重力场基本原理讲解

与引力位相似，上式离心力 加速度同样可以用离心力位 的偏导数表示。
设有离心力位 对其求偏导得：
此式除符号相反 外与离心力加速 度分量表达式完 全一样，因此， 此式为离心力位 函数
➢3、重力位
重力是引力和离心力的合力，重力位W是引力位V和离心力 位Q之和：
W V Q
W f dm 2 (x2 y2 )
r2
对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量：
gx
W x
( V x
Q x
)
gy
W y
( V y
Q y
)
g
W
( V
Q
)
z
z
z z
重力位在任意方向的偏导数等于 重力在该方向上的分力：
W l
gl
g cos(g,l)
当g与l相垂直时，那么dＷ=0，Ｗ＝常数
当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力等位 面，也就是我们通常说的水准面。可见水准面有无穷多 个。其中，我们把完全静止的海水面所形成的重力等位 面，专称它为大地水准面。
如果令g与l夹角等于π，则有：
dl dW g
水准面之间既不平行，也不相交和相切。
对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等于 使它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重力加速度 的量纲，单位是：
伽(Gal=cms－２)，
地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，两极重力 值 983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原因，重力有从 赤道向两极增大的趋势。
• 建立空间直角坐标系与球面极坐标系
2 r 2 R 2 2Rr cos
r
2[1
(R r
)2
2
R r
cos ]
l
(
R r
)2
2
R r
cos
1
1
r
(1
1
l) 2
V
f r
(1
1l
2
3 l2
8
5 l3
16
)dm
l
(R r
)2
2R r
cos
n
V v 0 v 1 v 2 v i i 0
——物理大地测量学
➢2、重力场与大地测量的关系
（1）测定地球外部重力场是大地测量的一个任务。 （2）大地测量的主要任务是测定地球表面点位，而点 位使用的大多数观测量需要进行重力改正。
➢2、重力场与大地测量的关系 （3）在大地控制和工程测量中的，使用的高程是相对 于重力场确定的。
（4）为了解地球表面广大区域的多种问题（如卫星定 轨）需要有全球重力场表示。对于大地测量和工程测 量中的大地控制网需要局部重力场表示。
当知道了地球正常重力位，想法求出 它同地球重力位的差异(称扰动位)， 便可求出大地水准面与这已知形状(正 常位水准面)的差异。最后解决确定地 球重力位和地球形状的问题。
地球引力位的数学表达式
V
dm
f
M
设地球上的点坐标为: (x, y, z)
( , , r)
地球表面点坐标为: (xm, ym, zm )
v1
f r
R
M
r
cos dm
cos xxm yym zzm
Rr
v1
f r3
Βιβλιοθήκη Baidu(x
M
x mdm
y y mdm
地球重力场的基本原理
报告人：财 神
班
专 业：大地测量学与测量工程 导
研究方向：地球重力场与垂直基准
级：硕研14-1班 师：章老师
内容提纲
➢ 一、重力场概述 ➢ 二、引力位与离心力位 ➢ 三、地球正常重力位 ➢ 四、总结
一、地球重力场概述
本节内容向导
➢ 1、重力场与本学科的联系 ➢ 2、重力场与大地测量学的关系 ➢ 3、重力场与重力场模型
, 则有 a dV dr
•结论： 单位质点的物体在引力场中的加速度等于引
力位的导数，方向与径向方向相反。
➢2、离心力位
质点的坐标用质点向径,地心纬度，地心经度表示为：
x r cos cos y r cos sin z r sin
坐标对时间的一阶导数等于地 球自转角速度
坐标对时间的二阶偏导数就是质 点的离心加速度
，则有
此功等于位能的减少，
积分则有：
因为r→∞, V=0。所以 C=0 ，则有 取 m=1，
因为r→∞, V=0。所以 C=0 ，则有
取 m=1，
地球总体的位函数：
V
dV
(M )
f
dm r
1、由牛顿第二定律可知：
F F
ma f Mm
r2
a
f
M r2
2、对位函数求导：
dV dr
f
M r2
➢3、重力场与重力场模型
地球重力场的函数模型,通常是指通过求解 某种形式的大地测量边值问题,从而给出一种表 达扰动位的数学模型。
重力场模型系数可认为是微分方程 的解，其实就是解微分方程。
这里需要全球重力数据，目前以卫 星重力数据为主（边值条件）
二、引力位与离心力位
本节内容向导
➢ 1、引力与离心力 ➢ 2、引力位 ➢ 3、离心力位 ➢ 4、重力位
➢1、重力场与本学科的联系
（1）在精密卫星定位中为精密定轨必须有精密 地球重力场模型的支持才能实现。
——宁津生
➢1、重力场与本学科的联系
（2）保证以卫星绝对定位方法建立的由一定数 量基准点构成的地心参考框架可以使卫星相对点 定位达到相应的精度。
——宁津生
➢1、重力场与本学科的联系
（3）人造卫星、洲际导弹轨道的摄动与地球外 部重力场密切相关。
➢1、引力与离心力
离心力P在赤道达最大值，但数值比地球引力 1/200还要小一些。故重力基本上由地球引力确定的。
当高出地面35730km处，重力加速度将改变符 号，背向地球。
➢1、引力位
位函数：设有一标量函数，它对被吸引点各坐标 方向的偏导数等于引力在相应方向上的分力。
推导如下: 万有引力定律： 假设沿力线方向做功为
三、地球正常重力位
W f dm 2 (x2 y2 )
Mr
2
要精确计算出地球重力位，必须知道 地球表面的形状及内部物质密度，但前者 正是我们要研究的，后者分布极其不规则 ，目前也无法知道，故根据上式不能精确 地求得地球的重力位，为此引进一个与其 近似的地球重力位——正常重力位
正常重力位是一个函数简单、 不涉及地球形状和密度便可直 接计算得到的地球重力位的近 似值的辅助重力位。
v0
f r
dm
M
v1
f r
R
M
r
cos dm
v 2
f r
M
(
R r
)2(3 2
cos2
1)dm 2
v 3
f r
M
(R r
)3(5 2
cos3
3 2
cos
)dm
n
V v 0 v 1 v 2 v i i 0
v0
f r
dm
M
f
M r
v 0 就是把地球质量集中到地球质心处时的
点的引力位