中考数学总复习 基础讲练 第10讲 一次函数(含答案点拨) 新人教版

考纲要求

命题趋势

1．理解一次函数的概念，会利用待定系数法确定一次函数的表达式． 2．会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质． 3．体会一次函数与二元一次方程的关系，能用一次函数解决简单实际问题.

一次函数是中考的重点，主要

考查一次函数的定义、图象、性质及其实际应用，有时与方程、不等式相结合．题型有选择题、填空题、解答题.

知识梳理

一、一次函数和正比例函数的定义

一般地，如果y ＝kx ＋b (k ，b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数．

特别地，当b ＝__________时，一次函数y ＝kx ＋b 就成为y ＝kx (k 是常数，k ≠0)，这时y 叫做x 的正比例函数．

二、一次函数的图象与性质 1．一次函数的图象

(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是经过点(0，b )和⎝

⎛⎭

⎪⎫－b

k

，0的一条直线． (2)正比例函数y ＝

kx (k ≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k )的一条直线．

(3)因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可．

函数 系数取值 大致图象 经过的象限 函数性质

y ＝kx (k ≠0)

k ＞0

______ y 随x 增大而增大

k ＜0

______ y 随x 增大而减小

y ＝kx ＋b (k ≠0)

k ＞0，b ＞0

______

y 随x 增大而增大

k ＞0，b ＜0

______

k ＜0，b ＞0

______

y 随x 增大而减小

k ＜0，b ＜0

______

y kx b 的图象可由正比例函数y kx b b 位；b ＜0，下移|b |个单位．

三、利用待定系数法求一次函数的解析式

因为在一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中有两个未知数k 和b ，所以，要确定其关系式，一般

需要两个条件，常见的是已知两点坐标P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)代入得⎩

⎪⎨⎪⎧

b 1＝a 1k ＋b ，

b 2＝a 2k ＋b ，求出k ，

b 的值即可，这种方法叫做__________．

四、一次函数与方程、方程组及不等式的关系 1．y ＝kx ＋b 与kx ＋b ＝0

直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标是方程kx ＋b ＝0的解，方程kx ＋b ＝0的解是直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标．

2．y ＝kx ＋b 与不等式kx ＋b ＞0

从函数值的角度看，不等式kx ＋b ＞0的解集为使函数值大于零(即kx ＋b ＞0)的x 的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x 轴上方时，y ＞0，因此kx ＋b ＞0的解集为一次函数在x 轴上方的图象所对应的x 的取值范围．

3．一次函数与方程组

两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．

自主测试

1．已知一次函数y ＝x ＋b 的图象经过一、二、三象限，则b 的值可以是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2

2．一辆汽车的油箱中现有汽油60升，如果不再加油，那么油箱中的油量y (单位：升)随行驶里程x (单位：千米)的增加而减小，若这辆汽车平均耗油量为0.2升/千米，则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是( )

3．一次函数y＝2x－1的图象经过点(a,3)，则a＝__________.

4．写出一个具体的y随x的增大而减小的一次函数解析式：__________.

5．某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元/克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元/克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．

(1)分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y(元)和重量x(克)之间的函数关系式；

(2)李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？

考点一、一次函数的图象与性质

【例1】已知关于x的一次函数y＝kx＋4k－2(k≠0)．若其图象经过原点，则k＝__________；若y随x的增大而减小，则k的取值范围是__________．

解析：∵一次函数图象经过原点，∴4k－2＝0，∴k＝1

2；

若y随x的增大而减小，则k＜0.

答案：1

2

k＜0

方法总结一次函数的k值决定直线的方向，如果k＞0，直线就从左往右上升，y随x 的增大而增大；如果k＜0，直线就从左往右下降，y随x的增大而减小；而b值决定直线和y轴的交点，如果b＞0，则与y轴的正半轴相交；如果b＜0，则与y轴交于负半轴；当b ＝0时，一次函数就变成正比例函数，图象过原点.

触类旁通1 已知一次函数y＝mx＋n－2的图象如图所示，则m，n的取值范围是( )

A．m＞0，n＜2 B．m＞0，n＞2

C．m＜0，n＜2 D．m＜0，n＞2

考点二、确定一次函数的解析式

【例2】如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A(－2，－1)，B(1,3)两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D.

(1)求该一次函数的解析式； (2)试求△DOC 的面积． 分析：求经过已知两点坐标的直线解析式，一般是按待定系数法步骤求得，又由于点C ，D 分别在x ，y 轴上，据其坐标特点可求出CO ，DO 的长．

解：(1)把A ，B 点代入得⎩

⎪⎨

⎪⎧

－1＝－2k ＋b ，

3＝k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧

k ＝4

3，b ＝5

3.

∴y ＝43x ＋5

3

.

(2)由(1)得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，0，D ⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，53，则OC ＝54，OD ＝53.∴△DOC 的面积＝12×54×53＝2524. 方法总结 用待定系数法求一次函数的步骤：①设出函数关系式；②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入函数关系式中，得到关于待定系数的方程(组)；③解方程(组)，求出待定系数的值，写出函数关系式．

触类旁通2 已知：一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过M (0,2)，N (1,3)两点． (1)求k ，b 的值；

(2)若一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴的交点为A (a,0)，求a 的值． 考点三、一次函数与方程(组)、不等式的关系

【例3】如图，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图象交于点P ，则根据图象可得二元一次方程组⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解是__________．

解析：如图所示，二元一次方程组⎩

⎪⎨

⎪⎧

y ＝ax ＋b ，y ＝kx 的解就是直线y ＝ax ＋b 与直线y ＝

kx 的交点，所以点P 的坐标就是方程组的解，即⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝－4，

y ＝－2.

答案：⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝－4，

y ＝－2

方法总结 两个函数图象的交点坐标，既满足其中一个函数的表达式，也满足另一个函

数的表达式，求函数图象的交点坐标，就是解这两个函数图象的表达式所组成的方程组的解，讨论图象的交点问题就是讨论方程组解的情况．

触类旁通3 如图，直线y 1＝kx ＋b 过点A (0,2)，且与直线y 2＝mx 交于点P (1，m )，则