绳杆连接物的关联速度

绳（杆）连接物的关联速度

---梁志亮

绳子末端速度的分解问题，是“运动的合成与分解”中的一个难点也是易错点。同学们在处理此类问题时，往往因搞不清哪一个是合速度（实际速度），哪一个是分速度而导致解题失败。希望能通过下面几个例题，帮助同学们消除解题中的困惑。

例1：如图1的A所示，在河岸上利用定滑轮拉绳使小船靠岸，拉绳的速度为v，当绳与水平面成θ角时，船的速度是多少？

解析：

方法一：

图1

1、找关联点（A点）

2、判断合速度（水平向左）

3、速度的合成与分解（沿绳子与垂直绳子）

4、验证正误（新位置在两坐标轴方向上）

船的实际运动是水平运动，它产生的实际效果可以从图B中的A

点为例说明：A是绳子和船的公共点，一是A点沿绳的收缩方向的运动，二是A点绕O点沿顺时针方向的转动，所以，船的实际速度v可分解为船沿绳方向的速度v1和垂直于绳的速度v2，如图1所示。由图可知：v＝v1/cosθ

方法二：微元法：如图C

1、关联点在很短时间内经过一小位移S

2、绳子缩短了S′=OA-OB=PA=Scosθ

3、速度比即是位移比。

例2.如图2所示，一辆匀速行驶的汽车将一重物提起，在此过程中，重物A的运动情况是（）

A. 加速上升，且加速度不断增大

B. 加速上升，且加速度不断减小

C. 减速上升，且加速度不断减小

D. 匀速上升

解析:物体A的速率即为左段绳子上移的速率，而左段绳子上移的速率与右段绳子在沿着绳长方向的分速率是相等的。右段绳子实际上同时参与两个运动：沿绳方向拉长及向上摆动。将右段绳子与汽车相连的端点的运动速度v沿绳子方向和与绳子垂直方向分解，如图3所示，则沿绳方向的速率即为物体A的速率

v A=v1=vsinθ。随着汽车的运动，θ增大，v A=v1

增大，故A应加速上升。

由v-t图线的意义知，其斜率为加速度，在0°～90°范围内，随θ角的增大，曲线y=sinθ的斜率逐渐减小，所以A上升的加速度逐渐减小。

答案 B

点评本题主要考查了运动的分解，解题的关键是要分清合速度与分速度。一般情况下，物体相对于给定的参考系（一般为地面）的实际运动就是合运动，本例中，汽车的实际运动就是合运动。另外，运动的分解要按照它的实际效果进行。

例3.如图4所示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A用轻绳通过定滑轮拉物体B，当绳与水平面夹角为θ时，物体B的速度为（）

A．v B．v.sinθ C．v.cosθ D．V/sinθ

图4 图5

解析：如图5，将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，,根据平行四边形定则得，v B=vsinθ．故B正确，A、C、

D 错误．故选B ．

例4.如图6所示，均匀直杆上连着两个小球A 、B ，

不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为

v B ，加速度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时A 球速

度和加速度大小？

图6

解析：分别对小球A 和B 的速度进行分解，设杆上的速度为v 则对A 球速度分解，分解为沿着杆方向和垂直于杆方向的两个速度。

v =v A cos α

对B 球进行速度分解，得到v =v B sin α

联立得到v A =v B tan α

加速度也是同样的思路，得到a A =a B tan α

例5.如图所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于

光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运

动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B

车的速度是多少？

解析：

右边的绳子的速度等于A 车沿着绳子方向的分速度，设绳子速度为v 。

将A 车的速度分解为沿着绳子的方向和垂直于绳子的方向，则

v =v A cos β

同理，将B 车的速度分解为沿着绳子方向和垂直于绳子的方向，则

v =v B cos α

由于定滑轮上绳子的速度都是相同的，得到A

B v v αβcos cos = 例6.如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O 点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°的斜面向右以速度v 匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度（ ）

A ．大小为v ，方向不变和水平方向成60°

B ．大小为v ，方向不变和水平方向成60°

C ．大小为2v ，方向不变和水平方向成60°

D ．大小和方向都会改变

解析：橡皮沿与水平方向成300的斜面向右以速度v 匀速运动，由于橡皮沿与水平方向成300的斜面向右以速度v 匀速运动的位移一定等于橡皮向上的位移，故在竖直方向以相等的速度匀速运动，根据平行四边形定则，可知合速度也是一定的，故合运动是匀速运动；根据平行四边形定则求得合速度大小为v 3，方向不变和水平方向成60°． 故选B ．(此题与2013年江苏单科题相似)