螺栓连接非线性振动特性研究 陈学前

2. 非线性理论模型
& 的多项式函 在Crawley与O’Donnell的相关研究中，他们将非线性传递力表示为 y 和 y
数 ，根据前面的实验数据分析，下面将系统的振动微分方程表示成如下形式：
[8]
& & + ( μ1 + μ 2 y 2 ) y & + (α 1 + α 2 y 2 ) y = P0ω 2 sin ωt y
（5）
在 ω ≈ ω n 的基本强迫振动中常数成份 a 0 和一次谐波项 a cos(ωt + ψ ) 占有优势，而高 次谐波项只有很小的振幅，所以方程（5）的近似稳态解可设为 ：
[9]
y = a0 + a cos(ωt + ψ ) = a0 + a cos φ
应用谐波平衡法可确定常数分量 a 0 、一次谐波幅值 a 和相位差ψ ：
Abstract: Bolt joints are widely used in many structures, they represent some nonlinearity subjected to different environment exciting generally. In order to study on their nonlinear characteristic, a bolt-joints system is designed, and the sin-sweep vibration tests are done on the system subjected to different base exciting. The resonant frequencies and the relative damping coefficients of the bolt-joints system are obtained by analyzing the test data, they show obvious nonlinear characteristic with the vibration level changing. In theory study, the system is simplified to be a single freedom degree mass-spring-damper model with nonlinear spring and nonlinear damper. The coefficients of the nonlinear equation are identified by the test data. Last, the main resonant frequencies and the relative damping coefficients of the system are obtained by the nonlinear equation. The theory results are coincident with the test results better, as shows that the nonlinear equation in the paper depicts the vibration characteristics of the bolt-joints better. Keywords: Bolt-joints; Vibration; Nonlinearity
ce (a ) =
aωπ ∫
1
2π
0
[aμ1ω sin φ + a 3 μ 2ω sin φ cos 2 φ ] sin φ dφ
（11）
1 = μ1 + μ 2 a 2 4
将（10） 、 （11）式代入（8）和（9）可以解得：
a= =
{[ω (a) − ω ] + c (a)ω }
2 n 2 2 2 e 2
& ≡ 0 ，由式（8）可以得出与式（5）相对应的保守系统的一 若取 P0 = 0, ( μ1 + μ 2 y 2 ) y
次谐波的幅频关系：
2 ωn (a ) = α 1 + α 2 a 2
3 4
（10）
对于有阻尼的强迫振动情况（5）式，将表达式 a0 = 0 代入（9）式可以求出等效阻尼 系数 ce ( a ) ：
THE STUDY ON THE NONLINEAR VIBRATIONAL CHARACTERISTIC OF BOLT-JOINTS CHEN Xueqian,DU Qiang,FENG Jiaquan
（Institute of Systems Engineering, CAEP, Mianyang, Sichuan, 621900）
加速度传感器 试件 振动台 A2 A6 电荷放大器 A5 A8 A7 A3
功率放大器 A1 A4
振动控制器
数据采集系统
图 1 实验系统示意图
图 2 实验测点布置图
1.2 实验结果
正弦振动实验采用A1～A4 四点加速度响应平均控制， 控制基准谱采用 800Hz～2000Hz 的定加速度谱曲线， 谱线数为 801 线， 扫频速率为 2Hz/s， 振动量级为 1g、 2g、 …、 5g （g=9.8m/s2, 下同） 。实验数据分析时，将系统简化为弹簧、阻尼器、质量块的单自由度模型（如图 3 所 示） ，设 x (t ) 及 xs (t ) 分别是质量块及基础的位移，得到系统的振动微分方程为： x
2 （12）式中，当 ω n ( a ) = ω 2 时，振幅取最大值 a max ，再联合（10）式，有：
2 ω 2 (a max ) = α 1 + 0.75α 2 a max
（14）
h(ω ) 2 = μ1 + 0.25μ 2 a max a maxω
（15）
结合实验结果，当系统发生主共振时，可以通过式（14） 、式（15）来辨识系数 α 1 、α 2 、
[7]
β=
1 (ω − ω ) + (2ξω nω ) 2
2 n 2 2
（2）
β max =
1 2ξ 1 − ξ 2
（3）
式中， ξ 为相对阻尼系数， ω n 为无阻尼系统的固有频率。 对于小阻尼系统，式（3）可以近似写成：
β max ≈
1 2ξ
（4）
通过振幅放大因子曲线的峰值可以确定固有频率，再结合式（4）就可得到系统的相对 阻尼系数 ξ 。表 1 是不同振动量级下系统固有频率及相对阻尼系数的实验结果。 表1
*中国工程物理研究院面上基金（20060319）资助项目；中国工程物理研究院双百人才基金课题(ZX04002)资助项目
随着振动量级以及振动频率的变化，观察到了螺栓松动与拧紧的试验现象；Hess[5]采用理论 和试验相结合的研究方法，研究了一个由单个螺栓、弹簧、质量块组成的系统，得到影响系 统松弛、压紧的主要因素；EL-ZAHRY[6]把螺栓法兰简化为弹簧、阻尼器、质量块两自由度系 统，研究了螺栓法兰连接结构在正弦激励载荷作用下的响应情况。 本文通过一个螺栓连接系统在预紧力一定和不同量级的正弦基础激励振动实验， 对螺栓 连接的动刚度和动阻尼进行了识别， 根据识别结果选用一种非线性数学模型来描述该螺栓连 接模型。
π∫
1
2π
0
− [aμ1ω sin φ + aμ 2ω sin φ (a0 + a cos φ ) 2 ] sin φ dφ = P0ω 2 sinψ
（9）
求解方程（7）式，得到 a0 = 0 或 α1 = −α 2 ，一般情况下， α1 ≠ −α 2 ，因此，在方程 （5）所给的保守力形式下，常数项可以略去，即解取为 y = a cos(ωt + ψ ) 。
μ1 、 μ 2 ，辨识结果为：
α 1 = 1.377 × 108 α 2 = −9.201× 10 3 μ1 = 27.626 μ 2 = 0.189
因此非线性方程式（10）可以写成： （16）
⎧& & + (27.626 + 0.189 y 2 ) y & + (1.377 × 10 8 − 9.201 × 10 3 y 2 ) y = h sin ωt y ⎨ 17.375 ≤ y ≤ 39.619 ⎩
1. 实验研究 1.1 实验系统及试件
实验系统由试件、夹具、振动台、振动控制器、功率放大器、数据采集系统、加速度传 感器和电荷放大器组成，其示意图如图 1 所示。振动台是推力为 2 吨的 LDS 电磁振动台； 数据采集系统是安捷伦 VXI 系统；加速度传感器是美国进口的 ENDEVCO-2228C，其灵敏 度为 10PC/g。试件是一个带六个耳片的长方体（尺寸为：15cm×11cm×10cm，其材料为 Q235） ，它通过六个 M6 的螺栓（螺栓为 8.8 级全螺纹六角头螺栓，拧紧时配以标准平垫圈 和弹簧垫圈使用）与夹具圆盘相连，螺栓中的预紧力矩为 8N·m。实验测点布置见图 2 所示， A1～A4 点是控制点，A5～A8 点是加速度响应测点。
振动量级/g 固有频率/Hz 相对阻尼系数/% 1 1848.62 0.212 2 1835.68 0.254
实验结果
3 1808.64 0.331 4 1797.49 0.415 5 1791.11 0.494
从表 1 可以看出，随着基础激励量级的增大，系统固有频率减小，相对阻尼系数增大， 呈现出较明显的非线性现象。故对此类问题的数学描述不能再用线性方程（1）来描述，有 必要研究其振动的非线性方程。
0. 引言
螺栓连接广泛应用于工程结构中，如：各电子仪器组件与安装板的连接，两个部组件通 过螺栓法兰连接成为一体。 这类连接由于螺栓预紧力和外界激励不同， 使得螺栓连接的两部 分构件界面的特性（如：接触、干摩擦等）均会发生改变，从而导致产品结构在不同的动载 荷下出现一定的非线性特性。 由于它们连接的动力学特性将直接影响到结构在振动环境下的 响应，因此，国内外众多学者对螺栓连接的特性进行了研究。陈汝训[1]考虑了在拧紧螺栓过 程中螺栓既受拉应力，又受剪应力时研究了螺栓的极限拧矩；李以农[2]建立了在高频情况下 一维构件的波传播模型， 讨论了波在其中传播的特性及能量耗散问题， 提出了一种简化的螺 [3~4] 栓非线性接头模型；Hess 研究了单个螺栓在轴向正弦激励载荷作用下的响应情况，发现
螺栓连接非线性振动特性研究*
陈学前，杜强，冯加权
（中国工程物理研究院总体工程研究所，四川，绵阳，621900）
摘要：在不同的外界激励下，螺栓连接常常表现出一定的非线性。为研究螺栓连接的非线性 特性，设计了一个螺栓连接系统，并对其进行不同基础激励下的正弦扫频实验。通过实验数 据的分析得到了螺栓连接的共振频率和相对阻尼系数， 发现其随着激励量级的不同呈现出较 明显的非线性特性。在理论模型研究中，将系统简化为非线性弹簧、非线性阻尼器、质量块 的单自由度模型，并利用实验数据对非线性方程中的系数进行了识别。利用此非线性模型， 求出系统的主共振频率和相对阻尼系数， 它们与实验结果相比差别较小， 说明文中所给的非 线性方程能较好描述螺栓连接的振动特性。 关键词：螺栓连接；振动；非线性 中图分类号：O324 文献标识码：A
m
k
c
xs
图3
螺栓连接系统简化示意图
& + c( x &−x & s ) + k ( x − xs ) = 0 m& x
（1）
结构相对于基础的相对位移 y = x − xs ，设基础激励 xs (t ) = P0 sin ωt ，可求解出结构 加速度响应相对于基础的振幅放大因子 β 及其最大值 β max 为 ：
（6）
1 2π
2 − aω n +
∫
2π
0
[α 1 (a 0 + a cos φ ) + α 2 (a 0 + a cos 3 φ )] dφ = 0
（7） （8）
π∫
1
2π
0
[α 1 (a0 + a cos φ ) + α 2 ( a0 + a cos φ ) 3 ] cos φ dφ = P0ω 2 cosψ
P0ω 2
0.5
{[α + 0.75α a
1 2
2
− ω 2 + ( μ1 + 0.25μ 2 a 2 ) 2 ω 2
]
P0ω 2
（12）
2
}
0.5
tgψ =
Baidu Nhomakorabea− ( μ1 + 0.25μ 2 a 2 ) α 1 + 0.75α 2 a 2 − ω 2
（13）
对于定加速度扫频， （12）式中 P0ω 2 = h(ω ) = 常数 ，只与基础控制加速度值相关。在