2014高考理科立体几何大题练习

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2014年高考数学试题分类汇编立体几何 word版含答案.

2014年高考数学试题汇编立体几何一．选择题1. （2014福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）圆柱圆锥四面体三棱柱A2. (2014新课标I如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为...6 .4【答案】：C【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥，其中，，故最长的棱的长度为，选C3. (2014新课标II如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A. B. C. D.【答案】C4（2014浙江）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是A. 90B. 129C. 132D. 138D5. (2014江西一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）【答案】B【解析】俯视图为在底面上的投影，易知选：B6(2014重庆某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.72【答案】B【解析】7.（2014辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】8(2014湖南一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.49(2014安徽一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A）（B）（C）21 （D）187 A10. (2014湖北在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②点评：本题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题。

2014年高考立体几何(解析版)

2014年高考真题立体几何汇编解析版16．（2014江苏）(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ．【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. （1）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，中点 ∴13DE PA == ∵E F ，为AC AB ，中点 ∴142EF BC == ∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵AC EF E = ∴DE ⊥平面ABC∵DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．17.（2014山东）（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60,DAB ∠=22AB CD ==，M 是线段AB 的中点.（I ）求证：111//C M A ADD 平面；B 1C 1D 1A 1DCBMA（II ）若1CD 垂直于平面ABCD且1CD 平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值. 解：（Ⅰ）连接1AD1111D C B A ABCD - 为四棱柱，11//D C CD ∴ 11D C CD =又M 为AB 的中点，1=∴AM AM CD //∴,AM CD =11//D C AM ∴,11D C AM =11D AMC ∴为平行四边形 11//MC AD ∴又111ADD A M C 平面⊄ 111A D D A AD 平面⊂111//ADD A AD 平面∴（Ⅱ）方法一：11//B A AB 1111//D C B A共面与面1111D ABC M C D ∴作AB CN ⊥,连接N D 1 则NC D 1∠即为所求二面角在ABCD 中， 60,2,1=∠==DAB AB DC 23=∴CN 在CN D Rt 1∆中，31=CD ,23=CN 2151=∴N D 方法二：作AB CP ⊥于p 点以C 为原点，CD 为x 轴，CP 为y 轴，1CD 为z 轴建立空间坐标系，)0,23,21(),3,0,0(),3,0,1(11M D C -∴)3,23,21(),0,0,1(111-==∴M D D C设平面M D C 11的法向量为),,(111z y x =⎪⎩⎪⎨⎧=-+=∴03232101111z y x x )1,2,0(1=∴n 显然平面ABCD 的法向量为)0,0,1(2=n5551,cos 21==<∴n n 显然二面角为锐角，所以平面M D C 11和平面ABCD 所成角的余弦值为555515321523cos 11====∠∴N D NC CN D18．三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图如图所示。

2014年高考数学理科汇编——立体几何2

G7 棱柱与棱锥 13．[2014·山东卷] 三棱锥P - ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D - ABE 的体积为V 1，P - ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________．13.14 [解析] 如图所示，由于D ，E 分别是边PB 与PC 的中点，所以S △BDE ＝14S △PBC .又因为三棱锥A BDE 与三棱锥A - PBC 的高长度相等，所以V 1V 2＝14.19．、、[2014·江西卷] 如图1-6，四棱锥P - ABCD 中，ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD .图1-6(1)求证：AB ⊥PD .(2)若∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2，问AB 为何值时，四棱锥P - ABCD 的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值．19．解：(1)证明：因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD . 又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PD .(2)过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG . 故PO ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG ，BC ⊥PG .在Rt △BPC 中，PG ＝2 33，GC ＝2 63，BG ＝63.设AB ＝m ，则OP ＝PG 2－OG 2＝43－m 2，故四棱锥P - ABCD 的体积为V ＝13×6·m ·43－m 2＝m38－6m 2. 因为m 8－6m 2＝8m 2－6m 4＝－6⎝⎛⎭⎫m 2－232＋83，所以当m ＝63，即AB ＝63时，四棱锥P - ABCD 的体积最大．此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O (0，0，0)，B ⎝⎛⎭⎫63，－63，0，C ⎝⎛⎭⎫63，263，0，D ⎝⎛⎭⎫0，263，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，63，故PC →＝⎝⎛⎭⎫63，263，－63，BC →＝(0，6，0)，CD ＝⎝⎛⎭⎫－63，0，0.设平面BPC 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，1)，则由n 1⊥PC →，n 1⊥BC →，得⎩⎪⎨⎪⎧63x ＋2 63y －63＝0，6y ＝0，解得x ＝1，y ＝0，则n 1＝(1，0，1)．同理可求出平面DPC 的一个法向量为n 2＝⎝⎛⎭⎫0，12，1. 设平面BPC 与平面DPC 的夹角为θ，则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝12·14＋1＝105.8．、[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π48．A [解析] 如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE ＝12AC ＝ 2.设球心为O ，球的半径为R ，则OE ＝4－R ，OA ＝R ，又知△AOE 为直角三角形，根据勾股定理可得，OA 2＝OE 2＋AE 2，即R 2＝(4－R )2＋2，解得R ＝94，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π4.G8 多面体与球 7．、[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )图1-2A ．1B ．2C ．3D ．47．B [解析] 由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球．由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可得r ＝6＋8－102＝2.8．、[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π48．A [解析] 如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE ＝12AC ＝ 2.设球心为O ，球的半径为R ，则OE ＝4－R ，OA ＝R ，又知△AOE 为直角三角形，根据勾股定理可得，OA 2＝OE 2＋AE 2，即R 2＝(4－R )2＋2，解得R ＝94，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π4. 5．[2014·陕西卷] 已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3 B ．4π C ．2π D.4π35．D [解析] 设该球的半径为R ，根据正四棱柱的外接球的直径长为正四棱柱的体对角线长，可得(2R )2＝(2)2＋12＋12，解得R ＝1，所以该球的体积为V ＝43πR 3＝43π.G9 空间向量及运算 5．[2014·广东卷] 已知向量a ＝(1，0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1，1，0) B ．(1，－1，0) C ．(0，－1，1) D ．(－1，0，1)5．B [解析] 本题考查空间直角坐标系中数量积的坐标表示．设所求向量是b ，若b与a 成60°夹角，则根据数量积公式，只要满足a ·b |a ||b |＝12即可，所以B 选项满足题意．19．，[2014·重庆卷]如图1-3所示，四棱锥P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12，MP ⊥AP .(1)求PO 的长； (2)求二面角A -PM -C 的正弦值．图1-319．解：(1)如图所示，连接AC ，BD ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ∩ BD ＝O ，且AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OA →，OB →，OP →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O -xyz .因为∠BAD ＝π3，所以OA ＝AB ·cos π6＝3，OB ＝AB ·sin π6＝1，所以O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，1，0)，C (－3，0，0)，OB →＝(0，1，0)，BC →＝(－3，－1，0)．由BM ＝12，BC ＝2知，BM →＝14BC →＝⎝⎛⎭⎫－34，－14，0，从而OM →＝OB →＋BM →＝⎝⎛⎭⎫－34，34，0，即M ⎝⎛⎭⎫－34，34，0.设P (0，0，a )，a ＞0，则AP →＝(－3，0，a )，MP →＝⎝⎛⎭⎫34，－34，a .因为MP ⊥AP ，所以MP →·AP →＝0，即－34＋a 2＝0，所以a ＝32或a ＝－32(舍去)，即PO ＝32.(2)由(1)知，AP →＝⎝⎛⎭⎫－3，0，32，MP →＝⎝⎛⎭⎫34，－34，32，CP →＝⎝⎛⎭⎫3，0，32.设平面APM 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PMC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1·AP →＝0, n 1·MP →＝0，得⎩⎨⎧－3x 1＋32z 1＝0，34x 1－34y 1＋32z 1＝0，故可取n 1＝⎝⎛⎭⎫1，533，2.由n 2·MP →＝0，n 2·CP →＝0，得⎩⎨⎧34x 2－34y 2＋32z 2＝0，3x 2＋32z 2＝0，故可取n 2＝(1，－3，－2)．从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－155，故所求二面角A -PM -C 的正弦值为105.G10 空间向量解决线面位置关系 18．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-3，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ； (2)设二面角D -AE -C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E -ACD 的体积．图1-318．解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . 因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →，AD ，AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A -xyz ，则D ()0，3，0，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，32，12.设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝⎛⎭⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量，由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12，解得m ＝32.因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E -ACD 的高为12.三棱锥E -ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38. 19．、、、[2014·湖北卷] 如图1-4，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ .(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．图1-419．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ＝1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1，所以BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .图① 图②(2)如图②，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF ＝12BD .又DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ ＝BD ，从而EF ∥PQ ，且EF ＝12PQ .在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中，因为BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1，于是EQ ＝FP ＝1＋λ2，所以四边形EFPQ 也是等腰梯形．同理可证四边形PQMN 也是等腰梯形．分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ，则GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°.连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF ＝MN 知四边形EFNM 是平行四边形．连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以GH ＝ME ＝2.在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－⎝⎛⎭⎫222＝λ2＋12，OG 2＝1＋(2－λ)2－⎝⎛⎭⎫222＝(2－λ)2＋12，由OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．方法二(向量方法)：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)．图③BC 1→＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)． (1)证明：当λ＝1时，FP ＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)，所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22.故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．G11 空间角与距离的求法 20．、、[2014·安徽卷] 如图1-5，四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，且AD ＝2BC .过A 1，C ，D 三点的平面记为α，BB 1与α的交点为Q .图1-5(1)证明：Q 为BB 1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA 1＝4，CD ＝2，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小．20．解： (1)证明：因为BQ ∥AA 1，BC ∥AD ， BC ∩BQ ＝B ，AD ∩AA 1＝A ，所以平面QBC ∥平面A 1AD ，从而平面A 1CD 与这两个平面的交线相互平行，即QC ∥A 1D .故△QBC 与△A 1AD 的对应边相互平行，于是△QBC ∽△A 1AD ，所以BQ BB 1＝BQ AA 1＝BC AD ＝12，即Q 为BB 1的中点．(2)如图1所示，连接QA ，QD .设AA 1＝h ，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V 上和V 下，BC ＝a ，则AD ＝2a .图1V 三棱锥Q -A 1AD ＝13×12·2a ·h ·d ＝13ahd ，V 四棱锥Q -ABCD＝13·a ＋2a 2·d ·⎝⎛⎭⎫12h ＝14ahd ，所以V 下＝V 三棱锥Q -A 1AD ＋V 四棱锥Q -ABCD ＝712ahd . 又V 四棱柱A 1B 1C 1D 1 ABCD ＝32ahd ，所以V 上＝V 四棱柱A 1B 1C 1D 1 ABCD －V 下＝32ahd －712ahd ＝1112ahd ，故V 上V 下＝117.(3)方法一：如图1所示，在△ADC 中，作AE ⊥DC ，垂足为E ，连接A 1E .又DE ⊥AA 1，且AA 1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面AEA 1，所以DE ⊥A 1E .所以∠AEA 1为平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角．因为BC ∥AD ，AD ＝2BC ，所以S △ADC ＝2S △BCA . 又因为梯形ABCD 的面积为6，DC ＝2，所以S △ADC ＝4，AE ＝4.于是tan ∠AEA 1＝AA 1AE ＝1，∠AEA 1＝π4.故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为π4.方法二：如图2所示，以D 为原点，DA ，DD 1→分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系．设∠CDA ＝θ，BC ＝a ，则AD ＝2a .因为S 四边形ABCD ＝a ＋2a2·2sin θ＝6，所以a ＝2sin θ.图2从而可得C (2cos θ，2sin θ，0)，A 1⎝⎛⎭⎫4sin θ，0，4，所以DC ＝(2cos θ，2sin θ，0)，DA 1→＝⎝⎛⎭⎫4sin θ，0，4.设平面A 1DC 的法向量n ＝(x ，y ，1)，由⎩⎨⎧DA 1→·n ＝4sin θx ＋4＝0，DC →·n ＝2x cos θ＋2y sin θ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－sin θ，y ＝cos θ，所以n ＝(－sin θ，cos θ，1)．又因为平面ABCD 的法向量m ＝(0，0，1)，所以cos 〈n ，m 〉＝n·m|n||m|＝22，故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为π4.17．、[2014·北京卷] 如图1-3，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P - ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H .(1)求证：AB ∥FG ；(2)若P A ⊥底面ABCDE ，且P A ＝AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．图1-317．解：(1)证明：在正方形AMDE 中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE . 又因为AB ⊄平面PDE ，所以AB ∥平面PDE .因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ，所以AB ∥FG .(2)因为P A ⊥底面ABCDE ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE .建立空间直角坐标系Axyz ，如图所示，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (2，1，0)，P (0，0，2)，F (0，1，1)，BC →＝(1，1，0)．设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，则y ＝－1.所以n ＝(0，－1，1)．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则 sin α＝|cos 〈n ，BC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·BC →|n ||BC →|＝12.因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6.设点H 的坐标为(u ，v ，w )．因为点H 在棱PC 上，所以可设PH →＝λPC →(0<λ<1)．即(u ，v ，w －2)＝λ(2，1，－2)，所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ. 因为n 是平面ABF 的一个法向量，所以n ·AH →＝0，即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，解得λ＝23，所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，23，23. 所以PH ＝⎝⎛⎭⎫432＋⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫－432＝2.17．、、[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．图1-517．解：(1)证明：∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，AB ⊥BD ，∴AB ⊥平面BCD .又CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .(2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD .由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD . 以B 为坐标原点，分别以BE →，BD →，BA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．依题意，得B (0，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，A (0，0，1)，M ⎝⎛⎭⎫0，12，12. 则BC →＝(1，1，0)，BM →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，AD →＝(0，1，－1)．设平面MBC 的法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝0，12y 0＋12z 0＝0，取z 0＝1，得平面MBC 的一个法向量n ＝(1，－1，1)．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，则sin θ＝||cos 〈n ，AD →〉＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝63. 即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63. 18．、[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝30°，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E .(1)证明：CF ⊥平面ADF ； (2)求二面角D - AF - E 的余弦值．图1-419．、、、[2014·湖北卷] 如图1-4，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ .(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．图1-419．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ＝1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1，所以BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .图① 图②(2)如图②，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF ＝12BD .又DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ ＝BD ，从而EF ∥PQ ，且EF ＝12PQ .在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中，因为BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1，于是EQ ＝FP ＝1＋λ2，所以四边形EFPQ 也是等腰梯形．同理可证四边形PQMN 也是等腰梯形．分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ，则GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°. 连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF ＝MN 知四边形EFNM 是平行四边形．连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以GH ＝ME ＝2.在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－⎝⎛⎭⎫222＝λ2＋12，OG 2＝1＋(2－λ)2－⎝⎛⎭⎫222＝(2－λ)2＋12，由OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．方法二(向量方法)：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)．图③BC 1→＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)． (1)证明：当λ＝1时，FP ＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)，所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则m ·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22.故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．19．、[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1OB 1D 的余弦值．图1-619．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC 1A 1为矩形，所以CC 1⊥AC .同理DD 1⊥BD . 因为CC 1∥DD 1，所以CC 1⊥BD .而AC ∩BD ＝O ，因此CC 1⊥底面ABCD . 由题设知，O 1O ∥C 1C .故O 1O ⊥底面ABCD .(2)方法一：如图(a)，过O 1作O 1H ⊥OB 1于H ，连接HC 1.由(1)知，O 1O ⊥底面ABCD ，所以O 1O ⊥底面A 1B 1C 1D 1，于是O 1O ⊥A 1C 1.图(a)又因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形A 1B 1C 1D 1是菱形，因此A 1C 1⊥B 1D 1，从而A 1C 1⊥平面BDD 1B 1，所以A 1C 1⊥OB 1，于是OB 1⊥平面O 1HC 1. 进而OB 1⊥C 1H .故∠C 1HO 1是二面角C 1OB 1D 的平面角．不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，OB 1＝7.在Rt △OO 1B 1中，易知O 1H ＝OO 1·O 1B 1OB 1＝237.而O 1C 1＝1，于是C 1H ＝O 1C 21＋O 1H 2＝1＋127＝197.故cos ∠C 1HO 1＝O 1HC 1H ＝237197＝25719.即二面角C 1OB 1D 的余弦值为25719.方法二：因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直．图(b)如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz ，不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，于是相关各点的坐标为O (0，0，0)，B 1(3，0，2)，C 1(0，1，2)．易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量．设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·OB →1＝0，n 2·OC →1＝0，即⎩⎨⎧3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0.取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3)．设二面角C 1OB 1D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是cos θ＝|cos 〈，〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719.故二面角C 1OB 1D 的余弦值为25719.19．、、[2014·江西卷] 如图1-6，四棱锥P - ABCD 中，ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD .图1-6(1)求证：AB ⊥PD .(2)若∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2，问AB 为何值时，四棱锥P - ABCD 的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值．19．解：(1)证明：因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD . 又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PD .(2)过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG . 故PO ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG ，BC ⊥PG . 在Rt △BPC 中，PG ＝2 33，GC ＝2 63，BG ＝63.设AB ＝m ，则OP ＝PG 2－OG 2＝43－m 2，故四棱锥P - ABCD 的体积为V ＝13×6·m ·43－m 2＝m38－6m 2. 因为m 8－6m 2＝8m 2－6m 4＝－6⎝⎛⎭⎫m 2－232＋83，所以当m ＝63，即AB ＝63时，四棱锥P - ABCD 的体积最大．此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O (0，0，0)，B ⎝⎛⎭⎫63，－63，0，C ⎝⎛⎭⎫63，263，0，D ⎝⎛⎭⎫0，263，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，63，故PC →＝⎝⎛⎭⎫63，263，－63，BC →＝(0，6，0)，CD ＝⎝⎛⎭⎫－63，0，0.设平面BPC 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，1)，则由n 1⊥PC →，n 1⊥BC →，得⎩⎪⎨⎪⎧63x ＋2 63y －63＝0，6y ＝0，解得x ＝1，y ＝0，则n 1＝(1，0，1)．同理可求出平面DPC 的一个法向量为n 2＝⎝⎛⎭⎫0，12，1. 设平面BPC 与平面DPC 的夹角为θ，则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝12·14＋1＝105.19．、[2014·辽宁卷] 如图1-5所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点．(1)求证：EF ⊥BC ； (2)求二面角E -BF -C 的正弦值．图1-519．解：(1)证明：方法一，过点E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连接OF .由△ABC ≌△DBC可证出△EOC ≌△FOC ，所以∠EOC ＝∠FOC ＝π2，即FO ⊥BC .又EO ⊥BC ，EO ∩FO ＝O ，所以BC ⊥平面EFO .又EF ⊂平面EFO ，所以EF ⊥BC .图1方法二，由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线，并将其作为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线，并将其作为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得B (0，0，0)，A (0，－1，3)，D (3，－1，0)，C (0，2，0)，因而E (0，12，32)，F (32，12，0)，所以EF →＝(32，0，－32)，BC →＝(0，2，0)，因此EF →·BC →＝0，从而EF →⊥BC →，所以EF ⊥BC .图2(2)方法一，在图1中，过点O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连接EG .因为平面ABC ⊥平面BDC ，所以EO ⊥面BDC ，又OG ⊥BF ，所以由三垂线定理知EG ⊥BF ，因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角．在△EOC 中，EO ＝12EC ＝12BC ·cos 30°＝32.由△BGO ∽△BFC 知，OG ＝BO BC ·FC ＝34，因此tan ∠EGO ＝EOOG＝2，从而得sin ∠EGO＝255，即二面角E -BF -C 的正弦值为2 55.方法二，在图2中，平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)．设平面BEF 的法向量n 2＝(x ，y ，z )，又BF →＝(32，12，0)，BE →＝(0，12，32)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BF →＝0，n 2·BE →＝0，得其中一个n 2＝(1，－3，1)．设二面角E -BF -C 的大小为θ，且由题知θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1||n 2|＝15，因此sin θ＝25＝2 55，即所求二面角正弦值为2 55.11．[2014·全国卷] 已知二面角α-l -β为60°，AB ⊂α，AB ⊥l ，A 为垂足，CD ⊂β，C ∈l ，∠ACD ＝135°，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为( )A.14B.24C.34D.1211．B [解析] 如图所示，在平面α内过点C 作CF ∥AB ，过点F 作FE ⊥β，垂足为点E ，连接CE ，则CE ⊥l ，所以∠ECF ＝60°.过点E 作DE ⊥CE ，交CD 于点D 1，连接FD 1.不妨设FC ＝2a ，则CE ＝a ，EF ＝3a .因为∠ACD ＝135°，所以∠DCE ＝45°，所以，在Rt △DCE 中，D 1E ＝CE ＝a ，CD 1＝2a ，∴FD 1＝2a ，∴cos ∠DCF ＝4a 2＋2a 2－4a 22×2a ×2a＝24.19．、[2014·全国卷] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B;(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1 AB C 的大小．19．解：方法一：(1)证明：因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ⊂平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C . 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B .(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1，故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1. 作A 1E ⊥CC 1，E 为垂足，则A 1E ⊥平面BCC 1B 1.又直线AA 1∥平面BCC 1B 1，因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离，即A 1E ＝ 3.因为A 1C 为∠ACC 1的平分线，所以A 1D ＝A 1E ＝ 3.作DF ⊥AB ，F 为垂足，连接A 1F .由三垂线定理得A 1F ⊥AB ，故∠A 1FD 为二面角A 1 AB C 的平面角．由AD ＝AA 21－A 1D 2＝1，得D 为AC 中点，DF ＝55，tan ∠A 1FD ＝A 1D DF ＝15，所以cos ∠A 1FD ＝14. 所以二面角A 1 AB C 的大小为arccos 14.方法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C - xyz .由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内．(1)证明：设A 1(a ，0，c )．由题设有a ≤2，A (2，0，0)，B (0，1，0)，则AB →＝(－2，1，0)，AC →＝(－2，0，0)，AA 1→＝(a －2，0，c )，AC 1→＝AC →＋AA 1→＝(a －4，0，c )，BA 1→＝(a ，－1，c )．由|AA 1→|＝2，得（a －2）2＋c 2＝2，即a 2－4a ＋c 2＝0.①又AC 1→·BA 1→＝a 2－4a ＋c 2＝0，所以AC 1⊥A 1B .(2)设平面BCC 1B 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则m ⊥CB →，m ⊥BB 1→，即m ·CB →＝0，m ·BB 1→＝0.因为CB →＝(0，1，0)，BB 1→＝AA 1→＝(a －2，0，c )，所以y ＝0且(a －2)x ＋cz ＝0.令x ＝c ，则z ＝2－a ，所以m ＝(c ，0，2－a )，故点A 到平面BCC 1B 1的距离为|CA →|·|cos 〈m ，CA →〉|＝|CA →·m ||m |＝2c c 2＋（2－a ）2＝c .又依题设，A 到平面BCC 1B 1的距离为3，所以c ＝3，代入①，解得a ＝3(舍去)或a ＝1，于是AA 1→＝(－1，0，3)．设平面ABA 1的法向量n ＝(p ，q ，r )，则n ⊥AA 1→，n ⊥AB →，即n ·AA 1→＝0，n ·AB →＝0，－p ＋3r ＝0，且－2p ＋q ＝0.令p ＝3，则q ＝2 3，r ＝1，所以n ＝(3，2 3，1)．又p ＝(0，0，1)为平面ABC 的法向量，故 cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝14.所以二面角A 1 AB C 的大小为arccos 14.19．G 5、G 11[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-5，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C .图1-5(1)证明：AC ＝AB 1；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，AB ＝BC ，求二面角A -A 1B 1 C 1的余弦值．19．解：(1)证明：连接BC 1，交B 1C 于点O ，连接AO ，因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1，且O 为B 1C 及BC 1的中点．又AB ⊥B 1C ，所以B 1C ⊥平面ABO . 由于AO ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AO . 又B 1O ＝CO ，故AC ＝AB 1.(2)因为AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，所以AO ＝CO .又因为AB ＝BC ，所以△BOA ≌ △BOC .故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，OB 1两两垂直．以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，|OB |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz .因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形，又AB ＝BC ，则A ⎝⎛⎭⎫0，0，33，B (1，0，0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，33，0，C ⎝⎛⎭⎫0，－33，0. AB 1→＝⎝⎛⎭⎫0，33，－33，A 1B 1→＝AB ＝⎝⎛⎭⎫1，0，－33，B 1C →1＝BC ＝⎝⎛⎭⎫－1，－33，0.设n ＝(x ，y ，z )是平面AA 1B 1的法向量，则 ⎩⎨⎧n ·AB 1＝0，n ·A 1B 1→＝0，即⎩⎨⎧33y －33z ＝0，x －33z ＝0.所以可取n ＝(1，3，3)．设m 是平面A 1B 1C 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B 1→＝0，m ·B 1C 1→＝0，同理可取m ＝(1，－3，3)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝17.所以结合图形知二面角A -A 1B 1 C 1的余弦值为17.17．，[2014·山东卷] 如图1-3所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．图1-3(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值．17．解：(1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，且AB ＝2CD ，所以AB ∥DC ，又M 是AB 的中点，所以CD ∥MA 且CD ＝MA .连接AD 1.因为在四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中，CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1，所以C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，因此，C 1M ∥D 1A .又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1，所以C 1M ∥平面A 1ADD 1. (2)方法一：连接AC ，MC .由(1)知，CD ∥AM 且CD ＝AM ，所以四边形AMCD 为平行四边形，所以BC ＝AD ＝MC .由题意∠ABC ＝∠DAB ＝60°，所以△MBC 为正三角形，因此AB ＝2BC ＝2，CA ＝3，因此CA ⊥CB .设C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz .所以A (3，0，0)，B (0，1，0)，D 1(0，0，3)．因此M ⎝⎛⎭⎫32，12，0，所以MD 1→＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，3，D 1C 1→＝MB →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0.设平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1C 1→＝0，n ·MD 1→＝0，得⎩⎨⎧3x －y ＝0，3x ＋y －2 3z ＝0，可得平面C 1D 1M 的一个法向量n ＝(1，3，1)．又CD 1→＝(0，0，3)为平面ABCD 的一个法向量．因此cos 〈CD 1→，n 〉＝CD 1→·n |CD 1→||n |＝55，所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 方法二：由(1)知，平面D 1C 1M ∩平面ABCD ＝AB ，点过C 向AB 引垂线交AB 于点N ，连接D 1N.由CD 1⊥平面ABCD ，可得D 1N ⊥AB ，因此∠D 1NC 为二面角C 1 AB C 的平面角．在Rt △BNC 中，BC ＝1，∠NBC ＝60°，可得CN ＝32，所以ND 1＝CD 21＋CN 2＝152. 在Rt △D 1CN 中，cos ∠D 1NC ＝CN D 1N ＝32152＝55，所以平面C 1D 1M 和平面ABCD 所成的角(锐角)的余弦值为55. 18．，，，[2014·四川卷] 三棱锥A - BCD 及其侧视图、俯视图如图1-4所示．设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN ⊥NP .(1)证明：P 是线段BC 的中点； (2)求二面角A - NP - M 的余弦值．图1-418．解：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接AO ，CO . 由侧视图及俯视图知，△ABD ，△BCD 为正三角形，所以AO ⊥BD ，OC ⊥BD .因为AO ，OC ⊂平面AOC ，且AO ∩OC ＝O ，所以BD ⊥平面AOC .又因为AC ⊂平面AOC ，所以BD ⊥AC . 取BO 的中点H ，连接NH ，PH .又M ，N ，H 分别为线段AD ，AB ，BO 的中点，所以MN ∥BD ，NH ∥AO ，因为AO ⊥BD ，所以NH ⊥BD . 因为MN ⊥NP ，所以NP ⊥BD .因为NH ，NP ⊂平面NHP ，且NH ∩NP ＝N ，所以BD ⊥平面NHP . 又因为HP ⊂平面NHP ，所以BD ⊥HP .又OC ⊥BD ，HP ⊂平面BCD ，OC ⊂平面BCD ，所以HP ∥OC . 因为H 为BO 的中点，所以P 为BC 的中点．(2)方法一：如图所示，作NQ ⊥AC 于Q ，连接MQ .由(1)知，NP ∥AC ，所以NQ ⊥NP .因为MN ⊥NP ，所以∠MNQ 为二面角A - NP - M 的一个平面角．由(1)知，△ABD ，△BCD 为边长为2的正三角形，所以AO ＝OC ＝ 3. 由俯视图可知，AO ⊥平面BCD .因为OC ⊂平面BCD ，所以AO ⊥OC ，因此在等腰直角△AOC 中，AC ＝ 6. 作BR ⊥AC 于R因为在△ABC 中，AB ＝BC ，所以R 为AC 的中点，所以BR ＝AB 2－⎝⎛⎭⎫AC 22＝102.因为在平面ABC 内，NQ ⊥AC ，BR ⊥AC ，所以NQ ∥BR .又因为N 为AB 的中点，所以Q 为AR 的中点，所以NQ ＝BR 2＝104.同理，可得MQ ＝104. 故△MNQ 为等腰三角形，所以在等腰△MNQ 中，cos ∠MNQ ＝MN 2NQ ＝BD 4NQ ＝105.故二面角A - NP - M 的余弦值是105. 方法二：由俯视图及(1)可知，AO ⊥平面BCD .因为OC ，OB ⊂平面BCD ，所以AO ⊥OC ，AO ⊥OB . 又OC ⊥OB ，所以直线OA ，OB ，OC 两两垂直．如图所示，以O 为坐标原点，以OB ，OC ，OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz .则A (0，0，3)，B (1，0，0)，C (0，3，0)，D (－1，0，0)．因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，又由(1)知，P 为线段BC 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫－12，0，32，N ⎝⎛⎭⎫12，0，32，P ⎝⎛⎭⎫12，32，0，于是AB ＝(1，0，－3)，BC ＝(－1，3，0)，MN ＝(1，0，0)，NP ＝⎝⎛⎭⎫0，32，－32. 设平面ABC 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥AB ，n 1⊥BC ，得⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB ＝0，n 1·BC ＝0，即 ⎩⎨⎧（x 1，y 1，z 1）·（1，0，－3）＝0，（x 1，y 1，z 1）·（－1，3，0）＝0，从而⎩⎨⎧x 1－3z 1＝0，－x 1＋3y 1＝0.取z 1＝1，则x 1＝3，y 1＝1，所以n 1＝(3，1，1)．设平面MNP 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由，⎩⎪⎨⎪⎧n 2⊥MN ，n 2⊥NP ，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·MN ＝0，n 2·NP ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x 2，y 2，z 2）·（1，0，0）＝0，（x 2，y 2，z 2）·⎝⎛⎭⎫0，32，－32＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，32y 2－32z 2＝0.取z 2＝1，则y 2＝1，x 2＝0，所以n 2＝(0，1，1)．设二面角A - NP - M 的大小为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（3，1，1）·（0，1，1）5×2＝105. 故二面角A -NP -M 的余弦值是105. 17．、[2014·天津卷] 如图1-4所示，在四棱锥P - ABCD 中，P A ⊥底面ABCD, AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE ⊥DC ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；(3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F - AB - P 的余弦值．图1-417．解：方法一：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．C 由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1)．(1)证明：向量BE ＝(0，1，1)，DC ＝(2，0，0)，故BE ·DC ＝0，所以BE ⊥DC .(2)向量BD ＝(－1，2，0)，PB ＝(1，0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD ＝0，n ·PB ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0. 不妨令y ＝1，可得n ＝(2，1，1)为平面PBD 的一个法向量．于是有 cos 〈n ，BE 〉＝n ·BE |n |·|BE |＝26×2＝33，所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3) 向量BC ＝(1，2，0)，CP ＝(－2，－2，2)，AC ＝(2，2，0)，AB ＝(1，0，0)．由点F 在棱PC 上，设CF ＝λCP →，0≤λ≤1.故BF ＝BC ＋CF ＝BC ＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF ·AC ＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34，即BF ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，32.设n 1＝(x ，y ，z )为平面F AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB ＝0，n 1·BF ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3，1)为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0，1，0)，则cos 〈，〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010.易知二面角F - AB - P 是锐角，所以其余弦值为31010.方法二：(1)证明：如图所示，取PD 中点M ，连接EM ，AM .由于E ，M 分别为PC ，PD 的中点，故EM ∥DC ，且EM ＝12DC .又由已知，可得EM ∥AB 且EM ＝AB ，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE ∥AM .因为P A ⊥底面ABCD ，故P A ⊥CD ，而CD ⊥DA ，从而CD ⊥平面P AD .因为AM ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AM .又BE ∥AM ，所以BE ⊥CD .(2)连接BM ，由(1)有CD ⊥平面P AD ，得CD ⊥PD .而EM ∥CD ，故PD ⊥EM .又因为AD ＝AP ，M 为PD 的中点，所以PD ⊥AM ，可得PD ⊥BE ，所以PD ⊥平面BEM ，故平面BEM ⊥平面PBD ，所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM .而BE ⊥EM ，可得∠EBM 为锐角，故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．依题意，有PD ＝22，而M 为PD 中点，可得AM ＝2，进而BE ＝ 2.故在直角三角形BEM 中，tan ∠EBM ＝EM BE ＝AB BE ＝12，因此sin ∠EBM ＝33，所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)如图所示，在△P AC 中，过点F 作FH ∥P A 交AC 于点H .因为P A ⊥底面ABCD ，所以FH ⊥底面ABCD ，从而FH ⊥AC .又BF ⊥AC ，得AC ⊥平面FHB ，因此AC ⊥BH .在底面ABCD 内，可得CH ＝3HA ，从而CF ＝3FP .在平面PDC 内，作FG ∥DC 交PD 于点G ，于是DG ＝3GP .由于DC ∥AB ，故GF ∥AB ，所以A ，B ，F ，G 四点共面．由AB ⊥P A ，AB ⊥AD ，得AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥AG ，所以∠P AG 为二面角F - AB - P 的平面角．在△P AG 中，P A ＝2，PG ＝14PD ＝22，∠APG ＝45°.由余弦定理可得AG ＝102，cos∠P AG ＝31010，所以二面角F - AB - P 的余弦值为31010.17．[2014·浙江卷] 如图1-4，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)图1-417.5 39[解析] 由勾股定理得BC ＝20 m ．如图，过P 点作PD ⊥BC 于D ，连接AD, 则由点A 观察点P 的仰角θ＝∠P AD ，tan θ＝PDAD .设PD ＝x ，则DC ＝3x ，BD ＝20－3x ，在Rt △ABD 中，AD ＝152＋（20－3x ）2＝625－403x ＋3x 2，所以tan θ＝x 625－403x ＋3x 2＝1625x 2－403x ＋3＝1625⎝⎛⎭⎫1x －2036252＋2725≤539，故tan θ的最大值为539.20．、[2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A -BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2.(1)证明：DE ⊥平面ACD ； (2)求二面角B - AD - E 的大小．图1-520．解：(1)证明：在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2，得BD ＝BC ＝2，由AC ＝2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC .又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC ⊥DE .又DE ⊥DC ，从而DE ⊥平面ACD . (2)方法一：过B 作BF ⊥AD ，与AD 交于点F ，过点F 作FG ∥DE ，与AE 交于点G ，连接BG .由(1)知DE ⊥AD ，则FG ⊥AD .所以∠BFG 是二面角B - AD - E 的平面角．在直角梯形BCDE 中，由CD 2＝BC 2＋BD 2，得BD ⊥BC .又平面ABC ⊥平面BCDE ，得BD ⊥平面ABC ，从而BD ⊥AB .由AC ⊥平面BCDE ，得AC ⊥CD .在Rt △ACD 中，由DC ＝2，AC ＝2，得AD ＝ 6. 在Rt △AED 中，由ED ＝1，AD ＝6，得AE ＝7.在Rt △ABD 中，由BD ＝2，AB ＝2，AD ＝6，得BF ＝2 33，AF ＝23AD .从而GF ＝23ED ＝23.在△ABE ，△ABG 中，利用余弦定理分别可得cos ∠BAE ＝5 714，BG ＝23.在△BFG 中，cos ∠BFG ＝GF 2＋BF 2－BG 22BF ·GF＝32.所以，∠BFG ＝π6，即二面角B - AD - E 的大小是π6.方法二：以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D - xyz ，如图所示．由题意知各点坐标如下：D (0，0，0)，E (1，0，0)，C (0，2，0)， A (0，2，2)，B (1，1，0)．设平面ADE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．可算得AD ＝(0，－2，－2)，AE ＝(1，－2，－2)，DB →＝(1，1，0)．由⎩⎨⎧m ·AD ＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎨⎧－2y 1－2z 1＝0，x 1－2y 1－2z 1＝0，可取m ＝(0，1，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎨⎧－2y 2－2z 2＝0，x 2＋y 2＝0，可取n ＝(1，－1，2)．于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝33×2＝32.由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角B - AD - E 的大小是π6.G12 单元综合10．[2014·江西卷] 如图1-4所示，在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AB ＝11，AD ＝7，AA 1＝12.一质点从顶点A 射向点E (4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为L i (i ＝2，3，4)，L 1＝AE ，将线段L 1，L 2，L 3，L 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )图1-4A BC D图1-510．C [解析] 由题意，L 1＝AE ＝13.易知点E 在底面ABCD 上的投影为F (4，3，0)，根据光的反射原理知，直线 AE 和从点E 射向点E 1的直线E 1E 关于EF 对称，因此E 1(8，6，0)，且L 2＝L 1＝13.此时，直线EE 1和从点E 1射出所得的直线E 1E 2关于过点E 1(8，6，0)和底面ABCD 垂直的直线对称，得E ′2(12，9，12)．因为12>11，9>7，所以这次射出的点应在面CDD 1C 1上，设为E 2，求得L 3＝E 1E 2＝133，L 3<L 2＝L 1.最后一次，从点E 2射出，落在平面A 1B 1C 1D 1上，求得L 4＝263>L 3.故选C.7．[2014·北京卷] 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，D (1，1，2)．若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D - ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2D ．S 3＝S 2且S 3≠S 17．D [解析] 设顶点D 在三个坐标平面xOy 、yOz 、zOx 上的正投影分别为D 1、D 2、D 3，则AD 1＝BD 1＝2，AB ＝2，∴S 1＝12×2×2＝2，S 2＝SOCD 2＝12×2×2＝2，S 3＝SOAD 3＝12×2×2＝ 2.∴选D. 19．、、、[2014·湖北卷] 如图1-4，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ .(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．图1-419．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ＝1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1，所以BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .。

2014高考真题-立体几何大题(含解析)

解答题1． [2014·安徽卷19] 如图1-5所示，四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .图1-5(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．解： (1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC . 同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .2．[2014·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若图解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形的中心，连接OB ，则AO ⊥OB .因为∠BAD ＝π3，所以OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin π6＝1.又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝12＋⎝⎛⎭⎫122－2×1×12×cos π3＝34，所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM .又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内的两条相交直线OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM .3．[2014·陕西卷17] 四面体ABCD 及其三视图如图1-4所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB ，BD ，DC ，CA 于点E ，F ，G ，H .图1-4(1)求四面体ABCD 的体积；(2)证明：四边形EFGH 是矩形．解：(1)由该四面体的三视图可知，BD ⊥DC ，BD ⊥AD ，AD ⊥DC ，BD ＝DC ＝2，AD ＝1，∴AD ⊥平面BDC ，∴四面体ABCD 的体积V ＝13×12×2×2×1＝23.4．[2014·湖南卷18] 如图1-3所示，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是(1)证明：AB ⊥平面ODE ；(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值．解：(1)证明：如图，因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB .连接BD ，由题设知，△ABD 是正三角形，又E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB .而DO ∩DE ＝D ，故AB ⊥平面ODE .5．[2014·北京卷17] 如图1-5，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．图1-5(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积．解：(1)证明：在三棱柱ABC -A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.6．[2014·湖北卷20] 如图1-5，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明：(1)连接AD1，由ABCD -A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1.因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1，从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.7．[2014·江苏卷16] 如图1-4所示，在三棱锥P -ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.图1-4解：（1）∵D E，为PC AC，中点∴DE∥P A∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF∴P A∥平面DEF8．[2014·福建卷19] 如图1-6所示，三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A -MBC的体积．图1-6解：方法一：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD.9．[2014·新课标全国卷Ⅱ18] 如图1-3，四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P -ABD的体积V＝34，求A到平面PBC的距离．图1-3解：(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB，EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.10．[2014·广东卷18] 如图1-2所示，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图1-3折叠：折痕EF ∥DC ，其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ；(2)求三棱锥M - CDE 的体积．图1-2 图1-300:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2112,,2211.33CDE M CDE CDE CF DE PE S CD DE P CP MD V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅=====∴=⋅==11．[2014·山东卷18] 如图1-4所示，四棱锥P ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．图1-4(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：BE ⊥平面P AC .证明：(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ，所以O 为AC 的中点．又在△P AC 中，F 为PC 的中点，所以AP ∥OF ，又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .12．[2014·江西卷19] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1.(1)求证：A 1C ⊥CC 1；(2)若AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，问AA 1为何值时，三棱柱ABC - A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．解：(1)证明：由AA 1⊥BC 知BB 1⊥BC .又BB 1⊥A 1B ，故BB 1⊥平面BCA 1，所以BB 1⊥A 1C .又BB 1∥CC 1，所以A 1C ⊥CC 1.13．[2014·辽宁卷19] 如图1-4所示，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，(1)求证：EF ⊥平面BCG ；(2)求三棱锥D -BCG 的体积．附：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高．解：(1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC .又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD ，同理BG ⊥AD .又BG ∩CG ＝G ，所以AD ⊥平面BGC .又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .14．[2014·全国新课标卷Ⅰ19] 如图1-4，111侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.图1-4(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC -A1B1C1的高．解：(1)证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，由于BC1∩AO＝O，故B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.15．[2014·四川卷18] 在如图1-4所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1.(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．解：(1)证明：因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，所以AA1⊥平面ABC.因为直线BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC.又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内的两条相交直线，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.16．[2014·天津卷17] 如图1-4所示，四棱锥P - ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD ＝2，AD ＝2，P A ＝PD ＝5，E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面P AB ；．解：(1)证明：如图所示，取PB 中点M ，连接MF ，AM .因为F 为PC 中点，所以MF ∥BC ，且MF ＝12BC .由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ，又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形，所以EF ∥AM .又AM ⊂平面P AB ，而EF ⊄平面P AB ，所以EF ∥平面P AB . 17．[2014·浙江卷20] 如图15，在四棱锥A BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，∠CDE ＝∠BED ＝90°，AB ＝CD ＝2，DE ＝BE ＝1，AC ＝ 2.图1-5(1)证明：AC ⊥平面BCDE ；(2)求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值．解：(1)证明：连接BD ，在直角梯形BCDE 中，由DE ＝BE ＝1，CD ＝2，得BD ＝BC ＝2，由AC ＝2，AB ＝2，得AB 2＝AC 2＋BC 2，即AC ⊥BC .又平面ABC ⊥平面BCDE ，从而AC ⊥平面BCDE .18．[2014·重庆卷20] 如图1-4所示四棱锥P ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB＝2，∠BAD ＝π3，M 为BC 上一点，且BM ＝12.(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若MP ⊥AP ，求四棱锥P -ABMO 的体积．图解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD 为菱形，O 为菱形的中心，连接OB ，则AO ⊥OB .因为∠BAD ＝π3，所以OB ＝AB ·sin ∠OAB ＝2sin π6＝1.又因为BM ＝12，且∠OBM ＝π3，在△OBM 中，OM 2＝OB 2＋BM 2－2OB ·BM ·cos ∠OBM ＝12＋⎝⎛⎭⎫122－2×1×12×cos π3＝34，所以OB 2＝OM 2＋BM 2，故OM ⊥BM .又PO ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内的两条相交直线OM ，PO 都垂直，所以BC ⊥平面POM .19．[2014·全国卷19] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝CC 1＝2.(1)证明：AC 1⊥A 1B ；(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为3，求二面角A 1 AB C 的大小．图1-1解：方法一：(1)证明：因为A 1D ⊥平面ABC ，A 1D ⊂平面AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .又BC ⊥AC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C .连接A 1C ，因为侧面AA 1C 1C 为菱形，故AC 1⊥A 1C .由三垂线定理得AC1⊥A1B.。

2014高考数学立体几何真题

33A．3 C．1 D. 22
G2 空间几何体的三视图和直观图
四、11．[2014·北京卷] 某三棱锥的三视图如图1-3所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_____1-1所示，则该三棱锥的体积是(锥体体积公
数学
G单元立体几何
G1 空间几何体的结构
*一、19．、、[2014·安徽卷] 如图1-5所示，四棱锥P - ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH
.
图1-5
(1)证明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．
*二、 3．[2014·福建卷] 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )
A．2π B．π C．2 D．1
三、7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 正三棱柱ABC - A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A - B1DC1的体积为( )
1式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)( )
3
图1-1 A．3 B．2 3 D．1
六、7．[2014·重庆卷] 某几何体的三视图如图1-2所示，则该几何体的体积为( )
1

2014年广东省高考大题训练(三) 立体几何(附答案及评分标准)

2014年广东省高考大题训练（三）立体几何（附答案及评分标准）1．（本小题满分14分）将棱长为a 正方体截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点E ，F 分别是BC ， DC 的中点．（1）证明：1AF ED ⊥；（2）求三棱锥1E AFD -的体积．解：（1）证：连接DE ，交AF 于点O ．……………………………………………………………………1分 ∵1D D ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ，∴1D D AF ⊥．………3分 ∵点E ，F 分别是BC ，1D C 的中点，∴DF CE =．又∵AD DC =，90ADF DCE ∠=∠=， ∴ADF ∆≌DCE ∆，∴AFD DEC ∠=∠．又∵90CDE DEC ∠+∠=∴90CDE AFD ∠+∠=．∴()18090DOF CDE AFD ∠=-∠+∠=，即AF DE ⊥．…………………………………5分又∵1D DDE D =∴AF ⊥平面1D DE ．………………………………………………………7分又∵1ED ⊂平面1D DE ，∴1AF ED ⊥．…………………………………………………………8分（2）∵1D D ⊥平面ABCD ，∴1D D 是三棱锥1D AEF -的高，且1D D a =．……………………9分 ∵点E ，F 分别是BC ，1D C 的中点，∴2aDF CF CE BE ==== ∴AEF ADF FCE ABEABCD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形2111222a AD DF CF CE AB BE =-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅2222234848a a a a a =---=．……………………………………………………………12分 ∴11E AFD D AEF V V --=113AEF S D D ∆=⋅⋅2313388a a a =⋅⋅=．………………………………………14分A 1B 1C 1D 1 A B C D D 1 D CB A 1A EF 第1题图（1）第1题图（2） D 1DC BA 1AE F O2．（本小题满分14分）如图所示，圆柱的高为2，PA 是圆柱的母线，四边形ABCD 为矩形，，，42==BC AB G F E ，，分别是线段CD PD PA ，，的中点．（1）求证：//PB 面EFG ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（3）在线段BC 上是否存在一点M ，使得D 到平面PAM 的距离为2？若存在，求出BM ；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：取AB 中点H ，连结GH ，HE ．∵G F E ，，分别是线段CD PD PA ，，的中点， ∴EF AD GH ////．∴H G F E ，，，四点共面． ………………2分又H 为AB 中点，∴PB EH //．……………………………………3分又⊂EH 面EFG ，⊄PB 平面EFG ，∴//PB 面EFG ．………4分（2）证明：∵PA 是圆柱的母线，∴⊥PA 圆柱的底面，………………5分 ∵⊂CD 圆柱的底面，∴CD PA ⊥，又∵ABCD 为矩形，∴AD CD ⊥，而A PA AD = ，∴⊥CD 平面PAD ， ………7分又⊂CD 平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面PAD ．………………9分（3）假设在BC 上是否存在一点M ，使得D 到平面PAM 的距离为2，则以PAM △为底、 D 为顶点的三棱锥的高为2，连结AM ，则22222BM BM AB AM +=+=．由（2）知AM PA ⊥，∴2224222121BM BM AM PA S PAM +=+⨯=⋅=△． ∴224322431231BM BM S V PAM PAM D +⋅=⋅+⋅=⋅=-△． ……………………………11分∵4242121=⨯⨯=⋅=AB AD S AMD △，∴38243131=⨯⨯=⋅=-PA S V AMD AMD P △．……12分∵AMD P PAM D V V --=，∴384322=+⋅BM ，解得：32=BM ．∵432<，∴在BC 上存在一点M ，当32=BM 使得D 到平面PAM 的距离为2．…………………14分3．（本小题满分14分）如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，DB AC ⊥，点M 是棱1BB 上一点．（1）求证：//11D B 面BD A 1；（2）求证：MD AC ⊥；（3）若ABD S △=2，四棱柱1111D C B A ABCD -的高为3，求四棱锥111B BDD A - 的体积．解：（1）证明：由直四棱柱,得1111//,BB DD BB DD =且，∴11BB D D 是平行四边形．∴11//B D BD ．………………………………………………………3分而⊂BD 面BD A 1，⊄11D B 面BD A 1，∴//11D B 面BD A 1．…………………………………5分A BCDM SP（2）证明：∵1BB ⊥面ABCD ，⊂AC 面ABCD ，∴1BB AC ⊥．………………………………7分又∵AC BD ⊥，且1BD BB B ⋂=，∴⊥AC 面D BB 1．而⊂MD 面D BB 1，∴MD AC ⊥． ……………………………………………………………10分（3）323232311111111111=⨯⨯=⋅=⋅-⋅=-=---AA S AA S AA S V V V ABD ABD ABD ABD A ABD D B A B BDD A △△△ 4323232311111111111=⨯⨯=⋅=⋅-⋅=-=---AA S AA S AA S V V V ABD ABD ABD ABD A ABD D B A B BDD A △△△…………………14分4．（本小题满分14分）如图，在直角梯形ABCD 中，90A D ∠=∠=，AB CD <， SD ⊥平面ABCD ，AB AD a ==，2SD a =．（1）求证：平面SAB ⊥平面SAD ；（2）设SB 的中点为M ，且DM MC ⊥，试求出四棱锥S ABCD -的体积．解：（1）证明：90,.A AB AD ∠=∴⊥又SD ⊥平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，SD AB ∴⊥． ………………2分 AB ∴⊥平面SAD ．………4分又AB ⊂平面SAB ，∴平面SAB ⊥平面SAD ． …………………………6分（2）连结,90,BD A AB AD a ∠===2,45BD a SD BD BDA ∴=∴=∠=又M 为SB 中点，DM SB ∴⊥． …………………………………………8分由条件DM MC ⊥，MC SB M ⋂=，DM SBC ∴⊥面．又BC SBC ⊂面，则DM BC ⊥．………………………………………………………………10分由（1）可知SD BC ⊥，SD DM D ⋂=， BC SDB ∴⊥面，则BC BD ⊥．……………12分由平面几何知识，则BDC ∆是等腰直角三角形，则22DC DB a ==，……………………13分故31122().23322S ABCD ABCD a a V S SD a a a -+=⋅=⋅=．……………………………………14分5．（本小题满分13分）如图，矩形ABCD 中，对角线BD AC 、的交点为AD G ，⊥平面，ABE F BC EB AE EB AE ，，2===⊥为CE 上的点，且CE BF ⊥．（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ；（3）求三棱锥GBF C -的体积．解：（1）证明：AD ⊥面ABE ，//AD BC ，AB CD M SBC ∴⊥面ABE ，AE BC ∴⊥．…………………………………………………………………2分又 AE EB ⊥，BC EB B =，AE ∴⊥面BCE ．……………………………………………………4分（2）证明：矩形ABCD 中，G 是AC 中点，EB BC =且BF CE ⊥，F ∴为EC 中点．……………………6分在AEC ∆中，//FG AE ，又FG ⊂面BFG ，AE ⊄面BFG ， //AE ∴面BFG ． …………………………………………………8分（3）F G 、分别是EC AC 、的中点，//FG AE ∴且112FG AE ==． …………………………………9分 AE ⊥面BCE ，FG ∴⊥面BCE ． …………………………………………………………11分在Rt BCE ∆中，2EB BC ==，F 是EC 的中点，1111222BCF BCE S S BE BC ∆∆∴==⋅⋅=．…………………………………………………………12分1133C BFG G BCF BCF V V S FG --∆∴==⋅=．…………………………………………………………13分6．（本小题满分14分）如图所示，圆柱的高为2，PA 是圆柱的母线，ABCD 为矩形， 2=AB ，4=BC ，G F E 、、分别是线段CD PD PA ，，的中点．（1）求证：平面⊥PDC 平面PAD ；（2）求证：//PB 面EFG ；（3）在线段BC 上是否存在一点M ，使得D 到平面PAM 的距离为2？若存在，求出BM ；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：∵PA 是圆柱的母线，∴PA ⊥圆柱的底面． ……………………………………………1分 ∵CD ⊂圆柱的底面，∴PA ⊥CD ．又∵ABCD 为矩形，∴CD ⊥AD而AD PA =A ，∴CD ⊥平面PAD ．………………………………3分又CD ⊂平面PDC ，∴平面⊥PDC 平面PAD ．……………………4分（2）证明：取AB 中点H ，连结GH ，HE ，∵G F E 、、分别是线段CD PD PA ，，的中点，∴EF AD GH ////． ∴H G F E ，，，四点共面． ……………………………………………6分又H 为AB 中点，∴PB EH //． ………………………………………7分又⊂EH 面EFG ，⊄PB 平面EFG ，∴//PB 面EFG ． …………9分（3）假设在BC 上存在一点M ，使得点D 到平面PAM 的距离为2，则以PAM △为底、D 为顶点的三棱锥的高为2，连结AM ，则AM 22AB BM +222BM +由（2）知PA ⊥AM ∴PAM S △=2221122422PA AM BM BM •=⨯+=+ ∴PAM D V -=123PAM S ∆••=13•242BM +2243BM +…………………………………11分 ∵1142422AMD S AD AB ∆=•=⨯⨯=，∴11842333P AMD AMD V S PA -∆=•=⨯⨯=…………12分∵PAM D V -=AMD P V -，∴2243BM +=83，解得：23BM = ∵34<，∴在BC 上存在一点M ，当23BM =使得点D 到平面PAM 的距离为2．………………14分 7．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF AB //，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（1）求证：NC ∥平面MFD ；（2）若3EC =，求证：FC ND ⊥；（3）求四面体NFEC 体积的最大值．解：（1）证明：∵四边形MNEF ，EFDC 都是矩形， ∴MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==．∴四边形MNCD 是平行四边形，∴NC ∥MD ， ………3分 ∵NC ⊄平面MFD ，∴NC ∥平面MFD ． ……………4分（2）证明：连接ED ，设ED FC O =．∵平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，∴⊥NE 平面ECDF ，∴FC NE ⊥．……………………6分 ∵EC CD =，∴四边形ECDF 为正方形， ∴FC ED ⊥． ………………………………………………7分 ∴⊥FC 平面NED ，∴FC ND ⊥． ……………………9分（3）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（1）得⊥NE 平面FEC ， ∴四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-．………………………………11分 ∴21(4)[]222NFEC x x V +-≤=．…………………………………………………………………13分当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大．………………………………14分8．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面 ⊥PAD 底面ABCD ，且22PA PD AD ==．（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求三棱锥C PBD -的体积．解：（1）证明：连结AC ，则F 是AC 的中点，E 为PC 的中点．故在△CPA 中，//EF PA ，……………………………………………………………………… 3分且PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴EF ∥平面PAD ．……………………………… 5分（2）取AD 的中点M ，连结PM ，PA PD =，∴PM AD ∴⊥．…………………………………7分A B C D E F A CDEF P又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，∴PM ABCD ∴⊥平面． ……………………………………………………………………………9分 ∴31111332212C PBD P BCD BCD a V V S PM a a a --∆∴==⋅=⋅⋅⋅=．……………………………………12分9．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为直角梯形，︒=∠90ADC ，AD BC //，CD BC =AD 21=，PD PA =，F E 、为PC AD 、的中点．（1）求证：//PA 平面BEF ；（2）求证：PB AD ⊥．解：（1）证明：连结AC 交BE 于O ，并连结FO EC 、．∵AD BC //，AD BC 21=，E 为AD 的中点，∴BC AE //，且BC AE =．∴四边形ABCD 为平行四边形．∴O 为AC 中点．又∵F 为PC ，∴PA OF //．∵⊂OF 平面BEF ，⊄PA 平面BEF ，∴//PA 平面BEF ．……………………………………7分（2）证明：连结PE ．∵PD PA =，E 为AD 的中点，∴AD ⊥PE ．∵AD BC //，AD BC 21=，E 为AD 的中点，∴BCDE 为平行四边形，∴CD BE //，∵AD ⊥CD ，∴AD ⊥BE ． ∵E BE PE = ，∴AD ⊥平面PBE ．∵⊂PB 平面PBE ，∴PB AD ⊥． ……………………………………………………………14分。

高考立体几何真题(理科)

2014年高考立体几何真题(理科）1,(全国大纲）19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（1）证明：11AC A B ⊥；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小.2,(全国新课标2）18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD 的体积.3,(全国新课标1）19. （本小题满分12分）如图三棱锥111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.（Ⅰ）证明：1AC AB =；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o160CBB ∠=，AB=Bc ，求二面角111A A B C --的余弦值.4,(辽宁）19. （本小题满分12分）如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点.（1）求证：EF BC ⊥；（2）求二面角E BF C --的正弦值.5,(北京）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,.（1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF所成角的大小，并求线段PH 的长.6,(天津）（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，AD AB ^，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.（Ⅰ）证明 BE DC ^；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ^，求二面角F AB P --的余弦值.7（福建）17.（本小题满分12分）在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BCD CD BD ⊥⊥.将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图.（1）求证：CD ⊥CD ；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.8(安徽）20（本小题满分 13 分）如果，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥底面ABCD 。

2014届高三理科立体几何训练题三

2014届高三理科立体几何训练题三1. 三棱柱111C B A ABC -的直观图及三视图（主视图和俯视图是正方形，左侧图是等腰直角三角形）如图，D 为AC 的中点.（1）求证：//1AB 平面1BDC （2）求证：⊥C A 1平面1BDC （3）求二面角1A BC D --的正切值.2. 在边长为4cm 的正方形ABCD 中,E 、F 分别为BC 、CD 的中点,M 、N 分别为AB 、CF 的中点,现沿AE 、AF 、EF 折叠,使B 、C 、D 三点重合,重合后的点记为B ,构成一个三棱锥. （1）请判断MN 与平面AEF 的位置关系,并给出证明（2）证明AB ⊥平面BEF （3）求二面角M EF B --的余弦值.ABCDAA A A1B1C1A3. 如图，菱形ABCD 的边长为4，60BAD ∠= ，AC BD O = .将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -，点M 是棱BC 的中点，DM =（1）求证：//OM 平面ABD （2）求证：平面DOM ⊥平面ABC （3）求二面角D AB O --的余弦值.A C D1A 1B1C O S 1S 1O 1CAB CD1A1BH EABCD1A1B 1CO2014届高三理科立体几何训练题三参考答案1.解:由三视图可知，几何体为直三棱柱ABC —111C B A ，侧面CB C B 11 为边长为2的正方形，底面ABC 是等腰直角三角形，2,==⊥BC AB BC AB（1）连BC 交C B 1于O ，连接OD ，在1CAB ∆中，O ，D 分别是C B 1，AC 的中点，1//AB OD ∴ 而⊄1AB 平面1BDC ，⊂OD 平面1BDC ，//1AB ∴平面1BDC （2）直三棱柱ABC —111C B A 中，⊥1AA 平面ABC ，⊂BD 平面ABC ，BD AA ⊥∴1，2==BC AB ，D 为AC 的中点，AC BD ⊥∴， ⊥∴BD 平面C C AA 11，C A BD 1⊥∴①又B B B A C B B A 1111111,⊥⊥，1111111,BC B A CB C B B A ⊥∴⊥∴平面在正方形C B A B A C B C B BC CB C B 111111111,,平面又中⊂⊥C A BC C B A BC B B A C B 111111111,,⊥∴⊥∴=平面 ②由①②，又111,,BDC BC BD B BC BD 平面⊂= ，11BDC C A 平面⊥∴（3）解法一；提示：所求二面角与二面角C-1BC -D 互余取BC 中点H ，有DH ⊥平面1BCC ，过H 作1BC 垂线，垂足为E ，1111111DH BC DH BCC BC EDH EH BC BC BCC DE EDHDH EH H DE BC ⊥⎫⊥⊂⎫⎫⎪⇒⊥⇒⎬⎬⎬⊂⊂⎭⎭⎪=⎭⇒⊥ 平面平面平面平面所以二面角C-1BC -D 的平面角是∠DEH1tan 2DH DH EH DEH EH==∴∠==A-1BC -D 与二面角C-1BC -D 互余，所以二面角A-1BC -D 的正切值为2；解法二（补形）如图补成正方体，易得∠O 1OS 为二面角的平面角，1112,tan O O O S O OS ==∴∠=解法三（空间向量法）以1B 为原点建系，易得1(2,2,0),(1,0,1)CB BD =-=设平面1BC D 的法向量1(,,),n x y z = 由111,n CB n BD ⊥⊥得2200x y x z -+=⎧⎨+=⎩令1x =得1(1,1,1),n =- 又平面1BC A 的法向量21(2,2,0),n B C ==设二面角A-1BC -D 的平面角为θ所以12cos cos ,tan 2n n θθ=<>=∴=2.解:(1)MN 平行平面AEF证明:由题意可知点M N 、在折叠前后都分别是AB CF 、的中点(折叠后B C 、两点重合)所以MN 平行AF ，因为MN AEF AF AEF MN AF ⊄⎧⎪⊂⎨⎪⎩面面平行,所以MN 平行平面AEF(2)证明:由题意可知AB BE ⊥的关系在折叠前后都没有改变因为在折叠前AD DF ⊥,由于折叠后AD AB 与重合,点D F 与重合,所以AB BF ⊥因为=AB BE AB BF BE BEF BF BEF BE BF B⊥⎧⎪⊥⎪⎪⊂⎨⎪⊂⎪⋂⎪⎩面面,所以AB ⊥平面BEF(3)解:,,EF G MF BG MG 记的中点为连接、、,,BE BF ME MF BG EF MG EF ==⇒⊥⊥且故MGB ∠是二面角M EF B --的平面角因为AB ⊥BEF 面,所以090MGB ∠=.在BEF ∆中, BG =,由于2MB =,所以MG ==于是cos MGB ∠==，所以,二面角M EF B --3.（1）因为O 为AC 的中点，M 为BC 的中点，所以//OM AB .因为OM ⊄平面ABD ，AB ⊂平面ABD ，所以//OM 平面ABD .（2）因为在菱形ABCD 中，OD AC ⊥，所以在三棱锥B ACD -中，OD AC ⊥.在菱形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，60BAD ∠= ，所以BD ＝4.因为O 为BD 的中点，所以122OD BD ==.因为O 为AC 的中点，M 为BC 的中点，所以122OM AB ==. 因为2228OD OM DM +==，所以90DOM ∠= ，即OD OM ⊥.因为AC ⊂平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，AC OM O = ，所以OD ⊥平面ABC . 因为OD ⊂平面DOM ，所以平面DOM ⊥平面ABC .（3）作OE AB ⊥于E ，连结DE .由（2）知，OD ⊥平面ABC ，所以OD ⊥AB .因为OD OE O ＝，所以AB ⊥平面ODE .因为DE ⊂平面ODE ，所以AB DE ⊥. 所以DEO ∠是二面角D AB O --的平面角.在Rt △DOE 中，2OD =，OA OBOE AB⨯==DE ==所以cos OE DEO DE ∠==.所以二面角D AB O --的余弦值为.。

2014高考立体几何解答题及答案

2014高考立体几何解答题及答案一．解答题（共17小题）1．（2014•山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．BC=2．（2014•四川）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．MD=AC3．（2014•湖北）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD；（Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点，，试确定λ的值，使得二面角Q﹣BD﹣P为45°．的法向量，利用的法向量的坐标，由两个法向量的数量积运算表示二面角的余弦值，化简后求出，且，，=，，4．（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．PA=3EF=BC=45．（2014•黄山一模）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求四面体PEFC的体积．AECD AE CDCD=，=V=6．（2014•南海区模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求证：OE∥平面PDC；（Ⅲ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．的法向量为，∴=，，，的法向量为，即，解得，又所成角的正弦值为7．（2014•天津模拟）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1=2．（1）求证：B1B∥平面D1AC；（2）求证：平面D1AC⊥平面B1BDD1．8．（2013•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E 和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．9．（2013•天津）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．ACD=BG==，所成角的正弦值10．（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．PC=AD=CD=PAPA=，．OD=DGO==，可得，解得GC=﹣，∴=11．（2013•湖南）如图．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E 在棱BB1上运动．（1）证明：AD⊥C1E；（2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1﹣A1B1E的体积．面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥=E=S××12．（2012•山东）如图，几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：BE=DE；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．AB=AF13．（2012•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．14．（2011•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC 中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．MN=PO=1中，，所以，中，=所成的正切值为15．（2011•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．，则，代入公式可求的法向量的法向量，，﹣，，，=|）知，设的法向量令，的法向量所以的法向量=0t=PA=16．（2010•深圳模拟）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．法二：建立空间直角坐标系，和，利用，又的平面角的大小为，的中点．，，，所以向量的夹角等于二面角的平面角．的大小为17．（2010•重庆）如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．（1）求证：AB⊥平面PCB；（2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．，PB=COD=。

2014年全国高考试卷立体几何部分汇编(下)

2014年全国高考试卷立体几何部分汇编（下）1. （2014山东理13）三棱锥P ABC -中，,D E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC-的体积为2V ，则12V V =_____．【解析】 142. （2014山东理17）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，60DAB ∠=，22AB CD ==，M 是线段AB 的中点．⑴求证：1C M ∥平面11A ADD ；⑵若1CD 垂直于平面ABCD且1CD =11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值．ABCDMB 1A 1C 1D 1【解析】 ⑴ 证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =所以AB DC ∥,又由M 是AB 中点，因此//CD MA 且CD MA =．连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为11//CD C D ,11CD C D =可得1111//=C D MA C D MA ，所以四边形11AMC D 为平行四边形，因此11//C M D A 又1C M ⊄平面11A ADD ，1D A ⊂平面11A ADD , 所以1//C M 平面11A ADD ⑵ 由⑴知，平面11D C MABCD AB =过C 向AB 做垂线交AB 于N ，连接1D N ,由1CD ⊥面ABCD ，可得1D N AB ⊥，故1D NC ∠为二面角1C AB C --的平面角在1Rt D CN △中，160BC NBC =∠=︒，可得CN =所以1ND = 在1Rt D CN △中，11cos CN D NC D N ∠===, 所以平面11C D M 和平面ABCD．3. （2014山东文13）一个六棱锥的体积为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为．【解析】 124. （2014山东文18）如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面12PCD AD BC AB BC AD E F ,,==,,∥分别为线段AD PC ,的中点．⑴求证：AP ∥平面BEF ； ⑵求证：BE ⊥平面PACCBADFEP【解析】 ⑴ 连接AC 交BE 于点O ，连接OF ，不妨设1AB BC ==，则2AD =，AB BC AD BC =∴，，∥四边形ABCE 为菱形又O F ，分别为中点，OF AP ∴∥ ∵OF ⊂平面BEF ，∴AP ∥平面BEF ⑵ ∵AP ⊥面PCD ，CD ⊂面PCD ，∴AP CD ⊥BC ED BC ED BCDE =∴，，∥为平行四边形， BE CD BE PA ∴∴⊥，∥又ABCE 为菱形，BE AC ∴⊥又PA AC A =∩，PA AC ⊂，平面PAC ，BE ∴⊥平面PAC ． 5. （2014陕西理5）已知底面边长为1，则该球的体积为（）A ．32π3B ．4πC ．2πD ．4π3【解析】 D如图为正方形四棱柱1AC．根据题意得AC =11ACC A 为正方形，所以外接球直径14π2213R AC R V ==∴=∴=球，，，故选D ．F E DCAGHACD D 1C 1B 1A 1B6. （2014陕西理17）四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD BC ，的平面分别交四面体的棱BD ，DC CA ,于点F G H ,,． ⑴证明：四边形EFGH 是矩形；⑵求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值．俯视图左视图DEFHGCBA【解析】 ⑴ 由该四面体的三视图可知．21BD DC BD AD AD DC BD DC AD ⊥⊥⊥===，，，，．由题设BC ∥平面EFGH ，平面EFGH ∩平面BDC FC =，平面EFGH ∩平面ABC EH =，BC FG BC EH FG EH ∴∴∥∥∥，，．同理EF AD HG AD EF HG ∴∥∥∥，，∴四边形EFGH 是平行四边形．又AD DC AD BD AD ⊥⊥∴⊥，，平面BDC ，AD BC EF FG ∴⊥∴⊥，，∴四边形EFGH 是矩形，⑵ 解法一：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则(000)(001)D A ，，，，，(200)(020B C ，，，，，）． 001(21)DA BC =-＝（，，），，0，，(201)BA =-，，．设平面EFGH 的法向量()n x y z =，，，∵EF AD FG BC ∥，∥．∴0n DA ⋅=，0n BC ⋅=．得0220z x y =⎧⎨-+=⎩．．取(110)n =,,．∴sin cos 5BA n BA n BA nθ⋅===，．解法二：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则(000)(001)D A ，，，，，(200)(020B C ，，，，，）．∵E 是AB 的中点，∴F G ，分别为BD DC ，得110(100)(010)2E F G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，．100(110)(201)2FE FG BA ⎛⎫∴==-=- ⎪⎝⎭，，，，，，，，．设平面EFGH 的法向量()n x y z =，，．则00n FE n FG ⋅=⋅=，．得1020z x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，，取(110)n =，，．∴sin cos 5BA n BA n BA nθ⋅=,===7. （2014陕西文5）将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A ．4π B ．3π C ．2π D ．π 【解析】 C8. （2014陕西文17）四面体ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱AD ，BC 的平面分别交四面体的棱AB BD DC CA ，，，于点E F G H ，，，．⑴求四面体ABCD 的体积；⑵证明：四边形EFGH 是矩形．ABCGHFED左视图俯视图【解析】 ⑴ 由该四面体的三视图可知，BD DC ⊥，BD AD ⊥，AD DC ⊥，2BD DC ==，1AD =， ∴AD ⊥平面BDC∴四面体ABCD 的体积112221323V =⨯⨯⨯⨯=．⑵ 证明：∵BC ∥平面EFGH ，平面EFGH 平面BDC FG =，平面EFGH 平面ABC EH =，∴BC FG ∥，BC EH ∥，∴FG EH ∥．同理，EF AD ∥，HG AD ∥，∴EF HG ∥， ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵AD ⊥平面BDC ， ∴AD BC ⊥，EF FG ⊥，∴四边形EFGH 是矩形．9. （2014上海理19）底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是123PP P △，如图，求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积VP 12【解析】根据题意可得12,,P B P 共线，∵112ABP BAP CBP ∠=∠=∠，60ABC ∠=， ∴11260ABP BAP CBP ∠=∠=∠= ∴160P ∠=，同理2360P P ∠=∠=，∴123PP P ∆是等边三角形，P ABC -是正四面体； ∴123PPP ∆边长为4；3P ABC V AB -==10. （2014四川理8）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。

2014高考立体几何真题汇编

CC1 上，直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为，则 sin 的取值范围是（）
A． [
3 ,1] 3 6 2 2 , ] 3 3
B． [
6 ,1] 3 2 2 ,1] 3
C． [
D． [
立体大题
1．（2014 安徽理 20）如图，四棱柱
ABCD A1B1C1D1 中， A1 A 底面 ABCD ．四边形 ABCD 为梯形，
7．（2014 江西理 19）如图，四棱锥 P ABCD 中， ABCD 为矩形，平面 PAD 平面 ABCD ． (1)求证： AB PD; (2)若 BPC 90 , PB 2, PC 2, 问 AB 为何值时，四棱锥 P ABCD 的体积最大？并求此时平面
PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值．
ABCD A1B1C1D1 中， AB =11， AD =7， AA1 =12，一质点从顶
E 4， 312 ，
，
，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将 i 1 次到第 i 次反射点之间的线
Li i 2,3,4
L1 AE ，将线段 L1 , L2 , L3 , L4 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）
13．（2014 全国理 19）如图，三棱柱 ABC A1B1C1 中，点 A1 在平面 ABC 内的射影学科网 D 在 AC 上，
ACB 900 ， BC 1, AC CC1 2 ．
（1）证明： AC1 A 1B ；（2）设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 3 ，求二面角 A1 AB C 的大小．
14．（2014 湖北理 5）在如图所示的空间直角坐标系 O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）

2014年高考数学立体几何试题汇编

2014年高考数学立体几何试题汇编—选择题1．（四川理）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。

设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是 A． B．D． 2、（四川文）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高） A 、3B 、2CD 、13.（大纲文）已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（）A ．16 B．6 C ．13D．34．（广东理）已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）5．（广东理）若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 6. （广东文）若空间中四条两两不相同的直线1l ，2l ，3l ，4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.1l 与4l 既不平行也不垂直D.14l l 与位置关系不确定7.（课标1文）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱侧视图俯视图112222118．（大纲理）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π9.（大纲理）已知二面角l αβ--为060，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，0135ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．14 B ．4 C ．4 D ．1210、（湖北理）在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A. ①和②B.③和①C. ④和③D.④和②11（北京理）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）（A ）123S S S == B ）12S S =且 31S S ≠（C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠12（江西理）一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）13（全国文）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（A ）1727 （B ） 59 （C ）1027 (D) 1314（新课标理）直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（）A. 110B. 25C.D.15（全国文）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 终点，则三棱锥111A A B C -的体积为（）（A ）3 （B ）32 （C ）1 （D ）216.（新课标理）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .B .C .6D .417（重庆理）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.7218（重庆文）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.12B.18C.24D.302014年高考数学立体几何试题汇编—填空题1（天津理）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_______3m . 2.（北京文）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.侧（左）视图正（主）视图3（课标1文）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m.4（山东文）一个六棱锥的体积为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为。

立体几何2014年高考

立体几何1.在如图所示的多面体中，底面BCFE 是梯形，EF//BC ，又EF ⊥平面AEB ，,//.24AE EB AD EF BC AD ⊥==，3,2,EF AE BE G BC ===为的中点.（I ）求证：AB//平面DEG ；（2）求证：BD EG ⊥；（3）求二面角C —DF —E 的正弦值. 解：（1）证明：//,//,//AD EF EF BC AD BC ∴，2,//,BC AD G BC AD BG AD BG =∴=为的中点，且.//.ABGD AB DG ∴∴四边形是平行四边形， …………2分 ,,//.AB DEG DG DEG AB DEG ⊄⊂∴平面平面平面…………4分(2)证明：EF AEB AE AEB BE AEB ∴⊥⊂⊂平面，平面，平面,,,,,,EF AE EF BE AE EB EB EF EA ∴⊥⊥⊥∴两两垂直.……6分以点E 为坐标原点，,,,,EB EF EA x y z 分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示，由已知得(002),(200),(240),(022),(030),(220).A B C D F G ，，，，，，，，，，，，(220),(22,2),=-2222200.EG BD EG BD ∴==-⋅⨯+⨯+⨯=，，，故BD EG ∴⊥ ………………………8分(3)由已知可得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的一个法向量. 设平面DCF 的一个法向量为()=x,y,z n ，(0-1,2(210)FD FC ==，），，，，20,11, 2.(1,2,1).20y z z x y x y -+=⎧∴==-==-⎨+=⎩n 令得即……………10分设二面角C FD E --的大小为θ，则cos cos ,66n EB θθ=<>==-=…………11分C DF E ∴--二面角………………………12分 2.如图1，在3090Rt ABC ACB ABC ∆∠=∠=中，，，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交于BC 于F ，将ABD ∆沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示. （I ）求证：AE ⊥平面BCD ；（II ）求二面角A DC B --的余弦值；（III ）已知点M 在线段AF 上，且EM//平面ADC ，求AMAF的值.3.如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,DC // AB ,BC CD ⊥,EA ED ⊥,且4AB =，2BC CD EA ED ====.（I ）求证：BD ⊥平面ADE ；（II ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；（III ）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由. 解：（I ）由BC CD ⊥，2BC CD ==.,可得BD =．由EA ED ⊥，且2EA ED ==可得AD = 又4AB =．所以BD AD ⊥．又平面EAD ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD =BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面ADE ．（II ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,B ，(C ，E ，(2,BE =-，(2,0,DE =，(DC =．x设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ，0DC ⋅=n ，即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)=-n ．设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，则||sin |cos ,|3||||BE BE BE ⋅=<>===⋅αn n n ．所以BE 和平面CDE 所成的角的正弦值3． ……………1０分（III ）设CF CE =λ，[0,1]λ∈．(DC =，CE =，(0,DB =.则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ．设(,,)x'y'z'=m 是平面BEF 一个法向量，则0EB ⋅=n ，0EF ⋅=n ，即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ令1x'=，则21(1,0,)λλ-=-m ．若平面BEF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BEF ⊥平面CDE .……………14分4. 如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD PA -⊥中，面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点.（I ）求证：BD FG ⊥；（II ）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由；（III ）当二面角B PC D --的大小为23π时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.。

2014年高考数学试题分类汇编立体几何 word版含答案

2014年高考数学试题汇编立体几何一．选择题1. （2014福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱A2. (2014新课标I)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4【答案】：C【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥D ABC -，其中4,42,25AB BC AC DB DC =====，()24246DA =+=，故最长的棱的长度为6DA =，选C3. (2014新课标II)如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A. 1727B. 59C. 1027D. 13【答案】 C..2710π54π34-π54π.342π944.2342π.546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==∴=•+•=∴=•=∴π 4（2014浙江）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cmD5. (2014江西)一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（）【答案】B【解析】俯视图为在底面上的投影，易知选：B6(2014重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.54B.60C.66D.72【答案】B【解析】BSSSSSS选，，，何体表的面积的上部棱锥后余下的几；截掉高为，高原三棱柱：底面三角形侧上下侧上下∴60s2273392318152156344*3=++=+=•++===7.（2014辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．82π-B．8π-C．82π-D．84π-【答案】B 【解析】..π-82)21*π-2*2(2B sh V 选几何体为直棱柱，体积===8(2014湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.49(2014安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18 7 A10. (2014湖北)在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②点评：本题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题。

2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word解析版)_九、立体几何(逐题详解)

2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word 解析版) 九、立体几何（逐题详解）第I 部分1.【2014年陕西卷（理05）】已知底面边长为1，侧棱长为2则正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）32.3A π .4B π .2C π 4.3D π2.【2014年重庆卷（理07）】某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（） A.54 B.60 C.66 D.723.【2014年安徽卷（理07）】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+（B ）318+（C ）21 （D ）184.【2014年福建卷（理02）】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A ．圆柱B ．圆锥C ．四面体D ．三棱柱 5.【2014年湖南卷（理07）】一块石材表示的几何体的三视图如图2所示. 将该石材切割、打磨，加工成球，则能得到最大球的半径等于 A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.【2014年辽宁卷（理04）】已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥俯视图左视图正视图3245正（主）视图侧（左）视图俯视图1111111111117.【2014年全国大纲卷（08）】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π第（7）题图8.【2014年四川卷（理08）】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。

设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A ．3[,1]3 B ．6[,1]3 C ．622[,]33 D ．22[,1]39.【2014年辽宁卷（理07）】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．82π-B ．8π-C ．82π-D ．84π-10.【2014年全国大纲卷（11）】已知二面角l αβ--为060，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，0135ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．14 B ．24 C ．34D ．1211.【2014年全国新课标Ⅰ（理12）】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .412.【2014年全国新课标Ⅱ（理06）】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（） A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 1313.【2014年全国新课标Ⅱ（理11）】直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（）A. 110B. 25C. 3010D.2214.【2014年北京卷（理07）】在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()1,1,2D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠15.【2014年广东卷（理07）】若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定 16.【2014年湖北卷（理05）】在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②17.【2014年湖北卷（理08）】.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。

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2014高考理科立体几何大题练习
1.如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1
A DE ∆的位置，
使1
A D CD ⊥，如图2．
（Ⅰ）求证： BC ⊥平面1
A DC ；（Ⅱ）若2
CD =，求BE
与平面1A BC
所成角的正弦值；（Ⅲ）当D 点在何处时，1
A B 的长度最小，并求出最小值．
2.如图，四棱锥ABCD P -中，底面
ABCD
为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，
E
为棱PD 的中点．
（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ；（Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值．
A
B C D E 图图A B
C D E
E
C 1
B 1
A 1
C
B
A
4. 如图，在直三棱柱111
ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1
2,AB AC AA ===E 是
BC
中点.
（I ）求证：1
//A B 平面1
AEC ；
（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11
B M
C E ⊥，求AM 的长；
（Ⅲ）求平面1
AEC 与平面11
ABB A 所成锐二面角的余弦值.
E
D
A B
C
P
5.如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2，3BC =，90=∠ABC °,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点. （Ⅰ）求证：DE‖平面PBC ; （Ⅱ）求证：AB ⊥PE ；
（Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小.
6.．如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面
ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤1)．
(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；
(2)若二面角C－AE－D的大小为60°，求λ的值．
7.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，
AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB ＝3，BC＝4.
(1)求证：BD⊥PC；
(2)求直线AB与平面PDC所成的角的大小；
(3)设点E在棱PC上，PE→＝λPC→，若DE∥平面PAB，求λ的值．
8.如图，在四棱锥S－ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD 上一点，AE＝ED＝3，SE⊥AD.
(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；
(2)若SE＝1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦
值．
9.在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝5，BC＝4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.
(1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；
(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．
10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，M，N分别是线段PB，AC上的动点，且不与端点重合，PM＝AN.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)当MN的长最小时，求二面角A－MN－B的余弦值．
11.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝2AA1，∠ABC＝90°，D是BC的中点．
(1)求证：A1B∥平面ADC1；
(2)求二面角C1－AD－C的余弦值；
(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E ，使AE 与DC 1成60°角？若存在，确定E 点位置；若不存在，说明理由．
12. 【成都石室中学2014届高三上期“一诊”模拟考试（二）（理）】（本小题满分12分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝CA ＝AA 1＝2，侧棱AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别
是棱A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且1
4
AF AB ．（Ⅰ）求证：EF ∥平面BDC 1；（Ⅱ）求二面角E －BC 1－D 的余弦值．
13. 【成都石室中学2014届高三上期“一诊”模拟考试（一）（理）】(本小题满分12分)已知直三棱柱1
1
1
C
B A AB
C -的三视图如图所示，且
D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1
A B ∥平面1
ADC ；
（Ⅱ）求二面角1
C A
D C --的余弦值；
（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1
DC 成60︒
角？
若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．
14. 【四川省眉山市高2014届第一次诊断性考试数学（理）】(12分)如图，正三棱柱ABC-A'B'C'中，D是BC 的中点，AA'=AB=2.
(1)求证：A'C//平面AB'D；
(2)求二面角D一AB'一B的余弦值。

15. 【四川省绵阳市高2014届第二次诊断性考试数学
（理）】（本题满分12分）如图，在直角梯形ABCD
中，AD//BC，∠ADC=90º，AE⊥平面ABCD，EF//CD，BC=CD=AE=EF=1
AD=1．
2
（Ⅰ）求证：CE//平面ABF；
（Ⅱ）求证：BE⊥AF；
（Ⅲ）在直线BC上是否存在点M，使二面角E-MD-A 的大小为
π？若存在，求出CM的长；若不存在，请
6
说明理由．
16. 【四川省绵阳南山中学2014高三12月月考数学（理）】(本题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝
BC ＝CA ＝AA 1＝2，侧棱AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别是棱A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AB AF 4
1=．（I ）求证：EF ∥平面BDC 1；
（II ）求二面角E －BC 1－D 的余弦值．
17. 【四川省成都七中高2014届高三“一诊”模拟考试数学（理）】如图四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四
边形，⊥PG 平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上且GD AG 3
1
=，GC BG ⊥，2
==GC GB ，E 是BC 的中点，四面体BCG P -的体积为3
8. （1）求二面角P BC D --的正切值；
（2）求直线DP 到平面PBG 所成角的正弦值；
（3）在棱PC 上是否存在一点F ，使异面直线DF 与GC 所成的角为0
60，若存在，确定点F 的位置，若不存在，说明
理由.。