2004年考研数学三真题

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim

0=--→b x a

e x

x x ，则=a ______，=b ______. (2) 设函数),(v u f 由关系式)()],([y g x y y xg f +=确定，其中函数)(y g 可微，且

0)(≠y g ，则2f

u v

∂=

∂∂.

(3) 设⎪⎩

⎪⎨⎧≥

-<≤-=21,12121,)(2

x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.

(4) 二次型2

132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .

(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>

}{DX X P _______.

(6) 设总体X 服从正态分布),(2

1σμN , 总体Y 服从正态分布),(2

2σμN ,1,,21n X X X 和

2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则

12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤

-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

∑∑.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2

)

2)(1()

2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).

(C) (1 , 2).

(D) (2 , 3).

(8) 设)(x f 在(-∞,+∞)内有定义，且a x f x =∞

→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0

,00

,)1()(x x x f x g ，则

(A) 0=x 必是)(x g 的第一类间断点.

(B) 0=x 必是)(x g 的第二类间断点. (C) 0=x 必是)(x g 的连续点.

(D) )(x g 在点0=x 处的连续性与a 的取值有关.

(9) 设)1()(x x x f -=，则

(A) 0=x 是)(x f 的极值点，但)0,0(不是曲线)(x f y =的拐点. (B) 0=x 不是)(x f 的极值点，但)0,0(是曲线)(x f y =的拐点. (C) 0=x 是)(x f 的极值点，且)0,0(是曲线)(x f y =的拐点. (D) 0=x 不是)(x f 的极值点，)0,0(也不是曲线)(x f y =的拐点.

(10) 设有下列命题：

(1) 若

∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞

=1

n n u 收敛.

(2) 若

∑∞

=1

n n u 收敛，则∑∞

=+1

1000n n u 收敛.

(3) 若1lim

1

>+∞→n

n n u u ，则∑∞

=1

n n u 发散. (4) 若

∑∞=+1

)(n n n v u 收敛，则∑∞=1

n n u ，∑∞

=1

n n v 都收敛.

则以上命题中正确的是

(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4).

(11) 设)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f )(a f >. (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f )(b f >. (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .

(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.

(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有

(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ]

(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*

≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的

互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.

(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.

(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{, 若αx X P =<}|{|, 则x 等于

(A) 2

αu . (B) 2

1αu

-. (C) 2

1αu -. (D) αu -1.

三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)

求)cos sin 1(

lim 2

220x x

x x -→.

(16) (本题满分8分)

求

⎰⎰++D

d y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的

平面区域(如图).

(17) (本题满分8分)

设)(x f , )(x g 在],[b a 上连续，且满足

⎰⎰≥x

a

x

a

dt t g dt t f )()(，],[b a x ∈，

⎰⎰=b

a

b

a dt t g dt t f )()(.

证明：

⎰⎰≤b

a b a dx x xg dx x xf )()(.

(18) (本题满分9分)

设某商品的需求函数为P Q 5100-=，其中价格)20,0(∈P ,Q 为需求量.