§1 二重积分的概念
二重积分通俗理解
二重积分通俗理解一、什么是二重积分？1.1 定义二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解二元函数在有界闭区域上的积分。
它是对一个区域上的函数进行“求和”的操作，可以用来计算该函数在该区域上的平均值、总体积、质心等。
1.2 符号表示一般来说，用符号∬来表示二重积分。
对于一个函数f(x,y)，其在区域D上的二重积分可以表示为：∬fD(x,y) dx dy,其中D表示一个有界闭区域，dx dy表示在该区域内按照矩形的面积进行积分。
二、二重积分的计算方法2.1 直角坐标系中的二重积分计算在直角坐标系中，我们可以通过将区域D分割成许多小矩形来进行计算。
对于一个小矩形R i，其面积可以表示为ΔA i=Δx iΔy i，其中Δx i和Δy i分别为矩形的宽度和高度。
然后，我们选取矩形R i中点(x i∗,y i∗)，计算函数在该点的值f(x i∗,y i∗)，并乘以该矩形的面积ΔA i。
将所有小矩形的贡献相加，即可得到二重积分的近似值。
当矩形的宽度和高度趋近于零时，即Δx i和Δy i趋近于零，这时我们可以得到准确的二重积分。
用极限的形式表示为：∬f D (x,y) dx dy=limΔx i→0Δy i→0∑fni=1(x i∗,y i∗)ΔA i.2.2 极坐标系中的二重积分计算在极坐标系中，二重积分的计算可以更加简化。
对于一个区域D，我们可以使用极坐标的面积元素r dr dθ来进行积分。
其中r表示极径，θ表示极角，dr和dθ分别表示极径和极角的微小增量。
则二重积分的计算公式为：$$\iint_D f(x, y) \,dx\,dy = \iint_D f(r\cosθ, r\sinθ)r\,dr\,d\theta.$$这种方法适用于具有旋转对称性的问题，通过转换到极坐标系可以简化计算过程。
三、二重积分的应用3.1 几何意义二重积分的一个重要应用是求解曲面面积或体积。
对于一个曲面z=f(x,y)在区域D上的投影曲域为D′的情况，可以通过以下公式计算曲面的面积S：S=∬√1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2D dx dy.3.2 质心的计算另一个常见的应用是计算一个区域D上物体的质心位置。
§1二重积分概念
t0 t1 tn ,
x ( t ) (或 y ( t ) ) 存在 使得在每一段 [ti 1 , ti ] 上，
1 1 t ( x ) ( 或 t ( x ) ) ,于是在 [ti 1 , ti ] 上 反函数 1 1 y ( ( x )) x ( ( y )) ). 所以在 (或 有连续的
T , 数集sP (T ) 有上确界,
T
x
图 21 1
S P (T ) 有下确界.
由确界定理
记 I P sup sP (T ) , 称为P的内面积.
I P inf S P (T ), 称为P的外面积.
显然, 0 IP I P
T
(1).
定义1 : 如果IP I P , 则称P为可求面积, I P IP I P称为P的面积.
K 上小区间[ xi1, xi ]对应的小弧段,
被以xi为宽,i为高的小矩形所覆盖,
K 正好被这n个小矩形所覆盖,
y f ( x)
i
且
x
i 1 i
n
i
x ba
i 1
n
i
.
xi
K的面积I K 0.
a
xi 1 xi
b
x
推论1 参量方程 x ( t ), y ( t ) ( t ) 所表 示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积一定为零.
x (t ) 定理 21.3 : K 设曲线 K的方程为 : y tf ([ x ) , x] [a, b] 设曲线 的方程为 : y (t ) 如果曲线 K 光滑 (或按段光滑 ) K的面积 如果f ( x )在 [a, b ]连续 K的面积 I K 0. I K 0. , 在[ , ]连续可导 证 : f ( x)在[a, b]连续, 在[a, b]一致连续.
二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
§1 二重积分概念与性质
积为 k ， k 的质量为 mk ，可得， mk f (Qk ) k ，进而
n
n
m mk f (Qk ) k 。
k 1
k 1
第三步（通过近似值的逼近求得 D 的质量）：记 T maxdiam k k 1, 2,, n 称为分
割T 的模，则平面块 D 的质量为
n
m
lim
T 0
k 1
f
具体来讲：注意到密度函数 f (P) f (x, y) 在 D 上连续，分三步进行：
第一步（对平面块 D 进行分割）：任取光滑曲线族作为分割线，将 D 分割成有限个直径 足够小的有面积的小平面块：
1, 2,, k ,, n 。 （记为T ，称为对区域 D 的分割）
第二步（求 D 的质量的近似值）：在每个小平面块 k 上，任取一点 Qk k ，记 k 的面
具体来讲：注意到函数 z f (x, y) 在 D 上连续，分三步进行：
第一步（对底面区域 D 进行分割）：任取光滑曲线族作为分割线，将 D 分割成有限个直 径足够小的有面积的闭区域：
1, 2,, k ,, n ， （记为T ，称为对区域 D 的分割） 此时，以这小区域为底面，曲顶柱体V 就被相应地分割成了有限个可近似看成柱体的小 曲顶柱体：
表示区域 D 的质量。
m D f (P)d D f (x, y)dxdy
（几何意义）若 f (P) f (x, y) 0 ，且 f (P) f (x, y) 在区域 D 上连续，则
V D f (P)d D f (x, y)dxdy ，
表示以曲面 z f (x, y) 为顶面，区域 D 为底面的曲顶柱体V 的体积。
的二重积分（如 D Adxdy A D ）---简化二重积分计算的方法之一：面积法。
二重积分知识点
二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。
二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。
本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。
二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。
若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。
2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。
三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。
4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。
数学分析课本-习题及答案第二十一章
第十一章 重积分§1 二重积分的概念1.把重积分⎰⎰D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0⨯,并用直线网x=n i ,y=nj (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点.2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界.3.证明定理:若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积.4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7.性质2 若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且()⎰+D g f =⎰⎰+D D g f . 性质4 若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则 ⎰⎰≤D Dg f , 性质7(中值定理) 若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得()D ,f f D∆ηξ=⎰. 5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且210D D D =,∅=11D int D int , 试证二重积分性质3.性质3(区域可加性) 若210D D D =且11D int D int ∅=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且⎰0D f =⎰⎰+21D D f f , 6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明:(1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D>⎰; (2)若在D 内任一子区域D D ⊂'上都有⎰'=D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。
.7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得()()⎰⎰D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()⎰⎰Ddxdy y ,x g .8.应用中值定理估计积分⎰⎰≤-++10y x 22ycos x cos 100dxdy 的值§2 二重积分的计算1.计算下列二重积分:(1)()⎰⎰-Ddxdy x 2y ,其中D=[][]2,15,3⨯;(2)⎰⎰D2dxdy xy ,其中(ⅰ)D=[][]3,02,0⨯,(ⅱ)D=[]3,0 []2,0⨯; (3)()⎰⎰+Ddxdy y x cos ,其中D=[]π⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,02,0; (4)⎰⎰+D dx dy x y 1x ,其中D=[][]1,01,0⨯. 2. 设f(x,y)=()()y f x f 21⋅为定义在D=[]⨯11b ,a []22b ,a 上的函数,若1f 在[]11b ,a 上可积,2f 在[]22b ,a 上可积,则f 在D 上可积,且⎰D f =⎰⎰⋅1122b a b a 21f f . 3.设f 在区域D 上连续,试将二重积分()⎰⎰Ddxdy y ,x f 化为不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式x y ≤,a y ≤,b x ≤()b a 0≤≤所确的区域:(2)D 由不等式222a y x ≤+与a y x ≤+(a>0)所确定的区域;(3)D=(){}1,≤+y x y x .4.在下列积分中改变累次积分的顺序:(1) ()⎰⎰20x 2x dy y ,x f dx ; (2) ()⎰⎰----11x 1x 122dy y ,x f dx ; (3)()⎰⎰10x 02dy y ,x f dy +()()⎰⎰-31x 3210dy y ,x f dx .5.计算下列二重积分:(1)⎰⎰D2dxdy xy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线x=2p (p>0)所围的区域; (2)()⎰⎰+D 22dxdy y x,其中D=(){1x 0y ,x ≤≤, y x ≤ }x 2≤; (3)⎰⎰-D x a 2dx dy (a>0),其中D 为图(20—7)中的阴影部分； (4)⎰⎰Ddxdy x ,其中D=(){}x y x y ,x 22≤+; (5)⎰⎰D dxdy xy ,其中为圆域222a y x ≤+.6.写出积分()⎰⎰ddxdy y ,x f 在极坐标变换后不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式1y x 22≤+,x y ≤,0y ≥所确定的区域;(2)D 由不等式2222b y x a ≤+≤所确定的区域;(3)D=(){}0x ,y y x y ,x 22≥≤+.7.用极坐标计算二重积分: (1) ⎰⎰+D22dxdy y x sin ,其中D=(){222y x y ,x +≤π }24π≤; (2)()⎰⎰+Ddxdy y x ,其中D=(){}y x y x y ,x 22+≤+; (3)()⎰⎰+'D22dxdy y x f ,其中D 为圆域222R y x ≤+.8.在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分:(1) ()⎰⎰--20x 2x 1dy y ,x f dx ,其中u=x+y,v=x-y;(2) ()dxdy y ,x f D⎰⎰,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x=v cos U 4, v sin U y 4=.(3)()⎰⎰dxdy y ,x f ,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x+y=u,y=uv.9.求由下列曲面所围立体V 的体积:(1) v 由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体;(2) v 由z=22y x +和z=x+y 围的立体; (3) v 由曲面9y 4x Z 222+=和2Z=9y 4x 22+所围的立体.11.试作适当变换,计算下列积分:(1)()()⎰⎰-+Ddxdy y x sin y x ,D=(){π≤+≤y x 0y .x }π≤-≤y x 0;(2)⎰⎰+D y x y dxdy e,D=(){1y x y ,x ≤+,0x ≥,}0y ≥.12.设f:[a,b]→R 为连续函数,应用二重积分性质证明:()≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2b a dx x f ()()⎰-b a 2dx x f a b ， 其中等号仅在f 为常量函数时成立。
二重积分的概念与计算
二重积分的概念与计算二重积分是微积分中的重要概念，在数学和物理学等领域有广泛应用。
本文将介绍二重积分的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和应用该概念。
一、二重积分的基本概念二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算。
通常表示为∬_Df(x,y)dxdy，其中D为积分区域。
二重积分的结果是一个实数。
二、二重积分的计算方法1. 通过迭代积分计算如果积分区域D可以表示为两个范围有限的连续函数g(x)和h(x)之间的交集，即D={(x,y)|a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x)}，则二重积分可以通过先计算内层积分再计算外层积分的方式进行计算。
具体计算步骤如下：步骤1：计算内层积分将变量y看作常数，将二元函数f(x,y)带入到内层积分中，进行y 的积分运算。
得到一个关于x的函数。
步骤2：计算外层积分将步骤1得到的关于x的函数带入到外层积分中，进行x的积分运算。
得到最终的结果。
2. 通过坐标变换计算在某些情况下，二重积分的计算可以通过坐标变换来简化。
常见的坐标变换包括极坐标变换和直角坐标变换。
以极坐标变换为例，如果积分区域D可以用极坐标表示，则可以通过将二元函数f(x,y)转化为二元函数g(r,θ)来计算二重积分。
具体计算步骤如下：步骤1：进行坐标变换将二元函数f(x,y)用极坐标变换的公式来表示，并计算坐标变换的Jacobi行列式。
步骤2：计算新函数的二重积分将坐标变换后得到的二元函数g(r,θ)进行二重积分计算，得到最终结果。
三、二重积分的应用二重积分在数学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何体的面积二重积分可以用来计算平面上有界区域的面积。
对于给定区域D和一个常数函数f(x,y)=1，在D上进行二重积分即可得到该区域的面积。
2. 质量和质心的计算已知二元函数f(x,y)表示平面上的质量密度分布，二重积分∬_Df(x,y)dxdy可以用来计算平面上有界区域D的质量。
质心的坐标可以通过以下公式计算：x_0=1/m∬_Dxf(x,y)dxdyy_0=1/m∬_Dyf(x,y)dxdy其中m为区域D的总质量。
二定积分知识点总结
二定积分知识点总结1. 二重积分的概念二重积分是对一个二元函数在给定区域上的积分，即对一个二元函数在一个二维区域上进行积分。
通常情况下，二重积分可以表示为对一个平面区域D上的函数f(x,y)进行积分：∬f(x,y)dA其中，f(x,y)为被积函数，dA为面积元素。
积分范围可以是矩形、圆形、三角形等各种形状的二维区域，也可以是由不同曲线围成的任意形状的区域。
2. 二重积分的计算方法计算二重积分的方法有多种，其中最常用的方法是通过将区域D分解成若干个小面积片，在每个小面积片上近似代替被积函数，然后对每个小面积片上的函数进行积分，再对所有小面积片的积分进行求和，最终得到整个区域上的二重积分值。
另一种常用的计算方法是通过变量代换，将二重积分转化为更简单的形式进行计算。
一般来说，变量代换的方法可以将曲线坐标系中的积分问题转化为直角坐标系中的积分问题，从而简化计算过程。
3. 二重积分的性质二重积分具有一些重要的性质，这些性质在实际应用中经常被使用。
其中最重要的性质包括线性性质、积分区域的可加性、对称性等。
通过这些性质，我们可以得到许多二重积分的简化计算方法，从而提高计算的效率。
4. 二重积分的应用二重积分可以应用于各种实际问题中，例如求解物体的质量、质心、质量中心、转动惯量等物理量，也可以用来描述曲面的面积和体积等几何特性。
在工程、物理、地理等领域，二重积分都有着广泛的应用。
总之，二重积分是微积分中的一个重要概念，它是对多变量函数在某个区域上的积分，也是描述曲面的面积或体积的求解工具。
通过对二重积分的概念、计算方法、性质和应用的深入了解，可以更好地掌握微积分的基本知识和方法，从而更好地应用微积分解决实际问题。
二重积分的概念和计算方法
二重积分的概念和计算方法在数学中，我们经常遇到需要对二维区域上的函数进行求和或求平均的情况。
为了解决这类问题，人们引入了二重积分的概念。
本文将探讨二重积分的概念以及常见的计算方法。
一、二重积分的概念二重积分是对二维平面上的函数进行求和的操作。
它可以看作是将一个二维区域分割成无穷多个小的矩形，然后对每个小矩形内的函数值进行求和的过程。
一般来说，我们通过累次积分的方法来计算二重积分。
对于函数f(x, y)在区域D上的二重积分，可以表示为：∬f(x, y)dA其中，D表示二维区域，dA表示微元面积。
二重积分的结果是一个数值，代表了函数f(x, y)在区域D上的总体特征。
二、二重积分的计算方法1. 直角坐标系下的二重积分在直角坐标系下，计算二重积分需要先确定积分范围。
一般情况下，我们将区域D分割成一个个小矩形或小三角形，根据积分的性质进行求和。
对于给定的函数f(x, y)，其在区域D上的二重积分可以表示为：∬f(x, y)dA = ∫∫f(x, y)dxdy其中，积分区域D的边界可以表示为[a, b]和[c(x), d(x)]，其中c(x)和d(x)是关于x的函数。
通过确定积分的次序和边界，我们可以将二重积分转化为一重积分的形式，然后按照一重积分的计算方法进行求解。
2. 极坐标系下的二重积分在某些情况下，使用极坐标系进行二重积分的计算更为方便。
特别是当积分区域具有简单的几何形状，如圆形、扇形或圆环等情况下，使用极坐标系可以简化计算过程。
对于给定的函数f(x, y)，在极坐标系下的二重积分可以表示为：∬f(x, y)dA = ∫∫f(r, θ)rdrdθ其中，积分区域D的边界可以表示为[r1(θ), r2(θ)]和[a, b]，其中r1(θ)和r2(θ)是关于θ的函数。
通过确定积分的次序和边界，我们可以将二重积分转化为一重积分的形式，然后按照一重积分的计算方法进行求解。
3. 格林公式的应用在某些情况下，利用格林公式可以简化二重积分的计算。
二重积分概念
D
积分中值定理的几何意义: 在 D 上, 以 z f ( x , y)
( f ( x , y) 0) 为顶的曲顶柱体体积,等于一个同底 的平顶柱体的体积, 这个平顶柱体的高等于 f ( x , y)
在 D 中某点 ( , ) 处的函数值 f ( , ).
设 P 是一平面有界图形, 用平行于坐标轴的某一
组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T
的网眼 (小闭矩形) i 可分为三类: y
(i) i 上的点都是 P 的内点;
P
(ii) i 上的点都是 P 的外点, 即
i P ;
O
x
图 21 1
(iii) i 上含有 P 的边界点. 将所有属于第(i) 类小矩形 y
D
例如 ？ R2 x2 y2d
x2 y2 R2
n
D
f ( x, y)d lim 0 i1
f (i , i ) i
o xD
y
(i ,i )
i
z
o D x
(i ,i ) y
i
z f (x, y)
例如 ？ R2 x2 y2d x2 y2 R2
定义2 设 f ( x , y) 是定义在可求面积的有界闭域 D
上的函数. J 是一个确定的实数, 若对任给的正数 ,
总存在某个正数 , 使对于 D 的任何分割 T, 当它的
细度 || T || 时, 属于 T 的所有积分和都有
n
f (i , i ) i J ,
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、 取极限”的方法，如下动画演示．
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十一章
第十一章 重积分§1 二重积分的概念1.把重积分⎰⎰D xydxdy 作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=[][]1,01,0⨯,并用直线网x=n i ,y=nj (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为其界点.2.证明:若函数f 在矩形式域上D 可积,则f 在D 上有界.3.证明定理(20.3):若f 在矩形区域D 上连续,则f 在D 上可积.4.设D 为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7.性质2 若f 、g 都在D 上可积,则f+g 在D 上也可积,且()⎰+D g f =⎰⎰+D D g f . 性质4 若f 、g 在D 上可积,且g f ≤,则 ⎰⎰≤D Dg f , 性质7(中值定理) 若f 为闭域D 上连续函数,则存在()D ,∈ηξ,使得()D ,f f D∆ηξ=⎰. 5.设D 0、D 1和D 2均为矩形区域,且210D D D =,∅=11D int D int , 试证二重积分性质3.性质3(区域可加性) 若210D D D =且11D int D int ∅=,则f 在D 0上可积的充要条件是f 在D 1、D 2上都可积,且⎰0D f =⎰⎰+21D D f f , 6.设f 在可求面积的区域D 上连续,证明:(1)若在D 上()0y ,x f ≥,()0y ,x f ≠则0f D>⎰; (2)若在D 内任一子区域D D ⊂'上都有⎰'=D 0f ,则在D 上()0y ,x f ≡。
.7.证明:若f 在可求面积的有界闭域D 上连续,,g 在D 上可积且不变号,则存在一点()D ,∈ηξ,使得()()⎰⎰D dxdy y ,x g y ,x f =()ηξ,f ()⎰⎰Ddxdy y ,x g .8.应用中值定理估计积分⎰⎰≤-++10y x 22ycos x cos 100dxdy 的值§2 二重积分的计算1.计算下列二重积分:(1)()⎰⎰-Ddxdy x 2y ,其中D=[][]2,15,3⨯;(2)⎰⎰D2dxdy xy ,其中(ⅰ)D=[][]3,02,0⨯,(ⅱ)D=[]3,0 []2,0⨯; (3)()⎰⎰+Ddxdy y x cos ,其中D=[]π⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,02,0; (4)⎰⎰+D dx dy x y 1x ,其中D=[][]1,01,0⨯. 2. 设f(x,y)=()()y f x f 21⋅为定义在D=[]⨯11b ,a []22b ,a 上的函数,若1f 在[]11b ,a 上可积,2f 在[]22b ,a 上可积,则f 在D 上可积,且⎰D f =⎰⎰⋅1122b a b a 21f f . 3.设f 在区域D 上连续,试将二重积分()⎰⎰Ddxdy y ,x f 化为不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式x y ≤,a y ≤,b x ≤()b a 0≤≤所确的区域:(2)D 由不等式222a y x ≤+与a y x ≤+(a>0)所确定的区域;(3)D=(){}1,≤+y x y x .4.在下列积分中改变累次积分的顺序:(1) ()⎰⎰20x 2x dy y ,x f dx ; (2) ()⎰⎰----11x 1x 122dy y ,x f dx ; (3)()⎰⎰10x 02dy y ,x f dy +()()⎰⎰-31x 3210dy y ,x f dx .5.计算下列二重积分:(1)⎰⎰D2dxdy xy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线x=2p (p>0)所围的区域; (2)()⎰⎰+D 22dxdy y x,其中D=(){1x 0y ,x ≤≤, y x ≤ }x 2≤; (3)⎰⎰-D x a 2dx dy (a>0),其中D 为图(20—7)中的阴影部分； (4)⎰⎰Ddxdy x ,其中D=(){}x y x y ,x 22≤+; (5)⎰⎰D dxdy xy ,其中为圆域222a y x ≤+.6.写出积分()⎰⎰ddxdy y ,x f 在极坐标变换后不同顺序的累次积分:(1)D 由不等式1y x 22≤+,x y ≤,0y ≥所确定的区域;(2)D 由不等式2222b y x a ≤+≤所确定的区域;(3)D=(){}0x ,y y x y ,x 22≥≤+.7.用极坐标计算二重积分: (1) ⎰⎰+D22dxdy y x sin ,其中D=(){222y x y ,x +≤π }24π≤; (2)()⎰⎰+Ddxdy y x ,其中D=(){}y x y x y ,x 22+≤+; (3)()⎰⎰+'D22dxdy y x f ,其中D 为圆域222R y x ≤+.8.在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分:(1) ()⎰⎰--20x 2x 1dy y ,x f dx ,其中u=x+y,v=x-y;(2) ()dxdy y ,x f D⎰⎰,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x=v cos U 4, v sin U y 4=.(3)()⎰⎰dxdy y ,x f ,其中D=(){a y x y ,x ≤+,0x ≥, }0y ≥,若x+y=u,y=uv.9.求由下列曲面所围立体V 的体积:(1) v 由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体;(2) v 由z=22y x +和z=x+y 围的立体; (3) v 由曲面9y 4x Z 222+=和2Z=9y 4x 22+所围的立体.11.试作适当变换,计算下列积分:(1)()()⎰⎰-+Ddxdy y x sin y x ,D=(){π≤+≤y x 0y .x }π≤-≤y x 0;(2)⎰⎰+D y x y dxdy e,D=(){1y x y ,x ≤+,0x ≥,}0y ≥.12.设f:[a,b]→R 为连续函数,应用二重积分性质证明:()≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰2b a dx x f ()()⎰-b a 2dx x f a b ， 其中等号仅在f 为常量函数时成立。
第二十一章重积分
第二十一章 重积分§1 二重积分的概念一 面积 设2D R ⊂是有界闭集，设[,][,]U a b c d D =⨯⊂，在[,]a b 中插入分点01...n a x x x b =<<<=，在[,]c d中插入分点01...n c y y y d =<<<=，过这些分点作平行于坐标轴的直线，将U 分成许多小矩形,11[,][,],1,...;1,...i j i i j j U x x y y i n j m --=⨯==成为U 的一个分划。
记完全包含于D 内的小矩形的面积之和为mA ，与D 交集非空的矩形面积mB ，显然它们与U 分划有关，且有mA mB ≤。
在[,]a b 和[,]c d 中再增加有限个分点（称为加细）则mB 不增，mA 不减，且任一种分化所得到的mA 不大于mB 。
这些mA 的上确界*mD ，mB 的下确界*mD ，且**mD mD ≤。
若**mD mD =，称为D 是可求面积的。
充要条件是*0m D ∂=，边界面积为零的有界闭区域为零边界区域。
光滑曲线段的面积为零。
二 曲顶柱体的体积：底是xy 面具有零边界的有界闭区域D ，顶是非负连续函数(,)z f x y =，(,)x y D ∈所对应的曲面，侧是以D 的边界曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面。
三 二重积分的概念：设2D R ⊂是零边界区域，(,)z f x y =在D 上有界。
将D 用曲线网分成n 个小区域，记1max{}i i ndiam D λ≤≤=，01(,)lim (,)niii i DI f x y d f λσξησ→===∑⎰⎰。
设i M 和i m 分别为(,)f x y 在i D 上的上确界与下确界，定义Darboux 大和为1n i i i S M σ==∑，Darboux 小和为1ni i i s m σ==∑性质1 若在已有的份划添加有限条曲线作进一步分划，则Darboux 大和不增，小和不减。
高数考研题库二重积分
高数考研题库二重积分高数考研题库二重积分二重积分是高等数学中的重要概念之一，也是考研数学中的重要知识点。
在考研数学中，二重积分的应用非常广泛，涉及到面积、质量、质心等诸多问题。
本文将从二重积分的基本概念、性质以及应用等方面进行探讨。
一、二重积分的基本概念二重积分是对二元函数在某个有界闭区域上的积分。
设有二元函数f(x,y)，定义在闭区域D上，D的边界为C。
则二重积分的计算公式为：∬D f(x,y)dxdy其中，dxdy表示对x和y的积分变量，D表示积分区域。
二重积分的计算需要先确定积分区域D，并将其分解为若干个小区域，然后对每个小区域进行积分，最后将各个小区域的积分结果相加即可得到最终的二重积分值。
二、二重积分的性质1. 线性性质：即对于任意常数a和b，有∬D (af(x,y) + bf(x,y))dxdy = a∬Df(x,y)dxdy + b∬D f(x,y)dxdy。
2. 区域可加性：即对于两个不相交的区域D1和D2，有∬(D1∪D2) f(x,y)dxdy = ∬D1 f(x,y)dxdy + ∬D2 f(x,y)dxdy。
3. 积分次序可交换：即对于可积的函数f(x,y)，有∬D f(x,y)dxdy = ∬D f(x,y)dydx。
4. 积分区域的变换：若将积分区域D通过某种变换映射到D'上，则有∬D'f(x',y')dxdy = ∬D f(x,y)dxdy。
三、二重积分的应用1. 计算面积：二重积分可以用来计算平面区域的面积。
设有闭区域D，其边界为C，函数f(x,y)在D上恒等于1，则二重积分∬D f(x,y)dxdy即为D的面积。
2. 计算质量：二重积分可以用来计算平面区域上均匀分布的物体的质量。
设有密度函数ρ(x,y)，表示在平面区域D上的每个点(x,y)处的质量密度，则平面区域D上的物体的总质量为∬D ρ(x,y)dxdy。
3. 计算质心：二重积分可以用来计算平面区域上均匀分布的物体的质心坐标。
二重积分的概念和计算
二重积分的概念和计算
一、二重积分的概念
二重积分也叫做双重积分，是一类高等数学中的一种重要的概念，它
是指将函数关于两个变量进行积分运算，而且是先计算外层的积分，再计
算内层的积分，也可以称之为“先积分后积分”。
所以，二重积分是指把一个二元函数关于x先积分，再把f（x，y）
关于y积分的过程，最后能够得到B（x，y）函数，通常我们可以采用它
来对双变量函数进行积分运算。
二、二重积分的计算
1、在坐标系上绘制图像，判断积分的界限，即a和b的值，以及R
的值；
2、根据及题目要求，写出积分表达式；
3、根据外层和内层的分界，写出外层的积分表达式；
4、根据内层的分界，写出内层的积分表达式；
5、外层积分根据公式进行求解，把外层积分结果代入到内层积分中，计算内层积分的值；
6、把外层积分的值和内层积分的值相乘，得到最终的二重积分的结果。
此外，在积分运算中，我们还可以通过Green-Haddam公式来把二重
积分转化为一次积分，计算更加快捷方便。
Green-Haddam公式：∫ab∫f(x,y)dxdy=∫(R∫f(x,y)dxdy)dR
三、示例说明
下面通过举例来详细讲解一下二重积分的计算：求解：∫0,3∫0,2x2dy dx。
二重积分的概念
Th9. 若函数f在R可积，则函数 | f | 在R也可积，且 (因为 − | f |≤ f ≤| f | ,因此由 因此由Th8、Th5有 因为 因此由 、 有
− ∫∫ | f | dσ ≤ ∫∫ fdσ ≤ ∫∫ | f | dσ
R R R
,即) 即
| ∫∫ fdσ |≤ ∫∫ | f | dσ
z
z=f(x，y)
O R x
Rk
y
∆Vk
2、分别以这些小闭区域的 边界曲线为准线， 边界曲线为准线，作母线平行于
z
z=f(x，y)
z 轴的柱面， 轴的柱面，
这些柱面把原曲顶柱体分割 成以Rk 为底的n 个小曲顶 成以R 为底的n 柱体, 柱体,其体积记为 ∆Vk ，这 n个小曲顶柱体的体积之和 就是原曲顶柱体的体积， 就是原曲顶柱体的体积，即 x O R
|| T ||= max{d ( R1 ), d ( R2 ),......., d ( Rn )}
则曲顶柱体的体积为
O R x
Rk
y
V = lim
||T || →0
∑ f (ξ
k =1
n
k
,η k )∆σ k
曲顶柱体的体积定义原则上给出了计算曲顶柱体体 积的方法，但是， 积的方法，但是，按照定义计算曲顶柱体的体积非 常麻烦； 常麻烦；而且不单在计算曲顶柱体的体积时要用到 形如（ 式的和式极限， 形如（1）式的和式极限，在计算非均匀薄片的质 曲面的面积等等问题中都要用到形如（ 量，曲面的面积等等问题中都要用到形如（1）式 的和式极限，因此有必要抽象地来讨论（ 的和式极限，因此有必要抽象地来讨论（1）式的 极限。 极限。
.
显然,按照定义,以定义在有界闭区域R 显然,按照定义,以定义在有界闭区域R上的正值 连续曲面 f ( x, y )为曲顶的曲顶柱体体积
二重积分的概念
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例1 比较积分大小： ln( x y )d 与
D
2 [ln( x y )] d D
其中D是顶点为(1,0), (1,1), (2,0) 的三角形区域. y 解 在D上， x y 1 2 (1,1)
D D D
3. 若 f ( x , y ) 在 D1 和 D2上都可积, 且 D1与 D2无公共
内点, 则 f ( x , y ) 在 D1 D2 上也可积, 且D1 Fra bibliotek D2
f ( x , y )d f ( x , y )d f ( x , y )d .
D1 D2
则
v lim f (i ,i ) i f ( x, y )d
0
i 1
D
n
x
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2）任取点 (i ,i ) i ,
n n
引例2 非均匀平面薄片的质量 1）将区域D任意分割成n个小区域： 1, 2 ,, n . i 也表第i块小区域的面积
y
( x, y )
(i ,i )
mi (i ,i ) i (i 1,2,, n)
i 1 i 1
x
3）作和 m mi ( i ,i ) i
{ i的直径 } 4）取极限 令 max 1i n
m lim (i ,i ) i ( x, y )d
也可积, 且
f ( x , y )d
D D
f ( x , y ) d .
6. 若 f ( x , y ) 在 D 上可积, 且
m f ( x , y) M , ( x , y) D ,
二重积分的概念和计算方法
二重积分的概念和计算方法二重积分是在二维平面上对一些区域上的函数进行求和的操作。
它可以用于求解平面区域上的面积、质量、重心等物理量，也可以用于解决求解二元函数的平均值、概率密度等问题。
在本文中，我们将讨论二重积分的概念以及几种常见的计算方法。
一、二重积分的概念二重积分是对二维平面上的一个闭区域D上的函数f(x,y)进行求和的操作，可以表示为：∬Df(x,y)dA其中D表示区域D上的面积，f(x,y)表示在点(x,y)上的函数值，dA 表示在D上的一个微小面积元素。
对于二重积分的计算，可以分为定积分和区域积分两种方法。
定积分的计算是将区域D划分成许多小的矩形面积，并将这些小矩形的面积乘以对应的函数值求和。
区域积分的计算是将区域D分成许多小的曲面元素，并将这些小曲面的面积乘以对应的函数值求和。
二、二重积分的计算方法1.直角坐标系下的二重积分计算在直角坐标系下，我们可以通过在区域D上设置两个变量x和y，将原来的二重积分转化为两个一重积分的问题。
将区域D分成许多小的矩形面积，每个小矩形的面积为ΔA，左下角的坐标为(x,y)，则我们可以得到二重积分的计算公式为：∬D f(x,y) dA = lim ΔA→0 Σ f(x,y)ΔA其中Σ表示对所有小矩形面积求和。
对于简单的区域D，我们可以直接通过计算极限来求解二重积分。
但对于较为复杂的区域D，可以使用变量替换、拆分区域等方法来简化计算过程。
2.极坐标系下的二重积分计算在极坐标系下，我们可以通过引入极角θ和极径ρ，将二重积分转化为极坐标下的一重积分问题。
区域D可以用极坐标表示为：D={(ρ,θ)，α≤θ≤β，g(θ)≤ρ≤h(θ)}。
对于极坐标下的二重积分公式，我们有：∬D f(x,y) dA = ∫βα ∫h(θ)g(θ) f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ。
通过将二重积分转化为极坐标系下的一重积分问题，可以简化复杂区域的计算过程。
3.坐标变换方法对于一些特殊的区域D，我们可以通过坐标变换来简化二重积分的计算过程。
第二十一章二重积分
第二十一章 重积分§1二重积分概念1.把重积分Dxyd s 蝌作为积分和的极限，计算这个积分值，其中[0,1][0,1]D =?并用直线网,(,1,2,1)i ix y i j n n n===-分割这个正方形为许多小正方形，每一小正方形取其右上顶点为其节点。
证明：22n 24i=1j=111(1)1lim lim 44n xx Di j n n xydxdy n n n n +=鬃==邋蝌2.证明：若函数(,)f x y 在有界闭区域D 上可积，则(,)f x y 在D 上有界。
证明：假设(,)f x y 在D 上可积，但在D 上无界。
则对D 的任一分割T={}n 12s ,s ,s ,(,)f x y 必在某个小区间k s 上无界。
当i k ¹时，任取i i p 蝧，令G=(),(,),i i i kDf p I f x y dxdy ¹s =å蝌由于(,)f x y 在k s 上无界，即存在k k p 蝧使得1()k kI Gf p ++>s 。
从而1()())()()()2 1.(*)nii i i k k k ki k i i ki kf p f p f p f p f p =构s =s +s 硈-s >+邋?另一方面，由于(,)f x y 在D 上可积，取1e =，故存在0d >，对任意D 的分割n {}T 12=s ,s ,s 当T <δ时，i 1i=11*f x y D nT I ¹-<ååni i i i 的任一分f(p σ)都满足f(p )σ而（）式与此矛盾，所以，(,)在上有界3.证明二重积分中值定理（性质7）。
证明：函数(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，则(,)f x y 在D 上存在最大值M 与最小值m ，且对D 中一切(,)x y 点，有(,).m f x y M ＃ 有性质6知，,(,)D D DmS f x y d MS ££蝌σ即1(,)DDm f x y d M S ＃蝌σ有介值定理存在()D Îξ,η使得(,).()Df x y d f D S =蝌σξ,η4：若(,)f x y 为有界闭区域D 上的非负连续函数，且在D 上不恒为零，则(,)0Df x y d >蝌σ证明：由已知，存在000(,)p x y D Î，使00(,)0f x y >则存在0>δ，对一切1(,)p x y D Î，其中10,(())D P D =?δ，有001(,)(,)02f x y f x y >> 而(,)f x y 在有界闭域D 上非负连续，则有111001(,)(,)(,)(,)02D D D D Df x y d f x y d f x y d f x y S -=+?蝌蝌蝌σσσ 其中（1D S 表示为1D 的面积）5.若(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，且在D 内任一子区域'D D Ì上有'(,)0D f x y d=蝌σ 则在D 上(,)0.f x y º证明：用反证法：假设在D 内存在一点000(,)p x y 使00(,)0f x y ¹，不妨设00(,)0f x y >。
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一,平面图形的面积为了源自究定义在平面点集上二元函数的积分, 为了研究定义在平面点集上二元函数的积分, 首先讨论平面有界图形的面积. 首先讨论平面有界图形的面积. y 设平面图形D有界 设平面图形 有界, 有界
i
则存在一个矩形R,使得 则存在一个矩形 使得 D R D 为了考察D的面积 的面积, 为了考察 的面积,先用 一组平行于坐标轴的直线 分割D 网T分割 ,如图 分割 T的网眼(小矩形)i可 的网眼( 的网眼 小矩形) o 以分为三类: 以分为三类:(1) i上的点均是 内的点; 上的点均是D内的点 内的点; 上的点含有D的边界点 的边界点. (3) i上的点含有 的边界点.
z = f ( x, y)
D
还有其他类型的柱面. 还有其他类型的柱面.
采用类似于求曲边梯形面积方法 步骤如下: 步骤如下: 先分割曲顶柱体的底, 先分割曲顶柱体的底, 并取典型小区域, 并取典型小区域, 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积, 顶柱体的体积,
z
z = f ( x, y)
五,二重积分的性质 (二重积分与定积分有类似的性质) 二重积分与定积分有类似的性质) 为常数时, 为常数时 性质1 性质 当k为常数时, ∫∫ kf ( x, y )dσ =k ∫∫ f ( x , y )dσ . D D
D
性质2 性质 ∫∫ [ f ( x, y ) ± g( x , y )]dσ = ∫∫ f ( x, y )dσ ± ∫∫ g( x, y )dσ D D 性质3 性质 对区域具有可加性 ( D = D1 + D2 ) ∫∫ f ( x, y )dσ = ∫∫ f ( x, y )dσ + ∫∫ f ( x, y )dσ .
若极限
lim0 ∑ f ( ξ i ,ηi ) σ i T →
→ i =1
n
存在,则称其为f (x, y)在D上的二重积分,记为 上的二重积分 存在,则称其为 在 上的二重积分,
∫∫ f ( x , y )dσ = lim0 i∑1 f (ξ i ,ηi )σ i T → =
n
D
积 分 区 域
被 积 函 数
n
y
(ξ i ,ηi )
σ i
o
x
M = lim ∑ ρ (ξi ,ηi )σ i .
λ →0 i =1
三,二重积分的概念
简单的说
定义1 设f (x, y)在有界闭域 上有界,若对于 的任 在有界闭域D上有界 定义 在有界闭域 上有界,若对于D的任 作积,作和, 意分割和在 意分割和在σi上任意取 (ξi , ηi) ,作积,作和, 记分割 T的细度 T = max d i , d i 为σ i的直径. i
被 积 函 数
积 分 变 量
被 积 表 达 式
面 积 元 素 分 细 度 积 分 和
对二重积分定义的说明: 对二重积分定义的说明: (1) 二重积分的定义中,对闭区域的划分和介点选取 二重积分的定义中, 是任意的. 是任意的. (2) 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积; 当被积函数小于零时, 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积 的负值. 的负值 若位于xoy面上方柱体的体积为正值 面上方柱体的体积为正值; 若位于 面上方柱体的体积为正值; 位于xoy面下方柱体的体积为负值 面下方柱体的体积为负值, 位于 面下方柱体的体积为负值, 二重积分的几何意义是柱体的体积的代数和. 二重积分的几何意义是柱体的体积的代数和. 曲顶柱体体积 平面薄片的质量
V = ∫∫ f ( x , y )d σ
M = ∫∫ f ( x , y )d σ
D
D
(3) 与定积分相似 若函数f (x, y)在D上可积 可采用特殊 与定积分相似,若函数 在 上可积,可采用特殊 的分割,特殊的取点方式得一积分和的极限就为二重 的分割 特殊的取点方式得一积分和的极限就为二重 积分值. 积分值 二重积分的具体形式 在直角坐标系下用平行 于坐标轴的直线网来划分区 域D, , 则面积元素为
M i = sup f ( x, y ), mi = ( xinf σ f ( x, y ), (i = 1, , n) , y )∈
( x , y )∈σ i
i
S (T ) = ∑ M i σ i , s(T ) = ∑ mi σ i
i =1 i =1
n
n
属于分割T的上和 属于分割 的上和
属于分割T的下和 属于分割 的下和
D D
上的最大值, 性质6 性质 设 M , m 是 f ( x , y )在闭区域 D上的最大值,最小值 , σ是 D的面积 , 则
m σ ≤ ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ Mσ
D
(二重积分估值不等式) 二重积分估值不等式) 性质7 性质 设函数 f ( x , y )在闭区域 D上连续 , σ是 D的面积 , 则在 D上至少存在一点 (ξ , η ), 使得
o
x
D
y
(ξi ,ηi )
σ i
(1) 分割
z
z =f (x, y)
任意分割 D : σ i ( i = 1, 2 , , n )
(2) 作近似 任取 (ξ i , η i ) ∈ σ i
V i ≈ f (ξ i , η i ) σ i ( i = 1, 2 , ,n )
(3) 求和 V ≈ ∑ f ( ξ i ,ηi ) σ i
i =1 n
y
(4) 取极限 令 λ = max { σ i 直径 } 1≤ i ≤ n
n i =1
x
σi
D
(ξi ,ηi )
V = lim0 ∑ f ( ξ i ,ηi ) σ i λ→
2,求平面薄片的质量 , 设有一平面薄片,占有 面上的闭区域 面上的闭区域D, 设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域 ,在点 (x,y)处的面密度为ρ (x,y) ,假定ρ (x,y)在D上连续,平 上连续, 处的面密度为 在 上连续 面薄片的质量为多少? 面薄片的质量为多少? 将薄片分割成若干小块, 将薄片分割成若干小块, 取典型小块,将其近似 取典型小块, 看作均匀薄片, 看作均匀薄片, 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
D
的面积, 的面积 性质4 性质 若σ为D的面积 σ = ∫∫ 1 dσ = ∫∫ dσ . D D 性质5 性质 若在D上 若在 上 f ( x, y ) ≤ g( x, y ), 则有 ∫∫ f ( x, y )dσ ≤ ∫∫ g( x, y )dσ .
D D
D1
D2
特殊地
∫∫ f ( x, y )dσ ≤ ∫∫ f ( x, y ) dσ .
y
(3) (3) (1) (1) (1) (1)
(2) (2)
D
(1)
(2)
(3)
(3)
o
x
平面图形D的所有直线网的分割 对于平面图形 的所有直线网的分割T, 对于平面图形 的所有直线网的分割 , 数集{ sD (T )}有上确界 , { S D (T )}有下确界 . 记为 I D = sup{ sD (T )} 于是有
T
I D = inf { S D (T )} T
0 ≤ I D ≤ ID
通常称 I D 为 D 的内面积 , I D 为 D 的外面积 .
定义1 定义 若平面图形 D的内面积 I D 等于其外面积 I D , 值称为D 则称D为可求面积 为可求面积, 则称 为可求面积,并将 I D = I D = I D 值称为 的面积. 定理21.1.1 平面有界图形 D为可求面积 定理 ε > 0, 直线网分割 T , 使得 S D (T ) sD (T ) < ε 证明过程完全类似于定积分. 证明过程完全类似于定积分
积 分 变 量
被 积 表 达 式
面 积 元 素 分 细 度 积 分 和
定义2 是定义在可求面积的有界闭域 定义 设f (x, y)是定义在可求面积的有界闭域 上的 是定义在可求面积的有界闭域D上 函数,J为一个常数 ε>0,总δ>0,使得对于D的任意分 为一个常数,若 使得对于 函数 为一个常数 若ε 总δ 使得对于 的任意分 当他的分割细度||T||<δ,属于 的所有积分和均有 属于T的所有积分和均有 割T,当他的分割细度 当他的分割细度 δ 属于
二,问题的提出
1. 曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积× 柱体体积 底面积× 底面积 特点: 特点:平顶
z = f ( x, y)
高
柱体体积=? 柱体体积 ? 特点:曲顶 特点:
D
曲顶柱体
曲顶柱体: 曲顶柱体:
以平面有界区域D为底, 以平面有界区域 为底, 为底 以曲面∑: 为顶, 以曲面 :z=f(x,y)为顶, 为顶 一般z=f(x,y)在D上连续. 上连续. 一般 在 上连续 侧面是柱面, 侧面是柱面, 该柱面以D为准线 为准线, 该柱面以 为准线, 母线平行于z轴 母线平行于 轴.
面积 推论 平面有界图形 D面积 I D = 0 I D = 0
定理21.1.2 平面有界图形 D为可求面积 定理 D的边界 D 的面积为零 . 定理21.1.3 若曲线 K 是定义在 [a , b]上的 定理 连续函数 f ( x )的图象 , 则曲线 K的面积为零 .
x = (t ) 由参数方程 定理21.1.4 定理 y = ψ ( t )所表示的光滑曲线或 按段光滑曲线 , 其面积一定为零 .
y
dy D
o x
dσ = dxdy
dx
故二重积分在直角坐标系中可 写为
∫∫ f ( x, y)dσ =∫∫ f ( x, y)dxdy D D
积分变量
四,二重积分可积的条件
什么样的函数可积? 什么样的函数可积 类似于定积分 1 必要条件 定理21.2.5 设函数 f ( x , y )在有界可求闭区域 D 上可积 , 定理 则 f ( x , y )在 D 上有界 . 设函数 f ( x , y )在有界可求闭区域 D 上有界 , T 为 D 的 任一分割 , 将 D 分成 n 个可求面积的小区域 σ 1 , , σ n , 令