定积分与重积分的定义与性质应用
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例59：试求心形线 上各点极经的平均值.
解：平均值
注：在解某区间上一个函数的平均值时,我们只需要在这个区间上对这个函数进行积分,然后积分结果除以区间的差值.在这里主要是应用了积分第一中值定理,所以求解其类问题时,一定要理解积分中值定理的定义.
E.证明不等式
<1>判断积分符号：
例60：确定积分 的符号.
c、如果函数 、 在闭区间 上可积，且 并是单调递增函数，则在积分区间 上至少存在一个点 ，使下式成立： 。
(2)注意事项
<1>在应用中要注意被积函数在区间 上连续这一条件,否则,结论不一定成立.
例如
显然 在 处间断.
由于
但 在上, ,所以,对任何 都不能使
.
<2>定理中的在区间上不变号这个条件也不能去掉.
例25：例10中 是奇函数，积分区间对称，直接得到定积分得0。
例26：
=0
例27：
=a^3/3
例28：先换元至区间对称
例29、30：例42、43中，先通过周期性将积分上下限变成对称区间。
(2)二重积分
在D上，若D关于x轴对称， ，其中D1是D对称轴一边的区域。
在D上，若D关于y轴对称， ，其中D2是D对称轴一边的区域。
例61：设函数 在 上连续, ,试证:在 内,若 为非减函数,则 为非增函数。
证明 ,
对上式求导,得
利用积分中值定理,得
,
若 为非减函数,则 ,
所以 ,故 为非减函数.
<3>其他
例62-65：例17、18、21、22中用到了积分中值定理。
例66：
例67：
F．判断敛散性
例68：
例69：
例70：
综上所述,积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉,从而使问题简单化.因此,对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式,或者要证的结论中含有定积分,或者所求的极限式中含有定积分时,一般应考虑使用积分中值定理,去掉积分号.在使用该定理时,常与微分中值定理或定积分的其他一些性质结合使用,是所求问题迎刃而解.
A.（隔项约分）
例5.1：
B.（连环反应(分子分母同乘)）
a.例5.2：
变式： ；
b.例5.3：
C.本身就有公式（下例分母）
例5.4：
（2）二重积分
例6：计算 ，这里 为不超过x的最大整数。
分析：若二元函数 在矩形区域 上可积,则将闭区间 进行 等份,闭区间 进行 等份,得到 的一种划分-----把其划分为 个小矩形,
当 时, ,而| | .
故
= =0.
例53：求 .
解若直接用中值定理
= ,
因为 而不能严格断定 ,其症结在于没有排除,故采取下列措施
= + .
其中 为任意小的正数.
对第一积分中值定理使用推广的积分第一中值定理,有
.
= , .
而第二个积分
= ,
由于 得任意性知其课任意小.
所以
= + =0.
注求解其类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号.在应用该定理时,要注中值 不仅依赖于积分区间,而且还依赖于根式中自变量 的趋近方式.
在D上，若D关于y=x对称，
特殊的，若D关于x轴对称，f(x,y)是关于y的奇函数，则原式=0.
特殊的，若D关于y轴对称，f(x,y)是关于x的奇函数，则原式=0.
例31：
解：如图，D1关于y轴对称，D2关于x轴对称， 关于x和y都是奇函数，所以原式=0.
例32：设函数f(x)>0连续，计算二重积分
例54：.
B.证明中值 的存在性命题
例55：函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且f(1)=3 ,求证：在(0,1)内至少存在一点 ，使得f’( )=2 f( )。
C.估值
例56：求证
证明
其中 ,于是由 即可获证.
例57：
D.求函数在一个区间上的平均值
例58：试 求在 上的平均值.
解：平均值
例39：（D随变量t变化）
设f(t)连续且满足方程
提示：换元为极坐标表示，转化为积分方程，求导化为常微分方程。
例40：（换元完上限随变量x变化）
设f(t)连续且满足方程 求f(x)。
提示：换元求导后化为常微分方程。
注：类似技巧：两边取极限，把已经出现的f(x)等的极限当做常数。
5.周期性
（1）通过周期性把积分区域化到可求区域
利用积分中值定理,得 (其中 )。
又 在 上不恒等于0,故 .
注：在解决其类题时,我们常常会以0作为上下限的中介点,然后把原积分写成以0为中介点的两个积分的和,积分化就成两个以0为中介点且上下限一样的积分相加,最后利用积分中值定理确定积分的符号.这里主要使用了积分中值定理和函数的单调性.
<2>判断单调性
8.一些定积分公式的应用
例71：证明 ，并由此计算：
提示：令x=π-t，可得有关原式的方程。
例72：证明 ，并由此计算： 。
提示：第一步用上例结论，第二步思路与上例差不多，第二题上下同乘cosx的a次方即得到结论式。
例73：
注：本题用到了3个公式
（1）例71的结论（2）由对称性， （3） 公式（详见课本）
例9：
另解：第二步直接π-x换元，得到不定积分方程。
(2)拆分的一半取倒数型，凑出好求的积分
例10：求
解：
步骤1：
法1：
法2：
步骤2：
例11：
注：并非另一个区间一定只是取倒数，如果 好算的话，也可以令 ，即 。
（3）利用可加性去绝对值与min、max函数
例12：
例13：
例14：
解：
例15：求积分
提示：将D分为在抛物线上方和下方两段D1和D2，分别去绝对值求二重积分。
例如令
由于
,
但
所以,不存在
,
使
<3>定理中所指出的 并不一定是唯一的,也不一定必须是 的内点.
例如
令 ,则对 都有
,
这也说明了 未必在区间 的内点.
<4> 中不能含有参量，错解详见例46。
(3)应用
A.求含有定积分或重积分的极限
<1>积分区域为定值或定点
例45：（定积分）
例46：例53也可用这种方法。
法二：
<3>解关于A的方程，求出A=2或-2。
例35：
（2）f(x)作变换后两边取1次积分
例36：（两边平方）
已知函数f(x)在闭区间[-1,1]连续，且满足方程
例37：（两边乘sinx）
已知函数f(x)在闭区间[-π，π]连续，且满足方程
（3）两边2次取积分解二元方程组
例38：
（4）形式类似但不是这类题：定积分或重积分不是与变量无关的函数
例74：
注：用了公式 ，令t=1-x换元即可证出。
，
， .
取 , ， .
则 .
特别当 时,有 .
解:因为二元函数 在矩形区域 上可积，所以
.
2.积分上下限可加性
(1)拆分的一半a-x型，利用已知函数性质
例7：求证：∀f(x+y)≥f(x)+f(y),f(1)=1,x、y∈[0,1], ≤0.5。
例8：设函数f(x)在区间[a,b]上为下凸函数，则
证：
定积分与重积分的定义与性质应用
1.定义
（1）定积分：
<1>定积分定义与夹逼定理的综合应用
例1：
提示：分母由夹逼定理全部替换成1/n，然后用定积分定义求和。
<2>取对数，求积变求和后用定积分定义
例2：求
<3>使用定义累次积分
例3：
<4>不是所有和式一看到就用定积分定义
例4：（stolz定理）
例5：基本代数变换技巧
4.两边作积分变换解方程
（1）两边1次取积分解一元方程
例33：已知f(x，y)连续，且
例34：（换元后得出常见形式）
提示：<1>
两边从0到1定积分，设 ，则
下面的任务就是求右式的累次积分。
<2>法一：转化为三重积分，积分区域是如图所示的一个四面体DOAC。△OAC是该四面体在yOz平面上的投影，且△OAC={(y,z)|0≤z≤1,z≤y≤1}.
例47：
解1：
例48：（二重积分）
<2>有界常数除以无穷大为0
（或低阶无穷大乘有界常数除以高阶无穷大或无穷小乘有界常数）
注： 是错误解法，因为ξ与x和n都有关。
正解：仿照上例，1∈[0,x2]，夹逼定理。
例51：例23的后半部分。wk.baidu.com
例52：求极限 为自然数.
解利用中值定理,得
因为 在 上连续,由积分中值定理得
（4）无穷等分上下限（和求和符号交换）
例16：
例17：
例18：
例19：
例20：f(x)=x-[x],求
解：
（5）利用可加性分段用中值定理
例21：
（6）拆出为0的一半
例22：
例23：
(7)拆分的一半用周期性型
3.奇偶对称性
(1)定积分：（积分区间对称）
特殊的，若f(x)是奇函数，函数积分为0。
例24：例9中对 的化简即用到了奇偶性。
例41： B
A.=0 B.>0 C.<0 D.和x有关
解析： 。
（2）通过周期性把积分区域化成对称区域
例42：
例43：
（第一步：周期性；第二步：对称性；第三步：公式）
（3）周期性的证明题
例44：设f(x)是周期为T的连续函数，证明： 。
解：见例22。
7.积分中值定理与估值定理
（1）内容
A.积分中值定理：若函数 在闭区间 上连续,，则在积分区间 上至少存在一个点 ，使下式成立 ，其中，a、b、 满足：a≤ ≤b。
B.积分第一中值定理：如果函数 、 在闭区间 上可积，且 在 上不变号,f(x)连续，则在积分区间 上至少存在一个点 ，使下式成立： （可取代估值定理）；
C.积分第二中值定理：
a、如果函数 、 在闭区间 上可积，且 为单调函数，则在积分区间 上至少存在一个点 ，使下式成立： ；
b、如果函数 、 在闭区间[a,b]上可积，且 并是单调递减函数，则在积分区间 上至少存在一个点 ，使下式成立： ；
解：平均值
注：在解某区间上一个函数的平均值时,我们只需要在这个区间上对这个函数进行积分,然后积分结果除以区间的差值.在这里主要是应用了积分第一中值定理,所以求解其类问题时,一定要理解积分中值定理的定义.
E.证明不等式
<1>判断积分符号：
例60：确定积分 的符号.
c、如果函数 、 在闭区间 上可积，且 并是单调递增函数，则在积分区间 上至少存在一个点 ，使下式成立： 。
(2)注意事项
<1>在应用中要注意被积函数在区间 上连续这一条件,否则,结论不一定成立.
例如
显然 在 处间断.
由于
但 在上, ,所以,对任何 都不能使
.
<2>定理中的在区间上不变号这个条件也不能去掉.
例25：例10中 是奇函数，积分区间对称，直接得到定积分得0。
例26：
=0
例27：
=a^3/3
例28：先换元至区间对称
例29、30：例42、43中，先通过周期性将积分上下限变成对称区间。
(2)二重积分
在D上，若D关于x轴对称， ，其中D1是D对称轴一边的区域。
在D上，若D关于y轴对称， ，其中D2是D对称轴一边的区域。
例61：设函数 在 上连续, ,试证:在 内,若 为非减函数,则 为非增函数。
证明 ,
对上式求导,得
利用积分中值定理,得
,
若 为非减函数,则 ,
所以 ,故 为非减函数.
<3>其他
例62-65：例17、18、21、22中用到了积分中值定理。
例66：
例67：
F．判断敛散性
例68：
例69：
例70：
综上所述,积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉,从而使问题简单化.因此,对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式,或者要证的结论中含有定积分,或者所求的极限式中含有定积分时,一般应考虑使用积分中值定理,去掉积分号.在使用该定理时,常与微分中值定理或定积分的其他一些性质结合使用,是所求问题迎刃而解.
A.（隔项约分）
例5.1：
B.（连环反应(分子分母同乘)）
a.例5.2：
变式： ；
b.例5.3：
C.本身就有公式（下例分母）
例5.4：
（2）二重积分
例6：计算 ，这里 为不超过x的最大整数。
分析：若二元函数 在矩形区域 上可积,则将闭区间 进行 等份,闭区间 进行 等份,得到 的一种划分-----把其划分为 个小矩形,
当 时, ,而| | .
故
= =0.
例53：求 .
解若直接用中值定理
= ,
因为 而不能严格断定 ,其症结在于没有排除,故采取下列措施
= + .
其中 为任意小的正数.
对第一积分中值定理使用推广的积分第一中值定理,有
.
= , .
而第二个积分
= ,
由于 得任意性知其课任意小.
所以
= + =0.
注求解其类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号.在应用该定理时,要注中值 不仅依赖于积分区间,而且还依赖于根式中自变量 的趋近方式.
在D上，若D关于y=x对称，
特殊的，若D关于x轴对称，f(x,y)是关于y的奇函数，则原式=0.
特殊的，若D关于y轴对称，f(x,y)是关于x的奇函数，则原式=0.
例31：
解：如图，D1关于y轴对称，D2关于x轴对称， 关于x和y都是奇函数，所以原式=0.
例32：设函数f(x)>0连续，计算二重积分
例54：.
B.证明中值 的存在性命题
例55：函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且f(1)=3 ,求证：在(0,1)内至少存在一点 ，使得f’( )=2 f( )。
C.估值
例56：求证
证明
其中 ,于是由 即可获证.
例57：
D.求函数在一个区间上的平均值
例58：试 求在 上的平均值.
解：平均值
例39：（D随变量t变化）
设f(t)连续且满足方程
提示：换元为极坐标表示，转化为积分方程，求导化为常微分方程。
例40：（换元完上限随变量x变化）
设f(t)连续且满足方程 求f(x)。
提示：换元求导后化为常微分方程。
注：类似技巧：两边取极限，把已经出现的f(x)等的极限当做常数。
5.周期性
（1）通过周期性把积分区域化到可求区域
利用积分中值定理,得 (其中 )。
又 在 上不恒等于0,故 .
注：在解决其类题时,我们常常会以0作为上下限的中介点,然后把原积分写成以0为中介点的两个积分的和,积分化就成两个以0为中介点且上下限一样的积分相加,最后利用积分中值定理确定积分的符号.这里主要使用了积分中值定理和函数的单调性.
<2>判断单调性
8.一些定积分公式的应用
例71：证明 ，并由此计算：
提示：令x=π-t，可得有关原式的方程。
例72：证明 ，并由此计算： 。
提示：第一步用上例结论，第二步思路与上例差不多，第二题上下同乘cosx的a次方即得到结论式。
例73：
注：本题用到了3个公式
（1）例71的结论（2）由对称性， （3） 公式（详见课本）
例9：
另解：第二步直接π-x换元，得到不定积分方程。
(2)拆分的一半取倒数型，凑出好求的积分
例10：求
解：
步骤1：
法1：
法2：
步骤2：
例11：
注：并非另一个区间一定只是取倒数，如果 好算的话，也可以令 ，即 。
（3）利用可加性去绝对值与min、max函数
例12：
例13：
例14：
解：
例15：求积分
提示：将D分为在抛物线上方和下方两段D1和D2，分别去绝对值求二重积分。
例如令
由于
,
但
所以,不存在
,
使
<3>定理中所指出的 并不一定是唯一的,也不一定必须是 的内点.
例如
令 ,则对 都有
,
这也说明了 未必在区间 的内点.
<4> 中不能含有参量，错解详见例46。
(3)应用
A.求含有定积分或重积分的极限
<1>积分区域为定值或定点
例45：（定积分）
例46：例53也可用这种方法。
法二：
<3>解关于A的方程，求出A=2或-2。
例35：
（2）f(x)作变换后两边取1次积分
例36：（两边平方）
已知函数f(x)在闭区间[-1,1]连续，且满足方程
例37：（两边乘sinx）
已知函数f(x)在闭区间[-π，π]连续，且满足方程
（3）两边2次取积分解二元方程组
例38：
（4）形式类似但不是这类题：定积分或重积分不是与变量无关的函数
例74：
注：用了公式 ，令t=1-x换元即可证出。
，
， .
取 , ， .
则 .
特别当 时,有 .
解:因为二元函数 在矩形区域 上可积，所以
.
2.积分上下限可加性
(1)拆分的一半a-x型，利用已知函数性质
例7：求证：∀f(x+y)≥f(x)+f(y),f(1)=1,x、y∈[0,1], ≤0.5。
例8：设函数f(x)在区间[a,b]上为下凸函数，则
证：
定积分与重积分的定义与性质应用
1.定义
（1）定积分：
<1>定积分定义与夹逼定理的综合应用
例1：
提示：分母由夹逼定理全部替换成1/n，然后用定积分定义求和。
<2>取对数，求积变求和后用定积分定义
例2：求
<3>使用定义累次积分
例3：
<4>不是所有和式一看到就用定积分定义
例4：（stolz定理）
例5：基本代数变换技巧
4.两边作积分变换解方程
（1）两边1次取积分解一元方程
例33：已知f(x，y)连续，且
例34：（换元后得出常见形式）
提示：<1>
两边从0到1定积分，设 ，则
下面的任务就是求右式的累次积分。
<2>法一：转化为三重积分，积分区域是如图所示的一个四面体DOAC。△OAC是该四面体在yOz平面上的投影，且△OAC={(y,z)|0≤z≤1,z≤y≤1}.
例47：
解1：
例48：（二重积分）
<2>有界常数除以无穷大为0
（或低阶无穷大乘有界常数除以高阶无穷大或无穷小乘有界常数）
注： 是错误解法，因为ξ与x和n都有关。
正解：仿照上例，1∈[0,x2]，夹逼定理。
例51：例23的后半部分。wk.baidu.com
例52：求极限 为自然数.
解利用中值定理,得
因为 在 上连续,由积分中值定理得
（4）无穷等分上下限（和求和符号交换）
例16：
例17：
例18：
例19：
例20：f(x)=x-[x],求
解：
（5）利用可加性分段用中值定理
例21：
（6）拆出为0的一半
例22：
例23：
(7)拆分的一半用周期性型
3.奇偶对称性
(1)定积分：（积分区间对称）
特殊的，若f(x)是奇函数，函数积分为0。
例24：例9中对 的化简即用到了奇偶性。
例41： B
A.=0 B.>0 C.<0 D.和x有关
解析： 。
（2）通过周期性把积分区域化成对称区域
例42：
例43：
（第一步：周期性；第二步：对称性；第三步：公式）
（3）周期性的证明题
例44：设f(x)是周期为T的连续函数，证明： 。
解：见例22。
7.积分中值定理与估值定理
（1）内容
A.积分中值定理：若函数 在闭区间 上连续,，则在积分区间 上至少存在一个点 ，使下式成立 ，其中，a、b、 满足：a≤ ≤b。
B.积分第一中值定理：如果函数 、 在闭区间 上可积，且 在 上不变号,f(x)连续，则在积分区间 上至少存在一个点 ，使下式成立： （可取代估值定理）；
C.积分第二中值定理：
a、如果函数 、 在闭区间 上可积，且 为单调函数，则在积分区间 上至少存在一个点 ，使下式成立： ；
b、如果函数 、 在闭区间[a,b]上可积，且 并是单调递减函数，则在积分区间 上至少存在一个点 ，使下式成立： ；