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绝对值函数图象的速画法
绝对值函数图象的速画法高中数学涉及了诸多函数问题，解这类题若能用图象辅助思考，往往有事半功倍之效。
但遗憾的是，学生要么对图象形状不熟悉，不知怎么画图；要么觉得画图程序繁琐，懒于画出图象。
下面简介高中数学中常见而学生又甚感困难的绝对值函数图象的速画法，以帮助提高作图速度，培养作图兴趣。
一、用“三点定形法”画单绝对值函数)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象)0()(≠+-=a k h x a x f 与)0()()(2≠+-=a k h x a x g 的图象类似，它们的顶点都是（k h ,），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。
所不同的是前者的图象是折线，在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。
所以可用三点定其型。
三点中，顶点（k h ,）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，过另一点作出射线，即得)0()(≠+-=a k h x a x f 的图象。
例：已知函数[)+∞+-=,02)(在b x a x f 上单调递增，则a 、b 的取值范围是 。
分析：当a=0时，2)(=x f 为常数函数，不具单调性；当0≠a 时，其顶点(b,2)总在直线y=2上，若0<a ，图象开口向下(见图1)，总不满足条件；若0>a ，图象开口向上，当0>b 时，函数)(x f 在[)+∞,0不单调(见图2)；当0≤b ，函数)(x f 在[)+∞,0单调(见图3)。
所以a 、b 的范围应是.0,0≤>b a平线段左端加一条向左上方延伸的射线(因其斜率为负)，右端加一条向右上方延伸的射线(因其斜率为正)组成的图形，而图象总是在绝对值代数式的零点处转折。
又联立以上分段函数两侧解析式⎩⎨⎧+-=++-=)(2)(2b a x y b a x y 解得，⎪⎩⎪⎨⎧=+=02y b a x ，可知左右两侧射线延长线必交于x 轴上的点)0,2(b a +。
绝对值函数的图像与性质
绝对值函数的图像与性质绝对值函数是数学中常见的一类函数。
它使用绝对值符号来表示，可以用一条直线段来表示其图像。
本文将详细讨论绝对值函数的图像与性质。
1. 绝对值函数的定义绝对值函数通常表示为|x|，表示x与原点的距离。
其定义如下：|x| = {x，x≥ 0−x，x < 0其中，x为实数。
2. 绝对值函数的图像由于x与原点的距离是非负的，绝对值函数的图像总是处于原点的左侧。
当x≥ 0时，绝对值函数的图像与x轴重合，即为x = x。
当x < 0时，绝对值函数的图像为一条通过原点的与x轴对称的直线段，斜率为-1，即为x = -x。
3. 绝对值函数的性质绝对值函数具有以下几个重要的性质：性质1：非负性对于任意实数x，绝对值函数的值都是非负数，即|x| ≥ 0。
性质2：对称性绝对值函数关于原点对称，即对于任意实数x，有|−x| = |x|。
性质3：单调性当x > x时，有|x| > |x|。
反之，当x < x时，有|x| < |x|。
性质4：三角不等式对于任意实数x和x，有|x + x| ≤ |x| + |x|。
三角不等式表示绝对值函数的加法性质，即两个数的绝对值之和大于等于它们的和的绝对值。
性质5：零点判定当且仅当x = 0时，有|x| = 0。
4. 绝对值函数的应用绝对值函数在实际问题中有广泛的应用，以下是一些典型的应用场景：应用1：距离计算绝对值函数可以用于计算两个点之间的距离。
例如，在数轴上，点x的坐标为x，点x的坐标为x，则点x和点x之间的距离为|x−x|。
应用2：温度变化绝对值函数可以用于表示温度的变化范围。
例如，在某城市中，某天的最高气温为10摄氏度，最低气温为-5摄氏度。
则该城市这一天的气温变化范围为|10−(−5)| = 15摄氏度。
应用3：经济收益绝对值函数可以用于描述经济收益的情况。
例如，某企业的利润为x万元，通过绝对值函数|x|可以表示利润的绝对值。
绝对值函数图象与绝对值不等式
• 形式不便于统一，几何意义不明显
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➢一、绝对值的概念：
4．简单应用——绝对值方程的解法：
• 数形结合
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➢一、绝对值的概念：
4．简单应用——绝对值方程的解法：
• 数形结合，分类讨论
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➢二、绝对值函数的图象：
• 函数图象的作用：把解方程、解不等式问题转化为函数图象的公共点问题
（ⅲ） x a x b c(c 0) 的解法：零点分段法
求出使得每个绝对值符号内的表达式等于零的未知数的值（称为零点）， 将零点依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间， 讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号， 转化为不含绝对值的不等式去解．
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y
当 a 0 时，把 y x 的图象左移 a 个单位．
O1
x
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➢二、绝对值函数的图象：
• 2.简单应用——绝对值函数图象的作法： • 思考：（1）如何确定每个绝对值内的符号？
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探索：不等式|x|<1的解集。 主要方法有:
方法一: 利用绝对值的几何意义观察； 方法二: 利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论; 方法三: 两边同时平方去掉绝对值符号; 方法四: 利用函数图象观察.
这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路.
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方法一：绝对值的几何意义 |x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.
所以-1<x<1
-1
0
1
方法二:绝对值的定义，分类讨论
①当x≥0时，原不等式可化为x＜1 ∴ 0≤x＜1
②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1
寒假2作含有绝对值的一次函数的图像
作一次含有的绝对值函数的图像我们知道一次函数的图像是一条直线，若函数中含有绝对值，它的图像又会是怎样的呢？下面我们一起来进行探究。
根据绝对值的概念：正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；负数的绝对值等于它的相反数。
我们把使绝对值式子为零的字母（自变量）的值叫做绝对值的零点。
例1：作函数33--=x y 的图像。
分析：由绝对值的概念知，3-x 的零点为3=x 。
当3≥x 时，6+-=x y ；当3<x 时，x y =，将原函数分成两段。
因此，我们根据x 的取值范围，分别作出对应的图像。
解：由题可知：绝对值的零点是3=x 。
函数⎩⎨⎧+-=6x xy )3()3(≥<x x函数33--=x y 的图像为例2：作函数112++-=x x y 的图像。
分析：由012=-x ，01=+x 得零点有21,1-=x 。
当1-≤x 时，x x x y 3112-=--+-=；当211≤<-x 时，2112+-=+++-=x x x y ；当21>x 时，x x x y 3112=++-=； 解：由题可知：绝对值的零点有21,1-=x 。
可将函数分成三段。
函数⎪⎩⎪⎨⎧+--=xx xy 323 )21()211()1(>≤<--≤x x x其图像如图所示：例3：求由1-=x y 的图像与2=y 的图像围成的图形的面积。
分析：此函数含有两重绝对值，里层x 的零点是0，外层1-x 的零点是1，-1，三个零点将的x 取值分为四段。
解：由题可知：绝对值的零点有1,0,1-=x 。
可将函数分成三段。
函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-+--=1111x x x x y)1()10()01()1(>≤<≤<--≤x x x x与2=y 的图像如图所示：所求面积可以看作一个等腰直角三角形挖去一个小正方形。
因此，该图形的面积为：72922213621=-=⨯⨯-⨯⨯。
作含有绝对值的一次函数的图像，首先要找出其零点；然后根据零点将函数化为分段函数；再分段画出其对应的函数图像。
实例3 绝对值函数图像的制作
新课标数学几何画板课件制作实例教程新课标数学几何画板课件制作实例教程实例3绝对值函数的图像朱俊杰绝对值函数是新课标数学中的一个重点，同时也是学生学习的难点，下面我们就以函数f(x)=|x|的图像为例，体会一下利用几何画板绘制绝对值函数图像的方法。
【设计要点】利用几何画板的内置绝对值函数“abs()”绘制函数f(x)=|x|的图像。
【操作步骤】(1) 运行几何画板软件，新建一个几何画板文件，选择“图表”→“定义坐标系”菜单命令，定义一个新坐标系，隐藏网格，并将坐标原点标记为O。
(2) 选择“图表”→“绘制新函数”菜单命令，打开“新建函数”对话框，依次单击“”→“”→“”→“”即可绘制出函数f(x)=|x|的图像，如图1所示。
图1 函数f(x)=|x|的图像【拓展思考】绝对值函数的图像也可以利用绝对值的意义，将绝对值去掉，使之转化为分段函数，然后参照本报“绘制分段函数的图像”一文，绘制出绝对值函数的图像。
【几何画板小知识】几何画板内置函数1．余弦函数cos(x)；2．正切函数tan(x)；3．反正弦函数Arcsin(x)；4．反余函数Arccos(x)；5．反正切函数Arctan(x)；6．绝对值函数abs(x)；7．平方根函数sqrt(x)；8．自然对数函数ln(x)（注：以e为底的对数）；9．常用对数函数log(x)（注：以10为底的对数）；10．符号函数sgn(x)；11．四舍五入函数round(x)；12．截尾函数trunc(x)。
【说明】（1）本课件是用几何画板4.07版制作，方法同样适合4.0以上所有版本。
1新课标数学几何画板课件制作实例教程（2）几何画板4.01到4.06版本中的“构造”菜单，在4.07中与“作图”菜单对应。
2新课标数学几何画板课件制作实例教程。
绝对值函数
• = ������������+������ + ������������+������ + ⋯ + ������������������−������ − ������������ + ������������ + ⋯ + ������������−������
应用
• 例1、（2011年陕西省理科高考试题第14题）植树节某班20名同学 在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始 时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前 来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 。
������
������������ − ������������ − ������������ ������ > ������������ • ������ = ������������ − ������������ ������������ ≤ ������ ≤ ������������ −������������ + ������������ + ������������ ������ < 图像
• 作函数������ = ������������ − ������ + ������������ + ������ 的图像
������
• ������ =
−������������ − ������ ������ ≤ −������
������ ������������ + ������ ������ ≥ ������ ������ ������ −������ ≤ ������ ≤ ������
绝对值函数
绝对值函数的图像
正方形绝对值函数图像画法总结
正方形绝对值函数图像画法总结今天我就来和大家分享一下吧。
正方形绝对值函数有三个解析式：x=-1/(1- sinx)， x=1/2， x=3/4。
当且仅当正方形内部对角线互相垂直时，正方形内部各点的横坐标与纵坐标的差都为0，此时它们都可以表示为一个常数 c。
但是正方形不能单独使用函数图像表达其面积，而必须把正方形作为一个整体考虑，通过分割将这些表达在一起，即由点到面积的映射来确定函数的值域，从而得出函数的具体解析式。
首先需要指明的是，正方形绝对值函数的解析式和它所代表的图象都是在平面上描绘出来的，因此它只是研究函数的一种特殊方式，本质还是利用实数系进行运算，而其他类型的函数也可以借鉴这种思想。
例如，直线上的点到直线的距离的两种情况、抛物线中心点的轨迹等。
其次，在一般函数学习的基础上，简化了很多复杂的计算过程。
另外，与直线相交的直线段中垂线的斜率是负值。
最后，还需说明的是：正方形绝对值函数在解题时主要应用了对称性原理。
在求函数值域问题中，往往存在一些特殊位置关系或者具有某种对称性。
通过分别找出函数图像的对称轴及反对称轴，并根据函数对称轴及反对称轴上的点来判断函数值域。
正方形绝对值函数的图像很好地展现了自变量取决于因变量的对称关系，由对称性的引入可使问题易于处理，也有助于突破数列难点，让函数概念更加清晰。
同时，利用正方形绝对值函数的对称性，便于建立变量间的等量关系，将其转化成求函数值域的问题。
还有在多元函数问题中，常会遇到当 n 个变量的乘积仍为常数，然后再对各变量做变号处理，求该常数的几何意义的问题，利用正方形绝对值函数的对称性便于操作，这里就不赘述了。
第一种情况是，若正方形对角线所围成的矩形中，对角线两边长度之比等于1.5:1时，则该函数解析式为 x=-1/(1- sinx);若正方形对角线所围成的矩形中，对角线两边长度之比小于1.5:1时，则该函数解析式为 x=1/2;若正方形对角线所围成的矩形中，对角线两边长度之比大于1.5:1时，则该函数解析式为 x=3/4。
[原创]绝对值函数的作图
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[原创]绝对值函数的作图
绝对值函数的作图
大罕
含绝对值的函数分为三种情况。
一是函数式的一部分含有绝对值另一部分不含（称为部分“绝”）；二是函数式整个在绝对值之下（称为整体绝）；三是凡x处含有绝对值（称为x绝）。
本文的独到之处就是总结出以上三种情况，这样教给学生，脉络清晰，易懂好记，效果显著。
一部分“绝”——化为分段函数，分段画；
例⑴ y=|x-2|(x+1)
例⑵ y＝|x2－2x－3|－x
二整体绝——上留下翻（x轴上方的图像保留，x轴下方的图像翻转上去）
例⑶ y＝|2x2+x－1| ；
例⑷ y=|1/(x-1)| ；
三 x绝——右留翻左（y轴右方的图像保留，并把它翻转到y轴左方去）
例⑸ y＝2x2+|x－1| ；
例⑹ y=1/(|x|-1) ．。
函数型绝对值的图像总结
函数型绝对值的图像研究类似于y=±这种结构的函数的最值问题和值域问题，最好的方法是通过分类讨论，按照分段函数的方式画出其图像。
但是在考试中，经常有几种常考的形式。
如果我们能熟练记住这几种常考形式的函数图像，则在做题时可以做到心中有底气，且尤其在做小题时，速度会比较快。
一、差型常考形式=---，可以看成分段函数进行作图。
其图像呈现Z型特点。
下面把其类似于y x a x b图像特征总结如下：因此画该函数的图像只需要把握：（1）x取a和b时的两个点（2）顺着这两个点描出z字型即可（3）其中中间斜线与x轴的交点是a和b的中点二、和型常考形式=-+-1、基础形式：y x a x b该函数的图像为“碗状”结构，如下图因此画该函数图像，只需要把握：（1）取x=a 和x=b 两个点（2）然后根据这两个点描出碗状结构即可2、推广形式：y cx a dx b =-+-该函数的图像是“斜碗状”，直接以一个具体函数为例吧。
例如211y x x =-++的图像如下画该函数图像只需要把握：（1）分别让两个绝对值为0得到两个点（2）以这两个点为基础描出斜碗状即可三、典例例1 作草图（1）12y x x =-++（2）12y x x =+++（3）12y x x =--+（4）122y x x =-++解：如下图例2 （1）求函数31y x x =--+的最大值和最小值（2）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集为空集，求参数a 的取值范围 解析：（1）可用分段函数法画出该函数的图像，如下41221343x y x x x ≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩图像如下因此最大为4，最小-4（2）令34y x x =-+-，画出其草图如下因此必有1a ≤ 例3 已知关于x 的不等式18x x a -++≤的解集不是空集，则a 的最小值是多少 解析：令1y x x a =-++，根据其图像特征，当x=1时，y 最小为|1+a|，如下图显然必有y=8与该函数图像有交点，必有18a +≤，得到97a -≤≤，因此a 最小为-9。
x-y的绝对值等于零的图像
x-y的绝对值等于零的图像y等于x绝对值的函数图像如下图：y=|x|是分段函数。
x≥0时 y=x。
x《0时 y=-x。
图像是一二象限的角平分线。
扩展资料：绝对值函数的定义域是一切实数，值域是一切非负数。
在计算机语言或计算器中，绝对值函数常记作abs(x) 。
（1）绝对值函数是偶函数，其图形关于y轴对称。
（3）绝对值函数仅在原点不可微，其他点处可微。
（4）与符号函数的关系：∣x∣=sgn(x)·x 或 x=sgn(x)·∣x ∣。
参考资料：百度百科---绝对值函数带有绝对值的函数图像怎么画最根本的方法就是找绝对值的零点，然后消去绝对值，分段画图像。
最简单的比如y=|x|，显然，绝对值内的零点是x=0，那么你就分两段来讨论，x≤0和x＞0，可得x≤0时的图像是y=-x，x＞0时的图像为y=x，是个V字形。
复杂一点的比如y=|(x-1)(x+5)|+|(x-3)(x+4)|可以看到，这里要去除的绝对值符号有两个，因此需要同时判断两个绝对值符号内代数式的正负。
首先还是找零点，两个绝对值的零点共有四个，分别是x=-5,x=-4,x=1和x=3，那么你就需要将整个数轴分成5段来考虑，分别是(-∞,-5)、(-5,-4)、(-4,1)、(1,3)和(3,+∞)，分界点带进去算，是多少就是多少，分段考虑每个绝对值符号内代数式的正负。
比如(-4,1)这个区间，(x-1)(x+5)《0的区间是-5到1，因此，-4到1这个区间内，(x-1)(x+5)《0成立，而(x-3)(x+4)＜0可得-4到3，因此，-4到1区间内，(x-3)(x+4)也是小于0的，因此就消去了绝对值符号可得在该区间内的函数表达式为y = -(x-1)(x+5)-(x-3)(x+4) = -2x²-5x+17原来的绝对值函数在-4到1这个区间内的就是函数y = -2x²-5x+17在该区间内的一段。
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绝对值函数图象的速画法
高中数学涉及了诸多函数问题，解这类题若能用图象辅助思考，往往有事半功倍之效。
但遗憾的是，学生要么对图象形状不熟悉，不知怎么画图；要么觉得画图程序繁琐，懒于画
出图象。
下面简介高中数学中常见而学生又甚感困难的绝对值函数图象的速画法，以帮助提高作图速度，培养作图兴趣。
一、用“三点定形法”画单绝对值函数 f ( x) a x h k(a0) 的图象
f ( x) a x h k( a 0) 与g( x)a(x h) 2k (a0) 的图象类似，它们的顶点都
是（ h, k ），开口方向相同，对称轴相同，单调区间相同。
所不同的是前者的图象是折线，
在对称轴两侧是两条射线，而后者的图象是抛物线，在对称轴两侧是两条曲线。
所以可用三点定其型。
三点中，顶点（h, k ）必取，然后在其两侧任意各取一点，分别以顶点为端点，
过另一点作出射线，即得 f ( x) a x h k(a 0) 的图象。
例：已知函数 f ( x) a x b 2在 0, 上单调递增，则 a、b 的取值范围是。
分析：当 a=0 时，f ( x) 2 为常数函数，不具单调性；
当 a 0 时，其顶点(b,2)总在直线y=2上，若 a 0，图象开口向下(见图1)，总不满足
条件；若 a 0 ，图象开口向上，当 b 0 时，函数 f ( x)在0, 不单调 (见图 2)；当b 0 ，函数 f (x) 在 0, 单调 (见图 3)。
所以 a、 b 的范围应是a 0, b 0.
4
4
4
2
A
2
2 A
B
B
5 10 15 20
10
图 1 5 10 5
图 2 15 20
图 3 B
A
-2
-2
-2
-4
-4
-4
二、用“三点定形法”作双绝对值和式函数 f (x) x a x
-6
-6
-6
-8
-8
-8
a = -1.
b (a b = b0.)9的图象
r x =x-b +2
s x =
a = 2.2
b = 0.9
r x =x
s x =
-10
-10
-10
2 x (a b)
(x a)
因为 f ( x)
x a x b b a
(a
x b) ，可见其图象是由一条水
2x (a b)
( x b)
平线段左端加一条向左上方延伸的射线
(因其斜率为负 )，右端加一条向右上方延伸的射线
(因
其斜率为正 )组成的图形，而图象总是在绝对值代数式的零点处转折。
又联立以上分段函数
y 2 x (a b)
a b
x 2
x 轴上
两侧解析式 2x
(a b) 解得， ，可知左右两侧射线延长线必交于 y y 0
的 点
(
a b
,0)。
据 此 ， 可 以 三 点 (a, f (a)), (b, f (b)), (
a b
,0)
确定函数
2
2
f ( x) x a x b (a b) 的图形，称为“三点定形法” 。
例：作函数 f ( x)
x 1
x 3 的图象
解：先确定此函数的两个绝对值代数式的零点为：－
1 和 3。
因为
4
B
1 3
A
f ( 1) 4, f (3) 4,
1，所以在平面直角坐标系中先作出
A(－
2
2
1,4)、B(3,4)、C(1,0)三点；连接线段 AB ，再作射线 CA ，CB ；注意作图时
C
5
线段 CA 、CB 部分可以不画出，也可以作作成虚线
(如图 4)。
图 4
-2
以上方法仅适用于绝对值中自变量
x 的系数为 1 时的快速作图。
-4
三、用“两点定形法”作双绝对值差式函数
f (x)
x a
x b 的图象
-6
a b
( x a)
当 a<b 时， f (x)
x
a
x b
2x
a b (a x
-8
b) ，可见其图象是由两
b a
( x
b)
-10
端为两条平行的射线，
中间为连接两射线的端点构成的图形， 而图
象总是在两个绝对值代数式的零点处转折。
当
a>b 时同理。
据此，
2
可以点 ( a, f (a)), (b, f (b)) 确定函数
f ( x) x a x b 的图
象。
-2
例：作函数
f ( x) x 3 x 1
-4
A
5
10
图 5
B
解：先确定两个绝对值代数式的零点为：
1 和 3。
因为 f (1) 2, f (3)
2 ，所以在坐
-6
-8
-10
标平面内先作点A(1,2), B(3,－ 2)，连接线段AB，再过 A 作向左延伸的水平射线，过 B 作向右延伸的水平射线即可(见图 5)。
以上方法仅适用于绝对值中自变量x 的系数为 1 时的快速作图。
四、用“多点定形法”作多绝对值函数
f ( x) m1 x a1 m2 x a2 m i x a i ( a1 a2 a i ) 的图象
( m1 m2 m i )x (m1a1 m2 a2 m i a i ) (x a1 )
( m1 m2 m i )x ( m1 a1 m2 a2 m i a i ) ( a1 x a2 ) 因为 f ( x)
( m1 m2 m i ) x ( m1a1 m2 a2 m i a i ) ( x a i ) 可知其图象是由i 个顶点A1、A2、、A i决定的折线图，各顶点横坐标由各绝对值代数式的零点决定，中间由i 1 条顺次连接相邻两点的线段组成，两端为两条射线。
下面分
情况讨论两条射线的画法：
当
m1 m2当
m1 m2
y(m1 m2 y ( m1 m2
m1 a1m2a2 x
m1m2 y 0 m i 0时，则首尾两段图象斜率为0，可见其图象均为水平射线；
m i 0时，联立首尾两段的解析式有m i )x ( m1 a1 m2 a2 m i a i )
得m i ) x (m1a1 m2 a2 m i a i )
，
m i a i
m i ，可知首尾两射线必相交于 x 轴上的点 A0
（m
1
a
1 m
2 a2
m
i
a
i ,0 ），因此只需作出射线 A0 A1和 A0 A i
然后去掉线段m1 m2 m i
A0 A1和
A0 A i，就可以得到首尾两条射线。
2 B G F
当然，也可以在x a1与 x a i的范围内各取一点来作两侧
的两条射线。
例：作函数 f ( x) 2x 1 3x 4 的图象。
解： f (x) 2x 1 3x 4 2 x 1 3 x 4 ，其绝对值
2 3
C
510
-2
A图 6
-4
-6
-8
-10
代 数 式 的 零 点 为
1
和 4 ,计算 f ( 1 ) 5
, f ( 4
) 5 ，所以图象两顶点为
2 3 2
2 3 3 1 5 4 5
1 4 ，纵坐标为 0。
所以作点 C （3,0）。
A(
,
),B( ,
) ，两侧两射线交点横坐标为
2
3
2
2
3 3
3
连接线段 AB ，作射线 CA 、CB 并去除线段 CA 、 CB 即得所作图象（见图
6 ）。
也可由 f (0) 3, f (4) 1 ,作出点 D (0, 3), E(4, 1) ,作射线 AD 、BE ，而得两侧图象。
参考文献
1
周学文、南山、姜文清
. 含绝对值的函数［ J ］ .中学数学教学参考， 1995,7。