24.6 正多边形与圆(第1课时)-课件
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《正多边形和圆》课件
总结词
丰富多样的设计元素
详细描述
正多边形和圆的几何特性使得它们在视觉上具有独特的冲 击力。通过巧妙地运用正多边形和圆，可以创造出引人注 目的视觉效果，吸引人们的注意力。
详细描述
正多边形和圆作为基本的几何图形，在几何图形设计中有 着广泛的应用。它们可以单独使用或组合使用，创造出丰 富多样的设计元素，如标志设计、图案设计、图标设计等 。
。
圆的基本性质
01
02
03
圆心角与弧的关系
在同一个圆或等圆中，相 等的圆心角所对的弧相等 ，相等的弧所对的圆心角 相等。
弦与直径的关系
在同一个圆或等圆中，弦 的垂直平分线必经过圆心 ，经过圆心的弦是直径。
直径与半径的关系
在同一个圆或等圆中，直 径是半径的两倍，半径是 直径的一半。
圆的分类
按照半径的大小分类
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
《正多边形和圆》ppt课件
• 正多边形的定义和性质 • 圆的定义和性质 • 正多边形和圆的关系 • 正多边形和圆的实际应用
目录
CONTENTS
01
正多边形的定义和性质
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
正多边形和圆在日常生活中的应用
总结词
日常用品的设计
详细描述
交通工具的设计中也会经常运用到正多边形和圆。例如， 汽车、火车、飞机等交通工具的外形、轮毂、仪表盘等部 位都会涉及到正多边形和圆的应用。
详细描述
正多边形和圆在日常生活中有着广泛的应用。例如，一些 日常用品的形状、图案或纹理中会运用到正多边形和圆， 如餐具、服饰、家居用品等。
详细描述
正多边形和圆PPT课件
一共吃了多少只虫子？
易错辨析（选题源于《典中点》）
4．填表。
加数 加数
和
23 36 40 50
63 86
59 30 20 27
79 57
辨析：求和用加法，求加数用和减另一个加数。
小试牛刀（源于《典中点》） 1．想一想，填一填。
32＋40＝ 72 先算：30 ＋40 ＝ 70 再算：2 ＋ ＝70 72
感悟新知
知2－练
1 (西宁)一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能
完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( A )
A．12 mm
B．12 3 mm
C．6 mm
D．6 3 mm
感悟新知
知识点 3 正多边形的作图
正多边形和圆有什么关系？ 你能借助圆画一个正多边形吗？
知3－讲
感悟新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形． 知3－讲
作OP⊥BC,垂足为P.
在Rt△OPC中，OC=4 m，
PC=
BC 2
4 2
=2（m）,利用勾股定理，
可得边心距r= 42 22 2 3(m).
亭子地基的面积S= 1 lr 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
感悟新知
知2－讲
正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？ 正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？
第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
24.3 正多边形和圆
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
正多边形的有关概念 正多边形的有关计算 正多边形的作图
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
观察下列图形他们有什么特点？
感悟新知
2正多边形与圆(第1课时)课件
如果是,那么对称轴有几条?这些对 称轴的散布有什么特点?
当n为奇数时,
操作并视察:
n=3时, 有三条对称轴
n=5时, 有五条对称轴
n=7时, 有七条对称轴
一个正n边形,当n为奇数时,它有n条对称轴, 各边的垂直平分线都是它们的对称轴.
当n为偶数时,
操作并视察:
n=4时, 有四条对称轴
n=6时, 有六条对称轴
基本概念
E
D
中心角 360
n AOG BOG 180
n
边心距r R2（ a）2 ， 2
中心角
F
.O
.
C
R
a
r
a
2
AGB
面积S
1 2
L
•
边sin心18距0 （r） n
1 2
ncao•s边18心0 距 （r） n
tan 180 n
cot 180 n
如果正n边形的边数给定，已知它的边长、半径、边心距 中的任意一项，都可以求出其它各项.最终，转化成解直 角三角形的问题.
P
HB
O
H
O
G
C
E
Hale Waihona Puke BON M
E Q
CM D
C ND
作每个正多边形的边心距，又有什么规律？
边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个直角 三角形，这些直角三角形也是全等的．
视察：正三角形绕着它的中心每旋转多少度可以与它自身 重合？正方形呢？正六边形呢？他们具有怎样的旋转对称 性？
正三角形绕着它的中心每旋转120度可以与它自身重合.正方形 绕着它的中心每旋转90度可以与它自身重合.正六边形绕着它的 中心每旋转60度可以与它自身重合.
当n为奇数时,
操作并视察:
n=3时, 有三条对称轴
n=5时, 有五条对称轴
n=7时, 有七条对称轴
一个正n边形,当n为奇数时,它有n条对称轴, 各边的垂直平分线都是它们的对称轴.
当n为偶数时,
操作并视察:
n=4时, 有四条对称轴
n=6时, 有六条对称轴
基本概念
E
D
中心角 360
n AOG BOG 180
n
边心距r R2（ a）2 ， 2
中心角
F
.O
.
C
R
a
r
a
2
AGB
面积S
1 2
L
•
边sin心18距0 （r） n
1 2
ncao•s边18心0 距 （r） n
tan 180 n
cot 180 n
如果正n边形的边数给定，已知它的边长、半径、边心距 中的任意一项，都可以求出其它各项.最终，转化成解直 角三角形的问题.
P
HB
O
H
O
G
C
E
Hale Waihona Puke BON M
E Q
CM D
C ND
作每个正多边形的边心距，又有什么规律？
边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个直角 三角形，这些直角三角形也是全等的．
视察：正三角形绕着它的中心每旋转多少度可以与它自身 重合？正方形呢？正六边形呢？他们具有怎样的旋转对称 性？
正三角形绕着它的中心每旋转120度可以与它自身重合.正方形 绕着它的中心每旋转90度可以与它自身重合.正六边形绕着它的 中心每旋转60度可以与它自身重合.
24.3.正多边形和圆课件PPT(共22张)
24.3 正多边形(zhèngduōbiānxíng) 和圆
点击页面即可演示
第1页，共22页。
观察下列图形它们有什么(shén 特 me) 点？
第2页，共22页。
三条边相等,
四条边相等,四
正三 三个角相等 角形 (60°).
正方形 个角相等 (90°).
一、正多边形的定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做(jiàozuò)正多边 形.
边形ABCDE的 内切圆的半径(bànjìng). D
7.∠AOB叫做正五边形
ABCDE的 中心角,
它的度数是 72°.
E
C
.O
AF
B
第12页，共22页。
8.图中正(zhōnɡ zhènɡ)六边形ABCDEF的中心角∠是AOB
它的度数是 60°
9.你发现正六边形
ABCDEF的半径
与边长具有什么
数量关系?
第5页，共22页。
A
D
B
C
弧相等
弦相等 (多边形的边相等 ) (xiāngděng)
(xiāngděng)
圆周角相等(多边形的角相等)
—多边形是正多边形
第6页，共22页。
A
E B
H D
G
C
弧相等
F
全等三角形
边相等
(xiāngděng)
角相等
多边形是正多边形
第7页，共22页。
定理：
把圆分成n(n≥3)等份： ⑴依次连接各分点所得(suǒ dé)的多边形是这个圆 的
相等
E F
D
.O
C
A
B
第13页，共22页。
判断题
①各边都相等的多边形是正多边形.( ) ×
点击页面即可演示
第1页，共22页。
观察下列图形它们有什么(shén 特 me) 点？
第2页，共22页。
三条边相等,
四条边相等,四
正三 三个角相等 角形 (60°).
正方形 个角相等 (90°).
一、正多边形的定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做(jiàozuò)正多边 形.
边形ABCDE的 内切圆的半径(bànjìng). D
7.∠AOB叫做正五边形
ABCDE的 中心角,
它的度数是 72°.
E
C
.O
AF
B
第12页，共22页。
8.图中正(zhōnɡ zhènɡ)六边形ABCDEF的中心角∠是AOB
它的度数是 60°
9.你发现正六边形
ABCDEF的半径
与边长具有什么
数量关系?
第5页，共22页。
A
D
B
C
弧相等
弦相等 (多边形的边相等 ) (xiāngděng)
(xiāngděng)
圆周角相等(多边形的角相等)
—多边形是正多边形
第6页，共22页。
A
E B
H D
G
C
弧相等
F
全等三角形
边相等
(xiāngděng)
角相等
多边形是正多边形
第7页，共22页。
定理：
把圆分成n(n≥3)等份： ⑴依次连接各分点所得(suǒ dé)的多边形是这个圆 的
相等
E F
D
.O
C
A
B
第13页，共22页。
判断题
①各边都相等的多边形是正多边形.( ) ×
九年级数学上册第二十四章《正多边形和圆(第1课时)》课件
如图所示，正五边形ABCDE内接于⊙O，则
∠ADE的度数是 （ C ）
A．60°
B．45°
A
C． 36°
D． 30° B O · E
C
D
探究新知
24.3正多边形和圆/
方法归纳 ：圆内接正多边形的辅助线
F
E
A
O·
D
rR
BMC
O
半径R
中心角一半 边心距r
M C
边长一半
1.连半径，得中心角；
2.作边心距，构造直角三角形.
O
D
PC
探究新知
24.3正多边形和圆/
解：过点O作OM⊥BC于M.
在Rt△OMB中,OB＝4,
MB＝B2C
4 2， 2
利用勾股定理,可得边心距
r 42 22 2 3.
亭子地基的面积：
S 1 l r 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
F
E
A
O
4m
D
r
B MC
巩固练习
24.3正多边形和圆/
素养目标
24.3正多边形和圆/
3. 会应用正多边形和圆的有关知识解决实际 问题.
2. 理解并掌握正多边形半径、中心角、边心 距、边长之间的关系.
1. 了解正多边形和圆的有关概念.
探究新知
24.3正多边形和圆/
知识点 1 正多边形的对称性
问题1 什么叫做正多边形？
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？ 为什么？
24.3正多边形和圆/
3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似
看作为正七边形，则一个内角为
《正多边形与圆》PPT课件 (公开课获奖)2022年沪科版 (1)
结论：n边形的外角和等于360°
1．十边形的内角和为1440 度，正八 边形的内角和为 1080 度．
2．多边形的边数增加1，内角和就 增加180 度；多边形的边数由7增加 到10，内角和增加540 度．
3．已知一个多边形的内角和为 1620°，则它的边数为11 ．
4．每个内角都是108°的多边形是 5 边形．
正三角形 正四边形 正五边形 (或正三边形) (或正四边形)
正六边形
正八边形
如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么
这样的多边形就叫做正多边形． 如正三角形、正四
边形（正方形）、正五边形等等．
探究发现
n边形外角和是多少度？
外角和=n个平角-内角和
=n×180°-(n-2) × 180° =360 °
想一想：n 边形的外角和是多少 度呢？（n 的值是不小 于3的任意正整数）
n边形的外角和= n ×180°－ （n－2）×180°
=2×180°
=360° 由此可得：
多边形的外角和都等于 360°（与边数无关）
智慧小屋 动动脑筋？
有一张长方形的桌面，它的 四个内角和为360°，现在 锯掉它的一个角，剩下残余 桌面所有的内角和是多少？ 有几种情况？
３、边数是偶数的正多边形还是中心对称 图形，它的中心就是对称中心。
A
A
D
B
C
B
C
弦相等（多边形的边相等） 弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
证明：∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A ∴AB=BC=CD=DE=EA ∵B⌒CE=C⌒DA=3A⌒B
∴∠1=∠2
同理∠2=∠3=∠4=∠5
24.6 正多边形与圆 (第1课时)
1．十边形的内角和为1440 度，正八 边形的内角和为 1080 度．
2．多边形的边数增加1，内角和就 增加180 度；多边形的边数由7增加 到10，内角和增加540 度．
3．已知一个多边形的内角和为 1620°，则它的边数为11 ．
4．每个内角都是108°的多边形是 5 边形．
正三角形 正四边形 正五边形 (或正三边形) (或正四边形)
正六边形
正八边形
如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么
这样的多边形就叫做正多边形． 如正三角形、正四
边形（正方形）、正五边形等等．
探究发现
n边形外角和是多少度？
外角和=n个平角-内角和
=n×180°-(n-2) × 180° =360 °
想一想：n 边形的外角和是多少 度呢？（n 的值是不小 于3的任意正整数）
n边形的外角和= n ×180°－ （n－2）×180°
=2×180°
=360° 由此可得：
多边形的外角和都等于 360°（与边数无关）
智慧小屋 动动脑筋？
有一张长方形的桌面，它的 四个内角和为360°，现在 锯掉它的一个角，剩下残余 桌面所有的内角和是多少？ 有几种情况？
３、边数是偶数的正多边形还是中心对称 图形，它的中心就是对称中心。
A
A
D
B
C
B
C
弦相等（多边形的边相等） 弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
证明：∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A ∴AB=BC=CD=DE=EA ∵B⌒CE=C⌒DA=3A⌒B
∴∠1=∠2
同理∠2=∠3=∠4=∠5
24.6 正多边形与圆 (第1课时)
24.6 正多边形与圆 第1课时 课件 沪科版数学九年级下册
提示
多边形的内角和=(n–2)180° 正多边形的每个内角= (n 2) 180
n
解：(1) 108°，72°； (2) 135°，45°； (3) 150°，30°.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
2. 用两种方法作已知⊙O的内接正八边形.
方法一
C
B
D
360=45 A
探究 如何在圆中作正四边形？
用尺规等分圆周
如图，用直尺和圆规作⊙O 的两条互相垂直的直径(先任意画 一条直径，再利用圆规作出直径 的垂直平分线)，就可以把⊙O分 成4等份，顺次连接各分点即可作 出正四边形.
在正四边形的基础上，我们再逐次平分各边所对 的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
求证：五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
证明：连接OA，OB，OC，则
B O
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. ∵ TP，PQ，QR分别是以点A，B，C 为切点的⊙O的切线. ∴ ∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
Q C R
∴ ∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB. 又 ∵ AB BC ， ∴ AB=BC.
A
B
小组合作
1.独立思考，作出图形；
2.两人一组，交流作法.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
【例】如图，在一个半径为2 cm的圆中，作出它的内接
正六边形.
用量角器等分圆周
作法： (1) 任意画一条半径；
(2) 用量角器画一个60°的圆心角， 得到它所对的弧；
(3) 用圆规在圆上依次截取与这条弧相 等的弧，得到圆的六等份点；
多边形的内角和=(n–2)180° 正多边形的每个内角= (n 2) 180
n
解：(1) 108°，72°； (2) 135°，45°； (3) 150°，30°.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
2. 用两种方法作已知⊙O的内接正八边形.
方法一
C
B
D
360=45 A
探究 如何在圆中作正四边形？
用尺规等分圆周
如图，用直尺和圆规作⊙O 的两条互相垂直的直径(先任意画 一条直径，再利用圆规作出直径 的垂直平分线)，就可以把⊙O分 成4等份，顺次连接各分点即可作 出正四边形.
在正四边形的基础上，我们再逐次平分各边所对 的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
求证：五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
证明：连接OA，OB，OC，则
B O
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. ∵ TP，PQ，QR分别是以点A，B，C 为切点的⊙O的切线. ∴ ∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
Q C R
∴ ∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB. 又 ∵ AB BC ， ∴ AB=BC.
A
B
小组合作
1.独立思考，作出图形；
2.两人一组，交流作法.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
【例】如图，在一个半径为2 cm的圆中，作出它的内接
正六边形.
用量角器等分圆周
作法： (1) 任意画一条半径；
(2) 用量角器画一个60°的圆心角， 得到它所对的弧；
(3) 用圆规在圆上依次截取与这条弧相 等的弧，得到圆的六等份点；
《正多边形和圆》PPT课件
B
O
O
B
CB
C
O C
A
F
E
B
E
O
D
C
D
每个正多边形的半径，分别将它们分割成什么 样的三角形？它们有什么规律？
正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等 腰三角形．
A
A
EO D
F
B
F
CB
E
D
A
G
F
A GF
H
PHBOHOGC
E
B
O
N M
E Q
CM D
C ND
作每个正多边形的边心距，又有什么规律？
边心距又把这n个等腰三角形分成了2n个直角 三角形，这些直角三角形也是全等的．
F
O C
A GB
学以致用：有一个亭子,它的地基半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积(精确到 0.1m2).
解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等 于360 60 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长
6
等于它的半径.
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中,OBC2C=424, 2P，C= F
正多边形的中心角等于 360 。 正多边形的中心角与外角度数相等
３.正三角形的内切圆与外接圆的半径之比 1:2
４.已知正方形的内切圆半径r＝1，则这个正方形
的外接圆面积S= 2
.
５.有一边长为4的正n边形，它的一个内角为1200，其
内切圆半径为 2 3 .
1.如图：圆内接正五边形ABCD中，对角线AC与BD相
正多边形的性质及对称性
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
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正 七 边 形 近 似 画 法 欣 赏
高斯19岁时运用高超的三角函数技巧证明了正十七边形可以尺规作图（这 是当时悬而未决两千年的尺规作图难题 ），并给出了正n边形能否尺规作图 的判定法：如果n为2的k次方和任意费马素数（形如2^(2^n)+1的素数，目 前只有3、5、17、257和655375，共5个）的乘积，正n边形就能尺规作图 。 但是他本人并没有给出做法，是数学家Johannes Erchinger（名不见经 传）在1825年首次解决了这一问题。
正 十 七 边 形 画 法 欣 赏
高斯的二次同余论证明了正65537边形能够尺规作图，但人 心都是肉长的，谁都知道如果真的去解决这一难题该是多么 摧残身心。可德国的数学家Johann Gustav Hermes就是不 怕死 ，他用10年心血解出了正65537边形的尺规作 图法并于1894年发表，手稿装了一皮箱，目前保管在哥廷根 大学。如果要画出正65537边形及其外接圆，并使边和圆周 之间的最大距离为1mm的话，这个圆的半径要超过870公里 ，实际上在16k纸上画完图之后根本看不出那个多边形—— 画面中央的“小句号”。
A B O E
⌒ ＝ ＢＣ ⌒ ⌒ ＝ＣＤ ⌒ ＝ＥＡ ⌒ ＝ＤＥ ∵ ＡＢ
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
ＢＣＥ
⌒
⌒ ⌒ ＝ ＡＢ ＝ ＣＤＡ
·
D
∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上, ∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形 ABCD的外接圆.（圆外切正五边形证明参见书P48页）
三、课堂练习： 1、判断题。 ①各边都相等的多边形是正多边形。（× ） ②一个圆有且只有一个内接正多边形.（× ） 2、证明题。 求证：顺次连结正六边形 各边中点所得的多
B C D E A F
边形是正六边形。
3、完成课后练习
1、正多边形的概念、正多边形与圆的关系 2、正多边形的对称性。
P52页 第4.5.6.7题
想一想：
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？ 为什么？
注：各边相等与各角相等必须同时成立，否则不
一定是正多边形。
用量角器作正多边形，探索正多边形与圆 的内在联系.
如果我们以正多边形对应顶点的连线的交点 作为圆心,交点到顶点的连线为半径作一个圆.很明 显, 这个正多边形的各个顶点都在这个圆上. 如图, 正方形ABCD，连结AC、BD交于点O，以O为圆 心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、D都在这个 圆上． A D
沪科版九年级数学（下册）24· 5
24.6 正多边形与圆 （第1课时）
滁州实验中学
孙璐璐 赵孝庆 许文 周万夫
观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？
归纳： 正多边形： 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这 个正多边形叫做正n边形。
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观察下列生活图片，你能说出这些图片中包含的正多 边形吗？
B
C
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆 分成相等的一些弧,依此连接弧的端点就可以作出 这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形 的外接圆. 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的的交点 为顶点的多边形是圆的外切正多边形。
A
B
。
E
C
D
我们以圆内接正五边形为例证明.
如图,把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各等分点 得到五边形ABCDE.
C
利用直尺与圆规作特殊的正多边形
正 三 角 形 画 法
利用直尺与圆规作特殊的正多边形
正 四 边 形 画 法
利用直尺与圆规作特殊的正多边形
D
正 五 边 形 画 法
A N
M
B
C
利用直尺与圆规作特殊的正多边形
正 六 边 形 画 法
标准的尺规作图不能用刻度尺，在此限制下不能做出正七边形，但是如果尺 子有两个刻度，即二刻尺作图，又叫做纽西斯作图法（neusis construction），不但能作正七边形，还能三等分角，做出倍立方香炉。然 而在古典几何里，使用二刻尺犹如比武用枪，是三流的招数（二流招数是使 用圆锥曲线的作图法），所以使用不多。这里的是一种标准尺规作图的近似 解，误差小于0.00013%。