
Dr b
Ar a
C′ M
B′
C N B
解: 因为MN ? MC?? C?C ? CN,
我们称 xi, y j, zk 为向量 p 在
rk iO
r j
y
i, j, k上的分向量.
Q
x
问题：在空间中，如果用任意三个不共面向量 a, b, c
代替两两垂直的向量 i, j, k ，你能得出什么结论？
空间向量基本定理：
rrr 如果三个向量 a,b,c 在空间中不共面，那么对空间
任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组 (x,y,z) ，
uuur r r r （1）写出点C?的坐标，给出AC?关于 i, j,k 的分解式；
uuur
（2）求AD?的坐标.
z
解: (1)因为AB? 2，BC ? 3，AA?? 5， D?
A?
B?
C?
所以点C?的坐标为（3,2,5），
???
从而AC??（3,2,5）? 3i ? 2 j ? 5k； （2）因为点D?的坐标为（3,0,5）， A
By
所以AD??（3,0,5）.
xD
C
问题1：空间向量的坐标与它的投影有什么关系？
提示：向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影 .
一般地，若
r b
r 0为b的单位向量，称
ar
r ?b0
?
ar cos
ar,br
为向量ar在向量br 上的投影.
问题2：向量可以平移，向量
r p
在坐标系中的坐标唯一吗？
?
r yj
?
zkr 叫作ar的标准正交分解，把
r i,
rr j,k
叫作标准正交基.
?x,
y,z
?
叫作空间向量
ar 的坐标，记作
r a
?
?x,
y,z
?.
r a
?
?x,
y,z
?
叫作向量
ar 的坐标表示
.
例1.如图，在直角坐标系中有长方体ABCD ? A?B?C?D?,
且AB ? 2，BC ? 3，AA?? 5.
轴于A，B，C三点.
x
z
C
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? a
P
O? ?
ij
D
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By
根据向量加法运算，有
OP ? OA? AD? DP ? OA? OB ? OC.
? 因为OA与i 共线，根据向量共线的性质，存在
?
唯一实数x，使得OA ? xi .同理，存在唯一实数
?
?
y和z，使得OB ? yj,OC ? zk.
?? ?