微积分B知识点
微积分知识点简单总结
微积分知识点简单总结1. 函数的导数函数的导数描述了函数在某一点处的变化率，可以简单理解为函数的斜率。
导数的定义为函数在某一点处的极限，即$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$。
导数的计算可以使用求导法则，包括常数倍法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则、商法则等。
2. 高阶导数函数的导数可以进行多次求导，得到的导数称为高阶导数。
高阶导数可以描述函数更加详细的变化情况，例如速度、加速度等概念。
3. 函数的微分微分是导数的一种形式，描述了函数在某一点附近的线性近似。
微分的定义为$dy=f'(x)dx$，可以理解为函数在某一点处的微小改变量。
微分可以用于估计函数的变化，以及在计算积分时的一些技巧和方法中。
4. 不定积分不定积分是积分的一种形式，用于求解函数的原函数。
不定积分的记号为$\intf(x)dx=F(x)+C$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数，$C$为积分常数。
不定积分的计算可以使用换元法、分部积分法、有理函数的积分等一系列的积分法则。
5. 定积分定积分是积分的一种形式，用于计算函数在一个区间上的累积变化。
定积分的计算可以使用牛顿-莱布尼茨公式，也可以使用定积分的近似计算法，如矩形法、梯形法、辛普森法等。
6. 微积分基本定理微积分基本定理是微积分的核心定理之一，描述了导数和积分的关系。
第一部分定理称为牛顿-莱布尼茨公式，表明了函数的不定积分可以表示为函数的定积分。
第二部分定理描述了定积分的求导运算，即若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数。
7. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用，描述了含有未知函数及其导数的方程。
微分方程可以是常微分方程或偏微分方程，按照阶数、线性性质、系数等分类。
微分方程在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用，例如描述物体的运动、电路的动态行为、人口增长等问题。
高等数学b2大一知识点
高等数学b2大一知识点高等数学是大一学生在理工科、经济学等领域中必修的一门课程。
在高等数学B2中，学生将进一步学习微分学和积分学的更深层次的知识和应用。
本文将对高等数学B2课程中的一些重要知识点进行探讨和解释。
一、微分学微分学是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化和变化率。
在高等数学B2中，学生会深入学习函数的导数和微分的性质，以及一些常见函数的导数公式。
1. 函数的导数函数的导数在微分学中有着重要的地位。
导数定义了函数的变化率，可以表示函数在某一点处的斜率。
导数的求解方法有很多种，常见的方法包括用导数的定义计算、使用导数的性质进行运算等。
2. 常见函数的导数公式在微分学中，有很多常见函数的导数公式。
例如，对于多项式函数，其导数可以通过求取每一项的导数再求和得到。
对于指数函数和对数函数，其导数具有特定的性质和公式。
此外，三角函数和反三角函数的导数也是微分学中的重要内容。
3. 微分的应用微分的应用非常广泛，特别是在物理学和工程学中。
例如，通过对物体的位移函数进行微分，可以得到速度函数；再次对速度函数进行微分，可以得到加速度函数。
在经济学中，微分还可以用来解释供求关系、市场竞争等经济现象。
二、积分学积分学是微分学的逆向过程，研究的是函数的面积和变化量。
在高等数学B2中，学生将学习积分的定义、性质以及一些常见函数的积分法。
1. 积分的定义积分的定义是通过分割一个区间，将函数的值进行求和得到。
其中，定积分是指将函数在一个区间上的面积进行计算。
不定积分是指求取函数的原函数，即求取导数的逆过程。
2. 常见函数的积分法在积分学中，有很多常见函数的积分法。
例如，多项式函数的积分可以通过反向运用导数的公式进行计算。
三角函数和反三角函数的积分具有一些特殊的形式和性质。
此外，指数函数和对数函数的积分也有一些特定的方法。
3. 积分的应用积分的应用也非常广泛，特别是在物理学和统计学中。
例如，在物理学中，通过对速度函数进行积分，可以得到位移函数；再次对位移函数进行积分，可以得到加速度函数。
微积分B2知识点
微积分B2复习要点一 题型1.填空题( 3×7=21分)；2.单项选择题(3×6=18分)；3.计算题(51分)；4.解答题(10分)二 知识点第七章 向量代数与空间解析几何空间曲面的方程(平面、球面、柱面、旋转曲面)例 求球心为点),,(0000z y x M ，半径为R 的球面方程 例 平面直角坐标系中 224x z +=的图形是 圆 ，空间直角坐标系中 224x z +=的图形是 圆柱面 。
例 XOZ 面上224x z +=绕x 轴旋转一周后的旋转体方程为 。
第八章 多元函数微分学1.二元函数的定义域；例1 求函数z =的定义域D .解 要使z =有意义, 应有22440x y --?,即2214y x +?.故 22(,)14y D x y x 禳镲镲=+?睚镲镲铪例2 求ln()z x y =-的定义域D .解 要使ln()z x y =-有意义, 应有0x y ->, 故 {}(,)0D x y x y =->. 例3求函数z =的定义域D 。
解要使z =, 应有22224010x y x y ìï--?ïíï+->ïî, 即 2214x y <+?, 故 {}22(,)14D x y x y =<+?2.二元函数的极限的计算；定义 如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当δρ<-+-=<20200)()(y y x x 时，ε<-A y x f ),(恒成立，则称当),(y x 趋于),(00y x 时，函数),(y x f 以A 为极限。
记作 A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00 或 A y x f =→),(lim 0ρ例 求2222001yx y x y x ++→sin)(lim ),(),( 解 当00→→y x ,时022→+y x ，1122≤+yx sin由于无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量，所以2222001yx y x y x ++→sin)(lim ),(),(0= 3.多元函数偏导数计算； （1）一阶偏导数的计算； （2）全微分的计算；概念：函数(,)z f x y =的全微分为z z dz dx dy x y∂∂=+∂∂ 例 求函数2235z x y x y =-+的全微分．解 因为2223,25z zxy x y x y∂∂=-=+∂∂， 所以 22(23)(25)dz xy dx x y dy =-++．（3）多元复合函数的偏导数的计算；概念：设(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ϕψ===，若(,),(,)u x y v x y ϕψ==在点(,)x y 处偏导数存在，而(,)z f u v =在对应点(,)u v 处可微，则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 处可导，且z z u z v x u x v xz z u z v y u y v y∂∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂⎪=⋅+⋅∂∂∂∂∂⎪⎩例 已知22153,cos ,cos z u v u x y v y x =-+==，求,z zx y∂∂∂∂． 解 由链式法则有 226cos 2(sin )6cos sin 2z z u z vu y v y x x y y x x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅-=--∂∂∂∂∂． 用同样的方法，可得223sin 22cos zx y y x y∂=+∂ （4）隐函数的偏导数的计算；例：设(,)z z x y =是由方程z x y z e ++=确定的隐函数，试求,.z z x y∂∂∂∂ （5）抽象函数求导例 求复合函数(,)y z f xy x =的一阶偏导数x z∂∂和yz ∂∂。
微积分知识点总结ppt
微积分知识点总结ppt一、基本概念1. 导数的定义：导数的定义是函数在一点的导数，是该函数在这一点的切线的斜率。
2. 导数的性质：基本公式，和，积，商法则等。
3. 函数的极值：通过导数求函数的极值点及极值。
4. 函数的单调性：通过导数研究函数的单调性。
5. 函数的凹凸性：通过导数研究函数的凹凸性。
二、微分学1. 微分的概念：微分是函数在某一点处的导函数的表现，是切线的截距。
2. 微分的计算：通过导函数求微分。
3. 微分的应用：微分在函数的近似计算，误差估计及优化问题中的应用。
三、积分学1. 不定积分：通过求导数的逆运算求不定积分。
2. 定积分：通过Riemann和定积分求解面积及曲线弧长等问题。
3. 定积分的性质：定积分的基本性质及计算公式。
4. 定积分的应用：定积分在物理，力学，生物等领域的应用。
四、微积分基本定理1. 微积分基本定理的概念：微分与积分之间的关系。
2. 牛顿—莱布尼兹公式：微积分基本定理的应用。
3. 微积分基本定理的证明：微积分基本定理的几何和代数证明。
4. 微积分基本定理的应用：微积分基本定理在实际问题中的应用。
五、一元函数微积分1. 一元函数极限：一元函数极限的概念及计算方法。
2. 一元函数连续性：一元函数连续性的概念及计算方法。
3. 一元函数导数：一元函数导数的概念及计算方法。
4. 一元函数积分：一元函数积分的概念及计算方法。
六、多元函数微积分1. 多元函数极限：多元函数极限的概念及计算方法。
2. 多元函数连续性：多元函数连续性的概念及计算方法。
3. 多元函数偏导数：多元函数偏导数的概念及计算方法。
4. 多元函数积分：多元函数积分的概念及计算方法。
七、微分方程1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义及分类。
2. 微分方程的解法：微分方程的解法及技巧。
3. 微分方程的应用：微分方程在物理，工程等领域的应用。
八、泰勒级数与麦克劳林级数1. 泰勒级数：泰勒级数的定义及计算方法。
微积分笔记整理
微积分笔记整理以下是一份微积分笔记整理的示例，涵盖了微积分的一些关键概念和公式：一、导数（Derivative）1. 定义：函数在某一点的切线斜率。
2. 公式：$(f(x+h)-f(x))\div h$（当$h$趋近于$0$时）。
3. 导数的意义：- 函数的变化率。
- 曲线的切线斜率。
- 判断函数的单调性。
二、微分（Differential）1. 定义：函数在某一点的切线增量。
2. 公式：$df=f^\prime(x)dx$。
3. 微分的意义：- 切线的近似值。
- 函数的增量。
三、积分（Integral）1. 定义：函数在某个区间上的面积。
2. 公式：$\int_{a}^{b}f(x)dx$。
3. 积分的意义：- 函数的面积。
- 函数的平均值。
- 求导的逆运算。
四、微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）1. 牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula）：若$F^\prime(x)=f(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。
2. 不定积分（Indefinite Integral）：函数的原函数族。
3. 定积分（Definite Integral）：函数在某个区间上的确定积分值。
五、常见函数的导数和积分1. 常数函数：导数为$0$，积分为$cx$（$c$为常数）。
2. 线性函数：导数为常数，积分为$cx+d$（$c$、$d$为常数）。
3. 指数函数：导数为指数本身，积分为指数加$1$的反函数。
4. 对数函数：导数为$\frac{1}{x}$，积分为$x\ln|x|+c$。
5. 三角函数：正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为负的正弦函数；积分根据不同的三角函数有不同的公式。
《微积分基本定理》 知识清单
《微积分基本定理》知识清单一、微积分基本定理的引入在微积分的发展历程中，微积分基本定理的出现具有里程碑式的意义。
为了更好地理解它，我们先来思考一个简单的问题。
假设我们知道一个物体的速度随时间的变化函数，那么如何求出这个物体在一段时间内移动的距离呢？或者反过来，如果我们知道物体移动的距离与时间的关系，如何求出它在某一时刻的瞬时速度呢？这就是微积分要解决的核心问题之一，而微积分基本定理为我们提供了一种强大的工具和方法。
二、微积分基本定理的内容微积分基本定理，也被称为牛顿莱布尼茨公式，它表明：如果函数＼（F(x)＼）是连续函数＼（f(x)＼）在区间＼（ a, b ＼）上的一个原函数，那么＼（＼int_{a}＾｛b}f(x)dx ＝ F(b) F(a)＼）。
简单来说，就是定积分的值等于被积函数的某个原函数在区间端点处的值的差。
这里要解释几个关键概念。
原函数，是指如果在区间＼（I\）上，＼（F'（x) ＝ f(x)＼），那么＼（F(x)＼）就称为＼（f(x)＼）在区间＼（I\）上的一个原函数。
三、微积分基本定理的证明要证明微积分基本定理，需要用到一些较为复杂的数学知识和方法。
首先，通过分割区间、近似求和、取极限等步骤，将定积分的定义与原函数的概念联系起来。
然后，利用导数和极限的性质，经过一系列严谨的推导和计算，最终得出微积分基本定理的结论。
这个证明过程虽然复杂，但它展示了数学的严密性和逻辑性。
四、微积分基本定理的应用微积分基本定理在数学和其他领域都有广泛的应用。
在数学中，它可以用于计算各种复杂的定积分，简化计算过程。
例如，计算曲线围成的面积、旋转体的体积等。
在物理学中，它可以用于求解位移、速度、加速度之间的关系，以及计算功、能量等物理量。
在工程学中，它可以用于分析电路、力学系统等。
在经济学中，它可以用于计算成本、收益等经济指标。
五、利用微积分基本定理计算定积分的步骤第一步，确定被积函数＼（f(x)＼）。
微积分BII复习知识点
微积分BII复习知识点微积分 BII 是高等数学中的重要部分，涵盖了众多关键的知识点。
为了帮助大家更好地复习，以下将对一些重要的内容进行梳理。
一、多元函数的极限与连续多元函数的极限是一个较为复杂的概念。
与一元函数不同，多元函数的极限需要考虑多个方向的趋近情况。
判断多元函数极限是否存在，需要通过不同路径的趋近来验证。
如果沿着不同路径趋近得到的极限值不同，那么该多元函数的极限就不存在。
连续的概念与一元函数类似，若多元函数在某点的极限值等于该点的函数值，则称函数在该点连续。
二、偏导数偏导数是多元函数微积分中的重要概念。
对于多元函数，我们固定其他变量，只对一个变量进行求导，得到的就是偏导数。
求偏导数时，需要把其他变量看作常数。
例如，对于函数＄z ＝f(x,y)＄，关于＄x$ 的偏导数记为＄＼frac{＼partial z}｛＼partial x}＄，计算时把＄y$ 当作常数；关于＄y$ 的偏导数记为＄＼frac{＼partial z}｛＼partial y}＄，计算时把＄x$ 当作常数。
偏导数的几何意义也很重要。
比如，函数＄z ＝ f(x,y)＄关于＄x$ 的偏导数在某点的值，表示函数在该点沿＄x$ 轴方向的变化率。
三、全微分全微分是描述多元函数在某点附近微小变化的一个重要工具。
若函数＄z ＝ f(x,y)＄的全增量可以表示为＄＼Delta z ＝ A\Delta x ＋ B\Delta y ＋ o(＼sqrt{（＼Delta x)＾2 ＋（＼Delta y)＾2}）＄，其中＄A$ 和＄B$ 为常数，则称函数＄z ＝ f(x,y)＄在点＄（x,y)＄可微，＄A\Delta x ＋ B\Delta y$ 称为函数的全微分，记为＄dz ＝A\Delta x ＋ B\Delta y$。
全微分的计算通常是先求出偏导数，然后将偏导数乘以相应的自变量增量即可。
四、多元复合函数求导多元复合函数的求导法则较为复杂，需要分清函数的复合关系，然后使用链式法则进行求导。
微积分知识点概要
微积分(知识点概要)微积分 (知识点概要)第一章函数、极限与连续1．1函数定义与符号1．2极限概念与运算法则1．3求极限的方法1．4函数的连续性1．1函数的定义（P1）1函数的定义1．若变量x、y之间存在着确定的对应关系，即当x的值给定时，唯一y值随之也就确定，则称y是x的函数，记为y=f(x)。
2．确定函数有两个要素：函数的定义域和对应关系。
例如：y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数，因为它们的定义域不同。
2函数记号一旦在问题中设定函数y=f(x)，记号“f”就是表示确定的对应规则，f（3）就是表示按此对应规则在x=3时所对应的函数值y等。
3初等函数（P6）称幂函数x k（k为常数），指数函数a x ，对数函数loga x （a为常数，a﹥0，a≠1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。
凡由基本初等函数经有限次．．．加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数，称为初等函数。
4函数的简单性质（1）有界性：（P5）对于函数f(x)，若存在常数M、m对定义域内所有xf(x)≤M 称f(x)有上界f(x)≥m 称f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。
（2）奇偶性：（P3）若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间，又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。
f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。
（3）单调性：（P4）若函数f(x)在[a、b]上有定义对∀x∊[a、b]x1﹤x2时f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘（4）周期性:(P5)若存在常数a(a≠0)，使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数a 为f(x)的周期。
1．2极限概念与运算法则1极限的直观定义（P11）当一个变量f(x)在x →a 的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b ，则称变量f(x)在x →a 的过程中极限存在。
(精校版)微积分B
(精校版)微积分B
微积分是现代数学的一个重要分支，也是自然科学和工程技术
领域中最有用和广泛应用的数学工具之一。
微积分的研究对象是函数，通过对函数的研究，我们可以求解函数的极限、导数、积分等，从而理解和解决实际问题。
微积分在物理学、化学、计算机科学等
领域中都有着广泛应用，不仅为研究者提供了更为严谨和精确的分
析工具，也是掌握现代科学和技术的基本数学工具之一。
微积分B是微积分课程的进阶部分，主要包括多元函数微积分、向量微积分、线性代数等内容。
多元函数微积分是微积分的重要分
支之一，它研究多元函数的极限、偏导数、梯度、方向导数、多元
函数的泰勒展开式等。
向量微积分则是研究向量场的积分、曲线积分、曲面积分、格林公式等。
线性代数则是数学的重要分支之一，
它研究向量空间、矩阵、线性变换和其它相关概念和定理。
这三个
部分都是微积分的基础和延展，掌握微积分B的知识对于继续研究
和研究相关领域的数学、物理和工程等学科都有着重要的意义。
因此，学好微积分B是每个数学、物理和工程等学科的学生必
须经历和完成的过程。
在研究过程中，我们应该把握以下几个要点：
一是理解概念，掌握公式；二是注重实践，多做题，加深印象；三是做好笔记，归纳总结。
通过有效的研究方法和充分的实践训练，我们可以更好地掌握微积分B的知识，为以后的研究和研究打下坚实的基础。
总之，精通微积分B的知识对于我们的学习和研究都是非常重要的。
希望每个学生能够珍惜学习机会，用心学习，掌握微积分B 的知识，为以后的学习和研究奠定坚实的基础。
大一(上)-微积分-知识点(重点)
大一（上） 微积分 知识点第一章 函数一、A ⋂B=∅,则A 、B 是分离的。
二、设有集合A 、B ，属于A 而不属于B 的所有元素构成的集合，称为A 与B 的差。
A-B={x|x ∈A 且x ∉B}（属于前者，不属于后者）三、集合运算律：①交换律、结合律、分配律与数的这三定律一致； ②摩根律：交的补等于补的并。
四、笛卡尔乘积：设有集合A 和B ，对∃x ∈A,∃y ∈B ，所有二元有序数组（x,,y ）构成的集合。
五、相同函数的要求：①定义域相同②对应法则相同六、求反函数：反解互换七、关于函数的奇偶性，要注意：1、函数的奇偶性是就函数的定义域关于原点对称时而言的，若函数的定义域关于原点不对称，则函数无奇偶性可言，那么函数既不是奇函数也不是偶函数；2、判断函数的奇偶性一般是用函数奇偶性的定义：若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f =-成立，则)(x f 为偶函数；若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f -=-成立，则)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-不能对所有的)(f D x ∈成立，则)(x f 既不是奇函数也不是偶函数；3、奇偶函数的运算性质：两偶函数之和是偶函数；两奇函数之和是奇函数；一奇一偶函数之和是非奇非偶函数（两函数均不恒等于零）；两奇（或两偶）函数之积是偶函数；一奇一偶函数之积是奇函数。
第二章 极限与连续一、一个数列有极限，就称这个数列是收敛的，否则就称它是发散的。
二、极限存在定理：左、右极限都存在，且相等。
三、无穷小量的几个性质：1、limf(x)=0，则2、若limf(x)=)(lim x g =0，则0)()(lim =+x g x f3、若limf(x)=)(lim x g =0，则lim )(x f ·)(x g 0=4、若g(x)有界（|g(x)|＜M ），且limf(x)=0，则limf(x)·g(x ）=0四、无穷小量与无穷大量的关系：①若y 是无穷大量，则y 1是无穷小量；②若y （y ≠0)是无穷小量，则y1是无穷大量。
高等数学b大一知识点总结
高等数学b大一知识点总结大一高等数学B知识点总结高等数学B是大一学生在数学学科中的必修课程，是数学分析的进阶阶段。
它包含了微积分、线性代数和概率统计等重要内容。
在本文中，我将对大一高等数学B课程的重点知识进行总结。
一、微积分1. 极限与连续- 数列极限及其性质- 函数极限及其性质- 无穷小与无穷大- 连续的定义与性质2. 导数与微分- 函数的导数定义及性质- 常见函数的导数- 高阶导数与隐函数求导- 微分的定义及性质3. 微分中值定理与导数应用- Rolle定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理 - 函数的单调性与极值- 函数图像的描绘与分析- 泰勒公式及其应用4. 不定积分- 不定积分的概念与性质- 基本不定积分表与常用积分公式- 分部积分法与换元积分法- 定积分的定义与性质5. 定积分与反常积分- 定积分的几何与物理意义- 定积分的计算方法- 反常积分的概念与判敛方法 - 广义积分的收敛性与计算二、线性代数1. 行列式与矩阵- 行列式的定义与性质- 行列式的计算方法- 矩阵的基本概念与运算- 逆矩阵及其求解2. 线性方程组- 线性方程组的解的存在唯一性 - 线性方程组的矩阵表示- 线性方程组的解的判定条件 - 矩阵的秩与方程组解的关系3. 向量空间与线性变换- 向量空间的基本概念与性质- 子空间与线性相关性- 线性变换的定义与性质- 线性变换的标准矩阵表示4. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义与性质 - 特征值与特征向量的计算方法 - 对角化与相似矩阵- 线性变换的几何意义三、概率统计1. 随机变量与分布函数- 随机变量的定义与分类- 累积分布函数与概率密度函数- 常见离散型和连续型随机变量2. 随机变量的数字特征- 数学期望与方差的定义与计算- 切比雪夫不等式与大数定律- 常见离散型和连续型随机变量的数字特征3. 多维随机变量与联合分布- 二维随机变量的联合分布函数与密度函数 - 边缘分布与条件分布- 独立性与相关性4. 参数估计与假设检验- 参数估计的方法与性质- 置信区间与假设检验的基本概念- 常见参数的估计与假设检验方法以上是大一高等数学B课程的重点知识总结，希望能对你复习与巩固相关知识有所帮助。
(精校版)微积分B
(精校版)微积分B介绍微积分B是高等数学的重要分支之一，主要研究函数的积分与微分。
它是微积分A的延续和深化，涉及到更复杂的函数求导、积分技巧以及微分方程等内容。
本文档将介绍微积分B的主要内容和应用。
内容1. 常微分方程常微分方程是微积分B的重要内容之一，它描述了未知函数及其导数之间的关系。
常微分方程的解可以用于求解各种实际问题，如生物学、经济学、物理学等。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类。
一阶常微分方程可以用变量分离法、齐次方程、常数变易法等方法求解。
高阶常微分方程可以通过特征方程、常数变易法、缺失项法等方法求解。
2. 不定积分与定积分微积分B中的另一个重要内容是不定积分与定积分。
不定积分是求解导数的逆运算，也称为原函数。
定积分则是求解曲线下的面积，也可用于求解路径长度、质量、功等物理问题。
不定积分可以通过换元法、分部积分法和特殊函数的积分法进行求解。
定积分可以通过定积分的定义式或牛顿—莱布尼茨公式进行求解。
3. 级数与幂级数级数与幂级数是微积分B中的另一个重要概念。
级数是由无穷多个数项按顺序相加而得到的结果。
幂级数则是将级数中的每一项都乘以一个相同的幂指数而得到。
级数与幂级数在微积分中有广泛的应用，如泰勒级数、麦克劳林级数和傅里叶级数等。
它们在函数的逼近、收敛性以及求和等问题中起着重要作用。
4. 多重积分多重积分是微积分B中的另一个重要内容，它用于求解多变量函数的积分。
多重积分可以求解二重积分、三重积分乃至更高维度的积分。
多重积分可以通过重积分的定义式、累次积分法和极坐标法进行求解。
多重积分在几何体的体积、质量、重心以及物理问题中都有重要应用。
应用微积分B有广泛的应用领域，包括但不限于:- 物理学：运动学、力学、电磁学等- 经济学：边际成本、边际效益等- 生物学：人口增长、生物种群模型等- 工程学：电路分析、信号处理等- 计算机科学：算法分析、图像处理等总结微积分B是高等数学的重要分支，涵盖了常微分方程、不定积分与定积分、级数与幂级数以及多重积分等内容。
微积分B：1.4数列的极限
极限
y
oa
bx
（四个小矩形面积和A4）
极限
y
oa
bx
（九个小矩形面积和A9）
割圆术：
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——刘徽 Start
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正 6 2n1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
任意给定
0,
由于 |
xn
1|
=|1+
(-1)n1 n
-1|=
1 n
,
只要取N
1
,则当n
N时，恒有：| xn
1| .
三、数列极限定义
定义 如果对于任意给定的正数(不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于n N 时的一切 xn,
不等式 xn A 都成立,那末就称常数 A 是数列 xn
的极限,或者称数列 xn收敛于 A ,记为
恒有 | xn A | 1. 于是 | xn|= | xn A A || xn A | | A | 1 | A | .
取M max{| x1 |,| x2 |, ,| xN |,1+ | A |}
则对于一切n,都有 | xn | M . 因此，收敛数列必定有界.
例3. 证明数列xn (1)n1是发散的.
n!
n
n n!
数列的极限
3. 数列极限的性质
（1） 唯一性
定理1 每个收敛的数列只有一个极限.
证
设 lim n
xn
a,又 lim n
xn
b，
由定义,
0, N1, N 2 .使得 当n N1时恒有 xn a ；
微积分重点知识点梳理
微积分重点知识点梳理微积分是数学的一个重要分支，涉及到函数、极限、导数、积分等概念和方法。
它是研究函数变化规律、求解曲线斜率和曲线面积等问题的数学工具。
本文将对微积分的重点知识点进行梳理，帮助读者理解和掌握微积分的核心内容。
1. 函数的极限函数的极限是微积分的基础，通过研究函数在某一点处的极限可以描述函数的趋势和性质。
在函数的极限求解过程中，常用的方法有代数运算法、夹逼准则法和无穷小量法等。
函数极限的概念和求解方法对于理解微积分的后续内容非常重要。
2. 导数与微分导数表示函数在某一点处的变化率，是微积分的重要概念。
求导的过程可以帮助我们研究函数的斜率和变化趋势。
在求导的过程中，需要掌握基本的导数公式和求导法则，并能够应用它们解决实际问题。
3. 高阶导数与导数应用高阶导数是导数的导数，表示函数变化率的变化率。
通过研究高阶导数，我们可以更深入地理解函数的曲率和变化趋势。
在实际问题中，高阶导数的应用非常广泛，如求解最值、曲线拟合和泰勒展开等。
4. 积分与不定积分积分是导数的逆运算，求解函数曲线下的面积和定积分值。
通过对函数进行积分，我们可以得到函数的原函数或不定积分。
在积分的过程中，需要掌握积分的基本公式和常用积分法则，并能够应用它们解决实际问题。
5. 定积分与面积应用定积分表示函数在给定区间上的面积或曲线长度等量值。
通过定积分，我们可以求解实际问题中的面积、曲线长度、质量和质心等相关量。
在定积分的应用过程中，需要理解积分区间的选择、积分上下限的确定以及定积分的几何和物理意义。
6. 微分方程微分方程是描述变量之间关系的数学方程，是微积分与方程的结合体。
微分方程在自然科学和工程技术等领域中具有广泛的应用，如物理学中的运动学、化学中的反应动力学等。
掌握微分方程的基本概念和解法，可以帮助我们解决与变化和变动有关的实际问题。
总结起来，微积分是一门研究函数变化和趋势的数学学科，涵盖了函数极限、导数与微分、高阶导数与导数应用、积分与不定积分、定积分与面积应用以及微分方程等重要概念和方法。
微积分知识点总结
微积分知识点总结微积分是数学中的一门重要的分支学科，它主要研究的是函数的极限、导数、微分、积分以及微分方程等问题。
微积分的应用非常广泛，如物理、化学、工程、经济学等领域都离不开微积分的知识。
本文将对微积分的一些重要知识点进行总结和分析，以期能够帮助读者更好的理解和掌握微积分的基本概念和原理。
一、导数导数是微积分中最基础的概念之一，它是用于描述函数在某一点处的变化率的工具。
在函数$f(x)$的某一点$x_0$处，导数的定义式为：$$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$其中$\Delta x$为自变量$x$的变化量，代表着$f(x)$在$x_0$处相邻两点之间的距离。
当$\Delta x$趋近于0时，导数$f'(x_0)$描述的是函数在$x_0$处的瞬时变化率。
在实际应用中，导数有着广泛的应用。
例如，物理学中的速度和加速度等概念就可以通过微积分中的导数概念来描述。
二、微分微分是微积分中另一个基础概念，它是导数的一种几何意义的解释。
在函数$f(x)$的某一点$x_0$处，微分的定义式为：$$\mathrm{d}f(x_0)=f'(x_0)\mathrm{d}x$$其中$\mathrm{d}x$表示自变量$x$的微小增量。
微分的几何意义是在函数图像上，以函数图像上点的切线代替函数的实际增量，从而得到一个良好的近似值。
可以看到，在微分中，导数的概念得到了进一步的解释和应用。
三、积分积分是微积分中最重要的概念之一，它可以用于描述函数的面积、弧长等问题。
在导数的基础上，积分是其逆运算。
对于函数$f(x)$而言，在一段闭区间$[a,b]$中积分的定义式为：$$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$$积分的解释可以是函数图像下的面积，因此在实际应用中，积分可以用于求解各种形状的面积、弧长等问题。
微积分b知识点总结大一下
微积分b知识点总结大一下微积分B知识点总结（大一下）微积分是数学的一个重要分支，涉及到函数、极限、导数和积分等概念与方法。
在大一下学期的微积分B课程中，我们进一步深入学习了微积分的基本知识，并掌握了一些更高级的计算技巧和应用。
本文将对微积分B课程的知识点进行总结和回顾。
一、函数的导数1. 导数定义函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a)，若该极限存在。
2. 导数的计算法则- 基本法则：（常数法则、幂法则、指数法则、对数法则） - 乘积法则：(fg)' = f'g + fg'- 商法则：(f/g)' = (f'g - fg') / g^2- 复合函数法则：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)3. 高阶导数函数的导数的导数称为函数的二阶导数，记作f''(x)，依此类推可得到更高阶的导数。
4. 隐函数与参数方程的导数对于隐函数和参数方程，可以使用求导法则计算其导数。
二、微分学应用1. 最值与最优化寻找函数在特定范围内的最大值和最小值，可以通过求导和分析函数的增减性。
2. 曲线图与函数图像的分析可通过判断函数的极值点、拐点、单调区间和凹凸区间等来绘制函数的图像。
3. 渐近线和渐近曲线渐近线是函数图像接近但不相交的直线，可以分为水平、垂直和斜渐近线。
渐近曲线是函数图像接近但不相交的曲线。
三、积分与反函数的导数1. 不定积分函数f(x)的不定积分表示为∫f(x)dx，其中x表示积分变量。
2. 定积分函数f(x)在区间[a, b]上的定积分表示为∫[a,b]f(x)dx，表示函数在该区间上的面积或物理量。
3. 定积分的计算方法- 几何意义：按照区间进行分割，用长方形的面积逼近曲线下方的面积。
- 牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
微积分基本知识点
微积分基本知识点
1. 啥是极限啊？就好比你跑步，一直朝着一个目标跑，无限接近但就是到不了，这就是极限嘛！比如计算一个曲线在某一点的切线斜率，不就是要找极限嘛。
2. 导数可重要啦！它就像是汽车的速度表，能告诉你函数变化的快慢呀！比如说球滚下山坡，那它的速度变化快慢就是由导数来描述的呀。
3. 积分也很牛掰呀！就好像是把无数小碎片拼起来，看看能组成多大的东西。
比如算一个图形的面积，就可以用积分来搞定呀！
4. 微分是什么呢？嘿嘿，就好比把一个东西分成超级小的部分来看。
就像把一个大蛋糕切成很小很小的一块一块的，这就是微分啦。
比如研究物体微小的位移变化呀。
5. 连续可别小瞧哦！想想看，就像你走在路上不能突然消失又出现吧，函数也得这样连续着呀。
比如温度的变化一般就是连续的呀。
6. 间断点可要注意啦！这就像路上突然出现个大坑，不顺畅啦！比如函数在某些点突然没定义了，这不就是间断点嘛。
7. 中值定理可神奇了呀！它就像是一个平衡的法则。
比如说在一段路程中，肯定有个平均速度的点呀。
8. 泰勒公式厉害咯！它就像把一个复杂的东西用简单的式子来近似。
比如很难算的函数，用泰勒公式就能很好地近似计算呀！
我的观点就是：微积分的这些基本知识点就像是搭房子的基石，只有把它们都搞懂了，才能在微积分的世界里盖出漂亮的大楼啊！。
大学数学《微积分BI》第5章 定积分知识点汇总
b f (x)dx l ， a
其中称 f (x) 为被积函数， f (x)dx 为积分表达式， a 为积分下限， b 为积分上限， x 为积
分变量，[a,b] 为积分区间。
评注 据定积分定义可以得到：
（1）定积分的值与积分变量字母的选取无关。比如
b
b
b
a f (x)dx a f (t)dt a f (u)du 。
第五章 定积分
定积分又叫黎曼积分。本章最重要的理论是“微积分学基本定理”，它沟通了积分和导 数的联系；最重要的计算工具是“牛顿-莱伯尼兹公式”，它建立了定积分与不定积分的联系。
§5.1 定积分的概念与性质
一、定积分的问题举例 曲边梯形面积 求由曲线 y x2 、直线 x 1以及 x 轴所围图形面积 S 。
解 （1）作分割：把区间[0,1] 作 n 等分；
（2）作积分和：在小区间 [ k 1, k ] (k 1, 2,
nn
近似和
, n) 上取右端点k
k n
，作面积 S
的
n
k 1
k
2
1 n
n k 1
k2 n3
1 n3
n
k2
k 1
1 n3
n(n 1)(2n 1) 6
；
（3）取极限：
S
lim
n
n
k 2
（六）定积分的近似计算
函数 f 在区间[a,b] 连续，把闭区间[a,b] 分成 n 等分，分割为：
那么据定积分定义知，
a x0 x1 xn b ，
b a
f
(x)dx
ba lim n n
n k 1
f
( xk 1 )
。
记 f (xk ) yk (k 0,1,2, ,n) ，那么有下列定积分的近似计算公式：
微积分BII复习知识点优秀版
微积分BII复习知识点优秀版第7章 级数1、级数收敛的必要条件；2、判断正项级数敛散性的方法（比较判别法及其极限形式、比值判别法）；3、判断交错级数的敛散性的判别方法；4、任意项级数的敛散性，收敛时是条件收敛还是绝对收敛；5、将函数展开成幂级数的形式，会求收敛半径和收敛区间。
6、记住等比级数、调和级数、p 级数等特殊级数的结论。
部分例题：2212n n nn ∞=+∑收敛吗？ 判断1!n n n n ∞=∑的敛散性； 判断11(1)3nn n ∞=-∑的敛散性，如果收敛说明是条件收敛还是绝对收敛； 将函数1()3f x x=+展开成关于x 的幂级数并写出收敛区间。
第8章 多元函数 1、二元函数定义域； 2、二元函数的极限；3、能写出特殊平面方程、球面方程，能判断曲面形状；4、多元函数的偏导数、全微分，包括复合函数和隐函数；5、极值(无条件极值、条件极值)；6、多元函数中连续、偏导数存在、可微分等之间的关系；7、二重积分计算(包括直角坐标和极坐标)。
部分例题：0158lim42x y x y x y →→+++- =交换1120(,)x xdx f x y dy -⎰⎰的积分次序为垂直于y 轴且与xoz 面的距离为1的平面方程为 圆心在(1,2,0),半径为3的球面方程是 设sin(),z xy y x =++则全微分dz = 设22,2,2,z u v u xy v x y =+==+求z x∂∂ 求333z x y xy =+-的极值σd xy D⎰⎰= , 其中D 是由直线y =x -2及抛物线y 2=x 所围成的闭区域 计算⎰⎰Ddxdy xyarctan，其中D 是由圆周122=+y x ，422=+y x 及x y y ==,0所围成的第一象限区域第9章 微分方程1、微分方程的阶、通解、特解的概念；2、求一阶线性微分方程的解；3、求可降阶的二阶微分方程的解；4、求二阶常系数线性齐次微分方程的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
微积分B2复习要点一 题型1.填空题( 3×7=21分)；2.单项选择题(3×6=18分)；3.计算题(51分)；4.解答题(10分)二 知识点第七章 向量代数与空间解析几何空间曲面的方程(平面、球面、柱面、旋转曲面)例 求球心为点),,(0000z y x M ，半径为R 的球面方程 例 平面直角坐标系中 224x z +=的图形是 圆 ，空间直角坐标系中 224x z +=的图形是 圆柱面 。
例 XOZ 面上224x z +=绕x 轴旋转一周后的旋转体方程为 。
第八章 多元函数微分学1.二元函数的定义域；例1 求函数z =的定义域D .解 要使z =有意义, 应有22440x y --?,即2214y x +?.故 22(,)14y D x y x 禳镲镲=+?睚镲镲铪例2 求ln()z x y =-的定义域D .解 要使ln()z x y =-有意义, 应有0x y ->, 故 {}(,)0D x y x y =->. 例3求函数z =的定义域D 。
解要使z =, 应有22224010x y x y ìï--?ïíï+->ïî, 即 2214x y <+?, 故 {}22(,)14D x y x y =<+?2.二元函数的极限的计算；定义 如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当δρ<-+-=<20200)()(y y x x 时，ε<-A y x f ),(恒成立，则称当),(y x 趋于),(00y x 时，函数),(y x f 以A 为极限。
记作 A y x f y x y x =→),(lim),(),(00 或 A y x f =→),(lim 0ρ例 求2222001yx y x y x ++→sin)(lim ),(),( 解 当00→→y x ,时022→+y x ，1122≤+yx sin由于无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量，所以2222001yx y x y x ++→sin)(lim ),(),(0= 3.多元函数偏导数计算； （1）一阶偏导数的计算； （2）全微分的计算；概念：函数(,)z f x y =的全微分为z z dz dx dy x y∂∂=+∂∂ 例 求函数2235z x y x y =-+的全微分．解 因为2223,25z zxy x y x y∂∂=-=+∂∂， 所以 22(23)(25)dz xy dx x y dy =-++．（3）多元复合函数的偏导数的计算；概念：设(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ϕψ===，若(,),(,)u x y v x y ϕψ==在点(,)x y 处偏导数存在，而(,)z f u v =在对应点(,)u v 处可微，则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 处可导，且z z u z v x u x v xz z u z v y u y v y∂∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂⎪=⋅+⋅∂∂∂∂∂⎪⎩例 已知22153,cos ,cos z u v u x y v y x =-+==，求,z zx y∂∂∂∂． 解 由链式法则有 226cos 2(sin )6cos sin 2z z u z vu y v y x x y y x x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅-=--∂∂∂∂∂． 用同样的方法，可得223sin 22cos zx y y x y∂=+∂ （4）隐函数的偏导数的计算；例：设(,)z z x y =是由方程z x y z e ++=确定的隐函数，试求,.z z x y∂∂∂∂ （5）抽象函数求导例 求复合函数(,)y z f xy x =的一阶偏导数xz∂∂和y z ∂∂。
解 令,y u xy v x ==，则(,)y z f xy x =变为(,)z f u v =，,yu xy v x==复合而成的复合函数。
2()z f u f v f f yy x u x v x u v x∂∂∂∂∂∂∂=+=+-∂∂∂∂∂∂∂ 1z f u f v f f x y u y v y u v x∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 练习：设(2,sin )z f x y y x =-，f 具有一阶连续偏导数，求,z zx y∂∂∂∂ 6.可微、偏导、连续的关系;7.多元函数极值的计算。
概念：设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域内有定义,若对于该邻域内异于0P 的点(),P x y ,有00(,)(,)f x y f x y <(或00(,)(,)f x y f x y >),则称00(,)f x y 为函数(,)f x y 的一个极大值(或极小值).例；求函数22442y xy x y x z ---+=的极值。
解：解3342204220x yz x x y z y x y ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩，得()(,)(1,1),0,0x y =±。
而22122,2,122xxxy yy z x z z y =-=-=- 对(,)(1,1)x y =±，2212210,2,12210xxxy yy z x z z y =-==-=-=， 知 (,)(1,1)x y =±为极小值点。
且极小值为-2。
第九章 二重积分1.二重积分的计算(直角坐标,极坐标)；例（1）()⎰⎰+Dd y x σ6，其中D 由1,2,===x x y x y 所围成（2）求⎰⎰DD xyd ,σ是由直线3+-=x y 与曲线1212-=x y 所围成 （3）计算⎰⎰=Dy x xy I d d ，其中D 由曲线2y x =及y x 562-=所围成．解 画出积分区域D积分区域D 2:y D ≤x ≤y 56-，2-≤y ≤1， 所以y y y y x xy y I y y d )56(21d d 12456122⎰⎰⎰-----==427613532121632-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-y y y ． （4）()4:2222≤++⎰⎰y x D d y x Dσ(5) 41:)(22522≤+≤+⎰⎰y x D d y x Dσ2. 交换积分次序；例 交换二重积分⎰⎰x edy y x f dx ln ),(01的积分次序。
解：由二次积分的上、下限知积分D 的图形是0=y 与x y ln =在],[e 1之间的部分，则 :D x y e x ln ,≤≤≤≤01若先对y 后对x 积分，此时积分区域可表示为:D e x e y y ≤≤≤≤,10因此，我们可以交换积分次序⎰⎰x edy y x f dx ln ),(01=⎰⎰eey dx y xf dy ),(10例（1）⎰⎰-4122),(ydx y x f dyy(2) ⎰⎰x dy y x f dx 010),(+⎰⎰-xdy y x f dx 2021),(3.二重积分的性质与应用。
例 设D 由xy x y y 1,0,2==-=所围成，求平面图形D 的面积。
第十章 微分方程与差分方程1.微分方程的相关概念；2.一阶线性微分方程的通解和特解的计算；方程()()x Q y x P dydx=+ (1) 称为一阶线性微分方程(注意其特点为它对于未知函数y 及其导数dydx是一次方程)当()0≡x θ时，方程(1)为齐次的，当()Q x 不恒等于零时，方程(1)为非齐次的．()0=+y x P dydx(2) 称为方程(1)对应的齐次方程，它是可分离变量型()()()p x dx p x dx y e Q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎰⎢⎥⎣⎦. 例 求方程()25112+++=x x y dx dy 的通解分析 (常数变易法)这是()()()251.11+=+-=x x Q x x P 的一阶非齐次线性方程．它有两种解法：常数变易法与公式法解法一 (常数变易法)先求对应齐次方程的通解．y x dx dy 12+=, dx x y dy 12+=, c x y ln 1ln 2ln ++=,()21+=x C y ,用常数变易法，把c 换成u ，即令()21+=x u y,()()1212'+++=x u x u dxdy , 代入所给非齐次方程，有()121u x '=+,()()C x dx x u ++=+=⎰23211321,于是()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=C x x y 2321321,解法二 (公式法)直接由()()()p x dx p x dx y e Q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎰⎢⎥⎣⎦给出，其中 ()()⎰⎰+=+-=21ln 12x dx x dx x p 2.二阶常系数齐次线性微分方程的通解和特解的计算。
二阶常系数齐次线性微分方程求通解,特解概念：若 22()()0d y dyP x Q x y dx dx++=中(),()P x Q x 为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程。
解题步骤：（1）写出微分方程对应的特征方程20r pr q ++=，并求解出特征根12,r r （2）根据特征方程的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程的通解：（3）将初始条件代入（2）中的通解中求解出通解中的12,C C（4）将12,C C 代入到通解里去，得到题目要求的特解。
例题：求微分方程230y y y ''--=‘满足初始条件0|0x y ==，0'|4x y ==的特解。
解： 所给微分方程的特征方程为2230r r --=其根121,3r r =-=是两个不相等的实根，因此所求通解为312x xy C e C e -=+ （1）从而312'3x x y C e C e -=-+ （2） 将初始条件0|0x y ==，0'|4x y ==代入（1）、（2） 得：120C C =+，1243C C =-+ 从而121,1C C =-=所以，原微分方程的特解为3x x y e e -=-+例题：求方程2220d s dss dt dt++=满足初始条件：2..400-=='==s s t t 的特解解 对于求满足初始条件的特解的这类方程，应先求出原方程的通解,然后再求特解：原方程对应的特征方程为：.0122=++r r 即0)1(2=+r2121,.1r r r r Θ-==∴为重根．t e t c c s -+=∴)(21(1)再对(1)的两边关于t 求导:t t t e t c c c e t c c e c dtds-----=-++=)()1)((212212(2)把40==s t 代入(1)的41=c 把⎪⎩⎪⎨⎧=-==4210c s t 代入(2)得，22=ct e t s -+=∴)24(为所求．例题： 求微分方程：052=+'-''y y y 通解． 解 所给方程的特征方程为：i r r r 2122042,0522,12±=-±==+-为一对共轭复根．).2sin 2cos (21x c x c e y x +=∴(这里2,1==βα) 3. 可降阶的二阶微分方程的通解与特解的计算 类型1：),(y x f y '='' 令 ,p y =' 则 p y '=''，于是可将其化成一阶微分方程。