相对论1-6

W ， p k，p k c
二、关于质能关系
W0 m0c2 称为质能关系式（有时 W mc 2 也称为质能
关系） 1、质能关系的意义 ⑴它反映了作为惯性量度的质量与作为运动强度量 度的能量间的关系。
⑵他揭示了一个静止物体（粒子）内部仍然存在 运动。一定质量的粒子具有一定的内部运动能量， 对于 能
T W W0 m0 c 2 1 v2 c2 m0 c 2 m m0 c 2
1 v c时，T m0v 2 。 2
与经典动能不同，但在
• 我们知道，动能是在动能、势能转化中得到物理
意义的，而机械能量是在与其他形式能量转化中
得到物理意义的。可见静止能量可以转化为其他
才等于经典力。 3、功率方程： • 四维矢量定义功率方程 代换时得
dW F v dt
dW K v d

，当用
1 K F , d dt


，与经典公式形式上一致，但
意义不同。
四、洛伦兹力 • 洛伦兹力公式为
F e E vB


• 我们将证明它是是洛伦兹协变的，即满足相对论
i c 因此p p, W 为能量—动量矢量，为相对 c
5、静止能量与动能
• 当 v 0 时，物体相对静止，定义此时动能为零
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但此时 W W0 m0c2 ，称为静止能量，这 在经典力学中不存在。
T 0
• 当 v 0 时，物体具有的能量为W W0 T ，所以动 能应为
设速度相对系运动速度为v， dx dxi 则vi 的前三个分量 i 1 3 为 dt dt
• 假定物体相对参考系静止时的质量为 m0 ，它是一 个洛伦兹标量（不变量）。
• 定义四维动量：p m0U 前三个分量为
m0 c 2 i pi m0 vi i 1 3 , p4 ic m0 c 1 v2 c2
dp F , p mv ，m为物体质量，与运动无 关 dt
' dp ' F ' dt
符合伽利略变换
均不是洛伦兹协变量，他们不满足洛伦
•
' ' 由于 p ，F
兹变换。
2、用四维速度定义四维动量： • 已知四维速度矢量
dx d dt U d d dt 1 v2 C 2 dx
三 、相对论力学方程
1、四维力矢量
• 用固有时间间隔度量四维动量的变化，可定义四
维力矢量
K dp d
p 的前三个分量为 p mv ，因此 • 已知 K 的前三
个分量也可表示为：
dp dp1 dp2 dp3 K K1 ,K2 ,K3 d d d d dp4 d i i dW K4 W ,W p 2c 2 m 2c 4 d d c c d 1 1 2 p dp dW 2 pc 2 dp 2 p dpc (W mc 2 ) m 2 p 2c 2 m 2c 4 2 p 2c 2 m 2c 4 v dp p mv i dp i i K4 v v K K v c d c c i dp dW 由此给出K 的表示式：K K ， K v） 其中 K ， v （ , K c d d
2、结合能与质量亏损 • 假定由N个粒子构成的系统，作为整体，质心静 止时能量为 W0 M 0c2 mi 0c2，mi 0 为第i个粒子 • 每个粒子静止时的能量为 的静止质量 • N个静止粒子质量之和为 m c ，一般 M c m c （因内部还有相对运动能和相互作用能）
2 i0
3、运动质量概念 • m0 为静止时的质量，称为静止质量，为让四维动 量前三分量与经典三维动量形式上一致，引入运 动质量
m m0 1 v C
2 2
，则pi m vi , p mv
与经典动量形式
上相同。
4、p4 与能量相关 • 将 p4 做泰勒展开
i p4 c m0 c 2 1 v2 c2 i 1 m0 c 2 m0 v 2 c 2
' ' '2
所以
2 W 2 2 p 2 m0 c 2 W c
2 p 2c 2 m0 c 4
它为物体能量、动量和质量间的重要关系式。对
于光子：由于光速相对任何参考系均为c，假定他
无静止质量，即 m0
0 ，则它的能量为
• 从量子论中知，光子能量为
W W pc，即p 它不能用p mv定义 。 c
N N个微粒构成的系统，它的静止 1
W0 M0c2 M0为总质量，即相对质心静止时的总质量 ，
（注意复合系统质量 M 0 一般不等于所有粒子的静
止能量之和）
⑶在物质反应（如核反应）或转变过程中，物质存
在和运动形式均发生变化，物质并没有消失，而 是从一种形式转化为另一种形式。在转化过程中 可以释放大量能量。
2
2
i
0
i0
i
•
M 0c 2 mi 0c 2
i
在原子核和基本粒子等物理实验中
被证实，他是原子能利用的主要理论依据。在相 对论力学中质量一般不是守恒量，而能量和动量
守恒仍是最基本的定律。详细讨论这问题涉及实
验室坐标系与动心坐标系的变换等较复杂的因素， 在高能物理学或原子核物理等课程中将有详细介 绍。
§6 相对论力学
经典力学在伽利略变换下形式不变（具有伽
利略协变性）。它符合经典时空理论，但它仅适
用于 v c 。当
v c 时，时空理论是相对论的，变
换应当满足洛伦兹变换。而原来的力学方程显然 不适合洛伦兹变换，要修改。本节主要讨论相对 论力学方程。
一、能量—动量为四矢量（简称为4维动量） 1、经典力学的牛顿第二定律：
形式的能量。
6、能量、动量和质量间的关系式 • p 为四维矢量，它的点乘 p p 为洛伦兹标量 （不变量）
2 i 2 W 2 2 p p p W p 2 ，p p 2。 c c
2
设在'系中p' 0，W ' m0c2 W0'
'2 W 2 p p p 2 m0 c 2 p p c
协变性的要求。用电磁场张量和四维速度构成一
个四维矢量
K eFU ，
• 容易验证
K

1 1 v c2
2
e EvB


因而有
d p e EvB dt




2、相对论中的三维力矢量 • 若采用 dp 度量，仍用 F 表示，
dp 1 dp v2 2 K F 1 c dt d
dp F dt
m
与经典形式上一致，但由于 p mv ，
m
2
1 v
c
2
与经典意义不同。该定义适用于任何
惯性系。
• F 不是四维力矢量的前三个分量,而 K F , 在v c时,F
1 2 m • 可见 p4 与能量相关， m 0 v 为经典动能， 0C 2也为 2
能量量纲。 p • 但当 v 0 时，可舍去高次项， 4 中仅含两项， 一项为经典动能，另一项代表什么？
• 设
W
m0 c 2 1 v c
2 2
为物体具有的能量，
即：W mc 2，则p4 i W， 论协变量。