高中数学解题方法

高中数学解题方法

数学是研究现实世界中空间形式和数量关系的科学.数和形是数学中最基本的两大概念，也是整个数学发展过程中的两大柱石，而数和形是相互联系，也是可以相互转化的.把问题的数量关系与空间形式结合起来考察，或者把数量关系转化成图形的性质问题，或者把图形的性质转化成数量关系问题，这种处理问题的思想与方法就是数形结合的思想方法.其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.

数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取“胸中有图，见数想图”，以开拓自己的思维视野.

纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”.

以下就对“以形助数”试做一番探讨：

一、与方程的根有关的问题

例1.若关于x的方程x2+2kx+3k=0的两根都在-1和3之间，求k 的取值范围.

分析：令f（x）=x2+2kx+3k，其图像与x轴的交点的横坐标就是方程f（x）=0的根，由y=f（x）的图像可知，要使两根都在-1，3之间，只需f（-1）>0，f（3）>0，f（-b2a）=f（-k）a.1个 b.2个 c.3个 d.1个或2个或3个

分析：判断方程的根的个数等价于判断图像y=a|x|与y=|logax|的图像交点个数，出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（b）.

二、与不等式有关的问题

例3.解不等式x+2>x.

解：令y1=x+2，y2=x，则不等式x+2>x的解，就使y1=x+2在y2=x 的上方的那段对应的横坐标，如图，不等式的解集为{x|xa≤x1，两函数图象如图1所示，显然当x∈（1，2）时，

图1 图2

要使y1若0三、与函数有关的问题

例5.求函数u=2t+4+6-t的最值.

分析：由于等号右端根号内同为t的一次式，故作简单换元

2t+4=m，无法转化求出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元.

解：设x=2t+4，y=6-t，则u=x+y

且x2+2y2=16（0≤x≤4，0≤y≤22）所给函数化为以u为参数的直线方程y=-x+u，它与椭圆x2+2y2=16在第一象限的部分（包括端

点）有公共点（如图），umin=22.

相切于第一象限时，u取最大值

y=-x+ux2+2y2=163x2-4ux+2u2-16=0

解δ=0，得u=±26，取u=26∴umax=26

例6.求函数y=x2+1+x2-4x+8的最小值.

分析：考察式子特点，从代数的角度求解，学生的思维受阻，这时利用数形结合为转化手段，引导学生探索函数背后的几何背景，巧用两点间距离公式，可化为

x2+1+x2-4x+8=（x-0）2+（0-1）2+（x-2）2+（0-2）2令a（0，1），b（2，2），p（x，0），则问题转化为在x轴上求一点p，使pa+pb 有最小值（如图）.由于ab在x轴同侧，故取a关于x轴的对称点c（0，-1），故（pa+pb）min=（0-2）2+（-1-2）2=13

例7.求函数y=sinx+2cosx-2的值域.

解法一（代数法）：则y=sinx+2cosx-2得ycosx-2y=sinx+2，sinx-ycosx=-2y-2，y2+1sin（x+φ）=-2y-2∴sin（x+φ）

=-2y-2y2+1，而|sin（x+φ）|≤1∴|-2y-2y2+1|≤1，解不等式得-4-73≤y≤-4+73

∴函数的值域为[-4-73，-4+73].

解法二（几何法）：y=sinx+2cosx-2的形式类似于斜率公式

y=y2-y1x2-x1，y=sinx+2cosx-2表示过两点p0（2，-2），p（cosx，sinx）的直线斜率。由于点p在单位圆x2+y2=1上（如图），显然，kp0a≤y≤kp0b，设过p0的圆的切线方程为y+2=k（x-2），

则有|2k+2|k2+1=1，解得k=-4±73即kp0a=-4-73，kp0b=-4+73 ∴-4-73≤y≤-4+73 ∴函数的值域为[-4-73，-4+73].

四、与解析几何有关的问题

例8.已知x，y满足x216+y225=1，求y-3x的最大值与最小值. 分析：对于二元函数y-3x在限定条件x216+y225=1下求最值问题，常采用构造直线的截距的方法来求之.

解：令y-3x=b，则y=3x+b，原问题转化为：在椭圆x216+y225=1上求一点，使过该点的直线斜率为3，且在y轴上的截距最大或最小，由图可知，当直线y=3x+b与椭圆x216+y225=1相切时，有最大截距与最小截距.

y=3x+bx216+y225=1169x2+96bx+16b2-400=0

由δ=0，得b=±13，故y-3x的最大值为13，最小值为-13.

此外，还有斜率型y-bx-a，距离型（x-a）2+（y-b）2.

例9.若集合m=（x，y）x=3cosθy=3sinθ（0<θ<π），集合n={（x，y）|y=x+b}

且m∩n≠，则b的取值范围.

分析：m={（x，y）|x2+y2=9，0

五、与复数有关的问题