湖南省邵阳市隆回二中选修1-2学案 2.2直接证明与间接证明(四)
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 1.1回归分析的基本思想及其初步应用导学案(2)新人教A版选修1
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 1.1回归分析的基本思想及其初步应用导学案（2）新人教A版选修1-2
【学习目标】
1.通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
2.通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型
3.了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.
4.了解常用函数的图象特点，选择不同模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较.
【自主学习】阅读教材P6--8，完成下列问题：
例1、一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7组观测数据列于表中，试建立y 与x之间的回归方程.
【合作探究】
一般存在哪些非线性回归模型？这样的模型怎样求其回归方程？
【目标检测】
1．在判断两个变量y与x是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2分别为：模型1的相关指数R2为0.98，模型2的相关指数R2为0.80，模型3的相关指数R2为0.50，模型4的相关指数R2为0.25.其中拟合效果最好的模型是( )．A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4
2．某个服装店经营某种服装，在某周内纯获利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据如下表：
(1)
(3)求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程．
3．(创新拓展)某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：
(1)
(4)计算相关指数R2；(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．。
湖南省邵阳市隆回县第2中学高中数学 2.2.2双曲线的简单几何性质导学案(1)新人教A版选修1-1
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 双曲线的简单几何性质(1)导学案 新人教A 版选修1 -1【学习目标】1． 理解并掌握双曲线的几何性质．【自主学习】 (预习教材P49~ P51 )问题1：由椭圆的哪些几何性质出发 ,类比探究双曲线22221x y a b -=的几何性质?范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点： ( ) , ( )．实轴 ,其长为 ；虚轴 ,其长为 ．离心率：1c e a=>． 渐近线：双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为：0x y a b ±=．问题2：双曲线22221y x a b-=的几何性质? 图形：范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．顶点： ( ) , ( )实轴 ,其长为 ；虚轴 ,其长为 ．离心率：1c e a=>． 渐近线：双曲线22221y x a b-=的渐近线方程为： ．新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线． 【合作探究】 例1． (教材P51例3 )求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．例2求双曲线的标准方程： ⑴实轴的长是10 ,虚轴长是8 ,焦点在x 轴上；⑶渐近线方程为23y x =± ,经过点9(,1)2M -．【目标检测】1． 双曲线221168x y -=实轴和虚轴长分别是 ( )． A ．8、42 B ．8、22 C ．4、42 D ．4、222．双曲线224x y -=-的顶点坐标是 ( )．A ．(0,1)±B ．(0,2)±C ．(1,0)±D ． (2,0± )3． 双曲线22148x y -=的离心率为 ( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．24．双曲线2241x y -=的渐近线方程是 ．5、双曲线的离心率2e =(5,3)M - ,求其标准方程 .学习反思：本节课我学到了什么 ?本节课我的学习效率如何 ?本节课还有哪些我没学懂 ?。
湖南省邵阳市隆回二中高中数学 导数及其应用 1.1.2导
湖南省邵阳市隆回二中选修2-2学案 导数及其应用：1．1．2导数的几何意义导学案【学习目标】1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，理解导函数的概念，并会用导数的几何意义与概念解题。
【自主学习】（认真自学课本P13-16）探究、导数的几何意义问题1：导数表示函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率，反映了函数)(x f y =在0x x =附近的变化情况，导数)('0x f 的几何意义是什么呢？问题2：如课本图1.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线)(x f 趋近于点P(0x ,)(0x f 时，割线n PP 的变化趋势是什么？新知1：当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.思考1：这里的切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？思考2：割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？切线PT 的斜率k 为多少？ 新知2：割线n PP 的斜率是 ；当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即 。
说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质是函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线:①与该点的位置有关;②要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;③曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.新知3：导数的几何意义：函数)(x f y =在0x x =处的导数等于在该点(0x ,)(0x f 处的切线的斜率，即 )('0x f =xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000=k 思考：如何求曲线在某点处的切线方程？新知4：导函数（简称导数）的概念：由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时, )('0x f 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：)('x f 或'y ，即: )('x f ='y =xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000说明：函数)(x f 在点0x 处的导数)('0x f 、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 1.1回归分析的基本思想及其初步应用导学案(1)新人教A版选修1-2
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 1.1回归分析的基本思想及其初步应用导学案（1）新人教A 版选修1-2【学习目标】1. 通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用。
2. 了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关系数。
3. 解释随机误差的含义及相关系数大小对两个变量相关关系的影响。
【自主学习】阅读教材P2--6，完成下列问题：1. 身高和体重有什么样的关系？2.回归直线一定过所有的样本点吗？点),(y x 一定在回归直线上吗？3. 产生随机误差项的原因是什么?4. 如何计算残差?如何作残差图?5. 我们可以用公式∑∑==∧---=ni i n i i i y y y y R 12122)()(1来刻画回归的效果, 2R 越大, 模型的拟合效果就越 , 2R 越小, 模型的拟合效果就越 .【合作探究】如何发现数据中的错误？如何衡量模型的拟合效果？【目标检测】1、两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下 ，其中拟合效果最好的模型是( )(A)模型1的相关指数2R 为0.98 (B) 模型2的相关指数2R 为0.80(C)模型3的相关指数2R 为0.50 (D) 模型4的相关指数2R 为0.252、一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93,用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ）(A)身高一定是145.83cm (B)身高在145.83cm 以上(C)身高在145.83cm 以下 (D)身高在145.83cm 左右3、对两个变量y 与x 的回归分析，以下说法中不正确的是（ ） (A)回归方程a bx y+=ˆ必过样本中心),(y x (B)残差平方和越小的模型，拟合的效果越好(C)相关指数2R 越小，说明模型的拟合效果越好(D)若y 与x 之间的相关系数为r=－0.9362，则变量y 与x 具有线性相关关系4、已知x 、y 的取值如下表所示从散点图分析，y 与x 线性相关，且a x y+=95.0ˆ，则=a ______________【学习反思】：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些我没学懂？。
高中数学选修1,2《直接证明与间接证明》教案
高中数学选修1,2《直接证明与间接证明》教案高中数学选修1-2《直接证明与间接证明》教案导学目标：1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程及特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程及特点.自主梳理1.直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论________，这种证明方法叫做综合法.②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(其中P 表示已知条件，Q表示要证的结论).(2)分析法①定义：从________________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证明的方法叫做分析法.②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.2.间接证明反证法：假设原命题__________(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出________，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.自我检测1.分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.(2011•揭阳模拟)用反证法证明“如果a>b，那么3a>3b”的假设内容应是( )A.3a=3bB.3a<3bC.3a=3b且3a<3bD.3a=3b或3a<3b3.设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )A.|a-c|≤|a-b|+|c-b|B.a2+1a2≥a+1aC.a+3-a+1D.|a-b|+1a-b≥24.(2010•广东)在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：那么d⊗(a⊕c)等于( )A.aB.bC.cD.d5.(2011•东北三省四市联考)设x、y、z∈R+，a=x+1y，b=y+1z，c=z+1x，则a、b、c三数( )A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2探究点一综合法例 1 已知a，b，c都是实数，求证：a2+b2+c2≥13(a+b+c)2≥ab+bc+ca.变式迁移1 设a，b，c>0，证明：a2b+b2c+c2a≥a+b+c.探究点二分析法例2 (2011•马鞍山月考)若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg a+b2+lg b+c2+lg c+a2>lg a+lg b+lg c.变式迁移2 已知a>0，求证： a2+1a2-2≥a+1a-2.探究点三反证法例3 若x，y都是正实数，且x+y>2，求证：1+xy<2与1+yx<2中至少有一个成立.变式迁移3 若a，b，c均为实数，且a=x2-2y+π2，b=y2-2z+π3，c=z2-2x+π6.求证：a，b，c中至少有一个大于0.转化与化归思想的应用例(12分)(2010•上海改编)若实数x、y、m满足|x-m|>|y-m|，则称x比y远离m.(1)若x2-1比1远离0，求x的取值范围.(2)对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2abab.多角度审题(1)本题属新定义题，根据“远离”的含义列出不等式，然后加以求解.(2)第(2)小题，实质是证明不等式|a3+b3-2abab|>|a2b+ab2-2abab|成立.证明时注意提取公因式及配方法的运用.【答题模板】(1)解由题意得x2-1>1，即x2-1>1或x2-1<-1.[2分]由x2-1>1，得x2>2，即x<-2或x>2;由x2-1<-1，得x∈∅.综上可知x的取值范围为(-∞，-2)∪(2，+∞).[4分](2)证明由题意知即证a3+b3-2abab>a2b+ab2-2abab成立.[6分]∵a≠b，且a、b都为正数，∴a3+b3-2abab=(a3)2+(b3)2-2a3b3=(a3-b3)2=(aa-bb)2，a2b+ab2-2abab=ab(a+b-2ab)=ab(a-b)2=(ab-ba)2，[8分] 即证(aa-bb)2-(ab-ba)2>0，即证(aa-bb-ab+ba)(aa-bb+ab-ba)>0，需证(a-b)(a+b)(a-b)(a+b)>0，[10分]即证(a+b)(a-b)2>0，∵a、b都为正数且a≠b，∴上式成立.故原命题成立.[12分]【突破思维障碍】1.准确理解题意，提炼出相应不等式是解决问题的关键.2.代数式|a3+b3-2abab|与|a2b+ab2-2abab|中的绝对值符号去掉为后续等价变形提供了方便.【易错点剖析】1.推理论证能力较差，绝对值符号不会去.2.运用能力较差，不能有效地进行式子的等价变形或中间变形出错.1.综合法是从条件推导到结论的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论.即由因导果.2.分析法是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.即执果索因，用分析法寻找解题思路，再用综合法书写，这样比较有条理，叫分析综合法.3.用反证法证明问题的一般步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立，即结论的反面(否定命题)成立;(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.(结论成立) (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是( )A.假设a、b、c都是偶数B.假设a、b、c都不是偶数C.假设a、b、c至多有一个偶数D.假设a、b、c至多有两个偶数2.(2011•济南模拟)a，b，c为互不相等的正数，且a2+c2=2bc，则下列关系中可能成立的是( )A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a>c>b3.设a、b、c∈(0，+∞)，P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件4.(2010•上海普陀2月统考)已知a、b是非零实数，且a>b，则下列不等式中成立的是( )A.ba<1B.a2>b2C.|a+b|>|a-b|D.1ab2>1a2b5.(2011•厦门月考)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形二、填空题(每小题4分，共12分)6.(2011•江苏前黄高级中学模拟)某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)=f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|，求证：|f(x1)-f(x2)|<12.那么他的反设应该是______________________________.7.对于任意实数a，b定义运算a*b=(a+1)(b+1)-1，给出以下结论：①对于任意实数a，b，c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);②对于任意实数a，b，c，有a*(b*c)=(a*b)*c;③对于任意实数a，有a*0=a.则以上结论正确的是________.(写出你认为正确的结论的所有序号)8.(2011•揭阳模拟)已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题：①BC⊥平面SAC;②平面SBC⊥平面SAB;③SB⊥AC.其中命题正确的是________(填序号).三、解答题(共38分)9.(12分)已知非零向量a、b，a⊥b，求证：|a|+|b||a-b|≤2.10.(12分)(2011•宁波月考)已知a、b、c>0，求证：a3+b3+c3≥13(a2+b2+c2)(a+b+c).11.(14分)(2011•宁波月考)已知a、b、c∈(0,1)，求证：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同时大于14.学案38 直接证明与间接证明自主梳理1.(1)①推理论证成立(2)①要证明的结论充分条件2.不成立矛盾自我检测1.A [由分析法的定义可知.]2.D [因为3a>3b的否定是3a≤3b，即3a=3b或3a<3b.]3.D [D选项成立时需得证a-b>0.A中|a-b|+|c-b|≥|(a-b)-(c-b)|=|a-c|，B作差可证;C移项平方可证.]4.A [由所给的定义运算知a⊕c=c，d⊗c=a.]5.C [a+b+c=x+1y+y+1z+z+1x≥6，因此a、b、c至少有一个不小于2.]课堂活动区例1 解题导引综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用.这里可从基本不等式相加的角度先证得a2+b2+c2≥ab+bc+ca成立，再进一步得出结论.证明∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，∴3a2+3b2+3c2≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2.∴a2+b2+c2≥13(a+b+c)2;∵a2+b2+c2≥ab+bc+ca，∴a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)，∴(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca).∴原命题得证.变式迁移1 证明∵a，b，c>0，根据基本不等式，有a2b+b≥2a，b2c+c≥2b，c2a+a≥2c.三式相加：a2b+b2c+c2a+a+b+c≥2(a+b+c).即a2b+b2c+c2a≥a+b+c.例2 解题导引当所给的条件简单，而所证的结论复杂，一般采用分析法.含有根号、对数符号、绝对值的不等式，若从题设不易推导时，可以考虑分析法.证明要证lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lg a+lg b+lg c，只需证lga+b2•b+c2•c+a2>lg(a•b•c)，只需证a+b2•b+c2•c+a2>a bc.(中间结果)因为a，b，c是不全相等的正数，则a+b2≥ab>0，b+c2≥bc>0，c+a2≥ca>0.且上述三式中的等号不全成立，所以a+b2•b+c2•c+a2>abc.(中间结果)所以lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lg a+lg b+lg c.变式迁移2 证明要证 a2+1a2-2≥a+1a-2，只要证a2+1a2+2≥a+1a+2.∵a>0，故只要证a2+1a2+22≥a+1a+22，即a2+1a2+4 a2+1a2+4≥a2+2+1a2+22a+1a+2，从而只要证2a2+1a2≥2a+1a，只要证4a2+1a2≥2a2+2+1a2，即a2+1a2≥2，而该不等式显然成立，故原不等式成立.例3 解题导引(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器.(2)利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则，将出现循环论证的错误.证明假设1+xy<2和1+yx<2都不成立，则有1+xy≥2和1+yx≥2同时成立，因为x>0且y>0，所以1+x≥2y，且1+y≥2x，两式相加，得2+x+y≥2x+2y，所以x+y≤2，这与已知条件x+y>2相矛盾，因此1+xy<2与1+yx<2中至少有一个成立.变式迁移3 证明假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0.∵a=x2-2y+π2，b=y2-2z+π3，c=z2-2x+π6，∴x2-2y+π2+y2-2z+π3+z2-2x+π6=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)≤0，①又∵(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0，π-3>0，∴(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(π-3)>0.②①式与②式矛盾，∴假设不成立，即a，b，c中至少有一个大于0.课后练习区1.B2.C [由a2+c2>2ac⇒2bc>2ac⇒b>a，可排除A、D，令a=2，c=1，可得b=52，可知C可能成立.]3.C [必要性是显然成立的，当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P>0，Q<0，R<0，则Q+R=2c<0，这与c>0矛盾，即充分性也成立.]4.D [ba<1⇔b-aa<0⇔a(a-b)>0.∵a>b，∴a-b>0.而a可能大于0，也可能小于0，因此a(a-b)>0不一定成立，即A不一定成立;a2>b2⇔(a-b)(a+b)>0，∵a-b>0，只有当a+b>0时，a2>b2成立，故B不一定成立;|a+b|>|a-b|⇔(a+b)2>(a-b)2⇔ab>0，而ab<0也有可能，故C不一定成立;由于1ab2>1a2b⇔a-ba2b2>0⇔(a-b)a2b2>0.∵a，b非零，a>b，∴上式一定成立，因此只有D正确.]5.D [由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形，由sin A2=cos A1=sinπ2-A1，sin B2=cos B1=sinπ2-B1，sin C2=cos C1=sinπ2-C1，得A2=π2-A1，B2=π2-B1，C2=π2-C1，那么，A2+B2+C2=π2，这与三角形内角和为π相矛盾，所以假设不成立，所以△A2B2C2是钝角三角形.]6.“∃x1，x2∈[0,1]，使得|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|，则|f(x1)-f(x2)|≥12”7.②③解析按新定义，可以验证a*(b+c)≠(a*b)+(a*c);所以①不成立;而a*(b*c)=(a*b)*c成立，a*0=(a+1)(0+1)-1=a.所以正确的结论是②③.8.①解析由三视图知，在三棱锥S—ABC中，底面ABC为直角三角形且∠ACB=90°，即BC⊥AC，又SA⊥底面ABC，∴BC⊥SA，由于SA∩AC=A，∴BC⊥平面SAC.所以命题①正确.由已知推证不出②③命题正确.故填①.9.证明∵a⊥b，∴a•b=0.(2分)要证|a|+|b||a-b|≤2，只需证：|a|+|b|≤2|a-b|，(4分)平方得：|a|2+|b|2+2|a||b|≤2(|a|2+|b|2-2a•b)，(8分)只需证：|a|2+|b|2-2|a||b|≥0，(10分)即(|a|-|b|)2≥0，显然成立.故原不等式得证. (12分)10.证明∵a2+b2≥2ab，a、b、c>0，∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b)，(3分)∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2，∴a3+b3≥a2b+ab2.(6分)同理，b3+c3≥b2c+bc2，a3+c3≥a2c+ac2，将三式相加得，2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2.(9分)∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2 b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).∴a3+b3+c3≥13(a2+b2+c2)(a+b+c).(12分)11.证明方法一假设三式同时大于14，即(1-a)b>14，(1-b)c>14，(1-c)a>14，(3分)∵a、b、c∈(0,1)，∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>164.(8分)又(1-a)a≤1-a+a22=14，(10分)同理(1-b)b≤14，(1-c)c≤14，∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤164，(12分)这与假设矛盾，故原命题正确.(14分)方法二假设三式同时大于14，∵00，(2分)(1-a)+b2≥(1-a)b> 14=12，(8分)同理(1-b)+c2>12，(1-c)+a2>12，(10分)三式相加得32>32，这是矛盾的，故假设错误，∴原命题正确.(14分)。
2018年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明学案苏教版选修1-2
2.2 直接证明与间接证明第1课时直接证明1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4 2.证明：因为2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，又a＋b＝3，所以2a＋2b≥223＝4 2.故2a＋2b≥42成立．问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．2．求证：3＋22<2＋7.证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0，2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．所以3＋22<2＋7成立．问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题2：证题思路是什么？提示：寻求上一步成立的充分条件．1．直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式本题条件已知定义已知公理已知定理…?本题结论．2．综合法和分析法直接证明定义推证过程综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法已知条件?…?…?结论分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法结论?…?…?已知条件1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．[例1] 已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥1 3 .[思路点拨] 从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．[精解详析] ∵a2＋19≥2a3，b2＋19≥2b3，c2＋19≥2c3，∴a2＋19＋b2＋19＋c2＋19≥23a＋23b＋23c＝23(a＋b＋c)＝23.∴a2＋b2＋c2≥1 3 .[一点通] 综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．设a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，求证：1a＋1b＋1c>a＋b＋c.证明：∵a>0，b>0，c>0，且abc＝1，∴1a＋1b＋1c＝bc＋ca＋ab.又bc＋ca≥２bc·ca＝2abc2＝2c，同理bc＋ab≥２b，ca＋ab≥２a.∵a、b、c不全相等．∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立．∴2(bc＋ca＋ab)>2(c＋a＋b)，即bc＋ca＋ab>a＋b＋c，故1a＋1b＋1c>a＋b＋c.2.(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn，则a·ｃ＝a·(λb＋μn)＝λ(a·ｂ)＋μ(a·ｎ)，因为a⊥b，所以a·ｂ＝0，又因为aπ，n⊥π，所以a·ｎ＝0，故a·ｃ＝0，从而a⊥c.法二：如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.∵PO⊥π，aπ，∴直线PO⊥a.又a⊥b，b平面PAO，PO∩b＝P，∴a⊥平面PAO.又c平面PAO，∴a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c 是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题.[例2] 已知a>b>0，求证：（a－b）28a<a＋b2－ab<（a－b）28b.[思路点拨] 本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．[精解详析] 要证明（a－b）28a<a＋b2－ab<（a－b）28b成立，只需证（a－b）24a<a＋b－2ab<（a－b）24b成立，即证（a－b）24a<(a－b)2<（a－b）24b成立．只需证a－b2a<a－b<a－b2b成立．只需证a＋b2a<1<a＋b2b成立，即证a＋b<2a且a＋b>2b，即b<a.∵a>b>0，∴b<a成立．∴（a－b）28a<a＋b2－ab<（a－b）28b成立．[一点通] 在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，再用综合法写出步骤．3．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4，a≥0，求证：P＜Q.证明：要证P＜Q，主要证P2＜Q2，只要证2a＋7＋2a（a＋7）＜2a＋7＋2（a＋3）（a＋4），即证a2＋7a＜a2＋7a＋12，即证0＜12.因为0＜12成立，所以P＜Q成立．4．已知a、b是正实数，求证：ab＋ba≥ a＋b.证明：要证ab＋ba≥ a＋b，只需证a a＋b b≥ab(a＋b)．即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)，即证a＋b－ab≥ab.也就是要证a＋b≥２ab.因为a，b为正实数，所以a＋b≥２ab成立，所以ab＋ba≥ a＋b.[例3] 已知0<a≤1，0<b≤1，0<c≤1，求证：1＋ab＋bc＋caa＋b＋c＋abc≥1.[思路点拨] 因为0<a≤1，0<b≤1，0<c≤1，所以要证明1＋ab＋bc＋caa＋b＋c＋abc≥１成立，可转化为证明1＋ab＋bc＋ca≥a＋b＋c＋abc成立．[精解详析] ∵a>0，b>0，c>0，∴要证1＋ab＋bc＋caa＋b＋c＋abc≥1，只需证1＋ab＋bc＋ca≥a＋b＋c＋abc，即证1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0.∵1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)＝(1－a)＋b(a－1)＋c(a－1)＋bc(1－a)＝(1－a)(1－b－c＋bc)＝(1－a)(1－b)(1－c)，又a≤1，b≤1，c≤1，∴(1－a)(1－b)(1－c)≥0，∴1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥０成立，即证明了1＋ab＋bc＋caa＋b＋c＋abc≥1.[一点通] (1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的．(2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可．5．在△ABC中，三个内角A、B、C成等差数列．求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.证明：要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，即ca＋b＋ab＋c＝1，只需证c（b＋c）＋a（a＋b）（a＋b）（b＋c）＝1，即a2＋c2＋ab＋bcb2＋ab＋ac＋bc＝1.下面证明：a2＋c2＋ab＋bcb2＋ab＋ac＋bc＝1.∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°. ∴b2＝a2＋c2－ac.∴a2＋c2＋ab＋bcb2＋ab＋ac＋bc＝a2＋c2＋ab＋bca2＋c2－ac＋ab＋ac＋bc＝1.故原等式成立．6．若a，b，c是不全相等的正数．求证：lg a＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2>lg a＋lg b＋lg c.证明：要证lg a＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2>lg a＋lg b＋lg c成立，即证lg a＋b2·b＋c2·c＋a2>lg(abc)成立，只需证a＋b2·b＋c2·c＋a2>abc成立，∵a＋b2≥ab>0，b＋c2≥bc>0，c＋a2≥ca>0，∴a＋b2·b＋c2·c＋a2≥abc>0，(*)又∵a，b，c是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立，∴原不等式成立．1．综合法：由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论．2．分析法：执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路．缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错．3．在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件P2；当由P1可以推出P2时，结论得证．一、填空题1．在△ABC中，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：在△ABC中，由正弦定理得asin A＝bsin B.又∵A>B，∴a>b，∴sin A>sin B反之，若sin A>sin B，则a>b，∴A>B∴A>B是sin A>sin B的充要条件．答案：充要2．设n∈N，则n＋4－n＋3________n＋2－n＋1(判断大小)．解析：要证n＋4－n＋3<n＋2－n＋1，只需证n＋4＋n＋1<n＋3＋n＋2，只需证(n＋4＋n＋1)2<(n＋2＋n＋3)2，即2n＋5＋2（n＋4）（n＋1）<2n＋5＋2（n＋2）（n＋3）.只需证（n＋1）（n＋4）<（n＋2）（n＋3），只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，即n2＋5n＋4<n2＋5n＋6，即4<6即可．而4<6成立，故n＋4－n＋3<n＋2－n＋1.答案：<3．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是____________________．解析：a a＋b b>a b＋b a?a a－a b>b a－b ba(a－b)>b(a－b)?(a－b)(a－b)>0(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b4．若三棱锥S-ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)解析：如图，设S在底面ABC上的射影为点O，∴SO⊥平面ABC，连接AO，BO，∵SA⊥BC，SO⊥BC，∴BC⊥平面SAO，∴BC⊥AO.同理可证，AC⊥BO.∴O为△ABC的垂心．答案：垂心5．已知函数f(x)＝10x，a＞0，b＞0，A＝f a＋b2，B＝f()ab，C＝f2aba＋b，则A，B，C的大小关系为____________________．解析：由a＋b2≥ab≥2aba＋b，又f(x)＝10x在R上是单调增函数，所以fa＋b2≥f()ab≥f 2aba＋b，即A≥B≥C.答案：A≥B≥C二、解答题6．已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．解：f(a)＋f(c)＞2f(b)．证明如下：因为a，b，c是两两不相等的正数，所以a＋c＞2ac.因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)＞b2＋4b，即ac＋2(a＋c)＋4＞b2＋4b＋4，从而(a＋2)(c＋2)＞(b＋2)2.因为f(x)＝log2(x＋2)是增函数，所以log2(a＋2)(c＋2)＞log2(b＋2)2，即log2(a＋2)＋log2(c＋2)＞2log2(b＋2)．故f(a)＋f(c)＞2f(b)．7．已知a>0，用分析法证明：a2＋1a2－2>a＋1a－2.证明：要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只需证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋ 2.因为a>0，故只需证a2＋1a2＋22≥a＋1a＋22，即a2＋1a2＋4 a2＋1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋2 2a＋1a＋2，从而只需证2a2＋1a2≥2a＋1a，只需证4a2＋1a2≥2a2＋2＋1a2，即a2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．8．(江苏高考改编)设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，S n是其前n项的和．记b n＝nS nn2＋c，n∈N*，其中c为实数．若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk＝n2S k(k，n∈N*)．证明：由c＝0，得b n＝S nn＝a＋n－12d.又b1，b2，b4成等比数列，所以b22＝b1b4，即a＋d22＝a a＋32d，化简得d2－2ad＝0.因为d≠0，所以d＝2a.因此，对于所有的m∈N*，有S m＝m2a.从而对于所有的k，n∈N*，有S nk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2S k.第2课时间接证明1．问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术．如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”．该广告词实际说明了什么？提示：说的是：“不拥有的人们不幸福”．2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证：a，b，c不可能都是奇数．问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？提示：不能．问题2：a、b、c不可能都是奇数的反面是什么？还满足条件a2＋b2＝c2吗？提示：都是奇数．若a、b、c都是奇数，则不能满足条件a2＋b2＝c2.1．间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明．反证法就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有同一法、枚举法等．2．反证法(1)反证法证明过程反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)，用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下面的框图表示：肯定条件p否定结论q→导致逻辑矛盾→“p且q”为假→“若p则q”为真(2)反证法证明命题“若p则q”的步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法．2．可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与反设矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论．[例1] 已知平面上四点，没有三点共线，求证：以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．[思路点拨] 本题证明的命题是否定性命题，解答时先假设四个三角形都是锐角三角形，再分情况去推出矛盾．[精解详析] 假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D，考虑△ABC，点D的位置分为在△ABC之内或之外两种情况．(1)如果点D在△ABC之内(如图(1))，根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．(2)如果点D在△ABC之外(如图(2))，根据假设∠A，∠B，∠C，∠D都小于90°，这和四边形内角之和等于360°矛盾．综上所述．原结论成立．[一点通] (1)结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法．(2)反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”．1．实数a、b、c不全为0等价于________(填序号)．①a，b，c全不为0；②a，b，c中最多只有一个为0；③a，b，c中只有一个不为0；④a，b，c中至少有一个不为0.解析：“不全为0”等价于“至少有一个不为0”．答案：④2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CD的中点，用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线．解：假设直线BM与A1N共面．则A1D1?平面A1BND1，且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN，由正方体特征知A1D1∥平面ABCD，故A1D1∥BN，又A1D1∥BC，所以BN∥BC.这与BN∩BC＝B矛盾，故假设不成立．所以直线BM与直线A1N是两条异面直线．3．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，所以(a－c)2＝0.即a＝c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．[例2] 求证：两条相交直线有且只有一个交点．[思路点拨] “有且只有一个”的否定分两种情况：“至少有两个”、“一个也没有”．[精解详析] 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点．若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．[一点通] 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其惟一性就较为简单明了．4．证明方程2x＝3有且仅有一个根．证明：∵２x＝3，∴x＝log23，这说明方程有一个根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是惟一的，假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)，则2b1＝3，2b2＝3.两式相除得：2b1－b2＝1.如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相矛盾．因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这就同b1≠b2相矛盾．如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾．故2x＝3有且仅有一个根．5．求证：过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直．解：已知P?平面α.求证：过点P和平面α垂直的直线b有且只有一条．证明：(1)存在性：∵P?平面α，由立体几何知识知：过点P能作出一条直线与平面α垂直，故直线b存在．(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与平面α垂直．由b⊥α，c⊥α，得b∥c，这与b∩c＝P矛盾，故假设不存在，因此直线b惟一．综上所述，过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直.[例3] 已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．[思路点拨] 本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数，具体有一个负数？两个负数？三个负数？还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能．所以正面证明很复杂，可考虑用反证法．[精解详析] 假设a、b、c、d都不是负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.∵a＋b＝c＋d＝1，∴b＝1－a≥0，d＝1－c≥0.∴ac＋bd＝ac＋(1－a)(1－c)＝2ac－(a＋c)＋1＝(ac－a)＋(ac－c)＋1＝a(c－1)＋c(a－1)＋1.∵a(c－1)≤0，c(a－1)≤0.∴a(c－1)＋c(a－1)＋1≤1，即ac＋bd≤1.与ac＋bd>1相矛盾．∴假设不成立．∴a、b、c、d中至少有一个是负数．[一点通] (1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有n－1个至少有n＋1个6．已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于1 4 .证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于1 4 .∵a，b，c∈(0，1)，∴1－a＞0，1－b＞0，1－c＞0，∴（1－a）＋b2≥（1－a）b＞14＝12.同理（1－b）＋c2＞12，（1－c）＋a2＞12.三式相加，得（1－a）＋b2＋（1－b）＋c2＋（1－c）＋a2＞32，即32＞32，矛盾．所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于1 4 .7．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个根，设α，β为其中的两个实根．因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，所以f(α)<f(β)．这与f(α)＝0＝f(β)矛盾．所以方程f(x)＝0在区间 [a，b]上至多只有一个实根．1．反证法证明的适用情形(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题；(4)“惟一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类命题；(7)涉及“无限”结论的命题．2．用反证法证明问题的三个注意点(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必然罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．一、填空题1．命题“1＋ba，1＋ab中至多有一个小于2”的反设为__________________．答案：1＋ba，1＋ab都小于 22．(山东高考改编)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是____________________．解析：至少有一个实根的否定是没有实根．答案：方程x3＋ax＋b＝0没有实根3．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为____________________．解析：“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．答案：a，b不全为04．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.答案：③①②5．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为______________________．解析：对“且”的否定应为“或”，所以“x≠a且x≠b”的否定应为“x＝a或x＝b”．答案：x＝a或x＝b二、解答题6．(陕西高考)设{a n}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列．解：(1)设{a n}的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠１时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①qS n＝a1q＋a1q2＋…＋a1q n，②①－②得，(1－q)S n＝a1－a1q n，∴S n＝a1（1－q n）1－q，∴S n＝na1，q＝1，a1（1－q n）1－q，q≠1.(2)证明：假设{a n＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)(a k＋2＋1)，a2k＋1＋2a k＋1＋1＝a k a k＋2＋a k＋a k＋2＋1，a21q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，∵a1≠0，∴2q k＝q k－1＋q k＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n＋1}不是等比数列．7．设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1 2 .证明：假设|f(1)|<12，|f(2)|<12，|f(3)|<12，则有－12<1＋a＋b<12，－12<4＋2a＋b<12，－12<9＋3a＋b<12.于是有－32<a＋b<－12，①－92<2a＋b<－72，②－192<3a＋b<－172. ③由①、②得－4<a<－2，④由②、③得－6<a<－4.⑤④、⑤显然相互矛盾，所以假设不成立，所以原命题正确．8．已知P?直线a.求证：过点P和直线a平行的直线b有且只有一条．证明：(1)存在性：∵P?直线a，∴点P和直线a确定一个平面α.由平面几何知识知：在平面α内过点P能作出一条直线与直线a平行，故直线b存在．(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与a平行．∵a∥b，a∥c，∴b∥c，这与直线b、c有共点P矛盾．故假设不存在，因此直线b惟一．综上所述，过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平形.。
湖南省邵阳市隆回二中高中数学 推理与证明 2.2.2反证法学案 新人教A版选修2-1
湖南省邵阳市隆回二中选修2-2学案 推理与证明 2.2.2反证法【学习目标】1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2. 了解反证法的思考过程、特点;3. 会用反证法证明问题.【自主学习】（阅读教材P89—P91，独立完成下列问题）1复习：（1）直接证明的两种方法: 和 ;（2） 是间接证明的一种基本方法.新知：一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .这种证明方法叫 .试试： 证明：5,3,2不可能成等差数列.反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.【合作探究】例1．己知直线a,b 和平面∂,如果a ⊄∂,b ∂⊂，且a ∥b 求证a ∥∂例2．求证: 2是无理数【目标检测】1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（）.A．假设三内角都不大于60︒ B．假设三内角都大于60︒C．假设三内角至多有一个大于60︒ D．假设三内角至多有两个大于60︒2. 实数,,a b c不全为0等价于为（）.A．,,a b c均不为0 B．,,a b c中至多有一个为0C．,,a b c中至少有一个为0 D．,,a b c中至少有一个不为03. 用反证法证明命题“自然数,,a b c中恰有一个偶数”的反设为 .4.证明：在△ABC中，若是∠C是直角，则∠B一定是锐角。
5．求证：2，3，5不可能成等差数列6.已知,0x y>,且2x y+>.试证:11,x yy x++中至少有一个小于2.【作业布置】任课教师自定。
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用导学案(1)新人教A版选修1-2
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 1.2独立性检验的基本思想
及其初步应用导学案（1）新人教A 版选修1-2
【学习目标】
1. 通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本
数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中 患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性.
2. 理解独立性检验的基本思想及实施步骤.
3. 了解独立性检验的基本思想、了解随机变量K 2的含义.
【自主学习】阅读教材P10--13，完成下列问题：
1.变量的不同 表示个体所属的 ，这样的变量叫分类变量。
2.列出两个分类变量的 称为列联表。
3 .独立性检验中随机变量=2K ，d c b a n +++=其中实际应用中，在获取样本数据之前，通常通过查阅下表确定临界
【合作探究】
为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9 965人，得到如下结果（单位：人）：
吸烟与患肺癌列联表
什么？
【目标检测】
1、某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
由表中数据计算得到K2的观测值k≈，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 .
2. 为考察高中生喜欢数学课程是否与性别有关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：
由表中数据计算得到K2的观测值k≈，所以我们有的把握认为高中生喜欢数学课程与性别之间有关系。
【学习反思】：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些我没学懂？。
湖南省邵阳市隆回二中高中人教B版数学1-2学案：2.2直接证明与间接证明(二)
【学习目标】 1. 灵活运用综合法进行证明。
2。
利用综合法解决不等式问题..【自主学习】阅读教材P37-38,完成下列问题：在△ABC 中，设, , b CA a CB ==求证：)(21222b a b a S ABC ⋅-=∆【合作探究】.:,,,,,,.为等边三角形求证成等比数列成等差数列、、且、、对边分别是、、三个内角中在ABC cb a C B Ac b a C B A ABC ∆∆【目标检测】)( 0 .1333，则有，，已知b a y b a x b a -=-=>≥A. x ＞y B 。
x ≥y C 。
x ≤yD 。
x ＜y2. 已知:0＜a ＜1，log a m ＜log a n ＜0，则( )A 。
1＜n ＜m B. 1＜m ＜n C 。
m ＜n ＜1 D. n ＜m ＜13。
对于0＜a ＜1，给出四个不等式。
aa a a a a a a a a a a aa a a 111111 )4(; )3();11(log )1(log )2();11(log )1(log )1(++++><+>++<+ 其中成立的是( )A. (1） (3）B. (1) (4） C 。
(2) (3) D. （2）（4）4。
在△ABC 中,A 、B 、 C 所对的边长分别为a 、b 、 c ，且满足（a 2＋b 2)sin （A －B )＝（a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状。
.8)11)(11)(11( .1 .5≥---=++∈+cb ac b a R c b a 求证：，且，，已知【学习反思】：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些没学懂?。
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用课件2 新人教A版选修1-2
①根据实际问题的需要，确定容许推断“ 临界值k0 两个分类变量有关系”犯错误概率的上界 α. 然后查表确定 . k 观测值 ②利用公式计算随机变量 K2的 . k≥k0 ③如果 ，就推断“X与Y有关系” 犯错误的概率 ，这种推 断 不超过α，否则就认为在 没有发现足够证据 犯错误的概率不超过α的前提下不能推断 “X与Y有关系”，或者在样本数据中 支持结论“X与Y有关系”
•3.独立性检验临界值表 P( 0. K2 0.5 0.4 0.2 0.1 0.1 0.0 0.0 0.0 0. 0 00 0 5 5 0 5 25 10 0 ≥k 0 5 1 0) 1 7. 0. 0.4 0.7 1.3 2.0 2.7 3.8 5.0 6.6 k0 87 8 55 08 23 72 06 41 24 35 9 2 8
• 3．两个分类变量相关性检验方法 • 利 用独立性检验来考察两个分类变量是否 有关系，能较精确地给出这种判断的可靠程度， 具体的做法是：①根据实际问题的需要确定容 许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的 上界 α ，然后查表确定临界值 k0.②计算随机变 量 K2 的观测值 k.③如果 k≥k0 ，就推断“X与 Y” 有关系，这种推断犯错误的概率不超过 α ，否 则就认为在犯错误的概率不超过 α 的前提下不 能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没 有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．
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【变式3】 下表是某地区的一种传染病与饮用 水的调查表： 得 不得 总 病 病 计 51 干净水 52 466 8 31 不干净 94 218 2 水 14 83 684 总计 (1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关， 6 0 请说明理由； (2)若饮用干净水得病 5人，不得病50人，饮 用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本
湖南省邵阳市隆回县万和实验学校高中数学教案 选修2-2 第二章 2.2 直接证明与间接证明 4
一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc . 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果.③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？→ 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B +=，求证：60A B +=o . （提示：算tan()A B +）② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题）（两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++. 3. 作业：教材P 54 A 组 1题.第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：求证3526+>+.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ → 板演证明过程 （注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例4：见教材P 48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例5：见教材P 49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：222443c a b ab S --+≥. 略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 423sin ab C ab ab C -+≥，即证：2cos 23sin C C -≥3sin cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）.2. 作业：教材P 52 练习 2、3题.第三课时 2.2.2 反证法教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次）2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A 、B 、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假设可以作一个⊙O 过A 、B 、C 三点，O BC P则O 在AB 的中垂线l 上，O 又在B C 的中垂线m 上，即O 是l 与m 的交点。
湖南省邵阳市隆回二中选修1-2学案 2.1合情推理与演绎推理(四)
【学习目标】
1. 了解演绎推理的含义，能用“三段论”进行简单推理。
2. 合情推理与演绎推理的区别与联系。
3. 用“三段论“进行简单推理。
【自主学习】
任务1：阅读教材P30—33，理解下列问题：
1. 演绎推理：从一般性的原理出发，推出的结论，我们把这种推理称为演绎推理。
简言之，演绎推理是的推理。
2.演绎推理的一般模式是“”，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。
任务2：完成下列问题：
证明函数f(x)＝－x2＋4x在(－∞,2)内是增函数.
【合作探究】
在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D、E是垂足.求证：AB的中点M到点D，E的距离相等.
【目标检测】
1. 由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据三段论推出一个结论，则这个结论是( )
A. 正方形的对角线相等
B. 平行四边形的对角线相等
C. 正方形是平行四边形
D. 以上都不对
2. (1)一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确. (2)这个错误的推理是前提不成立. (3)所以这个错误的推理是推理形式不正确.
以上三段论是( )
A. 大前提错
B. 小前提错
C. 结论错
D. 正确的
3. 在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证∠ACD>∠BCD。
【学习反思】：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些没学懂？。
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 章末复习自主检测 新人教A版选修1-2
湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 章末复习自主检测 新人教A 版选修1-2一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．下列有关线性回归的说法不正确的是( )．A ．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B ．在平面直角坐标系中用描点的方法得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C ．线性回归直线得到具有代表意义的回归直线方程D ．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程2．设有一个回归方程为y ^＝3－5x ，当变量x 增加一个单位时( )．A ．y 平均增加3个单位B ．y 平均减少5个单位C ．y 平均增加5个单位D ．y 平均减少3个单位3．已知一个线性回归方程为y ^＝1.5x ＋45，其中x 的取值依次为1,7,5,13,19， 则y ＝( )．A ．58.5 B ．46.5 C ．60 D ．75 4．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则实验效果与教学措施( ).A.有关 B ．无关 C ．关系不明确 D ．以上都不正确5．(2012·济宁模拟)某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )．A ．83% B ．72% C ．67% D ．66% 6．为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生，得到下面列联表： 现判断数学成绩与物理成绩有关系，则判断的出错率为( )．A ．0.5%B ．1%C ．2%D ．5%二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)7．从某地区15 000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：8．(2012·湖南六校联考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：9．若两个分类变量X 与Y 的列联表为：则“X 与Y 之间有关系”这个结论出错的概率为________．10．(2012·东北四校联考)某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5 ℃时，热茶销售量为________杯．(已知回归系数b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x )三、解答题(本大题共2小题，共40分)11．(20分)在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客在飞机上晕机的情况，共调查了89位乘客，其中男乘客有24人晕机，31人不晕机；女乘客有8人晕机，26人不晕机．根据此材料你是否认为在恶劣气候飞行中男人比女人更容易晕机？12．(20分)有两个分类变量x 与y ，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：认为x与y之间有关系？。
湖南省邵阳市隆回县万和实验学校高中数学教案 选修2-2 第二章 2.2 直接证明与间接证明 3
教学过程
一、复习：证明的方法
二、引入新课
1、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。
在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
2、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
证明：(用分析法思路书写)
要证a3+b3＞a2b+ab2成立，
只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，
即需证a2-ab+b2＞ab成立。
(∵a+b＞0)
只需证a2-2ab+b2＞0成立，
即需证(a-b)2＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。
(以下用综合法思路书写)
∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0
亦即a2-ab+b2＞ab
由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab
即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证
小结：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点.
课堂练习：第73页练习A、B
课后作业：第77页A:1，2。
湖南省邵阳市隆回二中高中数学苏教版选修2-2教学课件第二章复习
12
,ak2
0.
题型1.数列
3. (08·北京理)某校数学课外小组在坐标纸上， 为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵 树种植在点Pk(xk，yk) 处，其中x1＝1，y1＝1， 当k≥2时，
xk
yk
xk 1 yk 1
1
5T
k
5
1
T
k
T k 1 T k 2 . 5 5
A. 1＜n＜m C. m＜n＜1
B. 1＜m＜n D. n＜m＜1
题型2.代数式的大小比较
3. 对于0＜a＜1，给出四个不等式.
1 (1) loga (1 a) loga (1 a );
1 (2) loga (1 a) loga (1 a );
(3) a1a
a
1
1 a
;
(4)
a1
a
1 1
5
2 ,
T(a)表示非负实数a的整数部分，例如T(2.6)＝2，
T(0.2)＝0.按此方案，第6棵树种植点的坐标应
为_________________；第2008棵树种植点的坐
标应为________________ .
题型1.数列
3. (08·北京理)某校数学课外小组在坐标纸上， 为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵 树种植在点Pk(xk，yk) 处，其中x1＝1，y1＝1， 当k≥2时，
第二章复习
（1课时）
知识结构
推理与证明
推理
证明
合情推理 演绎推理 归纳 类比
直接证明 间接证明
综合法 反 证
分析法 法
常见题型
1. 数列 2. 代数式的大小比较 3. 代数不等式的证明 4. 三项等差等比的证明 5. 三角恒等式的证明 6. 三角形中的问题 7. 几何证明ks5u