§1 二重积分的概念

x
上的点均是D的外点 即 的外点; (2) i上的点均是 的外点; i ∩ D =
将属于直线网T的第 类 将属于直线网 的第(1)类 的第 小矩形的面积作和, 小矩形的面积作和,记为 sD (T ) 将属于直线网T的第 类 将属于直线网 的第(1)类 的第 与第(3)类小矩形的面积作 与第 类小矩形的面积作 和,记为 S D (T ) 则有 sD (T ) ≤ S D (T ) ≤ R 由确界原理可知: 由确界原理可知:
二,问题的提出
1. 曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积× 柱体体积 底面积× 底面积 特点: 特点:平顶
z = f ( x, y)
高
柱体体积=? 柱体体积 ? 特点:曲顶 特点:
D
曲顶柱体
曲顶柱体: 曲顶柱体:
以平面有界区域D为底, 以平面有界区域 为底, 为底 以曲面∑: 为顶, 以曲面 :z=f(x,y)为顶, 为顶 一般z=f(x,y)在D上连续. 上连续. 一般 在 上连续 侧面是柱面, 侧面是柱面, 该柱面以D为准线 为准线, 该柱面以 为准线, 母线平行于z轴 母线平行于 轴.
i =1
∑ f (ξ i ,ηi )σ i J < ε
n
则称函数f 称为f 则称函数 (x, y)在D上可积 数J称为 (x, y)在D上的二重 在 上可积,数 称为 在 上 积分. 积分 n
∫∫ f ( x , y )dσ = lim0 i∑1 f (ξ i ,ηi )σ i T → =
D
积 分 区 域
M i = sup f ( x, y ), mi = ( xinf σ f ( x, y ), (i = 1, , n) , y )∈
( x , y )∈σ i
i
S (T ) = ∑ M i σ i , s(T ) = ∑ mi σ i
i =1 i =1
n
n
属于分割T的上和 属于分割 的上和
属于分割T的下和 属于分割 的下和
一,平面图形的面积
为了研究定义在平面点集上二元函数的积分, 为了研究定义在平面点集上二元函数的积分, 首先讨论平面有界图形的面积. 首先讨论平面有界图形的面积. y 设平面图形D有界 设平面图形 有界, 有界
i
则存在一个矩形R,使得 则存在一个矩形 使得 D R D 为了考察D的面积 的面积, 为了考察 的面积,先用 一组平行于坐标轴的直线 分割D 网T分割 ,如图 分割 T的网眼(小矩形)i可 的网眼( 的网眼 小矩形) o 以分为三类: 以分为三类:(1) i上的点均是 内的点; 上的点均是D内的点 内的点; 上的点含有D的边界点 的边界点. (3) i上的点含有 的边界点.
五,二重积分的性质 (二重积分与定积分有类似的性质) 二重积分与定积分有类似的性质) 为常数时, 为常数时 性质1 性质 当k为常数时, ∫∫ kf ( x, y )dσ =k ∫∫ f ( x , y )dσ . D D
D
性质2 性质 ∫∫ [ f ( x, y ) ± g( x , y )]dσ = ∫∫ f ( x, y )dσ ± ∫∫ g( x, y )dσ D D 性质3 性质 对区域具有可加性 ( D = D1 + D2 ) ∫∫ f ( x, y )dσ = ∫∫ f ( x, y )dσ + ∫∫ f ( x, y )dσ .
o
x
D
y
(ξi ,ηi )
σ i
(1) 分割
z
z =f (x, y)
任意分割 D : σ i ( i = 1, 2 , , n )
(2) 作近似 任取 (ξ i , η i ) ∈ σ i
V i ≈ f (ξ i , η i ) σ i ( i = 1, 2 , ,n )
(3) 求和 V ≈ ∑ f ( ξ i ,ηi ) σ i
被 积 函 数
积 分 变 量
被 积 表 达 式
面 积 元 素 分 细 度 积 分 和
对二重积分定义的说明: 对二重积分定义的说明: (1) 二重积分的定义中,对闭区域的划分和介点选取 二重积分的定义中, 是任意的. 是任意的. (2) 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积; 当被积函数小于零时, 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积 的负值. 的负值 若位于xoy面上方柱体的体积为正值 面上方柱体的体积为正值; 若位于 面上方柱体的体积为正值; 位于xoy面下方柱体的体积为负值 面下方柱体的体积为负值, 位于 面下方柱体的体积为负值, 二重积分的几何意义是柱体的体积的代数和. 二重积分的几何意义是柱体的体积的代数和. 曲顶柱体体积 平面薄片的质量
V = ∫∫ f ( x , y )d σ
M = ∫∫ f ( x , y )d σ
D
D
(3) 与定积分相似 若函数f (x, y)在D上可积 可采用特殊 与定积分相似,若函数 在 上可积,可采用特殊 的分割,特殊的取点方式得一积分和的极限就为二重 的分割 特殊的取点方式得一积分和的极限就为二重 积分值. 积分值 二重积分的具体形式 在直角坐标系下用平行 于坐标轴的直线网来划分区 域D, , 则面积元素为
y
(3) (3) (1) (1) (1) (1)
(2) (2)
D
(1)
(2)
(3)
(3)
o
x
平面图形D的所有直线网的分割 对于平面图形 的所有直线网的分割T, 对于平面图形 的所有直线网的分割 , 数集{ sD (T )}有上确界 , { S D (T )}有下确界 . 记为 I D = sup{ sD (T )} 于是有
z = f ( x, y)
D
还有其他类型的柱面. 还有其他类型的柱面.
采用类似于求曲边梯形面积方法 步骤如下: 步骤如下: 先分割曲顶柱体的底, 先分割曲顶柱体的底, 并取典型小区域, 并取典型小区域, 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积, 顶柱体的体积,
z
z = f ( x, y)
T
I D = inf { S D (T )} T
0 ≤ I D ≤ ID
通常称 I D 为 D 的内面积 , I D 为 D 的外面积 .
定义1 定义 若平面图形 D的内面积 I D 等于其外面积 I D , 值称为D 则称D为可求面积 为可求面积, 则称 为可求面积,并将 I D = I D = I D 值称为 的面积. 定理21.1.1 平面有界图形 D为可求面积 定理 ε > 0, 直线网分割 T , 使得 S D (T ) sD (T ) < ε 证明过程完全类似于定积分. 证明过程完全类似于定积分
y
dy D
o x
dσ = dxdy
dx
故二重积分在直角坐标系中可 写为
∫∫ f ( x, y)dσ =∫∫ f ( x, y)dxdy D D
积分变量
四,二重积分可积的条件
什么样的函数可积? 什么样的函数可积 类似于定积分 1 必要条件 定理21.2.5 设函数 f ( x , y )在有界可求闭区域 D 上可积 , 定理 则 f ( x , y )在 D 上有界 . 设函数 f ( x , y )在有界可求闭区域 D 上有界 , T 为 D 的 任一分割 , 将 D 分成 n 个可求面积的小区域 σ 1 , , σ n , 令
面积 推论 平面有界图形 D面积 I D = 0 I D = 0
定理21.1.2 平面有界图形 D为可求面积 定理 D的边界 D 的面积为零 . 定理21.1.3 若曲线 K 是定义在 [a , b]上的 定理 连续函数 f ( x )的图象 , 则曲线 K的面积为零 .
x = (t ) 由参数方程 定理21.1.4 定理 y = ψ ( t )所表示的光滑曲线或 按段光滑曲线 , 其面积一定为零 .
第二十一章 重积分
§1 §2 §3 §4 §5 §6 二重积分的概念 直角坐标系下的二重积分的计算 格林公式 曲线积分与路径无关的条件 二重积分的变量变换(换元积分法) 二重积分的变量变换(换元积分法) 三重积分的概念 重积分的应用
§1 二重积分的概念
一,平面图形的面积 二,问题的提出 三,二重积分的定义 四,二重积分存在的条件 五,二重积分的性质
∫∫ f ( x, y )dσ = f (ξ ,η ) σ
D
(二重积分中值定理) 二重积分中值定理)
例1 不作计算,估计 I = ∫∫ e 不作计算,
n
y
(ξ i ,ηi )
σ i
o
x
M = lim ∑ ρ (ξi ,ηi )σ i .
λ →0 i =1
三,二重积分的概念
简单的说
定义1 设f (x, y)在有界闭域 上有界,若对于 的任 在有界闭域D上有界 定义 在有界闭域 上有界,若对于D的任 作积,作和, 意分割和在 意分割和在σi上任意取 (ξi , ηi) ,作积,作和, 记分割 T的细度 T = max d i , d i 为σ i的直径. i
D
的面积, 的面积 性质4 性质 若σ为D的面积 σ = ∫∫ 1 dσ = ∫∫ dσ . D D 性质5 性质 若在D上 若在 上 f ( x, y ) ≤ g( x, y ), 则有 ∫∫ f ( x, y )dσ ≤ ∫∫ g( x, y )dσ .
D D
D1
D2
特殊地
∫∫ f ( x, y )dσ ≤ ∫∫ f ( x, y ) dσ .
i =1 n
y
(4) 取极限 令 λ = max { σ i 直径 } 1≤ i ≤ n
n i =1
x
σi
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(ξi ,ηi )
V = lim0 ∑ f ( ξ i ,ηi ) σ i λ→
2,求平面薄片的质量 , 设有一平面薄片,占有 面上的闭区域 面上的闭区域D, 设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域 ,在点 (x,y)处的面密度为ρ (x,y) ,假定ρ (x,y)在D上连续,平 上连续, 处的面密度为 在 上连续 面薄片的质量为多少? 面薄片的质量为多少? 将薄片分割成若干小块, 将薄片分割成若干小块, 取典型小块,将其近似 取典型小块, 看作均匀薄片, 看作均匀薄片, 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
积 分 变 量
被 积 表 达 式
面 积 元 素 分 细 度 积 分 和
定义2 是定义在可求面积的有界闭域 定义 设f (x, y)是定义在可求面积的有界闭域 上的 是定义在可求面积的有界闭域D上 函数,J为一个常数 ε>0,总δ>0,使得对于D的任意分 为一个常数,若 使得对于 函数 为一个常数 若ε 总δ 使得对于 的任意分 当他的分割细度||T||<δ,属于 的所有积分和均有 属于T的所有积分和均有 割T,当他的分割细度 当他的分割细度 δ 属于
D D
上的最大值, 性质6 性质 设 M , m 是 f ( x , y )在闭区域 D上的最大值,最小值 , σ是 D的面积 , 则
m σ ≤ ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ Mσ
D
(二重积分估值不等式) 二重积分估值不等式) 性质7 性质 设函数 f ( x , y )在闭区域 D上连续 , σ是 D的面积 , 则在 D上至少存在一点 (ξ , η ), 使得
上和, 上和,下和的性质类似于定积分 于是有 2 可积的充要条件 定理21.1.6 f ( x, y )在D上可积 lim0 S (T ) = lim0 s(T ) 定理 T → T →
→ →
定理21.1.7 f ( x, y )在D上可积 定理 ε > 0, D的一个分割 T , 使得 S (T ) s(T ) < ε 2 可积的充分条件 定理21.1.8 有界闭区域 D 上的连续函数 f ( x , y )在 D 上可积 . 定理 定理21.1.9 设函数 f ( x , y )是定义在有界闭区域 D上的有界 定理 函数 , 若 f ( x , y )的不连续点都落在有限 条光滑 曲线上 , 则 f ( x , y )在 D上可积 . 〖证明〗见教材P215-216 证明〗见教材P215-
若极限
lim0 ∑ f ( ξ i ,ηi ) σ i T →
→ i =1
n
存在,则称其为f (x, y)在D上的二重积分,记为 上的二重积分 存在,则称其为 在 上的二重积分,
∫∫ f ( x , y )dσ = lim0 i∑1 f (ξ i ,ηi )σ i T → =
n
D
积 分 区 域
被 积 函 数