求曲线方程专题训练

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曲线的轨迹方程 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

专题2：曲线的轨迹方程一、填空题1．圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 所在平面上与P 不重合的一个定点，P 是圆上任意一点，线段PA 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是________ ①椭圆；①双曲线；①抛物线；①圆；①一个点2．已知椭圆 22116x y += 的左右焦点为1F 、2F ，点P 为椭圆上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，过点Q 作y 轴的垂线，垂足为N ，线段QN 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为___________.3．过圆22:4O x y +=与y 轴正半轴的交点A 作圆O 的切线l ，M 为l 上任意一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ．当点M 在直线l 上运动时，①MAQ 的垂心的轨迹方程为________．4．已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1C ：22221x y a b+=的左、右顶点分别为1A ，2A .直线l ：()()2121m y m x y -+-=+（m R ∈）交椭圆于P ，Q 两点，直线1A P 和直线2A Q 相交于椭圆外一点R ，则点R 的轨迹方程为______.5．点M 为椭圆22195x y +=上一点，12,F F 为椭圆的两个焦点，则12F MF △的内心轨迹方程为____________.二、解答题6．在平面直角坐标系xOy 中，A B ，为抛物线()2:20C y px p =>上不同的两点，且OA OB ⊥，点D ()12，且⊥OD AB 于点D . （1）求p 的值；（2）过x 轴上一点 ()()00T t t ≠，的直线l 交C 于()11M x y ，，()22N x y ，两点，M N ，在C 的准线上的射影分别为P Q ，，F 为C 的焦点，若2PQF MNF S S ∆∆=，求MN 中点E 的轨迹方程.7．若动点M 到定点()0,1A 与定直线:3l y =的距离之和为4. （1）求点M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）记（1）得到的轨迹为曲线C ，问曲线C 上关于点()0,B t （t R ∈）对称的不同点有几对？请说明理由.8．已知直线x ＝﹣2上有一动点Q ，过点Q 作直线l ，垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP OQ 0⋅=(O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）已知定点M(12-，0)，N(12，0)，点A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求①MBD 的内切圆半径r 的取值范围．9．已知221(1)1C x y ：-+=，222(1)25C x y ++=：．（1）若直线L 与①C 1相切，且截①C 2的弦长等于L 的方程．（2）动圆M 与①C 1外切，与①C 2内切，求动圆M 的圆心M 轨迹方程．10．如图，设点 A 和B为抛物线 ()240y px p => 上原点以外的两个动点，已知 OA OB ⊥，OM AB ⊥．求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．11．设椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2，已知(),0A a 、()0,B b -，且原点到直线AB .，（①）求椭圆E 的方程；（①）已知过点()1,0M 的直线交椭圆E 于C 、D 两点，若存在动点N ，使得直线NC 、NM 、ND 的斜率依次成等差数列，试确定点N 的轨迹方程.12．已知抛物线C ：22x y =，过点(11)Q ,的动直线与抛物线C 交于不同的两点,A B ，分别以,A B 为切点作抛物线的切线1l 、2l ，直线1l 、2l 交于点P .（1）求动点P 的轨迹方程；（2）求PAB △面积的最小值，并求出此时直线AB 的方程. 13．已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),S x y 满足直线AS 与BS 的斜率之积为34-，记动点S 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程，并说明曲线C 是什么样的曲线；（2）设M ，N 是曲线C 上的两个动点，直线AM 与NB 交于点P ，90MAN ∠=︒.①求证：点P 在定直线上；①求证：直线NB 与直线MB 的斜率之积为定值.14．已知点1,0A ，E ，F 为直线1x =-上的两个动点，且AE AF ⊥，动点P 满足//EP OA ，//FO OP （其中O 为坐标原点）.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与轨迹C 相交于两不同点M 、N ，如果4OM ON ⋅=-，证明直线l 必过一定点，并求出该定点的坐标.15．已知椭圆C 的方程为2212y x +=，点P (a ，b )的坐标满足2212b a +≤，过点P 的直线l 与椭圆交于A ､B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求：（1）点Q 的轨迹方程；（2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数.16．已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为14-．记M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程，并说明是什么曲线；（2）设直线l 不经过点(0,1)P 且与曲线C 相交于点D ．E 两点．若直线PD 与PE 的斜率之和为2，证明：l 过定点．17．在直角坐标系内，点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，P 是坐标平面内的动点，且直线PA ，PB 的斜率之积等于14-，设点P 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程；（2）设过点()1,0且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C 相交于M ，N 两点，求证：直线AM ，BN 的交点在直线4x =上.18．过椭圆C 外一点()00,P x y 作椭圆22:154x y C +=的切线1l ，2l ，切点分别为A ，B ，满足12l l ⊥.（1）求P的轨迹方程（2）求ABP△的面积(用P的横坐标0x表示)（3）当P运动时，求ABP△面积的取值范围.参考答案1．①①①①【分析】由题设条件线段的垂直平分线的性质，结合圆锥曲线的定义，分类讨论，即可求解.【解析】（1）因为A 为圆O 内的一定点，P 为O 上的一动点，线段AP 的垂直平分线交半径OP 于点M ，可得,MA MP MA MO MP MO OP r =+=+==，即动点M 到两定点,O A 的距离之和为定值，①当,O A 不重合时，根据椭圆的定义，可知点M 的轨迹是：以,O A 为焦点的椭圆；①当,O A 重合时，点M 的轨迹是圆；（2）当A 为圆O 外的一定点，P 为O 上的一动点，线段AP 的垂直平分线交半径OP 于点M ，可得,MA MP MA MO MP MO OP r =-=-==，即动点M 到两定点,O A 的距离之差为定值，根据双曲线的定义，可得点M 的轨迹是：以,O A 为焦点的双曲线；（3）当A 为圆O 上的一定点，P 为O 上的一动点，此时点M 的轨迹是圆心O .综上可得：点M 的轨迹可能是点、圆、椭圆和双曲线. 故答案为：①①①①【点评】本题主要考查了椭圆、双曲线和圆的定义及其应用，其中解答中熟练应用线段垂直平分线的性质，以及椭圆和双曲线的定义是解答的关键，着重考查推理与论证能力，以及转化思想的应用.2．221416x y +=【分析】先利用椭圆的几何性质得到Q 的轨迹方程为：2216x y +=，再根据M 的坐标与Q 的坐标关系可得M 的轨迹方程.【解析】如图，延长2F Q 交1F P 的延长线于S ，连接OQ . 因为PQ 为2SPF ∠的平分线且2F S PQ ⊥，故2PSF △为等腰三角形且2PS PF =，2SQ QF =，所以121248PF PF PS PF +=+=⨯=.在12F SF △中，因为122,FO F O SQ QF ==，所以()1111422OQ F S F P PS ==+=，故Q 的轨迹方程为：2216x y +=.令(),M x y ，则()2,Q x y ，所以22416x y +=即221416x y +=，故答案为：221416x y +=【点评】本题考查椭圆的几何性质以及动点的轨迹方程，注意遇到与焦点三角形有关的轨迹问题或计算问题时，要利用好椭圆的定义，另外，求动点的轨迹，注意把要求的动点的轨迹转移到已知的动点的轨迹上去.3．2240x y y +-= (0)x ≠【分析】设M 点坐标(m ，2)(0)m ≠，由于MA ，MQ 是过M 点的圆的两条切线，求出切点弦AQ 的方程24mx y +=，将其与圆的方程联立，可以得到Q 点坐标，由于AM 垂直于y 轴，于是垂线BQ 就垂直于x 轴，因此B 、Q 横坐标相同．又MA 、MQ 是圆的两条切线，于是MA MQ =，因此可知MH 过AQ 中点，而由圆的对称性可知，MO 也过AQ 的中点，于是可知M 、H 、O 三点共线．又直线OM 的斜率知道了，B 点的横坐标知道了，于是H 点的纵坐标也出来了，则垂心H 的轨迹可求．【解析】解：由题意设M 点坐标(m ，2)(0)m ≠，则以MO 为直径的圆的方程为2221()(1)(4)24m x y m -+-=+，又圆O 的方程为224x y +=，两式作差得：24mx y +=．联立22244mx y x y +=⎧⎨+=⎩，解得22284824m x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或02x y =⎧⎨=⎩．则点Q 的横坐标为284mm +．由于AM 垂直于y 轴，于是垂线BQ 就垂直于x 轴，因此B 、Q 横坐标相同．又MA 、MQ 是圆的两条切线，于是MA MQ =，因此可知(MH H 为三角形MAQ 的垂心）过AQ 中点，而由圆的对称性可知，MO 也过AQ 的中点，于是可知M 、H 、O 三点共线．由直线MO 的方程为2y x m =，代入Q 点横坐标得H 点的纵坐标为2164y m =+．∴三角形MAQ 的垂心的轨迹方程为2284164m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．消掉m 得：2240x y y +-= (0)x ≠．故答案为：2240x y y +-= (0)x ≠【点评】本题考查轨迹方程的求法，训练了参数法求曲线的轨迹，解答此题的关键是求出过切点的弦的方程，属于中档题． 4．2x a =【分析】由已知，可得直线l 恒过(1,0)，由题意知，直线PQ 斜率不为0，设PQ 的方程为1x ty =+，112212(,),(,)(0,0)P x y Q x y y y ><，(,)R x y ，联立椭圆方程，解得12,y y ，再由由1,,A P R 三点共线可得11y yx a x a =++，由2,,A Q R 三点共线可得22y y x a x a=--，两式相除可得1222()()y x a x a x a y x a --=++，再将12,y y 代入化简即可.【解析】因为()()()2121m y m x y m R -+-=+∈，所以(22)10m y x x y --+--=，由22010y x x y --=⎧⎨--=⎩得1x y =⎧⎨=⎩，故直线l 恒过(1,0)，由题意知，直线PQ 斜率不为0，设PQ 的方程为1x ty =+，112212(,),(,)(0,0)P x y Q x y y y ><，(,)R x y ，联立椭圆方程，得22222222()20b t a y b ty b a b +++-=，则>0∆，222212122222222,,b a b b ty y y y b t a b t a --=+=++，()()222121222a b b y y y y b t-+=，由1,,A P R 三点共线可得11y yx a x a =++，由2,,A Q R 三点共线可得22y y x a x a =--，两式相除可得12122121()(1)()(1)y x a y ty a x a x a y x a y ty a -+--===++++()()12121211ty y a y ty y a y +-++()()()()()()22212122221222112112a bb y y ta y ab t a a b b y y ta yb t-++--==+-+++，解得2x a =，所以点R 在定直线2x a =上，故点R 的轨迹方程为2x a =. 故答案为：2x a =.【点评】本题考查直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道难度较大的题.5．2251(0)44x y y +=≠ 【分析】设12F MF △的内心为I ，连接MI 交x 轴于点N ，由内角平分线性质定理得到32MINI=，设()()()0011,,,,,I x y M x y N x y ，再由焦半径公式及内角平分线定理得到049I x x =，则04,09N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后利用向量关系把M 的坐标用I 的坐标表示出来，代入椭圆方程求解.【解析】如图，设12F MF △的内心为I ，连接MI 交x 轴于点N ，连接12,IF IF 在1MF I △中1IF 是1MF N ∠的角平分线. 根据内角平分线性质定理得到11MIMF NI NF =.同理可得22MIMF NINF =.所以1212MI MF MF NI NF NF ==，根据等比定理得：1212+22MI MF MF a aNI NF NF c c===+ 在椭圆22195x y +=中，3,2a b c ===所以32MINI=设()()()0011,,,,,I x y M x y N x y ，则00y ≠10233MF x ===+ 同理20233MF x =- 又11212,2F N x F N x =+=-，则011023232233x x x x ++=--，可得1049x x =所有04,09N x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0004,,,9MI x x y y IN x x y ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭由32MI IM =，得002332x x x x -=-，032y y y -=- 所以0035,22x x y y =-=，代入椭圆22195x y +=方程.得225144x y +=，由00y ≠，则0y ≠.所以12F MF △的内心轨迹方程为：()2251440x y y +=≠ 故答案为：()2251440x y y +=≠【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查焦半径公式，内角平分线定理的应用，属于难题.6．（1）52；（2）252524y x =- 【分析】（1）由点()12D ，且OD AB ⊥于点D ，可求得直线AB 的方程，联立直线方程与抛物线方程由韦达定理可表示A B y y ，进而表示A B x x ⋅，再由OA OB ⊥，得0OA OB ⋅=构建方程，解得p 值；（2）分别表示PQF S ∆与MNF S ∆，由已知2PQF MNF S S ∆∆=构建方程，解得t 的值，设MN 的中点E 的坐标为()x y ，，当MN 与x 轴不垂直时，由MN TE K K =构建等式，整理得中点轨迹方程；当MN 与x 轴垂直时，T 与E 重合，综上可得答案.【解析】（1）由OD AB ⊥及()12D ，，得直线AB 的斜率112OD k k =-=-，则AB 的方程为()1212y x -=--，即25x y =-+，设(),A A A x y ，(),B B B x y ，联立22,25,y px x y ⎧=⎨=-+⎩消去x 得24100y py p +-=，216400p p ∆=+>，由韦达定理，得10A B y y p =-，于是222210025224A B A B y y p x x p p p =⋅==，由OA OB ⊥，得0OA OB ⋅=，即0A B A B x x y y +=，则25100p -=，解得52p =. （2）由（1）得抛物线的焦点504F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设C 的准线与x 轴的交点为G ，则12115222PQF S FG PQ y y ∆==⨯-，12115224MNF S FT PQ t y y ∆==--，由2PQF MNF S S ∆∆=，得5544t -=，且0t ≠，得52t =.设MN 的中点E 的坐标为()x y ，，则当MN 与x 轴不垂直时，由MN TE K K =，可得21212221212105555552222255y y y y y y y yy y x x y y y x x x x ---=⇒=⇒=⇒=-+-----， 25255242y x x ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭；当MN 与x 轴垂直时，T 与E 重合，所以MN 的中点的轨迹方程为252524y x =-.【点评】本题考查由已知关系求抛物线的标准方程，还考查了在抛物线中线弦的问题下求中点的轨迹方程问题，属于难题.7．（1）()24,3124,3y y x y y ≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩；作图见解析；（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）设(),M x y 34y -=，分类讨论，可得点M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；（2）当0t ≤或4t ≥显然不存在符合题意的对称点，当04t ＜＜时，注意到曲线C 关于y 轴对称，至少存在一对（关于y 轴对称的）对称点，再研究曲线C 上关于()0,B t 对称但不关于y 轴对称的对称点即可.【解析】解：（1）设(),M x y 34y -=①：当3y ≤1y =+，化简得：24x y =①：当3y >7y =-，化简得：()2124x y =--（二次函数）综上所述：点M 的轨迹方程为()24,3124,3y y x y y ≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩（如图）：（2）当0t ≤或4t ≥显然不存在符合题意的对称点，当04t ＜＜时，注意到曲线C 关于y 轴对称，至少存在一对（关于y 轴对称的）对称点.下面研究曲线C 上关于()0,B t 对称但不关于y 轴对称的对称点设()00,P x y 是轨迹()243x y y =≤上任意一点，则()200043x y y =≤，它关于()0,B t 的对称点为()00,2Q x t y --，由于点Q 在轨迹()2124x y =--上，所以()()2001224x t y -=---，联立方程组()20020041224x y x t y ⎧=⎪⎨=--⎪⎩（*）得()0041224y t y =---，化简得()006033y t y +=≤≤ ①当()00,3y ∈时，()2,3t ∈，此时方程组（*）有两解，即增加有两组对称点.①当00y =时，2t =，此时方程组（*）只有一组解，即增加一组对称点.（注：对称点为()0,0P ，()0,4Q ） ①当03y =时，3t =，此时方程组（*）有两解为()P，()Q -，没有增加新的对称点.综上所述：记对称点的对数为()()[)0,0,41,0,2,2,23,2,31,3,4t t t M M t t t ⎧≤≥⎪∈⎪⎪==⎨⎪∈⎪⎪∈⎩. 【点评】本题考查根据几何条件告诉的等量关系求轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度大. 8．（1）22y x =；（2）1,)+∞【分析】（1）设点P 的坐标为（x ，y ），结合题意得出点Q 的坐标，再利用向量数量积的运算可得出点P 的轨迹方程；（2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、D （x 3，y 3），设直线AM 的方程为12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将该直线方程与曲线C 的方程联立，结合韦达定理进行计算得出点B 和点D 的横坐标相等，于是得出BD ①x 轴，根据几何性质得出①MBD 的内切圆圆心H 在x 轴上，且该点与切点的连线与AB 垂直．方法一是计算出①MBD的面积和周长，利用等面积法可得出其内切圆的半径的表达式；方法二是设H （x 2﹣r ，0），直线BD 的方程为x ＝x 2，写出直线AM 的方程，利用点H 到直线AB 和AM 的距离相等得出r 的表达式；方法三是利用①MTH ①①MEB ，得出MH HTMB BE=，然后通过计算得出①MBD 内切圆半径r 的表达式．通过化简得到r 关于x 2的函数表达式，并换元2112t x =+＞，将函数关系式转化为r 关于t 的函数关系式，然后利用单调性可求出r 的取值范围．【解析】（1）设点(),P x y ，则()2,Q y - ①(),OP x y =，()2,OQ y =- ①0OP OQ ⋅= ①220OP OQ x y ⋅=-+=，即22y x =（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，直线BD 与x 轴交点为E ，内切圆与AB 的切点为T ．设直线AM 的方程为：12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则联立方程2122y k x y x⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：()2222204k k x k x +-+=①1214x x =且120x x << ①1212x x << ①直线AN 的方程为：111122y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，与方程22y x =联立得：22222111111122024y x y x x x y ⎛⎫-+-++= ⎪⎝⎭，化简得：221111122022x x x x x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭解得：114x x =或1x x = ①32114x x x == ①BD x ⊥轴设MBD ∆的内切圆圆心为H ，则H 在x 轴上且HT AB ⊥方法（一）①2211222MBD S x y ∆⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭，且MBD ∆的周长为：22y①22211122222MBDS y r x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅=⋅+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦①221x y r ⎛⎫+ ⎪===.方法（二）设()2,0H x r -，直线BD 的方程为：2x x =，其中2222y x =直线AM 的方程为：221122y y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，即22211022y x x y y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，且点H 与点O 在直线AB 的同侧，①()2221x r y y r -+==，解得：2221x y y r +==方法（三）①MTH MEB ∆~∆ ①MH HT MB BE =221x r r y +-=，解得：22211x y x r ⎛⎫++⎪==21x +==令212t x =+，则1t >①r =在()1,+∞上单调增，则r >，即r的取值范围为)1,+∞．【点评】本题考查轨迹方程以及直线与抛物线的综合问题，考查计算能力与化简变形能力，属于难题．9．（1）33y x y x ==-+（2）22198x y .【分析】（1）设所求直线l 的方程为y=kx+b ，由直线l 与①C 1相切、直线l 截①C 2的弦长，列方程组即可求出直线L 的方程．（2）由题意得：|MC 1|+|MC 2|=6，设动点M （x ，y ），列方程能求出动圆M 的圆心M 轨迹方程．【解析】解：（1）设所求直线L 的方程为y =kx +b ，①直线L与①C1相切，=1，（i）又直线L截①C2的弦长等于，=2，（ii）d2=r2-21=4，①|k-b，①|k-b|=2|k+b|，①k+3b=0，（iii）或3k+b=0，（iiii）（iii）代入（i），得：|23k25109k+=，无解，（iiii）代入（i），得：|-2k，解得k=3±，当kb=，直线方程为yx当k=b，直线方程为y=x．经检验得斜率不存在的直线均不适合题意．故直线L的方程为yx y=（2）由题意得：|MC1|+|MC2|=6，设动点M（x，y）=6，解得2298x y+=1，①动圆M的圆心M轨迹方程为22198x y+=．【点评】本题考查直线方程的求法，动圆的圆心的轨迹方程的求法，直线与圆相切、弦长公式、直线方程、圆、两点间距离公式等基础知识，属于难题．10．M 的轨迹是以 ()2,0p 为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点．【解析】【分析】设出点的坐标，根据给出的两个垂直关系，得到各个坐标间的关系，最后消掉参数得到轨迹方程，并去掉不符合的点。

双曲线及其标准方程(专题训练)

双曲线及其标准方程双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线. 如图所示：双曲线的概念注：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则1212F F e d d M M ==．标准方程 )0,0(12222>>=-b a by ax)0,0(12222>>=-b a bx ay图形性质焦点F 1（-)0,c ，F 2（)0,cF 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 x≤-a 与x ≥ay ≤-a 与y ≥a对称性关于x 轴，y 轴和原点对称顶点（-a ，0）。

（a ，0）（0，-a ）（0，a ）轴实轴A 1A 2长2a ，虚轴B 1B 2长2b准线cax 2±= cay 2±=渐近线 x ab y ±=.a y x b=±共渐近线的双曲线系方程λ=-2222by ax （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.题型一：双曲线定义问题1.若+∈R a ，方程()()2222556x y x y-+-++=，表示什么曲线？若改成：()()2222556x y x y -+-++= ？2．已知ABC ∆的顶点()4,0-A 、()4,0B ，且()4sin sin 3sin B A C -=，则顶点C 的轨迹方程是 3．双曲线221169xy-=上一点P 到左焦点的距离为15，那么该点到右焦点的距离为变式：设12,F F 是双曲线2211620xy-=的焦点，点P 是双曲线上的点，点P 到焦点1F 的距离等于9，求点P 到2F 的距离。

4..若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k yk x表示双曲线”的( )A. 充分不必要条件.B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件.题型二，利用标准方程确定参数1. 求双曲线22254100x y -=-的实半轴长虚半轴长焦点坐标, 焦距离心率 2．若方程22125xyk k-=+-表示x 型双曲线，则k 的取值范围是表示y 型双曲线，则k 是表示双曲线，则k 的取值范围是 3.已知双曲线228y 8kx k -=的一个焦点为()3,0，k 为4．椭圆14222=+ay x与双曲线1222=-yax有相同的焦点，则a 的值是5变式：与椭圆224936x y +=有相同焦点，且过点()3,2的双曲线方程6．等轴双曲线的一个焦点是()16,0F -，则它的标准方程是题型三。

精选最新版2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整题(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷
圆锥曲线与方程
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．（2006）直线2y
k 与曲线2222918k x y k x (,)k R 且k 0的公共点的个数为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)
2．（2009全国卷Ⅱ文）已知直线
)0)(2(k x k y 与抛物线C:x y 82相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。

若FB FA 2,则k=(
) Ａ.31Ｂ.32
Ｃ.32Ｄ.3
2
2【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（
2，0），由2FA FB 及第二定义知)2(22B A x x 联立方程用根与系数关系可求k=22
3.
3．等轴双曲线
C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162的准线交于,A B 两点，43AB
；则C 的实轴长为（）()A 2()B 22()C ()
D 二、填空题
4．设椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1（a ＞b ＞0）的右准线与x 轴的交点为M ，以椭圆的长轴为直径作圆O ，过点
M 引圆O 的切线，切点为N ，若△OMN 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率
为．5．双曲线22221(0,0)x
y a b a b 的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域
（不含边界），若点
(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是．6．在平面直角坐标系xoy 中，椭圆)0(12222b a b y a x
的左焦点为F ，右顶点为A ，P。

高考数学二轮复习圆锥曲线专题训练(二)

2009届高考数学二轮复习圆锥曲线专题训练（二）1．已知椭圆1C 的方程为2214x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别是1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:l y kx =C2恒有两个不同的交点A 和B ，且2O A O B ⋅>（其中O为原点），求k 的范围.2如图,过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点． ⑴．设点P 满足AP PB λ=（λ为实数），证明：()QP QA QB λ⊥-；⑵．设直线AB 的方程是2120x y -+=，过A 、B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程．3．一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点)0,1(2F ．（Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标；（Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．4．已知平面上一定点(1,0)C -和一定直线: 4.l x =-Ｐ为该平面上一动点，作,PQ l ⊥垂足为Q ，0)2()2(=-⋅+→→→→PC PQ PC PQ . (1) 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；点Ｏ是坐标原点，A B 、两点在点Ｐ的轨迹上，若1OA OB OC λλ+=+（），求λ的取值范围．5．如图，已知E 、F 为平面上的两个定点6||=EF ，10||=FG ，且EG EH =2，HP ·0=GE ，（G 为动点，P 是HP 和GF 的交点）（1）建立适当的平面直角坐标系求出点P 的轨迹方程；（2）若点P 的轨迹上存在两个不同的点A 、B ，且线段AB 的中垂线与EFGFPHE（或EF 的延长线）相交于一点C ，则||OC ＜59（O 为EF 的中点）．6．已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.7．已知)0,1(),0,4(N M 若动点P 满足||6= （1）求动点P 的轨迹方C 的方程；（2）设Q 是曲线C 上任意一点，求Q 到直线0122:=-+y x l 的距离的最小值.8已知抛物线x 2=2py(p>0)，过动点M(0,a)，且斜率为1的直线L 与该抛物线交于不同两点A 、B ，|AB|≤2p,（1）求a 的取值范围；（2）若p=2，a=3，求直线L 与抛物线所围成的区域的面积；9．如图，直角梯形ABCD 中，∠︒=90DAB ，AD ∥BC ，AB=2，AD=23，BC=21椭圆F 以A 、B 为焦点且过点D ，（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；（Ⅱ）若点E 满足21=,是否存在斜率与的直线l k 0≠M 、F 交于椭圆N 两点，且||||NE ME =，若存在，求K 的取值范围；若不存在，说明理由. 10．已知()00,P x y 是函数()ln f x x =图象上一点，过点P 的切线与x 轴交于B ，过点P 作x轴的垂线，垂足为A . （1）求点B 坐标；（2）若()00, 1x ∈，求PAB ∆的面积S 的最大值，并求此时0x 的值.C BD参考答案1．解：（1）设双曲线2C 的方程为22221,x y a b -= （1分）则2413a=-=，再由222a b c +=得21b =，（3分）故2C 的方程为2213x y -= （4分）（2）将y kx =+2213x y -=得22(13)90k x ---= （5分）由直线l 与双曲线C2交于不同的两点得：2222130)36(13)36(1)0k k k ∆⎧-≠⎪⎨=+-=->⎪⎩ （7分）213k ∴≠且21k <① （8分）设1122(,),(,)A x y B x y，则1212229,1313x x x x k k -+==--12121212(x x y y x x kx kx ∴+=+221212237(1)()231k k x x x x k +=++++=- （10分）又2OA OB ⋅>，得12122x x y y +>2237231k k +∴>-即2239031k k -+>-，解得：213,3k <<② （12分）由①、②得：2113k <<，故k的取值范围为3(1,(,1)33--. （14分） 2．解⑴．依题意,可设直线AB 的方程为m kx y +=,代入抛物线方程y x 42=，得：2440x k x m --= ① …………………………………………………………… ２分设A 、B 两点的坐标分别是11(,)x y 、22(,)x y ，则12,x x 是方程①的两根，所以，124x x m =-． ……………………………………………………………………… ３分由点P 满足AP PB λ=（λ为实数，1λ≠-），得0121=++λλx x ，即12x x λ=-．又点Q 是点P 关于原点的以称点，故点Q 的坐标是(0,)m -，从而(0,2QP =1122(,)(,)QA QB x y m x y m λλ-⋅=+-+1212(,(1)).x x y y m λλλ=--+- 12()2[(1)]QP QA QB m y y m λλλ⋅-=-+- =])1(44[221222121m x x x x x x m ++⋅+ =2212144)(2x mx x x x m +⋅+=221444)(2x m m x x m +-⋅+ =0 ………………………… 6分所以，()QP QA QB λ⊥-． ………………………………………………………………… 7分⑵．由221204x y x y⎧-+=⎨=⎩得点A 、B 的坐标分别是(6,9)、(4,4)-．由y x 42=得241x y =，1,2y x '=所以，抛物线y x 42=在点A 处切线的斜率为63x y ='=． ……………… 9分设圆C 的方程是222)()(r b y a x =-+-，则22229163(6)(9)(4)(4)b a a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-+-=++-⎩ ……………………… 11分解得：222323125,,(4)(4)222a b r a b =-==++-=．…………………………… 13分所以，圆C 的方程是2125)223()23(22=-++y x ． ………………………… 14分 3．解：（Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则211-=+m n 且032212=+--⋅nm ．……2分解得52,59=-=n m ，因此，点 1F '的坐标为)52,59(-． …………………4分（Ⅱ）11PF F P =' ，根据椭圆定义，得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)052()159(22=-+--=，……………5分2=∴a ，112=-=b ．∴所求椭圆方程为1222=+y x ． ………………………………7分（Ⅲ）22=c a ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． …………………………8分设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离．则10105)32()1(2221++=++-=t t t t d ，22-=t d ．22221)2(225210105-++⋅=-++=t t t t t t d d ， ……………………………10分令22)2(22)(-++=t t t t f )22(<<-t ，则3422)2()86()2()2(2)22()2()22()(-+-=--⋅++--⋅+='t t t t t t t t t f ，当)(,342<'-<<-t f t ，0)(,234>'<<-t f t ，34-=t ，0)(='t f ．∴ )(t f 在34-=t 时取得最小值． ………………………………13分因此，21d d 最小值＝22)34(5=-⋅f ，此时点Q 的坐标为)31,34(-．…………14分注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．说明：求得的点Q )31,34(-即为切点P ，21d d 的最小值即为椭圆的离心率． 4．解:(1)由(2)(2)0PQ PC PQ PC +∙-=,得: 2240PQ PC -=,………（2分）设(,)P x y ,则222(4)4(1)0x x y ⎡⎤+-++=⎣⎦,化简得: 22143x y +=,………（4分）点P 在椭圆上,其方程为22143x y +=.………（6分）(2)设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由(1)OA OB OC λλ+=+得：0CA CB λ+=，所以，A 、B 、C 三点共线.且0λ>,得:1122(1,)(1,)0x y x y λ+++=,即: 12121x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩…（8分）因为2211143x y +=,所以222(1)()143x y λλλ----+= ①………（9分）又因为2222143x y +=,所以22222()()43x y λλλ+= ②………（10分）由①-②得: 2222(1)(1)14x λλλλ+++=- ,化简得:2352x λλ-=,………（12分）因为222x -≤≤,所以35222λλ--≤≤.解得: 133λ≤≤所以λ的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………（1４分）5．解：（1）如图1，以EF 所在的直线为x 轴，EF 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.----------------------------------------1分由题设EG EH =2，0=∙EG HP∴||||PE PG =，而a PG PE PF 2||||||==+-------------3分 ∴点P 是以E 、F 为焦点、长轴长为10的椭圆，故点P 的轨迹方程是：1162522=+y x -----------------4分（2）如图2 ，设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,(0x C ，∴21x x ≠，且||||CB CA =，--------------------------------6分即=+-21201)(y x x 22202)(y x x +- 又A 、B 在轨迹上，∴116252121=+y x ，116252222=+yx即2121251616x y -=，2222251616x y -=---------------8分代入整理得：)(259)(22122012x x x x x -=⋅-∵21x x ≠，∴50)(9210x x x +=．---------------------10分∵551≤≤-x ，552≤≤-x ，∴101021≤+≤-x x ． ∵21x x ≠，∴101021<+<-x x∴59590<<-x ，即||OC ＜59．---------------14分 6．（1）如图，设M 为动圆圆心， F()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN=， ………………………………………………2分即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42= ………………………5分（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，x =由2(1)4x k y y x =-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或 …………………………………7分设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =…………9分由0OP OQ ⋅=，即 ()11,OP x y =，()22,OQ x y =，于是12120x x y y +=，……11分即()()21212110k y y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=，解得4k =-或0k =（舍去），…………………13分又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-= …………………………14分 17．解：（1）设动点P （x ，y ），则),1(),0,3(),,4(y x y x --=-=-由已知得1243,)()1(6)4(32222=+-+-=--y x y x x 化简得，13422=+y x 即∴点P 的轨迹方程是椭圆C ：13422=+y x（2）解一：由几何性质意义知，椭圆C 与平行的切线其中一条l ‘和l 的距离等于Q 与l 的距离的最小值.设02:'=++D y x l ，入椭圆方程消去x 化简得：0)4(3121622=-++D Dy y 5585|412|40)4(192144'22距离的最小值为与距离的最小值为与l Q l l D D D ∴±±=⇒=--=∆∴解二：由集合意义知，椭圆C 与平行的切线其中一条l ‘和l 的距离等于Q 与l 的距离的最小值.设切点为134,134:),,(202000'00=+=+y x y y x x l y x R 且则，214300-=-=y x k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧==2312310000y x y x 或 042'=±+∴y x l 为，5585|412|'距离的最小值为与距离的最小值为与l Q l l ∴±解三：由椭圆参数方程设θθsin 3,cos 2(Q ）则Q 与l 距离5)30sin(4125|12sin 32cos 2|︒+-=-+=θθθd55854121)30sin(min =-==︒+∴d 时θ解四：设134),,(202000=+y x y x Q ，且Q 与l 距离5|122|00-+=y x d由柯西不等式2002002020)2()32322()124)(34(16y x yx y x +=⋅+⋅≥++=4|2|00≤+∴y x ，5585412min =-=∴d18．解：(1)设直线L 方程为：y=x+a 与抛物线联立方程组得⎩⎨⎧=+=py x a x y 22⇒x 2-2px-2ap=0∴∆=4p 2+8ap>0 a>-2px 1+x 2=2p x 1⨯x 2=-2apAB=21k + 21x x -=2212214)(x x x x -+=2ap p 842+p2≤解得a ≤-4p ， ∴ -2p <a ≤-4p(2)若p=2，a=3，则直线L 方程为：y=x+3 抛物线方程为x 2=4y⎩⎨⎧=+=y x x y 432⇒x 2-4x-12=0 ∴方程两根为-2和6 ∴ 直线与抛物线所围成区域的面积为： S=⎰--+6224)3(x x =21x 2+3x-123x 26-=368 19．（Ⅰ）以AB 中点为原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图则A （-1,0） B(1,0) D(-1,23) (1分) 设椭圆F 的方程为)0(12222>>=+b a b y a x （2分）得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1123)1(222222b a b a（4分）得3410417422224==∴>=+-b a a a a所求椭圆F 方程 13422=+y x （6分）（Ⅱ）由)21,0(21E 得=，显然)0(≠+=⊥k m kx y l AB l 方程设时不合条件代入1248)43(13422222=-+++=+m kmx x k y x 得（7分）l 与椭圆F 有两不同公共点的充要条件是0)124)(43(4)8(222>-+-=∆m k km (8分)即03422>+-m k设、y x M ),(11),(),(0022y x P ，MN y x N 中点，MN PE NE ME ⊥=等价于||||2022104344382k kmx k km x x x +-=∴+-=+= (9分)200436k mm kx y +=+= （10分）kx y MN PE 12100-=-⊥得（11分）得 k k km k m 14342143622-=+--+ 得 2432k m +-= （12分）代入 0234340222>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+>∆k k 得41434022<<+<k k 得（13分）又)21,0()0,21(0⋃-∈≠k k k 取值范围为故（14分）解法2，设),(),(2211y x 、N y x M ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+13413422222121y x y x① ②①—② 得0)(31)(4122212221=-+-y y x x 212121212143y y x x x x y y x x ++⨯-=--≠得设0043),(y xk y x P MN ⨯-=得中点得043x ky -= ③ （9分） MN PE NE ME ⊥=即||||得 k x y 12100-=-得200kx ky +-= ④ （11分）由③、④得23,200-==y k x 且P （x0,y0）在椭圆F 内部得4113494422<<+k k得（13分）又)21,0()0,21(0⋃-∈∴≠k k k 取值范围为（14分）20．解: （1）∵'1()f x x =，2分∴ 过点P 的切线方成为()0001ln y x x x x -=-4分令0y =，得000ln x x x x =-，即点B 的坐标为()000ln ,0x x x -6分（2）000000ln ln AB x x x x x x =--=-，00()ln PA f x x ==-∴ ()20011ln 22S AB PA x x =⋅=⋅9分()'20000001111ln 2ln ln 2222S x x x x x x =+⋅⋅=+11分由'0S <得，211x e <<，∴210,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，S 单调递增；21,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时S 单调递减；13分∴2max 22221112ln 2S S e e e e ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.∴ 当021x e =，面积S 的最大值为22e .14分。

高考数学一轮复习专题训练—圆锥曲线的定值问题

圆锥曲线的定值问题题型一长度或距离为定值【例1】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆C 相切，求证：点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值．(1)解 ∵椭圆C 的上顶点A 与左、右焦点F 1，F 2构成一个面积为1的直角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，bc ＝1， ∴b ＝c ＝1， ∴a 2＝b 2＋c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝±2，点F 1，F 2到直线l 的距离之积为(2－1)(2＋1)＝1. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，Δ＝(4km )2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝－8(m 2－2k 2－1)＝0， ∴m 2＝1＋2k 2，点F 1到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 1＝|－k ＋m |k 2＋1，点F 2到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d 2＝|k ＋m |k 2＋1.∴d 1d 2＝|－k ＋m |k 2＋1·|k ＋m |k 2＋1＝|m 2－k 2|k 2＋1＝|2k 2＋1－k 2|k 2＋1＝1.综上，可知当直线l 与椭圆C 相切时，点F 1，F 2到直线l 的距离之积为定值1.感悟升华圆锥曲线中的定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定值问题同证明问题类似，在求定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定值显现．【训练1】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M ，N 分别是C 1，C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．证明当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33，当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝⎛⎭⎫显然|k |>22，则直线OM 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1，得⎩⎨⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k 24＋k 2，同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1，设O 到直线MN 的距离为d ，因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，O 到直线MN 的距离是定值．题型二斜率或其表达式为定值【例2】 (2020·兰州诊断)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．(1)解由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2，从而直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2(即为定值)．【训练2】 (2021·大同模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，已知|AB |＝4，且点⎝⎛⎭⎫e ，345在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． (1)解 ∵|AB |＝4，∴2a ＝4，∴a ＝2，又点⎝⎛⎭⎫e ，354在椭圆上，∴e 24＋4516b2＝1，又b 2＋c 2＝a 2＝4，联立方程组解得b 2＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明设点P 的坐标为(s ，t )，点M ，N 的横坐标为m (m ≠±2)，则直线AP 的方程为y ＝t s ＋2(x ＋2)，故M ⎝⎛⎭⎫m ，ts ＋2(m ＋2)，故直线BM 的斜率k 1＝t (m ＋2)(s ＋2)(m －2)，同理可得直线AN 的斜率k 2＝t (m －2)(s －2)(m ＋2)，故k 1k 2＝t (m ＋2)(s ＋2)(m －2)×t (m －2)(s －2)(m ＋2)＝t 2s 2－4，又点P 在椭圆上，∴s 24＋t 23＝1，∴t 2＝－34(s 2－4)，∴k 1k 2＝－34(s 2－4)s 2－4＝－34.即直线AN 与直线BM 的斜率之积为定值．题型三几何图形面积为定值【例3】 (2021·昆明诊断)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ，点(1，e )在椭圆E上，点A (a,0)，B (0，b )，△AOB 的面积为32，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线l 交椭圆E 于M ，N 两点，直线OM 的斜率为k 1，直线ON 的斜率为k 2，且k 1k 2＝－19，证明：△OMN 的面积是定值，并求此定值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋e 2b 2＝1，e ＝ca ，c 2＝a 2－b 2，得b ＝1.又S △AOB ＝12ab ＝32，得a ＝3.所以椭圆E 的标准方程为x 29＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，设直线l ：x ＝t (－3<t <3且t ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，x ＝t ，得y 2＝1－t 29，则k 1k 2＝1－t 29t×－1－t 29t＝－1－t 29t 2＝－19，解得t 2＝92.所以S △OMN ＝12×2×1－t 29×|t |＝32.当直线l 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 29＋y 2＝1消去y 并整理，得(9k 2＋1)x 2＋18kmx ＋9m 2－9＝0. Δ＝(18km )2－4(9k 2＋1)(9m 2－9)＝36(9k 2－m 2＋1)>0， x 1＋x 2＝－18km9k 2＋1，x 1x 2＝9m 2－99k 2＋1，k 1k 2＝y 1x 1×y 2x 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2＝－9k 2＋m 29m 2－9＝－19，化简得9k 2＋1＝2m 2，满足Δ>0.|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·⎝⎛⎭⎫－18km 9k 2＋12－4·9m 2－99k 2＋1＝61＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1.又原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k 2，所以S △OMN ＝12×|MN |×d＝31＋k 2·9k 2－m 2＋19k 2＋1×|m |1＋k 2＝3|m |2m 2－m 22m 2＝32.综上可知，△OMN 的面积为定值32.感悟升华探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可．【训练3】已知点F (0,2)，过点P (0，－2)且与y 轴垂直的直线为l 1，l 2⊥x 轴，交l 1于点N ，直线l 垂直平分FN ，交l 2于点M . (1)求点M 的轨迹方程；(2)记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 2－1＝x 1＋m 2(m 为常数)，直线l ′与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问△ABC 的面积是否为定值．若为定值，求出△ABC 的面积；若不是定值，说明理由．解 (1)由题意得|FM |＝|MN |，即动点M 到点F (0,2)的距离和到直线y ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,2)为焦点，直线y ＝－2为准线的抛物线，根据抛物线定义可知点M 的轨迹方程为x 2＝8y .(2)由题意知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝8y 消去x 整理得x 2－8kx －8b ＝0.则x 1＋x 2＝8k ，x 1·x 2＝－8b .设AB 的中点为Q ，则点Q 的坐标为(4k,4k 2＋b )．由条件设切线方程为y ＝kx ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 2＝8y 消去y 整理得x 2－8kx －8t ＝0.∵直线与抛物线相切，∴Δ＝64k 2＋32t ＝0，∴t ＝－2k 2， ∴切点C 的横坐标为4k ，∴点C 的坐标为(4k,2k 2)． ∴CQ ⊥x 轴，∵x 2－x 1＝m 2＋1， ∴(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4(－8b ) ＝64k 2＋32b ＝(m 2＋1)2，∴b ＝(m 2＋1)2－64k 232.∴S △ABC ＝12|CQ |·|x 2－x 1|＝12·(2k 2＋b )·(x 2－x 1)＝(m 2＋1)364，∵m 为常数，∴△ABC 的面积为定值．1．(2021·洛阳高三统考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，其焦点为F ，O 为坐标原点，直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，M 为AB 的中点． (1)若p ＝2，M 的坐标为(1,1)，求直线l 的方程．(2)若直线l 过焦点F ，AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求证：2|MN |2|FN |为定值．(1)解由题意知直线l 的斜率存在且不为0，故设直线l 的方程为x －1＝t (y －1) 即x ＝ty ＋1－t ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1－t ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4＋4t ＝0， ∴Δ＝16t 2＋16－16t ＝16(t 2－t ＋1)＞0，y 1＋y 2＝4t ， ∴4t ＝2，即t ＝12.∴直线l 的方程为2x －y －1＝0.(2)证明 ∵抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，∴焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由题意知直线l 的斜率存在且不为0，∵直线l 过焦点F ，故设直线l 的方程为x ＝ty ＋p2(t ≠0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋p 2y 2＝2px，得y 2－2pty －p 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pt ，Δ＝4p 2t 2＋4p 2＞0. ∴x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋p ＝2pt 2＋p ， ∴M ⎝⎛⎭⎫pt 2＋p2，pt .∴MN 的方程为y －pt ＝－t ⎝⎛⎭⎫x －pt 2－p2. 令y ＝0，解得x ＝pt 2＋3p2，N ⎝⎛⎭⎫pt 2＋3p 2，0， ∴|MN |2＝p 2＋p 2t 2，|FN |＝pt 2＋3p 2－p2＝pt 2＋p ， ∴2|MN |2|FN |＝2(p 2＋p 2t 2)pt 2＋p＝2p ，为定值．2．(2020·新高考山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点A (2,1)．(1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．(1)解由题设得4a 2＋1b 2＝1, a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)证明设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 26＋y 23＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0，故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0，整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0. 将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km1＋2k 2＋(m －1)2＋4＝0，整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0. 因为A (2,1)不在直线MN 上，所以2k ＋m －1≠0，所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1. 所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －23－13(k ≠1)．所以直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1)．由AM →·AN →＝0，得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0.又x 216＋y 213＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 令Q 为AP 的中点，即Q ⎝⎛⎭⎫43，13.若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边，故|DQ |＝12|AP |＝223.若D 与P 重合，则|DQ |＝12|AP |.综上，存在点Q ⎝⎛⎭⎫43，13，使得|DQ |为定值．。

圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案)

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为73，求双曲线1C 的方程．（2）以抛物线28y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程．（1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e =由1273e e =得113e =设双曲线的方程为22221(,0)y x a b a b -=>则2222213139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00622x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩．代入2008y x =得：2412y x =-．此即为点P 的轨迹方程．2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=53sinA,求点A 的轨迹方程．解：（1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．（2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系．解：sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=53·2RsinA ∴BC AC AB 53=- 即6=-AC AB （*）∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为116922=-y x （x>3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C ：12222=+by a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率为21，且x 2-x 1=56，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为1342222=-ky k x . 由题设条件得：114)2(120x x k ----=--+， ①224)2(120x x k ----=--+， ②x 2-x 1=56， ③ 由①、②、③解得：k =1，x 1=511-，x 2=-1，所求椭圆C 的方程为13422=+y x . 4、在面积为1的PMN ∆中，21tan =M ，2tan -=N ，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点且过P 点的椭圆方程．∴所求椭圆方程为1315422=+y x 解：以MN 的中点为原点，MN 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设),(y x P ．则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-=-.1,21,2cy c x yc x y∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===233435c c y c x 且即)32,325(P ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+,43,13412252222b a ba 得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,41522b a （1）求线段PQ 的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于点R （O 为原点），求点R 的轨迹方程．解：（1）设线段PQ 的中点坐标为M （x ，y ），由Q （4，0）可得点P （2x -4，2y ），代入圆的方程x 2+y 2=4可得（2x -4）2+（2y ）2=4，整理可得所求轨迹为（x -2）2+y 2=1.（2）设点R （x ，y ），P （m ，n ），由已知|OP |=2，|OQ |=4，∴21||||=OQ OP ，由角平分线性质可得||||||||RQ PR OQ OP ==21，又∵点R 在线段PQ 上，∴|PR |=21|RQ |，∴点R 分有向线段PQ 的比为21，由定比分点坐标公式可得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=32211021342211421n n y m m x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=23243y n x m ，∴点P 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23 ,243y x ，代入圆的方程x 2+y 2=4可得42324322=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ，即234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）. ∴点R 的轨迹方程为234⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +y 2=916（y ≠0）.6、已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=uu u v uuu v若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设M 为动圆圆心， F ()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =，即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42=（2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，由2(1)4x k y y x=-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =由0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，即 ()11,OP x y =u u u r ，()22,OQ x y =u u u r，于是12120x x y y +=，即()()21212110ky y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=，2224(1)40k k k k k +-+=g ，解得4k =-或0k =（舍去），又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-=7、设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程；（II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP OQ →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I ）Θe c a =∴=2422， Θc a a c 22312=+∴==，，∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±334分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()M x y ，[]Θ2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y ，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[]ΘOP OQ x x y y x x k x x x x k x x x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·00110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k x x k k ii =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l .8、设M 是椭圆22:1124x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN⊥MQ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分221122221,(1)124 1.(2)124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩L L L L L L L L ………3分由（1）－（2）可得1.3MN QN k k •=-…6分又MN⊥MQ，111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=-所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3yy x x y x =+-，又直线PT 的方程为11.x y x y =-从而得1111,.22x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L 过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上。

高中数学参数方程大题(带答案)

参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作及l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值及最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线及圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值及最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程及参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴及x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线及圆的位置关系进行转化求解．解答：解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，∴ρ（sinθ﹣cosθ）=，∴，∴x﹣y+1=0．（2）根据曲线C的参数方程为：（α为参数）．得（x﹣2）2+y2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=．点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；（2）把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．解答：解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7=0，设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直线的距离d==，（其中sinα=，cosα=）从而当cosθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力及计算能力，属于中档题．5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意椭圆的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为．将椭圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为普通方程为（4分）点到直线的距离（6分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（10分）点评：此题考查参数方程、极坐标方程及普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题；直线及圆；坐标系和参数方程．分析：（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．解答：解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，可得，3x+4y+1=0；由于ρ=cos（θ+）=（），即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M（，），则x+y==sin（），由于θ∈R，则x+y的最大值为1．点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：（t为参数）距离的最小值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，解答：解（1）∵P点的极坐标为，∴=3，=．∴点P的直角坐标把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得，即∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0设，则线段PQ的中点．则点M到直线l的距离.，∴点M到直线l的最小距离为．点评：本题考查了极坐标及直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识及基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．8．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=及圆C的交点为O，P，及直线l的交点为Q，求线段PQ的长．考点：简单曲线的极坐标方程；直线及圆的位置关系．专题：直线及圆．分析：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（II）由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别及圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解答：解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2=1．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．点评：本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点及方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识及基本方法，属于中档题．9．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）求得椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，可得d的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P的坐标．解答：解：（1）由曲线C1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C1的普通方程为：．由曲线C2：得：，即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x+y﹣8=0，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C1及直线C2无公共点，椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为，∴当时，d的最小值为，此时点P的坐标为．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．10．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标及极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标．（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．解答：解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．11．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l及直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：[0，]．点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线及圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．12．在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1及C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1及C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线及圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：压轴题；直线及圆．分析：（I）先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II）由（I）得，P及Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x ﹣+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值．解答：解：（I）圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为 x2+（y﹣2）2=4，x+y﹣4=0，解得或，∴C1及C2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II）由（I）得，P及Q点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0，由参数方程可得y=x﹣+1，∴，解得a=﹣1，b=2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．13．在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C及直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．解答：解：（I）直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+4（sinα+cosα）t+4=0．∵曲线C及直线相交于不同的两点M、N，∴△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，∴sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴．又t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=，∵，∴，∴．∴|PM|+|PN|的取值范围是．点评：本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线及圆相交弦长问题，属于中档题．14．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力及计算能力，属于中档题．15．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ，曲线C2的极坐标方程为θ=（p∈R），曲线C1，C2相交于A，B两点．（Ⅰ）把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB的长度．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用直角坐标及极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得曲线C2及曲线C1的直角坐标方程．（Ⅱ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB的长度．解答：解：（Ⅰ）曲线C2：（p∈R）表示直线y=x，曲线C1：ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ所以x2+y2=6x即（x﹣3）2+y2=9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r=3所以弦长AB==．∴弦AB的长度．点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程及直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．16．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．考点：简单曲线的极坐标方程；直线及圆的位置关系．专题：计算题．分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标及直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值，最后列出关于r的方程即可求出r值．解答：解：（1）由ρsin（θ+）=，得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0．由得C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C的极坐标（1，）．（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．点评：本小题主要考查坐标系及参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程及普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．17．选修4﹣4：坐标系及参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1及C2的公共弦的参数方程．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题．分析：（I）利用，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1及C2的公共弦的参数方程．解法二利用直角坐标及极坐标的关系求出，然后求出圆C1及C2的公共弦的参数方程．解答：解：（I）由，x2+y2=ρ2，可知圆，的极坐标方程为ρ=2，圆，即的极坐标方程为ρ=4cosθ，解得：ρ=2，，故圆C1，C2的交点坐标（2，），（2，）．（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1，），（1，）．故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为）（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1，C2的公共弦的参数方程为．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标及直角坐标的互化，考查计算能力．。

高考数学圆锥曲线专题训练(附答案解析)

高中数学圆锥曲线专题*注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前xx 分钟收取答题卡阅卷人一、单选题（共10题；共20分）得分1. ( 2分) 波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.2. ( 2分) 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A、B距离之比是常数的点M的轨迹是圆若两定点A、B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为A. B. C. D.3. ( 2分) 已知、为双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线，交的左、右两支于、两点，若为线段的中点且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.4. ( 2分) 已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为16，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.5. ( 2分) 关于曲线：性质的叙述，正确的是（）A. 一定是椭圆B. 可能为抛物线C. 离心率为定值D. 焦点为定点6. ( 2分) 古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足＝2，则动点M的轨迹方程为（）A. （x﹣5）2+y2＝16B. x2+（y﹣5）2＝9C. （x+5）2+y2＝16D. x2+（y+5）2＝97. ( 2分) 已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C.D.8. ( 2分) 在正四面体中，点为所在平面上的动点，若与所成角为定值，则动点的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线9. ( 2分) 已知，及抛物线方程为，点在抛物线上，则使得为直角三角形的点个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. ( 2分) 已知双曲线的左､右焦点分别为，，若双曲线上存在点P使，则离心率的取值范围是（）A. B. C. D.阅卷人二、填空题（共10题；共10分）得分11. ( 1分) 已知正实数是的等比中项，则圆锥曲线＝1的离心率为________12. ( 1分) 设抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则弦长________．13. ( 1分) 已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若的最小值为，则双曲线的离心率为________.14. ( 1分) 若椭圆的离心率为，则的短轴长为________．15. ( 1分) 从抛物线图象上一点作抛物线准线的垂线，垂足为，且，设为抛物线的焦点，则的面积为________.16. ( 1分) 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，点是坐标原点，则的面积为________17. ( 1分) 已知双曲线的下焦点为，虚轴的右端点为，点在的上支，为坐标原点，直线和直线的倾斜角分别为，，若，则的最小值为________．18. ( 1分) 已知为椭圆的左焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，则直线的斜率为________.19. ( 1分) 椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆C上，已知，则________.20. ( 1分) 已知椭圆的右顶点为A，左，右焦点为F1，F2，过点F2与x轴垂直的直线与椭圆的一个交点为B．若|F1F2|＝2，|F2B| ，则点F1到直线AB的距离为________．阅卷人三、解答题（共30题；共280分）得分21. ( 10分) 已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF2⊥F1F2，△F1F2D的面积为2 ，离心率e= ，抛物线C：x2=2py（p＞0）的准线l经过D点．（1）求椭圆E与抛物线C的方程；（2）过直线l上的动点P作抛物线的两条切线，切点为A，B，直线AB交椭圆于M，N两点，当坐标原点O落在以MN为直径的圆外时，求点P的横坐标t的取值范围．22. ( 10分) 椭圆C1：+y2=1，椭圆C2：（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，﹣1）．（1）求椭圆C2的方程；（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．23. ( 10分) 已知A（1，）是离心率为的椭圆E：+ =1（a＞b＞0）上的一点，过A作两条直线交椭圆于B、C两点，若直线AB、AC的倾斜角互补．（1）求椭圆E的方程；（2）试证明直线BC的斜率为定值，并求出这个定值；（3）△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值？若不存在，说明理由．24. ( 10分) 设抛物线C1：y2=8x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2．以F1，F2为焦点，离心率为的椭圆记为C2．（Ⅰ）求椭圆C2的方程；（Ⅱ）设N（0，﹣2），过点P（1，2）作直线l，交椭圆C2于异于N的A、B两点．（ⅰ）若直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2为定值．（ⅱ）以B为圆心，以BF2为半径作⊙B，是否存在定⊙M，使得⊙B与⊙M恒相切？若存在，求出⊙M的方程，若不存在，请说明理由．25. ( 10分) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆：的离心率为，y轴于椭圆相交于A、B两点，，C、D是椭圆上异于A、B的任意两点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N．（1）求椭圆的方程；（2）求直线MN的斜率．26. ( 10分) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且• =0，△GF1F2的面积为2．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=k（x﹣1）（k＜0）与椭圆Γ相交于A，B两点．点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当最大时，求直线l的方程．27. ( 10分) 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.28. ( 10分) 设椭圆+ =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．29. ( 10分) 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点(点在轴上方)．（1）若，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，．是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．30. ( 10分) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C 相交于点．（1）求抛物线的方程；（2）过点F是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．31. ( 10分) 已知椭圆的长轴长为4,离心率为.(I)求C的方程；(II)设直线交C于A,B两点,点A在第一象限, 轴,垂足为M, 连结BM并延长交C于点N.求证：点A在以BN为直径的圆上.32. ( 10分) 已如椭圆E：（）的离心率为，点在E上.（1）求E的方程：（2）斜率不为0的直线l经过点，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由33. ( 5分) 已知点P（x，y）满足条件．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l与圆O：x2+y2=1相切，与曲线C相较于A，B两点，若，求直线l的斜率．34. ( 5分) 设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x2+y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．（Ⅰ）证明：a2＞；（Ⅱ）若，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．35. ( 15分) 已知点在抛物线上，是直线上的两个不同的点，且线段的中点都在抛物线上.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若的面积等于，求的值.36. ( 5分) 如图，曲线Γ由曲线C1：（a＞b＞0，y≤0）和曲线C2：（a＞0，b＞0，y＞0）组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（Ⅰ）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（Ⅱ）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．37. ( 5分) 已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，且的周长为12．（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．38. ( 10分) 如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.（1）求抛物线C的方程.（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.39. ( 10分) 已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点与点均在椭圆上，且关于原点对称，问：椭圆上是否存在点（点在一象限），使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．40. ( 5分) 已知椭圆E: 过点(0,1)且离心率.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)设动直线l与两定直线l1:x﹣y=0和l2:x+y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆E有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.41. ( 10分) 已知抛物线，抛物线与圆的相交弦长为4. （1）求抛物线的标准方程；（2）点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，，若的面积为，且直线的斜率存在，求直线的方程.42. ( 10分) 设椭圆的左、右焦点分别为，、，，点在椭圆上，为原点.（1）若，，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的右顶点为，短轴长为2，且满足为椭圆的离心率）.①求椭圆的方程；②设直线：与椭圆相交于、两点，若的面积为1，求实数的值.43. ( 10分) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．44. ( 10分) 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，点在线段上，且，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过抛物线：的焦点作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交曲线于另一点，求面积的最小值，以及取得最小值时直线的方程.45. ( 10分) 已知点，分别是椭圆的长轴端点、短轴端点，为坐标原点，若，.（1）求椭圆的标准方程；（2）如果斜率为的直线交椭圆于不同的两点(都不同于点)，线段的中点为，设线段的垂线的斜率为，试探求与之间的数量关系.46. ( 10分) 已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．47. ( 10分) 已知椭圆C：=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C 上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．48. ( 10分) 已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为﹣，求斜率k的值；②若点M（﹣，0），求证：• 为定值．49. ( 10分) 已知椭圆的焦距为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的两点(异于)，连结，且斜率是斜率的倍.（1）求椭圆的方程；（2）证明:直线恒过定点.50. ( 10分) 如图，中心为坐标原点O的两圆半径分别为，，射线OT与两圆分别交于A、B两点，分别过A、B作垂直于x轴、y轴的直线、，交于点P．（1）当射线OT绕点O旋转时，求P点的轨迹E的方程；（2）直线l：与曲线E交于M、N两点，两圆上共有6个点到直线l的距离为时，求的取值范围．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，则 =2，化简得.∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，∴，解得，∴椭圆的离心率为．故答案为：D．【分析】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，则利用两点距离公式得出，∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，利用三角形面积公式求出a,b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式结合离心率公式变形求出椭圆的离心率。

参数方程专题训练

一曲线的参数方程第1课时参数方程的概念及圆的参数方程知识点二圆的参数方程思考如图，角θ的终边与单位圆交于一点P ，P 的坐标如何表示？答案 P (cos θ，sin θ)，由任意角的三角函数的定义即x ＝cos θ，y ＝sin θ. 梳理类型一参数方程及应用例1 已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝2t 2＋1(t 为参数)． (1)判断点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系；(2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．跟踪训练1 在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(θ为参数)．(1)求曲线C 上的点Q (－3，－3)对应的参数θ的值；(2)若点P (m ，－1)在曲线C 上，求m 的值．类型二求曲线的参数方程例2 如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B ，A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．跟踪训练2 长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，AB →＝3AP →，点P 的轨迹为曲线C .(1)以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程； (2)求点P 到点D (0，－2)距离的最大值．类型三圆的参数方程及应用例3 如图，圆O 的半径为2，P 是圆O 上的动点，Q (4,0)在x 轴上．M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，(1)求点M 的轨迹的参数方程，并判断轨迹所表示的图形； (2)若(x ，y )是M 轨迹上的点，求x ＋2y 的取值范围．跟踪训练3 已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，求x 2＋y 2的最大值和最小值． 1．下列方程： ①⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ，y ＝m (m 为参数)；②⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ，y ＝n (m ，n 为参数)；③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2；④x ＋y ＝0中，参数方程的个数为( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝3＋2sin θ(θ为参数)围成图形的面积等于( )A ．π B ．2π C ．3π D ．4π3．圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋4cos θ，y ＝－2＋4sin θ(θ为参数)的圆心坐标为________，和圆C 关于直线x －y ＝0对称的圆C ′的普通方程是________________________________________________________．4．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t 2(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________. 5．若P (2，－1)为圆O ′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在直线l 的方程为________．1．若点P (4，a )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t(t 为参数)上，则a 等于( )A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．12．下列的点在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的是( )A.⎝⎛⎭⎫12，－2B.⎝⎛⎫－34，12C ．(－2，3) D ．(1，3) 3．已知O 为原点，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则|OA |等于( )A ．1B ．2C ．3D ．44．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数)表示的曲线是( )A ．两条直线B ．一条射线C ．两条射线D ．双曲线 5．圆心为点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π) C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<π) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π) 6．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 的距离为71010的点的个数为( )A ．1 B ．2C ．3 D ．47．若点(－3，－33)在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)上，则θ＝________________.8．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ－1，y ＝5sin θ＋2(θ为参数)和直线l ：3x ＋4y －10＝0，则直线l 与圆C相交所得的弦长等于________．10．若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，则2x ＋y 的最小值为________．11．已知直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于两点A 和B ，求弦长|AB |.12．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．13.如图所示，OA 是圆C 的直径，且|OA |＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，试求P 点的轨迹方程．14．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹的参数方程是________．15．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在曲线C 上，曲线C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．第2课时参数方程和普通方程的互化梳理 (1)曲线的普通方程和参数方程的互相转化①曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程； ②如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．(2)参数方程化为普通方程的三种常用方法①代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数； ②三角函数法：利用三角恒等式消去参数；③整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去．特别提醒：化参数方程为普通方程F (x ，y )＝0，在消参过程中注意变量x ，y 的取值范围，必须根据参数的取值范围，确定f (t )和g (t )的值域得x ，y 的取值范围.类型一参数方程化为普通方程例1 将下列参数方程化为普通方程，并判断曲线的形状．(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ－1(θ为参数)；(3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t1＋t ，y ＝2t1＋t(t ≠－1，t 为参数)．跟踪训练1 将下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎨⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t2(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．例2 已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，根据下列条件，求圆C 的参数方程． (1)以过原点的直线的倾斜角θ为参数；(2)设x ＝2m ，m 为参数．跟踪训练2 已知曲线的普通方程为4x 2＋y 2＝16.(1)若令y ＝4sin θ(θ为参数)，如何求曲线的参数方程？(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？类型三参数方程与普通方程互化的应用例3 已知x ，y 满足圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的方程，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33t ，y ＝－t ＋5(t 为参数)． (1)求3x ＋4y 的最大值和最小值；(2)若P (x ，y )是圆C 上的点，求P 到直线l 的最小距离，并求此时点P 的坐标．跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0. (1)求直线l 的极坐标方程，曲线C 的直角坐标方程；(2)若点P 是曲线C 上任意一点，P 点的直角坐标为(x ，y )，求x ＋2y 的最大值和最小值．1．若点P 在曲线ρcos θ＋2ρsin θ＝3上，其中0≤θ≤π4，ρ>0，则点P 的轨迹是( )A ．直线x ＋2y ＝3B ．以(3,0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(1,1)，(3,0)为端点的线段2．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化成普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3) D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1) 3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝sin θ＋cos θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程是_____________________．4．将参数方程⎩⎨⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2＋1t2(t 为参数)化成普通方程为____________________．5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ(φ为参数)表示的图形是________．1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|sin θ|，y ＝cos θ(θ为参数)的方程等价于( )A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±1－x 2D ．x 2＋y 2＝12．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－2－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别为( ) A.π4，(1,0) B.π4，(－1,0)C.3π4，(1,0) D.3π4，(－1,0) 3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是( )A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0，x ∈[2,3]D ．2x ＋y －4＝0，x ∈[2,3]4．过原点作倾斜角为θ的直线与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos αy ＝2sin α(α为参数)相切，则θ等于( )A.π6B.5π6C.π6或5π6D.π35．下列参数方程中，与普通方程y 2＝x 表示同一曲线的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin t (t 为参数)C.⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t (t 为参数) 6．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是____________________．7．若曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－kk 2＋4，y ＝4k 2＋4(k 为参数)，则其普通方程为________________．8．在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直角l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________________．9．过点M (2,1)作曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的弦，使M 为弦的中点，则此弦所在直线的普通方程为________． 10．已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝0，则圆C 截直线所得弦长为________． 11．将参数方程⎩⎨⎧x ＝a2⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝⎛⎭⎫t －1t (a ，b 为大于0的常数，t 为参数)化为普通方程，并判断曲线的形状．12．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数，r 为常数，r >0)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋2＝0.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求r 的值．13．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋10cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋6sin θ.(1)将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)曲线C 1，C 2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．14．在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ为参数)，若圆C 1与C 2相切，则实数a ＝________.15．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝35t ，y ＝1＋45t (t 为参数)．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )在直线l 上，且在曲线C 内，求x －y 的取值范围； (3)若Q (x ，y )在曲线C 上，求Q 到直线l 的最大距离d max .二圆锥曲线的参数方程知识点一椭圆的参数方程梳理 (1)(2)φ是点M (a cos φ，b sin φ)的离心角．知识点二双曲线的参数方程双曲线的参数方程知识点三抛物线的参数方程 1．抛物线的参数方程2.参数的几何意义(1)α表示OM 的倾斜角．(2)t ＝1tan α.当t ＝0时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt 表示原点.类型一椭圆的参数方程例1 已知实数x ，y 满足x 225＋y 216＝1，求目标函数z ＝x －2y 的最大值与最小值．跟踪训练1 已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排序，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)求曲线C 1的普通方程，判断曲线形状；(3)设点P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．命题角度2 利用参数方程求轨迹方程例2 已知A ，B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程．跟踪训练2 已知点A 在椭圆x 2144＋y 236＝1上运动，点B (0,9)，点M 在线段AB 上，且|AM ||MB |＝12，试求动点M 的轨迹方程．类型二双曲线的参数方程例3 已知等轴双曲线C 的实轴长为2，焦点在x 轴上．(1)求双曲线的普通方程和参数方程；(2)已知点P (0,1)，点Q 在双曲线C 上，求|PQ |的最小值．跟踪训练3 设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1和F 2为两个焦点，证明：|F 1P |·|F 2P |＝|OP |2.类型三抛物线的参数方程例4 已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t (t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.跟踪训练4 将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t(t 为参数)化为普通方程是________．1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)表示( )A ．直线 B ．圆C ．椭圆 D ．双曲线2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec φ，y ＝4tan φ(φ为参数)的焦点与原点的距离为( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上4．把椭圆的普通方程9x 2＋4y 2＝36化为参数方程是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝9sin θ(θ为参数) 5．已知椭圆x 225＋y 216＝1，点A 的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点P ，使点P 与点A 的距离最大．1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)的焦点坐标为( )A ．(0，21)和(0，－21)B ．(21，0)和(－21，0)C ．(0，29)和(0，－29)D ．(29，0)和(－29，0)2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分3．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( )A ．2B ．3C ．4D ．54．当θ取一切实数时，连接A (4sin θ，6cos θ)和B (－4cos θ，6sin θ)两点的线段的中点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．直线 D ．线段5．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ－1(θ为参数)与直线x ＝m 相交于不同的两点，则m 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．[0,1)6．两条曲线的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos 2θ－1，y ＝1＋sin 2θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，则其交点个数为( ) A ．0 B ．1C ．0或1 D ．27．已知动圆方程x 2＋y 2－x sin 2θ＋22·y sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0(θ为参数)，则圆心的轨迹方程是________． 8．双曲线⎩⎨⎧x ＝3tan θ，y ＝sec θ(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．9．在直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋s ，y ＝2－s (s 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝t2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.10．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ＝π4(ρ≥0)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为__________． 11．已知直线l ：3x ＋2y －6＝0与抛物线y 2＝23x 交于A ，B 两点，O 为原点，求∠AOB 的值．12．如图所示，已知点M 是椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)上在第一象限的点，A (a,0)和B (0，b )是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值．13．已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的动弦BC 平行于虚轴，M ，N 是双曲线的左、右顶点．(1)求直线MB ，CN 的交点P 的轨迹方程；(2)若P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求证：a 是x 1，x 2的比例中项．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.15．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使OP ⊥AP (O 为原点)，求离心率e的取值范围．三直线的参数方程知识点直线的参数方程梳理 (1)直线的参数方程①过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)；②由α为直线的倾斜角知，当0<α<π时，sin α>0.(2)直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示t 对应的点M 到M 0的距离．①当M 0M ――→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数；②当M 0M ――→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0.(3)重要公式：设A ，B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A ，t B ，则|AB |＝|t B －t A |＝(t B ＋t A )2－4t A ·t B . 类型一直线的参数方程与普通方程的互化例1 (1)化直线l 1的普通方程x ＋3y －1＝0为参数方程，并说明|t |的几何意义；(2)化直线l 2的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t |的几何意义．跟踪训练1 已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)．(1)分别求t ＝0,2，－2时对应的点M (x ，y )；(2)求直线l 的倾斜角；(3)求直线l 上的点M (－33，0)对应的参数t ，并说明t 的几何意义．类型二直线参数方程的应用命题角度1 求弦长|AB |问题例2 已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)求|AB |；(2)求AB 的中点M 的坐标及|FM |.跟踪训练2 直线l 过点P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点．(1)求弦长|AB |；(2)求A ，B 两点坐标．命题角度2 求积|M 0A |·|M 0B |问题例3 过点P ⎝⎛⎭⎫102，0作倾斜角为α的直线与曲线x 2＋12y 2＝1交于点M ，N ，求|PM |·|PN |的最小值及相应的α值．跟踪训练3 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．类型三直线参数方程的综合应用例4 已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝1＋sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若曲线C 1和C 2相交于A ，B 两点，求|AB |.跟踪训练4 已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值；(3)求⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |的值．1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t (t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10 D ．2 2 2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数，α＝π6)不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________.4．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π6，则直线l 的参数方程为________．5．一直线过点P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )A.23 B ．－32C.32 D ．－232．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤a <π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(2，－1)3．已知直线l 过点A (2,1)，且与向量a ＝(－1,1)平行，则点P (－1，－2)到直线l 的距离是( ) A. 2 B ．22C ．3 2 D ．24．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于点M ，则|MM 0|等于( )A.3＋1 B ．6(3＋1)C ．6＋ 3 D ．63＋15．若⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0－3λ，y ＝y 0＋4λ(λ为参数)与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)表示同一条直线，则λ与t 的关系是( ) A ．λ＝5t B ．λ＝－5t C ．t ＝5λ D ．t ＝－5λ6．直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)7．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，且点A (1,2)，则|AB |＝________.8．直线⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝－3－22t (t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M 下方的点的坐标是________．9．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎫ρ>0，3π4<θ<5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________． 10．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －3，y ＝t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0，则圆心C 到直线l 的距离为__________．11．已知直线l 过点A (－2,3)，倾斜角为135°，求直线l 的参数方程，并且求直线上与点A 距离为32的点的坐标．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值．13．在极坐标系中，已知圆心C ⎝⎛⎭⎫3，π6，半径r ＝1. (1)求圆的直角坐标方程；(2)若直线⎩⎨⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)与圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长．14．设直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，点P 在直线上，且与点M 0(－4,0)的距离为2，若将该直线的参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，则在这个方程中点P 对应的t 值为________．15．在极坐标系中，曲线F 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ.以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，单位长度不变，直线l 1，l 2均过点F (1,0)，且l 1⊥l 2，直线l 1的倾斜角为α. (1)写出曲线F 的直角坐标方程和l 1，l 2的参数方程；(2)设直线l 1和l 2分别与曲线F 交于点A ，B 和C ，D ，线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，求|MN |的最小值．复习课1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 2．常见曲线的参数方程(1)直线过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝x 0＋t sin α (t 为参数)．(2)圆①圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)；②圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．(4)双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2(a >0，b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ(φ为参数)．(5)抛物线抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2p tan 2α，y ＝2p tan α(α为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．类型一参数方程化为普通方程例1 把下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ－4sin θ，y ＝2cos θ＋sin θ(θ为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝a (e t ＋e －t )2，y ＝b (e t－e －t)2(t 为参数，a ，b >0)．跟踪训练1 判断方程⎩⎨⎧x ＝sin θ＋1sin θ，y ＝sin θ－1sin θ(θ是参数且θ∈(0，π))表示的曲线的形状．类型二参数方程的应用命题角度1 直线参数方程的应用例2 已知点P (3,2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长．跟踪训练2 直线l 过点P 0(－4,0)，它的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，直线l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点．(1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线长．命题角度2 曲线参数方程的应用例3 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)求曲线C 与直线l 在该直角坐标系下的普通方程；(2)动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点P (－1,1)，求|PB |＋|AB |的最小值．跟踪训练3 已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．类型三极坐标与参数方程例4 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与圆C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos t ，y ＝23sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3ρcos θ＋2ρsin θ＝12. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，M 为曲线C 与y 轴负半轴的交点，求四边形OMAB 的面积．1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝10sin θ(θ为参数)的焦点坐标为( )A ．(±3,0)B ．(0，±3)C ．(±6,0)D ．(0，±6)2．椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(0≤φ<2π)，则椭圆的离心率为( )A.12B.32C.22D.343．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．由参数确定4．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)上的点的最短距离为________．5．在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大值和最小值．1．在极坐标系中，直线2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2＋2与圆ρ＝2sin θ的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交 D ．以上都有可能2．下列各点在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线上的为( )A ．(2，－7) B.⎝⎛⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，12 D ．(1,0)3．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t (t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)4．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2t C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2t D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t5．抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ，y ＝4t 2(t 为参数)的准线方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．y ＝1 D ．y ＝－16．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ， θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2) 7．点(－3,0)到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝22t(t 为参数)的距离为________．8．已知P 为椭圆4x 2＋y 2＝4上的点，O 为原点，则|OP |的取值范围是________．9．在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线的极坐标方程为________________________________________________________________________．10．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为______________________________________________________________． 11．已知x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求S ＝3x －y 的最值．12．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程； (2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．14．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.。

(完整版)高中数学参数方程大题(带答案)

hingsintheirbeingadforso参数方程极坐标系解答题1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．　2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；（2）首先，化简曲线C的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解．解答：解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，ti m e an dAl h ei r be i ng ar e g o o d f o rs o ∴，∴x ﹣y+1=0．（2）根据曲线C 的参数方程为：（α为参数）．得（x ﹣2）2+y 2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值=．点评：本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题．3．已知曲线C 1：（t 为参数），C 2：（θ为参数）．（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 1上的点P 对应的参数为t=，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：（t 为参数）距离的最小值．考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C 1表示一个圆；曲线C 2表示一个椭圆；（2）把t 的值代入曲线C 1的参数方程得点P 的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C 2的参数方程设出Q 的坐标，利用中点坐标公式表示出M 的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M 到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．解答：解：（1）把曲线C 1：（t 为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y ﹣3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C 2：（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=代入到曲线C 1的参数方程得：P （﹣4，4），把直线C 3：（t 为参数）化为普通方程得：x ﹣2y ﹣7=0，Al l thi n gs in th e i r be i n g ar eg o o d f o rs o 所以M 到直线的距离d==，（其中sin α=，cos α=）从而当cos θ=，sin θ=﹣时，d 取得最小值．点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 的极坐标方程为，直线l 的参数方程为（t 为参数），直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB 面积的最大值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由圆C 的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II ）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d ，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）由圆C 的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C 的普通方程为x 2+y 2﹣2x+2y=0，即（x ﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l 的参数方程（t 为参数），把t=x 代入y=﹣1+2t 可得直线l 的普通方程：，∴圆心到直线l 的距离，∴|AB|=2==，点P 直线AB 距离的最大值为，．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、andAllthibeingaregoodforso 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意椭圆的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为．将椭圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．解答：解：将化为普通方程为（4分）点到直线的距离（6分）所以椭圆上点到直线距离的最大值为，最小值为．（10分）点评：此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．6．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．解答：解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，可得，3x+4y+1=0；由于ρ=cos（θ+）=（），即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；ai n th ei r be i ng ar e g oo d f o rs o（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M （，），则x+y==sin （），由于θ∈R ，则x+y 的最大值为1．点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．7．选修4﹣4：参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为，曲线C 的极坐标方程为．（Ⅰ）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：（t 为参数）距离的最小值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用x=ρcos θ，y=ρsin θ即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，解答：解（1）∵P 点的极坐标为，∴=3，=．∴点P 的直角坐标把ρ2=x 2+y 2，y=ρsin θ代入可得，即∴曲线C 的直角坐标方程为．（2）曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l 的普通方程为x ﹣2y ﹣7=0设，则线段PQ 的中点．那么点M 到直线l 的距离.l l thi n gs in th e i r be i n g a r e g o o df o rs o ∴点M 到直线l 的最小距离为．点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．8．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（I ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x ﹣1）2+y 2=1．把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（II ）由直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解答：解：（I ）圆C 的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x ﹣1）2+y 2=1．把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入化简得：ρ=2cos θ，即为此圆的极坐标方程．（II ）如图所示，由直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3，射线OM ：θ=．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|==2．l l t h i n gs i n t h ei r b e i n g a r eg oo 点评：本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．9．在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+）=4．（1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcos θ、y=ρsin θ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）求得椭圆上的点到直线x+y ﹣8=0的距离为，可得d 的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P的坐标．解答：解：（1）由曲线C 1：，可得，两式两边平方相加得：，即曲线C 1的普通方程为：．由曲线C 2：得：，即ρsin θ+ρcos θ=8，所以x+y ﹣8=0，即曲线C 2的直角坐标方程为：x+y ﹣8=0．（2）由（1）知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点到直线x+y ﹣8=0的距离为，∴当时，d 的最小值为，此时点P 的坐标为．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．10．已知直线l 的参数方程是（t 为参数），圆C 的极坐标方程为ρ=2cos （θ+）．（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；（Ⅱ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．e an d A l l t h h ei r be i ng a r e g o o d f o r s 分析：（I ）先利用三角函数的和角公式展开圆C 的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得圆C 的直角坐标方程，从而得到圆心C 的直角坐标．（II ）欲求切线长的最小值，转化为求直线l 上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l 上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．解答：解：（I ）∵，∴，∴圆C 的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II ）∵直线l 的普通方程为，圆心C 到直线l 距离是，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是（10分）点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．11．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的参数方程为，（t 为参数），曲线C 1的方程为ρ（ρ﹣4sin θ）=12，定点A （6，0），点P 是曲线C 1上的动点，Q 为AP 的中点．（1）求点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）直线l 与直线C 2交于A ，B 两点，若|AB|≥2，求实数a 的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将曲线C 1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C 1的直角坐标方程为：x 2+y 2﹣4y=12，设点P （x ′，y ′），Q （x ，y ），根据中点坐标公式，得，代入x 2+y 2﹣4y=12，得点Q 的轨迹C 2的直角坐标方程为：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2=4，（2）直线l 的普通方程为：y=ax ，根据题意，得，ti m e a n dAl lr b e i n g a r e g o o d f o rs o 解得实数a 的取值范围为：[0，]．点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．12．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ，ρcos （）=2．（Ⅰ）求C 1与C 2交点的极坐标；（Ⅱ）设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为（t ∈R 为参数），求a ，b 的值．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：压轴题；直线与圆．分析：（I ）先将圆C 1，直线C 2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；（II ）由（I ）得，P 与Q 点的坐标分别为（0，2），（1，3），从而直线PQ 的直角坐标方程为x ﹣y+2=0，由参数方程可得y=x ﹣+1，从而构造关于a ，b 的方程组，解得a ，b 的值．解答：解：（I ）圆C 1，直线C 2的直角坐标方程分别为 x 2+（y ﹣2）2=4，x+y ﹣4=0，解得或，∴C 1与C 2交点的极坐标为（4，）．（2，）．（II ）由（I ）得，P 与Q 点的坐标分别为（0，2），（1，3），故直线PQ 的直角坐标方程为x ﹣y+2=0，由参数方程可得y=x ﹣+1，ti mn dAl l thi n gs i n t h ei r be i n g ar es o 解得a=﹣1，b=2．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础题．13．在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P （4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ（Ⅰ）写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 与直线相交于不同的两点M 、N ，求|PM|+|PN|的取值范围．解答：解：（I ）直线l 的参数方程为（t 为参数）．曲线C 的极坐标方程ρ=4cos θ可化为ρ2=4ρcos θ．把x=ρcos θ，y=ρsin θ代入曲线C 的极坐标方程可得x 2+y 2=4x ，即（x ﹣2）2+y 2=4．（II ）把直线l 的参数方程为（t 为参数）代入圆的方程可得：t 2+4（sin α+cos α）t+4=0．∵曲线C 与直线相交于不同的两点M 、N ，∴△=16（sin α+cos α）2﹣16＞0，∴sin αcos α＞0，又α∈[0，π），∴．又t 1+t 2=﹣4（sin α+cos α），t 1t 2=4．∴|PM|+|PN|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=4|sin α+cos α|=，∵，∴，∴．∴|PM|+|PN|的取值范围是．点评：本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题．　14．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2sin θ．（Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．e an dn gs in th ei r b e i n g a r e g o （II ）设P ，又C ．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（I ）由⊙C 的极坐标方程为ρ=2sin θ．∴ρ2=2，化为x 2+y 2=，配方为=3．（II ）设P ，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P （3，0）．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为θ=（p ∈R ），曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．（Ⅰ）把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）求弦AB 的长度．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得曲线C 2及曲线C 1的直角坐标方程．（Ⅱ）利用直角坐标方程的形式，先求出圆心（3，0）到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB 的长度．解答：解：（Ⅰ）曲线C 2：（p ∈R ）表示直线y=x ，曲线C 1：ρ=6cos θ，即ρ2=6ρcos θ所以x 2+y 2=6x 即（x ﹣3）2+y 2=9（Ⅱ）∵圆心（3，0）到直线的距离，r=3所以弦长AB==．∴弦AB 的长度．点评：本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．16．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin （θ+）=，圆C 的参数方程为，（θ为参数，r ＞0）（Ⅰ）求圆心C 的极坐标；（Ⅱ）当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3．eandAllthingsintheirbeoodforsom 专题：计算题．分析：（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值，最后列出关于r的方程即可求出r值．解答：解：（1）由ρsin（θ+）=，得ρ（cosθ+sinθ）=1，∴直线l：x+y﹣1=0．由得C：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C的极坐标（1，）．（2）在圆C：的圆心到直线l的距离为：∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容．17．选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题；压轴题．分析：（I）利用，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；（II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出，然后求出圆C1与C2的公共弦的参数方程．解答：解：（I）由，x2+y2=ρ2，t a dA h i n 可知圆圆的极坐标方程为解，），）解法一：由，，的公共弦的参数方程为的公共弦的参数方程为）代入从而的公共弦的参数方程为。

双曲线方程及其性质(学生版)-高中数学

双曲线方程及其性质1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析关联考点2024年新I卷，第12题,5分求双曲线的离心率无2024年新Ⅱ卷，第19题,17分求直线与双曲线的交点坐标由递推关系证明等比数列向量夹角的坐标表示2023年新I卷，第16题,5分利用定义解决双曲线中集点三角形问题求双曲线的离心率或离心率的取值范围无2023年新Ⅱ卷，第21题,12分根据a、b、c求双曲线的标准方程直线的点斜式方程及辨析双曲线中的定直线问题2022年新I卷，第21题,12分求双曲线标准方程求双曲线中三角形(四边形)的面积问题根据韦达定理求参数2022年新Ⅱ卷，第21题,12分根据双曲线的渐近线求标准方程求双曲线中的弦长由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数根据韦达定理求参数2021年新I卷，第21题,12分求双曲线的标准方程双曲线中的轨迹方程双曲线中的定值问题2021年新Ⅱ卷，第13题,5分根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程由双曲线的离心率求参数的取值范围2020年新I卷，第9题,5分判断方程是否表示双曲线二元二次方程表示的曲线与圆的关系判断方程是否表示椭圆2020年新Ⅱ卷，第10题,5分判断方程是否表示双曲线二元二次方程表示的曲线与圆的关系判断方程是否表示椭圆2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.熟练掌握双曲线的定义及其标准方程，会基本量的求解2.熟练掌握双曲线的几何性质，并会相关计算3.能熟练计算双曲线的离心率4.会求双曲线的标准方程，会双曲线方程简单的实际应用5.会求双曲线中的相关最值【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及离心率的求解，需重点强化训练知识讲解1.双曲线的定义平面上一动点M x ,y 到两定点F 1-c ,0 ,F 2c ,0 的距离的差的绝对值为定值2a 且小于F 1F 2 =2c 的点的轨迹叫做双曲线这两个定点F 1,F 2叫做双曲线的焦点,两焦点的距离F 1F 2 叫做双曲线的焦距2.数学表达式：MF 1 -MF 2 =2a <F 1F 2 =2c3.双曲线的标准方程焦点在x 轴上的标准方程焦点在y 轴上的标准方程标准方程为：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)标准方程为：y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0)4.双曲线中a ，b ，c 的基本关系(c 2=a 2+b 2)5.双曲线的几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)y 2a 2-x 2b2=1(a >0,b >0)范围x ≤-a 或x ≥ay ∈R y ≤-a 或y ≥ax ∈R 顶点坐标A 1(-a ,0)，A 2(a ,0)B 1(0,-b )，B 2(0,b )A 1(0,-a )，A 2(0,a )B 1(-b ,0)，B 2(b ,0)实轴A 1A 2 =2a 实轴长，A 1O =A 2O =a 实半轴长虚轴B 1B 2 =2b 虚轴长，B 1O =B 2O =b 虚半轴长焦点F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)F 1(0,-c )，F 2(0,c )焦距F 1F 2 =2c 焦距，F 1O =F 2O =c 半焦距对称性对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)渐近线方程y =±baxy =±a bx离心率e =ca(e >1)e 2=c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a 2=1+b a 2⇒e =1+b a2离心率对双曲线的影响e 越大，双曲线开口越阔e 越小，双曲线开口越窄6.离心率与渐近线夹角的关系e =1cos α7.通径：(同椭圆)通径长：MN =EF =2b 2a，半通径长：MF 1 =NF 1 =EF 2 =FF 2 =b 2a8.双曲线的焦点到渐近线的距离为b考点一、双曲线的定义及其应用1.(2024·河北邢台·二模)若点P 是双曲线C ：x 216-y 29=1上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，则“PF 1 =8”是“PF 2 =16”的()A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.充分不必要条件2.(2023·全国·模拟预测)已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线交双曲线左支于A 、B 两点，且AB =5，若双曲线的实轴长为8，那么△ABF 2的周长是()A.5B.16C.21D.263.(2024高三·全国·专题练习)若动点P x ,y 满足方程x +2 2+y 2-x -2 2+y 2 =3，则动点P 的轨迹方程为()A.x 294-y 274=1 B.x 294+y 274=1C.x 28+y 24=1D.x 216-y 212=11.(2024·陕西榆林·模拟预测)设F 1，F 2是双曲线C :x 24-y 28=1的左，右焦点，过F 1的直线与y 轴和C 的右支分别交于点P ，Q ，若△PQF 2是正三角形，则|PF 1|=()A.2B.4C.8D.162.(23-24高三下·山东青岛·阶段练习)双曲线x 2a2-y 212=1(a >0)的两个焦点分别是F 1与F 2，焦距为8;M 是双曲线上的一点，且MF 1 =5，则MF 2 =．3.(23-24高二上·四川凉山·期末)已知点M 2,0 ，N -2,0 ，动点P 满足条件PM -PN =2，则动点P 的轨迹方程为()A.x 23-y 2=1x ≥3B.x 23-y 2=1x ≤-3C.x 2-y 23=1x ≥1 D.x 2-y 23=1x ≤-1 考点二、双曲线的标准方程1.(2024高三下·全国·专题练习)双曲线方程为x 2k -2+y 25-k =1，则k 的取值范围是()A.k >5B.2<k <5C.-2<k <2D.-2<k <2或k >52.(2023高三上·湖北孝感·专题练习)过点2,2 且与椭圆9x 2+3y 2=27有相同焦点的双曲线方程为()A.x 26-y 28=1B.y 26-x 28=1C.x 22-y 24=1D.y 22-x 24=13.(22-23高二下·甘肃武威·开学考试)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a =4，经过点A 1,4103；(2)焦点y 轴上，且过点3,-42 ，94,5.4.(23-24高三上·河北张家口·开学考试)“k >2”是“x 2k +1-y 2k -2=1表示双曲线”的( )．A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.(2024·辽宁·二模)已知双曲线C ：x 2-y 2=λ(λ≠0)的焦点为(0,±2)，则C 的方程为()A.x 2-y 2=1B.y 2-x 2=1C.x 2-y 2=2D.y 2-x 2=26.(2022高三·全国·专题练习)已知某双曲线的对称轴为坐标轴,且经过点P3,27,Q-62,7,求该双曲线的标准方程．考点三、双曲线的几何性质1.(2024·福建福州·模拟预测)以y=±3x为渐近线的双曲线可以是()A.x23-y2=1 B.x2-y29=1 C.y23-x2=1 D.y2-x29=12.(2024·广西柳州·模拟预测)双曲线x24-y216=1的一个顶点到渐近线的距离为( )．A.5B.4C.455D.233.(2024·河南新乡·三模)双曲线E:x2a2+a+2-y22a+3=1的实轴长为4，则a=.4.(2024·湖南益阳·模拟预测)已知双曲线x2m -y2n=1(m>0,n>0)与椭圆x24+y23=1有相同的焦点，则4m+1n的最小值为()A.6B.7C.8D.95.(2022·福建三明·模拟预测)已知双曲线C1:x2+y2m=1m≠0与C2:x2-y2=2共焦点，则C1的渐近线方程为( ).A.x±y=0B.2x±y=0C.x±3y=0D.3x±y=06.(2024·贵州·模拟预测)我们把离心率为5+12的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”C:x2 25-2-y2b2=1(b>0)，则C的虚轴长为．1.(24-25高三上·江苏南通·开学考试)过点P2,3的等轴双曲线的方程为.2.(2024·安徽合肥·一模)双曲线C:x2-y2b2=1的焦距为4，则C的渐近线方程为()A.y=±15xB.y=±3xC.y=±1515x D.y=±33x3.(23-24高三上·河南漯河·期末)已知双曲线C:mx2-y2=1(m>0)的一条渐近线方程为mx+3y =0，则C的焦距为.4.(24-25高三上·山东泰安·开学考试)若双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一个焦点F5,0，一条渐近线方程为y=34x，则a+b=．5.(2024·河南新乡·模拟预测)(多选)已知a>0,b>0，则双曲线C1:x2a2-y2b2=1与C2:x2a2-y2b2=4有相同的()A.焦点B.焦距C.离心率D.渐近线考点四、双曲线的离心率1.(2023·北京·高考真题)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0)，离心率为2，则C的方程为．2.(2024·上海·高考真题)三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为.3.(2024·全国·高考真题)已知双曲线的两个焦点分别为0,4,0,-4，点-6,4在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.24.(2022·浙江·高考真题)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，过F且斜率为b4a的直线交双曲线于点A x1,y1，交双曲线的渐近线于点B x2,y2且x1<0<x2．若|FB|=3|FA|，则双曲线的离心率是．5.(2022·全国·高考真题)双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1NF2=35，则C的离心率为()A.52B.32C.132D.1726.(2024·广东江苏·高考真题)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为．1.(2024·河南周口·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距与其虚轴长之比为3：2，则C 的离心率为()A.5B.455C.355D.522.(2024·四川成都·模拟预测)双曲线C :x 2m -y 2=1(m >0)的一条渐近线为3x +my =0，则其离心率为( )．A.233B.63C.103D.2633.(2024·湖北武汉·模拟预测)已知双曲线y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 的一条渐近线的倾斜角为5π6，则此双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.54.(2024·山东·模拟预测)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与E 的右支交于A ，B 两点，且BF 2 =2AF 2 ，若AF 1 ⋅AB=0，则双曲线E 的离心率为()A.3B.173C.233D.1035.(2024·福建泉州·一模)O 为坐标原点，双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F 1，点P 在E 上，直线PF 1与直线bx +ay =0相交于点M ，若PM =MF 1 =2MO ，则E 的离心率为．考点五、双曲线中的最值问题1.(22-23高三上·湖北黄冈·阶段练习)P 为双曲线x 2-y 2=1左支上任意一点，EF 为圆C :(x -2)2+y 2=4的任意一条直径，则PE ⋅PF的最小值为()A.3B.4C.5D.92.(22-23高三下·江苏淮安·期中)已知F 1,F 2分别为双曲线x 29-y 24=1的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点，则PF 12-PF 2PF 2最小值为()A.19B.23C.25D.853.(22-23高二上·浙江湖州·期末)双曲线x 2m -y 2n =1(m >0,n >0)的离心率是2，左右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线左支上一点，则PF 2 PF 1的最大值是()A.32B.2C.3D.41.(22-23高三下·福建泉州·阶段练习)双曲线C ：x 2-y 2=1的左、右顶点分别为A ，B ，P 为C 上一点，直线P A ，PB 与x =12分别交于M ，N 两点，则MN 的最小值为.2.(2022高三·全国·专题练习)长为11的线段AB 的两端点都在双曲线x 29-y 216=1的右支上，则AB 中点M 的横坐标的最小值为()A.75B.5110C.3310D.323.(23-24高二下·江苏南京·期中)已知A ,B 分别是双曲线C :x 29-y 25=1的左、右顶点，P 是双曲线C上的一动点，直线P A ，直线PB 与x =2分别交于M ,N 两点，记△PMN ，△P AB 的外接圆面积分别为S 1,S 2，则S 1S 2的最小值为()A.316B.181 C.34D.2581考点六、双曲线的简单应用1.(23-24高三上·江西·期末)阿波罗尼斯(约公元前262年~约公元前190年)，古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C ：x 2a2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e =5，从F 2发出的光线经过双曲线C 的右支上一点E 的反射，反射光线为EP ，若反射光线与入射光线垂直，则sin ∠F 2F 1E =()A.56B.55C.45D.2552.(22-23高二上·山东德州·期末)3D 打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D 打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm ，下底直径为8cm ，高为8cm (数据均以外壁即笔筒外侧表面计算)，则笔筒最细处的直径为()A.5748cm B.2878cm C.5744cm D.2874cm 3.(2023·浙江杭州·二模)费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线(F 1，F 2为焦点)上一点，点P 处的切线平分∠F 1PF 2．已知双曲线C ：x 24-y 22=1，O 为坐标原点，l 是点P 3,102 处的切线，过左焦点F 1作l 的垂线，垂足为M ，则OM=．4.(2024·全国·模拟预测)在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线F 2P 和反射光线PE 互相垂直时(其中P 为入射点)，cos ∠F 1F 2P 的值为()A.5+14B.5-14C.7+14D.7-145.(2024·吉林延边·一模)祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面(如图)．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为x 2-y 24=1(-2≤y ≤1)，内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为．6.(2023·广东茂名·三模)我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，从F 2发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过F 1；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分∠F 1PF 2.若双曲线C 的方程为x 29-y 216=1，则下列结论正确的是()A.射线n 所在直线的斜率为k ，则k ∈-43,43B.当m ⊥n 时，PF 1 ⋅PF 2 =32C.当n过点Q7,5时，光线由F2到P再到Q所经过的路程为13D.若点T坐标为1,0，直线PT与C相切，则PF2=12一、单选题1.(23-24高三下·重庆·期中)已知双曲线y212-x2b2=1b>0的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为()A.y=±13x B.y=±3x C.y=±3x D.y=±33x2.(2024·湖南邵阳·模拟预测)若点-3,4在双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线上，则C的离心率为()A.259B.2516C.53D.543.(2024·全国·模拟预测)设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个顶点坐标为(-2,0)，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±2xC.y=±12x D.y=±22x4.(2024高三上·全国·专题练习)已知双曲线C的左、右焦点分别是F1,F2,P是双曲线C上的一点，且PF1=5,PF2=3,∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是()A.7B.72C.73D.745.(2024·全国·模拟预测)若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F c,0到其渐近线的距离为32c，则该双曲线的离心率为()A.12B.32C.2D.26.(2024·四川·模拟预测)已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A ，B 两点，若AF 1 =2F 1B ，AB =BF 2 ，则cos ∠F 1BF 2=()A.118B.19C.29D.237.(2024·全国·模拟预测)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率分别为e 1,e 2，若e 1∈55,1 ，则e 2的取值范围是()A.1,255B.1,355C.255,+∞D.355,+∞二、填空题8.(2024·湖南岳阳·三模)已知双曲线C 过点(1,6)，且渐近线方程为y =±2x ，则C 的离心率为．9.(2024高三·全国·专题练习)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1-17,0 、F 217,0 ，MF 1 -MF 2 =2，点M 的轨迹为C ，则C 的方程为.10.(2024高三·全国·专题练习)求适合下列条件的曲线的标准方程：(1)过点A (3,2)和点B (23,1)的椭圆；(2)焦点在x 轴上，离心率为2，且过点(-2,2)的双曲线．一、单选题1.(2024·江西·模拟预测)已知F 1，F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，AB ⊥AF 2，tan ∠AF 2B =43，则双曲线C 的渐近线方程为()A.y =±32xB.y =±3xC.y =±32x D.y =±62x 2.(2024·山西太原·模拟预测)在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为0,-6 ，若动点P 位于y 轴右侧，且到两定点F 1-3,0 ，F 23,0 的距离之差为定值4，则△APF 1周长的最小值为()A.3+45B.3+65C.4+45D.4+653.(2024·广东广州·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，一条渐近线的方程为y =2x ，直线y =kx 与C 在第一象限内的交点为P .若PF =PO ，则k 的值为()A.52B.32C.255D.4554.(2024·湖南长沙·二模)已知A 、B 分别为双曲线C :x 2-y 23=1的左、右顶点，过双曲线C 的左焦点F作直线PQ 交双曲线于P 、Q 两点(点P 、Q 异于A 、B )，则直线AP 、BQ 的斜率之比k AP :k BQ =()A.-13B.-23C.-3D.-325.(2024·河北·三模)已知O 是坐标原点，M 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 右支上任意一点，过点M作双曲线的切线，与其渐近线交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为12b 2，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.5D.26.(2024·陕西商洛·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点.若AB =83AF 1 ，且cos ∠F 1BF 2=14，则双曲线C 的离心率为()A.2B.53C.43D.37.(2024·宁夏银川·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，点B 的坐标为(0,b )，若C 上存在点P使得PB <b 成立，则C 的离心率取值范围是()A.2+12,+∞ B.5+32,+∞ C.2,+∞D.5+12,+∞二、填空题8.(2024·浙江·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 为双曲线渐近线上的点，且F 1M ⋅F 2M=0，若MF 1 =2MF 2 ，则该双曲线的离心率e =.9.(2024·辽宁·模拟预测)设O 为坐标原点，F 1,F 2为双曲线C :x 29-y 26=1的两个焦点，点P 在C 上，cos ∠F 1PF 2=45，则|OP |=10.(2024·广西来宾·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上一点P 满足sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1=3，以F 2为圆心的圆与F 1P 的延长线相切于点M ，且F 1M =3F 1P ，则双曲线的离心率为.1.(2024·天津·高考真题)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2．△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为()A.x 28-y 22=1B.x 28-y 24=1C.x 22-y 28=1D.x 24-y 28=12.(2023·全国·高考真题)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为5，C 的一条渐近线与圆(x -2)2+(y -3)2=1交于A ，B 两点，则|AB |=()A.55B.255C.355D.4553.(2023·全国·高考真题)设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.1,1B.-1,2C.1,3D.-1,-44.(2023·天津·高考真题)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2．过F 2向一条渐近线作垂线，垂足为P ．若PF 2 =2，直线PF 1的斜率为24，则双曲线的方程为()A.x 28-y 24=1B.x 24-y 28=1C.x 24-y 22=1D.x 22-y 24=15.(2023·北京·高考真题)已知双曲线C 的焦点为(-2,0)和(2,0)，离心率为2，则C 的方程为．6.(2023·全国·高考真题)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为-25,0 ，离心率为5．(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过点-4,0 的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线MA 1与NA 2交于点P ．证明:点P 在定直线上.7.(2022·天津·高考真题)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，抛物线y 2=45x 的准线l 经过F 1，且l 与双曲线的一条渐近线交于点A ，若∠F 1F 2A =π4，则双曲线的方程为()A.x 216-y 24=1B.x 24-y 216=1C.x 24-y 2=1D.x 2-y 24=18.(2022·北京·高考真题)已知双曲线y 2+x 2m =1的渐近线方程为y =±33x ，则m =．9.(2022·全国·高考真题)若双曲线y 2-x 2m2=1(m >0)的渐近线与圆x 2+y 2-4y +3=0相切，则m =．10.(2022·全国·高考真题)记双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为e ，写出满足条件“直线y =2x 与C 无公共点”的e 的一个值．11.(2021·全国·高考真题)双曲线x 24-y 25=1的右焦点到直线x +2y -8=0的距离为．12.(2021·全国·高考真题)若双曲线x 2a 2-y 2b2=1的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程.13.(2021·北京·高考真题)若双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1离心率为2，过点2,3 ，则该双曲线的方程为()A.2x 2-y 2=1B.x 2-y 23=1 C.5x 2-3y 2=1D.x 22-y 26=114.(2021·全国·高考真题)已知双曲线C :x 2m -y 2=1(m >0)的一条渐近线为3x +my =0，则C 的焦距为．15.(2021·全国·高考真题)在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1-17,0 、F 217,0 ，MF 1 -MF 2 =2，点M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x =12上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA ⋅TB =TP ⋅TQ ，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.。

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线之轨迹方程的求法

圆锥曲线之轨迹方程的求法（一）【复习目标】□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤；□2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。

【基础练习】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A ．y x =B ．||y x =C ．22y x =D ．220x y +=2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．以上都不对3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.【例题精选】一、直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。

即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。

例1．已知ABC ∆中，2,AB BC m AC==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。

点P 的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。

例1．⊙C ：22(16x y +=内部一点0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于BQ R A P o yx P ，求点P 的轨迹方程.例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12。

记点P 的轨迹为曲线C 求点P 的轨迹方程；练习．若动圆与圆1)2(:221=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 .三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。

专题训练14：双曲线的定义与方程 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)

专题14：双曲线的定义与方程一、单选题1．点1F 、2F 分别是双曲线2213y x -=的左、右焦点，点P 在双曲线上，则12PF F ∆的内切圆半径r 的取值范围是A ．(B ．()0,2C ．(D ．()0,12．已知点P 是双曲线E ：221169x y -=的右支上一点，1F 、2F 是双曲线E 的左、右焦点，12PF F △的面积为20，给出下列四个命题： ①点P 的横坐标为203 ①12PF F △的周长为803①12F PF ∠大于3π①12PF F △的内切圆半径为32其中所有正确命题的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，则此双曲线的标准方程可能为（） A ．x 2212y -=1B ．22134x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=4．已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22143x y -=的左，右焦点，动点A 在双曲线的左支上，点B 为圆E ：()2231x y ++=上一动点，则2AB AF +的最小值为（） A．7B ．8C ．6+D ．35．设P 是双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，则以线段2PF 为直径的圆与双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是（） A ．内切B ．外切C ．内切或外切D ．不相切6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（）A ．22122x y -=B ．2213y x -=C ．2213x y -=D ．22144x y -=7．设F 为双曲线E ：2222x y 1(a,b 0)a b-=>的右焦点，过E 的右顶点作x 轴的垂线与E 的渐近线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，四边形OAFB 为菱形，圆()222222x y c c a b +==+与E 在第一象限的交点是P ，且PF 1=，则双曲线E 的方程是( )A ．22x y 162-=B ．22x y 126-=C ．22x y 13-=D ．22y x 13-=8．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，3OE = ，则双曲线的方程为A ．221612x y -=B ．22169x y -=C ．22136x y -=D ．221312x y -=9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于M ，M 两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 A ．B ．C ．D ．10．已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，l 为12PF F 的内心，若121213IPF IPF IF F S SS =+成立，则双曲线的渐近线方程为( ) A．0y ±= B ．80x y ±=C 0y ±=D ．30x y ±=11．已知双曲线22149x y -=，12F F 分别是双曲线的左右焦点，存在一点M ，M 点关于1F 点的对称点是A 点，M 点关于2F 点的对称点是B 点，线段MN 的中点在双曲线上，则NA NB -=A ．4±B ．4C ．8±D ．812．设双曲线C ：221169x y -=的右焦点为F ，过F 作渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若d 是双曲线上任一点P 到直线MN 的距离，则dPF 的值为 A ．34B ．45C ．54D ．无法确定13．过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22PM PN -的最小值为 A ．10B ．13C ．16D ．1914．已知12,F F 分别是双曲线221916x y -=的左，右焦点，过1F 引圆229x y +=的切线1F P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段1F P 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -=A ．1B ．2C ．3D ．415．如图，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|＝8，P 是双曲线右支上的一点，直线F 2P 与y 轴交于点A ，①APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ|＝2，则该双曲线的离心率为AB C ．2D ．316．已知平面上两点(5,0)M -和(5,0)N ,若直线上存在点P 使6PM PN -=,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是( )①1y x =+; ①2y =; ①43y x =; ①21y x =+.（） A ．①和① B ．①和① C ．①和① D ．①和①二、填空题17．P 为双曲线22115y x -=右支上一点，,M N 分别是圆()2244x y ++=和()2241x y -+=上的点，则PM PN -的最大值是_________________.18．已知椭圆22:13x E y +=的左右顶点分别为1A ，2A ，且B ，C 为E上不同两点（B ，C 位于y 轴右侧），B ，C 关于x 的对称点分别为为1B ，1C ，直线1BA 、12B A 相交于点P ，直线1CA 、2CA 相交于点Q ，已知点()2,0M -，则||||||PM QM PQ +-的最小值为____________．19．已知平面内两个定点(3,0)M 和点(3,0)N -，P 是动点，且直线PM ,PN 的斜率乘积为常数(0)a a ≠，设点P 的轨迹为C .① 存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离之和为定值；① 存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离之和为定值；① 不存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离差的绝对值为定值；① 不存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号） 20．如图，圆()2224x y ++=的圆心为点B ，()2,0A ，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线BP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为__________．参考答案1．A【解析】如图所示，设12PF F ∆的内切圆圆心为I ，内切圆与三边分别相切于点,,A B C ，根据圆的切线可知：PB PC =，11F A FC =，22F A F B =，又根据双曲线定义122PF PF a -= ，即()()122PC FC PB F B a +-+=，所以122FC F B a -=，即122F A F A a -=，又因为122F A F A c +=，所以1F A a c =+，2F A c a =-，所以A 点为右顶点，即圆心(),I a r ，考虑P 点在无穷远时，直线1PF 的斜率趋近于ba，此时1PF 方程为()by x c a =+r =，解得r b =，因此12PF F ∆内切圆半径()0,r b ∈，所以选择A.2．C【分析】设12F PF △的内心为I ，连接22IP IF IF 、、，设()P m n ，，利用12PF F △的面积为20，可求得P 点坐标；12PF F △的周长为1212|+||||P F P F F F +，借助P 点坐标，可得解；利用1PF k ，2PF k 可求得12tan F PF ，可研究12F PF ∠范围；()12121212PF F Sr PF PF F F =++可求得内切圆半径r . 【解析】设12F PF △的内心为I ，连接22IP IF IF 、、，双曲线E ：221169x y -=中的4a =，3b =，5c =，不妨设()P m n ，，0m >，0n >，由12PF F △的面积为20，可得1215202F F n cn n ===，即4n =，由2161169m -=，可得203m =，故①符合题意；由2043P ⎛⎫⎪⎝⎭，，且()150F -，，()250F ，，则12371350333PF PF +==+=，则12PF F △的周长为50801033+=，故①符合题意；可得11235PF k =，2125PF k =，则(121212360535tan 012123191535F PF -==∈⨯+⨯，则123F PF π<∠，故①不符合题意；设12PF F △的内切圆半径为r ，可得()12121211422r PF PF F F F F ++=⋅⋅，可得80403r =，解得32r =，故①符合题意．故选：C.【点评】关键【点评】本题关键借助P 点坐标利用弦长公式求得周长，利用斜率求得夹角，用等积法求得内切圆半径.【分析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可得1||22AF a c =+，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可判断出所求双曲线的可能方程．【解析】解：由题可知，1212F A F F F A →→→=-+，若21210F F F A F A →→→⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即为2221210F F F F A F F A →→→→⎛⎫+⋅ ⎛⎫-+⎪⎝ ⎭⎪⎭=⎝，可得21222F AF F →→=，即有221||||2AF F F c ==，由双曲线的定义可知122AF AF a -=，可得1||22AF a c =+，由于过F 2的直线斜率为247，所以在等腰三角形12AF F 中，2124tan 7AF F ∠=-，则217cos 25AF F ∠=-，由余弦定理得：22221744(22)cos 25222c c a c AF F c c+-+∠=-=，化简得：35c a =，即35a c =，45b c =，可得:3:4a b =，22:9:16a b =，所以此双曲线的标准方程可能为：221916x y -=.故选：D ．【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．【分析】根据题意，利用双曲线的定义化简21124AF AF a AF =+=+，转化为不等式1AB AE BE AE ≥-=-，则有211413AB AF AF AE AF AE +≥++-=++当且仅当A 是线段1EF 与双曲线的交点时取等号，计算即可求解.【解析】双曲线22143x y -=中2a =，b =c ==()1F ，圆E 半径为1r =，()0,3E -，21124AF AF a AF ∴=+=+，1AB AE BE AE ≥-=-（当且仅当A ，E ，B 共线且B 在A ，E 之间时取等号.）2111413337AB AF AF AE AF AE EF ∴+≥++-=++≥+==当且仅当A 是线段1EF 与双曲线的交点时取等号．2AB AF ∴+的最小值是7. 故选：A.【点评】本题考查双曲线与直线相交的最值问题，考查几何法解决双曲线问题，考查转化与化归思想，综合性较强，有一定难度. 5．C【分析】利用双曲线的定义，通过圆心距判断出当点P 分别在左、右两支时，两圆相内切、外切.【解析】设以实轴12F F 为直径的圆的圆心为1O ，其半径1r a =，线段2PF 为直径的圆的圆心为2O ，其半径为222PF r =，当P 在双曲线左支上时，1122O O PF =，21212122PF PF r O O a r -=-==，①两圆内切.当P 在双曲线右支上时，1122O O PF =，12122122PF PF a O r r O -=-==，1212O r r O ∴+=①两圆外切. 故选：C.【点评】本题考查直线和双曲线的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高，有一定的探索性.综合性强，难度大，易错点是容易只考虑P 点在一个分支上而导致丢解，是高考的重点.解题时要认真审题，仔细解答. 6．A【分析】点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案. 【解析】不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值，因为2tan a APF m +∠=，2tan aBPF m-∠=，所以()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+，当且仅当2b m m=()0m >，即当m b =时，等号成立，此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，点P 的坐标为()2,b ，代入22221x y a b -=可得a =b ==所以双曲线的方程为22122x y -=．故选：A【点评】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 7．D【分析】根据题意可得c 2a =，ba=结合选项可知，只有D 满足，因为本题属于选择题，可以不用继续计算了，另外可以求出点P 的坐标，根据点与点的距离公式求a 的值，可得双曲线的方程．【解析】由题意，双曲线E ：2222x y 1a b-=的渐近线方程为b y x a =±，由过E 的右顶点作x 轴的垂线与E 的渐近线相交于A ，B 两点，且四边形OAFB 为菱形，则对角线互相平分，所以c 2a =，ba=D 满足，由22222222x y 1a b x y c 4a ⎧-=⎪⎨⎪+==⎩，解得x A =，3y a 2A =，因为PF 1=，所以22232a)(a)1)2-+=，解得a 1=，则b =故双曲线方程为22y x 13-=，故选D ．【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质，以及菱形的性质和距离公式的应用，其中解答中合理应用菱形的性质，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题． 8．D【解析】分析：根据圆的半径得出a，根据中位线定理和勾股定理计算c ，从而得出b ，即可得出双曲线的方程．详解：①E 为圆222x y a +=上的点，()1132OE a OE OP OF ∴===+，，①E 是1PF 的中点，又O 是12F F 的中点，222PF OE a ∴=== 且2PF OE ，又12124PF PF a PF a -==∴== 1PF 是圆的切线，121OE PF PF PF ∴⊥∴⊥，，又2222222121224601512F F c c PF PF c b c a ，，，．=∴=+=∴=∴=-=①双曲线方程为221312x y -=．故选D ．【点评】本题考查了双曲线的性质，直线与圆的位置关系，双曲线标准方程的求法，属于中档题． 9．B【解析】设双曲线方程为，，将16m n '=代入双曲线方程，整理得，由韦达定理得，则.又，所以，所以双曲线的方程是.故选B.考点：双曲线的标准方程. 10．A【分析】设圆I 与12PF F 的三边12F F 、1PF 、2PF 分别相切于点,,E F G ，连接,,IE IF IG ,12IF F ，1IPF ，2IPF 可看作三个高均为圆I 半径r 的三角形.利用三角形面积公式，代入已知式121213IPF IPF IF F S SS =+，化简可得121213PF PF F F -=，再结合双曲线的定义与渐近线方程可得所求．【解析】如图，设圆I 与12PF F 的三边12F F 、1PF 、2PF 分别相切于点,,E F G ，连接,,IE IF IG ，则12IE F F ⊥，1IF PF ⊥，2IG PF ⊥，它们分别是12IF F ，1IPF ，2IPF 的高，111122IPF rSPF IF PF ∴=⋅=， 222122IPF rSPF IG PF =⋅=， 121212122IF F rSF F IE F F =⋅=，其中r 是12PF F 的内切圆的半径．121213IPF IPF IF F SSS =+，1212226r r rPF PF F F ∴=+，两边约去2r得：121213PF PF F F =+，121213PF PF F F ∴-=，根据双曲线定义，得122PF PF a -=，122F F c =，3a c ∴=，b =，ba=可得双曲线的渐近线方程为y =± ,即为0y ±=，故选A ．【点评】本题主要考查双曲线的定义以及双曲线的渐近线，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质，属于中档题．解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 11．C【分析】由题意画出图形，将其转化为三角形中位线，结合双曲线的定义求出结果【解析】如图所示，线段MN 的中点E 在双曲线的左支上，MNA ∆中，1EF 是中位线，12NA EF =，同理，MNB ∆中，2EF 是中位线，22NB EF =，结合双曲线的()12248NA NB EF EF a -=-=-=-.同理线段MN 中点E 在双曲线的右支上，8NA NB -=，则所求8=±，故选C.【点评】本题考查了结合双曲线定义求出线段的差值，题目中的条件需要进行转化为三角形的中位线，是解题的关键 12．B【解析】由题意，易得，直线MN 的方程为：16x 5=，设P ()y x ，，则165d x =-PF ==544x =- ①16455544x d x PF -==- 故选B 13．B【解析】由题可知，222212||(|4)(|1)PM PN PC PC -=---，因此2222121212||||3()()3PM PN PC PC PC PC PC PC -=--=-+-12122()32313PC PC C C =+-≥-=，故选B ．考点：圆锥曲线综合题． 14．A【解析】由题意MO 是12PF F ∆中位线，所以MO21111,,22PF MT PF FT ==-又知15OF ==，1PF 是圆229x y +=的切线，所以3OT =，14FT ==， MO MT -=212PF 1112PF FT ⎛⎫-- ⎪⎝⎭1121()2FT PF PF =--41a =-=，故选A.【点评】本题主要考查双曲线的性质及定义和三角形中位线及圆的切线的性质，属于难题.本题考查知识点较多，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱，更不能因贪快而审题不清.本题首先根据中位线得MO212PF =，根据几何意义得111,2MT PF FT =-有勾股定理求出14FT =，最后可得MO MT -=1121()2FT PF PF --，进而利用双曲线的定义可求解. 15．C【解析】如下图所示，1122QF MF PF ==+.又121222,222,2PF PF QF PF a a a -=+-=∴+==，所以离心率422c e a ===，选C.考点：双曲线与圆. 16．A【分析】根据双曲线的定义,可得点P 的轨迹是以M 、N 为焦点,26a =的双曲线,由此算出双曲线的方程为221916x y -=.再分别判断双曲线与四条直线的位置关系,可得只有①①的直线上存在点P 满足B 型直线的条件,由此可得答案.【解析】点(5,0)(5,0)M N -点P 使6PM PN -=,∴点P 的轨迹是以M 、N 为焦点,26a =的双曲线可得222225316b c a =-=-=,双曲线的方程为221916x y -=，双曲线的渐近线方程为43y x =±，∴直线43y x =与双曲线没有公共点, 直线21y x =+经过点()0,1斜率43k >,与双曲线也没有公共点而直线1y x =+与直线2y =都与双曲线221916x y-=有交点，因此,在1y x =+与2y =上存在点P 使6PM PN -=,满足B 型直线的条件只有①①正确，故选A.【点评】本题给出“B 型直线”的定义,判断几条直线是否为B 型直线,着重考查了双曲线的定义标准方程、直线与双曲线的位置关系等知识,属于基础题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 17．5【分析】先由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把||||PM PN -转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求||||PM PN -的最大值.【解析】如图，双曲线的两个焦点为：12(4,0),(4,0)F F -为两个圆的圆心，半径分别为122,1r r ==max 1min 2||||2,||||1PM PF PN PF =+=-故||||PM PN -的最大值为：1212(||2||1)||||35PF PF PF PF +-+=-+= 故答案为：5【点评】本题考查了双曲线中的最值问题，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.18．【分析】根据题意，求得点P ，Q 的轨迹为双曲线2213x y -=的右支，进而根据双曲线的性质得解．【解析】设点(,)B m n ，则1:A B y x =+，21:A B y x ，则2222(3)3n y x m =--，又2213m n +=，则22133n m =-， ∴点P 的轨迹方程为221(3)3y x =-，即221(0)3x y y -=>，同理可得点Q 也在轨迹221(0)3x y y -=>上，注意到点(2,0)M -恰为双曲线2213x y -=的左焦点，如图：设双曲线2213x y -=的右焦点为(2,0)N ，则由双曲线的定义可得||||||23||||||43PM QM PQ PN QN PQ +-=+-，||||||PM QM PQ ∴+-的最小值为故答案为：【点评】本题考查椭圆与双曲线的综合运用，考查化简求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．19．①①【分析】由题意首先求得点P 的轨迹方程，然后结合双曲线方程的性质和椭圆方程的性质考查所给的说法是否正确即可.【解析】设点P 的坐标为：P （x ，y ），依题意，有：33y y a x x ⨯=+-，整理，得：22199x y a-=，对于①，点的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，且c ＝4，a ＜0，椭圆在x 轴上两顶点的距离为：6，焦点为：2×4＝8，不符；对于①，点的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆，且c ＝4，椭圆方程为：22199y x a +=-，则9916a --=，解得：259a =-，符合；对于①，当79a =时，22197x y -=，所以，存在满足题意的实数a ，①错误；对于①，点的轨迹为焦点在y 轴上的双曲线，即22199y x a +=-，不可能成为焦点在y 轴上的双曲线，所以，不存在满足题意的实数a ，正确.所以，正确命题的序号是①①.【点评】本题主要考查轨迹方程的求解，双曲线方程的性质，椭圆方程的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．2213y x -= 【解析】由题设可知||||QP QA =，又因为2QP QB BP QB =+=+，故2QA QB -=，由双曲线定义可知点Q 在以(2,0),(2,0)-B A 为焦点的双曲线上，由于221,2a a c =⇒==，所以222413b c a =-=-=，故点Q 的轨迹方程是2213y x -=，应填答案2213y x -=．【点评】本题重在考查双曲线的定义及标准方程的求法，检查运用所学知识去分析问题解决问题的能力．求解时借助垂直平分线上的点Q 所满足的条件||||QP QA =，进而依据线段之间的数量关系得到2QA QB -=，最后再依据双曲线的定义知道点Q 在以(2,0),(2,0)-B A 为焦点的双曲线上，从而求得双曲线的标准方程使得问题巧妙获解．。

2021年高二数学(人) 专题07 曲线与方程(练习) (学生版)

专题07曲线与方程课时训练【基础巩固】1．（湖南省邵阳一中2019届期中）已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，点Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则点Q 的轨迹方程是()A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝02.（黑龙江省绥化一中2019届模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A B C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是()3．（浙江省嘉兴一中2019届模拟）设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为()A ．y 2＝2x B.(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝24．（湖北省鄂州一中2019届模拟）设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ―→＝2PA ―→，且O Q ―→·AB ―→＝1，则点P 的轨迹方程是()A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋322＝1(x ＞0，y ＞0)5.（江苏启东中学2019届模拟）已知点A (－4,4)，B (4,4)，直线AM 与BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与BM 的斜率之差为－2，点M 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的轨迹方程为__________．6．（江苏省常州一中2019届期末）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB→－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．【能力提升】7.设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP = 。

求曲线（圆、椭圆、抛物线和一般曲线）的切线方程专题讲义-云南民族大学附属中学高三数学复习

求曲线（圆、椭圆、抛物线和一般曲线）的切线方程专题一考纲解析：曲线的切线方程是近几年高考的重点和难点，一般出现在选择、填空和大题等位置。

常出现的题型包括圆的切线方程，椭圆、双曲线、抛物线以及一般曲线的切线方程。

处理方法有用直线与曲线联立∆判别式为零确定相切情况和利用导数几何意义求曲线的切线方程。

二、题型解析题型一圆的切线方程方法指导：圆切线问题处理步骤首先看点),(000y x P 是在圆上还是圆外：若过圆上一点且与圆相切的切线方程只要一条；若过圆外一点且与圆相切需结合图形分析，过圆外一点且与圆相切要考虑切线斜率是否存在？如果斜率存在一般设切线方程：)(00x x k y y -=-切通过点到切线距离等于圆半径求出切线斜率，最后可通过图形检验切线斜率的正负性。

典例一过点M （0,5）、N （3，-4）的圆圆心C 在直线：-2x+3y+3=0.求过点H （-2,4）且与圆C 相切的切线方程【解】：根据圆知识点圆内两条相交弦的交点即为圆心，3354-=--=MN k ,M,N 的中点为（21,23），直线MN 的中垂线为：)23(3121-=-x y ，设圆心坐标为(a,b) 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++-)23(31210332a b b a 解得圆心坐标（3,1），故圆C 方程：25)1()3(22=-+-y x 如上图所示，H 点在圆外部，其中一条切线方程显然为：x=-2另外一条存在斜率，设为：)2(4+=-x k y ，圆心C(3,1)到直线的距离51|35|2=++=k k d ，解出,158则方程为：8x-15y+16=0,综述切线方程为：x=-2或8x-15y+16=0. 变式训练：(1)（2010年课标全国）圆心在原点且与直线x+y+2=0相切的圆的方程为【解】设圆的方程为：222r y x =+，根据题意，得22|2|=-=r ，所以圆的方程为：222=+y x(2) (2020.浙江)已知直线1)4(1)0(2222=+-=+>+=y x y x k b kx y 和圆与圆均相切，则k= ,b= .【解】: 如下图所示：满足k>0的直线方程即与122=+y x 圆相切且又与1)4(22=+-y x 圆相切的直线为直线AB ，则设直线AB方程为：)2(-=x k y ,圆心O （0,0）到直线AB的距离11|2|2=+-=k k d ，解得332,33-==b k 进而得到。

双曲线题型归纳含答案

三、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念例1 设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若3||1=PF ，则=||2PF （）A ．1或5B ．6C ．7D ．9分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出2||PF 的值．解：双曲线19222=-y a x 渐近线方程为y =x a 3±，由已知渐近线为023=-y x ， 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=，||4||12PF PF +±=∴. 12||3,||0PF PF =>，7||2=∴PF .故选C ．归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法．（二）基本量求解例2(2009山东理)设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A ．45B ．5C ．25D ．5解析：双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组21b y xa y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得210b x x a -+=有唯一解，所以△=2()40ba-=，所以2b a =，2c e a ====D ．归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能．例3（2009全国Ⅰ理）设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线y =x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于( )解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'0|2x x y x ==．由题意有002y x x =．又有2001y x =+，联立两式解得:201,2,b x e a =∴=== 因此选C ．例4（2009江西）设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点，若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A ．32 B ．2 C ．52D ．3解析：由tan623c b π==有2222344()c b c a ==-，则2c e a==，故选B ．归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出tan 623c b π==，体现数形结合思想的应用．（三）求曲线的方程例5（2009，北京）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>为x =（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．分析：（1）由已知条件列出,,a b c 的关系，求出双曲线C 的方程；（2）将直线与双曲线方程联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m 的值．解：（1）由题意，得23a cc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,a c ==. ∴2222b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2212y x -=．（2）设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，由22120y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩得22220x mx m ---=（判别式0∆>）， ∴12000,22x x x m y x m m +===+=， ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上， ∴()2225m m +=，∴1m =±．另解：设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，由221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=.由直线的斜率为1，121200,22x x y yx y ++==代入上式，得002y x =. 又00(,)M y x 在圆上，得22005y x +=，又00(,)M y x 在直线上，可求得m 的值.归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．例6 过(1,1)M 的直线交双曲线22142x y -=于,A B 两点，若M 为弦AB 的中点，求直线AB 的方程．分析：求过定点M 的直线方程，只需要求出它的斜率．为此可设其斜率是k ，利用M 为弦AB的中点，即可求得k 的值，由此写出直线AB 的方程．也可设出弦的两端点坐标用“点差法”求解．解法一：显然直线AB 不垂直于x 轴，设其斜率是k ，则方程为1(1)y k x -=-．由221421(1)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩消去y 得222(12)4(1)2460①k x k k x k k ----+-=设),(),(221,1y x B y x A ，由于M 为弦AB 的中点，所以1222(1)1212x x k k k+-==-，所以12k =．显然，当12k =时方程①的判别式大于零.所以直线AB 的方程为11(1)2y x -=-，即210x y -+=．解法二：设),(),(221,1y x B y x A ，则221122221②421③42x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①－②得12121212()()2()()0x x x x y y y y -+--+=. 又因为12122,2x x y y +=+=，所以12122()x x y y -=-．若12,x x =则12y y =，由12122,2x x y y +=+=得121x x ==，121y y ==．则点A B 、都不在双曲线上，与题设矛盾，所以12x x ≠．所以121212y y k x x -==-．所以直线AB 的方程为11(1)2y x -=-，即210x y -+=．经检验直线210x y -+=符合题意，故所求直线为210x y -+=．解法三：设A （x y ，），由于A B 、关于点M （1，1）对称，所以B 的坐标为（22x y --，），则2221,42(2) 1.2x y y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩2(2-x)4消去平方项，得210x y -+=． ④ 即点A 的坐标满足方程④，同理点B 的坐标也满足方程④．故直线AB 的方程为210x y -+=．归纳总结：由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所以在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在．（四）轨迹问题例7 已知点100(,)P x y 为双曲线222218x y b b-=（b 为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于2P ．求线段1P 2P 的中点P 的轨迹E 的方程．分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点P 是线段1P 2P 的中点，可利用相关点法．解：由已知得208(3,0),(,)3F b A b y ，则直线2F A 的方程为：03(3)y y x b b=--．令0x =得09y y =，即20(0,9)P y ．设P x y （，），则00002952x x y y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即0025x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩代入22002218x y b b -=得：222241825x y b b -=，即P 的轨迹E 的方程为22221225x y b b -=．()x ∈R 归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法．（五）突出几何性质的考查例8（2006江西）P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则||||PM PN -的最大值为（）A.6B.7C.8D.9解析：双曲线的两个焦点1(5,0)F -与2(5,0)F 恰好是两圆的圆心，欲使||||PM PN -的值最大，当且仅当||PM 最大且||PN 最小，由平面几何性质知，点M 在线段1PF 的延长线上，点N 是线段2PF 与圆的交点时所求的值最大.此时12||||(2)(1)PM PN PF PF -=+--9321=+-=PF PF ．因此选D ．例9（2009重庆）已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线方程为5x =，离心率e = （1）求该双曲线的方程；（2）如图，点A 的坐标为(，B 是圆22(1x y +=上的点，点M 在双曲线右支上，求MA MB +的最小值，并求此时M 点的坐标.分析：（1）比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程；（2）利用双曲线的定义将MA MB 、转化为其它线段，再利用不等式的性质求解．解：（1）由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，设c =x =2a c =由e =ca=解得1,a c ==从而2b =，∴该双曲线的方程为2214y x -=. （2）设点D的坐标为，则点A 、D 为双曲线的焦点，则||||22MA MD a -==.所以||||2||||2||MA MB MB MD BD +=+++≥．因为B是圆22(1x y +=上的点，其圆心为C ，半径为1，故||||11BD CD -=≥，从而||||2||1MA MB BD ++≥．当,M B 在线段CD 上时取等号，此时||||MA MB +1．直线CD的方程为y x =-+M 在双曲线右支上，故0x >．由方程组2244x y y x ⎧-=⎪⎨=-+⎪⎩解得33x y ==．．所以M点的坐标为()33归纳小结：本题综合考查双曲线的知识及不等式性质，考查推理能力及数形结合思想．。

专题05 圆锥曲线大题拔高练(原卷版)

【一专三练】专题05 圆锥曲线大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，且点(2,1)A 在双曲线C 上.(1)求双曲线C 的方程；(2)若点M ，N 在双曲线C 上，且AM AN ⊥，直线MN 不与y 轴平行，证明：直线MN 的斜率k 为定值.2．（2023·广东佛山·统考一模）已知椭圆2222Γ:1x y a b +=()0a b >>的左焦点为()1,0F -，左、右顶点及上顶点分别记为A 、B 、C ，且1CF CB ⋅= .(1)求椭圆Γ的方程；(2)设过F 的直线PQ 交椭圆Γ于P 、Q 两点，若直线PA 、QA 与直线l ：40x +=分别交于M 、N 两点，l 与x 轴的交点为K ，则MK KN ⋅是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.3．（2023·广东江门·统考一模）已知M 是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA 与直线y x =垂直，A 为垂足且位于第一象限，直线MB 与直线y x =-垂直，B 为垂足且位于第四象限，四边形OAMB （O 8，动点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)已知()5,3T 是轨迹C 上一点，直线l 交轨迹C 于P ，Q 两点，直线TP ，TQ 的斜率之和为1，tan 1PTQ ∠=，求TPQ V 的面积.4．（2023·浙江·永嘉中学校联考模拟预测）已知双曲线E 的顶点为()1,0A -，()10B ,，过右焦点F 作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点G ，且OFG S =△点P 为x 轴正半轴上异于点B 的任意点，过点P 的直线l 交双曲线于C ，D 两点，直线AC 与直线BD 交于点H .(1)求双曲线E 的标准方程；(2)求证：OP OH ⋅ 为定值.5．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的实轴长为4，左､右顶点分别为12,A A ，经过点()4,0B 的直线l 与C 的右支分别交于,M N 两点，其中点M 在x 轴上方.当l x ⊥轴时，MN =(1)设直线12,MA NA 的斜率分别为12,k k ，求21k k 的值；(2)若212BA N BA M ∠∠=，求1A MN V 的面积.6．（2023·江苏泰州·统考一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，过左焦点F 的直线与C 交于,P Q 两点.当PQ x ⊥PAQ △的面积为3.(1)求C 的方程；(2)证明：以PQ 为直径的圆经过定点.7．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A -，(2,0)B ，直线PA 与直线PB 的斜率乘积为34-，点P 的轨迹为M ．(1)求M 的方程；(2)分别过1(1,0)F -，2(1,0)F 做两条斜率存在的直线分别交M 于C ，D 两点和E ，F 两点，且117||||12CD EF +=，求直线CD 的斜率与直线EF 的斜率之积．8．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 三个点在椭圆2212x y +=，椭圆外一点P 满足2OP AO = ，2BP CP = ，（O 为坐标原点）.(1)求12122x x y y +的值；(2)证明：直线AC 与OB .9．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知抛物线C ：()220y px p =>和椭圆E ：()22101x y a a a+=>+有共同的焦点F (1)求抛物线C 的方程，并写出它的准线方程(2)过F 作直线l 交抛物线C 于P ， Q 两点，交椭圆E 于M ， N 两点，证明：当且仅当l x ⊥轴时，PQ MN取得最小值10．（2023·河北石家庄·统考一模）已知点(4,3)P 在双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）上，过P 作x 轴的平行线，分别交双曲线C 的两条渐近线于M ，N 两点，||||4PM PN ⋅=．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y kx m =+与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，从下面两个条件中选一个（多选只按先做给分），证明：直线l 过定点．①121k k +=；②121k k =．11．（2023·福建漳州·统考二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且124F F =．过右焦点2F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，1ABF V 的周长为(1)求C 的标准方程；(2)过坐标原点O 作一条与垂直的直线l '，交C 于P ，Q 两点，求||||AB PQ 的取值范围；(3)记点A 关于x 轴的对称点为M （异于B 点），试问直线BM 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是请说明理由．12．（2023·福建泉州·统考三模）已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ．直线l 与C 相切，且与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点，M 在N 的左侧．(1)若||MN =l 的斜率；(2)记直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值．13．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>过点(4,1)P ，且1C 的焦距是椭圆2222222222:x y a b C a b a b ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭的焦距的3倍．(1)求1C 的标准方程；(2)设M ，N 是1C 上异于点P 的两个动点，且0PM PN ⋅= ，试问直线MN 是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由．14．（2023·山东青岛·统考一模）已知O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，A 为椭圆C 的上顶点，12AF F △为等腰直角三角形，其面积为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，点W 在过原点且与l 平行的直线上，记直线WP ，WQ 的斜率分别为1k ，2k ，WPQ △的面积为S ．从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立．①S =②1212k k =-；③W 为原点O ．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．15．（2023·山东济南·一模）已知抛物线2:2H x py =（p 为常数，0p >）．(1)若直线:22l y kx pk p =-+与H 只有一个公共点，求k ；(2)贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau 算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．如图，A ，B ，C 是H 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D ，E ，F ，证明：||||||||||||AD EF DB DE FC BF ==．16．（2023·山东聊城·统考一模）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为60°，且C 上的点到F 的距离的最小值为1．(1)求C 的方程；(2)设点()0,0O ，()0,2M ，动直线l ：y kx m =+与C 的右支相交于不同两点A ，B ，且AFM BFM ∠=∠，过点O 作OH l ⊥，H 为垂足，证明：动点H 在定圆上，并求该圆的方程．17．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点A ⎛ ⎝.(1)若椭圆E 的离心率10,2e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求b 的取值范围；(2)已知椭圆E 的离心率e =，M ，N 为椭圆E 上不同两点，若经过M ，N 两点的直线与圆222x y b +=相切，求线段MN 的最大值.18．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）过坐标原点O 作圆22:(2)3C x y ++=的两条切线，设切点为,P Q ，直线PQ 恰为抛物2:2,(0)E y px p =>的准线.(1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点,,,A B M N 满足：2,2TA TM TB TN == ，设AB 中点为D .（i ）求直线TD 的斜率；（ii ）设TAB △面积为S ，求S 的最大值.19．（2023·江苏·统考一模）已知直线l 与抛物线21:2C y x =交于两点()11,A x y ，()22,B x y ，与抛物线22:4C y x =交于两点()33,C x y ，()44,D x y ，其中A ，C 在第一象限，B ，D 在第四象限.(1)若直线l 过点()1,0M，且11BM AM -=l 的方程；(2)①证明：12341111y y y y +=+；②设AOB V ，COD △的面积分别为1S ，2S ，（O 为坐标原点），若2AC BD =，求12S S .20．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）已知点()2,2A 为抛物线2:2Γ=y px 上的点，B ，C 为抛物线Γ上的两个动点，Q 为抛物线Γ的准线与x 轴的交点，F 为抛物线Γ的焦点．(1)若90BOC ∠=︒，求证：直线BC 恒过定点；(2)若直线BC 过点Q ，B ，C 在x 轴下方，点B 在Q ，C 之间，且24tan 7BFC ∠=，求AFC △的面积和BFC △的面积之比．21．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知A ，B 为椭圆22221x y a b+=左右两个顶点，动点D 是椭圆上异于A ，B 的一点，点F 是右焦点．当点D的坐标为()1-时，3DF =．(1)求椭圆的方程．(2)已知点C 的坐标为()4,0，直线CD 与椭圆交于另一点E ，判断直线AD 与直线BE 的交点P 是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．22．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知双曲线()2222:1010,0x y C a b a b-=<的右顶点为A ，左焦点(),0F c -到其渐近线0bx ay +=的距离为2，斜率为13的直线1l 交双曲线C 于A ，B(1)求双曲线C 的方程；(2)过点()6,0T 的直线2l 与双曲线C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与直线6x =相交于M ，N 两点，试问：以线段MN 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．23．（2023·湖南·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，上顶点为1B ，若△112F B F 为等边三角形，且点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的左、右顶点分别为12A A ，，不过坐标原点的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点（异于椭圆E 的顶点），直线12AA BA 、与y 轴的交点分别为M 、N ，若||3||ON OM =，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.24．（2023·湖南张家界·统考二模）已知曲线C 的方程：()221045x y x -=>，倾斜角为α的直线l 过点()23,0F ，且与曲线C 相交于A ，B 两点.(1)90α=︒时，求三角形ABO 的面积；(2)在x 轴上是否存在定点M ，使直线l 与曲线C 有两个交点A 、B 的情况下，总有OMA OMB ∠=∠如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由.25．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y =与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于,P Q 两点（P 在x 轴上方），且65PQ a =，设点P 在x轴上的射影为点N ，PQN V ，抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点与椭圆C 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过抛物线E 的焦点与椭圆C 交于,A B 两，点，与抛物线E 交于,C D 两点.(1)求椭圆C 及抛物线E 的标准方程；(2)是否存在常数λ||CD λ为常数？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.26．（2023·湖南常德·统考一模）已知双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>：的右顶点到渐近线C 的右焦点F 作直线MN （不与x 轴重合）与双曲线C 相交于M ，N 两点，过点M 作直线l ：()x t a t a =-<<的垂线ME ，E 为垂足.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)是否存在实数t ，使得直线EN 过x 轴上的定点P ，若存在，求t 的值及定点P 的坐标；若不存在，说明理由.27．（2023·广东揭阳·校考模拟预测）椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线有许多相似性质．比如三种曲线都可以用如下方式定义（又称圆锥曲线第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的轨迹为圆锥曲线．当01e <<为椭圆，当1e =为抛物线，当1e >为双曲线．定点为焦点，定直线为对应的准线，常数e 为圆锥曲线的离心率．依据上述表述解答下列问题．已知点(1,0)F ，直线:4l x =动点E 满足到点F 的距离与到定直线l 的距离之比为12(1)求曲线E 的轨迹方程；(2)在抛物线中有如下性质：如图，在抛物线22(0)y px p =>中，O 为抛物线顶点，过焦点F 的直线交抛物线与A ，B 两点，连接AO ，BO 并延长交准线l 与D ，C ，则以CD 为直径的圆与AB 相切于点F ，以AB 为直径的圆与CD 相切于CD 中点．那么如图在曲线E 中是否具有相同的性质？若有，证明它们成立；若没有，说明理由．28．（2023·广东广州·统考二模）已知直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，且与x 轴交于点()(),00M a a >，过点A ，B 分别作直线1:l x a =-的垂线，垂足依次为1A ，1B ，动点N 在1l 上.(1)当1a =，且N 为线段11A B 的中点时，证明：AN BN ⊥；(2)记直线NA ，NB ，NM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在实数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.29．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点()2,0A -在椭圆上且||3AF =．(1)求椭圆C 的方程；(2)点P Q 、分别在椭圆C 和直线4x =上，OQ AP ∥，M 为AP 的中点，若T 为直线OM 与直线QF 的交点．是否存在一个确定的曲线，使得T 始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由．30．（2023·江苏南通·海安高级中学校考一模）某城市决定在夹角为30°的两条道路EB、EF之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，2AB=千米，O为AB的中点，OD 为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形游乐区域OMN，其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G．(1)若3OE=千米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；(2)，当线段OG长为何值时，游乐区域OMNV的面积最大？。

专题01 曲线和方程(训练篇A)-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

专题01 曲线与方程训练篇A1.已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为（）C. 解因为抛物线的焦点为，焦点，准线的方程为。

因为l 与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且为原点），所以，，，，，离心率为，故选D.2. 过曲线的焦点并垂直于轴的直线分别与曲线交于、，在上方，为抛物线上一点，，则 .解依题意求得：，，设坐标为，有：，代入有：，即.3. 双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为（）A.C. D.解双曲线的右焦点为，渐近线方程为：，不妨在第一象限，可得，，所以的面积为：. 故选.4．设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为（） A.C.2解1 由题，得，，为等腰直角三角形，.故填2. 24y x =F l l 22221(0,0)x y a b a b -=>>A B ||4||AB OF =O 232524y x =F (1,0)F ∴l 1x =-22221(0,0)x y a b a b-=>>A B ||4||(AB OF O =2||b AB a ∴=||1OF =24ba=2b a ∴=225c a b a ∴=+5ce a=24y x =F x 24y x =A B A BM (2)OM OA OB λλ=+-u u u u r u u u r u u u rλ=(1,2)A (1,2)B -M (,)M x y (,)(1,2)(2)(1,2)(22,4)x y λλλ=+-⋅-=-24y x =164(22)λ=⋅-3λ=22:142x y C -=F P C O ||||PO PF =PFO ∆323223222:142x y C -=(6F 0)2y =P 2tan POF ∠6(P 3PFO ∆133262=A F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>O OF 222x y a +=P Q ||||PQ OF =C 235||OFc =||OP a =OPF ∆∴2ce a==解2由题意，把代入，得再由，得，即，，解得.故选：. 5.设，为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限，若△为等腰三角形，则的坐标为 .解设，，，椭圆的，，，，由于为上一点且在第一象限，可得，△为等腰三角形，可能或，即有，即，；，即，舍去.可得.6.在平面直角坐标系xOy 中取两个定点A 1(－6，0)，A 2(6，0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝2.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2的交点M 的轨迹C 的方程；(2)过R (3,0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，过点P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP ―→＝λR Q ―→ (λ＞1)，求证：NF ―→＝λF Q ―→.解 (1)依题意知，直线A1N 1的方程为y ＝m6(x ＋6)，① 直线A 2N2的方程为y ＝－n6(x －6)，② 设M (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点， ①×②得y 2＝－mn 6(x 2－6)，又mn ＝2，整理得x 26＋y 22＝1.故点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)证明：设过点R 的直线l ：x ＝ty ＋3，P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋3，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(t 2＋3)y 2＋6ty ＋3＝0，(*) 所以y 1＋y 2＝－6t t 2＋3，y 1y 2＝3t 2＋3.由RP ―→＝λR Q ―→，得(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)，故x 1－3＝λ(x 2－3)，y 1＝λy 2，由(1)得F (2,0)，要证NF ―→＝λF Q ―→，即证(2－x 1，y 1)＝λ(x 2－2，y 2)，只需证2－x 1＝λ(x 2－2)，只需x 1－3x 2－3＝－x 1－2x 2－2， 2c x =222x y a +=PQ =||||PQ OF =c =222a c =∴222c a =ce a==A 1F 2F 22:13620x y C +=M C 12MF F M (,)M m n m 0n >22:13620x y C +=6a =b =4c =23c e a ==M C 12||||MF MF >12MF F 1||2MF c=2||2MF c =2683m +=3m =n =2683m -=30m =-<M即证2x1x2－5(x1＋x2)＋12＝0，又x1x2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9，x1＋x2＝ty1＋3＋ty2＋3＝t(y1＋y2)＋6，所以2t2y1y2＋6t(y1＋y2)＋18－5t(y1＋y2)－30＋12＝0，即2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝0，而2t2y1y2＋t(y1＋y2)＝2t2·3t2＋3－t·6tt2＋3＝0成立，即NF―→＝λF Q―→成立．7.设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知|2||(OA OB O=为原点）．（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线4x=上，且//OC AP．求椭圆的方程．分析第（1）2b=，再由离心率公式可得所求值。

解答题针对训练：解析几何(解析版)

专题五解答题针对训练之解析几何1．已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （0，﹣3），右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC →=OF →，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【分析】（Ⅰ）根据可得c ＝b ＝3，由a 2＝b 2+c 2，可得a 2＝18，即可求出椭圆方程；（Ⅱ）根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ﹣3，联立方程组，求出点B 的坐标，再根据中点坐标公式可得点P 的坐标，根据向量的知识求出点C 的坐标，即可求出CP 的斜率，根据直线垂直即可求出k 的值，可得直线AB 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得b ＝3，记半焦距为c ，由|OF |＝|OA |可得c ＝b ＝3，由a 2＝b 2+c 2，可得a 2＝18， ∴椭圆的方程为x 218+y 29=1，（Ⅱ）：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ﹣3，由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得（2k 2+1）x 2﹣12kx ＝0，解得x ＝0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为（12k2k 2+1，6k 2−32k 2+1）， ∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为（0，﹣3），∴点P 的坐标为（6k2k 2+1，−32k 2+1），由3OC →=OF →，可得点C 的坐标为（1，0），故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ，∴k •32k 2−6k+1=−1，整理可得2k 2﹣3k +1＝0，解得k =12或k ＝1，∴直线AB 的方程为y =12x ﹣3或y ＝x ﹣3．2．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【分析】（1）方法一：设直线AB 的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k 的值，即可求得直线l 的方程；方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB |=2p sin 2θ，求得直线AB 的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l 的方程；（2）根据过A ，B 分别向准线l 作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F （1，0），设直线AB 的方程为：y ＝k （x ﹣1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则{y =k(x −1)y 2=4x ，整理得：k 2x 2﹣2（k 2+2）x +k 2＝0，则x 1+x 2=2(k 2+2)k 2，x 1x 2＝1，由|AB |＝x 1+x 2+p =2(k 2+2)k 2+2＝8，解得：k 2＝1，则k ＝1，∴直线l 的方程y ＝x ﹣1；方法二：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F （1，0），设直线AB 的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB |=2psin 2θ=4sin 2θ=8，解得：sin 2θ=12， ∴θ=π4，则直线的斜率k ＝1，∴直线l 的方程y ＝x ﹣1；（2）由（1）可得AB 的中点坐标为D （3，2），则直线AB 的垂直平分线方程为y ﹣2＝﹣（x ﹣3），即y ＝﹣x +5，设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则{y 0=−x 0+5(x 0+1)2=(y 0−x 0+1)22+16，解得：{x 0=3y 0=2或{x 0=11y 0=−6，因此，所求圆的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝16或（x ﹣11）2+（y +6）2＝144．3．已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =−12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点．（2）若以E （0，52）为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【分析】（1）设D （t ，−12），A （x 1，y 1），则x 12=2y 1，利用导数求斜率及两点求斜率可得2tx 1﹣2y 1+1＝0，设B （x 2，y 2），同理可得2tx 2﹣2y 2+1＝0，得到直线AB 的方程为2tx ﹣2y +1＝0，再由直线系方程求直线AB 过的定点；（2）由（1）得直线AB 的方程y ＝tx +12，与抛物线方程联立，利用中点坐标公式及根与系数的关系求得线段AB 的中点M （t ，t 2+12），再由EM →⊥AB →，可得关于t 的方程，求得t ＝0或t ＝±1．然后分类求得|EM →|＝2及所求圆的方程．【解答】（1）证明：设D （t ，−12），A （x 1，y 1），则x 12=2y 1，由于y ′＝x ，∴切线DA 的斜率为x 1，故y 1+12x 1−t=x 1，整理得：2tx 1﹣2y 1+1＝0．设B （x 2，y 2），同理可得2tx 2﹣2y 2+1＝0．故直线AB 的方程为2tx ﹣2y +1＝0．∴直线AB 过定点（0，12）；（2）解：由（1）得直线AB 的方程y ＝tx +12．由{y =tx +12y =x22，可得x 2﹣2tx ﹣1＝0．于是x 1+x 2=2t ，y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1．设M 为线段AB 的中点，则M （t ，t 2+12），由于EM →⊥AB →，而EM →=(t ，t 2−2)，AB →与向量（1，t ）平行，∴t +（t 2﹣2）t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1．当t ＝0时，|EM →|＝2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=4；当t ＝±1时，|EM →|=√2，所求圆的方程为x 2+(y −52)2=2．4．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 2的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，则△F 1AB 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用椭圆的简单性质，结合离心率求解椭圆方程即可．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），不妨设 y 1＞0，y 2＜0由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my +1，通过直线与椭圆方程联立，几何韦达定理，弦长公式求解三角形的面积．然后求解直线方程．【解答】解：（1）设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 因为e =ca =12，a ﹣c ＝1 所以a ＝2，c ＝1，即椭圆C ：x 24+y 23=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），不妨设 y 1＞0，y 2＜0由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为x ＝my +1，由{x =my +1x 24+y 23=1得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，则y 1+y 2=−6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， ∴S △F 1AB =12|F 1F 2|(y 1−y 2)=12√m 2+13m 2+4，令√m 2+1=t ，可知t ≥1则m 2＝t 2﹣1， ∴S △F 1AB =12t3t 2+1+123t+1t令f(t)=3t +1t ，则f ′(t)=3−1t 2，当t ≥1时，f '（t ）＞0，即f （t ）在区间[1，+∞）上单调递增， ∴f （t ）≥f （1）＝4，∴S △F 1AB ≤3，即当t ＝1，m ＝0时，△F 1AB 的面积取得最大值3，此时直线l 的方程为x ＝1．5．已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M （1，m ）（m ＞0）．（1）证明：k ＜−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0→，证明：2|FP →|＝|FA →|+|FB →|．【分析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用点差法得6（x 1﹣x 2）+8m （y 1﹣y 2）＝0，k =y 1−y 2x 1−x 2=−68m=−34m又点M （1，m ）在椭圆内，即14+m 23＜1，(m ＞0)，解得m 的取值范围，即可得k ＜−12，（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 3，y 3），可得x 1+x 2＝2由FP →+FA →+FB →=0→，可得x 3﹣1＝0，由椭圆的焦半径公式得则|F A |＝a ﹣ex 1＝2−12x 1，|FB |＝2−12x 2，|FP |＝2−12x 3=32．即可证明|F A |+|FB |＝2|FP |．【解答】解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵线段AB 的中点为M （1，m ）， ∴x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝2m 将A ，B 代入椭圆C ：x 24+y 23=1中，可得{3x 12+4y 12=123x 22+4y 22=12，两式相减可得，3（x 1+x 2）（x 1﹣x 2）+4（y 1+y 2）（y 1﹣y 2）＝0，即6（x 1﹣x 2）+8m （y 1﹣y 2）＝0， ∴k =y 1−y 2x 1−x 2=−68m=−34m点M （1，m ）在椭圆内，即14+m 23＜1，(m ＞0)，解得0＜m ＜32 ∴k =−34m ＜−12．（2）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 3，y 3），可得x 1+x 2＝2∵FP →+FA →+FB →=0→，F （1，0），∴x 1﹣1+x 2﹣1+x 3﹣1＝0， ∴x 3＝1由椭圆的焦半径公式得则|F A |＝a ﹣ex 1＝2−12x 1，|FB |＝2−12x 2，|FP |＝2−12x 3=32．则|F A |+|FB |＝4−12(x 1+x 2)=3，∴|F A |+|FB |＝2|FP |，6.已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2＝1（a ＞1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG →•GB →=8．P为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．【分析】（1）求出AG →•GB →=a 2﹣1＝8，解出a ，求出E 的方程即可；（2）联立直线和椭圆的方程求出C ，D 的坐标，求出直线CD 的方程，判断即可．【解答】解：如图所示：（1）由题意A （﹣a ，0），B （a ，0），G （0，1），∴AG →=（a ，1），GB →=（a ，﹣1），AG →•GB →=a 2﹣1＝8，解得：a ＝3，故椭圆E 的方程是x 29+y 2＝1；（2）由（1）知A （﹣3，0），B （3，0），设P （6，m ），则直线P A 的方程是y =m9（x +3），联立{x 29+y 2=1y =m 9(x +3)⇒（9+m 2）x 2+6m 2x +9m 2﹣81＝0，由韦达定理﹣3x c =9m 2−819+m 2⇒x c =−3m 2+279+m 2，代入直线P A 的方程为y =m9（x +3）得： y c =6m 9+m2，即C （−3m 2+279+m 2，6m 9+m 2），直线PB 的方程是y =m3（x ﹣3），联立方程{x 29+y 2=1y =m 3(x −3)⇒（1+m 2）x 2﹣6m 2x +9m 2﹣9＝0，由韦达定理3x D =9m 2−91+m 2⇒x D =3m 2−31+m 2，代入直线PB 的方程为y =m3（x ﹣3）得y D =−2m1+m 2，即D （3m 2−31+m 2，−2m1+m 2），则①当x c ＝x D 即27−3m 29+m 2=3m 2−3m 2+1时，有m 2＝3，此时x c ＝x D =32，即CD 为直线x =32，②当x c ≠x D 时，直线CD 的斜率K CD =y C −y D x C−x D=4m3(3−m 2)，∴直线CD 的方程是y −−2m 1+m 2=4m3(3−m 2)（x −3m 2−31+m 2），整理得：y =4m3(3−m 2)（x −32），直线CD 过定点（32，0）．综合①②故直线CD 过定点（32，0）．7．双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF ⊥AF 时，|AF |＝|BF |．（1）求C 的离心率；（2）若B 在第一象限，证明：∠BF A ＝2∠BAF ．【分析】（1）利用已知条件可得，c +a =b 2a=c 2−a 2a，化简得到a 和c 的关系，即可得到答案；（2）法一：设B （x 0，y 0），然后分两种情况进行证明，①当BF ⊥AF 时，∠BF A ＝2∠BAF ＝90°；②当BF 与AF 不垂直时，然后利用同角三角函数关系以及二倍角公式进行化简变形，即可证明．法二：延长AF 至点B '，使FB '＝FB ，设出点B 的坐标，然后利用焦半径公式得到BF ，从而得到B '的坐标，再通过分析得到BA ＝BB '，从而证明得到答案．【解答】解：（1）当|AF |＝|BF |且BF ⊥AF 时，有c +a =b 2a=c 2−a 2a，所以a ＝c ﹣a ，则e =c a=2；（2）法一：由（1）得c ＝2a ，b =√3c ，设B （x 0，y 0），则x 0＞0，y 0＞0，且x 02a 2−y 023a 2=1，即y 02＝3x 02﹣3a 2．①当|BF |＝|AF |且BF ⊥AF 时，∠BF A ＝2∠BAF ＝90°； ②当BF 与AF 不垂直时， tan ∠BAF =y 0x+a，tan ∠BF A =−y 0x0−c，∴tan2∠BAF =2tan∠BAF1−tan 2∠BAF =2(x 0+a)y 0(x0+a)2−y 02=2(x 0+a)y 0−2(x0+a)(x 0−2a)=−y 0x 0−c，∴tan2∠BAF ＝tan ∠BF A ，即∠BF A ＝2∠BAF ，综上∠BF A ＝2∠BAF ．法二：延长AF 至点B '，使FB '＝FB ，设B （x 0，y 0），则BF ＝ex 0﹣a ＝2x 0﹣a ，所以B ′（2x 0﹣a +c ，0），又因为点A （﹣a ，0），所以x B′+x A2=2x0−2a+c2=2x0−2a+2a2=x0＝x B，所以BA＝BB'，所以∠BAF＝∠BB'F=12∠BFA，即∠BF A＝2∠BAF．8．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=12，点A（b，0），点B、F分别为椭圆的上顶点和左焦点，且|BF|⋅|BA|=2√6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（G在M，H之间）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围？如果不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据离心率可得ba =√32，再根据且|BF|⋅|BA|=2√6，可得ab=√12，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）将直线l1：y＝x+2代入椭圆中，得7x2+16x+4＝0，由此利用韦达定理能求出GH 的中点M，再由菱形的对角线互相垂直平分能求出存在满足题意的点P，且能求出m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=12，∴e2＝1−b 2a2=14∴ba =√32∵|BF|=√b2+c2=a，|BA|=√2b，∴√2ab＝2√6，∴ab=√12，∴a＝2，b=√3，故椭圆的方程为x 24+y 23=1；（Ⅱ）设l 的方程为y ＝kx +2（k ＞0），与椭圆方程联立，消去y 可得（3+4k 2）x 2+16kx +4＝0．设G （x 1，y 1），H （x 2，y 2），则x 1+x 2=−16k3+4k 2∴PG →+PH →=（x 1﹣m ，y 1）+（x 2﹣m ，y 2）＝（x 1+x 2﹣2m ，y 1+y 2）．＝（x 1+x 2﹣2m ，k （x 1+x 2）+4）又GH →=（x 2﹣x 1，y 2﹣y 1）＝（x 2﹣x 1，k （x 2﹣x 1））．由于菱形对角线互相垂直，则（PG →+PH →）•GH →=0，∴（x 2﹣x 1）[（x 1+x 2）﹣2m ]+k （x 2﹣x 1）[k （x 1+x 2）+4]＝0．故（x 2﹣x 1）[（x 1+x 2）﹣2m +k 2（x 1+x 2）+4k ]＝0． ∵k ＞0，所以x 2﹣x 1≠0．∴（x 1+x 2）﹣2m +k 2（x 1+x 2）+4k ＝0，即（1+k 2）（x 1+x 2）+4k ﹣2m ＝0． ∴（1+k 2）（−16k3+4k 2）+4k ﹣2m ＝0．解得m =−2k 3+4k2，即m =−23k+4k∵3k+4k ≥2√3k⋅4k =4√3，当且仅当3k=4k ，即k =√32时取等号，所以−√36≤m ＜0，故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是[−√36，0）． 9．设D 是圆O ：x 2+y 2＝16上的任意一点，m 是过点D 且与x 轴垂直的直线，E 是直线m 与x 轴的交点，点Q 在直线m 上，且满足2|EQ |=√3|ED |．当点D 在圆O 上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程．（2）已知点P （2，3），过F （2，0）的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交直线x ＝8于点M ．判定直线P A ，PM ，PB 的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．【分析】（1）由题意设Q （x ，y ），D （x 0，y 0），根据2|EQ |=√3|ED |，Q 在直线m 上，则椭圆的方程即可得到；（2）设出直线l 的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到k 1+k 3，并求得k 2的值，由k 1+k 3＝2k 2说明直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列．【解答】解：（1）设Q （x ，y ），D （x 0，y 0），∵2|EQ |=√3|ED |，Q 在直线m 上， ∴x 0＝x ，|y 0||√3y |．①∵点D 在圆x 2+y 2＝16上运动， ∴x 02+y 02＝16，将①式代入②式即得曲线C 的方程为x 2+43y 2＝16，即x 216+y 212=1，（2）直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，证明如下：由（1）知椭圆C ：3x 2+4y 2＝48，直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），代入椭圆方程并整理，得（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣48＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线P A ，PM ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则有x 1+x 2=16k 23+4k 2，x 1x 2=16k 2−483+4k 2，可知M 的坐标为（8，6k ）． ∴k 1+k 3=y 1−3x 1−2+y 2−3x 2−2=k(x 1−2)−3x 1−2+k(x 2−2)−3x 2−2＝2k ﹣3•x 1+x 2−4x 1x 2+4−2(x 1+x 2)=2k ﹣3•−12−36=2k ﹣1，2k 2＝2•6k−38−2=2k ﹣1． ∴k 1+k 3＝2k 2．故直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列．10．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0），圆E ：（x ﹣3）2+y 2＝1．（Ⅰ）F 是抛物线C 的焦点，A 是抛物线C 上的定点，AF →=（0，2），求抛物线C 的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过点F 的直线l 与圆E 相切，设直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点，则在x 轴上是否存在点M 使∠PMO ＝∠QMO （O 为坐标原点）？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）将A 的坐标代入抛物线可得p ＝2，可得抛物线C 的方程；（Ⅱ）∠PMO ＝∠QMO ⇔k PM +k QM ＝0．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C 的焦点为F(p2，0)，由AF →=(0，2)知A(p2，−2)，代入抛物线方程得p ＝2，故抛物线C 的方程为：y 2＝4x（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，过点F （1，0）的直线不可能与圆E 相切；所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在，设直线斜率为k ，则所求的直线方程为y ＝k （x ﹣1），所以圆心到直线l 的距离为d =√1+k 2，当直线l 与圆相切时，有d =1=√1+k 2，k =±√33所以所求的切线方程为y=√33(x−1)或y=−√33(x−1)不妨设直线l：y=√33(x−1)，交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，联立方程组{y=√33(x−1)y2=4x，得x2﹣14x+1＝0．所以x1+x2＝14，x1•x2＝1，假设存在点M（t，0）使，∠PMO＝∠QMO则k PM+k QM＝0．所以k PM+k QM=y1x1−t +y2x2−t=√33(x1−1)x1−t+√33(x2−1)x2−t=√33[(x1−1)(x2−t)+(x2−1)(x1−t)(x1−t)(x2−t)]=√33[2x1x2−(t+1)(x1+x2)+2t(x1−t)(x2−t)]=√33[2−(t+1)⋅14+2t(x1−t)(x2−t)]=√33(−12−12t)(x1−t)(x2−t)=0即t＝﹣1故存在点M（﹣1，0）符合条件，当直线l：y=−√33(x−1)时，由对称性易知点M（﹣1，0）也符合条件综上存在点M（﹣1，0）使∠PMO＝∠QMO．11．设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若椭圆E的离心率为√22，△ABF2的周长为4√6．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线．【分析】（Ⅰ）由已知椭圆E的离心率为√22，△ABF2的周长为4√6，解得：a，c，b值，可得椭圆E的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．利用点差法，可得k OM=−12k ，k ON=−12k，进而证得结论．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意知，4a =4√6，a =√6．又∵e =√22，∴c =√3，b =√3，∴椭圆E 的方程为x 26+y 23=1．…………………………（5分）（Ⅱ）易知，当直线AB 、CD 的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M ，N 在x 轴上，O ，M ，N 三点共线；当直线AB ，CD 的斜率存在时，设其斜率为k ，且设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）．联立方程得{x 126+y 123=1x 226+y 223=1相减得x 126+y 123−(x 226+y 223)=0，∴x 12−x 226=−y 12−y 223，(x 1−x 2)(x 1+x 2)6=−(y 1−y 2)(y 1+y 2)3，∴y 1−y 2x 1−x 2⋅y 1+y2x 1+x 2=−36，y 1−y 2x 1−x 2⋅y 0x 0=−36，即k ⋅k OM =−12，∴k OM =−12k．同理可得k ON =−12k ，∴k OM ＝k ON ，所以O ，M ，N 三点共线．………………（12分） 12．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)离心率e =√32，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 过椭圆C 的右焦点，并与椭圆相交于E ，F 两点，截得的弦长为52，求直线l 的方程；（Ⅲ）如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问：以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．【分析】（Ⅰ）由题意可得b ＝1，由离心率公式和a ，b ，c 的关系，解得a ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得k ，再由直线的斜率不存在，不成立．即可得到所求直线的方程；（Ⅲ）以MN 为直径的圆过定点（±1，0）．求得M ，N 的坐标，由直径式的圆的方程可得MN 为直径的圆的方程，整理得一般式方程，令y ＝0，即可得到所求定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）由短轴长为2，得b ＝1，由e =ca =√a 2−b 2a=√32，得a 2＝4，b 2＝1．∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）（1）当直线的斜率存在时，设直线方程：y =k(x −√3)，E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），由{y =k(x −√3)x 24+y 2=1可得(4k 2+1)x 2−8√3k 2x +12k 2−4=0， ∴x 1+x 2=8√3k 24k 2+1，x 1x 2=12k 2−44k 2+1，∴|EF|=√1+k 2⋅(8√3k 24k 2+1)4(12k 2−44k 2+1)=52， ∴k =±12；（2）当直线的斜率不存在时，|EF |＝1不符合．∴直线方程为x −2y −√3=0和x +2y −√3=0．（Ⅲ）以MN 为直径的圆过定点（±1，0）．证明如下：设P （x 0，y 0），则Q （﹣x 0，﹣y 0），且x 024+y 02=1，即x 02+4y 02=4，∵A （﹣2，0），∴直线P A 方程为：y =y 0x 0+2(x +2)，∴M(0，2y 0x0+2)，直线QA 方程为：y =−y 0−x+2(x +2)，∴N(0，2y 0x 0−2)，以MN 为直径的圆为(x −0)(x −0)+(y −2y 0x 0+2)(y −2y 0x 0−2)=0，或通过求得圆心O ′(0，2x 0y 0x 02−4)，r =|4y 0x 02−4|得到圆的方程．即x 2+y 2−4x 0y 0x 02−4y +4y 02x 02−4=0，∵x 02−4=−4y 02，∴x 2+y 2+x0y 0y −1=0，令y ＝0，则x 2﹣1＝0，解得x ＝±1． ∴以MN 为直径的圆过定点（±1，0）．13．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的上顶点，点F 为椭圆的左焦点，且△F AB 的面积是1+√32．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x ＝my +1与椭圆C 交于P 、Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为P 1（P 1与Q 不重合），则直线P 1Q 与x 轴交于点H ，若点H 为定值，则求出点H 坐标；否则，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的定义离心率和三角形的面积公式可得abc 的等量关系式，从而可求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x ＝my +1与椭圆C 交于P 、Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为P 1（P 1与Q不重合），即P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）、P （x 1，﹣y 1），联立方程组由{x =my +1，x 24+y 2=1，化简由韦达定理表达直线P 1Q 的方程，根据题意可得直线P 1Q 与x 轴交点H （4，0）．【解答】解：（I ）由题意点A 为椭圆的右项点，点B 为椭圆的上顶点，点F 为椭圆的左焦点，可得F （﹣c ，0），B （0，b ），A （a ，0），因为离心率为√32，即ca=√32，① △F AB 的面积是1+√32．即12b （a +c ）＝1+√32；② 又因为a 2＝b 2+c 2；③ 由①②③解得 a ＝2，b ＝1所以椭圆C ：x 24+y 2＝1；（Ⅱ）设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）、P （x 1，﹣y 1），由{x =my +1，x 24+y 2=1，得（m 2+4）y 2+2my ﹣3＝0，（m ≠0）显然△＞0，由韦达定理有：y 1+y 2=−2m m 2+4．y 1•y 2=−3m 2+4．直线P 1Q 的方程为：y +y 1=y 2+y1x 2−x 1（x ﹣x 1），因为直线P 1Q 与x 轴交于点H ，若点H 为定值，令y ＝0，则x =x 2−x1y 2+y 1y 1+x 1=x 2y 1+x 1y 2y 1+y 2；又x 1＝my 1+1，x 2＝my 2+1；x=(my2+1)y1+(my1+1)y2y1+y2=2my1y2+(y1+y2)y1+y2=4；所以直线P1Q与x轴交点H（4，0）．14．已知O为坐标原点，点F1，F2为椭圆M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦点，点E（a，b）在抛物线N：x2=4√33y上，直线EF2与椭圆M的一个交点为F，且EF的中点恰为F2．（1）求椭圆M的标准方程；（2）过抛物线N上一点P与抛物线N相切的直线l与椭圆M相交于A、B两点，设AB 中点为C，直线OP与直线OC的斜率分别是k1，k2，证明：k1k2为定值．【分析】（1）根据题意求得F及中点F2，根据a与b，c的关系，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）根据导数的几何意义，求得直线AB的方程，利用韦达定理及中点坐标公式即可求得C点坐标，即可求得k1k2为定值．【解答】解：（1）由题意F恰为（0，b），所以中点F2（c，0）满足c=a2，因为a2＝b2+c2，所以a2=43b2，由①②解得a＝2，b=√3，c＝1，所以椭圆M的标准方程为x 24+y23=1；（2）证明：设P（t，√3t 24），因为抛物线N：y=√34x2，求导y′=√32x，则直线AB方程：y=√32t（x﹣t）+√34t2，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB代入椭圆x 24+y23=1得：12（1+t2）x2﹣12t3x+3t4﹣48＝0，因此x1+x2=t31+t2，y1+y2=√32t（x1+x2）−√32t2=−√3t22(1+t2)，所以C （t 32(1+t 2)，−√3t 24(1+t 2)），则k 1=√34t ，k 2=−√32t ，所以k 1k 2=−38（点差法等其他方法正常给分）．15．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)经过点M （﹣2，1），且右焦点F(√3，0)．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）过N （1，0）的直线AB 交椭圆Γ于A ，B 两点，记t =MA →⋅MB →，若t 的最大值和最小值分别为t 1，t 2，求t 1+t 2的值．【分析】（Ⅰ）列方程组求解出a 2，b 2即可；（Ⅱ）对k 讨论，分别建立方程组，找到根与系数关系，建立t 的恒成立方程进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，{a 2−b 2=3，4a 2+1b 2=1，解之得a 2＝6，b 2＝3，故椭圆Γ的标准方程为x 26+y 23=1．（Ⅱ）当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k （x ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{x 26+y 23=1，y =k(x −1)，得x 2+2k 2（x ﹣1）2＝6，即（1+2k 2）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣6＝0，因为（1，0）在椭圆内部，△＞0，所以x 1+x 2=4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−61+2k 2，则t =MA →⋅MB →=(x 1+2)(x 2+2)+(y 1−1)（y 2﹣1）＝x 1x 2+2（x 1+x 2）+4+（kx 1﹣k ﹣1）（kx 1﹣k ﹣1） =(1+k 2)x 1x 2+(2−k 2−k)(x 1+x 2)+k 2+2k +5 =(1+k 2)⋅2k 2−62k 2+1+(2−k 2−k)⋅4k 22k 2+1+k 2+2k +5，=15k 2+2k−12k 2+1，所以（15﹣2t ）k 2+2k ﹣1﹣t ＝0．k ∈R ，则△＝22+4（15﹣2t ）（1+t ）≥0，∴（2t ﹣15）（t +1）﹣1≤0，即2t 2﹣13t ﹣16≤0，又t 1，t 2是2t 2﹣13t ﹣16＝0的两根，∴t 1+t 2=132，当直线AB 斜率不存在时，联立{x 26+y 23=1，x =1，得y ＝±√102，不妨设A(1，√102)，B(1，−√102)， MA →=(3，√102−1)，MB →=(3，−√102−1)，MA →⋅MB →=9−104+1=152，可知t 1＜152＜t 2．综上所述，t 1+t 2=132．16．已知抛物线D ：x 2＝4y ，过x 轴上一点E （不同于原点）的直线l 与抛物线D 交于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与y 轴交于C 点．（1）若EA →=λ1EC →，EB →=λ2EC →，求乘积λ1•λ2的值；（2）若E （4，0），过A ，B 分别作抛物线D 的切线，两切线交于点M ，证明：点M 在定直线上，求出此定直线方程．【分析】（1）设E （t ，0）t ≠0，C （0，m ），用t ，m 表示出λ1，λ2，设直线l 斜率为k ，联立方程组，根据根与系数的关系即可得出λ1λ2的值；（2）利用导数求出抛物线在A ，B 处的切线方程，联立方程组得出M 的交点坐标，再根据根与系数的关系消去参数即可得出定直线方程．【解答】解：（1）设E （t ，0）t ≠0，C （0，m ）， ∵EA →=λ1EC →，EB →=λ2EC →，∴{(x 1−t ，y 1)=λ1(−t ，m)(x 2−t ，y 2)=λ2(−t ，m)，解得{λ1=t−x1t λ2=t−x 2t，设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝k （x ﹣t ），由{y =k(x −t)x 2=4y得x 2﹣4kx +4kt ＝0，当△＝16k 2﹣16kt ＞0时，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝4kt ， ∴λ1λ2=t 2−(x 1+x 2)t+x 1x 2t 2=t 2−4kt+4ktt 2=1．（2）设M （x ，y ），由x 2＝4y 可得y =x 24，故y ′=x2， ∴抛物线在A （x 1，x 124）处的切线方程为y −x 124=x 12（x ﹣x 1），即y =x 12x −x 124，同理可得抛物线在B （x 2，x 224）处的切线方程为y =x 22x −x 224，联立方程组{y =x12x −x124y =x 22x −x 224，得{x =x 1+x22y =x 1x 24， ∵E （4，0），即t ＝4，由（1）可得x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝16k ， ∴{x =2ky =4k，即y ＝2x ． ∴点M （x ，y ）在直线y ＝2x 上．17．在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，且圆P与直线x＝﹣1相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）设过定点S（﹣2，0）的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点M（与A，B两点相异），当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设P（x，y），圆P的半径为r，根据动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，可得√(x−2)2+y2=r+1，又动圆P与直线x＝﹣1相切，可得r＝x+1，消去r得曲线C的轨迹方程．（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则y02=8x0，y12=8x1，y22=8x2，k MA=y1−y0x1−x0=8y1+y0，k MB=y2−y0x2−x0=8y2+y0，可得：k MA+k MB=8y1+y0+8y2+y0=8(y1+y2+2y0)y02+(y1+y2)y0+y1y2，显然动直线l的斜率存在且非零，设l：x＝ty﹣2，与抛物线方程联立得：y2﹣8ty+16＝0，利用根与系数的关系代入上式，进而得出结论．【解答】解：（1）设P（x，y），圆P的半径为r，因为动圆P与圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切，………………………………………（1分）所以√(x−2)2+y2=r+1，①………………………………………………………（2分）又动圆P与直线x＝﹣1相切，所以r＝x+1，②………………………………………………………………………（3分）由①②消去r得y2＝8x，所以曲线C的轨迹方程为y2＝8x．…………………………………………………（5分）（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则y 02=8x 0，y 12=8x 1，y 22=8x 2，k MA =y 1−y 0x 1−x 0=8y1+y 0，k MB =y 2−y 0x 2−x 0=8y2+y 0，…（6分）所以k MA +k MB =8y1+y 0+8y2+y 0=8(y 1+y 2+2y 0)y 02+(y 1+y 2)y0+y 1y 2，③…………（7分）显然动直线l 的斜率存在且非零，设l ：x ＝ty ﹣2，联立方程组{y 2=8x x =ty −2，消去x 得y 2﹣8ty +16＝0，由△＞0得t ＞1或t ＜﹣1，所以y 1+y 2＝8t ，y 1y 2＝16，且y 1≠y 2．…………………（8分）代入③式得k MA +k MB =8(8t+2y 0)y 02+8ty+16，令8(8t+2y 0)y 02+8ty0+16=m （m 为常数），整理得(8my 0−64)t +(my 02−16y 0+16m)=0，④………………………（9分）因为④式对任意t ∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）恒成立，所以{8my 0−64=0my 02−16y 0+16m =0，…………………………………………………（10分）所以{m =2y 0=4或{m =−2y 0=−4，即M （2，4）或M （2，﹣4），即存在曲线C 上的点M （2，4）或M （2，﹣4）满足题意．…………………（12分） 18．椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，右焦点为F ，上、下顶点分别是B ，C ，|AB|=√7，直线CF 交线段AB 于点D ，且|BD |＝2|DA |．（1）求E 的标准方程；（2）是否存在直线l ，使得l 交E 于M ，N 两点，且F 恰是△BMN 的垂心？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由．【分析】（1）方法一先分别求出直线AB ，CF 的方程，再求得D 的坐标．然后将|BD |＝2|DA |转化为BD →=2DA →，得到a ＝2c ，再结合|AB|=√7，求得a 和b 的值，从而得到椭圆的标准方程；方法二：设椭圆的左焦点G ，由椭圆的对称性可知BG ∥CF ，根据平行线的性质，即可求得a ＝2c ，再结合|AB|=√7，求得a 和b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）只要能通过假设存在满足题意的直线，根据F 是△BMN 的垂心，得到BF ⊥MN ，进而确定直线MN 的斜率，由此设出直线MN 的方程并与椭圆方程联立；再根据F 是△BMN 的垂心，得到MF ⊥BN ，将其转化为MF →⋅BN →=0或k MF •k BN ＝﹣1，并结合韦达定理，即可求得m 的值，求得直线l 的方程．【解答】解：（1）方法一：设椭圆E 的右焦点F （c ，0），则直线AB 的方程：xa +yb =1，直线CF 的方程：xc −yb =1，联立解得：{x =2aca+c y =b(a−c)a+c ，则D （2ac a+c ，b(a−c)a+c ），由|BD |＝2|DA |，则BD →=2DA →，则（2aca+c ，−2bca+c ）＝2（a(a−c)a+c，−b(a−c)a+c），则a ＝2c ，由|AB |=√a 2+b 2=√7，a 2＝b 2+c 2，解得：c ＝1，a ＝2，b =√3， ∵椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1．方法二：设椭圆的左焦点G ，由椭圆的对称性可知BG ∥CF ， ∵|BD |＝2|DA |，则|GF |＝2|F A |，即2c ＝2（a ﹣c ），则a ＝2c ，由|AB |=√a 2+b 2=√7，a 2＝b 2+c 2，解得：c ＝1，a ＝2，b =√3， ∵椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1．（2）假设存在满足条件的直线MN ，由垂心的性质可得BF ⊥MN ，从而得到直线l 的斜率k =√33，设l 的方程为y =√33x +m ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{y =√33x +m x 24+y 23=1，整理得：13x 2+8√3mx +12（m 2﹣3）＝0，由△＝（8√3m ）2﹣4×13×12（m 2﹣3）＞0，解得：−√393＜m ＜√393， x 1+x 2=−8√3m13，x 1x 2=12(m 2−3)13．由MF ⊥BN ，则MF →⋅BN →=0，即(1−x 1)x 2−y 1(y 2−√3)=0，整理得y 1y 2−√3y 1+x 1x 2﹣x 2＝0，将y 1=√33x 1+m ，y 2=√33x 2+m ，代入化简得43x 1x 2+√33（m −√3）（x 1+x 2）+m 2−√3m ＝0， ∴1613（m 2﹣3）−813（m 2−√3m ）+m 2−√3m ＝0，∴16（m 2﹣3）﹣8（m 2−√3m ）+13（m 2−√3m ）＝0，提取公因式（m −√3），（m −√3）[16（m +√3）﹣8m +13m ]（m −√3）＝0，即（21m +16√3）（m −√3）＝0，由B （0，√3），则m ≠√3，解得m =−16√321，满足−√393＜m ＜√393， ∴m 的值−16√321，直线l 的方程y =√33x −16√321．。