三角函数辅助角公式化简

三角函数辅助角公式化简
一、解答题
1．已知函数，
（1）求的对称中心；
（2）讨论在区间上的单调性.
2．已知函数.
（1）将化简为的形式，并求最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值.
3．已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的单调递增区间及最大值与最小值．
4．设函数.
（1）求函数的最小正周期及最大值；
(2)原问题等价于，结合函数的图象可得或，求解不等式可得a的取值范围为.
试题解析：
(1)f(x)＝2cosxcos(x－)－sin2x＋sinxcosx
＝cos2x＋sinxcosx－sin2x＋sinxcosx
＝cos2x＋sin2x
＝2sin，
∴T＝π.
(2)
画出函数在x∈的图像，由图可知或
故a的取值范围为.
试题解析:
解：（1）.
（2）法1：先将的图象向左平移个单位，再将所得图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，所得图象即为的图象.
法2：先将的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位，，所得图象即为的图象.
【解析】试题分析：
(1)整理函数的解析式可得，则函数的最小正周期为；对称轴方程为；
(2)结合函数的定义域和(1)中整理的函数的解析式可得函数的值域为.
试题解析：
（1）
由
函数图象的对称轴方程为
（2）
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时，取最大值1
又，当时，取最小值
所以函数在区间上的值域为
6．(1) (2)
试题解析：(Ⅰ)，所以最大值为，由，解得x=,r所以对称中心为：；
(Ⅱ)先求f(x)的单调增区间，由，解得，在上的增区间有和。
同理可求得f(x)的单调减区间，，在上的减速区间有.
递增区间：和；递减区间：.
10．（1）；（2）的取值范围为
【解析】试题分析：
(1)由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系整理函数的解析式为：f(x)＝2sin，结合三角函数的周期公式可知T＝π.
试题解析：（1），最小正周期为，
∴，令，即，
∴的单调递增区间为.
（2）∵，∴，
整理得：，，，∵锐角三角形，∴且，
∴，∴，∴.
15．（Ⅰ）f（x）=sin（x+），；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（1）利用向量的坐标运算得到，再由f（-x）=f（x）可知函数f（x）的图象关于直线x=对称，所以+φ=+kπ，进而得到φ=，利用三角函数的性质求解单调区间即可；
【解析】试题分析：利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，根据正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为0，从而角的终边在x轴上；（2）首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间．
试题解析：1）由已知
令，得，对称中心为，.
（2）令，
得，,增区间为
试题解析：解：（1）向量=（2cos，sin），=（cos，2cos），（ω＞0），
则函数f（x）=•=2cos2+2sin•cos=cosωx+1+sinωx=2sin（ωx+）+1，
∵f（x）的最小正周期为π，
∴π=．解得ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+）+1；
（2）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
（2），∴，再由余弦定理得.
化简可得：
.
（1）由，.
得：.
∴函数的单调增区间为，.
（2）∵，即.
∴.
可得，.
∵，
∴.
由，且的面积为，即.
∴.
由余弦定理可得：.
∴.
13．(1), (2)a最小值为1.
【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式和两角和差公式将原式子化一；（2）由得
到，；由余弦定理得最小为1；
令h（x）=sinx-cosx=sin（x-），x∈[0，]；
φ（x）= ax-1
如下图：h（x）的图象在φ（x）图象的下方，
则：a ≥kAB==，故.
16．（1）f（x）=2sin（2x+）+1；（2）单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．
【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积得函数关系式，再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求（2）根据正弦函数性质列不等式：，再解不等式可得增区间
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求f（x）的单调递增区间．
17．已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）如何由函数的通过适当图象的变换得到函数的图象，写出变换过程;
（3）若，求的值.
18．已知函数
（1）求函数在上的单调递增区间；
（2）若且，求的值。
19．已知，
（1）求函数的单调递增区间；
【解析】试题分析：（1）由和差角公式及二倍角公式化简得：，进而得最小正周期；
（2）由可得增区间；
（3）由得，根据正弦函数的图象可得最值.
试题解析：
(1)
.
的最小正周期.
（2）由
解得
函数的单调递增区间为
(3)
ห้องสมุดไป่ตู้当时，，
当时，，.
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则
（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
（1）
=
的最大值为2．
要使取最大值,
故的集合为.
（2）,
化简得,
，只有
在中，由余弦定理，,
由当时等号成立，最小为1.
点睛：（1）要求三角函数的最值，就要化成，一次一角一函数的形式；
（2）巧妙利用三角函数值求得角A，再利余弦定理得边的关系，得到最值；
14．（1）（2）
【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数周期性质求，并根据单调性性质求单调增区间（2）先根据正弦定理将边化为角，由诱导公式及两角和正弦公式化简得，即得，根据锐角三角形得A取值范围，根据正弦函数性质求的取值范围.
当，即时，.
3．(1) (2)最大值为-2，最小值为1．
【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得，根据求周期；（2）先求出函数的单调递增区间，再求其与区间的交集即可；根据的取值范围确定函数在上的最大值与最小值。
试题解析：
（1）
．
所以的最小正周期．
（2）令，函数的单调递增区间是，．
由，得，．
设，，易知．
11．（1）（2）
【解析】试题分析：（1）由三角恒等变换化简得，由可解得增区间(2)由得，，由余弦定理得，即即得
试题解析：
（1）由题意知，
由可得
所以函数的单调递增区间是
（2）由得，又为锐角，所以.
由余弦定理得：，即，
即，而，所以
12．(1)函数的单调增区间为；(2) .
【解析】试题分析：（1）由化一公式得，，得结果；
（2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值.
13．设函数.
（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；
（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值.
14．已知，其中，若的最小正周期为.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）锐角三角形中，，求的取值范围.
15．已知=（sinx，cosx），=（cosφ，sinφ）（|φ|＜）．函数
令，
得，,增区间为
上的增区间为，减区间为.
2．（1），；（2）时，，时，.
【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得，由周期公式可得答案；（2）由x的范围可得的范围，可得f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值．
试题解析：
（1）
所以.
（2）因为，所以
所以，所以，
当，即时，，
【解析】试题分析：(1)，令解得x即可(Ⅱ)求在上的单调区间，则令解得x,对k赋值得结果.
试题解析：
(Ⅰ)
令，得，
故所求对称中心为
(Ⅱ)令，解得
又由于，所以
故所求单调区间为.
点睛：三角函数的大题关键是对f(x)的化简，主要是三角恒等变换的考查，化简成类型，把wx+看成整体进行分析.
7．（1）；（2）单调递增区间为；（3），.
试题解析：（1）
（2）令，解得（）
∵，∴在区间上单调递增，在区间上单调递减.
9．(Ⅰ)最大值为，对称中心为：；(Ⅱ)递增区间：和；递减区间：.
【解析】试题分析：（1）由正弦的倍角公式和降幂公式，f(x)可化简为，可知最大值为2，对称中心由，解得x可求。（2）先求得f(x)最大增区间与减区间，再与做交，即可求得单调性。
即﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．
17．（1）（2）见解析（3）
【解析】试题分析：（1）直接由函数图象求得和周期，再由周期公式求得ω，由五点作图的第三点求；
（2）由先平移后改变周期和先改变周期后平移两种方法给出答案；
（3）由求出，然后把转化为余弦利用倍角公式得答案．
∴+φ=+kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=
∴f（x）=sin（x+），
由2kπ-≤ x+≤2kπ+可得2kπ-≤x≤ 2kπ+，
∴函数的递增区间为[2kπ-，2kπ+]，k∈Z；
（Ⅱ）由图象平移易知g（x）=sinx，即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0，]上恒成立．
也即sinx-cosx≤ax-1在x∈[0，]上恒成立.
（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.
8．（1）（2）在区间上单调递增，在区间上单调递减.
【解析】试题分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得的最小正周期；（2）根据正弦函数性质求上单调区间，即得在区间上的单调性.
23．已知函数.
（1）求函数的递减区间；
（2）当时，求函数的最小值以及取最小值时的值.
24．已知函数.
（1）求函数的对称中心和单调递减区间；
（2）若将函数图象上每一点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变），然后把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的表达式.
参考答案
1．（1）对称中心为，；（2）增区间为，减区间为.
（2）讨论在区间上的单调性.
9．已知函数，
（I）求的最大值和对称中心坐标；
(Ⅱ)讨论在上的单调性。
10．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)若关于的方程在上有两个不同的实根，求实数的取值范围.
11．设.
(1)求的单调递增区间；
(2)锐角中，角的对边分别为，若，，，求的值.
12．已知函数.
（1）求函数的单调增区间；
所以，当时，在区间上单调递增。
∵，
∴，
∴，
∴
∴最大值为2，最小值为-1．
点睛：解题的关键是将函数化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式后，把ωx＋φ看成一个整体去处理，特别是在求单调区间的时候，要注意复合函数单调性规律“同增异减”，如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
（2）将f（x）的图象向右平移单位得g（x）= sinx，即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0，]上恒成立，利用数形结合分别研究h（x）=sinx-cosx和φ（x）= ax—1即可.
试题解析：
（Ⅰ）∵f（x）=•=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），
再由f（-x）=f（x）可知函数f（x）的图象关于直线x=对称，
（2）求函数的单调递增区间.
5．已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的值域.
6．已知函数.
(Ⅰ)求函数的对称中心；
(Ⅱ)求在上的单调区间.
7．已知函数，求
（1）求的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间
（3）求在区间上的最大值和最小值.
8．设函数.
（1）求的最小正周期；
（2）设△ABC的内角A满足，而，求边BC的最小值．
20．已知函数
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）讨论在上的单调性．
21．已知，求：
（1）的单调增区间；
（2）当时，求的值域.
22．已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.
（1）求的值；
（2）函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.
f（x）=•且f（－x）=f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递增区间；
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移单位得g（x）的图象，若g（x）+1≤ax+cosx在x∈[0，]上恒成立，求实数a的取值范围．
16．已知向量=（2cos，sin），=（cos，2cos），（ω＞0），设函数f（x）=•，且f（x）的最小正周期为π．
4．（1），最大值为1（2）
【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期及最大值；（2）根据正弦函数性质列不等式，解得函数的单调递增区间.
试题解析：解：
（1）
当
即时
取最大值为1
（2）令
∴的单调增区间为
5．(1)答案见解析；(2) .