求曲线方程专题训练

曲线与方程专题训练

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

解题步骤为：

(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标．

(2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}．

(3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0.

(4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 例1.在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三顶点的距离分别为|PA |、|PB |、|PC |，且满足|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，求P 点的轨迹方程．

解：以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平

面直角坐标系(图略)，

设点P (x ，y )，B (－a,0)，C (a,0)，A (0，3a )，

用点的坐标表示等式|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，

有x 2＋(y －3a )2＝(x ＋a )2＋y 2＋(x －a )2＋y 2，

化简得x 2＋(y ＋3a )2＝(2a )2，

即所求的轨迹方程为x 2＋(y ＋3a )2＝4a 2(y >0)

练习1.平面上有三点A (－2，y )、B (0，y 2

)、C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为________．

2. 已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是

3. 已知A(0,1)，B(1,0)，则线段AB的垂直平分线的方程是________．

4.一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程．

5. 如图，在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称且OP→·MN→＝4，则动点P的轨迹方程为________．

6. 如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程．

题型二：代入法 动点 P (x ，y )依赖于另一动点 Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且 Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用 x 、y 的代数式表示 x 0、y 0，再将 x 0、y 0 代入已知曲线得要求的轨迹方程．

练习

1求曲线221y x x =+-关于点(1,2)M 的对称曲线方程。

2. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC

→＝mOA

→＋nOB →，其中m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1，求点C 的轨迹方程．

3.已知点N 在曲线2221x y +=上，点坐标为P （2,3），并且2NP MP =,求动点M 的轨迹方程。

4.已知ABC 两顶点(2,0),(2,0)B C -,三角形重心在抛物线221y x =+上滑动，求三角形顶点A 的轨迹方程。

题型三：”点差法”求曲线弦的中点的轨迹方程

练习

1.求曲线2221x y +=中斜率为2的弦的中点的轨迹方程。

2. 求经过曲线22

+=6内的一点(1,1)

x y

21

Q的弦的中点的轨迹方程。

题型四：定义法求轨迹方程

例2 一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线．

练习

1.已知A(2,5)、B(3，－1)，则线段AB的方程是……………………..

2. 到点(－1，－2)的距离等于3的动点M的轨迹方程是……………………..

3已知(3,0),(3,0)

-.动点P满足4

A B

+=，求动点P的轨迹方程

PA PB

3 .已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

题型五：交轨法

求两动直线交点的轨迹方程时用交规法。设法写出两动直线的方程，

它们含有共同的第三变量，再联立消去第三变量，得到关于X,Y的等

式式即所求方程（注意该去的点要去掉）

例1已知两点(2,2),(0,2)

P Q

-以及一条直线:l y x

=，设长为

的线段在直线l上移动，如图，

求直线PA和QB的交点M的轨迹方程

1在ABC中，A的坐标是(0,3),BC的边长为2，且在x轴的区间[]

3,3

-上活动（1）求ABC的外心M的轨迹方程。

（2）设直线

1

:

3

l y x b

=+与点M的轨迹交于,E F两点，原点O到直线l的距离为d，

求EF

d

的最大值，并求此时b的值。