立体几何知识点和例题讲解

立体几何知识点和例题讲解（高二）

一、知识点

1.夹角公式 ：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉

.

2．异面直线所成角：cos |cos ,|a b θ==

21

||

||||

a b a b x ⋅=

⋅+（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,

所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量） 3.直线AB 与平面所成角：sin

||||

AB m

arc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).

4.空间四点A 、B 、C 、P 共面OC z OB y OA x OP ++=⇔，且 x + y + z = 1

5.二面角l αβ--的平面角

cos

||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||

m n

arc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.

6.异面直线间的距离： ||

||

CD n d n ⋅=

(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).

7.点B 到平面α的距离：||

||

AB n d n ⋅=

（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 〈二〉温馨提示：

1.直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时它们各自的取值范围？ ① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面

角的取值范围依次

.

② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的

取值范围依次是

．

二、题型与方法

【考点透视】

不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成。 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。 【例题解析】

考点1 点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 例1如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．

（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；

（Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小；（Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．

ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．

在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ．

取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，

(110)D -，，，1(023)A ，，，(003)A ，，，1(120)B ，，，1(123)AB ∴=-，，，(210)BD =-，，，1(1

23)BA =-，，．

考点2 异面直线的距离

此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离.

例2已知三棱锥ABC S -，底面是边长为24的正三角形，棱SC 的长为2，且垂直于底面.D E 、分别为AB BC 、的中点，求CD 与SE 间的距离. 思路启迪：由于异面直线CD 与SE 的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离.

小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程. 考点3 直线到平面的距离

此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化. 例3． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离.

思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解

B

A

C

D

O

G

H 1

A 1

C 1D

1

B 1O

析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.

考点4 异面直线所成的角

此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点.

例4、如图，在Rt AOB △中，π6

OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过

Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是

AB 的中点．

1求证：平面COD ⊥平面AOB （2）求异面直线AO 与CD 所成角的余弦值。． 思路启迪：关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内.

．建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，

，(00A ，，(200)C ，，

，D

，(00OA ∴=，

，(CD =-， cos OA CD OA CD OA CD

∴<>=

，6322

=

=

．

考点5 直线和平面所成的角

此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考内容.

例5. 四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD

．已知45ABC =∠，2AB

=，

BC =SA SB ==

（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．

x D

B

C

S